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Added initial version of tut-1 latex-beamer source.

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1 parent 169164f commit b85670d3360339de80098af9ce3549540f4681d8 @TheMarex committed Oct 21, 2012
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379 1/tut 1.tex
@@ -0,0 +1,379 @@
+\documentclass{beamer}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{lmodern}
+\usepackage{ngerman}
+\usepackage{graphics}
+\usepackage{amsmath}
+\usetheme{Singapore}
+\usecolortheme{dove}
+\graphicspath{{images/}}
+\newcommand{\hiddencell}[2]{\action<#1->{#2}}
+
+\title{Grundbegriffe der Informatik}
+\author{Patrick Niklaus}
+
+\begin{document}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Grundbegriffe der Informatik}
+ \framesubtitle{1. Tutorium}
+ \begin{description}
+ \item \textbf{Name:} Patrick Niklaus
+ \item \textbf{E-Mail:} patrick.niklaus@student.kit.edu
+ \item \textbf{Nr:} 43
+ \end{description}
+\end{frame}
+
+\section{Vorstellung}
+\begin{frame}[plain]
+ \begin{figure}
+ \begin{center} \pause
+ \includegraphics[width=250pt]{sap}
+ \end{center}
+ \end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Der Typ der vorne steht und redet.}
+ \begin{description}
+ \item \textbf{Name:} Patrick Niklaus
+ \item \textbf{Alter:} 21 Jahre
+ \item \textbf{Heimatstadt:} Trier (RLP)
+ \item \textbf{Semester:} 3
+ \item \textbf{Studiengang:} Informatik
+ \end{description}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Jetzt ihr.}
+ \framesubtitle{Bonuspunkte: Merkt euch die Namen eurer Nachbarn.}
+ \begin{description}
+ \item Name
+ \item Studiengang
+ \item Semester
+ \item {\small \textit{Alter}}
+ \item {\small \textit{Heimatstadt}}
+ \end{description}
+\end{frame}
+
+\section{Organisatorisches}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Übungsblätter}
+ \begin{block}{Abgabe}
+ \begin{description}
+ \item{\LARGE Freitag 12:30} in den Kästen gegenüber vom Klo unten im Infobau
+ \end{description}
+ \end{block}
+ \begin{block}{Form}
+ \begin{description}
+ \item Bitte {\LARGE keine} Romane verfassen.
+ \item Eingeführte mathematischen Notationen verwenden.
+ \end{description}
+ \end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Was euch erwartet.}
+ \begin{block}{Übungsschein}
+ \begin{itemize}
+ \item 50\% der Punkte sind erfolrderlich
+ \item Hinsetzen, Übungsblätter alleine bearbeiten, \emph{dann} vergleichen.
+ \item Erfahrungsgemäß: Bei regelmäßiger Abgabe sehr machbar.
+ \item Nicht abschreiben.
+ \item Hilft \emph{deutlich} bei der Klausur.
+ \end{itemize}
+ \end{block}
+ \begin{block}{Klausur}
+ \begin{itemize}
+ \item Termin: 7. März
+ \item {\LARGE Viel} Stoff.
+ \item {\LARGE Nicht schieben.}
+ \item Übungsblätter machen, Skript lesen, alte Klausuren rechnen.
+ \end{itemize}
+ \end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Tutorium}
+ \begin{block}{Was ihr von mir erwarten könnt:}
+ \begin{itemize}
+ \item Übungsblatt-Rückgabe im jeweils nächsten Tut.*
+ \item Beantworten von Fragen per Mail. {\small \emph{patrick.niklaus@student.kit.edu}}
+ \end{itemize}
+ \end{block}
+ \begin{block}{Was ich von euch erwarte:}
+ \begin{itemize}
+ \item Reden in einer Lautstärke, die ich ignorieren kann.
+ \item Telefonieren bitte nur draußen.
+ \item Feedback geben. Anregungen, Lob, Beleidigungen, ... \emph{(auch gerne per Mail)}
+ \end{itemize}
+ \end{block}
+ \footnotesize *Höhere Gewalt ausgeschlossen.
+\end{frame}
+
+\section{Motivation}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Dont't Panic}
+ \begin{block}{Überlastung}
+ \begin{itemize}
+ \item Lerngruppen bilden.
+ \item Im Zweifel, einfach mal was anderes machen. {\tiny Nein, nicht auf Reddit surfen.}
+ \item Man gewöhnt sich dran.
+ \item Im schlimmsten Fall: Studiengangwechsel kein Weltuntergang.
+ \item\textit{Always know where your towel is.}
+ \end{itemize}
+ \end{block}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Was ist GBI?}
+ \begin{block}{Ihr braucht es für interessantere Sachen.}
+ \begin{description}
+ \item[Inhalt:] Querschnitt durch die thoeretische Informatik
+ \item[Ziel:] In abstrakte Gedankenwelt reindenken können
+ \item[Module:] Algorithmik, TGI, SWT, ...
+ \end{description}
+ \end{block}
+\end{frame}
+
+\section{Relationen}
+\subsection{Mengen}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Mengen}
+ \begin{definition}
+ \begin{itemize}
+ \item Sammlung von 'Elementen'.
+ \item Keine Aussage über Reihenfolge der Elemente
+ \end{itemize}
+ \end{definition} \pause
+ \begin{exampleblock}{Endliche Menge von ganzen Zahlen}
+ $\{ 3, 5, 7, 11, 13\}$
+ \end{exampleblock} \pause
+ \begin{exampleblock}{Menge aller ungeraden Zahlen }
+ $\{ x \in \mathbb{N} | x = 2k + 1, k \in \mathbb{N}_0 \}$
+ \end{exampleblock} \pause
+ \begin{exampleblock}{Endliche Menge von Symbolen}
+ $\{ a, \lambda, \varepsilon, b, \phi\}$
+ \end{exampleblock}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Kreuzprodukt}
+ \begin{definition}
+ \begin{itemize}
+ \item Seien A, B zwei Mengen. $ A \times B := \{(a, b) | a \in A, b \in B\}$
+ \item Bilden von allen möglichen Paaren der Elemente dieser Mengen
+ \end{itemize}
+ \end{definition} \pause
+ \begin{exampleblock}{Kreuzprodukt von zwei endlichen Mengen}
+ \begin{itemize}
+ \item $ A := \{3, 5, 7\}, B := \{\phi, \epsilon\}$
+ \item $ A \times B = $ \pause $\{(3, \phi), (3, \epsilon), (5, \phi), (5, \epsilon), (7, \phi), (7, \epsilon)\}$
+ \item $ B \times A = $ \pause $\{(\phi, 3), (\phi, 5), (\phi, 7), (\epsilon, 3), (\epsilon, 5), (\epsilon, 7)\}$
+ \end{itemize}
+ \end{exampleblock}
+ \begin{alertblock}{Nicht kommutativ.}
+ \end{alertblock}
+\end{frame}
+\subsection{Definition}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Relation}
+ \begin{definition}
+ \begin{itemize}
+ \item Seien A, B zwei Mengen. $ R \subseteq A \times B $
+ \item R ist eine Teilmenge des Kreuzproduktes zweier Mengen und heißt \emph{Relation}.
+ \item Man schreibt auch: xRy für $(x, y) \in R$
+ \item Ist A = B so sagt man auch: R ist eine Relation über A (bzw. B).
+ \end{itemize}
+ \end{definition} \pause
+ \begin{exampleblock}{Beispiel}
+ \begin{itemize}
+ \item $ A := \{1, 3, 5\}, B := \{2, 4, 6\}$ $A \times B \supseteq R := \{(1, 2), (1, 4), (2, 4), (1, 6), (3, 6), (5, 6)\}$ \pause
+ \item $ R = \{(a, b) | a \leq b, a \in A, b \in B \}$
+ \end{itemize}
+ \end{exampleblock}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Eigenschaften von Relationen}
+ \begin{definition}
+ Sei $R \subseteq A \times B$ eine beliebige Relation. R heißt ...
+ \begin{description}
+ \item[Linkstotal:] Für alle $a \in A$ gilt: Es existiert ein $b \in B$, sodas gilt: $(a, b) \in R$
+ \item[Rechtstotal:] Für alle $b \in B$ gilt: Es existiert ein $a \in A$, sodas gilt: $(a, b) \in R$
+ \item[Linkseindeutig:] Für alle $a \in A$ gilt: Ist $(a, b_1) \in R$ und $(a, b_2) \in R$ so gilt: $b_1 = b_2$
+ \item[Rechtseindeutig:] Für alle $b \in B$ gilt: Ist $(a_1, b) \in R$ und $(a_2, b) \in R$ so gilt: $a_1 = a_2$
+ \end{description}
+ \end{definition}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Aufgaben zu Relationen}
+ \begin{exampleblock}{In Mengen M aus Studenten mit $|M| \leq 3$}
+ Folgende Relationen $R_n \subseteq A_n \times B_n$ sind gegeben, bestimme ihre Eigenschaften:
+ \begin{enumerate}
+ \item $A_1 := \{1, 2, 3, 4\}, B_1 := \mathbb{N}, R_1 := \{(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)\}$
+ \item $A_2 := \{1, 2\}, B_2 := \{2, 3, 4\}, R_2 := \{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2)\}$
+ \item $A_3 := \{1, 2, 3\}, B_3 := \{1, 2\}, R_3 := \{(2, 1), (2, 2), (3, 1)\}$
+ \item $A_4 := \{1, 2, 3\}, B_4 := \{1, 2, 3\}, R_4 := \{(1, 1), (2, 1)\}$
+ \end{enumerate}
+ \end{exampleblock}
+\end{frame}
+\subsection{Funktionen}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Funktionen}
+ \begin{definition}
+ Seien A, B zwei Mengen. $f \subseteq A \times B$ eine Relation. Ist f \emph{linkstotal} und \emph{rechtseindeutig} so heißt f \emph{Funktion} und man schreibt:
+ $f: A \rightarrow B, f(a) \mapsto b$
+ \end{definition} \pause
+ \begin{exampleblock}{Beispiel}
+ $A := \{1, 2, 3\}, B := \mathbb{N}, f: A \rightarrow B, f(a) \mapsto a^2$
+ \end{exampleblock}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Eigenschaften von Funktionen}
+ \begin{definition}
+ Sei $f: A \rightarrow B$ eine Funktion. Dann heißt f...
+ \begin{itemize}
+ \item injektiv: Wenn f linkseindeutig ist.
+ \item surjektiv: Wenn f rechtstotal ist.
+ \item bijektiv: Wenn F injektiv und surjektiv ist.
+ \end{itemize}
+ \end{definition} \pause
+ \begin{exampleblock}{Beispiele}
+ \begin{enumerate}
+ \item $A := \{1, 2, 3\}, B := \mathbb{N}, f: A \rightarrow B, f(a) \mapsto a+2$
+ \item $A := \{-2, -1, 0, 1, 2\}, B := \{0, 1, 2, 4\}, f: A \rightarrow B, f(a) \mapsto a^2$
+ \end{enumerate}
+ \end{exampleblock}
+\end{frame}
+
+\section{Logik}
+\subsection{Operatoren}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Primitive Operatoren}
+ \begin{definition}
+ Seien A und B \emph{Aussagen}. w: Wahr, f: Falsch
+
+ \begin{table}
+ \begin{tabular}{|l|l||c||c|}
+ \hline
+ A & B & $ A \wedge B$ & $A \vee B$\\
+ \hline
+ f & f & f & f \\
+ f & w & f & w \\
+ w & f & f & w \\
+ w & w & w & w \\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \begin{tabular}{|l||c|}
+ \hline
+ A & $\neg A$\\
+ \hline
+ f & w\\
+ w & f\\
+ \hline
+
+ \end{tabular}
+ \caption{Und: $\wedge$, Oder: $\vee$, Nicht: $\neg$}
+ \end{table}
+ \end{definition}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Implikation}
+ \begin{definition}
+ \begin{description}
+ \item["'Wenn A gilt dann gilt auch B"'] $(A \Rightarrow B) :\Leftrightarrow \neg (A \wedge \neg B)$
+ \item["'Wenn A gilt \emph{genau} dann gilt auch B"']$(A \Leftrightarrow B) :\Leftrightarrow ((A \Rightarrow B) \wedge (A \Leftarrow B))$
+ \end{description}
+ \begin{table}
+ \begin{tabular}{|l|l||c|}
+ \hline
+ A & B & $ A \Rightarrow B$\\
+ \hline
+ f & f & w \\
+ f & w & w \\
+ w & f & f \\
+ w & w & w \\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \end{table}
+ \end{definition}
+ \begin{alertblock}{}
+ Wenn Aussage A falsch ist die Implikation \emph{immer} wahr.
+ \end{alertblock}
+\end{frame}
+
+\subsection{Beispiele}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Beispiele}
+ \begin{exampleblock}{}
+ \begin{table}
+ \begin{tabular}{|l|l|c|c||c|}
+ \hline
+ A & B & $A \vee B$ & $A \wedge B$ & $ (A \vee B) \Rightarrow (A \wedge B)$\\
+ \hline
+ f & f & \hiddencell{2}{0} & \hiddencell{3}{0} & \hiddencell{4}{1}\\
+ f & w & \hiddencell{2}{1} & \hiddencell{3}{0} & \hiddencell{4}{0}\\
+ w & f & \hiddencell{2}{1} & \hiddencell{3}{0} & \hiddencell{4}{0}\\
+ w & w & \hiddencell{2}{1} & \hiddencell{3}{1} & \hiddencell{4}{1}\\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \end{table}
+ \end{exampleblock}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Praktische Regeln}
+ \begin{theorem}{De Morgan'sche Gesetze}
+ \begin{enumerate}
+ \item $\neg (A \vee B) = \neg A \wedge \neg B$
+ \item $\neg (A \wedge B) = \neg A \vee \neg B$
+ \end{enumerate}
+ \end{theorem}
+ \begin{theorem}{Inverse der Implikation}
+ $(\neg A \Rightarrow \neg B) = (B \Rightarrow A)$
+ \end{theorem}
+\end{frame}
+\section{Quantoren}
+\subsection{Definition}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Quantoren}
+ \begin{definition}
+ \begin{description}
+ \item[$\forall x \in M: A(x)$] "'Für alle $x \in M$ gilt: A(x)"'
+ \item[$\exists x \in M: A(x)$] "'Es existiert ein $x \in M$ für das gilt: A(x)"'
+ \end{description}
+ \end{definition} \pause
+ \begin{description}
+ \item[$\forall$] "'Umgedrehtes A für Alle"'
+ \item[$\exists$] "'Gespiegeltes E für Existiert"'
+ \end{description}
+ \begin{exampleblock}{Beispiele}
+ \begin{enumerate}
+ \item $\forall x \in M: \exists k \in \mathbb{Z}: x = 2k+1$
+ \item $\forall a_1, a_2 \in M: f(a_1) = f(a_2) \Rightarrow a_1 = a_2$
+ \item $\forall \varepsilon > 0: \exists n_0 \in \mathbb{N}: \forall n \geq n_0: |a-a_n| < \varepsilon$
+ \end{enumerate}
+ \end{exampleblock}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Aussagen mit Quantoren negieren}
+ \begin{block}{Regel}
+ Symbole vertauschen und letzte Aussage negieren. $\forall ... \exists ... : A(x) \longrightarrow \exists ... \forall ... : \neg A(x)$
+ \end{block} \pause
+ \begin{exampleblock}{Beispiele}
+ \begin{description}
+ \item[Aus] $\forall x \in M: \exists k \in \mathbb{Z}: x = 2k+1$ \pause
+ \item[wird] $\exists x \in M: \forall k \in \mathbb{Z}: x \neq 2k+1$
+ \end{description}
+ \end{exampleblock}
+\end{frame}
+\subsection{Aufgaben}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Aufgaben}
+ \begin{exampleblock}{In Mengen M aus Studenten mit $|M| \leq 3$}
+ Formuliert folgende Aussagen mit logischen Symbolen und Quantoren.
+ \begin{enumerate}
+ \item In $M_1$ gibt es keine Elemente mit der Differenz 2.
+ \item In $M_2$ gibt es nur Elemente die größer als 10 oder kleiner als -1 sind.
+ \item In A gibt es für alle Elemente ein Element aus B, das doppelt so groß ist.
+ \end{enumerate}
+ \end{exampleblock}
+\end{frame}
+\end{document}

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