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这个式子怎么记？

设向量 $\boldsymbol{a}=\left( m,n \right)$ , $\boldsymbol{b}=\left( p,q \right)$ , 则

$\left| \boldsymbol{a} \right|=\sqrt{m^2+n^2}$ ， $\left| \boldsymbol{b} \right|=\sqrt{p^2+q^2}$

$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=mp+nq$ ， $\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}=mq-np$

于是左边即为 $\left( \left| \boldsymbol{a} \right|\left| \boldsymbol{b} \right| \right) ^2$ ，右边即为 $\left( \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b} \right) ^2+\left( \boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b} \right) ^2$ ，

于是拉格朗日恒等式可记为

## **” 模积方 = 内积方 + 外积方 “**

而由于显然

## **模积方** $\geq$ **内积方，**

或者

## **模积方**$\geq$ **外积方**

都可以直接导出柯西不等式。

这都是题外话，今天主要想说的是：

拉格朗日恒等式在一些圆锥曲线题的化简中，也有着意想不到的妙用.

废话不说，上题：

> 已知 $O$ 为坐标原点， $A$ 、 $B$ 都在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ （ b>0">$a>b>0$ ) 上， $k_{OA}\cdot k_{OB}=-\frac{b^2}{a^2}$ .  
> 求证 $\triangle AOB$ 的面积为定值，并求出该定值.

解：设 $A\left( x_{1} ,y_1\right)$ ， $B\left( x_2,y_2 \right)$

于是可得

$\frac{x_{1}^{2}}{a^2}+\frac{y_{1}^{2}}{b^2}=1$ ……（1）

$\frac{x_{2}^{2}}{a^2}+\frac{y_{2}^{2}}{b^2}=1$ ……（2）

$\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=-\frac{b^2}{a^2}$ ……（3）

（1） $\times$ （2）可得

$\left( \frac{x_{1}^{2}}{a^2}+\frac{y_{1}^{2}}{b^2} \right) \left( \frac{x_{2}^{2}}{a^2}+\frac{y_{2}^{2}}{b^2} \right) =1$ ……（4）

而（3）又等价于

$\frac{x_1x_2}{a^2}+\frac{y_1y_2}{b^2}=0$ ……（5）

我们把 $\frac{x_1}{a}$ 看作是 $m$ ，把 $\frac{y_1}{b}$ 看作是 $n$ ，

把 $\frac{x_2}{a}$ 看作是 $p$ ，把 $\frac{y_2}{b}$ 看作是 $q$

于是可得

$1=\left( \frac{x_{1}^{2}}{a^2}+\frac{y_{1}^{2}}{b^2} \right) \left( \frac{x_{2}^{2}}{a^2}+\frac{y_{2}^{2}}{b^2} \right) =\left( \frac{x_1x_2}{a^2}+\frac{y_1y_2}{b^2} \right) ^2+\left( \frac{x_1y_2}{ab}-\frac{x_2y_1}{ab} \right) ^2$

所以 $\left( \frac{x_1y_2}{ab}-\frac{x_2y_1}{ab} \right) ^2=1$ ，

所以 $\left| x_1y_2-x_2y_1 \right|=ab$

所以 $S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\cdot\left| x_1y_2-x_2y_1 \right|=\frac{ab}{2}$ .