From 7042a7580f949dacb3cc97a13b1d1f69c4d45229 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Website-xieyuen <131447547+Website-xieyuen@users.noreply.github.com> Date: Wed, 1 Apr 2026 12:40:51 +0800 Subject: [PATCH 1/7] derange infer by array --- ...60\345\210\227\346\216\250\345\257\274.md" | 101 ++++++++++++++++++ 1 file changed, 101 insertions(+) create mode 100644 "content/post/articles/cute/\345\205\250\351\224\231\346\216\222\346\225\260\345\210\227\346\216\250\345\257\274.md" diff --git "a/content/post/articles/cute/\345\205\250\351\224\231\346\216\222\346\225\260\345\210\227\346\216\250\345\257\274.md" "b/content/post/articles/cute/\345\205\250\351\224\231\346\216\222\346\225\260\345\210\227\346\216\250\345\257\274.md" new file mode 100644 index 0000000..ee2f4b7 --- /dev/null +++ "b/content/post/articles/cute/\345\205\250\351\224\231\346\216\222\346\225\260\345\210\227\346\216\250\345\257\274.md" @@ -0,0 +1,101 @@ +# 数列通项公式求解：全错排问题 + +## 问题描述 +已知递推数列： +$$ A_n = (n-1)(A_{n-1} + A_{n-2}), \quad n \ge 3 $$ +初始条件： +$$ A_1 = 0, \quad A_2 = 1 $$ +求 $A_n$ 的通项公式。 + +> **背景知识**：该数列即为组合数学中的**错排数**（Derangement Number），通常记为 $D_n$ 或 $!n$。它表示 $n$ 个元素排列后，没有任何一个元素出现在其原始位置上的排列总数。 + +--- + +## 推导过程 + +### 1. 变形递推关系 +将原递推公式展开： +$$ A_n = (n-1)A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} $$ + +为了构造可解的形式，我们在等式两边同时减去 $n A_{n-1}$： +$$ +\begin{aligned} +A_n - n A_{n-1} &= (n-1)A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} - n A_{n-1} \\ +&= -A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} \\ +&= -(A_{n-1} - (n-1)A_{n-2}) +\end{aligned} +$$ + +### 2. 构造辅助数列 +令 $B_n = A_n - n A_{n-1}$ ($n \ge 2$)。 +由上式可得： +$$ B_n = -B_{n-1} $$ +这表明 $\{B_n\}$ 是一个公比为 $-1$ 的等比数列。 + +计算首项 $B_2$： +$$ B_2 = A_2 - 2 A_1 = 1 - 2 \times 0 = 1 $$ + +因此，$B_n$ 的通项为： +$$ B_n = B_2 \cdot (-1)^{n-2} = 1 \cdot (-1)^{n-2} = (-1)^n $$ +*(注：$(-1)^{n-2} = (-1)^n \cdot (-1)^{-2} = (-1)^n$)* + +代回 $B_n$ 的定义，得到新的递推关系： +$$ A_n - n A_{n-1} = (-1)^n \implies A_n = n A_{n-1} + (-1)^n $$ + +### 3. 利用累加法求解 +将上式两边同时除以 $n!$： +$$ \frac{A_n}{n!} = \frac{A_{n-1}}{(n-1)!} + \frac{(-1)^n}{n!} $$ + +令 $C_n = \frac{A_n}{n!}$，则有： +$$ C_n - C_{n-1} = \frac{(-1)^n}{n!} $$ + +对 $k$ 从 $2$ 到 $n$ 进行累加： +$$ +\begin{aligned} +C_n &= C_1 + \sum_{k=2}^n (C_k - C_{k-1}) \\ +&= \frac{A_1}{1!} + \sum_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k!} +\end{aligned} +$$ +由于 $A_1 = 0$，故 $C_1 = 0$。 +$$ C_n = \sum_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k!} $$ + +观察求和项： +- 当 $k=0$ 时，$\frac{(-1)^0}{0!} = 1$ +- 当 $k=1$ 时，$\frac{(-1)^1}{1!} = -1$ +- 前两项之和 $1 + (-1) = 0$，不影响总和。 + +因此可以将求和下标扩展至 $0$： +$$ C_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} $$ + +### 4. 得出通项公式 +由 $A_n = n! \cdot C_n$，最终得到： +$$ A_n = n! \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} $$ + +--- + +## 最终结论 + +该数列的通项公式为： +$$ A_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} \right) $$ + +或者写作求和符号形式： +$$ A_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!}{k!} $$ + +### 近似公式 +当 $n$ 较大时，由于 $\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} = e^{-1} = \frac{1}{e}$，该公式可近似为： +$$ A_n \approx \frac{n!}{e} $$ +精确值为最接近 $\frac{n!}{e}$ 的整数： +$$ A_n = \left[ \frac{n!}{e} \right] $$ +*(其中 $[x]$ 表示四舍五入取整)* + +--- + +## 数值验证 + +| $n$ | 公式计算过程 | 结果 $A_n$ | 递推验证 $(n-1)(A_{n-1}+A_{n-2})$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| **1** | $1!(1-1) = 0$ | **0** | (初始值) | +| **2** | $2!(1-1+0.5) = 1$ | **1** | (初始值) | +| **3** | $3!(1-1+0.5-0.166...) = 6 \times \frac{1}{3} = 2$ | **2** | $2 \times (1+0) = 2$ | +| **4** | $4!(\dots + \frac{1}{24}) = 24 \times \frac{9}{24} = 9$ | **9** | $3 \times (2+1) = 9$ | +| **5** | $5!(\dots - \frac{1}{120}) = 120 \times \frac{44}{120} = 44$ | **44** | $4 \times (9+2) = 44$ | From 77f63c7759d405cd643bc987ad5f96bf1e0fae10 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Website-xieyuen <131447547+Website-xieyuen@users.noreply.github.com> Date: Thu, 2 Apr 2026 12:36:28 +0800 Subject: [PATCH 2/7] Add files via upload --- ...60\345\210\227\346\216\250\345\257\274.md" | 101 ++++++++++++++++++ 1 file changed, 101 insertions(+) create mode 100644 "content/post/articles/\345\205\250\351\224\231\346\216\222\346\225\260\345\210\227\346\216\250\345\257\274.md" diff --git "a/content/post/articles/\345\205\250\351\224\231\346\216\222\346\225\260\345\210\227\346\216\250\345\257\274.md" "b/content/post/articles/\345\205\250\351\224\231\346\216\222\346\225\260\345\210\227\346\216\250\345\257\274.md" new file mode 100644 index 0000000..ee2f4b7 --- /dev/null +++ "b/content/post/articles/\345\205\250\351\224\231\346\216\222\346\225\260\345\210\227\346\216\250\345\257\274.md" @@ -0,0 +1,101 @@ +# 数列通项公式求解：全错排问题 + +## 问题描述 +已知递推数列： +$$ A_n = (n-1)(A_{n-1} + A_{n-2}), \quad n \ge 3 $$ +初始条件： +$$ A_1 = 0, \quad A_2 = 1 $$ +求 $A_n$ 的通项公式。 + +> **背景知识**：该数列即为组合数学中的**错排数**（Derangement Number），通常记为 $D_n$ 或 $!n$。它表示 $n$ 个元素排列后，没有任何一个元素出现在其原始位置上的排列总数。 + +--- + +## 推导过程 + +### 1. 变形递推关系 +将原递推公式展开： +$$ A_n = (n-1)A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} $$ + +为了构造可解的形式，我们在等式两边同时减去 $n A_{n-1}$： +$$ +\begin{aligned} +A_n - n A_{n-1} &= (n-1)A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} - n A_{n-1} \\ +&= -A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} \\ +&= -(A_{n-1} - (n-1)A_{n-2}) +\end{aligned} +$$ + +### 2. 构造辅助数列 +令 $B_n = A_n - n A_{n-1}$ ($n \ge 2$)。 +由上式可得： +$$ B_n = -B_{n-1} $$ +这表明 $\{B_n\}$ 是一个公比为 $-1$ 的等比数列。 + +计算首项 $B_2$： +$$ B_2 = A_2 - 2 A_1 = 1 - 2 \times 0 = 1 $$ + +因此，$B_n$ 的通项为： +$$ B_n = B_2 \cdot (-1)^{n-2} = 1 \cdot (-1)^{n-2} = (-1)^n $$ +*(注：$(-1)^{n-2} = (-1)^n \cdot (-1)^{-2} = (-1)^n$)* + +代回 $B_n$ 的定义，得到新的递推关系： +$$ A_n - n A_{n-1} = (-1)^n \implies A_n = n A_{n-1} + (-1)^n $$ + +### 3. 利用累加法求解 +将上式两边同时除以 $n!$： +$$ \frac{A_n}{n!} = \frac{A_{n-1}}{(n-1)!} + \frac{(-1)^n}{n!} $$ + +令 $C_n = \frac{A_n}{n!}$，则有： +$$ C_n - C_{n-1} = \frac{(-1)^n}{n!} $$ + +对 $k$ 从 $2$ 到 $n$ 进行累加： +$$ +\begin{aligned} +C_n &= C_1 + \sum_{k=2}^n (C_k - C_{k-1}) \\ +&= \frac{A_1}{1!} + \sum_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k!} +\end{aligned} +$$ +由于 $A_1 = 0$，故 $C_1 = 0$。 +$$ C_n = \sum_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k!} $$ + +观察求和项： +- 当 $k=0$ 时，$\frac{(-1)^0}{0!} = 1$ +- 当 $k=1$ 时，$\frac{(-1)^1}{1!} = -1$ +- 前两项之和 $1 + (-1) = 0$，不影响总和。 + +因此可以将求和下标扩展至 $0$： +$$ C_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} $$ + +### 4. 得出通项公式 +由 $A_n = n! \cdot C_n$，最终得到： +$$ A_n = n! \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} $$ + +--- + +## 最终结论 + +该数列的通项公式为： +$$ A_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} \right) $$ + +或者写作求和符号形式： +$$ A_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!}{k!} $$ + +### 近似公式 +当 $n$ 较大时，由于 $\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} = e^{-1} = \frac{1}{e}$，该公式可近似为： +$$ A_n \approx \frac{n!}{e} $$ +精确值为最接近 $\frac{n!}{e}$ 的整数： +$$ A_n = \left[ \frac{n!}{e} \right] $$ +*(其中 $[x]$ 表示四舍五入取整)* + +--- + +## 数值验证 + +| $n$ | 公式计算过程 | 结果 $A_n$ | 递推验证 $(n-1)(A_{n-1}+A_{n-2})$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| **1** | $1!(1-1) = 0$ | **0** | (初始值) | +| **2** | $2!(1-1+0.5) = 1$ | **1** | (初始值) | +| **3** | $3!(1-1+0.5-0.166...) = 6 \times \frac{1}{3} = 2$ | **2** | $2 \times (1+0) = 2$ | +| **4** | $4!(\dots + \frac{1}{24}) = 24 \times \frac{9}{24} = 9$ | **9** | $3 \times (2+1) = 9$ | +| **5** | $5!(\dots - \frac{1}{120}) = 120 \times \frac{44}{120} = 44$ | **44** | $4 \times (9+2) = 44$ | From 53c44947fb6469eb7dd29af039d5ba0ec2aa03c5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Website-xieyuen <131447547+Website-xieyuen@users.noreply.github.com> Date: Thu, 2 Apr 2026 12:36:57 +0800 Subject: [PATCH 3/7] =?UTF-8?q?Delete=20content/post/articles/cute/?= =?UTF-8?q?=E5=85=A8=E9=94=99=E6=8E=92=E6=95=B0=E5=88=97=E6=8E=A8=E5=AF=BC?= =?UTF-8?q?.md?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- ...60\345\210\227\346\216\250\345\257\274.md" | 101 ------------------ 1 file changed, 101 deletions(-) delete mode 100644 "content/post/articles/cute/\345\205\250\351\224\231\346\216\222\346\225\260\345\210\227\346\216\250\345\257\274.md" diff --git "a/content/post/articles/cute/\345\205\250\351\224\231\346\216\222\346\225\260\345\210\227\346\216\250\345\257\274.md" "b/content/post/articles/cute/\345\205\250\351\224\231\346\216\222\346\225\260\345\210\227\346\216\250\345\257\274.md" deleted file mode 100644 index ee2f4b7..0000000 --- "a/content/post/articles/cute/\345\205\250\351\224\231\346\216\222\346\225\260\345\210\227\346\216\250\345\257\274.md" +++ /dev/null @@ -1,101 +0,0 @@ -# 数列通项公式求解：全错排问题 - -## 问题描述 -已知递推数列： -$$ A_n = (n-1)(A_{n-1} + A_{n-2}), \quad n \ge 3 $$ -初始条件： -$$ A_1 = 0, \quad A_2 = 1 $$ -求 $A_n$ 的通项公式。 - -> **背景知识**：该数列即为组合数学中的**错排数**（Derangement Number），通常记为 $D_n$ 或 $!n$。它表示 $n$ 个元素排列后，没有任何一个元素出现在其原始位置上的排列总数。 - ---- - -## 推导过程 - -### 1. 变形递推关系 -将原递推公式展开： -$$ A_n = (n-1)A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} $$ - -为了构造可解的形式，我们在等式两边同时减去 $n A_{n-1}$： -$$ -\begin{aligned} -A_n - n A_{n-1} &= (n-1)A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} - n A_{n-1} \\ -&= -A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} \\ -&= -(A_{n-1} - (n-1)A_{n-2}) -\end{aligned} -$$ - -### 2. 构造辅助数列 -令 $B_n = A_n - n A_{n-1}$ ($n \ge 2$)。 -由上式可得： -$$ B_n = -B_{n-1} $$ -这表明 $\{B_n\}$ 是一个公比为 $-1$ 的等比数列。 - -计算首项 $B_2$： -$$ B_2 = A_2 - 2 A_1 = 1 - 2 \times 0 = 1 $$ - -因此，$B_n$ 的通项为： -$$ B_n = B_2 \cdot (-1)^{n-2} = 1 \cdot (-1)^{n-2} = (-1)^n $$ -*(注：$(-1)^{n-2} = (-1)^n \cdot (-1)^{-2} = (-1)^n$)* - -代回 $B_n$ 的定义，得到新的递推关系： -$$ A_n - n A_{n-1} = (-1)^n \implies A_n = n A_{n-1} + (-1)^n $$ - -### 3. 利用累加法求解 -将上式两边同时除以 $n!$： -$$ \frac{A_n}{n!} = \frac{A_{n-1}}{(n-1)!} + \frac{(-1)^n}{n!} $$ - -令 $C_n = \frac{A_n}{n!}$，则有： -$$ C_n - C_{n-1} = \frac{(-1)^n}{n!} $$ - -对 $k$ 从 $2$ 到 $n$ 进行累加： -$$ -\begin{aligned} -C_n &= C_1 + \sum_{k=2}^n (C_k - C_{k-1}) \\ -&= \frac{A_1}{1!} + \sum_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k!} -\end{aligned} -$$ -由于 $A_1 = 0$，故 $C_1 = 0$。 -$$ C_n = \sum_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k!} $$ - -观察求和项： -- 当 $k=0$ 时，$\frac{(-1)^0}{0!} = 1$ -- 当 $k=1$ 时，$\frac{(-1)^1}{1!} = -1$ -- 前两项之和 $1 + (-1) = 0$，不影响总和。 - -因此可以将求和下标扩展至 $0$： -$$ C_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} $$ - -### 4. 得出通项公式 -由 $A_n = n! \cdot C_n$，最终得到： -$$ A_n = n! \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} $$ - ---- - -## 最终结论 - -该数列的通项公式为： -$$ A_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} \right) $$ - -或者写作求和符号形式： -$$ A_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!}{k!} $$ - -### 近似公式 -当 $n$ 较大时，由于 $\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} = e^{-1} = \frac{1}{e}$，该公式可近似为： -$$ A_n \approx \frac{n!}{e} $$ -精确值为最接近 $\frac{n!}{e}$ 的整数： -$$ A_n = \left[ \frac{n!}{e} \right] $$ -*(其中 $[x]$ 表示四舍五入取整)* - ---- - -## 数值验证 - -| $n$ | 公式计算过程 | 结果 $A_n$ | 递推验证 $(n-1)(A_{n-1}+A_{n-2})$ | -| :--- | :--- | :--- | :--- | -| **1** | $1!(1-1) = 0$ | **0** | (初始值) | -| **2** | $2!(1-1+0.5) = 1$ | **1** | (初始值) | -| **3** | $3!(1-1+0.5-0.166...) = 6 \times \frac{1}{3} = 2$ | **2** | $2 \times (1+0) = 2$ | -| **4** | $4!(\dots + \frac{1}{24}) = 24 \times \frac{9}{24} = 9$ | **9** | $3 \times (2+1) = 9$ | -| **5** | $5!(\dots - \frac{1}{120}) = 120 \times \frac{44}{120} = 44$ | **44** | $4 \times (9+2) = 44$ | From 4e65402943dd6ca2f495ecb5395bbe90deda9667 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Website-xieyuen <131447547+Website-xieyuen@users.noreply.github.com> Date: Thu, 2 Apr 2026 12:54:28 +0800 Subject: [PATCH 4/7] Refine description and formatting in derange derivation Updated the description and improved formatting in the document. --- content/post/articles/derange-derivation.md | 162 ++++++++++++++++++ ...60\345\210\227\346\216\250\345\257\274.md" | 101 ----------- 2 files changed, 162 insertions(+), 101 deletions(-) create mode 100644 content/post/articles/derange-derivation.md delete mode 100644 "content/post/articles/\345\205\250\351\224\231\346\216\222\346\225\260\345\210\227\346\216\250\345\257\274.md" diff --git a/content/post/articles/derange-derivation.md b/content/post/articles/derange-derivation.md new file mode 100644 index 0000000..ca5a6de --- /dev/null +++ b/content/post/articles/derange-derivation.md @@ -0,0 +1,162 @@ +--- +title: 全错排问题数列推导 +description: 本文为全错排公式的数列推导方法, co-authored-by Qianwen +date: 2026-04-02 +lastmod: 2026-04-02 +image: +math: true +license: Written by Qianwen +draft: true +categories: +- +tags: +- 全错排 +--- + +## 问题描述 + +已知递推数列： + +$$ + A_n = (n-1)(A_{n-1} + A_{n-2}), \quad n \ge 3 +$$ + +初始条件： + +$$ + A_1 = 0, \quad A_2 = 1 +$$ + +求 $\{A_n\}$ 的通项公式。 + +> **背景知识**：该数列即为组合数学中的**错排数**（Derangement Number），通常记为 $D_n$ 或 $!n$。它表示 $n$ 个元素排列后，没有任何一个元素出现在其原始位置上的排列总数。 + +--- + +## 推导过程 + +### 1. 变形递推关系 +将原递推公式展开： + +$$ + A_n = (n-1)A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} +$$ + +为了构造可解的形式，我们在等式两边同时减去 $n A_{n-1}$： + +$$ +\begin{aligned} + A_n - n A_{n-1} &= (n-1)A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} - n A_{n-1} \\ + &= -A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} \\ + &= -(A_{n-1} - (n-1)A_{n-2}) +\end{aligned} +$$ + +### 2. 构造辅助数列 + +令 $B_n = A_n - n A_{n-1}$ ($n \ge 2$)。 +由上式可得： + +$$ + B_n = -B_{n-1} +$$ + +这表明 $\{B_n\}$ 是一个公比为 $-1$ 的等比数列。 + +计算首项 $B_2$： + +$$ +B_2 = A_2 - 2 A_1 = 1 - 2 \times 0 = 1 +$$ + +因此, $\{B_n\}$ 的通项为： + +$$ +B_n = B_2 \cdot (-1)^{n-2} = 1 \cdot (-1)^{n-2} = (-1)^n +$$ + +*(注: $(-1)^{n-2} = (-1)^n \cdot (-1)^{-2} = (-1)^n$)* + +代回 $B_n$ 的定义，得到新的递推关系： + +$$ +A_n - n A_{n-1} = (-1)^n \implies A_n = n A_{n-1} + (-1)^n +$$ + +### 3. 累加 +将上式两边同时除以 $n!$： + +$$ +\frac{A_n}{n!} = \frac{A_{n-1}}{(n-1)!} + \frac{(-1)^n}{n!} +$$ + +令 $C_n = \frac{A_n}{n!}$，则有： + +$$ +C_n - C_{n-1} = \frac{(-1)^n}{n!} +$$ + +对 $k$ 从 $2$ 到 $n$ 进行累加： + +$$ +\begin{aligned} + C_n &= C_1 + \sum_{k=2}^n (C_k - C_{k-1}) \\ + &= \frac{A_1}{1!} + \sum_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k!} +\end{aligned} +$$ + +由于 $A_1 = 0$，故 $C_1 = 0$。 + +$$ +C_n = \sum_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k!} +$$ + +观察求和项： +- 当 $k=0$ 时, $\frac{(-1)^0}{0!} = 1$ +- 当 $k=1$ 时, $\frac{(-1)^1}{1!} = -1$ +- 前两项之和 $1 + (-1) = 0$，不影响总和。 + +因此可以将求和下标扩展至 $0$： + +$$ +C_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} +$$ + +### 4. 得出通项公式 +由 $A_n = n! \cdot C_n$，最终得到： + +$$ +A_n = n! \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} +$$ + +--- + +## 最终结论 + +该数列的通项公式为： + +$$ +A_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} \right) +$$ + +或者写作求和符号形式： + +$$ +A_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!}{k!} +$$ + +### 近似公式 + +当 $n$ 较大时，由于 $\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} = e^{-1} = \frac{1}{e}$，该公式可近似为： + +$$ +A_n \approx \frac{n!}{e} +$$ + +精确值为最接近 $\frac{n!}{e}$ 的整数： + +$$ +A_n = \left[ \frac{n!}{e} \right] +$$ + +*(其中 $[x]$ 表示四舍五入取整)* diff --git "a/content/post/articles/\345\205\250\351\224\231\346\216\222\346\225\260\345\210\227\346\216\250\345\257\274.md" "b/content/post/articles/\345\205\250\351\224\231\346\216\222\346\225\260\345\210\227\346\216\250\345\257\274.md" deleted file mode 100644 index ee2f4b7..0000000 --- "a/content/post/articles/\345\205\250\351\224\231\346\216\222\346\225\260\345\210\227\346\216\250\345\257\274.md" +++ /dev/null @@ -1,101 +0,0 @@ -# 数列通项公式求解：全错排问题 - -## 问题描述 -已知递推数列： -$$ A_n = (n-1)(A_{n-1} + A_{n-2}), \quad n \ge 3 $$ -初始条件： -$$ A_1 = 0, \quad A_2 = 1 $$ -求 $A_n$ 的通项公式。 - -> **背景知识**：该数列即为组合数学中的**错排数**（Derangement Number），通常记为 $D_n$ 或 $!n$。它表示 $n$ 个元素排列后，没有任何一个元素出现在其原始位置上的排列总数。 - ---- - -## 推导过程 - -### 1. 变形递推关系 -将原递推公式展开： -$$ A_n = (n-1)A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} $$ - -为了构造可解的形式，我们在等式两边同时减去 $n A_{n-1}$： -$$ -\begin{aligned} -A_n - n A_{n-1} &= (n-1)A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} - n A_{n-1} \\ -&= -A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} \\ -&= -(A_{n-1} - (n-1)A_{n-2}) -\end{aligned} -$$ - -### 2. 构造辅助数列 -令 $B_n = A_n - n A_{n-1}$ ($n \ge 2$)。 -由上式可得： -$$ B_n = -B_{n-1} $$ -这表明 $\{B_n\}$ 是一个公比为 $-1$ 的等比数列。 - -计算首项 $B_2$： -$$ B_2 = A_2 - 2 A_1 = 1 - 2 \times 0 = 1 $$ - -因此，$B_n$ 的通项为： -$$ B_n = B_2 \cdot (-1)^{n-2} = 1 \cdot (-1)^{n-2} = (-1)^n $$ -*(注：$(-1)^{n-2} = (-1)^n \cdot (-1)^{-2} = (-1)^n$)* - -代回 $B_n$ 的定义，得到新的递推关系： -$$ A_n - n A_{n-1} = (-1)^n \implies A_n = n A_{n-1} + (-1)^n $$ - -### 3. 利用累加法求解 -将上式两边同时除以 $n!$： -$$ \frac{A_n}{n!} = \frac{A_{n-1}}{(n-1)!} + \frac{(-1)^n}{n!} $$ - -令 $C_n = \frac{A_n}{n!}$，则有： -$$ C_n - C_{n-1} = \frac{(-1)^n}{n!} $$ - -对 $k$ 从 $2$ 到 $n$ 进行累加： -$$ -\begin{aligned} -C_n &= C_1 + \sum_{k=2}^n (C_k - C_{k-1}) \\ -&= \frac{A_1}{1!} + \sum_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k!} -\end{aligned} -$$ -由于 $A_1 = 0$，故 $C_1 = 0$。 -$$ C_n = \sum_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k!} $$ - -观察求和项： -- 当 $k=0$ 时，$\frac{(-1)^0}{0!} = 1$ -- 当 $k=1$ 时，$\frac{(-1)^1}{1!} = -1$ -- 前两项之和 $1 + (-1) = 0$，不影响总和。 - -因此可以将求和下标扩展至 $0$： -$$ C_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} $$ - -### 4. 得出通项公式 -由 $A_n = n! \cdot C_n$，最终得到： -$$ A_n = n! \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} $$ - ---- - -## 最终结论 - -该数列的通项公式为： -$$ A_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} \right) $$ - -或者写作求和符号形式： -$$ A_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!}{k!} $$ - -### 近似公式 -当 $n$ 较大时，由于 $\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} = e^{-1} = \frac{1}{e}$，该公式可近似为： -$$ A_n \approx \frac{n!}{e} $$ -精确值为最接近 $\frac{n!}{e}$ 的整数： -$$ A_n = \left[ \frac{n!}{e} \right] $$ -*(其中 $[x]$ 表示四舍五入取整)* - ---- - -## 数值验证 - -| $n$ | 公式计算过程 | 结果 $A_n$ | 递推验证 $(n-1)(A_{n-1}+A_{n-2})$ | -| :--- | :--- | :--- | :--- | -| **1** | $1!(1-1) = 0$ | **0** | (初始值) | -| **2** | $2!(1-1+0.5) = 1$ | **1** | (初始值) | -| **3** | $3!(1-1+0.5-0.166...) = 6 \times \frac{1}{3} = 2$ | **2** | $2 \times (1+0) = 2$ | -| **4** | $4!(\dots + \frac{1}{24}) = 24 \times \frac{9}{24} = 9$ | **9** | $3 \times (2+1) = 9$ | -| **5** | $5!(\dots - \frac{1}{120}) = 120 \times \frac{44}{120} = 44$ | **44** | $4 \times (9+2) = 44$ | From b36028409d750a293c5a7fc802bef6e1f1440715 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: xieyuen Date: Fri, 3 Apr 2026 19:41:43 +0800 Subject: [PATCH 5/7] =?UTF-8?q?=E6=96=B0=E5=A2=9E=E6=96=87=E7=AB=A0?= =?UTF-8?q?=E7=B4=A2=E5=BC=95=E5=92=8C=E6=9B=B4=E6=96=B0=E5=85=A8=E9=94=99?= =?UTF-8?q?=E6=8E=92=E6=8E=A8=E5=AF=BC=E6=96=87=E6=A1=A3=E7=9A=84=E5=85=83?= =?UTF-8?q?=E6=95=B0=E6=8D=AE=EF=BC=8C=E6=B7=BB=E5=8A=A0.gitkeep=E6=96=87?= =?UTF-8?q?=E4=BB=B6?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- content/categories/articles/_index.md | 9 +++++++++ content/post/articles/cute/wrongarrange.md | 2 ++ content/post/articles/derange-derivation.md | 12 +++++++++--- static/.gitkeep | 0 4 files changed, 20 insertions(+), 3 deletions(-) create mode 100644 content/categories/articles/_index.md create mode 100644 static/.gitkeep diff --git a/content/categories/articles/_index.md b/content/categories/articles/_index.md new file mode 100644 index 0000000..3a27ba9 --- /dev/null +++ b/content/categories/articles/_index.md @@ -0,0 +1,9 @@ +--- +title: Articles +description: mathematical articles or notes + +# Badge style +style: + background: "rgb(19, 110, 66)" + color: "#fff" +--- \ No newline at end of file diff --git a/content/post/articles/cute/wrongarrange.md b/content/post/articles/cute/wrongarrange.md index 57ed5b9..e104636 100644 --- a/content/post/articles/cute/wrongarrange.md +++ b/content/post/articles/cute/wrongarrange.md @@ -10,8 +10,10 @@ comments: true darft: false categories: - FDH + - Articles tags: - Femboy's Dessert House + - 全错排 --- ## 导入 diff --git a/content/post/articles/derange-derivation.md b/content/post/articles/derange-derivation.md index ca5a6de..14b1770 100644 --- a/content/post/articles/derange-derivation.md +++ b/content/post/articles/derange-derivation.md @@ -1,14 +1,14 @@ --- title: 全错排问题数列推导 description: 本文为全错排公式的数列推导方法, co-authored-by Qianwen -date: 2026-04-02 -lastmod: 2026-04-02 +date: 2026-04-03 +lastmod: 2026-04-03 image: math: true license: Written by Qianwen draft: true categories: -- +- Articles tags: - 全错排 --- @@ -36,6 +36,7 @@ $$ ## 推导过程 ### 1. 变形递推关系 + 将原递推公式展开： $$ @@ -52,6 +53,8 @@ $$ \end{aligned} $$ +> 其实你可以用待定系数法强行构造出来一个等比然后再展开求解 + ### 2. 构造辅助数列 令 $B_n = A_n - n A_{n-1}$ ($n \ge 2$)。 @@ -84,6 +87,7 @@ A_n - n A_{n-1} = (-1)^n \implies A_n = n A_{n-1} + (-1)^n $$ ### 3. 累加 + 将上式两边同时除以 $n!$： $$ @@ -112,6 +116,7 @@ C_n = \sum_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k!} $$ 观察求和项： + - 当 $k=0$ 时, $\frac{(-1)^0}{0!} = 1$ - 当 $k=1$ 时, $\frac{(-1)^1}{1!} = -1$ - 前两项之和 $1 + (-1) = 0$，不影响总和。 @@ -123,6 +128,7 @@ C_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} $$ ### 4. 得出通项公式 + 由 $A_n = n! \cdot C_n$，最终得到： $$ diff --git a/static/.gitkeep b/static/.gitkeep new file mode 100644 index 0000000..e69de29 From ff278795a52450a0a152822fe04c2fb793d7a67b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: xieyuen Date: Fri, 3 Apr 2026 19:48:16 +0800 Subject: [PATCH 6/7] =?UTF-8?q?=E6=9B=B4=E6=96=B0=E5=85=A8=E9=94=99?= =?UTF-8?q?=E6=8E=92=E6=8E=A8=E5=AF=BC=E6=96=87=E6=A1=A3=E7=9A=84=E8=AE=B8?= =?UTF-8?q?=E5=8F=AF=E8=AF=81=E4=BF=A1=E6=81=AF=E4=B8=BA=E5=85=B1=E5=90=8C?= =?UTF-8?q?=E4=BD=9C=E8=80=85?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- content/post/articles/derange-derivation.md | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/content/post/articles/derange-derivation.md b/content/post/articles/derange-derivation.md index 14b1770..0b74b0f 100644 --- a/content/post/articles/derange-derivation.md +++ b/content/post/articles/derange-derivation.md @@ -5,7 +5,7 @@ date: 2026-04-03 lastmod: 2026-04-03 image: math: true -license: Written by Qianwen +license: co-authored-by Qianwen draft: true categories: - Articles From baf2e8a41c60b3d94491ab102a741d50fba85dd9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: xieyuen Date: Fri, 3 Apr 2026 14:57:36 +0000 Subject: [PATCH 7/7] undraft post --- content/post/articles/derange-derivation.md | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/content/post/articles/derange-derivation.md b/content/post/articles/derange-derivation.md index 0b74b0f..d643b9b 100644 --- a/content/post/articles/derange-derivation.md +++ b/content/post/articles/derange-derivation.md @@ -6,7 +6,7 @@ lastmod: 2026-04-03 image: math: true license: co-authored-by Qianwen -draft: true +draft: false categories: - Articles tags: