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commit bfca1383eb390ca0060a24d5fe8bf330420e49e8 1 parent 1e92ead
Patrick Niklaus authored
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  1. +72 −95 sections/logik.tex
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167 sections/logik.tex
@@ -1,109 +1,86 @@
-\section{Relationen}
-\subsection{Mengen}
+\section{Logik}
+\subsection{Operatoren}
\begin{frame}
- \frametitle{Mengen}
+ \frametitle{Primitive Operatoren}
\begin{definition}
- \begin{itemize}
- \item Sammlung von 'Elementen'.
- \item Keine Aussage über Reihenfolge der Elemente
- \end{itemize}
- \end{definition} \pause
- \begin{exampleblock}{Endliche Menge von ganzen Zahlen}
- $\{ 3, 5, 7, 11, 13\}$
- \end{exampleblock} \pause
- \begin{exampleblock}{Menge aller ungeraden Zahlen }
- $\{ x \in \mathbb{N} | x = 2k + 1, k \in \mathbb{N}_0 \}$
- \end{exampleblock} \pause
- \begin{exampleblock}{Endliche Menge von Symbolen}
- $\{ a, \lambda, \varepsilon, b, \phi\}$
- \end{exampleblock}
-\end{frame}
-\begin{frame}
- \frametitle{Kreuzprodukt}
- \begin{definition}
- \begin{itemize}
- \item Seien A, B zwei Mengen. $ A \times B := \{(a, b) | a \in A, b \in B\}$
- \item Bilden von allen möglichen Paaren der Elemente dieser Mengen
- \end{itemize}
- \end{definition} \pause
- \begin{exampleblock}{Kreuzprodukt von zwei endlichen Mengen}
- \begin{itemize}
- \item $ A := \{3, 5, 7\}, B := \{\phi, \epsilon\}$
- \item $ A \times B = $ \pause $\{(3, \phi), (3, \epsilon), (5, \phi), (5, \epsilon), (7, \phi), (7, \epsilon)\}$
- \item $ B \times A = $ \pause $\{(\phi, 3), (\phi, 5), (\phi, 7), (\epsilon, 3), (\epsilon, 5), (\epsilon, 7)\}$
- \end{itemize}
- \end{exampleblock}
- \begin{alertblock}{Nicht kommutativ.}
- \end{alertblock}
-\end{frame}
-\subsection{Definition}
-\begin{frame}
- \frametitle{Relation}
- \begin{definition}
- \begin{itemize}
- \item Seien A, B zwei Mengen. $ R \subseteq A \times B $
- \item R ist eine Teilmenge des Kreuzproduktes zweier Mengen und heißt \emph{Relation}.
- \item Man schreibt auch: xRy für $(x, y) \in R$
- \item Ist A = B so sagt man auch: R ist eine Relation über A (bzw. B).
- \end{itemize}
- \end{definition} \pause
- \begin{exampleblock}{Beispiel}
- \begin{itemize}
- \item $ A := \{1, 3, 5\}, B := \{2, 4, 6\}$ $A \times B \supseteq R := \{(1, 2), (1, 4), (2, 4), (1, 6), (3, 6), (5, 6)\}$ \pause
- \item $ R = \{(a, b) | a \leq b, a \in A, b \in B \}$
- \end{itemize}
- \end{exampleblock}
+ Seien A und B \emph{Aussagen}. w: Wahr, f: Falsch
+
+ \begin{table}
+ \begin{tabular}{|l|l||c||c|}
+ \hline
+ A & B & $ A \wedge B$ & $A \vee B$\\
+ \hline
+ f & f & f & f \\
+ f & w & f & w \\
+ w & f & f & w \\
+ w & w & w & w \\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \begin{tabular}{|l||c|}
+ \hline
+ A & $\neg A$\\
+ \hline
+ f & w\\
+ w & f\\
+ \hline
+
+ \end{tabular}
+ \caption{Und: $\wedge$, Oder: $\vee$, Nicht: $\neg$}
+ \end{table}
+ \end{definition}
\end{frame}
\begin{frame}
- \frametitle{Eigenschaften von Relationen}
+ \frametitle{Implikation}
\begin{definition}
- Sei $R \subseteq A \times B$ eine beliebige Relation. R heißt ...
- \begin{description}
- \item[Linkstotal:] Für alle $a \in A$ gilt: Es existiert ein $b \in B$, sodas gilt: $(a, b) \in R$
- \item[Rechtstotal:] Für alle $b \in B$ gilt: Es existiert ein $a \in A$, sodas gilt: $(a, b) \in R$
- \item[Linkseindeutig:] Für alle $b \in B$ gilt: Ist $(a_1, b) \in R$ und $(a_2, b) \in R$ so gilt: $a_1 = a_2$
- \item[Rechtseindeutig:] Für alle $a \in A$ gilt: Ist $(a, b_1) \in R$ und $(a, b_2) \in R$ so gilt: $b_1 = b_2$
- \end{description}
+ \begin{description}
+ \item["'Wenn A gilt dann gilt auch B"'] $(A \Rightarrow B) :\Leftrightarrow \neg (A \wedge \neg B)$
+ \item["'Wenn A gilt \emph{genau} dann gilt auch B"']$(A \Leftrightarrow B) :\Leftrightarrow ((A \Rightarrow B) \wedge (A \Leftarrow B))$
+ \end{description}
+ \begin{table}
+ \begin{tabular}{|l|l||c|}
+ \hline
+ A & B & $ A \Rightarrow B$\\
+ \hline
+ f & f & w \\
+ f & w & w \\
+ w & f & f \\
+ w & w & w \\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \end{table}
\end{definition}
+ \begin{alertblock}{}
+ Wenn Aussage A falsch ist die Implikation \emph{immer} wahr.
+ \end{alertblock}
\end{frame}
+
+\subsection{Beispiele}
\begin{frame}
- \frametitle{Aufgaben zu Relationen}
- \begin{exampleblock}{In Mengen M aus Studenten mit $|M| \leq 3$}
- Folgende Relationen $R_n \subseteq A_n \times B_n$ sind gegeben, bestimme ihre Eigenschaften:
- \begin{enumerate}
- \item $A_1 := \{1, 2, 3, 4\}, B_1 := \mathbb{N}, R_1 := \{(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)\}$
- \item $A_2 := \{1, 2\}, B_2 := \{2, 3, 4\}, R_2 := \{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2)\}$
- \item $A_3 := \{1, 2, 3\}, B_3 := \{1, 2\}, R_3 := \{(2, 1), (2, 2), (3, 1)\}$
- \item $A_4 := \{1, 2, 3\}, B_4 := \{1, 2, 3\}, R_4 := \{(1, 1), (2, 1)\}$
- \end{enumerate}
- \end{exampleblock}
-\end{frame}
-\subsection{Funktionen}
-\begin{frame}
- \frametitle{Funktionen}
- \begin{definition}
- Seien A, B zwei Mengen. $f \subseteq A \times B$ eine Relation. Ist f \emph{linkstotal} und \emph{rechtseindeutig} so heißt f \emph{Funktion} und man schreibt:
- $f: A \rightarrow B, f(a) \mapsto b$
- \end{definition} \pause
- \begin{exampleblock}{Beispiel}
- $A := \{1, 2, 3\}, B := \mathbb{N}, f: A \rightarrow B, f(a) \mapsto a^2$
+ \frametitle{Beispiele}
+ \begin{exampleblock}{}
+ \begin{table}
+ \begin{tabular}{|l|l|c|c||c|}
+ \hline
+ A & B & $A \vee B$ & $A \wedge B$ & $ (A \vee B) \Rightarrow (A \wedge B)$\\
+ \hline
+ f & f & \hiddencell{2}{0} & \hiddencell{3}{0} & \hiddencell{4}{1}\\
+ f & w & \hiddencell{2}{1} & \hiddencell{3}{0} & \hiddencell{4}{0}\\
+ w & f & \hiddencell{2}{1} & \hiddencell{3}{0} & \hiddencell{4}{0}\\
+ w & w & \hiddencell{2}{1} & \hiddencell{3}{1} & \hiddencell{4}{1}\\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \end{table}
\end{exampleblock}
\end{frame}
\begin{frame}
- \frametitle{Eigenschaften von Funktionen}
- \begin{definition}
- Sei $f: A \rightarrow B$ eine Funktion. Dann heißt f...
- \begin{itemize}
- \item injektiv: Wenn f linkseindeutig ist.
- \item surjektiv: Wenn f rechtstotal ist.
- \item bijektiv: Wenn F injektiv und surjektiv ist.
- \end{itemize}
- \end{definition} \pause
- \begin{exampleblock}{Beispiele}
+ \frametitle{Praktische Regeln}
+ \begin{theorem}{De Morgan'sche Gesetze}
\begin{enumerate}
- \item $A := \{1, 2, 3\}, B := \mathbb{N}, f: A \rightarrow B, f(a) \mapsto a+2$
- \item $A := \{-2, -1, 0, 1, 2\}, B := \{0, 1, 2, 4\}, f: A \rightarrow B, f(a) \mapsto a^2$
+ \item $\neg (A \vee B)$ äquivalent zu $\neg A \wedge \neg B$
+ \item $\neg (A \wedge B)$ äquivalent zu $ \neg A \vee \neg B$
\end{enumerate}
- \end{exampleblock}
+ \end{theorem}
+ \begin{theorem}{Implikation von Inversen}
+ $(\neg A \Rightarrow \neg B) \Leftrightarrow (B \Rightarrow A)$
+ \end{theorem}
\end{frame}
-
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