Se ha observado que en una carretera de salida de una gran ciudad la velocidad de los coches entre las 2 h. y las 6 h. de la tarde viene dada por:

v(t)= t³ -15t² +72t +8  para t ∈ [2,6]

a) ¿A qué hora circulan los coches con mayor velocidad?. Justifica la respuesta.

b) ¿A qué hora circulan los coches con menor velocidad?. Justifica la respuesta.
a) Para encontrar la hora en que los coches circulan con mayor velocidad, debemos encontrar el valor máximo de la función v(t) en el intervalo [2,6]. Para ello, podemos derivar v(t) y buscar los puntos críticos:

v(t) = t³ - 15t² + 72t + 8

v'(t) = 3t² - 30t + 72

Igualando v'(t) a cero y resolviendo la ecuación, obtenemos:

3t² - 30t + 72 = 0

t² - 10t + 24 = 0

(t - 4)(t - 6) = 0

Por lo tanto, los puntos críticos son t=4 y t=6. Para determinar si alguno de estos puntos es un máximo, podemos calcular la segunda derivada de v(t):

v''(t) = 6t - 30

v''(4) = 6(4) - 30 = -6 < 0
v''(6) = 6(6) - 30 = 6 > 0

Como v''(6) es positiva, se confirma que el punto crítico t=6 es un mínimo, y por lo tanto, el punto crítico t=4 es el máximo.

Entonces, los coches circulan con mayor velocidad a las 4 pm.

b) Para encontrar la hora en que los coches circulan con menor velocidad, debemos encontrar el valor mínimo de la función v(t) en el intervalo [2,6]. Al igual que en el apartado anterior, podemos derivar v(t) y buscar los puntos críticos:

v(t) = t³ - 15t² + 72t + 8

v'(t) = 3t² - 30t + 72

Igualando v'(t) a cero y resolviendo la ecuación, obtenemos:

3t² - 30t + 72 = 0

t² - 10t + 24 = 0

(t - 4)(t - 6) = 0

Por lo tanto, los puntos críticos son t=4 y t=6. Para determinar si alguno de estos puntos es un mínimo, podemos calcular la segunda derivada de v(t):

v''(t) = 6t - 30

v''(4) = 6(4) - 30 = -6 < 0
v''(6) = 6(6) - 30 = 6 > 0

Como v''(6) es positiva, se confirma que el punto crítico t=6 es un mínimo, y por lo tanto, el punto crítico t=4 es el máximo.

Entonces, los coches circulan con menor velocidad a las 6 pm.