添加线性同余方程组不互素的情况

Author: taotao

Diff for: math/模方程.md

@@ -82,3 +82,31 @@ $$
     唯一性
 
     假设有两个解$x_1,x_0$,则这两个解一定满足对于任意一个$j,x_0\equiv x_1\equiv a_j (MOD \ m_j),因此，m_j \mid (x_1-x_0),由于m_0,m_1,...,m_{n-1}两两互素，因此，M\mid (x_1-x_0)$
+#模数不同余的时候
+那么当$m_i$不两两互素的时候怎么办呢？我们先来看一个简单的例子.即解这样的方程的最小正剩余.
+$$
+\begin{align}
+x&\equiv r_1(MOD\ \ m_1)\\
+x&\equiv r_2(MOD\ \ m_2)\\
+&\vdots\\
+x&\equiv r_n(MOD\ \ m_n)\\
+\end{align}
+$$
+我们先来看一个简单的只有两个式子的情况.
+$$
+\begin{align}
+x&\equiv r_1(MOD \ \ m_1)\\
+x&\equiv r_2(MOD\ \ m_2)\\
+\end{align}
+$$
+我们有$x = k_1m_1+r_1 = k_2m_2+r_2$,即$k_1m_1-k_2m_2 = r_2-r_1$,由丢番图方程的结论这个方程有解当且仅当$gcd(m_1,m_2)\mid (r_2-r_1)$,下面我们来证明，它的解在$模[m_1,m_2](最小公倍数)的意义下是唯一的.$
+
+* **证:**
+
+    设$x_0 = k_1m_1+r_1$是原方程的一组解，则由上面的丢番图方程的结论我们知道另一个解一定是
+
+    $x_1=(k_1+m_2/d*n)m_1+r_1 = k_1m_1+r_1+m_1m_2/d*n$,所以说$x_1\equiv x_0(MOD\ \ [m_1,m_2])$
+
+当他推广到$n$个的情况下可以用数学方法证明，只要任意的$gcd(m_i,m_j)\mid r_i-r_j$就有唯一的一个模 $[m_1,m_2,\dots ,m_n]$ 的解
+
+不过在做计算机实现的时候大可不必如此[代码详见](https://github.com/DylanFrank/ACM_code/blob/master/math/%E6%95%B0%E8%AE%BA%E7%AE%97%E6%B3%95%E6%A8%A1%E6%9D%BF%E6%80%BB%E7%BB%93.md),我们可以基于递推的方式在 $o(n)$ 的时间复杂度内完成计算，并且需要注意的是用新的值来计算剩余而不是用累乘起来的公倍数，防止溢出.