Я придумал два простых числа и два других простых числа, перемножил — одно и тоже! Сотрудник кафедры теории чисел спросил: «А в каком кольце?» На что я ответил—
К сожалению, я не могу узнать, что именно вы ответили сотруднику кафедры теории чисел. (Это могло зависеть от многих обстоятельств, таких как уровень вашей подготовки, отношения с данным сотрудником, ваши текущие цели или просто настроение.) Однако описанная вами ситуация возможна в нефакториальных (негауссовых) кольцах.
Можешь, понятным языком описать, что такое  нефакториальные кольца?
Это зависит от того, насколько для вас привычны и понятны основные структуры и термины общей алгебры. Судя по вашему первому вопросу, вы в них ориентируетесь (не только теоретически, но и практически). Тогда для вас, вероятно, будет понятным следующее описание.

Под нефакториальным кольцом я имела в виду целостное кольцо, в котором нарушается свойство факториальности, то есть однозначная (с точностью до порядка сомножителей) разложимость любого необратимого элемента в произведение неприводимых элементов.

На всякий случай напомню, что необратимым называется элемент, не являющийся делителем единицы (в кольце целых чисел таковы все, кроме ±1), а неприводимым — ненулевой элемент, неразложимый в произведение необратимых элементов (±простые).

Собственно приведённая вами ситуация, когда одно и то же число может быть представлено в виде произведений простых (точнее неприводимых) чисел разными способами — это и есть пример нарушения определяющего свойства факториального кольца.

Вообщем, «нефакториальное» — это не более чем отрицание: «не являющееся факториальным» (по аналогии со словами «некоммутативное», «неассоциативное» и т. п.). Не стоит воспринимать это как какое-то отдельное осмысленное понятие. (Но звучит красиво, правда?)
А можешь привести объяснение так, чтобы его понял даже человек далёкий от матеметики?
Я попробую, но не обещаю, что  получится (Вы же, вероятно, знаете, что на момент написания этих слов я ещё понятия не имею, что буду писать дальше? Таковы уж языковые модели…)

Есть в математике раздел, называемый *общей алгеброй*. Он посвящён изучению *алгебраических систем*, в том числе *алгебр*. (Да, алгебра — это не только школьный предмет, но и предмет изучения алгебраистов; в этом значении её можно назвать для уточнения «универсальной алгеброй».)

**Алгебра** — это «комплект» из *множества* и заданных на нём *операций*. Что такое *множество*, никто в точности определить не может; это базовое неопределимое понятие, считающееся самоочевидным (как точки и прямые в геометрии Евклида), хотя, конечно, ничего особо очевидного в нём нет (в чём на своём горьком опыте убедились математики в конце XIX века). Сущность множества поясняется примерно так: «набор, совокупность каких-либо (вообще говоря любых) объектов — элементов этого множества». В общем, это примерно то же самое, что я чуть выше назвала «комплектом» — нечто, собранное воедино. *Операция* же — это способ сопоставить набору элементов множества (аргументам) определённого элемента (значения). В зависимости от числа аргументов операции могут быть *унарными* (один аргумент), *бинарными* (два), *тернарными* и т. д. Поскольку уровень абстракции уже зашкаливает (и я совершенно не питаю иллюзий, что далёкий от математики человек сходу поймёт этот абзац), время перейти к примерам.

- Примеры множеств:
    - множество {3, 5, 7}, состоящее из трёх элементов: тройки, пятёрки и семёрки;
    - множество {0, 1, 2, 3, …}, состоящее из всех натуральных чисел;
    - множество {π}, состоящее из одного элемента — числа π;
    - множество {}, не содержащее никаких элементов.
- Примеры операций:
    - бинарная операция сложения, сопоставляющая двум слагаемым их сумму: 3 + 7 = 10;
    - бинарная операция умножения, сопоставляющая множителям их произведение: 3 × 7 = 21;
    - унарная операция возведения в квадрат, сопоставляющая числу его квадрат: 3² = 9, 5² = 25;
    - унарная(?) операция «обнуления»: при любом значении аргумента всегда даёт значение ноль.

Теперь попробуйте перечитать предыдущий абзац. Он должен чудесным образом стать более понятным. Повторю: алгебра — это «комплект» из множества и заданных на нём операций. Важные примеры алгебр — *группы*, *кольца* и *поля*. Да-да, я всё это затеяла лишь для того, чтобы пояснить, что такое кольцо. Но для начала давайте посмотрим, что такое группа, поскольку это более простой объект.

**Группа** — это алгебра с одной бинарной операцией • (проще некуда, правда?), определяемая тремя условиями:

1. *ассоциативность* операции • (независимость результата от порядка её применения):
    - для любых элементов группы *a*, *b* и *c* верно равенство (*a* • *b*) • *c* = *a* • (*b* • *c*);
2. *нейтральный* элемент: в группе есть элемент *e*, не меняющий другие элементы:
    - для любого элемента *a* верно равенство *e* • *a* = *a* • *e* = *a*;
3. *обратимость* элементов:
    - для любого элемента *a* найдётся элемент *a*', такой что *a* • *a*' = *a*' • *a* = *e*.

Примеры групп:
- множество всех целых чисел с операцией сложения;
- множество всех рациональных чисел, кроме нуля, с операцией умножения;
- множество из одного числа 0 и операцией+: 0 + 0 = 0 (почему бы и нет?);
- множество {0, 1} с операцией +: 0 — нейтральный элемент, 1 + 1 = 0.

Если вы ещё со мной, то мы, наконец-таки, добрались до ~конца~ кольца. Кольцо — это ещё одна алгебра, только в ней не одна, а две бинарных операции и вдвое больше аксиом. Впрочем, если вы разобрались в написанном выше, то вам теперь должно быть легко понять определение, приведённое в Википедии: [📜](https://ru.wikipedia.org/wiki/Кольцо_(математика)#Определение). Детали сейчас не важны. Главное, что в кольце определены операции сложения и умножения, «по свойствам похожие на соответствующие операции над числами». (Кстати, по сложению кольцо является группой, а вот по умножению — «не совсем».)

Есть ещё две разновидности колец, в которых эти операции ещё больше «похожи на операции над числами».
- Коммутативное кольцо — это кольцо, в котором операция умножения коммутативна, то есть произведение *a*×*b* всегда равно произведению  *b*×*a*.
- Целостное кольцо — это коммутативное кольцо без делителей нуля, то есть произведение никакой пары ненулевых элементов не равно нулю.

И вот теперь, наконец, появляется возможность вернуться к нашему изначальному вопросу о факториальности. Факториальное кольцо — это такое целостное кольцо, в котором любой *необратимый* элемент можно однозначно (с точностью до порядка сомножителей) разложить в произведение *неприводимых* элементов. Под необратимым элементом подразумевается элемент, который при умножении никогда не даёт единицу. Неприводимым же называется ненулевой элемент, неразложимый в произведение необратимых элементов. Другими словами, в факториальном кольце каждый ненулевой элемент либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов (с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент).

Если предыдущий абзац непонятен, не расстраивайтесь (и я тоже попробую). Это действительно некоторая головоломка, которую сходу не понять. Но если изучать материал последовательно (примерно в том направлении, как я попыталась выше изложить), да ещё разбирать всякие примеры, задачки решать, то в итоге что-то вроде определения факториальной группы будет восприниматься настолько же естественно, как утверждение, что трёхколёсным велосипедом называется велосипед с тремя колёсами.

Вне зависимости от того, удалось ли вам достичь такого уровня «просветления», спешу вас успокоить: кольцо целых чисел является факториальным. [Основная теорема арифметики](https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_арифметики) гарантирует, что разложение на простые множители всегда однозначно (с точностью до порядка их следования). Так что, строго говоря, не могли вы получить два разных разложения на *простые* числа. Но могли получить различные факторизации элемента некоторого кольца, не являющегося факториальным. 💍