From 9a5b9cec3777dc5b358888e24a71b6f6fd80178e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Darakuu Date: Tue, 23 Jan 2024 02:19:06 +0100 Subject: [PATCH] Invariante del colore --- content/Minimum Spanning Tree.md | 42 +++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 41 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/content/Minimum Spanning Tree.md b/content/Minimum Spanning Tree.md index 2c3a57b..ce6d1b7 100644 --- a/content/Minimum Spanning Tree.md +++ b/content/Minimum Spanning Tree.md @@ -77,4 +77,44 @@ Durante l'esecuzione del processo di colorazione vale la: > [!def] Definizione -> Ad ogni passo della procedura di colorazione esiste un MST contente **tutti** gli archi $\textcolor{royalblue}{blu}$ e **nessun** arco $\textcolor{red}{rosso}$ +> Ad ogni passo della procedura di colorazione esiste un MST contenente **tutti** gli archi $\textcolor{royalblue}{blu}$ e **nessun** arco $\textcolor{red}{rosso}$. + + +> [!tldr] Teorema +> Ogni esecuzione del processo di colorazione colora **tutti** gli archi mantenendo l'invariante del colore. + + +> [!tldr] Corollario con DIM +> Alla fine della procedura di colorazione, l'insieme degli archi $\textcolor{royalblue}{blu}$ forma un MST  +> +> Dimostrazione +> - Sia $E'$ l'insieme degli archi blu alla fine del processo, +> - Sia $T=(V,E'')$ un MST tale che $E'\subseteq E''$ (che esiste grazie all'invariante del colore), +> - Poiché $E''$ non contiene alcun arco rosso, si ha anche il viceversa, cioè $E''\subseteq E' \implies E'=E''$ +> - Quindi $(V,E')$ è un MST $\blacksquare$ + +Verifichiamo che l'invariante d el colore è mantenuto dopo ogni passo di colorazione, per induzione.  + +- Inizialmente l'invariante del colore è banalmente verificato, in quanto non ci sono nè archi blu, nè archi rossi. +- **Ipotesi Induttiva:** Sia $T=(V,E')$ un MST che contiene **tutti** gli archi blu al passo $k$, e nessun arco rosso +  + +Passo k+1 $\textcolor{royalblue}{blu}$   + +Caso: il passo $k+1$ colora di $\textcolor{royalblue}{blu}$ l'arco $e=(u,v)$ che attraversa il taglio $(V_{1},V_{2})$ privo di archi blu.  + +- Se $e \in T, T$ verifica l'invariante del colore anche al passo $k+1$. +- Se $e \notin T$, si consideri il cammino in $T$ da $u$ a $v$. + - Sia $(u,v_{1})$ un arco su tale cammino che attraversa il taglio $(V_{1},V_{2})$. Esso è **non colorato**. +- Si consideri ora $T'$ tale che: + - $\mathcal{E}[T']=(\mathcal{E}[T]\backslash\{(u_{1},v_{1})\})\cup\{(u,v)\}$ +- Poichè $w(u,v)\leq w(u_{1},v_{1})$ si ha $w(T')\leq w(T)\leq w \implies \textbf{w(T')\ =\ w(T)}$ +  + +Cioè $T'$ è un MST contenente **tutti** gli archi blu al passo $k+1$.  + +Passo k+1 $\textcolor{red}{rosso}$  + +Caso: il passo k+1 colora di $\textcolor{red}{rosso}$ l'arco $e=(u_{1},u_{2})$ relativo al ciclo semplice $(u_{1},u_{2},\dots,u_{r},u_{r+1}=u_{1})$  + +- Se WORKINPROGRESS \ No newline at end of file