Каким образом Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре?
Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть открытую область, диффеоморфную прямому произведению {\displaystyle (0,1)\times S^{2}}(0,1)\times S^{2}), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи.

Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией». Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме.

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии {\displaystyle M}M и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие {\displaystyle M}M можно представить как набор сферических пространственных форм {\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}S^{3}/\Gamma _{i}, соединённых друг с другом трубками {\displaystyle [0,1]\times S^{2}}[0,1]\times S^{2}. Подсчёт фундаментальной группы показывает, что {\displaystyle M}M диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм {\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}S^{3}/\Gamma _{i} и более того все {\displaystyle \Gamma _{i}}\Gamma _{i} тривиальны. Таким образом, {\displaystyle M}M является связной суммой набора сфер, то есть сферой.
Что это за \displaystyle \Gamma и прочее?
Это LaTeX для формул. В тексте довольно трудно иначе представить сложные математические выражения. Вы можете воспользоваться любым LaTeX процессором для корректной визуализации формул, например, Overleaf.