diff --git "a/Index/\344\272\214\345\210\206.md" "b/Index/\344\272\214\345\210\206.md" index 9e15d7c2..80ea1510 100644 --- "a/Index/\344\272\214\345\210\206.md" +++ "b/Index/\344\272\214\345\210\206.md" @@ -20,6 +20,7 @@ | [354. 俄罗斯套娃信封问题](https://leetcode-cn.com/problems/russian-doll-envelopes/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/russian-doll-envelopes/solution/zui-chang-shang-sheng-zi-xu-lie-bian-xin-6s8d/) | 困难 | 🤩🤩🤩 | | [363. 矩形区域不超过 K 的最大数值和](https://leetcode-cn.com/problems/max-sum-of-rectangle-no-larger-than-k/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/max-sum-of-rectangle-no-larger-than-k/solution/gong-shui-san-xie-you-hua-mei-ju-de-ji-b-dh8s/) | 困难 | 🤩🤩🤩 | | [367. 有效的完全平方数](https://leetcode-cn.com/problems/valid-perfect-square/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/valid-perfect-square/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-shuang-jie-er-fe-g5el/) | 简单 | 🤩🤩🤩🤩🤩 | +| [373. 查找和最小的K对数字](https://leetcode-cn.com/problems/find-k-pairs-with-smallest-sums/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/find-k-pairs-with-smallest-sums/solution/gong-shui-san-xie-duo-lu-gui-bing-yun-yo-pgw5/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩🤩 | | [374. 猜数字大小](https://leetcode-cn.com/problems/guess-number-higher-or-lower/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/guess-number-higher-or-lower/solution/gong-shui-san-xie-shi-yong-jiao-hu-han-s-tocm/) | 简单 | 🤩🤩🤩 | | [441. 排列硬币](https://leetcode-cn.com/problems/arranging-coins/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/arranging-coins/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-shuang-jie-shu-x-sv9o/) | 简单 | 🤩🤩🤩 | | [475. 供暖器](https://leetcode-cn.com/problems/heaters/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/heaters/solution/gong-shui-san-xie-er-fen-shuang-zhi-zhen-mys4/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩 | diff --git "a/Index/\345\240\206.md" "b/Index/\345\240\206.md" index 4f890a11..4f7ae906 100644 --- "a/Index/\345\240\206.md" +++ "b/Index/\345\240\206.md" @@ -5,6 +5,7 @@ | [264. 丑数 II](https://leetcode-cn.com/problems/ugly-number-ii/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/ugly-number-ii/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-shuang-jie-you-x-3nvs/) | 中等 | 🤩🤩🤩 | | [295. 数据流的中位数](https://leetcode-cn.com/problems/find-median-from-data-stream/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/find-median-from-data-stream/solution/gong-shui-san-xie-jing-dian-shu-ju-jie-g-pqy8/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩 | | [313. 超级丑数](https://leetcode-cn.com/problems/super-ugly-number/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/super-ugly-number/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-shuang-jie-you-x-jyow/) | 中等 | 🤩🤩🤩 | +| [373. 查找和最小的K对数字](https://leetcode-cn.com/problems/find-k-pairs-with-smallest-sums/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/find-k-pairs-with-smallest-sums/solution/gong-shui-san-xie-duo-lu-gui-bing-yun-yo-pgw5/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩🤩 | | [407. 接雨水 II](https://leetcode-cn.com/problems/trapping-rain-water-ii/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/trapping-rain-water-ii/solution/gong-shui-san-xie-jing-dian-dijkstra-yun-13ik/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩 | | [451. 根据字符出现频率排序](https://leetcode-cn.com/problems/sort-characters-by-frequency/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/sort-characters-by-frequency/solution/gong-shui-san-xie-shu-ju-jie-gou-yun-yon-gst9/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩 | | [480. 滑动窗口中位数](https://leetcode-cn.com/problems/sliding-window-median/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/sliding-window-median/solution/xiang-jie-po-su-jie-fa-you-xian-dui-lie-mo397/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩 | diff --git "a/Index/\345\244\232\350\267\257\345\275\222\345\271\266.md" "b/Index/\345\244\232\350\267\257\345\275\222\345\271\266.md" index cb1678af..4bad444a 100644 --- "a/Index/\345\244\232\350\267\257\345\275\222\345\271\266.md" +++ "b/Index/\345\244\232\350\267\257\345\275\222\345\271\266.md" @@ -3,5 +3,6 @@ | [21. 合并两个有序链表](https://leetcode-cn.com/problems/merge-two-sorted-lists/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/merge-two-sorted-lists/solution/shua-chuan-lc-shuang-zhi-zhen-jie-fa-sha-b22z/) | 简单 | 🤩🤩🤩🤩🤩 | | [264. 丑数 II](https://leetcode-cn.com/problems/ugly-number-ii/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/ugly-number-ii/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-shuang-jie-you-x-3nvs/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩 | | [313. 超级丑数](https://leetcode-cn.com/problems/super-ugly-number/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/super-ugly-number/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-shuang-jie-you-x-jyow/) | 中等 | 🤩🤩🤩 | +| [373. 查找和最小的K对数字](https://leetcode-cn.com/problems/find-k-pairs-with-smallest-sums/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/find-k-pairs-with-smallest-sums/solution/gong-shui-san-xie-duo-lu-gui-bing-yun-yo-pgw5/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩🤩 | | [786. 第 K 个最小的素数分数](https://leetcode-cn.com/problems/k-th-smallest-prime-fraction/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/k-th-smallest-prime-fraction/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-shuang-jie-you-x-8ymk/) | 中等 | 🤩🤩🤩 | diff --git "a/LeetCode/371-380/373. \346\237\245\346\211\276\345\222\214\346\234\200\345\260\217\347\232\204K\345\257\271\346\225\260\345\255\227\357\274\210\344\270\255\347\255\211\357\274\211.md" "b/LeetCode/371-380/373. \346\237\245\346\211\276\345\222\214\346\234\200\345\260\217\347\232\204K\345\257\271\346\225\260\345\255\227\357\274\210\344\270\255\347\255\211\357\274\211.md" new file mode 100644 index 00000000..2900133a --- /dev/null +++ "b/LeetCode/371-380/373. \346\237\245\346\211\276\345\222\214\346\234\200\345\260\217\347\232\204K\345\257\271\346\225\260\345\255\227\357\274\210\344\270\255\347\255\211\357\274\211.md" @@ -0,0 +1,262 @@ +### 题目描述 + +这是 LeetCode 上的 **[373. 查找和最小的K对数字](https://leetcode-cn.com/problems/find-k-pairs-with-smallest-sums/solution/gong-shui-san-xie-duo-lu-gui-bing-yun-yo-pgw5/)** ，难度为 **中等**。 + +Tag : 「优先队列」、「二分」、「多路归并」 + + + +给定两个以升序排列的整数数组 `nums1` 和 `nums2` , 以及一个整数 `k` 。 + +定义一对值 $(u,v)$，其中第一个元素来自 `nums1`，第二个元素来自 `nums2`。 + +请找到和最小的 `k` 个数对 $(u_1,v_1),  (u_2,v_2)  ...  (u_k,v_k)$ 。  + +示例 1: +``` +输入: nums1 = [1,7,11], nums2 = [2,4,6], k = 3 + +输出: [1,2],[1,4],[1,6] + +解释: 返回序列中的前 3 对数： + [1,2],[1,4],[1,6],[7,2],[7,4],[11,2],[7,6],[11,4],[11,6] +``` +示例 2: +``` +输入: nums1 = [1,1,2], nums2 = [1,2,3], k = 2 + +输出: [1,1],[1,1] + +解释: 返回序列中的前 2 对数： +  [1,1],[1,1],[1,2],[2,1],[1,2],[2,2],[1,3],[1,3],[2,3] +``` +示例 3: +``` +输入: nums1 = [1,2], nums2 = [3], k = 3 + +输出: [1,3],[2,3] + +解释: 也可能序列中所有的数对都被返回:[1,3],[2,3] +``` + +提示: +* $1 <= nums1.length, nums2.length <= 10^4$ +* $-10^9 <= nums1[i], nums2[i] <= 10^9$ +* $nums1, nums2 均为升序排列$ +* $1 <= k <= 1000$ + +--- + +### 基本分析 + +这道题和 [(题解) 786. 第 K 个最小的素数分数](https://leetcode-cn.com/problems/k-th-smallest-prime-fraction/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-shuang-jie-you-x-8ymk/) 几乎是一模一样，先做哪一道都是一样的，难度上没有区别 🤣 + +最常规的做法是使用「多路归并」，还不熟悉「多路归并」的同学，建议先学习前置🧀：[多路归并入门](https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU4NDE3MTEyMA==&mid=2247490029&idx=1&sn=bba9ddff88d247db310406ee418d5a15&chksm=fd9cb2f2caeb3be4b1f84962677337dcb5884374e5b6b80340834eaff79298d11151da2dd5f7&token=252055586&lang=zh_CN#rd)，里面讲述了如何从「朴素优先队列」往「多路归并」进行转换。 + +--- + +### 多路归并 + +令 $nums1$ 的长度为 $n$，$nums2$ 的长度为 $m$，所有的点对数量为 $n * m$。 + +其中每个 $nums1[i]$ 参与所组成的点序列为： + +$$ +[(nums1[0], nums2[0]), (nums1[0], nums2[1]), ..., (nums1[0], nums2[m - 1])]\\ +[(nums1[1], nums2[0]), (nums1[1], nums2[1]), ..., (nums1[1], nums2[m - 1])]\\ +...\\ +[(nums1[n - 1], nums2[0]), (nums1[n - 1], nums2[1]), ..., (nums1[n - 1], nums2[m - 1])]\\ +$$ + +由于 $nums1$ 和 $nums2$ 均已按升序排序，因此每个 $nums1[i]$ 参与构成的点序列也为升序排序，这引导我们使用「多路归并」来进行求解。 + +具体的，起始我们将这 $n$ 个序列的首位元素（点对）以二元组 $(i, j)$ 放入优先队列（小根堆），其中 $i$ 为该点对中 $nums1[i]$ 的下标，$j$ 为该点对中 $nums2[j]$ 的下标，这步操作的复杂度为 $O(n\log{n})$。这里也可以得出一个小优化是：我们始终确保 $nums1$ 为两数组中长度较少的那个，然后通过标识位来记录是否发生过交换，确保答案的点顺序的正确性。 + +每次从优先队列（堆）中取出堆顶元素（含义为当前未被加入到答案的所有点对中的最小值），加入答案，并将该点对所在序列的下一位（如果有）加入优先队列中。 + +举个 🌰，首次取出的二元组为 $(0, 0)$，即点对 $(nums1[0], nums2[0])$，取完后将序列的下一位点对 $(nums1[0], nums2[1])$ 以二元组 $(0, 1)$ 形式放入优先队列。 + +可通过「反证法」证明，每次这样的「取当前，放入下一位」的操作，可以确保当前未被加入答案的所有点对的最小值必然在优先队列（堆）中，即前 $k$ 个出堆的元素必然是所有点对的前 $k$ 小的值。 + +**代码（感谢 [@Benhao](/u/himymben/) 同学提供的其他语言版本）：** +```Java +class Solution { + boolean flag = true; + public List> kSmallestPairs(int[] nums1, int[] nums2, int k) { + List> ans = new ArrayList<>(); + int n = nums1.length, m = nums2.length; + if (n > m && !(flag = false)) return kSmallestPairs(nums2, nums1, k); + PriorityQueue q = new PriorityQueue<>((a,b)->(nums1[a[0]]+nums2[a[1]])-(nums1[b[0]]+nums2[b[1]])); + for (int i = 0; i < Math.min(n, k); i++) q.add(new int[]{i, 0}); + while (ans.size() < k && !q.isEmpty()) { + int[] poll = q.poll(); + int a = poll[0], b = poll[1]; + ans.add(new ArrayList<>(){{ + add(flag ? nums1[a] : nums2[b]); + add(flag ? nums2[b] : nums1[a]); + }}); + if (b + 1 < m) q.add(new int[]{a, b + 1}); + } + return ans; + } +} +``` +- +```Python3 +class Solution: + def kSmallestPairs(self, nums1: List[int], nums2: List[int], k: int) -> List[List[int]]: + flag, ans = (n := len(nums1)) > (m := len(nums2)), [] + if flag: + n, m, nums1, nums2 = m, n, nums2, nums1 + pq = [] + for i in range(min(n, k)): + heapq.heappush(pq, (nums1[i] + nums2[0], i, 0)) + while len(ans) < k and pq: + _, a, b = heapq.heappop(pq) + ans.append([nums2[b], nums1[a]] if flag else [nums1[a], nums2[b]]) + if b + 1 < m: + heapq.heappush(pq, (nums1[a] + nums2[b + 1], a, b + 1)) + return ans +``` +- +```Golang +func kSmallestPairs(nums1 []int, nums2 []int, k int) [][]int { + n, m, ans := len(nums1), len(nums2), [][]int{} + flag := n > m + if flag { + n, m, nums1, nums2 = m, n, nums2, nums1 + } + if n > k { + n = k + } + pq := make(hp, n) + for i := 0; i < n; i++ { + pq[i] = []int{nums1[i] + nums2[0], i, 0} + } + heap.Init(&pq) + for pq.Len() > 0 && len(ans) < k { + poll := heap.Pop(&pq).([]int) + a, b := poll[1], poll[2] + if flag{ + ans = append(ans, []int{nums2[b], nums1[a]}) + }else{ + ans = append(ans, []int{nums1[a], nums2[b]}) + } + if b < m - 1 { + heap.Push(&pq, []int{nums1[a] + nums2[b + 1], a, b + 1}) + } + } + return ans +} +// 最小堆模板 +type hp [][]int +func (h hp) Len() int { return len(h) } +func (h hp) Less(i, j int) bool { return h[i][0] < h[j][0] } +func (h hp) Swap(i, j int) { h[i], h[j] = h[j], h[i] } +func (h *hp) Push(v interface{}) { *h = append(*h, v.([]int)) } +func (h *hp) Pop() interface{} { a := *h; v := a[len(a)-1]; *h = a[:len(a)-1]; return v } +``` +* 时间复杂度：令 $M$ 为 $n$、$m$ 和 $k$ 三者中的最小值，复杂度为 $O(M + k) * \log{M})$ +* 空间复杂度：$O(M)$ + +--- + +### 二分 + +我们还能够使用多次「二分」来做。 + +假设我们将所有「数对和」按照升序排序，两端的值分别为 $l = nums1[0] + nums2[0]$ 和 $r = nums1[n - 1] + nums2[m - 1]$。 + +因此我们可以在值域 $[l, r]$ 上进行二分，找到第一个满足「点对和小于等于 $x$ 的，且数量超过 $k$ 的值 $x$」。 + +之所以能够二分，是因为 $x$ 所在的点对和数轴上具有二段性： + +* 点对和小于 $x$ 的点对数量少于 $k$ 个； +* 点对和大于等于 $x$ 的点对数量大于等于 $k$ 个。 + +判定小于等于 $x$ 的点对数量是否大于等于 $k$ 个这一步可直接使用循环来做，由于二分是从中间值开始，这一步不会出现跑满两层循环的情况。 + +当二分出第 $k$ 小的值为 $x$ 后，由于存在不同点对的点对和值相等，我们需要先将所有点对和小于等于 $x$ 的值加入答案，然后酌情把值等于 $x$ 的点对加入答案，知道满足答案数量为 $k$。 + +找值为 $x$ 的所有点对这一步，可以通过枚举 $nums1[i]$，然后在 $nums2$ 上二分目标值 $x - nums1[i]$ 的左右端点来做。 + +最后，在所有处理过程中，我们都可以利用答案数组的大小与 $k$ 的关系做剪枝。 + +代码： +```Java +class Solution { + int[] nums1, nums2; + int n, m; + public List> kSmallestPairs(int[] n1, int[] n2, int k) { + nums1 = n1; nums2 = n2; + n = nums1.length; m = nums2.length; + List> ans = new ArrayList<>(); + int l = nums1[0] + nums2[0], r = nums1[n - 1] + nums2[m - 1]; + while (l < r) { + int mid = l + r >> 1; + if (check(mid, k)) r = mid; + else l = mid + 1; + } + int x = r; + for (int i = 0; i < n; i++) { + for (int j = 0; j < m; j++) { + if (nums1[i] + nums2[j] < x) { + List temp = new ArrayList<>(); + temp.add(nums1[i]); temp.add(nums2[j]); + ans.add(temp); + } else break; + } + } + for (int i = 0; i < n && ans.size() < k; i++) { + int a = nums1[i], b = x - a; + int c = -1, d = -1; + l = 0; r = m - 1; + while (l < r) { + int mid = l + r >> 1; + if (nums2[mid] >= b) r = mid; + else l = mid + 1; + } + if (nums2[r] != b) continue; + c = r; + l = 0; r = m - 1; + while (l < r) { + int mid = l + r + 1 >> 1; + if (nums2[mid] <= b) l = mid; + else r = mid - 1; + } + d = r; + for (int p = c; p <= d && ans.size() < k; p++) { + List temp = new ArrayList<>(); + temp.add(a); temp.add(b); + ans.add(temp); + } + } + return ans; + } + boolean check(int x, int k) { + int ans = 0; + for (int i = 0; i < n && ans < k; i++) { + for (int j = 0; j < m && ans < k; j++) { + if (nums1[i] + nums2[j] <= x) ans++; + else break; + } + } + return ans >= k; + } +} +``` +* 时间复杂度：假设点对和的值域大小范围为 $M$，第一次二分的复杂度为 $O((n * m) * \log{M})$；统计点对和值小于目标值 $x$ 的复杂度为 $O(n * m)$；统计所有点对和等于目标值的复杂度为 $O(\max(n * \log{m}, k))$（整个处理过程中利用了大小关系做了剪枝，大多循环都不会跑满，实际计算量会比理论分析的要低） +* 空间复杂度：$O(k)$ + +--- + +### 最后 + +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.373` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。 + +在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 + +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 + +在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 +