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1 parent e047853 commit b4ed8c1a6646c3fe27473f08e36b2b0154620892 Patrick Niklaus committed Oct 22, 2012
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View
@@ -135,351 +135,8 @@ \section{Motivation}
\end{block}
\end{frame}
-\section{Relationen}
-\subsection{Mengen}
-\begin{frame}
- \frametitle{Mengen}
- \begin{definition}
- \begin{itemize}
- \item Sammlung von 'Elementen'.
- \item Keine Aussage über Reihenfolge der Elemente
- \end{itemize}
- \end{definition} \pause
- \begin{exampleblock}{Endliche Menge von ganzen Zahlen}
- $\{ 3, 5, 7, 11, 13\}$
- \end{exampleblock} \pause
- \begin{exampleblock}{Menge aller ungeraden Zahlen }
- $\{ x \in \mathbb{N} | x = 2k + 1, k \in \mathbb{N}_0 \}$
- \end{exampleblock} \pause
- \begin{exampleblock}{Endliche Menge von Symbolen}
- $\{ a, \lambda, \varepsilon, b, \phi\}$
- \end{exampleblock}
-\end{frame}
-\begin{frame}
- \frametitle{Kreuzprodukt}
- \begin{definition}
- \begin{itemize}
- \item Seien A, B zwei Mengen. $ A \times B := \{(a, b) | a \in A, b \in B\}$
- \item Bilden von allen möglichen Paaren der Elemente dieser Mengen
- \end{itemize}
- \end{definition} \pause
- \begin{exampleblock}{Kreuzprodukt von zwei endlichen Mengen}
- \begin{itemize}
- \item $ A := \{3, 5, 7\}, B := \{\phi, \epsilon\}$
- \item $ A \times B = $ \pause $\{(3, \phi), (3, \epsilon), (5, \phi), (5, \epsilon), (7, \phi), (7, \epsilon)\}$
- \item $ B \times A = $ \pause $\{(\phi, 3), (\phi, 5), (\phi, 7), (\epsilon, 3), (\epsilon, 5), (\epsilon, 7)\}$
- \end{itemize}
- \end{exampleblock}
- \begin{alertblock}{Nicht kommutativ.}
- \end{alertblock}
-\end{frame}
-\subsection{Definition}
-\begin{frame}
- \frametitle{Relation}
- \begin{definition}
- \begin{itemize}
- \item Seien A, B zwei Mengen. $ R \subseteq A \times B $
- \item R ist eine Teilmenge des Kreuzproduktes zweier Mengen und heißt \emph{Relation}.
- \item Man schreibt auch: xRy für $(x, y) \in R$
- \item Ist A = B so sagt man auch: R ist eine Relation über A (bzw. B).
- \end{itemize}
- \end{definition} \pause
- \begin{exampleblock}{Beispiel}
- \begin{itemize}
- \item $ A := \{1, 3, 5\}, B := \{2, 4, 6\}$ $A \times B \supseteq R := \{(1, 2), (1, 4), (2, 4), (1, 6), (3, 6), (5, 6)\}$ \pause
- \item $ R = \{(a, b) | a \leq b, a \in A, b \in B \}$
- \end{itemize}
- \end{exampleblock}
-\end{frame}
-\begin{frame}
- \frametitle{Eigenschaften von Relationen}
- \begin{definition}
- Sei $R \subseteq A \times B$ eine beliebige Relation. R heißt ...
- \begin{description}
- \item[Linkstotal:] Für alle $a \in A$ gilt: Es existiert ein $b \in B$, sodas gilt: $(a, b) \in R$
- \item[Rechtstotal:] Für alle $b \in B$ gilt: Es existiert ein $a \in A$, sodas gilt: $(a, b) \in R$
- \item[Linkseindeutig:] Für alle $b \in B$ gilt: Ist $(a_1, b) \in R$ und $(a_2, b) \in R$ so gilt: $a_1 = a_2$
- \item[Rechtseindeutig:] Für alle $a \in A$ gilt: Ist $(a, b_1) \in R$ und $(a, b_2) \in R$ so gilt: $b_1 = b_2$
- \end{description}
- \end{definition}
-\end{frame}
-\begin{frame}
- \frametitle{Aufgaben zu Relationen}
- \begin{exampleblock}{In Mengen M aus Studenten mit $|M| \leq 3$}
- Folgende Relationen $R_n \subseteq A_n \times B_n$ sind gegeben, bestimme ihre Eigenschaften:
- \begin{enumerate}
- \item $A_1 := \{1, 2, 3, 4\}, B_1 := \mathbb{N}, R_1 := \{(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)\}$
- \item $A_2 := \{1, 2\}, B_2 := \{2, 3, 4\}, R_2 := \{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2)\}$
- \item $A_3 := \{1, 2, 3\}, B_3 := \{1, 2\}, R_3 := \{(2, 1), (2, 2), (3, 1)\}$
- \item $A_4 := \{1, 2, 3\}, B_4 := \{1, 2, 3\}, R_4 := \{(1, 1), (2, 1)\}$
- \end{enumerate}
- \end{exampleblock}
-\end{frame}
-\subsection{Funktionen}
-\begin{frame}
- \frametitle{Funktionen}
- \begin{definition}
- Seien A, B zwei Mengen. $f \subseteq A \times B$ eine Relation. Ist f \emph{linkstotal} und \emph{rechtseindeutig} so heißt f \emph{Funktion} und man schreibt:
- $f: A \rightarrow B, f(a) \mapsto b$
- \end{definition} \pause
- \begin{exampleblock}{Beispiel}
- $A := \{1, 2, 3\}, B := \mathbb{N}, f: A \rightarrow B, f(a) \mapsto a^2$
- \end{exampleblock}
-\end{frame}
-\begin{frame}
- \frametitle{Eigenschaften von Funktionen}
- \begin{definition}
- Sei $f: A \rightarrow B$ eine Funktion. Dann heißt f...
- \begin{itemize}
- \item injektiv: Wenn f linkseindeutig ist.
- \item surjektiv: Wenn f rechtstotal ist.
- \item bijektiv: Wenn F injektiv und surjektiv ist.
- \end{itemize}
- \end{definition} \pause
- \begin{exampleblock}{Beispiele}
- \begin{enumerate}
- \item $A := \{1, 2, 3\}, B := \mathbb{N}, f: A \rightarrow B, f(a) \mapsto a+2$
- \item $A := \{-2, -1, 0, 1, 2\}, B := \{0, 1, 2, 4\}, f: A \rightarrow B, f(a) \mapsto a^2$
- \end{enumerate}
- \end{exampleblock}
-\end{frame}
-
-\section{Logik}
-\subsection{Operatoren}
-\begin{frame}
- \frametitle{Primitive Operatoren}
- \begin{definition}
- Seien A und B \emph{Aussagen}. w: Wahr, f: Falsch
-
- \begin{table}
- \begin{tabular}{|l|l||c||c|}
- \hline
- A & B & $ A \wedge B$ & $A \vee B$\\
- \hline
- f & f & f & f \\
- f & w & f & w \\
- w & f & f & w \\
- w & w & w & w \\
- \hline
- \end{tabular}
- \begin{tabular}{|l||c|}
- \hline
- A & $\neg A$\\
- \hline
- f & w\\
- w & f\\
- \hline
-
- \end{tabular}
- \caption{Und: $\wedge$, Oder: $\vee$, Nicht: $\neg$}
- \end{table}
- \end{definition}
-\end{frame}
-\begin{frame}
- \frametitle{Implikation}
- \begin{definition}
- \begin{description}
- \item["'Wenn A gilt dann gilt auch B"'] $(A \Rightarrow B) :\Leftrightarrow \neg (A \wedge \neg B)$
- \item["'Wenn A gilt \emph{genau} dann gilt auch B"']$(A \Leftrightarrow B) :\Leftrightarrow ((A \Rightarrow B) \wedge (A \Leftarrow B))$
- \end{description}
- \begin{table}
- \begin{tabular}{|l|l||c|}
- \hline
- A & B & $ A \Rightarrow B$\\
- \hline
- f & f & w \\
- f & w & w \\
- w & f & f \\
- w & w & w \\
- \hline
- \end{tabular}
- \end{table}
- \end{definition}
- \begin{alertblock}{}
- Wenn Aussage A falsch ist die Implikation \emph{immer} wahr.
- \end{alertblock}
-\end{frame}
-
-\subsection{Beispiele}
-\begin{frame}
- \frametitle{Beispiele}
- \begin{exampleblock}{}
- \begin{table}
- \begin{tabular}{|l|l|c|c||c|}
- \hline
- A & B & $A \vee B$ & $A \wedge B$ & $ (A \vee B) \Rightarrow (A \wedge B)$\\
- \hline
- f & f & \hiddencell{2}{0} & \hiddencell{3}{0} & \hiddencell{4}{1}\\
- f & w & \hiddencell{2}{1} & \hiddencell{3}{0} & \hiddencell{4}{0}\\
- w & f & \hiddencell{2}{1} & \hiddencell{3}{0} & \hiddencell{4}{0}\\
- w & w & \hiddencell{2}{1} & \hiddencell{3}{1} & \hiddencell{4}{1}\\
- \hline
- \end{tabular}
- \end{table}
- \end{exampleblock}
-\end{frame}
-\begin{frame}
- \frametitle{Praktische Regeln}
- \begin{theorem}{De Morgan'sche Gesetze}
- \begin{enumerate}
- \item $\neg (A \vee B)$ äquivalent zu $\neg A \wedge \neg B$
- \item $\neg (A \wedge B)$ äquivalent zu $ \neg A \vee \neg B$
- \end{enumerate}
- \end{theorem}
- \begin{theorem}{Implikation von Inversen}
- $(\neg A \Rightarrow \neg B) \Leftrightarrow (B \Rightarrow A)$
- \end{theorem}
-\end{frame}
-\section{Quantoren}
-\subsection{Definition}
-\begin{frame}
- \frametitle{Quantoren}
- \begin{definition}
- \begin{description}
- \item[$\forall x \in M: A(x)$] "'Für alle $x \in M$ gilt: A(x)"'
- \item[$\exists x \in M: A(x)$] "'Es existiert ein $x \in M$ für das gilt: A(x)"'
- \end{description}
- \end{definition} \pause
- \begin{description}
- \item[$\forall$] "'Umgedrehtes A für Alle"'
- \item[$\exists$] "'Gespiegeltes E für Existiert"'
- \end{description}
- \begin{exampleblock}{Beispiele}
- \begin{enumerate}
- \item $\forall x \in M: \exists k \in \mathbb{Z}: x = 2k+1$
- \item $\forall a_1, a_2 \in M: f(a_1) = f(a_2) \Rightarrow a_1 = a_2$
- \item $\forall \varepsilon > 0: \exists n_0 \in \mathbb{N}: \forall n \geq n_0: |a-a_n| < \varepsilon$
- \end{enumerate}
- \end{exampleblock}
-\end{frame}
-\begin{frame}
- \frametitle{Aussagen mit Quantoren negieren}
- \begin{block}{Regel}
- Symbole vertauschen und letzte Aussage negieren. $\forall ... \exists ... : A(x) \longrightarrow \exists ... \forall ... : \neg A(x)$
- \end{block} \pause
- \begin{exampleblock}{Beispiele}
- \begin{description}
- \item[Aus] $\forall x \in M: \exists k \in \mathbb{Z}: x = 2k+1$ \pause
- \item[wird] $\exists x \in M: \forall k \in \mathbb{Z}: x \neq 2k+1$
- \end{description}
- \end{exampleblock}
-\end{frame}
-\subsection{Aufgaben}
-\begin{frame}
- \frametitle{Aufgaben}
- \begin{exampleblock}{In Mengen M aus Studenten mit $|M| \leq 3$}
- Formuliert folgende Aussagen mit logischen Symbolen und Quantoren.
- \begin{enumerate}
- \item In $M_1$ gibt es keine Elemente mit der Differenz 2.
- \item In $M_2$ gibt es nur Elemente die größer als 10 oder kleiner als -1 sind.
- \item In A gibt es für alle Elemente ein Element aus B, das doppelt so groß ist.
- \end{enumerate}
- \end{exampleblock}
-\end{frame}
-
-\section{Wörter}
-\subsection{Alphabete}
-\begin{frame}
- \frametitle{Alphabete}
- \begin{definition}
- Sei A eine endliche Menge von Symbolen. Dann heißt A ein \emph{Alphabet}.
- \end{definition}
- \begin{exampleblock}{Beispiele}
- \begin{itemize}
- \item $A := \{a, b, c\}$
- \item $A := \{\phi, 1, 2\}$
- \item $A := \{l, r, t, o\}$
- \end{itemize}
- \end{exampleblock}
-\end{frame}
-\subsection{Wörter}
-\begin{frame}
- \frametitle{Wörter}
- \begin{definition}
- Sei A ein Alphabet und $w: \mathbb{G}_n \rightarrow A$ eine \emph{surjektive} Abbildung. Dann heißt w ein \emph{Wort über dem Alphabet A}.
- \end{definition}\pause
- \begin{alertblock}{Etwas weniger formal}
- Ein Wort ist eine Folge von Symbolen aus einem Alphabet A.
- \end{alertblock}\pause
- \begin{definition}
- Das Wort $\varepsilon: \{\} \rightarrow \{\}$ heißt das \emph{leere Wort}. \\
- {\tiny Neutrales Element gegenüber der Wortkonkatenation.}
- \end{definition}\pause
- \begin{alertblock}{Erinnerung}
- $\mathbb{G}_n := \{k \in \mathbb{N}_0 | k < n\}$
- \end{alertblock}
-\end{frame}
-\begin{frame}
- \frametitle{Wörter}
- \begin{exampleblock}{Beispiele}
- \begin{itemize}
- \item
- $
- w_1: \mathbb{G}_5 \rightarrow \{l, r, t, o\}: w_1(i) \mapsto \left\{
- \begin{array}{l l}
- t, & \quad i = 0\\
- r, & \quad i = 1\\
- l, & \quad i \in \{2, 4\}\\
- o, & \quad i = 3\\
- \end{array} \right.
- $ \\
- wir schreiben auch $w_1 = trlol$
- \item
- $
- w_2: \mathbb{G}_6 \rightarrow \{1, 0\}: w_2(i) \mapsto \left\{
- \begin{array}{l l}
- 1, & \quad \text{$i$ gerade}\\
- 0, & \quad \text{$i$ ungerade}\\
- \end{array} \right.
- $ \\
- wir schreiben auch $w_2 = 101010$
- \end{itemize}
- \end{exampleblock}
-\end{frame}
-\subsection{Konkatenation}
-\begin{frame}
- \frametitle{Konkatenation von Wörtern}
- \begin{definition}
- Seien $w_1: \mathbb{G}_{n_1} \rightarrow A_1, w_2: \mathbb{G}_{n_2} \rightarrow A_2$ Wörter.\\
- Dann ist $w_1 \cdot w_2: \mathbb{G}_{n_1 + n_2} \rightarrow A_1 \cup A_2,$
- $(w_1 \cdot w_2)(i) \mapsto \left\{
- \begin{array}{l l}
- w_1(i), & \quad 0 \leq i < n_1\\
- w_2(i-n_1), & \quad n_1 \leq i < n_2\\
- \end{array} \right.
- $\\
- die Konkatenation von $w_1$ und $w_2$.
- \end{definition}\pause
- \begin{alertblock}{Etwas weniger formal}
- Wir hängen die Buchstabenfolge $w_1$ an $w_2$ an.
- \end{alertblock}
-\end{frame}
-\begin{frame}
- \frametitle{Konkatenation von Wörtern}
- \begin{exampleblock}{Beispiele}
- \begin{enumerate}
- \item $w_1 := ab, w_2 := ba$\\
- $w_1 \cdot w_2 = ab \cdot ba = abba$
- \item $w_1 := Hallo, w_2 := We, w_3 := lt$\\
- $w_1 \cdot w_2 \cdot w_3 = Hallo \cdot We \cdot lt = HalloWelt$
- \item $w_1 := 01$\\
- $w_1^3 = w_1 \cdot w_1^2 = w_1 \cdot w_1 \cdot w_1 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 101010$
- \end{enumerate}
- \end{exampleblock}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
- \frametitle{Menge aller Wörter}
- \begin{definition}
- Die Menge der Wörter der Länge \emph{n} wird bezeichnet mit $A^n$. Die Menge aller Wörter $A^*$ ist definiert als $A^* = \bigcup \limits^{\infty}_{i=0} A^i$.
- \end{definition}
- \begin{exampleblock}{Beispiele}
- \begin{enumerate}
- \item $A := \{a, b\}, A^3 = \{aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb\}$
- \item $A := \{0, 1\}, A^* = \{\varepsilon, 0, 1, 00, 11, 01, 10, 000, 001, ...\}$
- \item $A := \{a, b, c\}, A^* = \{\varepsilon, a, b, c, aa, ab, ac, bb, ba, ...\}$
- \end{enumerate}
- \end{exampleblock}
-\end{frame}
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+\input{../sections/logik.tex}
+\input{../sections/quantoren.tex}
\end{document}
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