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Anneaux : intersection des racines de l'unité

- pas de double négation dans la formulation
- preuve plus rigoureuse
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François Gannaz authored and LaurentClaessens committed Oct 2, 2016
1 parent 5258fba commit c9df825b7fa71d00137578262ef2f9f0c1fa6ef4
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@@ -196,24 +196,24 @@ \section{Le groupe des racines de l'unité}
\end{example}
\begin{proposition}[Intersection par deux]
Les ensembles \( U_{\alpha}\) et \( U_{\beta}\) ont une intersection non réduite à \( \{ 1 \}\) si et seulement si \( \alpha\) et \( \beta\) ne sont pas premiers entre eux.
Les ensembles \( U_{\alpha}\) et \( U_{\beta}\) ont une intersection réduite à \( \{ 1 \}\) si et seulement si \( \alpha\) et \( \beta\) sont premiers entre eux.
\end{proposition}
\begin{proof}
Nous rappelons qu'une racine \( \alpha\)\ieme de l'unité peut s'écrire sous la forme \( e^{2i\pi k/\alpha}\) avec \( 0\leq k<\alpha\).
\begin{subproof}
\item[Sens direct]
Nous supposons que \( z\in U_{\alpha}\cap U_{\beta}\). Le fait que \( z\) soit une racine \( \alpha\)\ieme de l'unité implique qu'il existe un \( k<\alpha\) tel que \( z= e^{2i\pi k/\alpha}\). Mais si \( z\) est également une racine \( \beta\)\ieme de l'unité, alors \( z^{\beta}=1\), c'est à dire que \( k\beta/\alpha\) doit être un entier, soit \( l\) cet entier. Nous avons
Par contraposée, nous supposons que \( \alpha\) et \( \beta\) ne sont pas premiers entre eux, et nous notons \( d\) leur \( \pgcd\). Nous nommons \( \alpha=d\alpha'\) et \( \beta=d\beta'\). Pour trouver une intersection entre \( U_{\alpha}\) et \( U_{\beta}\) nous devons trouver une valeur de \( 0<k<\alpha\) telle que
\begin{equation}
k\beta=l\alpha.
( e^{2i\pi k/\alpha})^{\beta}= e^{2i\pi k\beta/\alpha}=1,
\end{equation}
Le nombre \( \alpha\) divise \( k\beta\); et si nous supposons que \( \alpha\) et \( \beta \) étaient premiers entre eux, cela conduirait via le lemme de Gauss \ref{LemPRuUrsD} à dire que \( \alpha\) divise \( k\). Mais \( \alpha\) ne peut pas diviser \( k\) parce que nous avions supposé que \( k\) était strictement plus petit que \( \alpha\).
c'est à dire une valeur de \( k\) telle que \( k\beta/\alpha\) soit un entier. Mais \( k\beta/\alpha=k\beta'/\alpha'\) et par conséquent prendre \( k=\alpha'\) fonctionne. Surtout que par hypothèse \( d>1\) et donc \( k=\alpha'<\alpha\).
\item[Sens réciproque]
Nous supposons maintenant que \( \alpha\) et \( \beta\) ne sont pas premiers entre eux, et nous notons \( d\) leur \( \pgcd\). Nous nommons \( \alpha=d\alpha'\) et \( \beta=d\beta'\). Pour trouver une intersection entre \( U_{\alpha}\) et \( U_{\beta}\) nous devons trouver une valeur de \( k<\alpha\) telle que
Supposons maintenant que \( \alpha\) et \( \beta \) soient premiers entre eux. Soit \( z\in U_{\alpha}\cap U_{\beta}\). Le fait que \( z\) soit une racine \( \alpha\)\ieme de l'unité implique qu'il existe un \( k<\alpha\) tel que \( z= e^{2i\pi k/\alpha}\). Mais si \( z\) est également une racine \( \beta\)\ieme de l'unité, alors \( z^{\beta}=1\), c'est à dire que \( k\beta/\alpha\) doit être un entier, soit \( l\) cet entier. Nous avons
\begin{equation}
( e^{2i\pi k/\alpha})^{\beta}= e^{2i\pi k\beta/\alpha}=1,
k\beta=l\alpha.
\end{equation}
c'est à dire une valeur de \( k\) telle que \( k\beta/\alpha\) soit un entier. Mais \( k\beta/\alpha=k\beta'/\alpha'\) et par conséquent prendre \( k=\alpha'\) fonctionne. Surtout que par hypothèse \( d>1\) et donc \( k=\alpha'<\alpha\).
Si \( k>0\), comme le nombre \( \alpha\) divise \( k\beta\), cela conduirait via le lemme de Gauss \ref{LemPRuUrsD} à dire que \( \alpha\) divise \( k\). Mais \( \alpha\) ne peut pas diviser \( k\) parce que nous avions supposé que \( k\) était strictement plus petit que \( \alpha\). Donc \( k = 0\) et \( z = 1\).
\end{subproof}
\end{proof}

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