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La Brachistochrone Réelle, un super TIPE sur les toboggans
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Toboggan

Voici le code source de mon TIPE, ainsi que les fichiers déposés sur le site SCEI.

L'objectif de ce TIPE est de trouver une solution au problème de la brachistochrone dans le cas où l'expression des frottements est trop complexe pour une résolution analytique. Pour cela, j'ai développé un algorithme à mi-chemin entre les algorithmes génétiques et les algorithmes déterministes, que vous trouverez dans le fichier toboggan.py.

toboggan.py

C'est l'unique fichier de code, il s'utilise directement dans une console :

# Calcule le toboggan optimal pour le dé pendant 60 secondes
python toboggan.py
# Calcule pendant 5 minutes (300 secondes)
python toboggan.py 300
# Exporte la figure au format svg (dans le fichier toboggan.svg)
python toboggan.py 300 svg

Recherche du toboggan optimal pour le dé

Les forces exercées sur le mobile pour le calcul du toboggan optimal se trouvent ligne 346. Vous pouvez utiliser n'importe quelles forces dépendantes de l'inclinaison et de la vitesse :

# Aucun frottement (pour la recherche de la brachistochrone) :
def appliquer_pfd(x, y):
    g_sin_theta = 9.81 * y / (y*y + x*x) ** 0.5
    # Renvoie la dérivée de la vitesse v exprimée en fonction d'elle-même
    return lambda v: g_sin_theta

# Frottement solide uniquement :
f = 0.32
def appliquer_pfd(x, y):
    g_sin_theta = 9.81 * y / (y*y + x*x) ** 0.5
    fg_cos_theta = f * 9.81 * x / (y*y + x*x) ** 0.5
    # Renvoie la dérivée de la vitesse v exprimée en fonction d'elle-même
    return lambda v: g_sin_theta - fg_cos_theta

Toutes les combinaisons sont possibles. La combinaison par défaut est dv/dt = gsinθ − 0.3263gcosθ − 0.0026v − 0.4748v², ce qui correspond à un dé en plastique classique (6 faces gravées, 18 mm, 7 g).

Voici les animations respectives des deux exemples ci-dessus :

Recherche de la brachistochrone

Recherche du toboggan optimal pour les frottements solides

Présentation

Pour créer le pdf de la présentation, vous aurez besoin de :

Dans une console dans le dossier presentation/ tapez simplement :

marp slides.md -o slides.pdf

Remerciements

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