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Zibo Wang Zibo Wang
Zibo Wang authored and Zibo Wang committed Jan 30, 2017
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title: “这山望着那山高”的数学原理
tags:
- 数学
categories:
- 数学
date: 2016-04-25 22:17:15
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现在邀请你和一位路人甲来做一个游戏:我拿出两个信封分别递给你们,并告诉你们一个装着的钱是另一个的两倍(但不知道哪个多哪个少)。你们有一次互相交换的机会,想交换吗?然后打开信封,看一下自己拿到的钱数(但不要让对方知道),现在还想交换吗?

我们用中学生都会的数学来分析一下——当你拿到信封后,你可以设其中的钱数为\\(x\\)。显然,另一个信封的钱数,有一半的概率是\\(2x\\),一半的概率是\\(0.5x\\)。所以“不交换”这个选项能使你平均得到\\(x\\),而“交换”这个选项能使你平均得到\\((2x+0.5x)/2=1.25x\\)。显然,交换对你更有利,无论你是否打开信封看到钱数,这个推理都是成立的,而且路人甲也会经过这样的推理过程,认为交换对他更有利。

<!--more-->等等!一个不创造新的价值的交换怎么可能对双方都有利呢?**零和博弈的任何策略都不可能互利共赢**,一定是我们的推理出了问题。

我们换个思路来思考这个问题:先假设两个信封中的钱数分别是\\(y\\)和\\(2y\\),那么我刚开始拿到的钱的期望是\\((y+2y)/2=1.5y\\),如果交换,拿到的钱的期望仍然是\\((2y+y)/2=1.5y\\),换或不换没有任何区别。之前的思路的问题在于,它当自己拿到的是\\(y\\)时,令\\(x=y\\);当自己拿到的是\\(2y\\)时,令\\(x’=2y\\)。实际上交换后所得的期望应为\\((2x+0.5x’)/2\\),它通过混淆\\(x\\)与\\(x’\\),产生了错误的结果。

打开信封看钱数也不会有任何改变,**假设你看到自己的信封中装了100元,并不是对方装50元和装200元的概率各占一半!**这两种情况的概率是不明的,如果贸然认为各一半,也就等同于贸然认为我令\\(y=50\\)和\\(y=100\\)的概率各一半,但我在介绍规则时可没有对此作出任何保证,规则是“\\(y\\)为任意值,你得到\\(2y\\)的概率与得到\\(y\\)的概率各一半”。

于是,通过逆向思维,我们可以计算出:规则为“\\(y\\)为任意值,你得到\\(2y\\)的概率与得到\\(y\\)的概率各一半”,并且**实际得到了100元时,\\(y=50\\)的概率占\\(2/3\\),\\(y=100\\)的概率占\\(1/3\\)。**只有这样的比例分布才使得对方所得钱数的期望也为100,符合前面所得出的“换与不换都一样”的结论。

这真是一个很有悖于常识的思路。

这个数学问题在生活中是存在的。我们如果将“两个信封”改成“许许多多个信封”,就可以和社会相类比。社会上每个人的天资/地位/生活状态(以下统一抽象为“得分”)都是符合一定的概率分布的,可以理解为许许多多个事先包装好的信封被发给了许许多多个人。如果只知道分布规律,不知道得分数值大小,贸然以自己的情况为基准来推测其他人的情况,正如不知道\\(y\\),因为自己的信封里装了100元,就推测对方有50元或200元的概率相等。基于这样的推测,必然会导致“交换是更有利的”这一错误的结论,也就是“对方的得分的数学期望比我高”。

**接下来将证明,无论社会中每个人的得分符合什么样的分布函数,只要:**

1. **不知道全体社会成员的平均得分大小(不知道信封中分别装了多少钱);**
2. **只知道分布函数形状(只知道一个信封装的钱是另一个的二倍);**
3. **认为自己得分在社会中所在的位置,符合该分布函数(看到自己有100块钱,就认为对方的钱数是50或200的概率各一半);**

**那么一定会导致“这山望着那山高”、“感觉别人平均来说生活得比我好”的心理(感觉交换信封对我有利)。**

设得分\\(x<kx_0\\)的人占总体的比例为\\(f(k)\\),全社会的平均得分应为\\(x_0\int kf'(k)\mathrm{d}k\\),\\(x_0\\)是社会成员未知的。我自己得分为\\(x\\),试图以此猜测\\(x_0\\)的值。

基于上述错误的思维方式,我会认为\\(x_0>x/k\\)的概率为\\(f(k)\\),得出\\(\mathrm{E}x_0=x\int\frac{f'(k)}{k}\mathrm{d}k\\)。将其代入全社会平均得分的式子,并将积分的乘积转化为二重积分,得出全社会的平均得分为:\\[x\int\frac{f'(k)}{k}\mathrm{d}k\int kf'(k)\mathrm{d}k=x\iint\frac{f^{-1}(y)}{f^{-1}(x)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\]

研究上式中的系数\\(\iint\frac{f^{-1}(y)}{f^{-1}(x)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\),这是在\\((0,1)^2\\)上对\\(g(x,y)=\frac{f^{-1}(y)}{f^{-1}(x)}\\)的积分。此区间具有对称性,\\(g(x,y)=1/g(y,x)\\),又因为\\(\frac{g+1/g}{2}\ge 1\\),故该积分结果必大于或等于1。\\(f^{-1}(x)\\)不可能为常值函数,因此该积分结果必大于1。由此得到结论:\\[x\int\frac{f'(k)}{k}\mathrm{d}k\int kf'(k)\mathrm{d}k>x\\]即**社会平均得分比自己的得分高。**

P.S. 没想到推导过程中居然要用到刚刚学的多变量微积分知识,开心~

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