diff --git "a/Index/\347\272\277\346\200\247 DP.md" "b/Index/\347\272\277\346\200\247 DP.md" index 2a7059cc..cb6892de 100644 --- "a/Index/\347\272\277\346\200\247 DP.md" +++ "b/Index/\347\272\277\346\200\247 DP.md" @@ -11,5 +11,6 @@ | [403. 青蛙过河](https://leetcode-cn.com/problems/frog-jump/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/frog-jump/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-duo-jie-jiang-di-74fw/) | 困难 | 🤩🤩🤩 | | [1751. 最多可以参加的会议数目 II](https://leetcode-cn.com/problems/maximum-number-of-events-that-can-be-attended-ii/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/maximum-number-of-events-that-can-be-attended-ii/solution/po-su-dp-er-fen-dp-jie-fa-by-ac_oier-88du/) | 困难 | 🤩🤩🤩 | | [1787. 使所有区间的异或结果为零](https://leetcode-cn.com/problems/make-the-xor-of-all-segments-equal-to-zero/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/make-the-xor-of-all-segments-equal-to-zero/solution/gong-shui-san-xie-chou-xiang-cheng-er-we-ww79/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩 | +| [剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和](https://leetcode-cn.com/problems/lian-xu-zi-shu-zu-de-zui-da-he-lcof/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/lian-xu-zi-shu-zu-de-zui-da-he-lcof/solution/gong-shui-san-xie-jian-dan-xian-xing-dp-mqk5v/) | 简单 | 🤩🤩🤩🤩🤩 | | [LCP 07. 传递信息](https://leetcode-cn.com/problems/chuan-di-xin-xi/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/chuan-di-xin-xi/solution/gong-shui-san-xie-tu-lun-sou-suo-yu-dong-cyxo/) | 简单 | 🤩🤩🤩🤩 | diff --git "a/LeetCode/\345\211\221\346\214\207 Offer/\345\211\221\346\214\207 Offer 42. \350\277\236\347\273\255\345\255\220\346\225\260\347\273\204\347\232\204\346\234\200\345\244\247\345\222\214\357\274\210\347\256\200\345\215\225\357\274\211.md" "b/LeetCode/\345\211\221\346\214\207 Offer/\345\211\221\346\214\207 Offer 42. \350\277\236\347\273\255\345\255\220\346\225\260\347\273\204\347\232\204\346\234\200\345\244\247\345\222\214\357\274\210\347\256\200\345\215\225\357\274\211.md" new file mode 100644 index 00000000..6d14c5fa --- /dev/null +++ "b/LeetCode/\345\211\221\346\214\207 Offer/\345\211\221\346\214\207 Offer 42. \350\277\236\347\273\255\345\255\220\346\225\260\347\273\204\347\232\204\346\234\200\345\244\247\345\222\214\357\274\210\347\256\200\345\215\225\357\274\211.md" @@ -0,0 +1,175 @@ +### 题目描述 + +这是 LeetCode 上的 **[剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和](https://leetcode-cn.com/problems/lian-xu-zi-shu-zu-de-zui-da-he-lcof/solution/gong-shui-san-xie-jian-dan-xian-xing-dp-mqk5v/)** ，难度为 **简单**。 + +Tag : 「线性 DP」 + + + + +输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。 + +要求时间复杂度为$O(n)$。 + + +示例1: +``` +输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] + +输出: 6 + +解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。 +``` + +提示： +* 1 <= arr.length <= $10^5$ +* -100 <= arr[i] <= 100 + +--- + +### 动态规划 + +这是一道简单线性 DP 题。 + +定义 $f[i]$ 为考虑以 $nums[i]$ 为结尾的子数组的最大值。 + +不失一般性的考虑 $f[i]$ 如何转移。 + +显然对于 $nums[i]$ 而言，以它为结尾的子数组分两种情况： + +* $num[i]$ 自身作为独立子数组：$f[i] = nums[i]$ ； +* $num[i]$ 与之前的数值组成子数组，由于是子数组，其只能接在 $nums[i - 1]$，即有：$f[i] = f[i - 1] + nums[i]$。 + +最终 $f[i]$ 为上述两种情况取 $\max$ 即可： + +$$ +f[i] = \max(nums[i], f[i - 1] + nums[i]) +$$ + +代码： +```Java +class Solution { + public int maxSubArray(int[] nums) { + int n = nums.length; + int[] f = new int[n]; + f[0] = nums[0]; + int ans = f[0]; + for (int i = 1; i < n; i++) { + f[i] = Math.max(nums[i], f[i - 1] + nums[i]); + ans = Math.max(ans, f[i]); + } + return ans; + } +} +``` +* 时间复杂度：$O(n)$ +* 空间复杂度：$O(n)$ + +--- + + +### 空间优化 + +观察状态转移方程，我们发现 $f[i]$ 明确值依赖于 $f[i - 1]$。 + +因此我们可以使用「有限变量」或者「滚动数组」的方式，将空间优化至 $O(1)$。 + +代码： +```Java +class Solution { + public int maxSubArray(int[] nums) { + int n = nums.length; + int max = nums[0], ans = max; + for (int i = 1; i < n; i++) { + max = Math.max(nums[i], max + nums[i]); + ans = Math.max(ans, max); + } + return ans; + } +} +``` +```Java +class Solution { + public int maxSubArray(int[] nums) { + int n = nums.length; + int[] f = new int[2]; + f[0] = nums[0]; + int ans = f[0]; + for (int i = 1; i < n; i++) { + int a = i & 1, b = (i - 1) & 1; + f[a] = Math.max(nums[i], f[b] + nums[i]); + ans = Math.max(ans, f[a]); + } + return ans; + } +} +``` +* 时间复杂度：$O(n)$ +* 空间复杂度：$O(1)$ + + +--- + +### 拓展 + +一个有意思的拓展是，将 **加法** 替换成 **乘法**。 + +题目变成 [152. 乘积最大子数组（中等）](https://leetcode-cn.com/problems/maximum-product-subarray/)。 + +又该如何考虑呢？ + +一个朴素的想法，仍然是考虑定义 $f[i]$ 代表以 $nums[i]$ 为结尾的最大值，但存在「负负得正」取得最大值的情况，光维护一个前缀最大值显然是不够的，我们可以多引入一维 $g[i]$ 作为前缀最小值。 + +其余分析与本题同理。 + +代码： +```Java +class Solution { + public int maxProduct(int[] nums) { + int n = nums.length; + int[] g = new int[n + 1]; // 考虑前 i 个，结果最小值 + int[] f = new int[n + 1]; // 考虑前 i 个，结果最大值 + g[0] = 1; + f[0] = 1; + int ans = nums[0]; + for (int i = 1; i <= n; i++) { + int x = nums[i - 1]; + g[i] = Math.min(x, Math.min(g[i - 1] * x, f[i - 1] * x)); + f[i] = Math.max(x, Math.max(g[i - 1] * x, f[i - 1] * x)); + ans = Math.max(ans, f[i]); + } + return ans; + } +} +``` +```Java +class Solution { + public int maxProduct(int[] nums) { + int n = nums.length; + int min = 1, max = 1; + int ans = nums[0]; + for (int i = 1; i <= n; i++) { + int x = nums[i - 1]; + int nmin = Math.min(x, Math.min(min * x, max * x)); + int nmax = Math.max(x, Math.max(min * x, max * x)); + min = nmin; + max = nmax; + ans = Math.max(ans, max); + } + return ans; + } +} +``` + +--- + +### 最后 + +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.剑指 Offer 42` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。 + +在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 + +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 + +在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 + diff --git "a/LeetCode/\345\211\221\346\214\207 Offer/\345\211\221\346\214\207 Offer 53 - I. \345\234\250\346\216\222\345\272\217\346\225\260\347\273\204\344\270\255\346\237\245\346\211\276\346\225\260\345\255\227 I\357\274\210\347\256\200\345\215\225\357\274\211.md" "b/LeetCode/\345\211\221\346\214\207 Offer/\345\211\221\346\214\207 Offer 53 - I. \345\234\250\346\216\222\345\272\217\346\225\260\347\273\204\344\270\255\346\237\245\346\211\276\346\225\260\345\255\227 I\357\274\210\347\256\200\345\215\225\357\274\211.md" index fbcfbb71..78894f88 100644 --- "a/LeetCode/\345\211\221\346\214\207 Offer/\345\211\221\346\214\207 Offer 53 - I. \345\234\250\346\216\222\345\272\217\346\225\260\347\273\204\344\270\255\346\237\245\346\211\276\346\225\260\345\255\227 I\357\274\210\347\256\200\345\215\225\357\274\211.md" +++ "b/LeetCode/\345\211\221\346\214\207 Offer/\345\211\221\346\214\207 Offer 53 - I. \345\234\250\346\216\222\345\272\217\346\225\260\347\273\204\344\270\255\346\237\245\346\211\276\346\225\260\345\255\227 I\357\274\210\347\256\200\345\215\225\357\274\211.md" @@ -1,6 +1,6 @@ ### 题目描述 -这是 LeetCode 上的 **[剑指 Offer 53 - I. 在排序数组中查找数字 I](https://leetcode-cn.com/problems/zai-pai-xu-shu-zu-zhong-cha-zhao-shu-zi-lcof/solution/gong-shui-san-xie-liang-chong-er-fen-ton-3epx/)** ，难度为 **中等**。 +这是 LeetCode 上的 **[剑指 Offer 53 - I. 在排序数组中查找数字 I](https://leetcode-cn.com/problems/zai-pai-xu-shu-zu-zhong-cha-zhao-shu-zi-lcof/solution/gong-shui-san-xie-liang-chong-er-fen-ton-3epx/)** ，难度为 **简单**。 Tag : 「二分」