# Superhub

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$吴令飞^1, 王成军^2$

• 1. 芝加哥大学计算研究中心，知识实验室
• 2. 南京大学新闻与传播学院，计算传播学实验中心

# 摘要

$\gamma_{mobility} = 2.66, \gamma_{attention} = 1.91$

2.658090788128173, 1.9072646401777407

xs=np.linspace(1,100,500)
ys1=np.exp(-xs)
ys2=np.exp(13.2)*xs**-5.19
plt.plot(xs,ys1,'r-')

plt.plot(xs,ys2,'g-')
plt.xscale('log')

plt.yscale('log')


# Fractal Network

 Published 20 February 2008; Erratum Phys. Rev. Lett. 100, 199902 (2008) http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.100.078701


# 追踪移动着的公民的注意力

## 度相关的转变

Song等人(2005)认为网络的分形特征起源于网络的异配性（disassortativity），即核心节点倾向于不与核心节点相连，而是与非核心的节点相连。因此分形网络的度相关性是负的。为了理解产生两类普遍行为的机制，本文进一步分析了度相关随着盒子大小l_B是如何变化的。网络的度相关性通过计算度为k的节点与他们的邻居的平均度<knn></knn>二者之间的相关Cor(knn, k)。如图2B所示，l_B=3是一个转折点（Cor(knn, k) < 0），此时网络节点度的同配性（assortativity）转为异配性（dissortativity）。当l_B>4的时候，移动网络和注意力网络的Cor(knn, k)与k之间的曲线都变得扁平（见图2 B）。

# 结论和讨论

The reason of observing the transition of degree correlations for the mobility network is that there are two layers of structures: the local structure and the global structure. The global structure is comprised of many local structures, and the local structures are constituted by many closely connected nodes (mobile base stations) who are physically near to each other. In the local structure, the cost of moving from one location to another for individuals is very little if can not be ignored (there is no spatial constraint). There exist a few randomly connected long-range connections among the nodes of local structures in addition to many short-range connections. Therefore, the local structures of the mobility network tend to be small-world featured by small diameters, large clustering coefficients, and positive degree correlations. Since the global structure is made up of many such small-world local structures, it also shows the small-world property. This explains why we observe the positive degree correlations at first. During the renormalization process, the hub nodes of the local structures are gradually merged into superhubs. For example, when lB > 3, the nodes of the local structures will be merged (see Figure 3). Since the superhubs are physically far away from each other, the spatial constraint is large, which stops individuals moving from one location to another, and the superhubs tend not to be directly connected. Thus, when the spatial-constrained superhubs appear, the topological structure of the mobility network significantly changes from assortativity to disassortativity. In this sense, we call these superhubs “spatial- constrained superhub”.

The spatial-constrained hubs imply that the spatial constraint exhibits significant influence in limiting edge-generating. First, the linking dynamics of the mobility network are spatial- constrained. As demonstrated in Figure 4, the probability of edge-generating is constrained by the spatial distance: although long distance connections are possible, there tends to be more edges within a short physical distance, and thus we can find apparent local clustering patterns. Second and more importantly, the spatial-constrained pattern does not only exist in the offline settings, it also functions in online space, especially when the space could be modeled with fractal networks. The Fractal property suggests a hierarchy of nested self-similar structure. The fractal network (e.g., the metabolic network of E. coli) can be transformed to a hierarchical tree under renormalization12. The hierarchy structure of fractal networks exerts strong limitation on the edge-generating. The following research further show that the nodes of complex networks exist in hidden metric spaces, and the underlying hidden geometries well explains the self-similarity of networks20. Therefore, we conjecture that the fractal network could also be better studied if we embed it into a geometric space. We seek to understand the attention network and the mobility network in the perspective of geometric network models21–24.

# 参考文献

Albert, R., Jeong, H., & Barabási, A.-L. (1999). Internet: Diameter of the world-wide web. Nature, 401(6749), 130-131. Banavar, J. R., Maritan, A., & Rinaldo, A. (1999). Size and form in efficient transportation networks. Nature, 399(6732), 130-132. Bond, R. M., Fariss, C. J., Jones, J. J., Kramer, A. D. I., Marlow, C., Settle, J. E., & Fowler, J. H. (2012). A 61-million-person experiment in social influence and political mobilization. Nature, 489(7415), 295-298. Ginsberg, J., Mohebbi, M. H., Patel, R. S., Brammer, L., Smolinski, M. S., & Brilliant, L. (2009). Detecting influenza epidemics using search engine query data. Nature, 457(7232), 1012-1014. Goh, K. I., Salvi, G., Kahng, B., & Kim, D. (2006). Skeleton and fractal scaling in complex networks. Physical review letters, 96(1), 018701. Latora, V., & Marchiori, M. (2001). Efficient behavior of small-world networks. Physical review letters, 87(19), 198701. Milgram, S. (1967). The small world problem. Psychology today, 2(1), 60-67. Montoya, J. M., & Solé, R. V. (2002). Small world patterns in food webs. Journal of theoretical biology, 214(3), 405-412. Rozenfeld, H. D., Song, C., & Makse, H. A. (2010). Small-world to fractal transition in complex networks: a renormalization group approach. Physical review letters, 104(2), 025701. Song, C., Havlin, S., & Makse, H. A. (2005). Self-similarity of complex networks. Nature, 433(7024), 392-395. Song, C., Havlin, S., & Makse, H. A. (2006). Origins of fractality in the growth of complex networks. Nature Physics, 2(4), 275-281. Song, C., Qu, Z., Blumm, N., & Barabási, A.-L. (2010). Limits of predictability in human mobility. Science, 327(5968), 1018-1021. Wang, C.-J., & Wu, L. (2016). The scaling of attention networks. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 448, 196-204. Watts, D. J., & Strogatz, S. H. (1998). Collective dynamics of ‘small-world’networks. Nature, 393(6684), 440-442. Zhang, J., Li, X., Wang, X., Wang, W.-X., & Wu, L. (2015). Scaling behaviours in the growth of networked systems and their geometric origins. Scientific reports, 5. Zhao, Z.-D., Huang, Z.-G., Huang, L., Liu, H., & Lai, Y.-C. (2014). Scaling and correlation of human movements in cyberspace and physical space. Physical Review E, 90(5), 050802.

# Scaling of degree correlations and its influence on diffusion in scale-free networks

Lazaros K. Gallos, Chaoming Song, Hernán A Makse, 2008. Scaling of Degree Correlations and Its Influence on Diffusion in Scale-Free Networks. Physical Review Letters 100(24):248701 Impact Factor: 7.51 DOI: 10.3731/topologica.2.020 [2]

## Joint degree distribution

$P(k_1, k_2)$ denotes the probability of two nodes of degree $k_1$ and $k_2$ are connected to each other. If no degree correlation: $P(k_1, k_2) \sim k_1 P(k_1) k_2 P(k_2)$

For scale free networks：$P(k_1, k_2) \sim k_1 P(k_1) k_2 P(k_2) \sim k_1^{1-\gamma} k_2^{1-\gamma}$

## Density conservation law

$\int P(k_1, k_2) d k_2 = k_1 P(k_1)$

$\int P(k_1, k_2) d k_2 = k_1 P(k_1) \sim k_1^{-(\gamma -1) }$

## 硬猜$P(k_1, k_2)$

The statistical similarity of the corresponding plots suggests the invariance of $P(k_1, k_2)$. Accordingly, this suggests that the $k_1$ and $k_2$ dependence can be separated, and the behavior of the tail of the joint degree distribution is

$P(k_1, k_2) \sim k_1^{-(\gamma -1 )} k_2^{-\epsilon}$ (1)

for completely random networks:

$P(k_1, k_2) \sim k_1 P(k_1) k_2 P(k_2) \sim k_1^{1-\gamma} k_2^{1-\gamma}$ (2)

Using Eq. (1), we can see that:

1. For low-degree nodes ($k_1 > k_2$), integrating over $k_2$, we retrieve the $k^{1-\gamma}$ dependence.
2. For the case of hubs, where integration is over $k_1$, the dependence on the degree is $k^{-\epsilon}$

## $E_b(k)$

$E_b(k) \equiv \frac{\int_{bk}^{\infty} P(k | k') dk'}{ \int_{bk}^{\infty} P( k') dk' }$

1. 分子是两节点度为k和大于bk的链接比例；
2. 分母是度大于bk的节点的比例

### 计算$E_b(k)$

  算法设计


- 将链接表达为 （k, k')的形式 - 使得其中的 k'>k - 选择 b = 3 - 计算：

• - 计算k' > 3k, k = k的链接数量$N_{kk'}$
• - 计算$P(k, k') = \frac{N_{kk’}}{Number\;of\;edges}$
• - 对于每一个节点, 计算整个网络节点的度大于3k的比例, $P(k')$和$k' P(k')$
• - 计算$p1 = \sum \frac{P(k, k')}{k' P(k')}$和$P2 = \sum P(k')$。
• - 计算 p1/p2
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# Location-based behaviors

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# 参考文献

Tracing the Attention of Moving Citizens. arXiv