Можешь сформулировать и доказать лемму Гейне-Бореля?
Для формулировки леммы Гейне-Бореля мне потребуются понятия открытого множества и открытого покрытия множества R вещественных чисел. Открытое множество в R - это подмножество A⊆R такое что ∀x∈A∃ε>0∀y(|x-y|<ε→y∈A), то есть содержащее вместе со всякой точкой некоторую её окрестность. Открытое покрытие множества A⊆R это множество открытых множеств 𝒞 такое, что A⊆∪𝒞.

Лемма Гейне-Бореля. Для всякого открытого покрытия 𝒞 отрезка [0,1] найдется конечное подпокрытие 𝒞', то есть конечное подмножество 𝒞'⊆𝒞 являющееся открытым покрытием [0,1].
Доказательство. Рассмотрим множество B⊆[0,1] всех b таких, что существует конечное 𝒞'⊆𝒞 являющегося открытым покрытием [0,b]. Наша задача доказать, что 1∈B. Рассмотрим A₀∈𝒞 такое, что 0∈A₀. В силу открытости A  есть ε₀>0 такое, что ∀y(|0-y|<ε₀→y∈A₀), т.е. [0,ε₀)⊆A. Таким образом {A₀} является открытым покрытием [0,b] для всякого b<ε₀ и соответственно [0,ε₀)⊆B. В силу принципа существования точной верхней грани у B есть точная верхняя грань b₀. Очевидно, 0<ε₀≤b₀≤1. Для завершения доказательства далее мы покажем, что найдестя δ>0, что ∀b≤min(1,b₀+δ)(b∈B), от сюда с одной стороны будет следовать, что точная верхняя грань b₀ не могла быть меньше 1 (и соответственно b₀=1), а с другой стороны, что b₀∈B, что в комбинации завершит данное доказательство. Точка b₀ является элементом некоторого A∈𝒞 и в силу открытости A есть ε>0 такое, что ∀y(|b₀-y|<ε→y∈A). Положим δ=ε/2. Так как b₀ это точная верхняя грань B, найдется b₁∈B, что b₁≤b₀ и b₀-b₁<δ. Фиксируем конечное 𝒞'⊆𝒞 являющееся покрытием [0,b₁]. Заметим, что 𝒞'∪{A} является конечным покрытием [0,b₀+δ] и соответственно всякого [0,b] для b≤min(1,b₀+δ). Таким образом, ∀b≤min(1,b₀+δ)(b∈B), что и требовалось доказать.
А можно немного проще?
Да, конечно, я совсем немного упрощу концепцию.
Рассмотрим подмножество 𝒞'⊆𝒞 состоящее из тех и только тех A∈𝒞 таких, что A⊆(b₀-ε,b₀]. Такое 𝒞' является конечным, так как 𝒞 является конечным, и является открытым покрытием (b₀-ε,b₀], следовательно, b₀∈B. Отсюда доказывается, что 1∈B, и таким образом для любого открытого покрытия 𝒞 отрезка [0,1] существует конечное подпокрытие 𝒞', являющееся открытым покрытием [0,1].
Дайте знать, если и этот вариант кажется вам сложным, я постараюсь упростить его еще больше.
А можешь объяснить на примерах из реальной жизни?