diff --git a/readme.md b/readme.md index 80f4ce3b..a7388080 100644 --- a/readme.md +++ b/readme.md @@ -6,7 +6,7 @@ 前端界的好文精读,每周更新! -最新精读:288.精读《算法题 - 编辑距离》 +最新精读:289.精读《算法题 - 二叉树中的最大路径和》 素材来源:[周刊参考池](https://github.com/ascoders/weekly/issues/2) @@ -307,6 +307,7 @@ - 285.精读《算法题 - 最小覆盖子串》 - 286.精读《算法题 - 地下城游戏》 - 288.精读《算法题 - 编辑距离》 +- 289.精读《算法题 - 二叉树中的最大路径和》 ### 可视化搭建 diff --git "a/\347\256\227\346\263\225/289.\347\262\276\350\257\273\343\200\212\347\256\227\346\263\225\351\242\230 - \344\272\214\345\217\211\346\240\221\344\270\255\347\232\204\346\234\200\345\244\247\350\267\257\345\276\204\345\222\214\343\200\213.md" "b/\347\256\227\346\263\225/289.\347\262\276\350\257\273\343\200\212\347\256\227\346\263\225\351\242\230 - \344\272\214\345\217\211\346\240\221\344\270\255\347\232\204\346\234\200\345\244\247\350\267\257\345\276\204\345\222\214\343\200\213.md" new file mode 100644 index 00000000..dd1a8abf --- /dev/null +++ "b/\347\256\227\346\263\225/289.\347\262\276\350\257\273\343\200\212\347\256\227\346\263\225\351\242\230 - \344\272\214\345\217\211\346\240\221\344\270\255\347\232\204\346\234\200\345\244\247\350\267\257\345\276\204\345\222\214\343\200\213.md" @@ -0,0 +1,124 @@ +今天我们看一道 leetcode hard 难度题目:[二叉树中的最大路径和](https://leetcode.cn/problems/binary-tree-maximum-path-sum/description/)。 + +## 题目 + +二叉树中的 路径 被定义为一条节点序列,序列中每对相邻节点之间都存在一条边。同一个节点在一条路径序列中 至多出现一次 。该路径 至少包含一个 节点,且不一定经过根节点。 + +路径和 是路径中各节点值的总和。 + +给你一个二叉树的根节点 `root` ,返回其 最大路径和 。 + +示例1: + +``` +输入:root = [1,2,3] +输出:6 +解释:最优路径是 2 -> 1 -> 3 ,路径和为 2 + 1 + 3 = 6 +``` + +## 思考 + +第一想法是,这道题不安常理出牌,因为路径竟然不是自上而下的,而是可以横向蛇形游走的,如下图: + + + +## 尝试动态规划 + +第二想法是,这种蛇形游走的路径,求路径最大值应该用什么方法?大概率是暴力解法,因为 **必须遍历完所有节点,才知道是否有更大的值的可能性**,而应对暴力解法最好的策略是动态规划,那么应该如何定义状态?经过一番思考,二叉树点到点之间仅有唯一一条路径,如果我们能枚举计算经过每个点的所有可能路径的最大值,那么找到其中最大的就可以得到答案。但可惜的是,以 “点” 为变量没办法写转移方程。 + +## 以暴力解法为基础思考 + +此时要切换想法,经过一些思考,我决定以正序角度模拟一下寻找最大路径和的思路:首先选择一个起点,找到以该起点开始的最大路径合。那么从该起点就有最多 3 种走法,分别是向根节点走、左子节点、右子节点走: + + + +**最暴力的解法是遍历每个点,把所有方向都走一遍,找到所有可能的最大值。** 这无疑是一个最有效的兜底解法,但效率太低,那么为了提升效率,假设一条路径的最大潜力已经计算过一次了,那么一条新路径经过时,就没必要重新算一遍。**所以我们要寻找每个方向的最大贡献**。 + +## 寻找每个方向的最大贡献 + +假设我们提前找到了经过每个点的最大贡献如下: + + + +根节点的最大贡献 10 的含义为:从 3 向根节点走,所有可能路径能带来的最大正数收益为 10。所以此时最大路径和显然为:5 + 3 + 10 = 18. + +但此时矛盾来了,根节点的最大贡献 10 是从 3 向根节点走的角度定义的,它有两个致命问题: + +1. 每个节点的最大贡献最好只能有一个数字,依赖方向的话复杂度太高了。 +2. 如果要依赖方向,那么从根节点右子节点走向根节点的最大贡献,其实依赖从左子结点出发的最大贡献,相互死锁了。 + +这种最大贡献几乎不可能找到,再花时间思考只是浪费时间,所以我们要改变策略了。再想想二叉树的特征是什么,怎么样能最稳定的定义每个节点的最大贡献?很容易想到的是以树的深度来定义,即 **以当前节点向子节点遍历时,能带来的最大贡献**。这种最大贡献是比较容易计算的。 + +## 每个子树的最大贡献 + + + +如上图所示,以 8 这个节点的子树,假设通过一系列递归找到,它能提供的最大贡献就是 8,**且这个贡献必须是一条没有分叉的线**,这样这个最大贡献对于它的父节点才有意义,即父节点可以把这个节点连上,形成一条更长的没有分叉的线。如果子线都有分叉,整条线就会存在分叉,就不符合题意了。 + +这个 8 很容易计算,从叶子结点向上推,找到最大且大于 0 的子节点连成线即可。 + +但回到这道题,如果我们仅仅计算了每个点所在子树的最大贡献,那么其最大值仅是垂直的线中的最大值,没有考虑到该题路径可以横向蛇形游走的特性: + + + +如上图所示,红色的数字为以该点开始的子树的最大贡献,那么根节点 32 其实就是红色路径提供的路径和,对于纵向走位来说是最大的,但并不是本题最大的。本题最大的值,还得把下图红色的路径考虑上,变成一个横向的线,此时最大值达到了 32 + 8 = 40: + + + +**但其实要把线变成横向的,也仅需要多考虑另一个子节点而已**,因为所有子树的最大贡献已经提前算好,根本无需再深入子子节点。也就是说,在计算最大路径和时(重要内容字体加粗!): + +1. 经过该点的最大路径和,要同时考虑该点 + 左右子树最大贡献,也就是此时路径会形成类似倒扣的 U 型。 +2. 但该节点的最大贡献呢,只能考虑该点 + 左 or 右子树最大贡献的,不能形成倒扣的 U 型,因为这个最大贡献需要被其父节点作第 1 条规则时考虑,如果此时已经是倒扣 U 型了,那么父节点再分叉一次倒扣的 U 型,就不是一条线了,可能会形成如下图所示奇怪的形状: + + + +这就是本题最精彩的思考点。 + +## 代码实现 + +想通了之后,代码就很简单了: + +```ts +function maxPathSum(root: TreeNode | null): number { + let maxValue = -Infinity + + function maxOneLinePathByNode(node: TreeNode): number { + // 如果节点为空,返回负无穷,必然不会被最大路径和带上 + if (node === null) return -Infinity + + // 左子树最大贡献(如果为负数则为 0,表示不带上左子树) + const leftChildMaxValue = Math.max(maxOneLinePathByNode(node.left), 0) + // 右子树最大贡献 - 同理 + const rightChildMaxValue = Math.max(maxOneLinePathByNode(node.right), 0) + + // 经过该点的最大路径和 + const currentPointMaxValue = node.val + leftChildMaxValue + rightChildMaxValue + // 刷新 maxValue + maxValue = Math.max(maxValue, currentPointMaxValue) + + // 返回不分叉的子树最大贡献 + return node.val + Math.max(leftChildMaxValue, rightChildMaxValue) + } + + maxOneLinePathByNode(root) + + return maxValue +}; +``` + +因为从根节点开始递归,可以算出所有子树的最大贡献,**把经过每一个点的路径都考虑到了**,所以答案是不重不漏的。 + +## 总结 + +该题有两个难点: + +1. 找到子树最大贡献思考方向。 +2. 子树最大贡献与最大路径和的计算方式稍有不同,需要分别处理。 + +最后,在从根节点递归寻找子树最大贡献时,就可以顺便计算出最大路径和,一定程度上是 “目标的副产物”,甚至可以怀疑该题是在思考子树最大贡献时,逆向推导出来的副产物。另一方面,也说明了子树最大贡献的重要性,它的一个衍生计算就可以是一道 hard 题。 + +> 讨论地址是:[精读《算法 - 二叉树中的最大路径和》· Issue #504 · dt-fe/weekly](https://github.com/dt-fe/weekly/issues/505) + +**如果你想参与讨论,请 [点击这里](https://github.com/dt-fe/weekly),每周都有新的主题,周末或周一发布。前端精读 - 帮你筛选靠谱的内容。** + +> 版权声明:自由转载-非商用-非衍生-保持署名([创意共享 3.0 许可证](https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.zh))