diff --git a/lectures/ifp_advanced.md b/lectures/ifp_advanced.md index 32f1d726..0d1cd3b9 100644 --- a/lectures/ifp_advanced.md +++ b/lectures/ifp_advanced.md @@ -9,15 +9,7 @@ kernelspec: name: python3 --- -```{raw} jupyter -
- - QuantEcon - -
-``` - -# {index}`收入波动问题 II：资产随机收益 ` +# 收入波动问题 II：资产随机收益 ```{contents} 目录 :depth: 2 @@ -36,13 +28,13 @@ tags: [hide-output] 在本讲座中，我们继续研究 {doc}`收入波动问题 `。 -虽然之前利率是固定的，但现在我们允许资产收益随状态变化。 +之前假设利率是固定的，但现在我们允许资产收益随状态变化。 -这符合大多数拥有正资产的家庭面临某种资本收入风险的事实。 +这符合大多数拥有正资产的家庭面临资本收入风险这一事实。 有人认为，建模资本收入风险对于理解收入和财富的联合分布至关重要（参见，例如，{cite}`benhabib2015` 或 {cite}`stachurski2019impossibility`）。 -本文提出的家庭储蓄模型的理论特性在 {cite}`ma2020income` 中有详细分析。 +本文提出的家庭储蓄模型的理论性质在 {cite}`ma2020income` 中有详细分析。 在计算方面，我们结合时间迭代和内生网格方法来快速准确地求解模型。 @@ -63,7 +55,7 @@ from quantecon import MarkovChain ## 储蓄问题 -在本节中，我们回顾家庭问题和最优性结果。 +在本节中，我们回顾家庭问题及其最优性结果。 ### 设定 @@ -87,7 +79,7 @@ a_{t+1} = R_{t+1} (a_t - c_t) + Y_{t+1} 初始条件 $(a_0, Z_0)=(a,z)$ 视为给定。 -注意 $\{R_t\}_{t \geq 1}$，即财富的总收益率，允许是随机的。 +注意，财富的总收益率序列 ${R_t}_{t \geq 1}$ 允许是随机的。 序列 $\{Y_t \}_{t \geq 1}$ 是非金融收入。 @@ -104,8 +96,8 @@ Y_t = Y(Z_t, \eta_t), 其中 * 映射 $R$ 和 $Y$ 是时不变的非负函数， -* 创新过程 $\{\zeta_t\}$ 和 $\{\eta_t\}$ 是独立同分布的且相互独立， -* $\{Z_t\}_{t \geq 0}$ 是有限集 $\mathsf Z$ 上的不可约时齐马尔可夫链 +* 创新过程 $\{\zeta_t\}$ 和 $\{\eta_t\}$ 独立同分布且相互独立， +* $\{Z_t\}_{t \geq 0}$ 是有限集 $\mathsf Z$ 上的不可约齐次马尔可夫链 令 $P$ 表示链 $\{Z_t\}_{t \geq 0}$ 的马尔可夫矩阵。 @@ -115,9 +107,9 @@ Y_t = Y(Z_t, \eta_t), ### 假设 -我们需要一些限制来确保目标 {eq}`trans_at` 是有限的，并且下面描述的解方法收敛。 +我们需要一些限制条件来确保目标 {eq}`trans_at` 是有限的，并且下面描述的解法能够收敛。 -我们还需要确保财富的现值不会增长得太快。 +我们还需要确保财富的现值值不会增长得太快。 当 $\{R_t\}$ 是常数时，我们要求 $\beta R < 1$。 @@ -132,19 +124,18 @@ G_R := \lim_{n \to \infty} \left(\mathbb E \prod_{t=1}^n R_t \right)^{1/n} ``` -注意，当 $\{R_t\}$ 取某个常数值 $R$ 时，这简化为之前的限制 $\beta R < 1$ +注意，当 $\{R_t\}$ 取某个常数值 $R$ 时，这一条件简化为之前的限制 $\beta R < 1$ 值 $G_R$ 可以理解为长期（几何）平均总收益率。 -{eq}`fpbc2` 背后的更多直觉在 {cite}`ma2020income` 中提供。 +{cite}`ma2020income`提供了{eq}`fpbc2` 背后的更多直觉。 -下面讨论了如何检查它。 +我们在下面讨论如何检验该条件。 -最后，我们对非金融收入施加一些常规技术限制。 +最后，我们对非金融收入施加一些常规的技术性限制： $$ \mathbb E \, Y_t < \infty \text{ 且 } \mathbb E \, u'(Y_t) < \infty -\label{a:y0} $$ 一个相对简单且满足所有这些限制的环境是 {cite}`benhabib2015` 的独立同分布和 CRRA 环境。 @@ -155,8 +146,8 @@ $$ 在 {cite}`ma2020income` 中证明，在所述假设下， -* 满足欧拉方程的任意 $\sigma \in \mathscr C$ 是最优政策，且 -* $\mathscr C$ 中恰好存在一个这样的政策。 +* 任何满足欧拉方程的 $\sigma \in \mathscr C$ 都是最优政策，且 +* 在 $\mathscr C$ 中恰好存在一个这样的政策。 在当前设定中，欧拉方程的形式为 @@ -177,12 +168,9 @@ $$ ## 求解算法 -```{index} single: Optimal Savings; Computation -``` - ### 时间迭代算子 -我们对候选类 $\sigma \in \mathscr C$ 消费政策的定义与我们在 {doc}`早期讲座 ` 中关于收入波动问题的定义相同。 +我们对候选类 $\sigma \in \mathscr C$ 消费政策的定义与{doc}`之前关于收入波动问题的讲座 `中的定义相同。 对于固定的 $\sigma \in \mathscr C$ 和 $(a,z) \in \mathbf S$，函数 $K\sigma$ 在 $(a,z)$ 处的值 $K\sigma(a,z)$ 定义为满足以下方程的 $\xi \in (0,a]$ @@ -197,13 +185,13 @@ u'(\xi) = \right\} ``` -$K$ 背后的思想是，从定义可以看出，$\sigma \in \mathscr C$ 满足欧拉方程当且仅当对于所有 $(a, z) \in \mathbf S$ 有 $K\sigma(a, z) = \sigma(a, z)$。 +$K$ 背后的思想是，从定义可以看出，$\sigma \in \mathscr C$ 满足欧拉方程当且仅当对于所有 $(a, z) \in \mathbf S$ 都有 $K\sigma(a, z) = \sigma(a, z)$。 -这意味着 $K$ 在 $\mathscr C$ 中的不动点和最优消费政策完全重合（参见 {cite}`ma2020income` 了解更多细节）。 +这意味着 $K$ 在 $\mathscr C$ 中的不动点和最优消费政策完全重合（更多细节参见 {cite}`ma2020income`）。 ### 收敛性质 -如前所述，我们将 $\mathscr C$ 与距离配对 +如前所述，我们在 $\mathscr C$ 上定义如下度量 $$ \rho(c,d) @@ -216,11 +204,11 @@ $$ 可以证明 -1. $(\mathscr C, \rho)$ 是一个完全度量空间， +1. $(\mathscr C, \rho)$ 是一个完备度量空间， 1. 存在一个整数 $n$ 使得 $K^n$ 是 $(\mathscr C, \rho)$ 上的压缩映射，且 1. $K$ 在 $\mathscr C$ 中的唯一不动点是 $\mathscr C$ 中的唯一最优政策。 -我们现在有了一个清晰的路径来成功逼近最优政策：选择某个 $\sigma \in \mathscr C$ 然后用 $K$ 迭代直到收敛（用距离 $\rho$ 衡量）。 +现在，我们有了一个清晰的路径来成功地逼近最优政策：选择某个 $\sigma \in \mathscr C$ 然后用 $K$ 迭代直到收敛（用距离 $\rho$ 衡量）。 ### 使用内生网格 @@ -240,13 +228,13 @@ $$ 对于相应的 $a_0, c_0$ 对，我们有 $a_0 = c_0$。 -这发生在接近原点的地方，那里资产较低，家庭消费其所能消费的一切。 +这发生在接近原点的地方，资产较低，家庭消费其所能消费的一切。 虽然有许多解，但我们取 $a_0 = c_0 = 0$，这固定了原点处的政策，有助于插值。 对于 $s > 0$，根据定义，我们有 $c < a$，因此消费是内部的。 -因此 {eq}`ifpa_euler` 的最大值部分消失，我们求解 +因此 {eq}`ifpa_euler` 的最大值部分消失，我们在每个 $s_i$ 处求解 ```{math} :label: eqsifc2 @@ -260,15 +248,13 @@ c_i = \right\} ``` -在每个 $s_i$ 处。 - #### 迭代 -一旦我们有对 $\{s_i, c_i\}$，内生资产网格通过 $a_i = c_i + s_i$ 获得。 +一旦我们得到 ${s_i, c_i}$ 对，内生资产网格通过 $a_i = c_i + s_i$ 获得。 -另外，我们在上面的讨论中固定了 $z \in \mathsf Z$，所以我们可以将其与 $a_i$ 配对。 +另外，在上面的讨论中我们固定了 $z \in \mathsf Z$，所以可以将其与 $a_i$ 配对。 -通过在每个 $z$ 处插值 $\{a_i, c_i\}$ 可以获得政策 $(a, z) \mapsto \sigma(a, z)$ 的近似。 +通过在每个 $z$ 上对 ${a_i, c_i}$ 插值，就可以得到政策 $(a,z) \mapsto \sigma(a,z)$ 的近似。 在下面的内容中，我们使用线性插值。 @@ -276,25 +262,25 @@ c_i = 时间迭代的收敛性依赖于条件 $\beta G_R < 1$ 的满足。 -可以使用以下事实来检查这一点：$G_R$ 等于矩阵 $L$ 的谱半径，其中 $L$ 定义为 +我们可以利用 $G_R$ 等于矩阵 $L$ 的谱半径这一事实来检验。矩阵 $L$ 定义为 $$ L(z, \hat z) := P(z, \hat z) \int R(\hat z, x) \phi(x) dx $$ -这个等式在 {cite}`ma2020income` 中证明，其中 $\phi$ 是资产收益创新 $\zeta_t$ 的密度。 +这个恒等式在 {cite}`ma2020income` 中得到证明，其中 $\phi$ 是资产收益创新 $\zeta_t$ 的密度函数。 -（记住 $\mathsf Z$ 是一个有限集，所以这个表达式定义了一个矩阵。） +（注意，$\mathsf Z$ 是一个有限集，所以这个表达式定义了一个矩阵。） -当 $\{R_t\}$ 是独立同分布时，检查条件甚至更容易。 +当 $\{R_t\}$ 是独立同分布时，检查这一条件甚更容易。 在这种情况下，从 $G_R$ 的定义可以清楚地看出 $G_R$ 就是 $\mathbb E R_t$。 -我们在下面的代码中测试条件 $\beta \mathbb E R_t < 1$。 +我们在下面的代码中检验条件 $\beta \mathbb E R_t < 1$。 ## 实现 -我们将假设 $R_t = \exp(a_r \zeta_t + b_r)$，其中 $a_r, b_r$ 是常数，$\{ \zeta_t\}$ 是独立同分布的标准正态。 +我们将假设 $R_t = \exp(a_r \zeta_t + b_r)$，其中 $a_r, b_r$ 是常数，$\{\zeta_t\}$ 是独立同分布的标准正态。 我们允许劳动收入相关，即 @@ -302,16 +288,16 @@ $$ Y_t = \exp(a_y \eta_t + Z_t b_y) $$ -其中 $\{ \eta_t\}$ 也是独立同分布的标准正态，$\{ Z_t\}$ 是取值于 $\{0, 1\}$ 的马尔可夫链。 +其中 $\{\eta_t\}$ 也是独立同分布的标准正态，$\{ Z_t\}$ 是取值于 $\{0, 1\}$ 的马尔可夫链。 ```{code-cell} ipython ifp_data = [ ('γ', float64), # 效用参数 - ('β', float64), # 贴现因子 + ('β', float64), # 折现因子 ('P', float64[:, :]), # z_t 的转移概率 - ('a_r', float64), # R_t 的比例参数 + ('a_r', float64), # R_t 的尺度参数 ('b_r', float64), # R_t 的加性参数 - ('a_y', float64), # Y_t 的比例参数 + ('a_y', float64), # Y_t 的尺度参数 ('b_y', float64), # Y_t 的加性参数 ('s_grid', float64[:]), # 储蓄网格 ('η_draws', float64[:]), # 用于 MC 的创新 η 的抽取 @@ -323,7 +309,7 @@ ifp_data = [ @jitclass(ifp_data) class IFP: """ - 存储收入波动问题原语的类。 + 用于收入波动问题的基本类 """ def __init__(self, @@ -340,7 +326,7 @@ class IFP: grid_size=100, seed=1234): - np.random.seed(seed) # 任意种子 + np.random.seed(seed) # 任意随机种子 self.P, self.γ, self.β = P, γ, β self.a_r, self.b_r, self.a_y, self.b_y = a_r, b_r, a_y, b_y @@ -348,16 +334,16 @@ class IFP: self.ζ_draws = np.random.randn(shock_draw_size) self.s_grid = np.linspace(0, grid_max, grid_size) - # 假设 {R_t} 是独立同分布且采用下面给定的对数正态 - # 规格来测试稳定性。测试是 β E R_t < 1。 + # 假设 ${R_t}$ 独立同分布并服从下面给定的对数正态分布设定，进行稳定性检验。 + # 检验 β E R_t < 1。 ER = np.exp(b_r + a_r**2 / 2) - assert β * ER < 1, "稳定性条件失败。" + assert β * ER < 1, "稳定性条件不成立。" # 边际效用 def u_prime(self, c): return c**(-self.γ) - # 边际效用的逆 + # 边际效用的逆函数 def u_prime_inv(self, c): return c**(-1/self.γ) @@ -422,7 +408,7 @@ def K(a_in, σ_in, ifp): return a_out, σ_out ``` -下一个函数通过时间迭代求解最优消费政策的近似： +下一个函数通过时间迭代求解最优消费政策的近似。 ```{code-cell} ipython def solve_model_time_iter(model, # 包含模型信息的类 @@ -442,27 +428,27 @@ def solve_model_time_iter(model, # 包含模型信息的类 error = np.max(np.abs(σ_vec - σ_new)) i += 1 if verbose and i % print_skip == 0: - print(f"迭代 {i} 处的误差是 {error}。") + print(f"第{i}迭代的误差是 {error}。") a_vec, σ_vec = np.copy(a_new), np.copy(σ_new) if error > tol: print("未能收敛！") elif verbose: - print(f"\n在 {i} 次迭代后收敛。") + print(f"\n在第{i}次迭代中收敛。") return a_new, σ_new ``` -现在我们已经准备好用默认参数创建一个实例。 +现在我们可以用默认参数创建一个实例。 ```{code-cell} ipython ifp = IFP() ``` -接下来我们设置一个初始条件，对应于消费所有资产。 +接下来我们设置一个初始条件，对应“消费掉所有资产”。 ```{code-cell} ipython -# σ = 消费所有资产的初始猜测 +# 初始猜测 σ = 消费所有资产 k = len(ifp.s_grid) n = len(ifp.P) σ_init = np.empty((k, n)) @@ -488,17 +474,17 @@ plt.legend() plt.show() ``` -注意，我们在资产空间的较低范围内消费所有资产。 +注意，在资产空间的较低区间，我们会消费掉所有资产。 -这是因为我们预期明天会有收入 $Y_{t+1}$，这使得储蓄的需求不那么迫切。 +这是因为我们预期下一期会有收入 $Y_{t+1}$，因此储蓄的紧迫性较低。 -你能解释为什么当 $z=0$ 时，消费所有资产结束得更早（对于较低的资产值）吗？ +你能解释为什么在 $z=0$ 时，消费掉所有资产会更早结束（即在较低的资产水平就停止）吗？ -### 运动定律 +### 运动规律 -让我们尝试了解在这种消费政策下资产长期会发生什么。 +让我们试着了解，在这种消费政策下，从长期来看资产会如何变化。 -与我们在 {doc}`早期讲座 ` 中关于收入波动问题的内容一样，我们首先制作一个 45 度图，显示资产的运动定律： +与我们在 {doc}`之前关于收入波动问题的讲座` 中一样，我们首先制作一个 45 度图，展示资产的运动规律： ```{code-cell} python3 # 好状态和坏状态的平均劳动收入 @@ -518,7 +504,7 @@ ax.legend() plt.show() ``` -实线代表，对于每个 $z$，资产的平均更新函数，由下式给出： +图中实线表示对于每个 $z$，资产的平均更新函数，由下式给出： $$ a \mapsto \bar R (a - \sigma^*(a, z)) + \bar Y(z) @@ -526,27 +512,27 @@ $$ 其中 -* $\bar R = \mathbb E R_t$，即平均收益，且 -* $\bar Y(z) = \mathbb E_z Y(z, \eta_t)$，即状态 $z$ 中的平均劳动收入。 +* $\bar R = \mathbb E R_t$，即平均收益率，且 +* $\bar Y(z) = \mathbb E_z Y(z, \eta_t)$，即状态 $z$ 下的平均劳动收入。 虚线是 45 度线。 -从图中我们可以看到，即使在最高状态下，动态也是稳定的 --- 资产不会发散。 +从图中可以看出，动态是稳定的——即使在最高的状态下，资产也不会发散。 ## 练习 ```{exercise} :label: ifpa_ex1 -让我们重复 {ref}`早期练习 ` 关于资产的长期横截面分布。 +让我们重复 {ref}`之前的练习 `，研究资产的长期横截面分布。 在那个练习中，我们使用了一个相对简单的收入波动模型。 -在解决方案中，我们发现资产分布的形状不切实际。 +在解答中，我们发现资产分布的形状不切实际。 -特别是，我们未能匹配财富分布的长期右尾。 +特别是，我们未能匹配财富分布的长右尾。 -你的任务是再次尝试，重复练习，但现在使用我们更复杂的模型。 +你的任务是再次尝试这个练习，但这一次使用我们更复杂的模型。 使用默认参数。 ``` @@ -555,11 +541,11 @@ $$ :class: dropdown ``` -首先我们写一个函数来计算长期资产序列。 +首先我们编写一个函数来生成一个较长的资产序列。 -因为我们想要 JIT 编译这个函数，所以我们以一种打破了一些良好编程风格规则的方式编写解决方案。 +因为我们希望用 JIT 来编译函数，所以在写代码时不得不打破一些良好的编程风格。 -例如，我们将传入解 `a_star, σ_star` 以及 `ifp`，即使更自然的方式是只传入 `ifp` 然后在函数内求解。 +例如，我们会把解 `a_star, σ_star` 以及 `ifp` 一起传入，尽管更自然的方式是只传入 `ifp` 然后在函数内求解。 我们这样做的原因是 `solve_model_time_iter` 不是 JIT 编译的。 @@ -567,8 +553,7 @@ $$ @jit def compute_asset_series(ifp, a_star, σ_star, z_seq, T=500_000): """ - 模拟长度为 T 的资产时间序列，给定最优 - 储蓄行为。 + 在最优储蓄行为下，模拟长度为 T 的资产时间序列 * ifp 是 IFP 的实例 * a_star 是内生网格解 @@ -591,7 +576,7 @@ def compute_asset_series(ifp, a_star, σ_star, z_seq, T=500_000): return a ``` -现在让我们调用这个函数，生成序列并绘制直方图，使用上面计算的解： +接下来，我们调用该函数，生成资产序列，并利用上面的解来绘制直方图。 ```{code-cell} python3 T = 1_000_000 @@ -606,9 +591,9 @@ ax.set(xlabel='资产') plt.show() ``` -现在我们已经成功地复制了财富分布的长期右尾。 +我们现在已经成功再现了财富分布的长右尾。 -这是使用水平小提琴图的另一个视图： +下面用一张水平小提琴图来展示这一结果的另一种视角。 ```{code-cell} python3 fig, ax = plt.subplots() @@ -618,4 +603,4 @@ plt.show() ``` ```{solution-end} -``` \ No newline at end of file +```