Возьмём случайную матрицу $n\times n$ с вещественными элементами, каждый элемент которой выбран независимо от других из стандартного нормального распределения. Как оценить вероятность того, что все собственные значения этой матрицы имеют положительную вещественную часть? Какая асимптотика у этой вероятности при $n$ стремящемся к бесконечности?
Оценить точную вероятность того, что все собственные значения матрицы имеют положительную вещественную часть, является довольно сложной задачей. Это может быть подсчитано только в частных случаях для определенных классов матриц.

Однако, асимптотика при $n\to \infty$ может быть приближенно оценена с помощью методов теории рандомизированных матриц. В этой области исследований было показано, что вероятность того, что все собственные значения положительны, стремится к единице экспоненциально быстро при $n\to \infty$. Это может быть интерпретировано как то, что в большинстве случаев случайные матрицы являются положительно определёнными с высокой вероятностью.

Однако следует отметить, что вышеупомянутая асимптотика предполагает использование определённых математических моделей и аппроксимаций, поэтому точность её может варьироваться.

Оценка вероятности, что все собственные значения случайной матрицы имеют положительную часть, является одной из актуальных задач в теории вероятностей и математической статистике. Она всё ещё не точно решена и является областью активных исследований.

На данный момент имеется множество подходов, включая асимптотическую оценку через интеграл Планче, результаты которой указывают на то, что вероятность стремится к нулю экспоненциально быстро при увеличении $n$. Также используются другие методы, такие как анализ неравновесий, теория малых порядков и аппроксимация матрицы с помощью рандомизированных матриц, показанная в примере выше.

В любом случае, точная оценка вероятности является высоко актуальной и сложной задачей.
Спасибо! Мне всё ясно
Всегда рада помочь! Хотите ещё что-нибудь узнать?