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3.4 节的练习

3.4.1

给出识别练习 3.3.2 中各个正则表达式所描述的语言状态转换图。

解答

解答步骤:NFA -> DFA -> 最少状态的 DFA(状态转换图)

  1. a(a|b)*a

    NFA:

    3 4 1-1-nfa

    DFA:

    NFA DFA a b
    {0} A B
    {1,2,3,5,8} B C D
    {2,3,4,5,7,8,9} C C D
    {2,3,5,6,7,8} D C D

    3 4 1-1-dfa

    最少状态的 DFA(状态转换图):

    合并不可区分的状态 B 和 D

    3 4 1-1

  2. ((ε|a)b*)*

    3 4 1-2

  3. (a|b)*a(a|b)(a|b)

    NFA:

    3 4 1-3-nfa

    DFA:

    NFA DFA a b
    {0,1,2,4,7} A B C
    {1,2,3,4,6,7,8,9,11} B D E
    {1,2,4,5,6,7} C B C
    {1,2,3,4,6,7,8,9,10,11,13,14,16} D F G
    {1,2,4,5,6,7,12,13,14,16} E H I
    {1,2,3,4,6,7,8,9,10,11,13,14,15,16,18} F F G
    {1,2,4,5,6,7,12,13,14,16,17,18} G H I
    {1,2,3,4,6,7,8,9,11,15,18} H D E
    {1,2,4,5,6,7,17,18} I B C

    最少状态的 DFA(状态转换图):

    合并不可区分的状态 A 和 C

    3 4 1-3

  4. a*ba*ba*ba*

    3 4 1-4

3.4.2

给出识别练习 3.3.5 中各个正则表达式所描述语言的状态转换图。

3.4.3

构造下列串的失效函数。

  1. abababaab
  2. aaaaaa
  3. abbaabb

解答

代码详见:src/failure-function.js

  1. [ 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2 ]
  2. [ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ]
  3. [ 0, 0, 0, 1, 1, 2, 3 ]

3.4.4 !

对 s 进行归纳,证明图 3-19 的算法正确地计算出了失效函数。

图 3-19:计算关键字 b_1b_2…b_n 的失效函数

01  t = 0;
02  f(1) = 0;
03  for (s = 1; s < n; s ++){
04      while( t > 0 && b_s+1 != b_t+1) t = f(t);
05      if(b_s+1 == b_t+1){
06          t = t + 1;
07          f(s + 1) = t;
08      }else{
09          f(s + 1) = 0;
10      }
11  }

证明

  1. 已知 f(1) = 0
  2. 在第 1 次 for 循环时,计算 f(2) 的值,当第5行代码 b_2 == b_1 成立时,代码进入到第7行得出 f(2) = 1,不成立时,则代码进入第9行得出 f(2) = 0。显然,这次循环正确的计算出了 f(2) 。
  3. 假设在第 i-1 次进入循环时,也正确的计算出了 f(i),也有 f(i) = t (无论 t 是大于 0 还是等于 0)
  4. 那么在第 1 次进入循环时,分两种情况进行考虑:
    1. t == 0

      这种情况比较简单,直接从第 5 行开始,当 b_i+1 == b_1 时,f(i+1) = 1,否则 f(i+1) = 0

    2. t > 0 while 循环会不断缩小 t 值,试图找出最大可能的使得 b_i+1 == b_t+1 成立的 t 值,如果找到了,则进入第 5 行执行,得到 f(i+1) = t+1;或者直到 t == 0 时也没有找到,则跳出循环,这时进入第 5 行执行,过程类似于前一种情况。

3.4.5 !!

说明图 3-19 中的第 4 行的复制语句 t = f(t) 最多被执行 n 次。进而说明整个算法的时间复杂度是 O(n),其中 n 是关键字长度。

解答

详见 matrix 的博文 KMP算法详解

3.4.6

应用 KMP 算法判断关键字 ababaa 是否为下面字符串的子串:

  1. abababaab
  2. abababbaa

解答

代码详见:src/failure-function.js

  1. true
  2. false

3.4.7 !!

说明图 3-20 中的算法可以正确的表示输入关键字是否为一个给定字符串的子串。

图 3-20:KMP 算法在 O(m + n) 的时间内检测字符串a_1a_3...a_n 中是否包含单个关键字 b1b2...bn

s = 0;
for(i = 1; i <= m; i ++){
    while(s > 0 && a_i != b_s+1) s = f(s);
    if(a_i == b_s+1) s = s + 1;
    if(s == n) return "yes";
}
return "no";

3.4.8

假设已经计算得到函数 f 且他的值存储在一个以 s 为下标的数字中,说明图 3-20 中算法的时间复杂度为 O(m + n)。

解答

详见 matrix 的博文 KMP算法详解

3.4.9

Fibonacci 字符串的定义如下:

  1. s1 = b
  2. s2 = a
  3. 当 k > 2 时, sk = sk-1 sk-2

例如:s3 = ab, s4 = aba, s5 = abaab

  1. sn 的长度是多少?
  2. 构造 s6 的失效函数。
  3. 构造 s7 的失效函数。
  4. !! 说明任何 sn 的失效函数都可以被表示为:f(1) = f(2) = 0,且对于 2 < j <= |sn|, f(j) = j - |sk-1|,其中 k 是使得 |sk| <= j + 1 的最大整数。
  5. !! 在 KMP 算法中,当我们试图确定关键字 sk 是否出现在字符串 sk+1 中,最多会连续多少次调用失效函数?

解答

  1. 维基百科

  2. s6 = abaababa

    failure = [ 0, 0, 1, 1, 2, 3, 2, 3 ]

  3. s7 = abaababaabaab

    failure = [ 0, 0, 1, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 5 ]