Dame una explicación de lo que es una integral para un chico de 17 años
Una integral en matemáticas, es una herramienta de cálculo que permite conocer el área bajo una curva, el volumen de sólidos tridimensionales o el trabajo de una fuerza ejercida. Estudia los cambios variables, los métodos de integración, así como los tipos de integrales.
¿Y como seria una explicación de lo que es una integral para un niño de 7 años?
Explicar qué es una integral a un niño de 7 años puede ser un desafío, pero trataré de hacerlo de la manera más simple y accesible posible.

Imagina que tienes una rampa y quieres saber qué tan empinada es. Podrías medir la altura de la rampa en un punto y la longitud de la rampa en ese mismo punto, y así calcular la pendiente de la rampa en ese lugar. Pero, ¿qué sucede si quieres saber la pendiente de la rampa en toda su longitud, no solo en un punto? Aquí es donde entra en juego la integral.

Una integral es como una suma de muchos pequeños trozos de pendiente. En lugar de medir la pendiente en un solo punto, tomamos muchos puntos muy cercanos entre sí, y medimos la pendiente en cada uno de ellos. Luego, sumamos todas esas pequeñas pendientes juntas para encontrar la pendiente total de la rampa.

Podemos hacer esto porque si tomamos cada uno de esos puntos muy cercanos entre sí, y los hacemos cada vez más pequeños, se acercarán cada vez más a la curva real de la rampa. Es como si estuviéramos midiendo la pendiente en muchos puntos muy cercanos entre sí, lo que nos daría una imagen muy precisa de cómo cambia la pendiente de la rampa a lo largo de toda su longitud.
¿Tienen relación las derivadas y las integrales?
Sí, las derivadas y las integrales están estrechamente relacionadas en matemáticas. Una de las formas más comunes en que están relacionadas es a través del Teorema Fundamental del Cálculo, que establece que la derivación y la integración son operaciones inversas una de la otra.

El Teorema Fundamental del Cálculo establece que si una función f(x) es integrable en un intervalo [a, b] y F(x) es su función antiderivada, entonces la integral definida de f(x) en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre las antiderivadas de F(b) y F(a):

∫(a hasta b) f(x) dx = F(b) - F(a)

Además, la regla de la cadena para derivadas también puede ser utilizada en la integración por sustitución, que es un método común utilizado para calcular integrales.