From 5e843f6eb0886d446ee6a275dbba4715bb286f2d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: nisha617 Date: Sun, 28 Sep 2025 22:31:03 +1000 Subject: [PATCH] Add files via upload --- lectures/egm_policy_iter.md | 92 ++++++++++++++++++------------------- 1 file changed, 46 insertions(+), 46 deletions(-) diff --git a/lectures/egm_policy_iter.md b/lectures/egm_policy_iter.md index 674b9cc5..4c02fb97 100644 --- a/lectures/egm_policy_iter.md +++ b/lectures/egm_policy_iter.md @@ -27,16 +27,16 @@ kernelspec: 在之前，我们使用以下方法求解了随机最优增长模型： -1. {doc}`值函数迭代 ` +1. {doc}`价值函数迭代 ` 1. {doc}`基于欧拉方程的时间迭代 ` 我们发现时间迭代在准确性和效率方面都明显更好。 -在本讲中，我们将学习一种对时间迭代的巧妙变形，称为**内生网格方法**（EGM）。 +在本讲义中，我们将介绍时间迭代的一种巧妙变体，称为**内生网格法**（EGM）。 -EGM是由[Chris Carroll](http://www.econ2.jhu.edu/people/ccarroll/)发明的一种实现政策迭代的数值方法。 +EGM是由[Chris Carroll](http://www.econ2.jhu.edu/people/ccarroll/)发明的一种用于实现政策迭代的数值方法。 -原始参考文献是{cite}`Carroll2006`。 +该方法的原始参考文献是{cite}`Carroll2006`。 让我们从一些标准导入开始： @@ -53,13 +53,13 @@ from numba import jit ## 核心思想 -让我们先回顾一下理论，然后看看数值计算如何配合。 +我们首先回顾理论背景，然后说明数值方法如何融入其中。 ### 理论 -采用{doc}`时间迭代讲座 `中设定的模型，遵循相同的术语和符号。 +我们沿用{doc}`时间迭代 `中的模型设定，遵循相同的术语和符号。 -欧拉方程为 +欧拉方程为： ```{math} :label: egm_euler @@ -68,11 +68,11 @@ from numba import jit = \beta \int (u'\circ \sigma^*)(f(y - \sigma^*(y)) z) f'(y - \sigma^*(y)) z \phi(dz) ``` -如我们所见，Coleman-Reffett算子是一个非线性算子$K$，其设计使得$\sigma^*$是$K$的不动点。 +如前所示，Coleman-Reffett算子是一个非线性算子 $K$，其设计使得 $\sigma^*$ 是 $K$ 的不动点。 -它以一个连续严格递增的消费策略$\sigma \in \Sigma$作为参数。 +该算子以一个连续且严格递增的消费策略 $\sigma \in \Sigma$ 作为自变量。 -它返回一个新函数$K \sigma$，其中$(K \sigma)(y)$是满足以下方程的$c \in (0, \infty)$： +它返回一个新函数 $K \sigma$，其中 $(K \sigma)(y)$ 是满足以下方程的 $c \in (0, \infty)$： ```{math} :label: egm_coledef @@ -83,39 +83,39 @@ u'(c) ### 外生网格 -如{doc}`时间迭代讲座 `中所讨论的，要在计算机上实现该方法，我们需要一个数值近似。 +如{doc}`时间迭代 `中所述，为了在计算机上实现该方法，我们需要数值近似。 -具体来说，我们用有限网格上的一组值来表示策略函数。 +具体来说，我们通过在有限网格上取值的方式表示策略函数。 -在需要时，使用插值或其他方法从这种表示中重建函数本身。 +在需要时，使用插值或其他方法从该有限表示中重建原函数。 -{doc}`之前 `，为了获得更新后消费策略的有限表示，我们 +在{doc}`时间迭代 `中，为了获得更新后的消费策略的有限表示，我们： -* 固定了一个收入点网格 $\{y_i\}$ -* 使用{eq}`egm_coledef`和一个寻根程序计算对应每个$y_i$的消费值$c_i$ +* 固定一组收入点 $\{y_i\}$； +* 使用{eq}`egm_coledef`与求根算法，计算与每个 $y_i$ 对应的消费值 $c_i$。 -每个$c_i$被解释为函数$K \sigma$在$y_i$处的值。 +每个 $c_i$ 被解释为函数 $K \sigma$ 在 $y_i$ 处的值。 -因此，有了点$\{y_i, c_i\}$后，我们可以通过近似重建$K \sigma$。 +因此，有了点集 $\{y_i, c_i\}$，我们可以通过近似重建 $K \sigma$。 然后继续迭代... ### 内生网格 -上述方法需要一个寻根程序来找到对应给定收入值$y_i$的$c_i$。 +上述方法需要通过求根算法来确定与给定收入值 $y_i$ 对应的消费水平 $c_i$。 -求根计算成本很高，因为它通常需要大量的函数求值。 +然而，求根运算的代价较高，因为其通常涉及大量函数求值。 -正如Carroll {cite}`Carroll2006`指出的那样，如果$y_i$是内生选择的，我们可以避免这种情况。 +正如Carroll {cite}`Carroll2006`所指出的，如果 $y_i$ 是内生选择的，则可避免这一过程。 -唯一需要的假设是$u'$在$(0, \infty)$上是可逆的。 +唯一需要的假设是：$u'$ 在 $(0, \infty)$ 上是可逆的。 -令$(u')^{-1}$为$u'$的反函数。 +令 $(u')^{-1}$ 为 $u'$ 的反函数。 -基本思路是： +其核心思想如下： -* 首先，我们为资本($k = y - c$)固定一个*外生*网格$\{k_i\}$。 -* 然后我们通过以下方式获得$c_i$ +* 首先，固定一个关于资本($k = y - c$)的*外生*网格 $\{k_i\}$； +* 接着，根据以下公式求得 $c_i$: ```{math} :label: egm_getc @@ -127,23 +127,23 @@ c_i = \right\} ``` -* 最后，对于每个$c_i$我们设定$y_i = c_i + k_i$。 +* 最后，对每个 $c_i$，设定 $y_i = c_i + k_i$。 -显然，以这种方式构造的每个$(y_i, c_i)$对都满足{eq}`egm_coledef`。 +显然，每个通过上述方式构建的 $(y_i, c_i)$ 都满足{eq}`egm_coledef`。 -有了这些点$\{y_i, c_i\}$，我们可以像之前一样通过近似重构$K \sigma$。 +有了点集 $\{y_i, c_i\}$，我们即可通过近似方法重建 $K \sigma$。 -EGM这个名称来源于网格$\{y_i\}$是**内生**决定的这一事实。 +新的EGM算法的关键在于：网格 $\{y_i\}$ 是**内生**决定的。 ## 实现 -如{doc}`之前 `，我们将从一个简单的设定开始，其中 +与{doc}`时间迭代 `相同，我们从一个简单设定开始： -* $u(c) = \ln c$， -* 生产函数是柯布-道格拉斯形式，且 -* 冲击是对数正态分布。 +* $u(c) = \ln c$； +* 生产函数是柯布-道格拉斯形式； +* 冲击项服从对数正态分布。 -这将使我们能够与解析解进行比较 +这一设定使我们能够将数值解与解析解进行对比。 ```{code-cell} ipython3 :load: _static/lecture_specific/optgrowth/cd_analytical.py @@ -157,7 +157,7 @@ EGM这个名称来源于网格$\{y_i\}$是**内生**决定的这一事实。 ### 算子 -以下是使用EGM实现$K$的代码，如上所述。 +以下给出使用EGM方法实现算子 $K$ 的代码： ```{code-cell} ipython3 @jit @@ -190,18 +190,18 @@ def K(σ_array, og): return c ``` -注意这里没有任何求根算法。 +值得注意的是，该算法不需要求根算法。 ### 测试 -首先我们创建一个实例。 +首先，我们创建一个实例。 ```{code-cell} ipython3 og = OptimalGrowthModel() grid = og.grid ``` -这是我们的求解程序： +下面是求解程序： ```{code-cell} ipython3 :load: _static/lecture_specific/coleman_policy_iter/solve_time_iter.py @@ -214,7 +214,7 @@ grid = og.grid σ = solve_model_time_iter(og, σ_init) ``` -以下是结果策略与真实策略的比较： +以下是得到的策略与真实策略的比较： ```{code-cell} ipython3 y = grid + σ # y_i = k_i + c_i @@ -222,10 +222,10 @@ y = grid + σ # y_i = k_i + c_i fig, ax = plt.subplots() ax.plot(y, σ, lw=2, - alpha=0.8, label='approximate policy function') + alpha=0.8, label='近似策略函数') ax.plot(y, σ_star(y, og.α, og.β), 'k--', - lw=2, alpha=0.8, label='true policy function') + lw=2, alpha=0.8, label='真实策略函数') ax.legend() plt.show() @@ -237,15 +237,15 @@ plt.show() np.max(np.abs(σ - σ_star(y, og.α, og.β))) ``` -收敛需要多长时间？ +收敛所需的时间为： ```{code-cell} ipython3 %%timeit -n 3 -r 1 σ = solve_model_time_iter(og, σ_init, verbose=False) ``` -相对于时间迭代，EGM在没有任何数值求根步骤的情况下，仍然能够显著减少计算时间，同时保持高精度。 +相较于已被证明高度高效的时间迭代法，内生网格法（EGM）在保持精度不变的前提下，进一步显著减少了运行时间。 -这是因为没有数值求根步骤。 +其主要原因在于该方法不需要进行数值求根步骤。 -我们现在可以非常快速地求解给定参数的随机最优增长模型。 +因此，我们能够在给定参数下以极高的速度求解最优增长模型。 \ No newline at end of file