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1 parent 6aff4e2 commit e047853b92df0a461d68fb07faa3b50aa81a888f Patrick Niklaus committed Oct 22, 2012
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@@ -322,12 +322,12 @@ \subsection{Beispiele}
\frametitle{Praktische Regeln}
\begin{theorem}{De Morgan'sche Gesetze}
\begin{enumerate}
- \item $\neg (A \vee B) = \neg A \wedge \neg B$
- \item $\neg (A \wedge B) = \neg A \vee \neg B$
+ \item $\neg (A \vee B)$ äquivalent zu $\neg A \wedge \neg B$
+ \item $\neg (A \wedge B)$ äquivalent zu $ \neg A \vee \neg B$
\end{enumerate}
\end{theorem}
- \begin{theorem}{Inverse der Implikation}
- $(\neg A \Rightarrow \neg B) = (B \Rightarrow A)$
+ \begin{theorem}{Implikation von Inversen}
+ $(\neg A \Rightarrow \neg B) \Leftrightarrow (B \Rightarrow A)$
\end{theorem}
\end{frame}
\section{Quantoren}
@@ -377,4 +377,109 @@ \subsection{Aufgaben}
\end{exampleblock}
\end{frame}
+\section{Wörter}
+\subsection{Alphabete}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Alphabete}
+ \begin{definition}
+ Sei A eine endliche Menge von Symbolen. Dann heißt A ein \emph{Alphabet}.
+ \end{definition}
+ \begin{exampleblock}{Beispiele}
+ \begin{itemize}
+ \item $A := \{a, b, c\}$
+ \item $A := \{\phi, 1, 2\}$
+ \item $A := \{l, r, t, o\}$
+ \end{itemize}
+ \end{exampleblock}
+\end{frame}
+\subsection{Wörter}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Wörter}
+ \begin{definition}
+ Sei A ein Alphabet und $w: \mathbb{G}_n \rightarrow A$ eine \emph{surjektive} Abbildung. Dann heißt w ein \emph{Wort über dem Alphabet A}.
+ \end{definition}\pause
+ \begin{alertblock}{Etwas weniger formal}
+ Ein Wort ist eine Folge von Symbolen aus einem Alphabet A.
+ \end{alertblock}\pause
+ \begin{definition}
+ Das Wort $\varepsilon: \{\} \rightarrow \{\}$ heißt das \emph{leere Wort}. \\
+ {\tiny Neutrales Element gegenüber der Wortkonkatenation.}
+ \end{definition}\pause
+ \begin{alertblock}{Erinnerung}
+ $\mathbb{G}_n := \{k \in \mathbb{N}_0 | k < n\}$
+ \end{alertblock}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Wörter}
+ \begin{exampleblock}{Beispiele}
+ \begin{itemize}
+ \item
+ $
+ w_1: \mathbb{G}_5 \rightarrow \{l, r, t, o\}: w_1(i) \mapsto \left\{
+ \begin{array}{l l}
+ t, & \quad i = 0\\
+ r, & \quad i = 1\\
+ l, & \quad i \in \{2, 4\}\\
+ o, & \quad i = 3\\
+ \end{array} \right.
+ $ \\
+ wir schreiben auch $w_1 = trlol$
+ \item
+ $
+ w_2: \mathbb{G}_6 \rightarrow \{1, 0\}: w_2(i) \mapsto \left\{
+ \begin{array}{l l}
+ 1, & \quad \text{$i$ gerade}\\
+ 0, & \quad \text{$i$ ungerade}\\
+ \end{array} \right.
+ $ \\
+ wir schreiben auch $w_2 = 101010$
+ \end{itemize}
+ \end{exampleblock}
+\end{frame}
+\subsection{Konkatenation}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Konkatenation von Wörtern}
+ \begin{definition}
+ Seien $w_1: \mathbb{G}_{n_1} \rightarrow A_1, w_2: \mathbb{G}_{n_2} \rightarrow A_2$ Wörter.\\
+ Dann ist $w_1 \cdot w_2: \mathbb{G}_{n_1 + n_2} \rightarrow A_1 \cup A_2,$
+ $(w_1 \cdot w_2)(i) \mapsto \left\{
+ \begin{array}{l l}
+ w_1(i), & \quad 0 \leq i < n_1\\
+ w_2(i-n_1), & \quad n_1 \leq i < n_2\\
+ \end{array} \right.
+ $\\
+ die Konkatenation von $w_1$ und $w_2$.
+ \end{definition}\pause
+ \begin{alertblock}{Etwas weniger formal}
+ Wir hängen die Buchstabenfolge $w_1$ an $w_2$ an.
+ \end{alertblock}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Konkatenation von Wörtern}
+ \begin{exampleblock}{Beispiele}
+ \begin{enumerate}
+ \item $w_1 := ab, w_2 := ba$\\
+ $w_1 \cdot w_2 = ab \cdot ba = abba$
+ \item $w_1 := Hallo, w_2 := We, w_3 := lt$\\
+ $w_1 \cdot w_2 \cdot w_3 = Hallo \cdot We \cdot lt = HalloWelt$
+ \item $w_1 := 01$\\
+ $w_1^3 = w_1 \cdot w_1^2 = w_1 \cdot w_1 \cdot w_1 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 101010$
+ \end{enumerate}
+ \end{exampleblock}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Menge aller Wörter}
+ \begin{definition}
+ Die Menge der Wörter der Länge \emph{n} wird bezeichnet mit $A^n$. Die Menge aller Wörter $A^*$ ist definiert als $A^* = \bigcup \limits^{\infty}_{i=0} A^i$.
+ \end{definition}
+ \begin{exampleblock}{Beispiele}
+ \begin{enumerate}
+ \item $A := \{a, b\}, A^3 = \{aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb\}$
+ \item $A := \{0, 1\}, A^* = \{\varepsilon, 0, 1, 00, 11, 01, 10, 000, 001, ...\}$
+ \item $A := \{a, b, c\}, A^* = \{\varepsilon, a, b, c, aa, ab, ac, bb, ba, ...\}$
+ \end{enumerate}
+ \end{exampleblock}
+\end{frame}
+
\end{document}

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