Kannst du folgende These mittels vollständiger Induktion beweisen oder widerlegen?:

Wenn sich unter n Kühen eine lila Kuh befindet, dann sind alle Kühe lila.
Die Frage bezieht sich auf das Pferdeparadoxon und wird auf Kühe übertragen. Das Problem hinter diesem Paradoxon ist der Induktionsanfang A(n0) eine lila Kuh. Mit diesem Anfang kann man argumentieren, dass eine Herde mit n=1 Kühen alle lila sind und man kann nun argumentieren, dass Herden mit n Kühen alle lila sind. Das Problem tritt nicht auf, wenn man als Induktionsbeginn 2 Kühe wählt, aber das ist nicht möglich, da man nicht garantieren kann, dass 2 beliebige Kühe die gleiche Farbe haben.
Warum spielt es für die Induktion hier keine Rolle, dass n von Anfang an beliebig groß gemeint war? Gibt es etwas, wobei man hier beim formulieren echter mathematischer Beweise aufpassen muss, bzw. etwas was man aus dem Paradoxon lernen kann?
Es spielt keine Rolle, dass n beliebig gross gewählt ist, da man zur Anwendung von Induktion immer eine Induktionsverankerung wählen muss. Diese ist im genannten Beispiel aber nicht korrekt wählbar. Im konkreten Beispiel:
Besteht die Herde nur aus einer Kuh, so erhält man nach dem Entfernen einer Kuh gleicher Farbe eine leere Herde, in die die Kuh unbekannter Farbe eingefügt wird. Die leere Herde aber hat keine Farbe, die per Induktionsvoraussetzung auf die Kuh unbekannter Farbe übertragen werden könnte. Anders ausgedrückt, die ursprüngliche Herde von n Kühen und die neue Herde von n  Kühen, bei der eine Kuh durch die Kuh unbekannter Farbe ausgetauscht wurde, müssen eine nicht leere Schnittmenge besitzen. Für einen korrekten Beweis müsste die Induktionsverankerung daher für n = 2 anstatt für  n=1 durchgeführt werden. Dies ist jedoch nicht möglich, da man nicht garantieren kann, dass zwei beliebige Kühe die gleiche Farbe besitzen.

Der Induktionsschritt selbst kann übrigens korrekt durchgeführt werden. Man kann aus dem Paradoxon lernen, dass sowohl der Induktionsschritt als auch die Induktionsverankerung korrekt festgelegt sein müssen, damit der Beweis mittels vollständiger Induktion korrekt ist.