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EM_Recrutement<-function(Tableau, K){
##########################################################################
### Estimation d'un melange de regression de Poisson par EM ###
##########################################################################
#nombre de variable explicative
L<-ncol(Tableau)-2
#fonction utilisee dans l'optimisation des theta pour le calcul des réels qui
#pondèrent les vecteurs lignes de données dans l'expression du gradient
fvecteur<-function(x,u){
v<- x[-1]
(-x[1]+exp(v%*%u))*v
}
#fonction utilisee dans l'optimisation des theta pour le calcul des réels qui
#pondèrent les vecteurs lignes de données dans l'expression de la hessienne
fvecteur2<- function(x,u){
v <- x[-1]
(exp(v%*%u)* v) %*% t(v)
}
#calcul du nabla en theta_k (u)
nablaJ<-function(u,k){
colSums(probaAposteriori[,k]*t(sapply(listDparEspece1vaExpl,
function(M) colSums(t(apply(M,1,function(x) fvecteur(x,u)))))))
}
#calcul de la hessien en theta_k (u)
hessienJ<-function(u,k){
l<-lapply(listDparEspece1vaExpl, function(M) apply(M,1,function(x) fvecteur2(x,u)))
l<-lapply(l, function(M) rowSums(M))
Mat<-sapply(l, function(x) x)
Mat<- rowSums(t(probaAposteriori[,k]*t(Mat)))
matrix(Mat, nrow=L+1, ncol=L+1)
}
#algorithme de Newton-Raphson
NewtonRaph<-function(u_zero,k){
u_plus<-u_zero
nabla_plus<-nablaJ(u_zero,k)
repeat{
u_moins<-u_plus
u_plus<- u_moins - solve(hessienJ(u_moins,k), nablaJ(u_moins,k))
if(norme(u_plus-u_moins)<0.000001) break
}
u_plus
}
#calcul des scalaires par espece
fMatriceScalaire<-function(x,M){
t(apply(x,1,function(y) c(y[1],M%*%c(1,y[-c(1,2)]))))
}
#calcul des vraisemblances par espece
fVraisParEspece<-function(x){
EM_Pi*apply(t(apply(x,1, function(y) dpois(y[1],lambda=exp(y[-1])))),2,prod)
}
#recherche lineaire de Wolfe par interpolation cubique
#calcul des valeurs de Q (fonction a optimiser) avec le pas
yy_plus<-function(Point,Point_plus){
######
listMatriceScalaire<-lapply(listDparEspece, function(x) fMatriceScalaire(x,Point))
listVraisParEspece<- lapply(listMatriceScalaire, fVraisParEspece)
Q<--sum(rowSums(probaAposteriori*log(t(sapply(listVraisParEspece, function(x) x)))))
######
listMatriceScalaire<-lapply(listDparEspece, function(x) fMatriceScalaire(x,Point_plus))
listVraisParEspece<- lapply(listMatriceScalaire, fVraisParEspece)
Q_plus<--sum(rowSums(probaAposteriori*log(t(sapply(listVraisParEspece, function(x) x)))))
c(Q, Q_plus)
}
# test des conditions de wolfe
wolfe<-function(vrais, rho, nabla2, nablaPoint_plusNabla){
eps1<-0.0001
eps2<-0.99
signal<-0
wolf21 <- nablaPoint_plusNabla
wolf13 <- -eps1*rho*nabla2
wolf22 <- -eps2*nabla2
if(vrais[2] <= vrais[1] + wolf13 && wolf21 >= wolf22){
signal<-1
}
signal
}
# recherche lineaire de wolfe par interpolation cubique
#calcul du polynome et du pas local
polySplineCubique<-function(vrais, rho, nabla2, nablaPoint_plusNabla){
A<- matrix(c(rho^2, 2*rho, rho^3, 3*rho^2), nrow=2, ncol=2)
b<- c(vrais[2]- vrais[1]+ rho*nabla2, nablaPoint_plusNabla + nabla2)
#coefficients du polynome d'interpolation cubique
P<- c(vrais[1], -nabla2, solve(A,b))
#extremums
delta<- P[3]^2 - 3*P[2]*P[4]
if(delta>=0){
extremum <- c( (-P[3]-sqrt(delta))/(3*P[4]), (-P[3]+sqrt(delta))/(3*P[4]) )
minim<- ifelse(P[2]*extremum[1]+P[3]*extremum[1]^2+ P[4]*extremum[1]^3 < P[2]*extremum[2]+P[3]*extremum[2]^2+ P[4]*extremum[2]^3, extremum[1], extremum[2])
}else{
minim<-rho/2
}
minim
}
#recherche lineaire
rechercheLin<-function(nabla,Point){
rho<-1
Point_plus<- Point - rho * nabla
vrais<-yy_plus(Point,Point_plus)
while( max(vrais)==Inf){
rho<- runif(1,min=rho/2, max=rho)
Point_plus<- Point - rho * nabla
vrais<-yy_plus(Point, Point_plus)
}
nabla2<-sum(t(apply(nabla, 1, function(x) x%*%x)))
Point_plus<- cbind(1:K, Point_plus)
nablaPoint_plusNabla <- sum(t(apply(Point_plus, 1, function(x) (-nablaJ(x[-1], x[1]))%*%nabla[x[1],])))
signal<-wolfe(vrais, rho, nabla2, nablaPoint_plusNabla)
while(signal!=1 && abs(vrais[1]-vrais[2])>0.000000001){
rho<-polySplineCubique(vrais,rho,nabla2,nablaPoint_plusNabla)
Point_plus<- Point - rho * nabla
vrais<-yy_plus(Point, Point_plus)
Point_plus<- cbind(1:K, Point_plus)
nablaPoint_plusNabla <- sum(t(apply(Point_plus, 1, function(x) (-nablaJ(x[-1], x[1]))%*%nabla[x[1],])))
signal<-wolfe(vrais, rho, nabla2, nablaPoint_plusNabla)
}
rho
}
# algorithme de gradient pour initialisation des parametres
algoGradient<-function(){
for(i in 1:5){
EM_theta<-cbind(1:K, EM_theta)
nabla<- t(apply(EM_theta, 1, function(x) nablaJ( x[-1], x[1])))
rho<- rechercheLin(nabla,EM_theta[,-1])
EM_theta<-EM_theta[,-1] - rho * nabla
}
EM_theta
}
#Initialisation des parametres
EM_theta<- t(replicate(K, rnorm(L+1)))
EM_Pi<- diff(c(0,sort(runif(K-1)),1))
#Séparation des donnees par espece
listDparEspece <- lapply(split(Tableau, Tableau[,2]),function(x) matrix(x,ncol=L+2))
#liste des matrices des produits scalaires initiaux par espece
listMatriceScalaire<-lapply(listDparEspece, function(x) fMatriceScalaire(x,EM_theta))
#liste des vraisemblances initiales par espece
listVraisParEspece<- lapply(listMatriceScalaire, fVraisParEspece)
#Initialisation de la fonction a maximiser
NQ<- 0
#Mise en forme des vecteurs de donnees des especes avec 1 comme premiere composante
listDparEspece1vaExpl<-lapply(listDparEspece, function(x) t(apply(x,1, function(y) c(y[1],1,y[-c(1,2)]))))
#debut<-Sys.time()
iteration<-0
repeat{
#l'ancienne valeur est mise a jour
AQ<-NQ
###############
### Etape E ###
#########################################################################
#calcul des probabilites a posteriori
probaAposteriori<-t(sapply(listVraisParEspece, function(x) x/sum(x)))
###############
### Etape M ###
#########################################################################
#mise a jour des proportions pi_k
EM_Pi<-colMeans(probaAposteriori)
#mise a jour des theta_k
#optimisation des theta_k, avec theta_k,m
#comme point de depart de l'optimisation
#On commence par quelques iterations de la methode du gradient avec recherche lineaire de Wolfe par interpolation
#spline cubique afin garantir la convergence de la methode de Newton-Raphson, utilisee par la suite
if(iteration==0){
EM_theta<- algoGradient()
}
#determination du maximum par la methode de Newton-Raphson
EM_theta<-cbind(1:K, EM_theta)
EM_theta<-t(apply(EM_theta,1,function(x) NewtonRaph(x[-1], x[1])))
### calcul de la nouvelle valeur de la fonction a maximiser : Q(theta|theta(m))
#liste des matrices de produits scalaires par espece
listMatriceScalaire<-lapply(listDparEspece, function(x) fMatriceScalaire(x,EM_theta))
#liste des vraisemblances par espece
listVraisParEspece<- lapply(listMatriceScalaire, fVraisParEspece)
NQ<-sum(rowSums(probaAposteriori*log(t(sapply(listVraisParEspece, function(x) x)))))
### Condition d'arret
iteration<-iteration+1
if(abs(NQ-AQ)<0.000000001) break
}
#log-vraisemblance
logVrais<-sum(sapply(listVraisParEspece, function(x) log(sum(x))))
### Regroupement
EM_groupe<- apply(probaAposteriori, 1, which.max)
png("classification.png")
plot(as.numeric(names(EM_groupe)), EM_groupe,main="regroupement",xlab="Espèce",ylab="groupe")
abline(v=10.5)
abline(v=20.5)
dev.off()
return(list(Classification=EM_groupe, Proportions=EM_Pi, Parametres=EM_theta, Iterations=iteration, log_vrasemblance=logVrais ,Visualisation="classification.png"))
#fin<-Sys.time()
#(fin-debut)
}