fix hydro2

Hydro/hydro2.tex

@@ -141,7 +141,7 @@ \subsection{Milieux continus (L. Euler, 1757, "Sur le mouvement des fluides")}
 
 On part du potentiel $$\Phi_{LJ}(r) = 4U[(\frac{r_0}{r})^{12} - (\frac{r_0}{r})^6]$$ et on le perturbe.
 
-$$ \Phi_{LJ}(r_e + \delta r) = -U + 0 + \frac{1}{2} (\delta r )^2 \derp{ ^2 \Phi_{LJ}}{r^2} \quad k_0 \approx \frac{U}{r_0^2}$$ où $k_0$ est la raideur du ressort qui modélise le lien entre deux molécules. 
+$$ \Phi_{LJ}(r_e + \delta r) = -U + 0 + \frac{1}{2} (\delta r )^2 \derp{2}{ \Phi_{LJ}}{r} \quad k_0 \approx \frac{U}{r_0^2}$$ où $k_0$ est la raideur du ressort qui modélise le lien entre deux molécules. 
 
 Remarque sur l'agitation thermique. $$\delta r_{kT} \approx \sqrt{kT \frac{r_0^2}{U}} \quad \frac{\delta r_{kT}}{r_0} = \sqrt{\frac{kT}{U}}$$
 
@@ -247,9 +247,9 @@ \subsection{Approche lagrangienne}
 où $\Derp{A}{t}$ est la dérivée lagrangienne (utile pour les lois de conservation), $\derp{A}{t}$ est le terme instationnaire, et $ \grad A \vec{U}$ est le terme convectif.
 
 \begin{figure}%
-\includegraphics[width=\columnwidth]{exemple_3.3.png}%
+\includegraphics[width=\columnwidth]{exemple_3-3.png}%
 \caption{Si on aspire l'air par le cône.}%
-\label{exemple_3.3.png}%
+\label{exemple_3-3.png}%
 \end{figure}
 
 $$ \Derp{U}{t} = \frac{U(x + \ud x ) ( U(x)}{\ud x/U} = U \derp{U}{x}$$
@@ -285,7 +285,7 @@ \subsection{Approche lagrangienne}
 
 \begin{align}
 	\ud \vec{x}' &= \ud x + \bbar{grad U } \ud \vec{x} \delta t \\
-	\bbar{grad U) &= \frac{1}{2}( \bbar{grad U} + ^t \bbar{grad U }) + \frac{1}{2} \bbar{grad U - ^t \bbar{grad U }}\\
+	\bbar{grad U} &= \frac{1}{2}( \bbar{grad U} + ^t \bbar{grad U }) + \frac{1}{2} \bbar{grad} U - t \bbar{grad U }\\
 	&= \bbar{E} + \bbar{R}	
 \end{align}
 
@@ -304,7 +304,7 @@ \subsection{Approche lagrangienne}
 
 On définit la notation : 
 
-$$ U_{ij} = \derp{U_i}{x_j}\delta t
+$$ U_{ij} = \derp{U_i}{x_j}\delta t$$
 
 En deux dimensions : 
 
@@ -316,15 +316,15 @@ \subsection{Approche lagrangienne}
 \end{align}
 
 Pour l'extension en 2D :  
- $$	\bbar{E} &= \frac{1}{2} Tr[\bbar{1}] + (\bbar{E} - \frac{1}{2}Tr[\bbar{1}]$$
+ $$	\bbar{E} = \frac{1}{2} Tr[\bbar{1}] + (\bbar{E} - \frac{1}{2}Tr[\bbar{1}]$$
  Pour l'extension en 3D : 
  $$ \bbar{E} = \frac{1}{3} Tr[\bbar{1}] + ( \bbar{E} - \frac{1}{3} Tr[\bbar{1}])  $$
 
  \paragraph{exemple}
 
- \begin{figure}%
-\includegraphics[width=\columnwidth]{exemple_3.4_dilate.png}%
-\includegraphics[width=\columnwidth]{exemple_3.4_deforme.png}
+\begin{figure}%
+\includegraphics[width=0.48\columnwidth]{exemple_3-4_dilate.png}
+\includegraphics[width=0.48\columnwidth]{exemple_3-4_deforme.png}
 \caption{}%
 \label{exemple_3.4}%
 \end{figure}
@@ -341,7 +341,7 @@ \subsection{Approche lagrangienne}
 \begin{align}
 		\ud \vec{x'_1} &= \begin{matrice}{c} \ud x'_{11} \\ x'_{12} \end{matrice} \\
 		&= \begin{matrice}{c} \ud x_1 \\ 0 \end{matrice} + \begin{matrice}{cc} B & E_{12} \\ E_{12} & -B \end{matrice} \begin{matrice}{c} \ud x_1 \\ 0 \end{matrice} \\
-		&= \begin{matrice}{c} (1 + B)\ud x_1 \\ E_{12}\ud x_1 \\
+		&= \begin{matrice}{c} (1 + B)\ud x_1 \\ E_{12}\ud x_1 \end{matrice}\\
 		\ud \vec{x'_2}\begin{matrice}{c} \ud x'_{21} \\ x'_{22} \end{matrice} \\
 		&= \begin{matrice}{c} 0 \\ \ud x_2 \end{matrice} + \begin{matrice}{cc} B & E_{12} \\ E_{12} & -B \end{matrice} \begin{matrice}{c} 0 \\ \ud x_2 \end{matrice} \\
 		&= \begin{matrice}{c}E_{12}\ud x_2  \\(1 + B)\ud x_2  \end{matrice} 
@@ -398,7 +398,7 @@ \subsection{\'Equation de Navier-Stokes}
 \end{equation}
 
 \subsection{La limite incompressible}
-$$C^2 = \derp{p}{\rho}\right|_s \quad \Rightarrow \quad \delta p \approx \frac{1}{C^2}\delta p $$
+$$C^2 = \left.\derp{p}{\rho}\right|_s \quad \Rightarrow \quad \delta p \approx \frac{1}{C^2}\delta p $$
 $$\delta p \approx \rho U^2$$
 donc $$\frac{\delta \rho}{\rho} \approx \left(\frac{U}{C}\right)^2 = M_a^2$$
 où $M_a = \frac{U}{C}$ est le nombre de Mach. 
@@ -422,7 +422,7 @@ \part{\'Ecoulements visqueux}
 \begin{itemize}
 	\item sur la vitesse (condition de non-glissement de Navier) $$\vec{u}_{\txt{fluide/paroi}} = \vec{v}_{\txt{paroi}}$$
 	Exceptions : les écoulements de gaz dilué (il peut y avoir glissement à la paroi), polymères, fluides non mouillants
-	\item sur les contraintes (à la traversée d'une interface entre deux fluides, on doit écrire la continuité de la contrainte de cisaillement : $$ \eta_1 \derp{u_{1x}}{y} = \eta_2 \derp{u_{2x}}{y}$$ Cas particulier d'une surface libre $$\derp{u_{libre}}{y}\right|_{\txt{interface}}=0$$
+	\item sur les contraintes (à la traversée d'une interface entre deux fluides, on doit écrire la continuité de la contrainte de cisaillement : $$ \eta_1 \derp{u_{1x}}{y} = \eta_2 \derp{u_{2x}}{y}$$ Cas particulier d'une surface libre $$\left.\derp{u_{libre}}{y}\right|_{\txt{interface}}=0$$
 	\item Saut de pression et de contrainte normale à la traversée d'une interface courbe (équation de Laplace). 
 \end{itemize}