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二、图

原文:Chapter 2 Graphs

译者:飞龙

协议:CC BY-NC-SA 4.0

自豪地采用谷歌翻译

本书的前三章有关一些模型,它们描述了由组件和组件之间的连接组成的系统。例如,在生态食物网中,组件是物种,连接代表捕食者和猎物的关系。

在本章中,我介绍了 NetworkX,一个用于构建和研究这些模型的 Python 包。我们从 Erdős-Rényi 模型开始,它具有一些有趣的数学属性。在下一章中,我们将介绍更有用的,解释现实系统的模型。

本章的代码在本书仓库中的chap02.ipynb中。使用代码的更多信息请参见第(?)章。

2.1 图是什么?

图 2.1:表示社交网络的有向图

对于大多数人来说,图是数据集的视觉表示,如条形图或股票价格对于时间的绘图。这不是本章的内容。

在本章中,图是一个系统的表示,它包含离散的互连元素。元素由节点表示,互连由边表示。

例如,你可以表示一个路线图,每个城市都是一个节点,每个城市之间的路线是一条边。或者你可以表示一个社交网络,每个人是节点,如果他们是朋友,两个人之间有边,否则没有。

在某些图中,边具有长度,成本或权重等属性。例如,在路线图中,边的长度可能代表两个城市之间的距离,或旅行时间。在社交网络中,可能会有不同的边来表示不同种类的关系:朋友,商业伙伴等。

边可以是有向或无向的,这取决于它们表示的关系是不对称的还是对称的。在路线图中,你可能会使用有向边表示单向街道,使用无向边表示双向街道。在某些社交网络,如 Facebook,好友是对称的:如果 A 是 B 的朋友,那么 B 也是 A 的朋友。但在 Twitter 上,“关注”关系并不对称;如果 A 关注了 B,这并不意味着 B 关注 A。因此,你可以使用无向边来表示 Facebook 网络,并将有向边用于 Twitter。

图具有有趣的数学属性,并且有一个称为图论的数学分支,用于研究它们。

图也很有用,因为有许多现实世界的问题可以使用图的算法来解决。例如,Dijkstra 的最短路径算法,是从图中找到某个节点到所有其他节点的最短路径的有效方式。路径是两个节点之间的,带有边的节点序列。

图的节点通常以圆形或方形绘制,边通常以直线绘制。例如,上面的有向图中,节点可能代表在 Twitter 上彼此“关注”的三个人。线的较厚部分表示边的方向。在这个例子中,爱丽丝和鲍勃相互关注,都关注查克,但查克没有关注任何人。

下面的无向图展示了美国东北部的四个城市;边上的标签表示驾驶时间,以小时为单位。在这个例子中,节点的位置大致对应于城市的地理位置,但是通常图的布局是任意的。

2.2 NetworkX

图 2.2:表示城市和高速公路的无向图

为了表示图,我们将使用一个名为 NetworkX 的包,它是 Python 中最常用的网络库。你可以在 https://networkx.github.io/ 上阅读更多信息,但是我们之后会解释。

我们可以通过导入 NetworkX 和实例化nx.DiGraph来创建有向图:

import networkx as nx
G = nx.DiGraph()

通常将 NetworkX 导入为nx。此时,G是一个DiGraph对象,不包含节点和边。我们可以使用add_node方法添加节点:

G.add_node('Alice')
G.add_node('Bob')
G.add_node('Chuck')

现在我们可以使用nodes方法获取节点列表:

>>> G.nodes()
['Alice', 'Bob', 'Chuck']

添加边的方式几乎相同:

G.add_edge('Alice', 'Bob')
G.add_edge('Alice', 'Chuck')
G.add_edge('Bob', 'Alice')
G.add_edge('Bob', 'Chuck')

我们可以使用edges来获取边的列表:

>>> G.edges()
[('Alice', 'Bob'), ('Alice', 'Chuck'),
 ('Bob', 'Alice'), ('Bob', 'Chuck')]

NetworkX 提供了几个绘图的功能;draw_circular将节点排列成一个圆,并使用边将它们连接:

nx.draw_circular(G,
                 node_color=COLORS[0],
                 node_size=2000,
                 with_labels=True)

这就是我用来生成图(?)的代码。with_labels选项标注了节点;在下一个例子中,我们将看到如何标注边。

为了产生图(?),我们以一个字典开始,它将每个城市的名称,映射为对应的经纬度:

pos = dict(Albany=(-74, 43),
           Boston=(-71, 42),
           NYC=(-74, 41),
           Philly=(-75, 40))

因为这是个无向图,我实例化了nx.Graph

G = nx.Graph()

之后我可以使用add_nodes_from来迭代pos的键,并将它们添加为节点。

G.add_nodes_from(pos)

下面我会创建一个字典,将每条边映射为对应的驾驶时间。

drive_times = {('Albany', 'Boston'): 3,
               ('Albany', 'NYC'): 4,
               ('Boston', 'NYC'): 4,
               ('NYC', 'Philly'): 2}

现在我可以使用add_edges_from,它迭代了drive_times的键,并将它们添加为边:

G.add_edges_from(drive_times)

现在我不使用draw_circular,它将节点排列成一个圆圈,而是使用draw,它接受pos作为第二个参数:

nx.draw(G, pos,
        node_color=COLORS[1],
        node_shape='s',
        node_size=2500,
        with_labels=True)

pos是一个字典,将每个城市映射为其坐标;draw使用它来确定节点的位置。

要添加边的标签,我们使用draw_networkx_edge_labels

nx.draw_networkx_edge_labels(G, pos,
                             edge_labels=drive_times)

drive_times是一个字典,将每条边映射为它们之间的驾驶距离,每条边表示为城市名称的偶对。这就是我生成图(?)的方式。

在这两个例子中,这些节点是字符串,但是通常它们可以是任何可哈希的类型。

2.3 随机图

随机图就像它的名字一样:一个随机生成的节点和边的图。当然,有许多随机过程可以生成图,所以有许多种类的随机图。

其中一个更有趣的是 Erdős-Rényi 模型,PaulErdős 和 AlfrédRényi 在 20 世纪 60 年代研究过它。

Erdős-Rényi 图(ER 图)的特征在于两个参数:n是节点的数量,p是任何两个节点之间存在边的概率。见 http://en.wikipedia.org/wiki/Erdos-Renyi_model

Erdős 和 Rényi 研究了这些随机图的属性;其令人惊奇的结果之一就是,随着随机的边被添加,随机图的属性会突然变化。

展示这类转变的一个属性是连通性。如果每个节点到每个其他节点都存在路径,那么无向图是连通的。

在 ER 图中,当p较小时,图是连通图的概率非常低,而p较大时接近1。在这两种状态之间,在p的特定值处存在快速转变,表示为p*

Erdős 和 Rényi 表明,这个临界值是p* = lnn / n,其中n是节点数。如果p < p*,随机图G(n, p)不太可能连通,并且如果p > p*,则很可能连通。

为了测试这个说法,我们将开发算法来生成随机图,并检查它们是否连通。

2.4 生成图

我将首先生成一个完全图,这是一个图,其中每个节点都彼此连接。

这是一个生成器函数,它接收节点列表并枚举所有不同的偶对。如果你不熟悉生成器函数,你可能需要阅读附录?,然后回来。

def all_pairs(nodes):
    for i, u in enumerate(nodes):
        for j, v in enumerate(nodes):
            if i>j:
                yield u, v

你可以使用all_pairs来构造一个完全图。

def make_complete_graph(n):
    G = nx.Graph()
    nodes = range(n)
    G.add_nodes_from(nodes)
    G.add_edges_from(all_pairs(nodes))
    return G

make_complete_graph接受节点数n,并返回一个新的Graph,拥有n个节点,所有节点之间都有边。

以下代码生成了一个包含 10 个节点的完全图,并绘制出来。

complete = make_complete_graph(10)
nx.draw_circular(complete,
                 node_color=COLORS[2],
                 node_size=1000,
                 with_labels=True)

图(?)显示了结果。不久之后,我们将修改此代码来生成 ER 图,但首先我们将开发函数来检查图是否是连通的。

2.5 连通图

如果每个节点到每个其他节点都存在路径,这个图就是连通图。请见http://en.wikipedia.org/wiki/Connectivity_(graph_theory)

对于许多涉及图的应用,检查图是否连通是很有用的。幸运的是,有一个简单的算法。

你可以从任何节点起步,并检查是否可以到达所有其他节点。如果你可以到达一个节点v,你可以到达v的任何一个邻居,他们是v通过边连接的任何节点。

Graph类提供了一个称为neighbors的方法,返回给定节点的邻居列表。例如,在上一节中我们生成的完全图中:

>>> complete.neighbors(0)
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

假设我们从节点s起步。我们可以将s标记为“已访问”,然后我们可以标记它的邻居。然后我们标记邻居的邻居,依此类推,直到你无法再到达任何节点。如果访问了所有节点,则图是连通图。

以下是 Python 中的样子:

def reachable_nodes(G, start):
    seen = set()
    stack = [start]
    while stack:
        node = stack.pop()
        if node not in seen:
            seen.add(node)
            stack.extend(G.neighbors(node))
    return seen

reachable_nodes接受Graph和起始节点start,并返回可以从start到达的节点集合,他们。

最初,已访问的集合是空的,我们创建一个名为stack的列表,跟踪我们发现但尚未处理的节点。最开始,栈包含单个节点start

现在,每次在循环中,我们:

  • 从栈中删除一个节点。
  • 如果节点已在seen中,我们返回到步骤 1。
  • 否则,我们将节点添加到seen,并将其邻居添加到栈。

当栈为空时,我们无法再到达任何节点,所以我们终止了循环并返回。

例如,我们可以找到从节点0可到达的,完全图中的所有节点:

>>> reachable_nodes(complete, 0)
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

最初,栈包含节点0seen是空的。第一次循环中,节点0添加到了seen,所有其他节点添加到了栈中(因为它们都是节点0的邻居)。

下一次循环中,pop返回栈中的最后一个元素,即节点9.因此,节点9被添加到seen,并且其邻居被添加到栈。

请注意,同一个节点在栈中可能会出现多次;实际上,具有k个邻居的节点将添加到栈k次。稍后我们将寻找方法,来使此算法更有效率。

我们可以使用reachable_nodes来编写is_connected

def is_connected(G):
    start = next(G.nodes_iter())
    reachable = reachable_nodes(G, start)
    return len(reachable) == len(G)

is_connected通过调用nodes_iter来选择一个起始节点,node_iter返回一个迭代器对象,并将结果传递给next,返回第一个节点。

reachable获取了一组节点,它们可以从start到达。如果这个集合的大小与图的大小相同,那意味着我们可以访问所有节点,也就是这个图是连通的。

一个完全图是连通的,毫不奇怪:

>>> is_connected(complete)
True

下一节中,我们会生成 ER 图,并检查它们是否是连通的。

2.6 生成 ER图

图 2.4:ER 图,n=10p=0.3

ER 图G(n, p) 包含n个节点,每对节点以概率为p的边连接。生成 ER 图类似于生成完全图。

以下生成器函数枚举所有可能的边,并使用辅助函数flip,来选择哪些应添加到图中:

def random_pairs(nodes, p):
    for i, u in enumerate(nodes):
        for j, v in enumerate(nodes):
            if i>j and flip(p):
                yield u, v

flip以给定概率p返回True,以互补的概率1-p返回False

from numpy.random import random

def flip(p):
    return random() < p

最后,make_random_graph生成并返回 ER 图G(n, p)

def make_random_graph(n, p):
    G = nx.Graph()
    nodes = range(n)
    G.add_nodes_from(nodes)
    G.add_edges_from(random_pairs(nodes, p))
    return G

make_random_graph几乎和make_complete_graph,唯一的不同是它使用random_pairs而不是all_pairs

这里是p=0.3的例子:

random_graph = make_random_graph(10, 0.3)

图(?)展示了结果。这个图是连通图;事实上,大多数p=10并且p=3的 ER 图都是连通图。在下一节中,我们将看看有多少。

2.7 连通性的概率

图 2.5:连通性的概率,n=10p是一个范围。竖直的线展示了预测的临界值。

图 2.6:连通性的概率,n是多个值,p是一个范围。

对于np的给定值,我们想知道G(n, p)连通的概率。我们可以通过生成大量随机图,来计算有多少个来估计它。就是这样:

def prob_connected(n, p, iters=100):
    count = 0
    for i in range(iters):
        random_graph = make_random_graph(n, p)
        if is_connected(random_graph):
            count += 1
    return count/iters

iters是我们生成的随机图的数量。随着我们增加iter,估计的概率就会更加准确。

>>> prob_connected(10, 0.3, iters=10000)
0.6454

在具有这些参数的 10000 个 ER 图中,6498 个是连通的,因此我们估计其中65%是连通的。所以 0.3 接近临界值,在这里连通概率从接近 0 变为接近 1。根据 Erdős 和 Rényi,p* = lnn / n = 0.23

我们可以通过估计一系列p值的连通概率,来更清楚地了解转变:

import numpy as np

n = 10
ps = np.logspace(-2.5, 0, 11)
ys = [prob_connected(n, p) for p in ps]

这是我们看到的使用 NumPy 的第一个例子。按照惯例,我将 NumPy 导入为np。函数logspace返回从10 ** -2.510 ** 0 = 1的 11 个元素的数组,在对数刻度上等间隔。

为了计算y,我使用列表推导来迭代ps的元素,并计算出每个值为p的随机图的连通概率。

图(?)展示了结果,竖直的线为p*。从 0 到 1 的转变发生在预测的临界值附近。在对数刻度上,这个转变大致对称。

对于较大的n值,图(?)展示了类似的结果。随着n的增加,临界值越来越小,转变越来越突然。

这些实验与 Erdős 和 Rényi 在其论文中证明的结果一致。

2.8 图的算法分析

这一章中,我提出了一个检查图是否连通的算法;在接下来的几章中,我们将再次看到更多的图的算法。并且我们要分析这些算法的性能,了解它们的运行时间如何随着图大小的增加而增长。

如果你还不熟悉算法分析,在你继续之前,你应该阅读附录一。

图算法的增长级别通常表示为顶点数量n,以及边数量m的函数。

作为一个例子,我们分析从前面的reachable_nodes

def reachable_nodes(G, start):
    seen = set()
    stack = [start]
    while stack:
        node = stack.pop()
        if node not in seen:
            seen.add(node)
            stack.extend(G.neighbors(node))
    return seen

每次循环,我们从栈中弹出一个节点;默认情况下,pop删除并返回列表的最后一个元素,这是一个常数时间的操作。

接下来我们检查节点是否被已访问,这是一个集合,所以检查成员是常数时间。

如果节点还没有访问,我们添加它是常量时间,然后将邻居添加到栈中,这相对于邻居数量是线性的。

为了使用nm表达运行时间,我们可以将每个节点添加到seenstack的总次数加起来。

每个节点只添加一次,所以添加的总数为n

但是节点可能多次被添加到栈,具体取决于它们有多少邻居。如果节点具有k个邻居,则它会被添加到栈k次。当然,如果它有k个邻居,那意味着它拥有k个边。

所以添加到栈的总数是边的数量m的两倍,由于我们考虑每个边两次。

因此,这个函数的增长级别为O(n + m),我们可以说,即运行时间与nm成正比,以较大者为准。

如果我们知道nm之间的关系,我们可以简化这个表达式。例如,在完全图中,边数是n(n-1)/ 2,它属于O(n^2)。所以对于一个完全图,reachable_nodes是二次于n的。

2.9 练习

本章的代码在chap02.ipynb中,它是本书的仓库中的 Jupyter 笔记本。使用此代码的更多信息,请参阅第(?)节。

练习 1:启动chap02.ipynb并运行代码。笔记本中嵌入了一些简单的练习,你可能想尝试一下。

练习 2:我们分析了reachable_nodes的性能,并将其分类为O(n + m),其中n是节点数,m是边数。继续分析,is_connected的增长级别是什么?

def is_connected(G):
    start = next(G.nodes_iter())
    reachable = reachable_nodes(G, start)
    return len(reachable) == len(G)

练习 3 :在我实现reachable_nodes时,你可能很困惑,因为向栈中添加所有邻居而不检查它们是否已访问,明显是低效的。编写一个该函数的版本,在将邻居添加到栈之前检查它们。这个“优化”是否改变了增长级别?它是否使函数更快?

译者注:在弹出节点时将其添加到seen,在遍历邻居时检查它们是否已访问。

练习 4:

实际上有两种 ER 图。我们在本章中生成的一种,G(n,p)的特征是两个参数,节点数量和节点之间的边的概率。

一种替代定义表示为G(n,m),也以两个参数为特征:节点数n和边数m。在这个定义中,边数是固定的,但它们的位置是随机的。

使用这个替代定义,重复这一章的实验。这里是几个如何处理它的建议:

  1. 编写一个名为m_pairs的函数,该函数接受节点列表和边数m,并返回随机选择的m个边。一个简单的方法是,生成所有可能的边的列表,并使用random.sample

  2. 编写一个名为make_m_graph的函数,接受nm,并返回n个节点和m个边的随机图。

  3. 创建一个prob_connected的版本,使用make_m_graph而不是make_random_graph

  4. 计算一系列m值的连通概率。

与第一类 ER 图的结果相比,该实验的结果如何?

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