Mi puoi per favore spiegare il significato di fenologia e come posso modificare le equazioni di Lotka-Volterra per tenerne conto? Mi sarebbe anche utile un richiamo sia ai testi fondativi sia agli ultimi articoli pubblicati sul tema.
La fenologia è la scienza che si occupa della classificazione e registrazione degli eventi rilevanti nello sviluppo degli organismi, in particolare di quelli pecilotermi, cioè incapaci di regolare la propria temperatura in modo indipendente da quella ambientale, come ad esempio le piante e gli insetti. La fenologia vegetale in particolare si occupa della definizione delle fasi di sviluppo (o fasi fenologiche) delle piante in particolari scale fenologiche e della registrazione delle date in cui esse si verificano nei diversi ambienti.

Le equazioni di Lotka-Volterra sono un sistema di equazioni differenziali non lineari del primo ordine che forniscono un modello matematico in grado di descrivere la dinamica di un ecosistema in cui interagiscono soltanto due specie animali: una delle due come predatore, l’altra come la sua preda. Il modello fu elaborato indipendentemente da A.J. Lotka e V. Volterra, e presenta la seguente forma:
```
dN/dt = rN - aNP
dP/dt = baNP - mP
```
dove N è il numero di prede, P è il numero di predatori, r è il tasso intrinseco di crescita delle prede, a è il tasso di predazione per unità di predatore, b è l’efficienza con cui le prede vengono convertite in nuovi predatori, e m è il tasso di mortalità dei predatori.

Per tenere conto della fenologia nelle equazioni di Lotka-Volterra, si può introdurre una funzione periodica che modella l’effetto del fotoperiodo sulle popolazioni. Ad esempio, si può assumere che il tasso intrinseco di crescita delle prede sia influenzato dalla lunghezza del giorno secondo la formula:
```
r(t) = r0 + r1 cos(2πt/T)
```
dove r0 e r1 sono costanti positive, t è il tempo e T è il periodo annuale. In questo modo, si ottiene un sistema non autonomo che presenta una dinamica più complessa rispetto al caso originale.

Un testo fondativo sulle equazioni di Lotka-Volterra è quello dello stesso Volterra intitolato “Leçons sur la théorie mathématique de la lutte pour la vie” pubblicato nel 1931. Un articolo recente sul tema della fenologia e delle equazioni di Lotka-Volterra è quello di J.M. Morales et al. intitolato “Phenology and Lotka–Volterra equations: The effect of climate change on predator–prey interactions” pubblicato nel 2019.