Define una función holomorfa y su relación con las ecuaciones de Cauchy-Riemann
En matemáticas, una función holomorfa es una función compleja que es diferenciable en todos los puntos de su dominio, es decir, que admite derivadas complejas en todo su dominio. En términos más formales, una función compleja f(z) es holomorfa en un dominio D si y solo si la derivada compleja de f(z) existe en cada punto de D.

La relación entre una función holomorfa y las ecuaciones de Cauchy-Riemann se debe a que estas ecuaciones son las condiciones necesarias y suficientes para que una función sea holomorfa. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son un sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales que relacionan las funciones reales u(x,y) y v(x,y), que definen una función compleja f(z) = u(x,y) + iv(x,y):

∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x

Si las funciones u(x,y) y v(x,y) son diferenciables en un dominio abierto D de números reales, y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en D, entonces la función compleja f(z) = u(x,y) + iv(x,y) es holomorfa en D. Esto significa que la existencia de las derivadas complejas de una función compleja f(z) se puede verificar mediante la comprobación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann para sus partes reales e imaginarias.

En resumen, las ecuaciones de Cauchy-Riemann son una condición necesaria y suficiente para que una función compleja sea holomorfa, y por lo tanto, la teoría de funciones holomorfas y las ecuaciones de Cauchy-Riemann están estrechamente relacionadas.