From cf6d00873d08a7d6ee9041ae32087f33a669f0a9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Darakuu Date: Sat, 10 Feb 2024 02:55:29 +0100 Subject: [PATCH] Geometria Programmazione Lineare. 5 out of 25 Aka carrellata di definizioni --- .../Algebra della programmazione lineare.md | 11 ++ content/Forma Standard.md | 5 - .../Geometria della programmazione lineare.md | 108 ++++++++++++++++++ content/Programmazione Lineare.md | 1 + content/index.md | 2 +- 5 files changed, 121 insertions(+), 6 deletions(-) delete mode 100644 content/Forma Standard.md diff --git a/content/Algebra della programmazione lineare.md b/content/Algebra della programmazione lineare.md index e69de29b..63874d63 100644 --- a/content/Algebra della programmazione lineare.md +++ b/content/Algebra della programmazione lineare.md @@ -0,0 +1,11 @@ +--- +tags: + - Ottimizzazione + - Ottimizzazione/ProgLineare + - Algoritmi/SecondaProva +--- +Cerchiamo di esprimere il concetto di vertice in modo algebrico, sfruttando la struttura di vincolo. + +# Forma Standard + +Si dice Forma Standard di un problema di PL, il problema scritto nella forma: \ No newline at end of file diff --git a/content/Forma Standard.md b/content/Forma Standard.md deleted file mode 100644 index dc33ecbc..00000000 --- a/content/Forma Standard.md +++ /dev/null @@ -1,5 +0,0 @@ ---- -tags: - - Ottimizzazione - - Ottimizzazione/ProgLineare ---- diff --git a/content/Geometria della programmazione lineare.md b/content/Geometria della programmazione lineare.md index e69de29b..844fba3c 100644 --- a/content/Geometria della programmazione lineare.md +++ b/content/Geometria della programmazione lineare.md @@ -0,0 +1,108 @@ +--- +tags: + - Ottimizzazione + - Ottimizzazione/ProgLineare +--- +Mettiamo in luce le proprietà geometriche della regione ammissibile. + + +> [!def] Iperpiano +> L'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare in $n$ variabili. +> $\text{iperpiano }\to\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots+a_{n}x_{n}=b$ + + +> [!def] Semispazio +> L'insieme delle soluzioni di una disequeazione lineare in n variabili. +> $\text{semispazio}\to a_{1}z_{1}+a_{2}x_{2}+\dots+a_{n}x_{n} \gtreqless b$ + + +O, per riassumere: + +| $\mathbb{R}^2$ | $\mathbb{R}^n$ | +| :--: | :--: | +| retta | iperpiano | +| semipiano | semispazi | +## Problema di PL + +$$ +\begin{align} +min( & c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots+c_{n}x_{n}) \\ +& a_{11}x_{1}+\dots+a_{1n}x_{n}\gtreqqless b_{1} \\ +& a_{21}x_{1}+\dots+a_{2n}x_{n}\gtreqqless b_{2} \\ +& \dots \\ +& a_{m1}x_{1}+\dots+a_{mn}x_{n}\gtreqqless b_{m} \\ +& x_{1},\dots,x_{n} \in \mathbb{R} +\end{align} +$$ +  + +Sistema di equazioni e diseguazioni lineari in $n$ variabili $\to$ intersezione di iperpiani e semispazi chiusi.  + + + +> [!def] Poliedro +> Intersezione di un numero finito di iperpiani e semispazi chiusi. +> Alias: un insieme convesso (vedi sotto) + + +> [!def] Combinazione convessa +> Sia $x,y \in \mathbb{R}^n$, è il punto $z=\lambda x+(1-\lambda)y$ con $\lambda \in [0,1]$ +> Propria $\iff \lambda \in \ ]0,1[$ + +- La combinazione convessa di 2 punti dà il segmento che ha per estremi i due punti considerati; +- La combinazione convessa di 3 punti dà il triangolo + +> [!def] Combinazione convessa generale +> Siano $x^1,\dots,x^m \in \mathbb{R}^n$, il punto $z=\displaystyle\sum^m_{i=1}\lambda_{i}x^i$ si chiama combinazione convessa di questi punti. +> Con $\lambda_{i}\geq 0$ e la somma di tutti i $\lambda_{i}=1$ + + +> [!def] Insieme convesso +> Un insieme $k \subseteq \mathbb{R}^n$ si dice convesso se $\forall x,y \in k$ anche il punto $z$ appartiene a $k$ +> Cioè dati due punti di k, il segmento ottenuto è tutto convenuto in $k$. + + +> [!def] Vertice +> Un Vertice di un poliedro è un punto che **non** può essere espresso come combinazione convessa **propria** (cioè con $\lambda \in\ ]0,1[$) di altri punti del poliedro. +> Un Vertice è un estremo di un segmento $\to$ non può trovarsi "dentro" un segmento generato da altri punti. + + +> [!tldr] Per riassumere +> - La regione ammissibile di un problema di [[Problemi di Ottimizzazione#Programmazione Lineare|PL]] è un poliedro $\to$ è convessa; +> - I problemi di PL sono problemi convessi $\to$ Gli ottimi locali sono globali. + + +## Teorema Fondamentale della PL + +Dato il problema: + +$$ +\begin{align} \\ + +& minC^Tx \\ +& Ax \leq b\\ +& x\geq 0 +\end{align} +$$ + +Se ha una soluzione ottima, allora esiste un vertice ottimo.  + + +Conseguenza: La soluzione ottima va cercata fra i vertici + + + +> [!question] Esistono sempre vertici? +> Risulta che un poliedro ha vertici $\iff$ non contiene rette. +> C'è una **sola situazione** nella quale la regione ammissibile non ha vertici, contiene rette, e ha soluzioni ottime. + +$$ +\begin{align} +max(& x_{1}+x_{2}) \\ +& x_{1}+x_{2}\geq 1 \\ + & x_{1}+x_{2}\leq 2 +\end{align} +$$ +Il poliedro è una **striscia**.  + +Ci sono $\infty$ soluzioni ottime che sono tutti i punti della retta $x_{1}+x_{2}=2$, e quindi il valore ottimo della funzione obiettivo è 2. diff --git a/content/Programmazione Lineare.md b/content/Programmazione Lineare.md index 2ca5dce5..a3da524b 100644 --- a/content/Programmazione Lineare.md +++ b/content/Programmazione Lineare.md @@ -2,6 +2,7 @@ tags: - Ottimizzazione - Ottimizzazione/FirstItinere +draft: true --- # Classificazione dei Problemi diff --git a/content/index.md b/content/index.md index 850d1663..d55745a4 100644 --- a/content/index.md +++ b/content/index.md @@ -15,7 +15,7 @@ Questa pagina funge da indice. - [[Metodo Grafico per la programmazione Lineare]] - [[Geometria della programmazione lineare]] - [[Algebra della programmazione lineare]] - - [[Forma Standard]] + - [[Algebra della programmazione lineare#Forma Standard|Forma Standard]] - [[Metodo del Simplesso]] - [[Dualità]]