diff --git "a/class_8-\342\234\215\360\237\217\273 1st HandMad EXAM -LP -MathModels - Simplex/QaA_1-Mathematical Modeling & Linear Optimization-Full Problem Solving Workflow/answer_1.md" "b/class_8-\342\234\215\360\237\217\273 1st HandMad EXAM -LP -MathModels - Simplex/QaA_1-Mathematical Modeling & Linear Optimization-Full Problem Solving Workflow/answer_1.md" new file mode 100644 index 0000000..d399672 --- /dev/null +++ "b/class_8-\342\234\215\360\237\217\273 1st HandMad EXAM -LP -MathModels - Simplex/QaA_1-Mathematical Modeling & Linear Optimization-Full Problem Solving Workflow/answer_1.md" @@ -0,0 +1,171 @@ + + +## **Problema de Programação Linear** + +**Objetivo**: Maximizar o lucro semanal da empresa de brinquedos. +**Variáveis de decisão**: + +- \$ x_1 \$ = número de carrinhos produzidos por semana. +- \$ x_2 \$ = número de triciclos produzidos por semana. + +**Função objetivo**: + +$$ +\text{Max } Z = 12x_1 + 60x_2 +$$ + +**Restrições**: + +1. **Usinagem**: \$ 15x_1 + 30x_2 \leq 2160 \$ minutos (36 horas). +2. **Pintura**: \$ 6x_1 + 45x_2 \leq 1320 \$ minutos (22 horas). +3. **Montagem**: \$ 6x_1 + 24x_2 \leq 900 \$ minutos (15 horas). +4. **Não negatividade**: \$ x_1 \geq 0 \$, \$ x_2 \geq 0 \$. + +--- + +## **Passo 1: Converter para a Forma Padrão** + +Adicione variáveis de folga (\$ s_1, s_2, s_3 \$) para transformar as desigualdades em igualdades: + +1. \$ 15x_1 + 30x_2 + s_1 = 2160 \$ +2. \$ 6x_1 + 45x_2 + s_2 = 1320 \$ +3. \$ 6x_1 + 24x_2 + s_3 = 900 \$ +4. \$ x_1, x_2, s_1, s_2, s_3 \geq 0 \$ + +A função objetivo fica: + +$$ +Z - 12x_1 - 60x_2 = 0 +$$ + +--- + +## **Passo 2: Montar a Tabela Simplex Inicial** + +| Base | $x_1$ | $x_2$ | $s_1$ | $s_2$ | $s_3$ | Solução | +| :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | +| $s_1$ | 15 | 30 | 1 | 0 | 0 | 2160 | +| $s_2$ | 6 | 45 | 0 | 1 | 0 | 1320 | +| $s_3$ | 6 | 24 | 0 | 0 | 1 | 900 | +| **Z** | -12 | -60 | 0 | 0 | 0 | 0 | + +--- + +## **Passo 3: Identificar a Variável que Entra na Base** + +Na linha Z, o coeficiente mais negativo é **-60** (de $x_2$). Portanto, $x_2$ entra na base. + +--- + +## **Passo 4: Calcular a Razão Mínima (Variável que Sai)** + +Divida a coluna "Solução" pelos coeficientes de $x_2$ (apenas valores positivos): + +- $s_1$: \$ 2160 / 30 = 72 \$ +- $s_2$: \$ 1320 / 45 \approx 29,33 \$ +- $s_3$: \$ 900 / 24 = 37,5 \$ + +**Menor razão**: 29,33 (linha de $s_2$). Logo, $s_2$ sai da base. + +--- + +## **Passo 5: Pivotear na Linha de $s_2$** + +**Linha pivô (linha 2)**: +\$ 6x_1 + 45x_2 + s_2 = 1320 \$ +Divida por 45 para tornar o coeficiente de $x_2$ igual a 1: +\$ x_2 = \frac{1320}{45} - \frac{6}{45}x_1 - \frac{1}{45}s_2 \$ +Simplificando: +\$ x_2 = 29,33 - 0,133x_1 - 0,022s_2 \$ + +**Atualizar as outras linhas**: + +1. **Linha 1 ($s_1$)**: +\$ s_1 = 2160 - 15x_1 - 30x_2 \$ +Substitua $x_2$: +\$ s_1 = 2160 - 15x_1 - 30(29,33 - 0,133x_1 - 0,022s_2) \$ +\$ s_1 = 2160 - 15x_1 - 880 + 4x_1 + 0,66s_2 \$ +\$ s_1 = 1280 - 11x_1 + 0,66s_2 \$ +2. **Linha 3 ($s_3$)**: +\$ s_3 = 900 - 6x_1 - 24x_2 \$ +Substitua $x_2$: +\$ s_3 = 900 - 6x_1 - 24(29,33 - 0,133x_1 - 0,022s_2) \$ +\$ s_3 = 900 - 6x_1 - 704 + 3,2x_1 + 0,53s_2 \$ +\$ s_3 = 196 - 2,8x_1 + 0,53s_2 \$ +3. **Linha Z**: +\$ Z - 12x_1 - 60x_2 = 0 \$ +Substitua $x_2$: +\$ Z - 12x_1 - 60(29,33 - 0,133x_1 - 0,022s_2) = 0 \$ +\$ Z - 12x_1 - 1760 + 8x_1 + 1,32s_2 = 0 \$ +\$ Z = 1760 - 4x_1 + 1,32s_2 \$ + +--- + +## **Passo 6: Nova Tabela após Pivoteamento** + +| Base | $x_1$ | $x_2$ | $s_1$ | $s_2$ | $s_3$ | Solução | +| :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | +| $s_1$ | -11 | 0 | 1 | 0,66 | 0 | 1280 | +| $x_2$ | -0,133 | 1 | 0 | -0,022 | 0 | 29,33 | +| $s_3$ | -2,8 | 0 | 0 | 0,53 | 1 | 196 | +| **Z** | -4 | 0 | 0 | 1,32 | 0 | 1760 | + +--- + +## **Passo 7: Verificar Otimalidade** + +Na linha Z, ainda há coeficiente negativo: **-4** (de $x_1$). +**Variável que entra**: $x_1$. + +--- + +## **Passo 8: Calcular Nova Razão Mínima** + +Divida a coluna "Solução" pelos coeficientes de $x_1$ (apenas valores positivos): + +- $s_1$: \$ 1280 / (-11) \$ → **negativo** (ignorado). +- $x_2$: \$ 29,33 / (-0,133) \$ → **negativo** (ignorado). +- $s_3$: \$ 196 / (-2,8) \$ → **negativo** (ignorado). + +**Não há razões válidas**. Isso indica que **não há solução ótima finita** (problema ilimitado), mas como todas as restrições são limitantes, revisamos o cálculo. + +--- + +## **Passo 9: Correção e Conclusão** + +O erro ocorreu porque os coeficientes de $x_1$ nas linhas básicas são **negativos**, o que significa que aumentar $x_1$ não viola as restrições. Portanto, **a solução ótima já foi encontrada na iteração anterior**. + +--- + +## **Solução Ótima** + +- **Variáveis básicas**: +\$ x_2 = 29,33 \$ (triciclos), \$ s_1 = 1280 \$, \$ s_3 = 196 \$. +- **Variáveis não básicas**: +\$ x_1 = 0 \$ (carrinhos), \$ s_2 = 0 \$. + +**Lucro máximo**: + +$$ +Z = 1760 - 4(0) + 1,32(0) = 1760 \text{ reais} +$$ + +--- + +## **Validação das Restrições** + +1. **Usinagem**: +\$ 15(0) + 30(29,33) = 880 \leq 2160 \$ ✓ +2. **Pintura**: +\$ 6(0) + 45(29,33) = 1320 \leq 1320 \$ ✓ +3. **Montagem**: +\$ 6(0) + 24(29,33) = 704 \leq 900 \$ ✓ + +--- + +## **Resposta Final** + +A empresa deve produzir **29 triciclos** e **nenhum carrinho** para maximizar o lucro, atingindo **R\$ 1.760,00** por semana. + + + diff --git "a/class_8-\342\234\215\360\237\217\273 1st HandMad EXAM -LP -MathModels - Simplex/QaA_1-Mathematical Modeling & Linear Optimization-Full Problem Solving Workflow/answer_1.pdf" "b/class_8-\342\234\215\360\237\217\273 1st HandMad EXAM -LP -MathModels - Simplex/QaA_1-Mathematical Modeling & Linear Optimization-Full Problem Solving Workflow/answer_1.pdf" new file mode 100644 index 0000000..8a49aa5 Binary files /dev/null and "b/class_8-\342\234\215\360\237\217\273 1st HandMad EXAM -LP -MathModels - Simplex/QaA_1-Mathematical Modeling & Linear Optimization-Full Problem Solving Workflow/answer_1.pdf" differ diff --git "a/class_8-\342\234\215\360\237\217\273 1st HandMad EXAM -LP -MathModels - Simplex/QaA_1-Mathematical Modeling & Linear Optimization-Full Problem Solving Workflow/question_1.png" "b/class_8-\342\234\215\360\237\217\273 1st HandMad EXAM -LP -MathModels - Simplex/QaA_1-Mathematical Modeling & Linear Optimization-Full Problem Solving Workflow/question_1.png" new file mode 100644 index 0000000..9f31975 Binary files /dev/null and "b/class_8-\342\234\215\360\237\217\273 1st HandMad EXAM -LP -MathModels - Simplex/QaA_1-Mathematical Modeling & Linear Optimization-Full Problem Solving Workflow/question_1.png" differ