Superhub

Wang Cheng-Jun edited this page Dec 19, 2016 · 1 revision

计算传播学是计算社会科学的重要分支。它主要关注人类传播行为的可计算性基础,以传播网络分析、传播文本挖掘、数据科学等为主要分析工具,(以非介入地方式)大规模地收集并分析人类传播行为数据,挖掘人类传播行为背后的模式和法则,分析模式背后的生成机制与基本原理,可以被广泛地应用于数据新闻和计算广告等场景,注重编程训练、数学建模、可计算思维。

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追踪移动着的公民的注意力

<math>吴令飞^1, 王成军^2</math>

  • 1. 芝加哥大学计算研究中心,知识实验室
  • 2. 南京大学新闻与传播学院,计算传播学实验中心

Table of Contents

摘要

随着移动计算设备的普及,我们在虚拟世界和现实空间的行为被更加紧密地关联起来。使用10万智能手机用户在一个月当中的移动行为与浏览行为数据,本文构建了移动网络与注意力网络来分析线上与线下行为的差异与关联。移动网络的节点是地理位置,而连边是在不同地理位置之间运动的人流量;注意力网络的节点是手机网站,连边是在不同网站之间跳转的流量。网络是人类行为结构的数学表达,本文采用盒子覆盖方法对两个网络进行重整化,主要分析了盒子的大小<math>l_B</math>与所需盒子数量<math>N(l_B)</math>之间的关系。研究发现人类在虚拟世界与现实空间的移动行为是两类不同的行为:移动网络具有明显的小世界特征,<math>N(l_B) \simeq e^{-l_B}</math>;而注意力网络具有明显的自相似或分形的特征,<math>N(l_B) \simeq l_B^{-\gamma}</math> 。尤其是随着lB的增加,移动网络的度相关由正变为负,表明了移动网络当中存在双层结构。我们使用重整化的结果对移动网络的网络社区进行识别,建立这些物理社区与手机网站使用之间的关联,找到了三种典型的基于地理位置的行为,包括:网络购物、在线约会和手机打车。最后,按照空间约束链接的视角,我们提供了一个改进了的几何网络模型来解释我们的发现。

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<math>\gamma_{mobility} = 2.66, \gamma_{attention} = 1.91</math>

2.658090788128173, 1.9072646401777407

xs=np.linspace(1,100,500)
ys1=np.exp(-xs)
  1. ys2=np.exp(13.2)*xs**-5.19
plt.plot(xs,ys1,'r-')
  1. plt.plot(xs,ys2,'g-')
  2. plt.xscale('log')
plt.yscale('log')

缩略图

Fractal Network

分形网络 http://computational-communication.com/wiki/index.php?title=%E5%88%86%E5%BD%A2%E7%BD%91%E7%BB%9C

将分形网络嵌入几何空间的想法原来早就有人考虑过 M. Ángeles Serrano, Dmitri Krioukov, and Marián Boguñá 2008 Self-Similarity of Complex Networks and Hidden Metric Spaces Phys. Rev. Lett. 100, 078701 [1]

 Published 20 February 2008; Erratum Phys. Rev. Lett. 100, 199902 (2008) http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.100.078701

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追踪移动着的公民的注意力





摘要:随着移动计算设备的普及,我们在虚拟世界和现实空间的行为被更加紧密地关联起来。使用10万智能手机用户的移动行为与浏览行为数据,本文构建了移动网络与注意力网络来分析线上与线下行为的差异与关联。移动网络的节点是地理位置,而连边是在不同地理位置之间运动的人流量;注意力网络的节点是手机网站,连边是在不同网站之间跳转的流量。网络是人类行为结构的数学表达,本文采用盒子覆盖方法对两个网络进行重整化,主要分析了盒子的大小lB与所需盒子数量N(lB)之间的关系。研究发现人类在虚拟世界与现实空间的移动行为是两类不同的行为:移动网络具有明显的小世界特征,N(l_B) ∼e^(l_B );而注意力网络具有明显的自相似或分形的特征, N(l_B) ∼〖l_B〗^(-γ)。尤其是随着lB的增加,移动网络的度相关由正变为负,这表明了移动网络当中存在具有双层结构:底层的局部移动具有随机游走特点,中层结构具有异配特征,这是以往研究未曾发现的特点。为了解释移动网络与注意力网络的差异,我们使用重整化的结果对移动网络的网络社区进行识别,建立这些物理社区与手机网站使用之间的关联,找到了三种典型的基于地理位置的行为,包括:网络购物、在线约会和手机打车。最后,按照空间约束链接的视角,我们提供了一个改进了的几何网络模型来解释我们的发现。 关键词:手机互联网、人类移动、分形、重整化、几何网络模型

引言

数字化媒体,尤其是因特网和智能手机,提供了一种研究物理空间和虚拟世界中的人类行为的新的视角。研究者们对于线上和线下的人类行为越来越感兴趣。例如Ginsberg等人尝试使用搜索引擎的检索词语来预测流行感冒的爆发(Ginsberg et al., 2009);Bond等人则研究了脸书的使用对于选举的促进作用(Bond et al., 2012);Zhao等人使用手机数据分析了人类在赛博空间和物理空间的移动行为(Zhao, Huang, Huang, Liu, & Lai, 2014)。值得一提的是,Zhao等人发现在平均访问次数<f></f>和它的波动程度δ之间存在一个超线性关系,并且两个空间里的平均访问次数<f></f>之间具有较强的相关。但是,这些研究并未就高精确度的空间行为进行分析。在本文当中,使用一个中国城市10000名用户的细粒度的智能手机数据,我们从网络科学的视角研究了线上的人类行为与线下的移动行为之间的关联,尤其是它们的小世界和分形特征。

在以往的研究当中,多数复杂网络被发现是小世界(Albert, Jeong, & Barabási, 1999; Latora & Marchiori, 2001; Milgram, 1967; Montoya & Solé, 2002; Watts & Strogatz, 1998),此后一系列的研究证实很多复杂网络具有分形的特征(Goh, Salvi, Kahng, & Kim, 2006; Song, Havlin, & Makse, 2005; Song, Havlin, & Makse, 2006)。小世界和分形是复杂网络的两个重要的结构特征。但是,根据以往的文献(Rozenfeld, Song, & Makse, 2010),小世界和分形之间看上去是矛盾的:复杂网络的小世界特征意味着网络的平均直径l和节点数量N之间具有指数关系,即N≃ e^(l/l_0 ), 其中l_0是一个特征长度;而分形的自相似结构要求平均直径l和节点数量N之间为幂律关系,即N ≃ l^(-γ)。 我们构建以移动网络和注意力网络来比较二者的网络结构。在移动网络当中,节点是物理位置(手机基站),而连边代表了位置之间的空间移动流量(Banavar, Maritan, & Rinaldo, 1999; Song, Qu, Blumm, & Barabási, 2010);在注意力网络当中,节点是网站,而连边代表了用户的注意力在网站之间的流动(Wang & Wu, 2016)。我们使用了网络重整化的方法(具体而言是盒子覆盖的方法)来分析这两个网络的结构特征。盒子覆盖方法是由Song等人(2005)提出的,它起源于盒子计数方法。思考在一个欧几里得空间里嵌入一个网络,我们使用大小为l_B的盒子覆盖这个网络,将网络全部覆盖所需要的盒子的数量记为N_B。那么,分形维数或者盒子维数d_B可以表达为N_B≃ 〖l_B〗^(-d_B )。

我们的发现表明注意力网络是自相似的,而移动网络具有小世界特征,这表明了物理空间的移动行为和虚拟世界的移动行为具有明确的结构差异,人类在物理空间的移动和在赛博空间的移动代表了两类普遍的行为。意料之外的是在重整化的过程中随着l_B的增加,移动网络的度相关系数由正变为负。据我们所知,这种行为模式是第一次发现,我们将这种现象定义为“空间约束的核心节点”并进行了进一步解释。 在以上发现的基础上,我们对移动网络进行社区识别。具体而言,我们采用重整化的结果将物理空间划分为不同的社区,之后我们采用tf-idf算法测量了物理空间的社区与用户所访问的网站之间的关联。这样,我们可以找到一个物理空间的用户所经常访问的网站有哪些,反过来,也可以找到访问一个网站的用户主要来自哪些物理空间。采用这种方法,我们找到了三种基于位置的网站浏览行为,包括在线购物、在线约会和手机叫车行为。对于移动网络的局部结构的分析也帮助我们更好地理解“空间约束的核心节点”现象。在讨论部分,我们尝试使用一个修正的几何网络模型来解释观察到的行为模式。

研究方法

在本文当中,使用一个中国城市10000名用户的细粒度的智能手机数据。使用盒子覆盖方法,Song等人(2005)证实万维网具有分形的自相似特征。我们使用相同的算法对移动网络和注意力网络进行分析。图1给出了两个网络的重整化过程。注意力网络比移动网络更加紧密。移动网络当中包含9899个节点和39083个链接(密度为7.9×〖10〗^(-4));注意力网络有16476个节点和144909条链接(密度为10.6×〖10〗^(-4))。移动网络的直径是15,而注意力网络的直径只有10。因此,我们需要更多的盒子来完全覆盖移动网络。如果我们固定l_B的大小为2,需要15步将移动网络变为一个节点;对于注意力网络而言,只需要10步。




图1 网络重整化

两类普遍的行为

如图2B所示,我们发现了两类普遍的行为。对于注意力网络,盒子数量和盒子大小之间具有幂律关系。因此注意力网络是自相似的货分形的。而对于移动网络,盒子数量和盒子大小之间具有指数关系。因此移动网络展现了小世界特征,具有较小的直径和较大的聚集系数。以上发现表明,对于网络演化而言,注意力网络和移动网络存在着两类不同的动力学机制。




图2 两类行为与度相关

度相关的转变

Song等人(2005)认为网络的分形特征起源于网络的异配性(disassortativity),即核心节点倾向于不与核心节点相连,而是与非核心的节点相连。因此分形网络的度相关性是负的。为了理解产生两类普遍行为的机制,本文进一步分析了度相关随着盒子大小l_B是如何变化的。网络的度相关性通过计算度为k的节点与他们的邻居的平均度<knn></knn>二者之间的相关Cor(knn, k)。如图2B所示,l_B=3是一个转折点(Cor(knn, k) < 0),此时网络节点度的同配性(assortativity)转为异配性(dissortativity)。当l_B>4的时候,移动网络和注意力网络的Cor(knn, k)与k之间的曲线都变得扁平(见图2 B)。

为了更好理解度相关性伴随网络重整化的演变,对于不同的l_B,<k></k>与<knn></knn>之间的关系被可视化展现出来(图 2 C-D)。图2C和图2D分别展现了移动网络和注意力网络的度相关性Cor(knn, k)随l_B的变化。对于移动网络和注意力网络,其度相关在重整化的过程具有相似的模式。随着l_B的增长,度相关Cor(knn, k)和邻居的平均度<knn></knn>都不断下降。例如,在注意力网络中,当l_B=2, 度k=1的节点的邻居的平均度<knn></knn>大于1000;但当l_B=6的时候,度k=1的节点的邻居的平均度<knn></knn>只有10左右。

移动网络的度相关性随着重整化由正变为负(见图2C),而注意力网络的度相关性随着网络重整化保持不变(见图2D)。我们认为这是因为移动网络具有局部和全局两层网络结构:局部结构由物理距离较近的节点构成,它们联系紧密。在局部网络中,从一个节点移动到另外一个节点的成本较小(不存在空间阻隔),因而容易随机地形成一些长程链接,表现出小世界网络的特点:网络直径较小,聚类系数较大,同时核心节点倾向于与核心节点相连,度小的节点倾向于与度小的节点相连。整个网络具备很多这种局部的小世界结构,使得我们观察到网络整体表现为小世界的特点。例如,使用较小的盒子(l_B≤3)来覆盖移动网络时,原始移动网络中的局部结构并未被破坏,因而我们依然可以观察到正的度相关。此后随着重整化的进行,局部网络中的核心节点将被合并为超级核心(superhub)。此时,物理距离近的节点已经被合并,度大的节点因为物理距离相对较远,因而不会直接相连(空间阻隔),而是通过度小的节点间接地联系在一起。因此,我们把这些全局网络中的超级核心称之为“空间约束的核心”,因为它们通常由空间距离较远的节点构成,不容易直接相连。因而,我们观察到当l_B > 3的时候,重整化之后的网络表现出度相关为负值的特点。

基于地理位置的人类移动行为

因为用户可以同时在注意力网络和移动网络中移动,二者之间具有关联,因而很自然地可以推断在虚拟世界的移动行为也是基于地理位置的。我们对移动网络进行社区识别,并找到在这些空间社区中移动的人主要访问哪些网站。根据对移动网络度相关转变的分析,我们知道当l_B =4的时候,局部网络结构被合并为超级核心,此时移动网络的社区结构具有明确的物理意义:子社区代表了物理空间较近的节点,这些节点与其它节点的距离相对较远。另外我们从图2B当中也观察到,当l_B =4的时候,度相关曲线也变得相对稳定(在-0.6左右)。因此我们使用当l_B =4的时候的重整化进行社区划分。




图3 移动网络的社区识别

对于每一个空间社区,我们计算它的tf-idf数值。通过这种方法,我们可以找到每一个空间社区所对应的网站是哪些。我们这样做的原因基于以下假设,即物理空间和虚拟世界的移动行为是相关联的。正如图4所示,我们展现了三类典型的基于地理位置的行为:1. 红色的节点和链接所代表的社区主要访问在线购物网站。这些用户在朝阳路周边移动,距离王府井商业区较近,是北京最大的商业圈,因而吸引了很多消费者。线下购物的用户可以在做出购买决策之前,使用手机互联网很方便地找到想要购买的商品的信息;2蓝色节点和链接所代表的空间社区主要方位在线约会网站。这些地理位置非常清晰地勾勒出在线约会者的足迹,他/她们主要集中于海淀区,这里集中了很多最为著名的大学,例如北大、清华、人大。3. 黄色的节点和链接所展现的空间社区的用户广泛地使用网约车的服务,尤其是滴滴打车手机应用(www.xiaojukeji.com/)。大量使用网络叫车服务的地点主要集中于通往昌平区的高速路上,它地处北京西北,当时还没有被地铁很好地覆盖。




图4. 三类基于地理位置的手机网站使用行为

几何网络模型

移动网络和注意力网络的一个重要特征是节点和链接都是被空间约束的。空间约束的行为模式被图4很好地展现:我们观察到不管是节点和位置还是链接的建立都受到空间距离的约束,虽然长程的链接是可能的,但是短距离的链接更多,具备明显的局部聚集的特征。这些行为模式被空间约束链接模型进行定量地分析。例如,Zhang等人(2015)提出了一个增长几何图模型来解释城市中的各种标度行为。

在几何图模型当中,存在一个d维的欧氏空间。初始状态,在这个网络的中心有一个种子节点存在。每一个时间步t有一个新节点p生成,但仅仅当p在已经存在的节点q的r距离范围以内,p才能被加入网络,并在p和所有与之在r范围内的节点q之间建立链接。因为在这个模型当中,新节点与其距离r范围内的所有节点相连,我们把这个模型称之为模型All。

基于模型All,可以对模型进行很多拓展,例如控制局部聚集系数或者增加初始状态的种子节点的数量。本文根据链接的生成机制,对模型all进行进一步拓展。我们考虑两种拓展方式:模型max,将新加入的节点p与其半径r范围内的度最大的节点qmax建立链接;模型min,将新加入的节点p与其半径r范围内的度最大的节点qmin建立链接。模型max类似于BA模型所采用的优先链接;而模型min则与之恰相反。

我们比较了模型all、模型max、模型min三者之间的异同。图5的ABC展现了三种模型所生成的网络结构。观察这些网络的局部结构可以带来更深入的理解,图5的E-G分别展示了使用三种模型生成的网络的局部链接情况。显然,与使用模型max和min生成的网络相比,使用模型all生成的网络更加紧密;而在使用模型max生成的网络的局部结构中存在着更多的核心节点(hubs),并且其网络具有明显的异配性(度大的节点之间需要经过度小的节点间接连接起来),因而具有分形的特征;使用模型min生成的网络的局部结构的核心几点较少,链接具有明显的随机游走特点,因而具有小世界的特征。




图5 几何随机图模型

我们同样使用盒子覆盖法对三个模型生成的网络进行重整化。图5G证明使用三种模型可以构造出实证数据观察到的两类普遍的移动行为模式,使用模型all和模型max生成的网络都具有分形特点,N_(B )和l_B之间具有幂律关系(双对数坐标系中为直线),而使用模型min生成的网络具有小世界特征,N_(B )和l_B之间具有指数关系(双对数坐标系中为曲线);我们进一步观察三种网络的度相关的情况。如图5H所示,对于模型all和模型min而言,存在一个正的度相关;而对于模型max而言,存在一个负的度相关。因而,模型max具有分形特点和负的度相关,可以较好解释注意力网络中观察到的模式;而模型min具有小世界特点,可以较好解释移动网络中的行为模式。

结论和讨论

比较人类在虚拟世界和现实空间的移动行为是科学研究的一个重要方面。本文的研究为完成这一个目标构建并比较了注意力网络和移动网络。将人类的行为的数学结构表达为网络的形式,并采用网络科学的视角进行分析。通过对网络进行重整化,我们发现注意力网络是分形的,而移动网络是小世界的。Zhao等(2014)的研究认为人类在虚拟空间和现实世界的移动行为具有很强的相关;而我们的研究则进一步发现这两类行为其实属于两类普遍的人类行为。 更为重要的是空间约束不仅仅在物理空间发挥作用,在虚拟空间里同样发挥着重要作用,甚至更强。局部结构缺失空间约束使得移动网络表现出了小世界的特征并具有正的度相关;随着重整化的粗粒化过程空间约束开始发挥作用,度相关发生由正到负的变化。手机浏览的网站和应用之间具有明显的自相似的特点,使得移动网络空间约束更强,强制其嵌入几何网络的结构当中,并表现为很强的分形特点和与之相对应的负的度相关。通常我们认为虚拟空间解放了人的行为,因而可以表现出更多近乎随机的行为,而实际的发现则恰好与之相反。

The reason of observing the transition of degree correlations for the mobility network is that there are two layers of structures: the local structure and the global structure. The global structure is comprised of many local structures, and the local structures are constituted by many closely connected nodes (mobile base stations) who are physically near to each other. In the local structure, the cost of moving from one location to another for individuals is very little if can not be ignored (there is no spatial constraint). There exist a few randomly connected long-range connections among the nodes of local structures in addition to many short-range connections. Therefore, the local structures of the mobility network tend to be small-world featured by small diameters, large clustering coefficients, and positive degree correlations. Since the global structure is made up of many such small-world local structures, it also shows the small-world property. This explains why we observe the positive degree correlations at first. During the renormalization process, the hub nodes of the local structures are gradually merged into superhubs. For example, when lB > 3, the nodes of the local structures will be merged (see Figure 3). Since the superhubs are physically far away from each other, the spatial constraint is large, which stops individuals moving from one location to another, and the superhubs tend not to be directly connected. Thus, when the spatial-constrained superhubs appear, the topological structure of the mobility network significantly changes from assortativity to disassortativity. In this sense, we call these superhubs “spatial- constrained superhub”.

The spatial-constrained hubs imply that the spatial constraint exhibits significant influence in limiting edge-generating. First, the linking dynamics of the mobility network are spatial- constrained. As demonstrated in Figure 4, the probability of edge-generating is constrained by the spatial distance: although long distance connections are possible, there tends to be more edges within a short physical distance, and thus we can find apparent local clustering patterns. Second and more importantly, the spatial-constrained pattern does not only exist in the offline settings, it also functions in online space, especially when the space could be modeled with fractal networks. The Fractal property suggests a hierarchy of nested self-similar structure. The fractal network (e.g., the metabolic network of E. coli) can be transformed to a hierarchical tree under renormalization12. The hierarchy structure of fractal networks exerts strong limitation on the edge-generating. The following research further show that the nodes of complex networks exist in hidden metric spaces, and the underlying hidden geometries well explains the self-similarity of networks20. Therefore, we conjecture that the fractal network could also be better studied if we embed it into a geometric space. We seek to understand the attention network and the mobility network in the perspective of geometric network models21–24.

参考文献

Albert, R., Jeong, H., & Barabási, A.-L. (1999). Internet: Diameter of the world-wide web. Nature, 401(6749), 130-131. Banavar, J. R., Maritan, A., & Rinaldo, A. (1999). Size and form in efficient transportation networks. Nature, 399(6732), 130-132. Bond, R. M., Fariss, C. J., Jones, J. J., Kramer, A. D. I., Marlow, C., Settle, J. E., & Fowler, J. H. (2012). A 61-million-person experiment in social influence and political mobilization. Nature, 489(7415), 295-298. Ginsberg, J., Mohebbi, M. H., Patel, R. S., Brammer, L., Smolinski, M. S., & Brilliant, L. (2009). Detecting influenza epidemics using search engine query data. Nature, 457(7232), 1012-1014. Goh, K. I., Salvi, G., Kahng, B., & Kim, D. (2006). Skeleton and fractal scaling in complex networks. Physical review letters, 96(1), 018701. Latora, V., & Marchiori, M. (2001). Efficient behavior of small-world networks. Physical review letters, 87(19), 198701. Milgram, S. (1967). The small world problem. Psychology today, 2(1), 60-67. Montoya, J. M., & Solé, R. V. (2002). Small world patterns in food webs. Journal of theoretical biology, 214(3), 405-412. Rozenfeld, H. D., Song, C., & Makse, H. A. (2010). Small-world to fractal transition in complex networks: a renormalization group approach. Physical review letters, 104(2), 025701. Song, C., Havlin, S., & Makse, H. A. (2005). Self-similarity of complex networks. Nature, 433(7024), 392-395. Song, C., Havlin, S., & Makse, H. A. (2006). Origins of fractality in the growth of complex networks. Nature Physics, 2(4), 275-281. Song, C., Qu, Z., Blumm, N., & Barabási, A.-L. (2010). Limits of predictability in human mobility. Science, 327(5968), 1018-1021. Wang, C.-J., & Wu, L. (2016). The scaling of attention networks. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 448, 196-204. Watts, D. J., & Strogatz, S. H. (1998). Collective dynamics of ‘small-world’networks. Nature, 393(6684), 440-442. Zhang, J., Li, X., Wang, X., Wang, W.-X., & Wu, L. (2015). Scaling behaviours in the growth of networked systems and their geometric origins. Scientific reports, 5. Zhao, Z.-D., Huang, Z.-G., Huang, L., Liu, H., & Lai, Y.-C. (2014). Scaling and correlation of human movements in cyberspace and physical space. Physical Review E, 90(5), 050802.

Scaling of degree correlations and its influence on diffusion in scale-free networks

Lazaros K. Gallos, Chaoming Song, Hernán A Makse, 2008. Scaling of Degree Correlations and Its Influence on Diffusion in Scale-Free Networks. Physical Review Letters 100(24):248701 Impact Factor: 7.51 DOI: 10.3731/topologica.2.020 [2]

Hernán A Makse http://www-levich.engr.ccny.cuny.edu/webpage/hmakse/software-and-data/

Joint degree distribution

<math>P(k_1, k_2) </math> denotes the probability of two nodes of degree <math>k_1</math> and <math>k_2</math> are connected to each other. If no degree correlation: <math>P(k_1, k_2) \sim k_1 P(k_1) k_2 P(k_2) </math>

For scale free networks:<math>P(k_1, k_2) \sim k_1 P(k_1) k_2 P(k_2) \sim k_1^{1-\gamma} k_2^{1-\gamma} </math>

Density conservation law

<math>\int P(k_1, k_2) d k_2 = k_1 P(k_1)</math>

等式两边表示的都是度为<math>k_1</math>的节点一共连了多少条边的概率!!!

密度守恒定律,指的是边密度从度分布算和联合度分布算结果总是一样的。

对无标度网络而言,满足 <math>P(k) \sim k^{-\gamma}</math>,所以边密度守恒的公式可以表达为:

<math>\int P(k_1, k_2) d k_2 = k_1 P(k_1) \sim k_1^{-(\gamma -1) }</math>

硬猜<math>P(k_1, k_2)</math>

缩略图

The statistical similarity of the corresponding plots suggests the invariance of <math>P(k_1, k_2)</math>. Accordingly, this suggests that the <math>k_1</math> and <math>k_2</math> dependence can be separated, and the behavior of the tail of the joint degree distribution is

<math>P(k_1, k_2) \sim k_1^{-(\gamma -1 )} k_2^{-\epsilon}</math> (1)

for completely random networks:

<math>P(k_1, k_2) \sim k_1 P(k_1) k_2 P(k_2) \sim k_1^{1-\gamma} k_2^{1-\gamma}</math> (2)

Using Eq. (1), we can see that:

  1. For low-degree nodes (<math>k_1 > k_2</math>), integrating over <math>k_2</math>, we retrieve the <math>k^{1-\gamma}</math> dependence.
  2. For the case of hubs, where integration is over <math>k_1</math>, the dependence on the degree is <math>k^{-\epsilon}</math>

<math>E_b(k)</math>

测量度相关的方式很多,Newman提出的度相关系数、<math>k_{nn}</math>等,但是不幸的是它们随着重整化并非不变的(invariant)。<math>E_b(k)</math>可以做到伴随着重整化不变(但要求是无标度网络才行)。

<math>E_b(k) \equiv \frac{\int_{bk}^{\infty} P(k | k') dk'}{ \int_{bk}^{\infty} P( k') dk' }</math>

缩略图

  1. 分子是两节点度为k和大于bk的链接比例;
  2. 分母是度大于bk的节点的比例
我们知道对无标度网络而言,满足 <math>P(k) \sim k^{-\gamma}</math>,所以边密度守恒的公式可以表达为:<math>\int P(k_1, k_2) d k_2 = k_1 P(k_1) \sim k_1^{-(\gamma -1) }</math>

以下哪一个推导正确:

推导1:<math>P(k | k') = \frac{P(k, k') }{\int P(k, k') dk} = \frac{k^{-(\gamma-1)} k'^{-\epsilon}}{k'^{1-\gamma}} = k^{-(\gamma -1)} k'^{-(1+\epsilon - \gamma)}</math>

已知度为k的节点存在的概率为p(k),那么连边的一头连度为k的概率为kP(k)。就是P(k,k')是连边存在的概率,p(k)为度值为k的节点存在的概率,这个没法放到分母下面,放到分布下面的是度值为k的连边存在的概率,这个值还有乘以k才对。

推导2:<math>P(k | k') = \frac{P(k, k') }{P(k')} = \frac{k^{-(\gamma-1)} k'^{-\epsilon}}{k'^{-\gamma}} = k^{-(\gamma -1)} k'^{-\epsilon + \gamma}</math>

缩略图

计算<math>E_b(k)</math>

  算法设计

- 将链接表达为 (k, k')的形式 - 使得其中的 k'>k - 选择 b = 3 - 计算:

    • - 计算k' > 3k, k = k的链接数量<math>N_{kk'}</math>
    • - 计算<math>P(k, k') = \frac{N_{kk’}}{Number\;of\;edges}</math>
    • - 对于每一个节点, 计算整个网络节点的度大于3k的比例, <math>P(k')</math>和<math>k' P(k')</math>
    • - 计算<math>p1 = \sum \frac{P(k, k')}{k' P(k')}</math>和<math>P2 = \sum P(k')</math>。
    • - 计算 p1/p2
plt.plot(k,ebk,&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;35&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;35&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;35&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;35&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;35&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;39&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;35&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;35&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;35&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;r^&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;35&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;35&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;35&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;35&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;35&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;39&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;35&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;35&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;amp&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;35&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;amp&amp;&#35;59&#59;&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;35&amp;&#35;59&#59;59&amp;amp&#59;&amp;&#35;35&#59;59&amp;&#35;59&#59;)
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缩略图

http://computational-class.github.io/cjc2016/vis/beijing_mobile_with_line.html

http://computational-class.github.io/cjc2016/vis/beijing_mobile_30_heat.html

http://v.youku.com/v_show/id_XMTUwNzg3MjI4OA

讨论

我们发现max模型和all模型重整化的结果是分形的,二者的分型维度<math>d_B</math>几乎相等,min模型重整化的结果则是小世界的。从重整化而言,all模型和min模型都能表现出正相关,而max模型则是负相关。因此我们认为min模型提供了mobility network的一些根本的特征:即采用地理位置(基站)变化测量的人类移动行为并非偏好链接的,而是具有一定的随机性。

参考文献

Tracing the Attention of Moving Citizens. arXiv