From 4034b42d908ddd19450529dcd91dbb39f36fc636 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Darakuu Date: Mon, 12 Feb 2024 22:22:35 +0100 Subject: [PATCH] Fine prima draft Dualita, Inizio scarti complementari, 13 out of 25 --- "content/Dualit\303\240.md" | 11 ++++++++++- content/Scarti Complementari.md | 20 ++++++++++++++++++++ 2 files changed, 30 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git "a/content/Dualit\303\240.md" "b/content/Dualit\303\240.md" index 10ee851..6028163 100644 --- "a/content/Dualit\303\240.md" +++ "b/content/Dualit\303\240.md" @@ -88,7 +88,7 @@ Allora $y^Tb\leq c^Tx$ Significato: -> [!tldr] Teorema della Dualità debole +> [!def] Teorema della Dualità debole > - La funzione obiettivo primale è un **upper bound** per il valore ottimo duale; > - La funzione obiettivo duale è un **lower bound** per il valore ottimo primale; @@ -108,3 +108,12 @@ Riassunto dei possibili casi in una tabella: | Ottimo Finito | $\large\textcolor{lightgreen}{\checkmark}$ | $\large\textcolor{red}{\times}$ | $\large\textcolor{red}{\times}$ | | Illimitato | $\large\textcolor{red}{\times}$ | $\large\textcolor{red}{\times}$ | $\large\textcolor{lightgreen}{\checkmark}$ | | Inammissibile | $\large\textcolor{red}{\times}$ | $\large\textcolor{lightgreen}{\checkmark}$ | $\large\textcolor{lightgreen}{\checkmark}$ | + +## Teorema della Dualità Forte + + +> [!def] Teorema della dualità forte +> Se uno dei due problemi primale o duale ha ottimo finito allora anche l'altro ha ottimo finito, e i valori ottimi delle funzioni obiettivo coincidono. +> Se uno dei due problemi è illimitato, l'altro è inammissibile. + +Continua in [[Scarti Complementari]] diff --git a/content/Scarti Complementari.md b/content/Scarti Complementari.md index f6287e2..ada6efa 100644 --- a/content/Scarti Complementari.md +++ b/content/Scarti Complementari.md @@ -4,3 +4,23 @@ tags: - Ottimizzazione/ProgLineare - Ottimizzazione/Dualita --- +# Scarti Complementari + +Siano dati i problemi primale-duale: + +$$ +\begin{align} +& & minC^Tx & \qquad & max\ y^Tb & \\ +& (P) & Ax \geq b & \qquad & y^TA\leq c^T &\qquad (D) \\ +& & x\geq 0 & \qquad & y\geq 0 & +\end{align} +$$ + +Siano $\bar{x}$ ammissibile per (P) e $\bar{y}$ ammissibile per (D). + +$\bar{x},\bar{y}$ sono soluzioni ottime $\iff$ soddisfano le condizioni: +- $\bar{y}^T(Ax-b)=0\leftarrow$ $m$ relazioni +- $(y^TA-c^T)\bar{x}=0\leftarrow$ $n$ relazioni + +Abbiamo un sistema di $n+m$ equazioni. +