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最大公约数算法(Greatest Common Divisor)

两个数字ab最大公约数(或最大公因数)是将ab整除都没有余数的最大正整数。

例如,gcd(39, 52) = 13,因为13除以39(39/13 = 3)以及52(52/13 = 4),而且没有比13更大的数字。

在某些时候你可能不得不在学校里了解这一点。:-)

找到两个数字的GCD的费力方法是先找出两个数字的因子,然后取其共同的最大数。 问题在于分解数字是非常困难的,特别是当它们变大时。 (从好的方面来说,这种困难也是保证您的在线支付安全的原因。)

有一种更聪明的方法来计算GCD:欧几里德的算法。 这个算法主要观点是,

gcd(a, b) = gcd(b, a % b)

其中a%ba除以b的余数。

以下是Swift中这个想法的实现:

func gcd(_ a: Int, _ b: Int) -> Int {
  let r = a % b
  if r != 0 {
    return gcd(b, r)
  } else {
    return b
  }
}

在 playground 上,试试一些例子:

gcd(52, 39)        // 13
gcd(228, 36)       // 12
gcd(51357, 3819)   // 57

让我们分步完成第三个例子:

gcd(51357, 3819)

根据欧几里德的规则,这相当于,

gcd(3819, 51357 % 3819) = gcd(3819, 1710)

因为51357 % 3819的余数是1710。 详细计算为51357 = (13 * 3819) + 1710,但我们只关心余数部分。

所以gcd(51357, 3819)gcd(3819, 1710)相同。 这很有用,因为我们可以继续简化:

gcd(3819, 1710) = gcd(1710, 3819 % 1710) = 
gcd(1710, 399)  = gcd(399, 1710 % 399)   = 
gcd(399, 114)   = gcd(114, 399 % 114)    = 
gcd(114, 57)    = gcd(57, 114 % 57)      = 
gcd(57, 0)

现在不能再进一步划分了。 114 / 57的余数为零,因为114 = 57 * 2。 这意味着我们找到了答案:

gcd(3819, 51357) = gcd(57, 0) = 57

因此,在欧几里德算法的每个步骤中,数字变得更小,并且在某个点上,当它们中的一个变为零时它结束。

顺便说一下,两个数字的GCD也可能为1.它们被认为是 互素(译注:也叫互质)。 当没有数字将它们整除时会发生这种情况,例如:

gcd(841, 299)     // 1

下面是欧几里德算法略微不同的一种实现。 与第一个版本不同,它不使用递归,而只使用基本的while循环。

func gcd(_ m: Int, _ n: Int) -> Int {
  var a = 0
  var b = max(m, n)
  var r = min(m, n)

  while r != 0 {
    a = b
    b = r
    r = a % b
  }
  return b
}

函数顶部的 max()min() 确保我们总是用较大的数字除以较小的数字。

最小公倍数

与GCD相关的想法是 最小公倍数 或叫做LCM。

两个数字ab的最小公倍数是两者的倍数中最小的正整数。 换句话说,LCM可以被ab整除。

例如:lcm(2, 3) = 6,因为6可以被2整除,也可以被3整除。

我们也可以使用欧几里德算法计算LCM:

              a * b
lcm(a, b) = ---------
            gcd(a, b)

代码:

func lcm(_ m: Int, _ n: Int) -> Int {
  return m / gcd(m, n) * n
}

在playground中测试:

lcm(10, 8)    // 40

您可能不需要在任何实际问题中使用GCD或LCM,但是使用这种古老的算法很酷。 它首先由欧几里德在公元前300年左右他的书籍元素中描述。 有传言说他在攻击他的Commodore 64时,发现了这个算法。

作者:Matthijs Hollemans
翻译:Andy Ron
校对:Andy Ron

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