BA Model

Wang Cheng-Jun edited this page Dec 19, 2016 · 1 revision

计算传播学是计算社会科学的重要分支。它主要关注人类传播行为的可计算性基础,以传播网络分析、传播文本挖掘、数据科学等为主要分析工具,(以非介入地方式)大规模地收集并分析人类传播行为数据,挖掘人类传播行为背后的模式和法则,分析模式背后的生成机制与基本原理,可以被广泛地应用于数据新闻和计算广告等场景,注重编程训练、数学建模、可计算思维。

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Table of Contents

BA Model 的平均场理论

模型设定

  • 初始状态有<math>m_0</math>个节点
  • 1. 增长原则:每次加入一个节点i (加入时间记为<math>t_i</math>), 每个节点的加入带来m条边,2m个度的增加
    • 其中老节点分到的度数是m,新加入的那一个节点分到的度数为m
    • 那么到时间t的时候,网络的总节点数是<math>m_0 + t</math>,网络的总度数为<math>2mt</math>。
  • 2. 优先链接原则:每一次从m条边中占有一条边的概率正比于节点的度<math>k_i</math>
    • 那么显然,加入的越早(<math>t_i</math>越小)越容易获得更多的链接数。
    • 从时间0开始,每一个时间步系统中的节点度<math>k_i</math>是不断增加的。

度的增长/时间依赖性

<math>k_i</math>在一个时间步获得一个度的概率表示为<math>\prod (k_i) </math>, 那么有:

<math>\prod (k_i) = \frac{k_i}{\sum k_i} = \frac{k_i}{2mt}</math>

一个时间步,<math>k_i</math>随t的变化率可以表达为:

<math>\frac{\partial k_i}{\partial t} = \Delta k \prod (k_i) = m \frac{k_i}{2mt} = \frac{k_i}{2t}</math>

<math>\frac{\partial k_i}{k_i} = \frac{\partial t}{2t}</math>

<math>\int \frac{1}{k_i} d k_i = \int \frac{1}{2t} dt</math>

积分结果为:

<math>k_i = C (2t) ^ {-0.5}</math> 公式(1)

此时,根据模型的初始条件,每个新加入节点获得的度是m:

<math>k_i(t_i) = m </math> 代入公式(1)

可以得到<math>C = m(2t_i)^{-0.5}</math> 公式(2)

代入公式(1),得到:

<math>k_i = m (\frac{t}{t_i})^{0.5}</math> 公式(3)

对于一个节点i,其加入网络的时间<math>t_i</math>是固定的,我们可以观察其度<math>k_i</math>随着时间的幂律关系。

累积概率分布

当我们思考一个累积概率分布的时候,我们想要的是<math>k_i(t) < k</math>的概率:<math>P(k_i(t) < k) </math>

由公式(3),可以知道:

<math>P(k_i(t) < k) = P( m (\frac{t}{t_i})^{0.5} < k ) = P( t_i > \frac{m^2 t}{k^2} ) = 1 - P(t_i \leqslant \frac{m^2 t}{k^2} )</math> 公式(4)

在初始状态<math> t = 0</math>, 有<math>m_0</math>个节点,那么<math>t_{m_0} = 0</math>

假设我们将节点加入的时间步是均匀的,那么<math>t_i</math>的概率是一个常数:

<math>P(t_i) = \frac{1}{m_0 + t}</math> 公式(5)

均匀分布的性质

  • 设连续型随机变量X的概率密度函数为 <math>f(x)=1/(b-a),a≤x≤b </math>, 则称随机变量X服从[a,b]上的均匀分布,记为X~U[a,b]。
    • 若[x1,x2]是[a,b]的任一子区间,则 <math>P{x_1≤x≤x_2}=(x_2-x_1)/(b-a)</math>
根据均匀分布的性质,将公式(5)代入公式(4)得到:

<math>P(k_i(t) < k) = 1- \frac{m^2 t}{k^2} P(t_i) = 1 - \frac{m^2 t}{k^2 (m_0 + t)} </math> 公式(6)

对累积概率函数求微分,就可以到达概率密度函数:

<math>P( k ) = \frac{\partial P(k_i(t) < k)}{\partial k} = \frac{2m^2 t}{m_0 + k} \frac{1}{k^3}</math> 公式(7)

也就是说:<math>\gamma = 3</math>, 与m无关。

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