Kurs in Computer-Simulation

Dieses Repository enthält Beispiele zum Thema Computer-Simulation, welche an der Fakultät für Technik und angewandte Naturwissenschaften (engl. School of Engineering) der Fachhochschule Oberösterreich entwickelt wurden. Die Beispiele verwenden

die Programmiersprache C# für die Umsetzung der Datenstrukturen und Algorithmen sowie
das Framework Windows Presentation Foundation (WPF) für die Erstellung grafischer Benutzerschnittstellen.

Des Weiteren verwenden wir für die Umsetzung der Beispiele einige vorgefertigte Bibliotheken, welche grundlegende Funktionen für Berechnung bereistellen. Die wichtigsten Bibliotheken sind

Math.NET Numerics für die Lösung linearer Gleichungssysteme,
SimSharp für die Simulation ereignisdiskreter Modelle,

Schließlich nutzen wir auch einige vorgefertige Bibliotheken für die Visualisierung der Daten, welche durch die Simulationsprogramme verwaltet und berechnet werden. Die wichtigsten Bibliotheken sind

ScottPlott für die Erstellung von Diagrammen, und
SharpGL für die Erstellung von 3D-Visualisierungen.

Der folgende Inhalt ist in drei Abschnitte untergliedert:

Modelle (Übersicht die Simulationsmodelle und -programme)
Vorlagen (Übersicht der Vorlagen für 2D- und 3D-Visualisierung)
Dokumente (Übersicht der Dokumente rund um das Repository und den Quelltext)

1. Modelle

Grundsätzlich kann man zwischen statischen und dynamischen Modellen unterscheiden:

Statische Modelle (Betrachtung eines einzelnen stabilen Systemzustands)
Dynamische Modelle (Betrachtung der Änderung des Systemzustands über die Zeit)

1.1. Statische Modelle

Statische Modelle betrachten Systemzustände, bei denen es ohne externe Einwirkung zu keiner Zustandsänderung kommt. Bei solchen Modellen sind typischerweise einige Zustandseigenschaften bekannt, andere jedoch nicht. Das Systemmodell beschreibt dann den Zusammenhang zwischen den bekannten und den unbekannten Zustandseigenschaften. Simulationsprogramme sind nun dafür verantwortlich, die unbekannten Zustandseigenschaften aus den bekannten zu berechnen.

Als Beispiel für statische Modelle betrachten wir im Folgenden das Konzept der Fachwerke aus der Bautechnik. Ein Fachwerk ist ein System bestehend aus Knoten, die über Stäbe miteinander verbunden sind. Des Weiteren sind einige der Knoten gelagert, d.h. deren Position im Raum ist fixiert. Dabei können entweder alle Richtungungen oder nur eine Teilmenge der Richtungen fixiert sein. Schließlich wirken auf die Knoten noch externe Kräfte in eine oder mehrere Richtungen.

Im Folgenden betrachten wir zwei Arten, wie Fachwerke modelliert werden können:

Ideales 2D-Fachwerk (die Länge der Stäbe ändert sich nicht unter Druck/Zug)
Elastisches 2D-Fachwerk (die Länge der Stäbe ändert sich unter Druck/Zug)

Ideales 2D-Fachwerk

Bei einem idealen Fachwerk ist die Annahme, dass es durch externe Kräfte zu keiner Verformung des Fachwerks kommt. Das heißt anders ausgedrückt, dass die Positionen der Knoten und die Längen der Stäbe unveränderlich sind. Die unbekannten Zustandseigenschaften sind somit die Stab- und Lagerkräfte, welche auf Stäbe und gelagerte Knoten wirken. Der Zusammenhang zwischen Stab- bzw. Lagerkräften und externen Kräften kann als lineares Gleichungssystem ausgedrückt werden. Das lineare Gleichungssystem kann mit Hilfe der Matrixinversion gelöst werden, welche z.B. die Bibliothek Math.NET Numerics implementiert.

Die folgende Grafik zeigt das Datenmodell des Programms für die Berechnung der Lager- und Stabkräfte eines einfachen zweidimensionalen Fachwerks. Über die Klasse Truss können Fachwerke inklusive der darin enthaltenen Knoten, Stäbe, Lager, und externen Kräfte definiert werden. Des Weiteren bietet die Klasse Truss die Methode Solve, welche mittels der Matrixinversion die Stab- und Lagerkräfte berechnet. Die Visualisierung erfolgt schließlich mit einem DataGrid sowie einem Canvas, welche die Windows Presentation Foundation (WPF) bereitstellt.

Elastisches 2D-Fachwerk

Bei einem elastischen Fachwerk kann sich die Länge der Stäbe durch die Einwirkung einer externen Kraft verändern. Das Modell muss dafür um die Elastizität sowie die Querschnittfläche der Stäbe erweitert werden. Die unbekannten Zustandseigenschaften sind in diesem Fall die Verschiebungen der ungelagerten Knoten sowie die Lagerkräfte, welche an den gelagerten Knoten wirken. Der Zusammenhang zwischen Verschiebungen bzw. Lagerkräften und externen Kräften kann wieder vereinfacht als lineares Gleichungssystem ausgedrückt werden. Die Lösung erfolgt auch wieder mittels Matrixinversion.

Die folgende Grafik zeigt das Datenmodell des Simulationsprogramms. Die Klasse Truss kann verwendet werden, um Fachwerke zu definieren. Mit der Methode AddNode(...) können dem Fachwerk neue Knoten hinzugefügt werden. Dabei müssen die initiale Knotenposition sowie die Lagerung und externe Kräfte angegeben werden. Mit der Methode AddRod(...) können dem Fachwerk hingegen neue Stäbe hinzugefügt werden. Dabei müssen die beiden verbundenen Knoten sowie die Elastizität und die Querschnittsfläche angegeben werden. Die Methode Solve() berechnet schließlich die Lagerkräfte und Knotenverschiebungen.

1.2. Dynamische Modelle

Dynamische Modelle betrachten nicht einen einzelen stabilen Systemzustand, sondern die Änderung des Systemzustands über die Zeit. Dafür muss in der Regel ein Startzustand sowie eine Zustandsübergangsfunktion gegeben sein. Die Simulation rechnet dann den Zustand des Systems gemäß der Zustandsübergangsfunktion weiter. Man kann grundsätzlich zwischen zwei Arten von Modellen unterschieden werden:

Zeitkontinuierliche Modelle (Modell beschreibt Zustand zu jedem Zeitpunkt)
Zeitdiskrete Modelle (Modell beschreibt Zustands nur zu ausgewählten Zeitpunkten)

1.2.1. Zeitkontinuierliche Modelle

Zeitkontinuierliche Modelle beschreiben den Zustand des Systems als kontinuierliche (d.h. stetige) Funktion über der Zeitdomäne. In der Regel sind bei dieser Art von Modellen der Startzustand (d.h. Konstanten) sowie die Veränderung des Zustands über die Zeit (d.h. dessen Ableitung nach der Zeit) bekannt. Um nun den Zustand des Systems zu einem gewissen Zeitpunkt zu berechnen, muss die Ableitung des Zustands folglich über die Zeit integriert werden.

In Ausnahmefällen können das Integral dabei analyntisch bestimmt und somit der Systemzustand exakt berechnet werden. Im Regelfall ist dies jedoch nicht möglich und das Integral muss näherungsweise mit numerischen Verfahren bestimmt werden. Die einfachsten numerischen Verfahren sind das explizite und das implizite Eulerverfahren, welche mit einer festen Schrittweite arbeiten. Die Größe dieser Schrittweite wirkt sich dabei direkt auf die Genauigkeit der Schätzung bzw. den numerischen Fehler aus.

Im Folgenden betrachten wir zwei Anwendungsbeispiele, die sich in ihrer Komplexität leicht unterscheiden und für welche die analytischen Lösungen bereits bekannt sind:

1D-Ballwurf (Anfangsgeschwindigkeit, Anfangsposition und Erdbeschleunigung)
1D-Federpendel (Federkonstante, Anfangsbeschleinigung, Anfangsgeschwindigkeit und Anfangsposition)

1D-Ballwurf

Beim ersten Beispiel betrachten wir den senkrechten Wurf eines Balles. Die Zustandseigenschaften sind dabei die Position und die Geschwindigkeit des Balles. Die Beschleunigung des Balles ist hingegen konstant (und gleich der Erdbeschleunigung). Die Geschwindigkeit des Balles ergibt sich somit aus der Anfangsgeschwindigkeit sowie der Integration der Beschleunigung über die Zeit. Die Position des Balles ergibt sich hingegen aus der Anfangsposition sowie der Integration der Geschwindigkeit über die Zeit.

1D-Federpendel

Beim zweiten Beispiel betrachten wird die Schwingung einer gefederten Masse. Die Zustandseigenschaften sind dabei die Position, die Beschleunigung, und die Geschwindigkeit der Masse sowie die auf die Masse einwirkende Federkraft. Die Masse selbst sowie die Federkonstante sind hingegen unveränderlich. Die numerische Integration mit dem expliziten Eulerverfahren erfolgt analog zum vorigen Beispiel. Die numerische Integration mit dem impliziten Eulerverfahren ist hingegen etwas komplizierter, weil die Geschwindigkeit von der Position und die Position von der Geschgwindigkeit abhängen. Aus diesem Grund muss für das implizite Eulerverfahren ein lineares Gleichungssystem gelöst werden, welches Position, Federkraft, Beschleunigung, und Geschwindigkeit in Beziehung setzt.

1.2.2. Zeitdiskrete Modelle

Bei den zeitdiskreten Modellen können wieder zwei Arten unterschieden werden, die diskreten Zeitschritte durchzuführen:

Fester Zeitschritt (TODO)
Variabler Zeitschritt (TODO)

1.2.2.1. Fester Zeitschritt

Kommt demnächst.

1.2.2.2. Variabler Zeitschritt

TODO

Warteschlange (TODO)

Warteschlange

TODO

2. Vorlagen

Das Repository enthält auch ein paar Vorlagen, welche du für die Entwicklung deiner eigenen Simulationsprogramme verwenden und auf deine Bedürfnisse anpassen kannst:

2D-Visualisierung mit WPF und ScottPlot
3D-Visualisierung mit WPF und SharpGL

2.1. 2D-Visualisierung mit WPF und ScottPlot

Dieses Beispiel zeigt dir, wie du einfache 2D-Diagramme in deinen Simulationsprogrammen erstellen und anzeigen kannst. Das Beispiel nutzt dafür das Microsoft WPF Framework für allgemeine grafische Benutzeroberflächen sowie ScottPlot für Diagrammvisualisierungen.

2.2. 3D-Visualisierung mit WPF und SharpGL

Manchmal kann es auch hilfreich sein, 3D-Visualisierungen (z.B. des Systemzustands) in deine Simulationsprogramme zu integrieren. Dieses Beispiel zeigt dir, wie du solche Visualisierungen mit SharpGL in deine WPF-Anwendungen einfach integrieren kannst.

Bei SharpGL kannst du die 3D-Visualisierungen in Form eines Szenengraphen einfach definieren. Ein Szenengraph beschreibt den Inhalt einer 3D-Visualisierung in Form von Objekten und deren Zusammenhängen. Die folgende Grafik zeigt die Klassen, aus welchen sich ein Szenengraph bei SharpGL zusammensetzt, und deren Beziehungen.

3. Dokumente

Hier sind noch ein paar wichtige Dokumente für jeden, der die Beispiele aus diesem Repository gerne nutzen möchte:

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ghackenberg/kurs-computer-simulation

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