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Hi #8

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3 participants

@nm4d

Seit ich begonnen habe mit LaTeX zu Arbeiten haben mir viele Mitstudenten gesagt ich sollte doch am besten meine Veränderungen an den ZF auf GitHub contributen. Ich habe mich in letzter Zeit ein bisschen darin eingelesen und habe die basics nun ein bisschen drin. Ich habe jetzt einmal einige Repositories geforkt und jetzt in dieser ZF kleine übersichtliche Änderungen gemacht. Ich würde in Zukunft gerne noch weiter an unseren ZF Arbeiten wenn ich Verbesserungsmöglichkeiten sehe.
Ich habe auch einige Mails geschickt betreffend Sources der ET-Zusammenfassungen der Vertiefungsmodule, einige sind nun auch noch auf GitHub geladen worden und in einigen sind Verbesserungen angebracht!

Gruss

nm4d added some commits
@nm4d nm4d R_{X} in R_{XX} geändert 83e6752
@nm4d nm4d Einige kleine Änderungen für bessere Übersicht, Tabellen mit Rändern …
…etc. in Tabellen mit mehreren Zeilen in einer Zelle ist \newline besser als \ und &
811bf0c
@nm4d

Ich habe auch offizielle Erlaubnis die LeistEl ZF hier zu veröffentlichen, habe schon ein wenig daran gearbeitet, vor allem die Dokumentstruktur ein wenig aufgebessert, es muss aber noch einiges getan werden.

@dkoeppel dkoeppel merged commit bcd0e7f into HSR-Stud:master
@dbrgn
HSR - Studenten member

Cool, danke! Wenn du das Gefühl hast, du kennst dich mit dem LaTeX / Git Zeug gut genug aus, kannst du auch direkt Schreib-Zugriff auf die Repositories deines Studiengangs haben.

@nm4d
@dbrgn
HSR - Studenten member

Ah, anscheinend bist du schon im E team.

@nm4d
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Commits on Mar 30, 2013
  1. @nm4d

    R_{X} in R_{XX} geändert

    nm4d committed
  2. @nm4d

    Einige kleine Änderungen für bessere Übersicht, Tabellen mit Rändern …

    nm4d committed
    …etc. in Tabellen mit mehreren Zeilen in einer Zelle ist \newline besser als \ und &
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  1. +1 −1 header
  2. +52 −39 sections/07_RandomProcess.tex
2 header
@@ -1 +1 @@
-Subproject commit bb706d2b5cbcab84a47b66a407e9ec333b611040
+Subproject commit d4d9e7050b3cd09597f759e5c0de1dd185a68a03
View
91 sections/07_RandomProcess.tex
@@ -95,8 +95,8 @@ \subsubsection{Streng Stationär (SSS - Strict Sense Stationary)}
\mathbb{R})$$
% Es gelten folgende Beziehungen: \\
% $$E[X(t)] = \mu_{X} \qquad \qquad
-% R_{XX}(t_{1},t_{2}) = R_{X}(\tau),\quad \text{ mit } \tau = t_{2} - t_{1} \qquad \qquad
-% C_{XX}(t_{1},t_{2}) = R_{X}(\tau) - \mu_{X}^{2}$$
+% R_{XX}(t_{1},t_{2}) = R_{XX}(\tau),\quad \text{ mit } \tau = t_{2} - t_{1} \qquad \qquad
+% C_{XX}(t_{1},t_{2}) = R_{XX}(\tau) - \mu_{X}^{2}$$
\subsubsection{Schwach Stationär (WSS - Wide Sense Stationary) - Stationarität 2. Ordnung}
Bei einem schwach stationären Prozess sind die statistischen Eigenschaften zwar
@@ -106,14 +106,18 @@ \subsubsection{Schwach Stationär (WSS - Wide Sense Stationary) - Stationarität
\mathbb{R})$$
%Zudem gilt:\\
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
-\begin{tabular}[c]{ p{3.3cm} p{6.5cm} p{8cm} }
+\begin{tabular}[c]{ |p{3.3cm}| p{6.5cm} |p{8cm}| }
+ \hline
\textbf{Mittelwert}: & $E[X(t)] = \mu_{X}(t) = \text{const.}$
& bleibt über die ganze Zeit konstant\\
- \textbf{quad. Mittelwert}: & $E[X^{2}(t)] = R_{X}(0)$ \\
- \textbf{Autokorrelation}: & $R_{XX}(t_{1},t_{2}) = R_{X}(\tau)$
- & \multirow{2}{8cm}{nur \textbf{abhängig} von der \textbf{Zeitdifferenz} $(\tau = t_2 - t_1)$ und \textbf{nicht direkt} von
- der \textbf{Zeit} $t$} \\
- \textbf{Autokovarianz}: & $ C_{XX}(t_{1},t_{2}) = R_{X}(\tau) - \mu_{X}(t)^{2} = C_{XX}(\tau)$ \\
+ \hline
+ \textbf{quad. Mittelwert}: & $E[X^{2}(t)] = R_{XX}(0)$ & \\
+ \hline
+ \textbf{Autokorrelation}: & $R_{XX}(t_{1},t_{2}) = R_{XX}(\tau)$
+ & nur \textbf{abhängig} von der \textbf{Zeitdifferenz} $(\tau = t_2 - t_1)$ und \textbf{nicht direkt} von der \textbf{Zeit} $t$ \\
+ \hline
+ \textbf{Autokovarianz}: & $ C_{XX}(t_{1},t_{2}) = R_{XX}(\tau) - \mu_{X}(t)^{2} = C_{XX}(\tau)$ & \\
+ \hline
\end{tabular}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
@@ -197,26 +201,29 @@ \subsubsection{Thermisches Widerstandsrauschen}
Formeln in diesem Abschnitt gelten für \textbf{stationäre} Prozesse. \\
\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
-\begin{tabular}[c]{ p{4cm} p{6cm} p{7.5cm} }
- \textbf{Autokorrelation}: &
- $R_{XX}(\tau) = E[X(t)X(t+\tau)]$ \\
- & $\mid \! R_{XX}(\tau) \! \mid \leq R_{XX}(0) = E[X^{2}(t)]$
- & $R_{XX}(-\tau) = R_{XX}(\tau) \quad$ (gerade)\\
- \textbf{Kreuzkorrelation}: &
- $R_{XY}(\tau) = E[X(t)Y(t+\tau)]$
- & $R_{XY}(-\tau) = R_{YX}(\tau) \quad$ (Reihenfolge Indizes!) \\
- & $|R_{XY}(\tau)| \leq \frac{1}{2} \left[ R_{XX}(0)+R_{YY}(0)\right] $
- & $|R_{XY}(\tau)| \leq \sqrt{R_{XX}(0)R_{YY}(0)}$ \\
- \textbf{Autokovarianz}: &
- \multicolumn{2}{l}{$C_{XX}(\tau) = E\!\left[ \left( X(t) - E[X(t)] \right) \cdot
- \left( X(t+\tau) - E[X(t+\tau)] \right) \right] =
- R_{XX}(\tau) - \mu^{2}_{X} $} \\
- \textbf{Kreuzkovarianz}: &
- \multicolumn{2}{l}{$C_{XY}(\tau) = E\!\left[ \left( X(t) - E[X(t)] \right) \cdot
- \left( Y(t+\tau) - E[Y(t+\tau)] \right) \right] =
- R_{XY}(\tau) - \mu_{X}\mu_{Y} $}\\
- & \multicolumn{2}{l}{Zufallsprozesse bezeichnet man als zueinander
- \textbf{unkorreliert}, wenn $C_{XY}(\tau) = 0$}
+\begin{tabular}[c]{|p{4cm}|p{6cm}|p{7.5cm}|}
+ \hline
+ \textbf{Autokorrelation}: &
+ $R_{XX}(\tau) = E[X(t)X(t+\tau)]$\newline
+ $R_{XX}(\tau) \! \mid \leq R_{XX}(0) = E[X^{2}(t)]$
+ &$R_{XX}(-\tau) = R_{XX}(\tau) \quad$ (gerade)\\
+ \hline
+ \textbf{Kreuzkorrelation}: &
+ $R_{XY}(\tau) = E[X(t)Y(t+\tau)]$
+ & $R_{XY}(-\tau) = R_{YX}(\tau) \quad$ (Reihenfolge Indizes!) \\
+ & $|R_{XY}(\tau)| \leq \frac{1}{2} \left[ R_{XX}(0)+R_{YY}(0)\right] $
+ & $|R_{XY}(\tau)| \leq \sqrt{R_{XX}(0)R_{YY}(0)}$ \\
+ \hline
+ \textbf{Autokovarianz}: &
+ \multicolumn{2}{l|}{$C_{XX}(\tau) = E\!\left[ \left( X(t) - E[X(t)] \right) \cdot
+ \left( X(t+\tau) - E[X(t+\tau)] \right) \right] =
+ R_{XX}(\tau) - \mu^{2}_{X} $} \\
+ \hline
+ \textbf{Kreuzkovarianz}: &
+ \multicolumn{2}{l|}{$C_{XY}(\tau) = E\!\left[ \left( X(t) - E[X(t)] \right) \cdot
+ \left( Y(t+\tau) - E[Y(t+\tau)] \right) \right] = R_{XY}(\tau) - \mu_{X}\mu_{Y} $}\\
+ & \multicolumn{2}{l|}{Zufallsprozesse bezeichnet man als zueinander \textbf{unkorreliert}, wenn $C_{XY}(\tau)0$}\\
+ \hline
\end{tabular}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
@@ -242,11 +249,15 @@ \subsubsection{Thermisches Widerstandsrauschen}
Ein Zufallsprozess wird durch ein LTI-System übertragen. \hspace{2cm} $Y(t) = L[X(t)] \Rightarrow
Y(t) = h(t) \ast X(t)$ \vspace{0.3cm}\\
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
- \begin{tabular}[c]{ p{2cm} p{8.5cm} p{8cm} }
- & \textbf{Allgemein} & \textbf{WSS-Prozess} \\
+ \begin{tabular}[c]{|p{2cm}| p{8.5cm} |p{8cm}| }
+ \hline
+ &\textbf{Allgemein}
+ & \textbf{WSS-Prozess} \\
+ \hline
\textbf{Mittelwert}
- & $\mu_{Y}(t) = h(t) \ast \mu_{X}(t)$
- & $\mu_{Y} = H(0) \mu_{X}$ \\
+ & $E(Y(t)) = h(t) \ast E(X(t))$
+ & $E(Y) = H(0) \cdot E(X)$ \\
+ \hline
\textbf{Auto-korrelation\textcolor{red}{*}}
& {$R_{YY}(t_{1},t_{2}) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} h(\alpha) h(\beta)
@@ -254,10 +265,12 @@ \subsubsection{Thermisches Widerstandsrauschen}
& {$R_{YY}(\tau) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} h(\alpha) h(\beta)
R_{XX}(\tau+\alpha-\beta) \; d\alpha \; d\beta$} \\
+ \hline
\textbf{Spektrale Leistung}
&
- & $\boxed{S_{YY}(\omega)= H^{\ast}(\omega) H(\omega) S_{XX}(\omega)
- = |H(\omega)|^{2} S_{XX}(\omega)}$ \\
+ & $S_{YY}(\omega)= H^{\ast}(\omega) H(\omega) S_{XX}(\omega)
+ = |H(\omega)|^{2} S_{XX}(\omega)$ \\
+ \hline
\end{tabular}
\renewcommand{\arraystretch}{1} \\
\textcolor{red}{*} = Es ist viel einfacher die Autokorrelation aus der Spektralen Leistung
@@ -265,15 +278,15 @@ \subsubsection{Thermisches Widerstandsrauschen}
Ein WSS-Prozess am Eingang erzeugt auch einen WSS-Prozess am Ausgang.
\skriptsubsection{Spezielle Zufallsprozesse}{172-7.6}
-\skriptsubsubsection{Gauss Zufallsprozess}{172-7.6.A}
+\skriptsubsubsection{Gauss'scher Zufallsprozess}{172-7.6.A}
Bein diesem Prozess ist die \textbf{Zufallsvariable} $X(t_{i})$ zu \textbf{jedem Zeitpunkt} $t_{i}$
\textbf{gaussverteilt}. Bsp.: thermisches Rauschen. \\
Zweidimensionaler Fall (gauss'sche Verbunddichte):
- $f_{XX}(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2}) = \frac{1}{2\pi \sigma_{x_{1}}\sigma_{x_{2}}} \cdot
+ $$f_{XX}(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2}) = \frac{1}{2\pi \sigma_{x_{1}}\sigma_{x_{2}}} \cdot
e^{-\frac{(x_{1}-\mu_{x_{1}})^{2}}{2 \sigma^{2}_{x_{1}}}} \cdot
- e^{-\frac{(x_{2}-\mu_{x_{2}})^{2}}{2 \sigma^{2}_{x_{2}}}}$ \\
-Für $X(t_{1})$ und $X(t_{2})$ unkorreliert ($C_{XX}(t_{1},t_{2})=0$) gilt:
- $f_{XX}(x_{1},x_{2}; t_{1},t_{2}) = f_{X}(x_{1};t_{1}) \cdot f_{X}(x_{2};t_{2}) $ \\ \\
+ e^{-\frac{(x_{2}-\mu_{x_{2}})^{2}}{2 \sigma^{2}_{x_{2}}}}$$ \\
+Für unkorrelierte $X(t_{1})$ und $X(t_{2})$ ($C_{XX}(t_{1},t_{2})=0$) gilt:
+ $$f_{XX}(x_{1},x_{2}; t_{1},t_{2}) = f_{X}(x_{1};t_{1}) \cdot f_{X}(x_{2};t_{2}) $$
$\mu_{X}(t)$ und $R_{XX}(t_{1}, t_{2})$ charakterisisieren einen gauss'schen Zufallsprozess
vollst\"andig. \\
Ist ein gauss'scher Prozess WSS ist er zugleich auch SSS. Zudem ist wird ein gauss'scher
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