diff --git "a/Index/\346\225\260\345\255\246.md" "b/Index/\346\225\260\345\255\246.md" index 7a6df2a6..a650b1c0 100644 --- "a/Index/\346\225\260\345\255\246.md" +++ "b/Index/\346\225\260\345\255\246.md" @@ -56,6 +56,7 @@ | [829. 连续整数求和](https://leetcode.cn/problems/consecutive-numbers-sum/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/consecutive-numbers-sum/solution/by-ac_oier-220q/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩 | | [869. 重新排序得到 2 的幂](https://leetcode-cn.com/problems/reordered-power-of-2/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/reordered-power-of-2/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-shuang-jie-dfs-c-3s1e/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩 | | [879. 盈利计划](https://leetcode-cn.com/problems/profitable-schemes/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/profitable-schemes/solution/gong-shui-san-xie-te-shu-duo-wei-fei-yon-7su9/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩🤩 | +| [891. 子序列宽度之和](https://leetcode.cn/problems/sum-of-subsequence-widths/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/sum-of-subsequence-widths/solution/by-ac_oier-6tyk/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩 | | [907. 子数组的最小值之和](https://leetcode.cn/problems/sum-of-subarray-minimums/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/sum-of-subarray-minimums/solution/by-ac_oier-h9cd/) | 中等 | 🤩🤩🤩 | | [952. 按公因数计算最大组件大小](https://leetcode.cn/problems/largest-component-size-by-common-factor/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/largest-component-size-by-common-factor/solution/by-ac_oier-mw04/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩🤩 | | [1006. 笨阶乘](https://leetcode-cn.com/problems/clumsy-factorial/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/clumsy-factorial/solution/gong-shui-san-xie-tong-yong-biao-da-shi-nngfp/) | 中等 | 🤩🤩🤩 | diff --git "a/LeetCode/891-900/891. \345\255\220\345\272\217\345\210\227\345\256\275\345\272\246\344\271\213\345\222\214\357\274\210\345\233\260\351\232\276\357\274\211.md" "b/LeetCode/891-900/891. \345\255\220\345\272\217\345\210\227\345\256\275\345\272\246\344\271\213\345\222\214\357\274\210\345\233\260\351\232\276\357\274\211.md" new file mode 100644 index 00000000..f87c54ea --- /dev/null +++ "b/LeetCode/891-900/891. \345\255\220\345\272\217\345\210\227\345\256\275\345\272\246\344\271\213\345\222\214\357\274\210\345\233\260\351\232\276\357\274\211.md" @@ -0,0 +1,141 @@ +### 题目描述 + +这是 LeetCode 上的 **[891. 子序列宽度之和](https://leetcode.cn/problems/sum-of-subsequence-widths/solution/by-ac_oier-6tyk/)** ,难度为 **困难**。 + +Tag : 「数学」 + + + +一个序列的 宽度 定义为该序列中最大元素和最小元素的差值。 + +给你一个整数数组 `nums`,返回 `nums` 的所有非空 子序列 的 宽度之和 。由于答案可能非常大,请返回对 $10^9 + 7$ 取余 后的结果。 + +子序列 定义为从一个数组里删除一些(或者不删除)元素,但不改变剩下元素的顺序得到的数组。例如,`[3,6,2,7]` 就是数组 `[0,3,1,6,2,2,7]` 的一个子序列。 + +示例 1: +``` +输入:nums = [2,1,3] + +输出:6 + +解释:子序列为 [1], [2], [3], [2,1], [2,3], [1,3], [2,1,3] 。 +相应的宽度是 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2 。 +宽度之和是 6 。 +``` +示例 2: +``` +输入:nums = [2] + +输出:0 +``` + +提示: +* $1 <= nums.length <= 10^5$ +* $1 <= nums[i] <= 10^5$ + +--- + +### 数学 + +#### 提示一:每个子序列对答案的贡献 + +对于某个子序列而言,若其最大值为 $a$,最小值为 $b$,则该子序列对答案的贡献为 $(a - b)$。 + +我们有若干个子序列,即有若干个 $(a - b)$,答案为所有 $(a - b)$ 之和,我们称一个 $(a - b)$ 为 `item`。 + +#### 提示二:每个 $nums[i]$ 参与了多少个 `item` 的组成,在最终展开式中又是如何 + +对于每个 $(a - b)$ 而言,`a` 和 `b` 均必然是具体的 $nums[i]$。 + +同时易知若 $nums[i]$ 作为了 $k$ 个子序列的最小值,那么在最终表达式展开中,必然有 $k$ 个 $-nums[i]$;同理若 $nums[i]$ 作为了 $k$ 个子序列的最大值,那么在最终表达式展开中,必然有 $k$ 个 $nums[i]$。 + +#### 提示三:统计每个 $nums[i]$ 作为最值时,有多少个子序列 + +先不考虑 $nums[i]$ 的重复问题。 + +若 $nums[i]$ 作为子序列最小值时,首先 $nums[i]$ 必选,小于 $nums[i]$ 的必不选,而大于 $nums[i]$ 的可选可不选,组合个数取决于大于 $nums[i]$ 的数的个数,假设有 $k$ 个,那么根据组合数原理,共有 $2^k$ 个组合,即共有 $2^k$ 个子序列。此时 $nums[i]$ 对答案的贡献为 $2^k \times (-nums[i])$。 + +同理,$nums[i]$ 作为子序列最大值时,子序列个数取决于小于 $nums[i]$ 的数的个数,假设有 $k$ 个,此时 $nums[i]$ 对答案的贡献为 $2^k \times nums[i]$。 + +#### 提示四:如何快速得知比 $nums[i]$ 大/小 的数的个数 + +排序。 + +#### 提示五:$nums[i]$ 的重复问题 + +无论是将 $nums[i]$ 视作最大值还是最小值,我们的组合数均取决于某一侧的数的个数,因此不会答案正确性产生影响。 + +#### 提示六:$2^k$ 操作的重复计算问题 + +将 $nums[i]$ 视作最值,我们都需要统计两边数所产生的组合数个数,因此即使对于单个用例都会面临重复计算某个 $2^k$ 的问题(对称性)。 + +同时对于跨样例而言,我们仍会重复计算某些 $2^k$(尤其是较小的 $k$ 值),为避免重复计算,我们可以通过打表预处理的方式算得所有可能要用到 $2^k$ 结果,在使用的时候直接通过查表取得。 + +Java 代码: +```Java +class Solution { + static int N = 100010, MOD = (int)1e9+7; + static long[] p = new long[N]; + static { + p[0] = 1; + for (int i = 1; i < N; i++) p[i] = p[i - 1] * 2 % MOD; + } + public int sumSubseqWidths(int[] nums) { + int n = nums.length; + long ans = 0; + Arrays.sort(nums); + for (int i = 0; i < n; i++) { + ans += (p[i] * nums[i]) % MOD; + ans %= MOD; + ans -= (p[n - i - 1] * nums[i]) % MOD; + ans %= MOD; + } + return (int) ans; + } +} +``` +TypeScript 代码: +```TypeScript +function sumSubseqWidths(nums: number[]): number { + let n = nums.length, mod = 1000000007, ans = 0 + const p = new Array(n + 10).fill(1) + for (let i = 1; i <= n; i++) p[i] = p[i - 1] * 2 % mod + nums.sort((a,b)=>a-b) + for (let i = 0; i < n; i++) { + ans += p[i] * nums[i] % mod + ans %= mod + ans -= p[n - i - 1] * nums[i] % mod + ans %= mod + } + return ans +} +``` +Python3 代码: +```Python3 +class Solution: + def sumSubseqWidths(self, nums: List[int]) -> int: + n, mod, ans = len(nums), 1000000007, 0 + p = [1] * (n + 10) + for i in range(1, n + 1): + p[i] = p[i - 1] * 2 % mod + nums.sort() + for i in range(n): + ans = ans + p[i] * nums[i] % mod + ans = ans - p[n - i - 1] * nums[i] % mod + return ans % mod +``` +* 时间复杂度:排序复杂度为 $O(n\log{n})$;统计答案复杂度为 $O(n)$。整体复杂度为 $O(n\log{n})$ +* 空间复杂度:$O(n)$ + +--- + +### 最后 + +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.891` 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。 + +在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 + +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 + +在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 +