总结同余方程及其模板

Author: taotao

Diff for: math/数论算法模板总结.md

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+
+#公约数
+##gcd
+
+```
+LL gcd(LL a,LL b)
+{
+    return b==0? a:gcd(b,a%b);
+}
+```
+##ex_gcd
+
+```
+//返回值为最大公约数
+LL ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
+{
+    LL d = a;
+    if(!b){x = 1,y = 0;}
+    else{
+      d = ex_gcd(b,a%b,y,x);
+      y-=a/b*x;
+    }
+    return d;
+}
+```
+#素数
+
+##素因子分解
+$朴素算法O(\sqrt n)$
+```
+void prime_factor(int n,map<int,int> &pf)//
+{
+    for(int i =2 ; i*i<=n ; ++i)//n为素数时!
+    {
+        while(n%i==0)
+        {
+            ++pf[i];
+            n/=i;
+        }
+    }
+    if(n!=1)pf[n] = 1;
+}
+```
+##Eratosthenes筛法
+
+```
+void Eratosthenes(int n)
+{
+    memset(is_prime,true,sizeof(is_prime));
+
+    for(int i = 2 ; i*i<=n; ++i)
+        if(is_prime[i])
+        for(int j=i*i ; j<=n ; j+=i)is_prime[j] = false;
+}
+```
+##区间筛法
+
+```
+void segment_sieve(LL a,LL b)//[a,b]
+{
+    memset(is_prime_ab,true,sizeof(is_prime_ab[0])*(b-a+1));
+    memset(is_prime_sqrtb,true,sizeof(is_prime_sqrtb[0])*(sqrt(b)+2));
+    for(LL i = 2 ; i*i<=b ; ++i)
+    if(is_prime_sqrtb[i]){
+        for( LL j = i*i ; j*j<=b ; j+=i)is_prime_sqrtb[j] = false;
+        for(LL j = max(i*i,(a-1)/i+1)*i ; j<=b ; j+=i)is_prime_ab[j-a] = false;
+    }
+}
+```
+这篇博客简要总结一下，ACM中的一些初等数论问题，包括euler phi函数，中国剩余定理，，
+#euler phi函数
+$\phi(n) = n\prod_{i = 1}^{k}(1-\frac{1}{p_i})$
+证明详见《初等数论及其应用》
+
+```
+int  euler_phi(int  n)
+{
+    int  ans = n;
+    for(int i=2 ; i*i<=n ; ++i)
+        if(ans%i ==0)
+        {
+            ans = ans/i*(i-1);
+            while(n%i==0)n/=i;
+        }
+        if(n>1)ans = ans/n*(n-1);
+    return ans;
+}
+```
+phi_table,类似于线性筛的做法
+
+```
+void phi_table(int n)
+{
+    memset(phi,0,sizeof(phi[0])*(n+5));
+    phi[1] = 1;
+    for(int i = 2 ; i<=n ; ++i)
+    {
+        if(!phi[i])//素数标记
+        {
+            for(int j = i ; j<=n ; j+=i)
+            {
+                if(!phi[j])phi[j] = j;
+                phi[j] = phi[j]/i*(i-1);
+            }
+        }
+    }
+}
+```
+
+#模运算
+##power_mod
+
+```
+LL power_mod(LL x,LL n,LL mod)
+{
+    LL res = 1;
+    while(n)
+    {
+        if(n&1)res = (res*x)%mod;
+        x = (x*x)%mod;
+        n>>=1;
+    }
+    return res;
+}
+
+```
+
+##大整数取模
+```
+LL big_mod(string val,LL mod)
+{
+    LL res = 0;
+    for(int i=0 ; i<val.length() ; ++i)
+    {
+        res = ((res)*10+val[i]-'0')%mod;
+    }
+    return res;
+}
+```
+##乘法逆元
+a在模n意义下的逆
+```c++
+LL inv(LL a,LL n){
+    LL x,y;
+    LL d = ex_gcd(a,n,x,y);
+    return d==1? (x+n)%n:-1;//非负性保证.
+}
+```

Diff for: math/模方程.md

@@ -0,0 +1,63 @@
+#摘要
+总结线性同余方程的相关性质,中国剩余定理,线性同余方程组.
+#线性同余方程
+求解形如
+$$
+ax\equiv b(mod\ n)
+$$
+我们证明这样的解有 $d = gcd(a,n)$ 个(在模 $n$ 的意义下). 形如 $x = x_0 + (n/d)*t,t = 0,1,2,...,d-1(取遍d的剩余系)$
+* 引理1
+
+    若 $ac\equiv bc(MOD\ m),且，gcd(c,m) =d,则,a\equiv b(MOD\ m/d)$
+
+    **证：**
+
+    $由m \big | c(a-b)，即m/d\ \big |\ c/d(a-b),而gcd(m/d,c/d) =1,所以 m/d\big |(a-b),$
+
+    即$a\equiv b(MOD m/d)$
+* 引理2**丢番图方程**
+
+    形如$ax+by=c,其中a,b,c,为整数，有整数解，当且仅当d = gcd(a,b) \big | c$，且，若$x_0,y_0为一组特解，则其所有解满足x = x_0+b/d*n,y = y_0-a/d*n$
+
+    **证明:**
+
+    不存在解的情况是很显然的,$由于 d \mid a,d\mid b,所以 d\mid ax+by,这与 d\nmid c矛盾$
+
+    若$x_0,y_0$,为他的一组特解(可以通过扩展gcd求出来)
+    将$x = x_0+b/d*n,y = y_0-a/d*n$ 带入可以发现这样的 $x,y$ 满足解。下证，他的任意解满足上式
+
+    $$
+    ax+by = c\\
+    ax_0+by_0 = c\\
+    $$
+    相减，我们可以得到
+    $$
+    a(x-x_0) = b(y_0-y)\\
+    a/d(x-x_0) = b/d(y_0-y)\\
+    $$
+    由于
+    $$
+    gcd(a/d,b/d) =1\\
+    $$
+    因此,
+    $$
+    b/d\mid (x-x_0)\\
+    $$
+    所以
+    $$
+    x = x_0+b/d*n
+    $$
+    同理可证$y$的情况
+* **线性同余方程的结论证明**
+
+    由于$ax\equiv b(MOD n),等价 ax+yn = b,(1)$,由丢番图方程的结论我们知道，(1)有解当且仅当$d=gcd(a,n)\mid b$ 并且 $解一定为 x = x_0+n/d*t$,他在模n意义下是有限的，下面我们来找两个解(MOD n)相等的条件.
+
+    设$x1 = x_0+n/d*t_1,x_2 = x_0+n/d*t2$,当他们同余的时候.
+
+    $$
+    \begin{align}
+    x_0+n/d*t_1&\equiv x_0+n/d*t2(MOD n)\\
+    n/d*(t_1-t_2)&\equiv 0(MOD n)\\
+    \end{align}
+    $$
+    由于$gcd(n/d,n)=n/d$,由引理1，我们的到$t_1\equiv t_2(MOD\ d)$,即当$t$取遍$d$的所有$d$同余类时$x$取遍所有解