diff --git a/0153-find-minimum-in-rotated-sorted-array/0153-find-minimum-in-rotated-sorted-array.md b/0153-find-minimum-in-rotated-sorted-array/0153-find-minimum-in-rotated-sorted-array.md new file mode 100644 index 0000000..2dad5ce --- /dev/null +++ b/0153-find-minimum-in-rotated-sorted-array/0153-find-minimum-in-rotated-sorted-array.md @@ -0,0 +1,227 @@ +## Step 1 + +- 問題文 + - 長さ`n`で昇順にソートされた配列を1~`n`のいずれかの回数だけ回転することを考える。 + - 例えば、`nums=[0,1,2,4,5,6,7]`を4回回転させたら、`[4,5,6,7,0,1,2]`となる。 + - ソートし、回転されたユニークな要素からなる配列`nums`に対し、最小な要素を返せ。 + - 時間計算量はO(log n)であること。 + - 制約： + - n == nums.length + - 1 <= n <= 5000 + - -5000 <= nums[i] <= 5000 + - All the integers of nums are unique. + - nums is sorted and rotated between 1 and n times. + +### 実装1 + +- アルゴリズムの選択 + - 二分探索が使えそう。 + - 単調述語、つまり何らかの条件をもとに最大値・最小値の間に境界線を引ければ良い。 + - 例えば、nums=[4,5,6,7,0,1,2] を考える。 + - nums[0]より値が大きい左側と、nums[-1]より値が小さい右側に分けられる。これを使う。 + - 不変条件： + - 全てのi <= leftで、nums[i] >= nums[0] + - 全てのi >= rightで、nums[i] <= nums[-1] + - 配列の長さが1の場合や、回転数がnであり、nums=[0,1,2,4,5,6,7]のような時はうまくいかないので、先に別処理しておく。 +- 実装 + - whileで書く。 +- 時間計算量: O(logn) +- 空間計算量: O(1) + +```python3 +from typing import List + + +class Solution: + def findMin(self, nums: List[int]) -> int: + first = 0 + last = len(nums) - 1 + if nums[first] <= nums[last]: + return nums[first] + + left = first + right = last + while right - left > 1: + mid = (left + right) // 2 + if nums[mid] >= nums[first]: + left = mid + continue + if nums[mid] <= nums[last]: + right = mid + continue + return nums[right] +``` + +ここまで8分。 + +- first, lastを番兵にとった、未確定域が開区間型(left, last)といえる。 +- 別処理が冗長な気がするので、不変条件の考え方が微妙な可能性がある。 + - nums[first], nums[last]のうち、注目するのは一方で良かった。 + - nums[first]を絡めると別処理が必要になる（[実装5](#実装5)）。nums[last]だけで考えると別処理は不要（[実装2](#実装2)や[実装6](#実装6)）。 + +### 実装2 + +- bisect.bisect_leftを使えそう。 +- [0, 0, ..., 0, 1, 1, ..., 1]という配列にして一番左の1を探せばいい。 +- 時間計算量: O(n) <- 配列を全てバイナリに変えるため。 +- 空間計算量: O(n) + +```python3 +from typing import List +import bisect + + +class Solution: + def findMin(self, nums: List[int]) -> int: + binary_array = [int(num <= nums[-1]) for num in nums] + min_index = bisect.bisect_left(binary_array, 1) + return nums[min_index] +``` + +最初、 +```python3 + if nums[0] <= nums[-1]: + return nums[0] +``` +と書いていたが、これを書かなくても大丈夫なことに気づいた。 +- len(nums) == 1は常にmin_index = 0 +- 回転数nで最小値が一番左のときも、binary_arrayは1のみが並ぶので、min_index = 0 + +### 実装3 + +- Python 3.10よりbisect_leftにはkey引数があり、lambdaを渡せる。 + - https://docs.python.org/ja/3/library/bisect.html +- 時間計算量: O(logn) +- 空間計算量: O(1) + +```python3 +from typing import List +import bisect + + +class Solution: + def findMin(self, nums: List[int]) -> int: + min_index = bisect.bisect_left(nums, 1, key=lambda x: x <= nums[-1]) + return nums[min_index] +``` + +- 第2引数はTrueでもいいらしい。 + - Pythonではboolはintのサブクラスなので、0 < 1より、False < True + - https://docs.python.org/ja/3.13/library/stdtypes.html#boolean-type-bool + - key=を渡すと、比較はkey()を施した"key空間"で行われるため。 + - https://docs.python.org/ja/3/library/bisect.html#bisect.bisect_left + - > key specifies a key function of one argument that is used to extract a comparison key from each element in the array. + - なお、key は配列要素にのみ適用され、検索値には適用しない仕様のため、検索値はTrueのが好ましそう。 + - > To support searching complex records, the key function is not applied to the x value. + +### 実装4 + +- numsのビュワークラスを実装しても良い。 +- 時間計算量: O(logn) +- 空間計算量: O(1) + +```python3 +from typing import List +import collections +import bisect + + +class BinaryView(collections.abc.Sequence): + def __init__(self, base, pivot): + self._base = base + self._pivot = pivot + + def __len__(self): + return len(self._base) + + def __getitem__(self, index): + if self._base[index] <= self._pivot: + return 1 + return 0 + + +class Solution: + def findMin(self, nums: List[int]) -> int: + view = BinaryView(nums, pivot=nums[-1]) + min_index = bisect.bisect_left(view, 1) + return nums[min_index] +``` + +- https://docs.google.com/document/d/11HV35ADPo9QxJOpJQ24FcZvtvioli770WWdZZDaLOfg/edit?tab=t.0#heading=h.x8c3aen9xu80 +- collections.abc.Sequence のabstractメソッドは__len__と__getitem__。（最低限これらを書けば良い） + - https://docs.python.org/ja/3.13/library/collections.abc.html#collections.abc.Sequence + - アンダースコア2個ずつで囲まれたメソッドの呼び方 + - special methods: https://docs.python.org/3/reference/datamodel.html + - dunder (double underscore) methods: https://docs.python.org/3/glossary.html#term-dunder +- Sequence以外にも、MutableSequence、Mapping、MutableMapping、Set、MutableSetなどがある。 + - https://docs.python.org/ja/3.13/library/collections.abc.html + +## Step 2 + +- [コメント集](https://docs.google.com/document/d/11HV35ADPo9QxJOpJQ24FcZvtvioli770WWdZZDaLOfg/edit?tab=t.0#heading=h.tzbo5j6mbqc2) + - https://discord.com/channels/1084280443945353267/1230079550923341835/1233971372946882600 + - > nums[0] <= nums[i] な領域と nums[0] > nums[i] な領域の境界を探せ + > + > nums[-1] < nums[i] な領域と nums[-1] >= nums[i] な領域の境界を探せ + - なるほど、nums[0]とnums[-1]の片方だけ持ち出せばよかったのか。 + - > これ、組み合わせて16通りのソースコードが生成できますが、どれが動いてどれが動かないか答えられますか。 + - > Q1. 2で割る処理がありますが、これは切り捨てでも切り上げでも構わないのでしょうか。 + - A1. midが未確定域に入ればいい。（不変条件が崩れずに必ず縮まる設計であればなんでもいい。） + - [left, right]、(left, right)はどっちでもいい。 + - [left, right)は切り捨て。 + - (left, right]は切り上げ。 + - > Q2. nums[mid] <= nums[right]とあるが、<でもいいですか？ + - A2. i == right（mid == right）が不変条件の条件文に入っていなければ良い。入っている場合でも命題が成り立つならいい。 + - > Q3. nums[right]は、nums[nums.length - 1]でもいいですか。 + - A3. どちらでもよい。 + - > Q4. rightの初期値はnums.lengthでもいいですか？ + - A4. 不変条件の始まりが「全てのright <= iで」ならいい。「全てのright < iで」だった場合はエッジケースでIndexErrorが起こる。 + - 未確定域の右側が閉区間になり、rightが更新されない限りあたかもはみ出たインデックスnums.lengthが未確定域に含まれているようにpivotが動きうる。 + - いわゆるtargetが右側にout of rangeな場合、最後にはmid = nums.lengthとなり、IndexErrorとなる。 + +## Step 3 + +### 実装5 + +nums[0]との大小比較 + +```python3 +from typing import List + + +class Solution: + def findMin(self, nums: List[int]) -> int: + if nums[0] <= nums[-1]: + return nums[0] + + left = 1 # i < left, nums[i] >= nums[0] + right = len(nums) - 1 # i > right, nums[i] < nums[0] + while left <= right: + mid = (left + right) // 2 + if nums[mid] >= nums[0]: + left = mid + 1 + else: + right = mid - 1 + return nums[left] +``` + +### 実装6 + +nums[-1]との大小比較 + +```python3 +from typing import List + + +class Solution: + def findMin(self, nums: List[int]) -> int: + left = 0 # i < left, nums[i] > nums[-1] + right = len(nums) - 1 # i >= right, nums[i] <= nums[-1] + while left < right: + mid = (left + right) // 2 + if nums[mid] > nums[-1]: + left = mid + 1 + else: + right = mid + return nums[right] +```