Где Айболит взял новую лапку для зайчика?
В детском стихотворении про Айболита восстановление лапок — это образ, приятный и понятный детям. Наличие новых лапок — художественное допущение.
Потенциально откуда он их мог взять?
Есть несколько вариантов откуда Айболит мог взять ножки для зайки. 
1. Айболит обладает волшебными способностями и способен сотворить ножки из воздуха. 
2. Ножки для зайки являются протезами и призваны продемонстрировать достижения медицины. 
3. Доктор Айболит пришил зайке его собственные ножки, а выражение новые ножки призвано подчеркнуть, что ножки у зайчика появились после периода отсутствия. 

Также возможны менее волшебные варианты появления у Айболита запасных ножек, но они маловероятны в контексте сказочного сюжета произведения.
Айболит обладает волшебными способностями и способен сотворить ножки из воздуха