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高维空间中的正图形
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2015-09-19 15:41:08 -0700

我的QQ昵称是“机智的超立方体”,头像则是超立方体的三维球面投影图。最近有一些小伙伴问到关于这个的问题,所以决定写一篇正图形的科普。

正八胞体图

正十六胞体图


## 何谓正图形(Regular polytope)?

二维空间中,众所周知,二维正图形(俗称正多边形)就是边长相等,各内角也相等的图形。其特点是:任何一个顶点都没有特殊性,任何一条边也没有特殊性。正多边形有无限种,从3开始任何边数皆有对应的正n边形。

三维空间中,三维正图形(俗称正多面体)由若干相同的二维正图形围成,且任何一个面都没有特殊性。用列举法便可得知,正多面体只有5种,分别是(先按其各面边数从小到大,再按其各顶点隶属的面的数量从小到大列举):

  1. 正四面体(由正三角形围成,每个顶点属于3个面)
  2. 正八面体(由正三角形围成,每个顶点属于4个面)
  3. 正二十面体(由正三角形围成,每个顶点属于5个面)
  4. 正六面体(由正方形围成,每个顶点属于3个面)
  5. 正十二面体(由正五边形围成,每个顶点属于3个面)

由此可继续扩充定义:四维空间(先别去想象,只看定义)中,四维正图形(俗称正多胞体)由若干相同的三维正图形(一般称为胞)围成,且任何一个胞都没有特殊性。正多胞体只有6种,列举如下:

  1. 由正四面体围成的正五胞体
  2. 由正四面体围成的正十六胞体
  3. 由正六面体围成的正八胞体
  4. 由正八面体围成的正二十四胞体
  5. 由正十二面体围成的正一百二十胞体
  6. 由正四面体围成的正六百胞体

n维正图形就是由若干相同的n-1维正图形围成,且这些n-1维正图形都没有特殊性的几何图形。

n维正图形是不是听起来太复杂了?其实不然。事实上,从五维起一切就有规律了。**五维及五维以上每个维度,有且仅有三种正图形,它们各自构成一个系列。**以下依次介绍:


单纯形(Simplex)

n维的单纯形含有n+1个顶点,任意两个顶点间的距离均为1(或其他常数)。在n维单纯形的基础上,增加一个到所有顶点距离均为1的新顶点,并将新顶点与所有旧顶点连接,便可得到n+1维单纯形。于是可得如下列表:

  • 0维单纯形是
  • 加一个到已知点距离为1的点,得1维单纯形是线段
  • 加一个到线段两端点距离均为1的点,得2维单纯形是正三角形
  • 加一个到三角形顶点距离均为1的点,得3维单纯形是正四面体
  • 加一个到正四面体顶点距离均为1的点,需要用到四维空间才能实现,得4维单纯形是正五胞体
  • ……

超方形(Hypercube)

超方形从直观上说,感觉是“方的”,也就是它的所有边都平行于坐标轴。n+1维超方形是将n维超方形沿新坐标轴平移1个单位长度的过程中所划过的区域。有以下超方形列表:

  • 0维超方形是
  • 将点沿x轴平移,得1维超方形是线段
  • 将线段沿y轴平移,得2维超方形是正方形
  • 将正方形沿z轴平移,得3维超方形是正方体
  • 将正方体沿四维空间中第四条坐标轴平移,得4维超方形是超立方体,学名正八胞体
  • ……

正轴形(Cross-polytope)

n维正轴形含有2n个顶点,分别是每条坐标轴上的-1处与+1处。以下为其列表:

  • 1维正轴形是x轴上-1与+1处的点所连成的线段
  • 2维正轴形是(0, -1), (0, +1), (-1, 0), (+1, 0)四个点所围成的正方形
  • 3维正轴形是(0, 0, +-1), (0, +-1, 0), (+-1, 0, 0)六个点所围成的正八面体
  • 4维正轴形是八个点围成的正十六胞体
  • ……

这三大类正图形还有什么特性呢?有一个有趣的概念叫作“对偶图形”。在三维中,若图形甲的所有顶点可以恰好对应到图形乙的所有面的中心,反之亦存在对应关系,那么图形甲与图形乙互为对偶多面体。扩充一下便可得到,在高维中,两个n维图形对偶的条件就是它们的顶点和n-1维的图形的中心互相存在对应关系。

比如说,正八胞体具有8个胞和16个顶点,而正十六胞体具有16个胞和8个顶点,它们俩互为对偶多胞体。正五胞体具有5个胞和5个顶点,它的对偶多胞体是它自己。

事实上,可以证明,在任意维度上,超方形和正轴形都是互为对偶的,单纯形则总是自身对偶。因此用前两者作为情侣头像是个不错的主意,而单身贵族可以勇敢地使用后者作为自己的头像~

注:以上知识主要来自于中文与英文维基百科,为了便于理解有所改动。文中给出的定义可能不是完全严格的数学定义,欢迎各位指出错误!