From 4b981bf5a32980da40c73b08c888f641a963d504 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: duong755 Date: Fri, 13 Oct 2023 18:55:38 +0700 Subject: [PATCH 1/9] feat(set-theory): exercises on real numbers --- set-theory/chapter4.tex | 84 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 81 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/set-theory/chapter4.tex b/set-theory/chapter4.tex index c59059d..9643657 100644 --- a/set-theory/chapter4.tex +++ b/set-theory/chapter4.tex @@ -278,7 +278,7 @@ \subsection{Tóm lược về mô hình số thực bằng dãy Cauchy hữu t Mô hình số thực bằng dãy Cauchy hữu tỉ được đề xuất bởi Charles M\'{e}ray và Georg Cantor. Mô hình số thực bằng lát cắt được đề xuất sau đó bởi Richard Dedekind. Ý tưởng cho mô hình số thực bằng dãy Cauchy hữu tỉ bắt đầu từ một tính chất của dãy Cauchy thực: Mọi dãy Cauchy thực đều hội tụ đến một số thực. Tuy nhiên điều này lại không đúng cho dãy Cauchy hữu tỉ. Trong mô hình này, chúng ta đưa ra một quan hệ tương đương giữa các dãy Cauchy hữu tỉ, định nghĩa các phép toán và quan hệ giữa các lớp tương đương theo quan hệ này và chỉ ra các lớp tương đương đó thỏa mãn hệ tiên đề về số thực. -Trước khi đi đến định nghĩa dãy Cauchy hữu tỉ, chúng ta cần định nghĩa về dãy số hữu tỉ và tính hội tụ. +Nhiều định nghĩa và kết quả liên quan đến dãy số trong mục này có thể quen thuộc với nhiều bạn đọc. Tuy nhiên, chúng tôi vẫn sẽ nêu lại một cách sơ lược. Trước khi đi đến định nghĩa dãy Cauchy hữu tỉ, chúng ta cần định nghĩa về dãy số hữu tỉ và tính hội tụ. \begin{definition}[Dãy số hữu tỉ\index{Dãy số hữu tỉ}] Một \textbf{dãy số hữu tỉ} là một ánh xạ với tập nguồn là tập hợp số tự nhiên và tập đích là tập hợp số hữu tỉ. @@ -413,7 +413,7 @@ \subsection{Tóm lược về mô hình số thực bằng dãy Cauchy hữu t Phép cộng và phép nhân dãy Cauchy hữu tỉ được thực hiện bằng cách cộng và nhân các giá trị của hai dãy Cauchy hữu tỉ tại các chỉ số bằng nhau. -\begin{theorem}[Phép cộng và phép nhân dãy Cauchy hữu tỉ] +\begin{theorem}[Phép cộng và phép nhân dãy Cauchy hữu tỉ]\label{theorem:addition-and-multiplication-of-rational-cauchy-sequences} ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là các dãy Cauchy hữu tỉ thì \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] \item ${(a_{n} + b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ\index{Phép cộng dãy Cauchy hữu tỉ}. Chúng ta cũng kí hiệu ${(a_{n} + b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} = {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} + {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. @@ -456,7 +456,7 @@ \subsection{Tóm lược về mô hình số thực bằng dãy Cauchy hữu t Quan hệ $\lesssim$ giữa các dãy Cauchy hữu tỉ là một quan hệ tiền thứ tự toàn phần. \end{theorem} -\begin{theorem} +\begin{theorem}\label{theorem:preorder-and-equivalence-relation-between-rational-cauchy-sequences} Nếu hai dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thỏa mãn ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. \end{theorem} @@ -492,6 +492,10 @@ \subsection{Tính duy nhất của tập hợp số thực} \subsection{Thuộc tính Archimedes} +Mục này nói về thuộc tính Archimedes trong tập hợp số thực và các hệ quả. Hệ quả đáng lưu ý nhất trong mục này là tính trù mật của tập hợp số hữu tỉ. + +Trong chương trình phổ thông, thuộc tính Archimedes thường được thừa nhận. Chứng minh dưới đây cho thuộc tính Archimedes sử dụng tiên đề về cận trên. + \begin{theorem}[Thuộc tính Archimedes\index{Thuộc tính Archimedes}] Với mỗi số thực $x$, tồn tại số nguyên $n$ sao cho $x < n$. \end{theorem} @@ -576,6 +580,80 @@ \subsection{Thuộc tính Archimedes} \subsection{Bài tập} +\begin{exercise} + $A$ là một lát cắt trên $\mathbb{Q}$. Chứng minh rằng $\mathbb{Q}\setminus A$ chỉ gồm tất cả các cận trên hữu tỉ của $A$. +\end{exercise} + +\begin{exercise} + $A$ là một lát cắt trên $\mathbb{R}$. Chứng minh rằng $\mathbb{R}\setminus A$ có phần tử nhỏ nhất. Các lát cắt trên tập hợp số hữu tỉ có gì khác với các lát cắt trên tập hợp số thực? +\end{exercise} + +\begin{exercise} + ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy. Chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $\abs{a_{n} - a_{N}} < 1$. + \item ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bị chặn. Nói cách khác, tồn tại số thực dương $A$ sao cho $\abs{a_{n}}\leq A$ với mọi số tự nhiên $n$. + \end{enumerate} +\end{exercise} + +Kết quả trong bài tập trên vẫn đúng với dãy Cauchy hữu tỉ và là cần thiết để chứng minh phần (ii) của Định lý~\ref{theorem:addition-and-multiplication-of-rational-cauchy-sequences}. + +\begin{exercise} + Chứng minh rằng với mỗi số thực $x$ và số thực dương $\varepsilon$, tồn tại số hữu tỉ $q$ sao cho $\abs{q - x} < \varepsilon$. +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Chứng minh rằng với hai số thực $x$, $y$ thỏa mãn $x < y$, tồn tại số nguyên $m$ và số tự nhiên $n$ sao cho $x < \dfrac{m}{2^{n}} < y$. [Gợi ý: Áp dụng cách lập luận của chứng minh tính trù mật của tập hợp số hữu tỉ.] +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Cho các số thực $a$, $b$ thỏa mãn $a < b$. Chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Tồn tại song ánh từ khoảng mở $(0, 1)$ đến khoảng mở $(a, b)$. + \item Tồn tại song ánh từ khoảng đóng $[0, 1]$ đến khoảng đóng $[a, b]$. + \end{enumerate} + + Trong đó $(a, b)$ là tập hợp $\{ x\in\mathbb{R} \mid a < x < b \}$, $[a, b]$ là tập hợp $\{ x\in\mathbb{R} \mid a\leq x \leq b \}$. +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Cho $c$ là một số thực dương. Hai số thực $x$ và $y$ được gọi là có quan hệ $\sim$ nếu và chỉ nếu tồn tại số nguyên $n$ sao cho $x - y = nc$. Chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item $\sim$ là một quan hệ tương đương. + \item Tồn tại một song ánh từ $\mathbb{R}/_{\sim}$ đến tập hợp $[0, c)$. + \end{enumerate} + + Trong đó $[a, b)$ là tập hợp $\{ x\in\mathbb{R} \mid a\leq x < b \}$,$(a, b]$ là tập hợp $\{ x\in\mathbb{R} \mid a < x \leq b \}$. +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Hợp của hai khoảng mở có phải một khoảng mở không? Tương tự, hợp của hai khoảng đóng có phải một khoảng đóng không? Hãy đưa ra ví dụ và phản ví dụ. + \item Giao của hai khoảng mở hoặc là tập hợp rỗng, hoặc là một khoảng mở. + \item Giao của hai khoảng đóng hoặc là tập hợp rỗng, hoặc gồm đúng một phần tử, hoặc là một khoảng đóng. + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Cho khoảng đóng $[a, b]$. Với mỗi số nguyên dương $n$, chúng ta định nghĩa $a_{n} = a - \dfrac{1}{n}$ và $b_{n} = b + \dfrac{1}{n}$. Chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item $a_{n}\leq b_{n}$ với mọi số nguyên dương $n$. + \item $a$ là cận trên đúng của tập hợp các số thực $a_{n}$, và $b$ là cận dưới đúng của tập hợp các số thực $b_{n}$. + \item $[a, b]$ là giao của tất cả các khoảng mở $(a_{n}, b_{n})$, với $n$ là số nguyên dương. + \end{enumerate} +\end{exercise} + + +\begin{exercise} + Cho khoảng mở $(a, b)$. Với mỗi số nguyên dương $n > 1$, chúng ta định nghĩa $a_{n} = a + \dfrac{b-a}{n}$ và $b_{n} = b - \dfrac{b-a}{n}$. Chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item $a_{n}\leq b_{n}$ với mọi số nguyên dương $n > 1$. + \item $a$ là cận dưới đúng của tập hợp các số thực $a_{n}$, và $b$ là cận trên đúng của tập hợp các số thực $b_{n}$. + \item $(a, b)$ là hợp của tất cả các khoảng đóng $[a_{n}, b_{n}]$, với các số nguyên dương $n > 1$. + \end{enumerate} +\end{exercise} + \section{Số phức} \subsection{Xây dựng tập hợp số phức} From 5def0830a23d8cdc8e4649bfa76382d117553363 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: duong755 Date: Fri, 13 Oct 2023 18:59:55 +0700 Subject: [PATCH 2/9] feat(set-theory): more exercise on real numbers --- set-theory/chapter4.tex | 4 ++++ 1 file changed, 4 insertions(+) diff --git a/set-theory/chapter4.tex b/set-theory/chapter4.tex index 9643657..66b55b4 100644 --- a/set-theory/chapter4.tex +++ b/set-theory/chapter4.tex @@ -598,6 +598,10 @@ \subsection{Bài tập} Kết quả trong bài tập trên vẫn đúng với dãy Cauchy hữu tỉ và là cần thiết để chứng minh phần (ii) của Định lý~\ref{theorem:addition-and-multiplication-of-rational-cauchy-sequences}. +\begin{exercise} + Chứng minh rằng với mỗi số thực $a$, $b$ thỏa mãn $a < b$, tồn tại số vô tỉ $x$ sao cho $a < x < b$. [Gợi ý: Tồn tại số hữu tỉ nằm giữa $a - \sqrt{2}$ và $b - \sqrt{2}$.] +\end{exercise} + \begin{exercise} Chứng minh rằng với mỗi số thực $x$ và số thực dương $\varepsilon$, tồn tại số hữu tỉ $q$ sao cho $\abs{q - x} < \varepsilon$. \end{exercise} From 311c99f5529e49984eff3cfa6ba80ac31581998d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: duong755 Date: Sat, 14 Oct 2023 15:20:31 +0700 Subject: [PATCH 3/9] feat(set-theory): exercises for chapter 2, 3, 4 --- set-theory/chapter2.tex | 74 +++++++++++++++++++++++++++++---- set-theory/chapter3.tex | 91 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++---- set-theory/chapter4.tex | 52 ++++++++++++++++++++++- 3 files changed, 200 insertions(+), 17 deletions(-) diff --git a/set-theory/chapter2.tex b/set-theory/chapter2.tex index c107418..e37418f 100644 --- a/set-theory/chapter2.tex +++ b/set-theory/chapter2.tex @@ -464,11 +464,19 @@ \subsection{Bài tập} \end{exercise} \begin{exercise} - Cho ánh xạ $f: X\to Y$. $A, B$ là hai tập hợp con của $X$. Chứng minh rằng + Cho hai ánh xạ khả nghịch $g: Y\to Z$ và $f: X\to Y$. Chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Nếu $g\circ f$ là đơn ánh thì $f$ là đơn ánh. + \item Nếu $g\circ f$ là toàn ánh thì $g$ là toàn ánh. + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Cho ánh xạ $f: X\to Y$. $A$, $B$ là hai tập hợp con của $X$. Chứng minh rằng \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] \item $f[A\cup B] = f[A]\cup f[B]$. \item $f[A\cap B] \subseteq f[A]\cap f[B]$. - \item $f[A - B] \supseteq f[A] - f[B]$. + \item $f[A \setminus B] \supseteq f[A] \setminus f[B]$. \end{enumerate} Hãy tìm một ví dụ mà $f[A\cap B]\ne f[A]\cap f[B]$ và một ví dụ mà $f[A - B]\ne f[A] - f[B]$. [Gợi ý: Với ví dụ thứ nhất, chọn $A, B$ sao cho $A$ và $B$ là hai tập rời nhau. Với ví dụ thứ hai, chọn $A, B$ sao cho ảnh của $A$ và ảnh của $B$ bằng nhau.] @@ -481,12 +489,12 @@ \subsection{Bài tập} \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] \item $f^{-1}[A\cup B] = f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B]$. \item $f^{-1}[A\cap B] = f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B]$. - \item $f^{-1}[A - B] = f^{-1}[A] - f^{-1}[B]$. + \item $f^{-1}[A \setminus B] = f^{-1}[A] \setminus f^{-1}[B]$. \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise} - Cho ánh xạ $f: X\to Y$. $A_{i}$ (với $i\in I$, tập hợp $I$ khác rỗng) là một họ tập hợp và đều là tập con của $Y$. Chứng minh rằng + Cho ánh xạ $f: X\to Y$. ${(A_{i})}_{i\in I}$ (tập hợp $I$ khác rỗng) là một họ tập hợp và mỗi tập hợp là tập con của $Y$. Chứng minh rằng \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] \item $f^{-1}[\bigcup_{i\in I}A_{i}] = \bigcup_{i\in I} f^{-1}[A_{i}]$. \item $f^{-1}[\bigcap_{i\in I}A_{i}] = \bigcap_{i\in I} f^{-1}[A_{i}]$. @@ -533,8 +541,8 @@ \subsection{Quan hệ hai ngôi} \end{itemize} \end{example} -\begin{example} - Trên tập hợp số nguyên, chúng ta có quan hệ đồng dư modulo $n$ với $n$ là một số nguyên khác không (nghĩa là hai số nguyên có hiệu chia hết cho $n$). Để biểu thị hai số nguyên $a$ và $b$ đồng dư modulo $n$, chúng ta viết $a\equiv b\pmod{n}$. +\begin{example}\label{example:congruence} + Trên tập hợp số nguyên, chúng ta có quan hệ đồng dư modulo $n$ với $n$ là một số nguyên khác không (nghĩa là hai số nguyên có hiệu chia hết cho $n$). Để biểu thị hai số nguyên $a$ và $b$ đồng dư modulo $n$, chúng ta viết $a\equiv b\pmod{n}$ hoặc $a\equiv_{n} b$. \noindent Quan hệ đồng dư modulo $n$ trên tập hợp số nguyên có các tính chất \begin{itemize} @@ -728,8 +736,58 @@ \subsection{Trường hợp riêng: Quan hệ tiền thứ tự} \begin{itemize} \item Nếu $A$ có phần tử lớn nhất thì phần tử đó cũng là cận trên đúng. \item Nếu $A$ có phần tử nhỏ nhất thì phần tử đó cũng là cận dưới đúng. - \item Nếu $A$ có cận trên đúng thì cận trên đúng không nhất thiết thuộc $A$. - \item Nếu $A$ có cận dưới đúng thì cận dưới đúng không nhất thiết thuộc $A$. + \item Nếu $A$ có cận trên đúng thì cận trên đúng không nhất thiết thuộc $A$, và không nhất thiết là phần tử lớn nhất của $A$. + \item Nếu $A$ có cận dưới đúng thì cận dưới đúng không nhất thiết thuộc $A$, và không nhất thiết là phần tử nhỏ nhất của $A$. \end{itemize} \subsection{Bài tập} + +\begin{exercise} + Chứng minh quan hệ đồng dư modulo $n$ trong Ví dụ~\ref{example:congruence} là một quan hệ tương đương. +\end{exercise} + +\begin{exercise}\label{exercise:sum-and-product-and-congruence} + Với mỗi số nguyên $a$, chúng ta kí hiệu lớp tương đương theo quan hệ đồng dư modulo $n$ và chứa $a$ là ${[a]}_{n}$, hoặc $[a]$ nếu $n$ đã rõ. + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chứng minh rằng với mọi số nguyên $a$, $b$, $c$, $d$. Nếu $a\equiv_{n} c$ và $b\equiv_{n} d$ thì $a + c \equiv_{n} b + d$. + \item Chứng minh rằng với mọi số nguyên $a$, $b$, $c$, $d$. Nếu $a\equiv_{n} c$ và $b\equiv_{n} d$ thì $ac \equiv_{n} bd$. + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Tập thương của quan hệ đồng dư modulo $n$ trên tập hợp số nguyên $\mathbb{Z}$ được kí hiệu là $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Phần (i) và (ii) của bài tập trước là cơ sở để chúng ta định nghĩa phép cộng và phép nhân trên $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ như sau + \[ + {[a]}_{n} + {[b]}_{n} = {[a+b]}_{n}\qquad {[a]}_{n}\cdot {[b]}_{n} = {[ab]}_{n}. + \] + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chứng minh rằng phép cộng trên $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ có tính chất kết hợp và giao hoán. + \item Chứng minh rằng phép nhân trên $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ có tính chất kết hợp, giao hoán, và tính chất phân phối với phép cộng. + \item Giả sử thêm $n$ là một số nguyên tố. Chứng minh rằng nếu ${[a]}_{n}\ne {[0]}_{n}$ thì tồn tại số nguyên $x$ sao cho ${[a]}_{n}\cdot {[x]}_{n} = {[1]}_{n}$. [Gợi ý: Sử dụng đồng nhất thức B\'{e}zout.] + \end{enumerate} +\end{exercise} + +Nhờ kết quả của Bài tập~\ref{exercise:sum-and-product-and-congruence} phép cộng và phép nhân trên $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ trong bài tập vừa rồi \textit{không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện của lớp tương đương}. + +\begin{exercise} + Cho tập hợp $S$ và một quan hệ tương đương $\sim$ trên $S$. Chứng minh rằng tồn tại một toàn ánh $f: S\to S/_{\sim}$. +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Cho tập hợp $S$ và một quan hệ tiền thứ tự $\lesssim$ toàn phần trên $S$. Hai phần tử $a$ và $b$ của $S$ được gọi là có quan hệ $\sim$ nếu và chỉ nếu $a\lesssim b$ và $b\lesssim a$. + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chứng minh rằng $\sim$ là một quan hệ tương đương trên $S$. + \item Nếu $\lesssim$ là một quan hệ tiền thứ tự \textit{không toàn phần} trên $S$ thì kết luận ở phần (i) có còn đúng không? + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Chúng ta đã biết rằng trong tập hợp số thực $\mathbb{R}$, với mọi số thực $x$, $y$, $z$, nếu $x\leq y$ thì $x + z\leq y + z$. Nói cách khác, phép cộng trên tập hợp số thực \textit{tương thích} với quan hệ thứ tự $\leq$ trên tập hợp số thực. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n > 1$, trên tập hợp $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, không tồn tại quan hệ thứ tự toàn phần nào tương thích với phép cộng trên $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Cho $A$ là tập hợp con khác rỗng của tập hợp $S$ với một quan hệ thứ tự một phần. + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Giả sử $A$ có cận trên nhỏ nhất. Chứng minh rằng $A$ có phần tử lớn nhất khi và chỉ khi $\sup A$ là một phần tử của $A$. + \item Giả sử $A$ có cận dưới lớn nhất. Chứng minh rằng $A$ có phần tử nhỏ nhất khi và chỉ khi $\inf A$ là một phần tử của $A$. + \end{enumerate} +\end{exercise} diff --git a/set-theory/chapter3.tex b/set-theory/chapter3.tex index 133272f..de1e32c 100644 --- a/set-theory/chapter3.tex +++ b/set-theory/chapter3.tex @@ -159,12 +159,33 @@ \subsection{Các phép toán và quan hệ thứ tự trên tập hợp số t \end{corollary} Định lý sau đây còn được phát biểu rằng ``Giữa hai số tự nhiên liên tiếp, không còn số tự nhiên nào khác.'' -\begin{theorem} +\begin{theorem}\label{theorem:consecutive-natural-numbers} Với mọi số tự nhiên $m, n$, nếu $n\leq m$ và $m \leq S(n)$ thì hoặc $m = n$ hoặc $m = S(n)$. \end{theorem} \subsection{Bài tập} +\begin{exercise} + Sử dụng các kết quả phía trước Định lý~\ref{theorem:consecutive-natural-numbers}, hãy chứng minh định lý này. +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Với mỗi số tự nhiên $n$, $A_{n}$ là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng $n$. + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chứng minh rằng hợp của tất cả các tập hợp $A_{n}$ là tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$. + \item Chứng minh rằng giao của tất cả các tập hợp $A_{n}$ là tập hợp rỗng. + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Tồn tại hai tập hợp con có vô hạn phần tử của tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$ sao cho hai tập hợp đó rời nhau. + \item Tồn tại hai tập hợp con có vô hạn phần tử của tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$ sao cho giao của hai tập hợp đó có đúng $n$ phần tử, trong đó $n$ là một số tự nhiên. + \item Tồn tại hai tập hợp con $A$, $B$ có vô hạn phần tử của tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$ sao cho các tập hợp $A\cap B$, $A\setminus B$, $B\setminus A$ có vô hạn phần tử. + \end{enumerate} +\end{exercise} + \section{Số nguyên} \subsection{Xây dựng tập hợp số nguyên} @@ -183,7 +204,7 @@ \subsection{Xây dựng tập hợp số nguyên} \] Các đẳng thức trên gợi ý một quan hệ tương đương trên tập hợp $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. -\begin{theorem}[Quan hệ tương đương giữa các cặp số tự nhiên] +\begin{theorem}[Quan hệ tương đương giữa các cặp số tự nhiên]\label{theorem:equivalence-relation-between-pairs-of-natural-numbers} Hai cặp có thứ tự số tự nhiên $(a, b)$ và $(c, d)$ được gọi là có quan hệ $\sim$ khi và chỉ khi $a + d = b + c$. Khi đó quan hệ $\sim$ trên tập hợp $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ là một quan hệ tương đương. \end{theorem} @@ -207,7 +228,7 @@ \subsection{Xây dựng tập hợp số nguyên} \subsection{Các phép toán và quan hệ thứ tự trên tập hợp số nguyên} Đầu tiên, chúng ta định nghĩa phép cộng số nguyên. -\begin{definition}[Phép cộng số nguyên\index{Phép cộng số nguyên}] +\begin{definition}[Phép cộng số nguyên\index{Phép cộng số nguyên}]\label{definition:integer-addition} Phép cộng số nguyên\index{Phép cộng số nguyên} là một phép toán hai ngôi trên tập hợp số nguyên, kí hiệu là $+$. Với hai số nguyên $[(a, b)]$ và $[(c, d)]$, chúng ta kí hiệu kết quả của phép cộng hai số nguyên này là $[(a, b)] + [(c, d)]$ và định nghĩa \[ [(a, b)] + [(c, d)] = [(a+c, b+d)]. @@ -398,6 +419,20 @@ \subsection{Số tự nhiên và số nguyên} \subsection{Bài tập} +\begin{exercise} + Chứng minh Định lý~\ref{theorem:equivalence-relation-between-pairs-of-natural-numbers}. +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Bình luận ngay sau Định nghĩa~\ref{definition:integer-addition} cho phép cộng số nguyên nêu lên rằng định nghĩa đó không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện. Bài tập này sẽ làm rõ nhận định đó. + + Phép cộng trên tập hợp $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ được định nghĩa như sau: $(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)$ với mọi số tự nhiên $a$, $b$, $c$, $d$. Chứng minh rằng nếu $(a_{1}, b_{1})\sim (a_{2}, b_{2})$ và $(c_{1}, d_{1})\sim (c_{2}, d_{2})$ thì $(a_{1}, b_{1}) + (c_{1}, d_{1}) = (a_{2}, b_{2}) + (c_{2}, d_{2})$. +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Cho số nguyên $n$ và $m$. Chứng minh rằng nếu $n\leq m$ và $m\leq n+1$ thì $m = n$ hoặc $m = n+1$. +\end{exercise} + \section{Nguyên lý quy nạp toán học} Mục này bàn nhiều hơn về nguyên lý quy nạp toán học cùng các biến thể và nguyên lý thứ tự tốt. Kết quả quan trọng nhất của mục này là nguyên lý thứ tự tốt. @@ -504,10 +539,10 @@ \subsection{Nguyên lý thứ tự tốt} Giả sử với $n = k\geq 1$, tập hợp khác rỗng được sắp thứ tự toàn phần và có $k$ phần tử thì tập hợp đó cũng có phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất. - Chúng ta kí hiệu $S$ là một tập hợp được sắp thứ tự toàn phần và có $(k+1)$ phần tử. Chúng ta chọn ra một phần tử $x$ bất kì của $S$ thì $S - \{x\}$ có $k$ phần tử. Theo giả thiết quy nạp, $S - \{x\}$ có phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất. + Chúng ta kí hiệu $S$ là một tập hợp được sắp thứ tự toàn phần và có $(k+1)$ phần tử. Chúng ta chọn ra một phần tử $x$ bất kì của $S$ thì $S \setminus \{x\}$ có $k$ phần tử. Theo giả thiết quy nạp, $S \setminus \{x\}$ có phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất. \begin{itemize} - \item Nếu $x$ nhỏ hơn phần tử nhỏ nhất của $S - \{x\}$ thì $x$ là phần tử nhỏ nhất của $S$. Ngược lại, phần tử nhỏ nhất của $S - \{x\}$ cũng là phần tử nhỏ nhất của $S$. - \item Nếu $x$ lớn hơn phần tử lớn nhất của $S - \{x\}$ thì $x$ là phần tử lớn nhất của $S$. Ngược lại, phần tử lớn nhất của $S - \{x\}$ cũng là phần tử lớn nhất của $S$. + \item Nếu $x$ nhỏ hơn phần tử nhỏ nhất của $S \setminus \{x\}$ thì $x$ là phần tử nhỏ nhất của $S$. Ngược lại, phần tử nhỏ nhất của $S \setminus \{x\}$ cũng là phần tử nhỏ nhất của $S$. + \item Nếu $x$ lớn hơn phần tử lớn nhất của $S \setminus\{x\}$ thì $x$ là phần tử lớn nhất của $S$. Ngược lại, phần tử lớn nhất của $S \setminus \{x\}$ cũng là phần tử lớn nhất của $S$. \end{itemize} Theo nguyên lý quy nạp toán học, tập hợp khác rỗng được sắp thứ tự toàn phần và có hữu hạn phần tử thì tập hợp đó có phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất. @@ -516,7 +551,7 @@ \subsection{Nguyên lý thứ tự tốt} Khi kết hợp nguyên lý thứ tự tốt với phương pháp chứng minh bằng phản chứng, chúng ta có phương pháp chứng minh giảm vô hạn. Phương pháp này còn được gọi là phương pháp giảm vô hạn của Fermat. Nhà toán học Fermat đã sử dụng phương pháp này để chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương $a, b, c$ nào thỏa mãn $a^{4} + b^{4} = c^{2}$. Ngược với phương pháp quy nạp toán học, phương pháp giảm vô hạn được sử dụng để chứng minh một mệnh đề $p(n)$ là sai với mọi số tự nhiên $n$. \begin{theorem}[Giảm vô hạn\index{Giảm vô hạn}] - Nếu với mỗi số tự nhiên $n$, mệnh đề $p(n)$ kéo theo tồn tại số tự nhiên $m < n$ sao cho có $p(m)$ thì với mọi số tự nhiên $n$, không có $p(n)$. + Nếu với mỗi số tự nhiên $n$, $p(n)$ kéo theo tồn tại số tự nhiên $m < n$ sao cho có $p(m)$ thì với mọi số tự nhiên $n$, không có $p(n)$. \end{theorem} \begin{proof} @@ -550,12 +585,24 @@ \subsection{Nguyên lý thứ tự tốt} \subsection{Bài tập} +\begin{exercise} + Với mỗi số tự nhiên $n$, $A_{n}$ là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng $n$. $I$ là một tập hợp con khác rỗng của tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $m$ sao cho $A_{m} = \bigcup_{n\in I} A_{n}$. +\end{exercise} + +\begin{exercise}\label{exercise:well-ordered-set} + Một tập hợp được sắp thứ tự toàn phần được gọi là \textit{tập hợp được sắp thứ tự tốt} khi và chỉ khi mỗi tập hợp con khác rỗng của tập hợp đó đều có phần tử nhỏ nhất. Chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Tập hợp số tự nhiên (với quan hệ thứ tự thông thường) được sắp thứ tự tốt. + \item Tập hợp số nguyên (với quan hệ thứ tự thông thường) không phải tập hợp được sắp thứ tự tốt. + \end{enumerate} +\end{exercise} + \section{Số hữu tỉ} \subsection{Xây dựng tập hợp số hữu tỉ} Chúng ta định nghĩa tập hợp số hữu tỉ dựa trên tập hợp số nguyên, cũng bằng một quan hệ tương đương. -\begin{theorem} +\begin{theorem}\label{theorem:equivalence-relation-in-definition-of-rational-numbers} Hai phần tử $(a, b)$ và $(c, d)$ của tập hợp $\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z} - \{0\})$ được gọi là có quan hệ $\sim$ khi và chỉ khi $a d - b c = 0$ (hay $a d = b c$). Khi đó quan hệ $\sim$ trên tập hợp $\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z} - \{0\})$ là một quan hệ tương đương. \end{theorem} @@ -692,3 +739,31 @@ \subsection{Số nguyên và số hữu tỉ} Đơn ánh $\iota$ trong định lý trên bảo toàn phép cộng, phép nhân, và quan hệ thứ tự, mặc dù ở tập nguồn và tập đích, các phép toán và quan hệ đó khác nhau. Với cơ sở là định lý này, chúng ta \textbf{đồng nhất} số nguyên $x$ với số hữu tỉ $\dfrac{x}{1}$, kéo theo tập hợp số nguyên là một tập hợp con thực sự của tập hợp số hữu tỉ. \subsection{Bài tập} + +\begin{exercise} + Chứng minh Định lý~\ref{theorem:equivalence-relation-in-definition-of-rational-numbers}. +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Chứng minh rằng phép cộng và phép nhân số hữu tỉ được định nghĩa trong chương này không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện. +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Tập hợp các số hữu tỉ dương có là tập hợp được sắp thứ tự tốt hay không? (Xem định nghĩa tập hợp được sắp thứ tự tốt trong Bài tập~\ref{exercise:well-ordered-set}.) +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Chứng minh rằng với mỗi số hữu tỉ $a$, $b$, nếu $a < b$ thì tồn tại số hữu tỉ $q$ sao cho $a < q < b$. +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Cho số hữu tỉ $q$ và $A$ là tập hợp tất cả các số hữu tỉ nhỏ hơn $q$. + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chứng minh rằng $A$ không có phần tử nhỏ nhất và cũng không có phần tử lớn nhất. + \item Chứng minh rằng $q$ là cận trên nhỏ nhất của $A$. + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Chứng minh rằng với mỗi số hữu tỉ $q$, tồn tại duy nhất số nguyên $n$ sao cho $n\leq q < n + 1$. [Gợi ý: Để chứng minh tính tồn tại, hãy sử dụng thuật toán chia Euclid.] +\end{exercise} diff --git a/set-theory/chapter4.tex b/set-theory/chapter4.tex index 66b55b4..b835310 100644 --- a/set-theory/chapter4.tex +++ b/set-theory/chapter4.tex @@ -588,6 +588,21 @@ \subsection{Bài tập} $A$ là một lát cắt trên $\mathbb{R}$. Chứng minh rằng $\mathbb{R}\setminus A$ có phần tử nhỏ nhất. Các lát cắt trên tập hợp số hữu tỉ có gì khác với các lát cắt trên tập hợp số thực? \end{exercise} +\begin{exercise} + Chứng minh rằng nếu một tập hợp con khác rỗng của tập hợp số thực bị chặn dưới thì có cận dưới lớn nhất. +\end{exercise} + +\begin{exercise} + $A$ là tập hợp con khác rỗng của tập hợp số thực. Tập hợp $-A$ được định nghĩa như sau + \[ + -A = \{ -x \mid x\in A \}. + \] + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chứng minh rằng nếu $A$ có cận trên nhỏ nhất thì $-A$ có cận dưới lớn nhất, và khi đó $\sup A = -\inf (-A)$. + \item Chứng minh rằng nếu $A$ có cận dưới lớn nhất thì $-A$ có cận trên nhỏ nhất, và khi đó $\inf A = -\sup (-A)$. + \end{enumerate} +\end{exercise} + \begin{exercise} ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy. Chứng minh rằng \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] @@ -639,6 +654,42 @@ \subsection{Bài tập} \end{enumerate} \end{exercise} +\begin{exercise}[Nguyên lý Cantor về các khoảng đóng lồng nhau] + Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$. Giả sử với mỗi số nguyên dương $n$, có $I_{n} \supseteq I_{n+1}$. + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chứng minh rằng tập hợp các số thực $a_{n}$ có cận trên nhỏ nhất (chúng ta sẽ kí hiệu là $a$), và tập hợp các số thực $b_{n}$ có cận dưới lớn nhất (chúng ta sẽ kí hiệu là $b$). + \item Chứng minh rằng giao của tất cả các khoảng đóng $I_{n}$ khác rỗng. + \item Chứng minh rằng nếu $a = b$ thì giao của tất cả các khoảng đóng $I_{n}$ chỉ gồm đúng một phần tử. + \end{enumerate} +\end{exercise} + +Thực tế, trong nguyên lý Cantor, điều kiện $a = b$ được thay bởi điều kiện tương đương là $\lim (a_{n} - b_{n}) = 0$. Nguyên lý Cantor cho thấy giao của dãy các khoảng đóng lồng nhau khác rỗng, tuy nhiên điều này không còn đúng nếu chúng ta thay khoảng đóng bởi khoảng mở. Hai bài tập dưới đây cung cấp ví dụ và phản ví dụ cho nhận định này. + +\begin{exercise} + Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n} = (0, \frac{1}{n})$. Chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n}\supset I_{n+1}$. + \item Giao của tất cả các khoảng mở $I_{n}$ là tập hợp rỗng. + \end{enumerate} +\end{exercise}\begin{exercise}[Nguyên lý Cantor về các khoảng đóng lồng nhau] + Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$. Giả sử với mỗi số nguyên dương $n$, có $I_{n} \supseteq I_{n+1}$. + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chứng minh rằng tập hợp các số thực $a_{n}$ có cận trên nhỏ nhất (chúng ta sẽ kí hiệu là $a$), và tập hợp các số thực $b_{n}$ có cận dưới lớn nhất (chúng ta sẽ kí hiệu là $b$). + \item Chứng minh rằng giao của tất cả các khoảng đóng $I_{n}$ khác rỗng. + \item Chứng minh rằng nếu $a = b$ thì giao của tất cả các khoảng đóng $I_{n}$ chỉ gồm đúng một phần tử. + \end{enumerate} +\end{exercise} + +Thực tế, trong nguyên lý Cantor, điều kiện $a = b$ được thay bởi điều kiện tương đương là $\lim (a_{n} - b_{n}) = 0$. Nguyên lý Cantor cho thấy giao của dãy các khoảng đóng lồng nhau khác rỗng, tuy nhiên điều này không còn đúng nếu chúng ta thay khoảng đóng bởi khoảng mở. Hai bài tập dưới đây cung cấp ví dụ và phản ví dụ cho nhận định này. + +\begin{exercise} + Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n} = (0, \frac{1}{n})$. Chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n}\supset I_{n+1}$. + \item Giao của tất cả các khoảng mở $I_{n}$ là tập hợp rỗng. + \end{enumerate} +\end{exercise} + \begin{exercise} Cho khoảng đóng $[a, b]$. Với mỗi số nguyên dương $n$, chúng ta định nghĩa $a_{n} = a - \dfrac{1}{n}$ và $b_{n} = b + \dfrac{1}{n}$. Chứng minh rằng \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] @@ -648,7 +699,6 @@ \subsection{Bài tập} \end{enumerate} \end{exercise} - \begin{exercise} Cho khoảng mở $(a, b)$. Với mỗi số nguyên dương $n > 1$, chúng ta định nghĩa $a_{n} = a + \dfrac{b-a}{n}$ và $b_{n} = b - \dfrac{b-a}{n}$. Chứng minh rằng \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] From 362a224751e592bb1b20781bad3c7a99729cd27b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: duong755 Date: Sat, 14 Oct 2023 23:51:21 +0700 Subject: [PATCH 4/9] feat(set-theory): add apendices, add exercises to chapter 4 --- Makefile | 6 + set-theory/appendix1.tex | 1308 +++++++++++++++++++++++++++++++++++ set-theory/appendix2.tex | 1 + set-theory/chapter3.tex | 2 +- set-theory/chapter4.old.tex | 2 +- set-theory/chapter4.tex | 1242 ++++++++++++++++++++++----------- set-theory/chapter5.tex | 6 + set-theory/main.tex | 19 +- 8 files changed, 2164 insertions(+), 422 deletions(-) create mode 100644 set-theory/appendix1.tex create mode 100644 set-theory/appendix2.tex diff --git a/Makefile b/Makefile index 24db275..bf4862b 100644 --- a/Makefile +++ b/Makefile @@ -88,6 +88,12 @@ updatecls: cleanaux %.ps.o: %.tex updatecls @latexmk $(LATEXMK_OPTIONS) -ps -outdir=$(shell dirname $<) $(shell basename $<) +%.clean: %.tex + @latexmk -C -outdir=$(shell dirname $<) $(shell basename $<) + +%.cleanaux: %.tex + @latexmk -c -outdir=$(shell dirname $<) $(shell basename $<) + # lint specific TeX file %.lint: %.tex @chktex $(CHKTEX_OPTIONS) $< diff --git a/set-theory/appendix1.tex b/set-theory/appendix1.tex new file mode 100644 index 0000000..7573d37 --- /dev/null +++ b/set-theory/appendix1.tex @@ -0,0 +1,1308 @@ +\chapter{Mô hình số thực bằng dãy Cauchy hữu tỉ} + +Phần phụ lục này cung cấp đầy đủ các chi tiết kĩ thuật trong việc xây dựng tập hợp số thực bằng dãy Cauchy hữu tỉ. Để phục vụ cho Chương~\ref{chapter:p-adic} về số $p$-adic, bạn đọc chỉ cần xem mục 1 và 2 của chương này với lưu ý rằng chứng minh trong hai mục này vẫn hợp lệ khi thay giá trị tuyệt đối thông thường bởi giá trị tuyệt đối $p$-adic. + +\section{Dãy số hữu tỉ và dãy Cauchy hữu tỉ} + +Khái niệm dãy số có thể được mô tả một cách trực giác: Một dãy số là một danh sách số và \textit{mỗi số tự nhiên được gán với đúng một số trong danh sách}. Dãy số tự nhiên $0, 1, 2, \ldots$, dãy số lẻ $1, 3, 5, \ldots$ là những ví dụ về dãy số. Tuy nhiên, để tuân thủ tiêu chuẩn của toán học hiện đại, các khái niệm cần được định nghĩa hình thức. Dãy số được định nghĩa như một ánh xạ, như trong định nghĩa sau đây. + +\begin{definition}[Dãy số hữu tỉ\index{Dãy số hữu tỉ}] + Một \textbf{dãy số hữu tỉ} là một ánh xạ với tập nguồn là tập hợp số tự nhiên và tập đích là tập hợp số hữu tỉ. + + \noindent Một dãy số hữu tỉ $f: \mathbb{N}\to\mathbb{Q}$ được kí hiệu là ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, và $f_{n}$ là giá trị được gán với số tự nhiên $n$ bởi $f$. Ngoài cách kí hiệu trên, nhiều tác giả còn dùng các kí hiệu khác cho dãy số, chẳng hạn + \[ + {(f_{n})}, \quad {(f_{n})}_{n=0}, \quad {(f_{n})}^{\infty}_{n=0} + \] + + \noindent Trong dãy số hữu tỉ ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, một số tự nhiên $n$ cụ thể được gọi là một \textbf{chỉ số\index{Chỉ số}}. +\end{definition} + +Giống như việc người ta vẫn hay tranh cãi $0$ có phải một số tự nhiên không, có những tài liệu định nghĩa dãy số bắt đầu bằng chỉ số $1$ thay vì $0$. Nhưng đây cũng chỉ là vấn đề quy ước, và giống như phương pháp quy nạp toán học, dãy số có thể bắt đầu bằng bất cứ chỉ số $n_{0}$ nào, với $n_{0}$ là một số nguyên. Tuy nhiên, để thuận theo tinh thần của tài liệu này, chúng ta sẽ luôn để dãy số bắt đầu với chỉ số $0$. + +Chúng ta theo dõi một số ví dụ về dãy số hữu tỉ và định nghĩa một số kiểu dãy số đặc biệt. +\begin{example} + Dãy số Fibonacci ${(F_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được định nghĩa bằng quy nạp + \[ + F_{n} = \begin{cases} + 0 & \text{khi $n = 0$}, \\ + 1 & \text{khi $n = 1$}, \\ + F_{n-1} + F_{n-2} & \text{khi $n > 1$}. + \end{cases} + \] +\end{example} + +\begin{example}[Dãy hằng số\index{Dãy hằng số}] + ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được định nghĩa $a_{n} = 0$ với mọi số tự nhiên $n$ là một dãy số. Đây được gọi là một dãy hằng số, vì giá trị của dãy số tại mọi số tự nhiên $n$ là bằng nhau. +\end{example} + +\begin{example}[Dãy dừng\index{Dãy dừng}] + ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được định nghĩa bởi $a_{0} = 1$, $a_{1} = -1$, $a_{n} = 0$ với mọi số tự nhiên $n$ lớn hơn $1$ là một dãy số. Đây được gọi là một dãy dừng, vì giá trị của dãy số này tại mọi số tự nhiên $n$ là bằng nhau, bắt đầu từ một chỉ số nào đó (trong ví dụ này, chỉ số đó là $2$). +\end{example} + +\begin{example}[Dãy đơn điệu\index{Dãy đơn điệu}] + \begin{itemize} + \item ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là một dãy số tăng\index{Dãy số tăng thực sự} (đơn điệu tăng, tăng thực sự) khi và chỉ khi $a_{n+1} > a_{n}$ kể từ một chỉ số $n = n_{0}$ nào đó trở đi. + \item ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là một dãy số giảm\index{Dãy số giảm thực sự} (đơn điệu giảm, giảm thực sự) khi và chỉ khi $a_{n+1} < a_{n}$ kể từ một chỉ số $n = n_{0}$ nào đó trở đi. + \item ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là một dãy số không giảm\index{Dãy số không giảm} (đơn điệu không giảm) khi và chỉ khi $a_{n+1}\geq a_{n}$ kể từ một chỉ số $n = n_{0}$ nào đó trở đi. + \item ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là một dãy số không tăng\index{Dãy số không tăng} (đơn điệu không tăng) khi và chỉ khi $a_{n+1}\leq a_{n}$ kể từ một chỉ số $n = n_{0}$ nào đó trở đi. + \end{itemize} +\end{example} + +Khi có một dãy số, người ta thường quan tâm đến việc giá trị của dãy số sẽ như thế nào với chỉ số $n$ rất lớn, hay dãy số đó có hội tụ không. Để phát biểu một cách chặt chẽ về đặc điểm đó của dãy số, các nhà toán học đã đúc kết lại thành định nghĩa dãy số hội tụ. Trước khi đưa ra định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ, chúng ta cần định nghĩa giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ. +\begin{definition}[Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ\index{Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ}] + Ánh xạ $\abs{\cdot}: \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}_{\geq 0}$ được định nghĩa bởi + \[ + \abs{x} = \begin{cases} + x & \text{nếu $x\geq 0$}, \\ + -x & \text{nếu $x < 0$} + \end{cases} + \] + + được gọi là \textbf{ánh xạ giá trị tuyệt đối}, hay \textbf{hàm giá trị tuyệt đối} của số hữu tỉ\index{Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ}. Số hữu tỉ không âm $\abs{x}$ được gọi là giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ $x$. +\end{definition} + +Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ cũng có các tính chất tương tự như giá trị tuyệt đối của số nguyên. +\begin{appendixthm} + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Với mọi số hữu tỉ $x$, có $0 \leq \abs{x}$. Bên cạnh đó, $\abs{x} = 0$ khi và chỉ khi $x = 0$. + \item Với mọi số hữu tỉ $x$, có $-\abs{x}\leq x\leq \abs{x}$. + \item Với mọi số hữu tỉ $x, y$, có $\abs{xy} = \abs{x}\abs{y}$. + \item Với mọi số hữu tỉ $x, y$, có $\abs{x+y}\leq \abs{x} + \abs{y}$. + \end{enumerate} +\end{appendixthm} + +\begin{definition} + Dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là + \textbf{hội tụ đến số hữu tỉ $a$} nếu và chỉ nếu + \[ + \forall \varepsilon > 0 \Biggl(\exists N(\varepsilon)\Bigl(\forall n\geq N(\varepsilon)(\abs{a_{n} - a} < \varepsilon)\bigr)\biggr). + \] + + Dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là \textbf{hội tụ\index{Hội tụ}} nếu tồn tại số hữu tỉ $a$ sao cho dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến $a$. Số hữu tỉ $a$ khi đó được gọi là một \textbf{điểm giới hạn\index{Điểm giới hạn}}, hay \textbf{giới hạn\index{Giới hạn}} của dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + + Dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là \textbf{phân kì\index{Phân kì}} nếu dãy này không hội tụ. + + Bằng kí hiệu, chúng ta viết điều kiện cần và đủ để dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ \textbf{không hội tụ đến số hữu tỉ $a$} như sau + \[ + \exists\varepsilon_{0} > 0 \Biggl(\forall N\Bigl(\exists n\geq N (\abs{a_{n} - a}\geq\varepsilon_{0} )\Bigr)\Biggr). + \] +\end{definition} + +Trên đây là một định nghĩa hình thức cho khái niệm dãy số hữu tỉ hội tụ. Chúng tôi thừa nhận rằng cách định nghĩa này khó hiểu với những người mới học. Nếu bạn đọc cảm thấy đây là một cách định nghĩa phức tạp, thì chúng tôi cho rằng việc nên làm đầu tiên là đọc về vị từ và lượng từ trong Chương~\ref{chapter:logic-and-set-theory}. Thay cho (nhưng không hoàn toàn thay thế) cách định nghĩa trên, định nghĩa cho dãy số hữu tỉ hội tụ có thể được phát biểu bớt hình thức hơn như sau: +\begin{itemize} + \item (Thông dịch trực tiếp logic hình thức thành câu văn) Dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là hội tụ đến số hữu tỉ $a$ nếu và chỉ nếu: với mỗi (số hữu tỉ) $\varepsilon > 0$, tồn tại số tự nhiên $N(\varepsilon)$ chỉ phụ thuộc vào $\varepsilon$ sao cho với mọi chỉ số $n\geq N(\varepsilon)$, chúng ta có $\abs{a_{n} - a} < \varepsilon$. + \item (Phát biểu không hình thức) Dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là hội tụ đến số hữu tỉ $a$ nếu và chỉ nếu: với mỗi (số hữu tỉ) $\varepsilon > 0$ nhỏ tùy ý, luôn tồn tại một chỉ số mà từ chỉ số đó trở đi, khoảng cách từ $a_{n}$ đến $a$ nhỏ hơn $\varepsilon$. +\end{itemize} + +Sau đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ và phản ví dụ nhằm minh họa khái niệm dãy số hữu tỉ hội tụ và cách chứng minh hay bác bỏ sự hội tụ của một dãy số hữu tỉ. +\begin{example} + Mọi dãy số hữu tỉ dừng đều hội tụ. + + Một cách tổng quát, chúng ta xét dãy hữu tỉ dừng ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thoả mãn $a_{n} = a$ ($a$ là một số hữu tỉ) với mọi số tự nhiên $n\geq n_{0}$. Với định nghĩa này, chúng ta suy ra $\abs{a_{n} - a} = 0$ với mọi số tự nhiên $n\geq n_{0}$. Bên cạnh đó + \[ + \forall\varepsilon > 0\Bigl(\exists N=n_{0}\bigl(\forall n\geq N( \abs{a_{n} - a} < \varepsilon )\bigr)\Bigr). + \] + + Do đó dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến số hữu tỉ $a$. + + Dãy số hữu tỉ hằng số là trường hợp riêng của dãy số hữu tỉ dừng nên mọi dãy hữu tỉ hằng số đều hội tụ. +\end{example} + +\begin{counterexample} + Dãy số tự nhiên không hội tụ đến bất kì số hữu tỉ nào. + + Giả sử phản chứng rằng dãy số tự nhiên hội tụ đến một số hữu tỉ $q$ nào đó. + + Chúng ta chọn $\varepsilon_{0} = \frac{1}{2}$. Theo định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi $n\geq N$, chúng ta có $\abs{n - q} < \frac{1}{2}$. Tiếp tục sử dụng số tự nhiên $N$ và số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có + \[ + 1 = \abs{(n + 1) - n} = \abs{(n+1) - q + (q - n)} \leq \abs{n+1 - q} + \abs{n-q} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \] + + là một mâu thuẫn. Do đó giả sử phản chứng là sai, kéo theo dãy số tự nhiên không hội tụ đến bất kì số hữu tỉ nào. +\end{counterexample} + +\begin{example} + Dãy số ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được định nghĩa bởi $a_{n} = \frac{n}{n+1}$ hội tụ đến $1$. + + Chọn một số hữu tỉ $\varepsilon > 0$, chúng ta sẽ tìm số tự nhiên $N(\varepsilon)$ để sử dụng định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ. + + $\abs{a_{n} - 1} < \varepsilon$ khi và chỉ khi $\frac{1}{n+1} < \varepsilon$. Bên cạnh đó, nếu $n \geq \floor{\frac{1}{\varepsilon}}$ (đây là kí hiệu phần nguyên của số hữu tỉ), theo định nghĩa phần nguyên của số hữu tỉ thì + \[ + \frac{1}{n+1}\leq \frac{1}{\floor{\dfrac{1}{\varepsilon}} + 1} < \frac{1}{\dfrac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon. + \] + + Như vậy + \[ + \forall\varepsilon > 0 \Biggl( \exists N=\floor{\frac{1}{\varepsilon}}\bigl(\forall n\geq N ( \abs{a_{n} - 1} < \varepsilon )\bigr) \Biggr). + \] + + Theo định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ, chúng ta kết luận dãy số ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến $1$. +\end{example} + +\begin{counterexample} + Dãy số ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được định nghĩa bởi $b_{n} = {(-1)}^{n}$ (với mọi số tự nhiên $n$) không hội tụ đến số hữu tỉ nào. + + Giả sử phản chứng rằng dãy số ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến một số hữu tỉ $q$. Chúng ta chọn $\varepsilon = 1$. Theo định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $\abs{b_{n} - q} < 1$. Vẫn là với số $\varepsilon = 1$, số tự nhiên $N$ và $n\ge N$, chúng ta có + \[ + 2 = \abs{b_{n} - b_{n}} = \abs{(b_{n+1} - q) + (q - b_{n})} \leq \abs{b_{n+1} - q} + \abs{b_{n} - q} < 1 + 1 = 2 + \] + + là một mâu thuẫn. Do đó giả sử phản chứng là sai, kéo theo dãy số ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không hội tụ đến bất kì số hữu tỉ nào. +\end{counterexample} + +\begin{appendixthm}\label{appendixthm:uniqueness-of-limit-points-of-convergence-rational-sequences} + Nếu một dãy số hữu tỉ hội tụ thì dãy số hữu tỉ đó chỉ có một điểm giới hạn. +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + Giả sử phản chứng rằng dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến hai số hữu tỉ khác nhau là $a$ và $b$. Chọn $\varepsilon = \abs{a - b}$. + + Theo định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ + \begin{itemize}[topsep=0pt] + \item Tồn tại số tự nhiên $N_{a}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{a}$, chúng ta có $\abs{a_{n} - a} < \dfrac{\varepsilon}{2}$. + \item Tồn tại số tự nhiên $N_{b}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{b}$, chúng ta có $\abs{a_{n} - b} < \dfrac{\varepsilon}{2}$. + \end{itemize} + + Chúng ta chọn $N$ là số tự nhiên lớn nhất trong hai số $N_{a}$ và $N_{b}$ (nói cách khác, $N = \max\{ N_{a}, N_{b} \}$). Nếu số tự nhiên $n\geq N$ thì $\abs{a_{n} - a} < \dfrac{\varepsilon}{2}$ và $\abs{a_{n} - b} < \dfrac{\varepsilon}{2}$, từ đó chúng ta có + \[ + \abs{a - b} = \abs{(a - a_{n}) + (a_{n} - b)} \leq \abs{a_{n} - a} + \abs{a_{n} - b} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon = \abs{a - b} + \] + + là một điều vô lí. Do đó giả sử phản chứng là sai. Vậy nếu dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến một số hữu tỉ thì đó là số hữu tỉ duy nhất mà ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến. +\end{proof} + +Nếu dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến số hữu tỉ $a$ thì chúng ta kí hiệu $\lim a_{n} = a$, hoặc $\lim\limits_{n} a_{n} = a$ khi cần nhấn mạnh chỉ số. + +Đối với dãy số, chúng ta cũng có khái niệm dãy số bị chặn. +\begin{definition}[Dãy số hữu tỉ bị chặn] + Dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là \textbf{bị chặn\index{Dãy số hữu tỉ bị chặn}} nếu và chỉ nếu tồn tại số hữu tỉ dương $A$ sao cho $\abs{a_{n}}\leq A$ (hoặc $\abs{a_{n}} < A$) với mọi số tự nhiên $n$. +\end{definition} + +Một cách trực giác, việc một dãy số hữu tỉ hội tụ đến một số hữu tỉ $a$ có thể được mô tả như sau: Từ một chỉ số $n$ nào đó trở đi, các giá trị của dãy số sẽ chụm quanh điểm giới hạn. Mô tả này cho thấy sẽ thật không hợp lý nếu như ``khoảng cách'' từ một giá trị nào đó của dãy số đến $a$ có thể lớn tùy ý. Chúng ta có kết quả sau đây. +\begin{appendixthm}\label{appendixthm:convergence-sequences-are-bounded} + Nếu dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ thì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy số hữu tỉ bị chặn. +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + Giả sử dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến một số hữu tỉ $a$ nào đó. + + Chúng ta chọn $\varepsilon = 1$. Theo định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ, tồn tại số tự nhiên $N$ nào đó sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{n} - a} < 1$. Với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có + \[ + \abs{a_{n}} = \abs{(a_{n} - a) + a} \leq \abs{a_{n} - a} + \abs{a} < 1 + \abs{a}. + \] + + Theo nguyên lý cực hạn, tập hợp $\{ \abs{a_{0}}, \abs{a_{1}}, \ldots, \abs{a_{N-1}}, 1 + \abs{a} \}$ có phần tử lớn nhất. Chúng ta kí hiệu phần tử đó là $A$. $A$ là một số hữu tỉ dương vì các phần tử trong tập hợp trên đều là số hữu tỉ, và $1 + \abs{a} > 0$. Do đó, $\abs{a_{n}}\leq A$ với mọi số tự nhiên $n$, đồng nghĩa với việc dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bị chặn. +\end{proof} + +Việc tính toán giới hạn của một số dãy số có thể được đơn giản hóa nhờ kết quả sau và những giới hạn đã biết. +\begin{appendixthm}\label{appendixthm:limits-of-sum-and-product} + ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là các dãy số hữu tỉ. + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Nếu $\lim a_{n} = a$ và $\lim b_{n} = b$ thì $\lim s_{n} = a + b$, trong đó dãy số hữu tỉ ${(s_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được định nghĩa bởi $s_{n} = a_{n} + b_{n}$ với mọi số tự nhiên $n$ (Chúng ta còn kí hiệu ${(s_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bởi ${(a_{n} + b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$). + \item Nếu $\lim a_{n} = a$ thì $\lim c_{n} = ca$, trong đó dãy số hữu tỉ ${(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được định nghĩa bởi $c_{n} = c\cdot a_{n}$ với mọi số tự nhiên $n$, trong đó $c$ là một hằng số hữu tỉ (Chúng ta còn kí hiệu ${(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bởi ${(ca_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$). + \item Nếu $\lim a_{n} = a$ và $\lim b_{n} = b$ thì $\lim p_{n} = ab$, trong đó dãy số hữu tỉ ${(p_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được định nghĩa bởi $p_{n} = a_{n}b_{n}$ với mọi số tự nhiên $n$ (Chúng ta còn kí hiệu ${(p_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bởi ${(a_{n}b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$). + \end{enumerate} +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chúng ta lấy $\varepsilon$ là một số hữu tỉ dương bất kì. + + Theo định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ, với số hữu tỉ dương $\dfrac{\varepsilon}{2}$ + \begin{itemize} + \item tồn tại số tự nhiên $N_{a}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{a}$, có $\abs{a_{n} - a} < \dfrac{\varepsilon}{2}$ + \item tồn tại số tự nhiên $N_{b}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{b}$, có $\abs{b_{n} - b} < \dfrac{\varepsilon}{2}$. + \end{itemize} + + Chúng ta định nghĩa $N = \max\{ N_{a}, N_{b} \}$. Nếu số tự nhiên $n\geq N$ thì $\abs{a_{n} - a} < \dfrac{\varepsilon}{2}$ và $\abs{b_{n} - b} < \dfrac{\varepsilon}{2}$. Khi đó chúng ta có + \[ + \abs{(a_{n} + b_{n}) - (a + b)} = \abs{(a_{n} - a) + (b_{n} - b)} \leq \abs{a_{n} - a} + \abs{b_{n} - b} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. + \] + + Những điều trên có nghĩa là: với mọi số hữu tỉ dương $\varepsilon$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $\abs{(a_{n} + b_{n}) - (a + b)} < \varepsilon$. Theo định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ, chúng ta suy ra $\lim s_{n} = a + b$. + \item Nếu $c = 0$ thì ${(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy hằng số, vì $c_{n} = c\cdot a_{n} = 0$ với mọi số tự nhiên $n$. Khi đó $\lim c_{n} = 0 = ca$. + + Nếu $c\ne 0$, chúng ta lấy $\varepsilon$ là một số hữu tỉ dương bất kì. Theo định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ, với số hữu tỉ dương $\dfrac{\varepsilon}{\abs{c}}$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $\abs{a_{n} - a} < \dfrac{\varepsilon}{\abs{c}}$. Cũng là số tự nhiên $N$, nếu số tự nhiên $n\geq N$ thì chúng ta có + \[ + \abs{ca_{n} - ca} = \abs{c(a_{n} - a)} = \abs{c}\abs{a_{n} - a} \leq \abs{c}\cdot\frac{\varepsilon}{\abs{c}} = \varepsilon. + \] + + Theo định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ, chúng ta kết luận $\lim c_{n} = ca$. + \item Chúng ta có + \begin{align*} + \abs{a_{n}b_{n} - ab} & = \abs{(a_{n} - a)b_{n} + a(b_{n} - b)} \\ + & \leq \abs{a_{n} - a}\abs{b_{n}} + \abs{a}\abs{b_{n} - b} + \end{align*} + + Dựa trên bất đẳng thức vừa thu được, chúng ta tìm số tự nhiên ``$N$'' để có thể áp dụng được định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ. Vì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến $a$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến $b$ nên hai dãy số này bị chặn, kéo theo tồn tại hai số hữu tỉ dương $A, B$ sao cho $\abs{a_{n}}\leq A$ và $\abs{b_{n}}\leq B$ với mọi số tự nhiên $n$. + + Chúng ta chọn $\varepsilon$ là một số hữu tỉ dương bất kì. Theo định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ + \begin{itemize} + \item với số hữu tỉ dương $\dfrac{\varepsilon}{2B}$, tồn tại số tự nhiên $N_{a}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{a}$, chúng ta có $\abs{a_{n} - a} < \dfrac{\varepsilon}{2B}$ + \item với số hữu tỉ dương $\dfrac{\varepsilon}{2A}$, tồn tại số tự nhiên $N_{b}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{b}$, chúng ta có $\abs{b_{n} - b} < \dfrac{\varepsilon}{2A}$. + \end{itemize} + + Chúng ta định nghĩa $N = \max\{ N_{a}, N_{b}\}$. Nếu số tự nhiên $n\geq N$ thì $\abs{a_{n} - a} < \dfrac{\varepsilon}{2B}$ và $\abs{b_{n} - b} < \dfrac{\varepsilon}{2A}$. Khi đó chúng ta có + \begin{align*} + \abs{a_{n}b_{n} - ab} & = \abs{(a_{n} - a)b_{n} + a(b_{n} - b)} \\ + & \leq \abs{a_{n} - a}\abs{b_{n}} + \abs{a}\abs{b_{n} - b} \\ + & < \frac{\varepsilon}{2B}\cdot B + \frac{\varepsilon}{2A}\cdot A \\ + & = \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. + \end{align*} + + Như vậy, với mỗi số hữu tỉ dương $\varepsilon$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{n}b_{n} - ab} < \varepsilon$. Theo định nghĩa giới hạn dãy số hữu tỉ, chúng ta kết luận $\lim p_{n} = ab$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +Đến lúc này, chúng ta đã chuẩn bị đủ để định nghĩa và chứng minh các kết quả về dãy Cauchy hữu tỉ. + +\begin{definition}[Dãy Cauchy hữu tỉ] + Dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là một \textbf{dãy Cauchy hữu tỉ\index{Dãy Cauchy hữu tỉ}} nếu và chỉ nếu + \[ + \forall\varepsilon > 0 \Biggl( \exists N(\varepsilon) \Bigl( \forall n\geq N(\varepsilon) \bigl(\forall m\geq N(\varepsilon) (\abs{a_{m} - a_{n}} < \varepsilon)\bigr) \Bigr) \Biggr). + \] + + \noindent Điều kiện trên có thể phát biểu dưới dạng tương đương là + \[ + \forall\varepsilon > 0 \Biggl( \exists N(\varepsilon) \Bigl( \forall n\geq N(\varepsilon) \bigl(\forall p > 0 (\abs{a_{n+p} - a_{n}} < \varepsilon)\bigr) \Bigr) \Biggr). + \] + + \noindent Chúng ta kí hiệu tập hợp các dãy Cauchy hữu tỉ là $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}$. +\end{definition} + +Chúng ta cũng có thể phát biểu định nghĩa dãy Cauchy hữu tỉ theo cách bớt hình thức hơn. +\begin{itemize} + \item (Thông dịch trực tiếp từ định nghĩa hình thức) Dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là một dãy Cauchy hữu tỉ nếu và chỉ nếu: Với mọi số hữu tỉ dương $\varepsilon$, tồn tại số tự nhiên $N(\varepsilon)$ sao cho với mọi số tự nhiên $n, m\geq N(\varepsilon)$, chúng ta có $\abs{a_{m} - a_{n}} < \varepsilon$. + \item (Mô tả trực giác) Dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là một dãy Cauchy hữu tỉ nếu và chỉ nếu: Với mọi số hữu tỉ dương $\varepsilon$ nhỏ tùy ý, từ một chỉ số nào đó trở đi, khoảng cách giữa các giá trị của dãy số nhỏ hơn $\varepsilon$. +\end{itemize} + +Dãy số hữu tỉ hội tụ là một trường hợp riêng của dãy Cauchy hữu tỉ. +\begin{appendixthm} + Nếu một dãy số hữu tỉ hội tụ thì đó cũng là một dãy Cauchy hữu tỉ. +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + Giả sử dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến số hữu tỉ $a$. Chúng ta chọn $\varepsilon$ là một số hữu tỉ dương bất kì. + + Theo định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{n} - a} < \dfrac{\varepsilon}{2}$. Vẫn là số tự nhiên $N$, nếu các số tự nhiên $n, m$ thỏa mãn $n, m\geq N$ thì chúng ta có + \[ + \abs{a_{m} - a_{n}} = \abs{(a_{m} - a) + (a - a_{n})} \leq \abs{a_{m} - a} + \abs{a_{n} - a} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. + \] + + Như vậy, với mỗi số hữu tỉ dương $\varepsilon$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $m, n\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{m} - a_{n}} < \varepsilon$. Do đó ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ. +\end{proof} + +Tương tự với dãy số hữu tỉ hội tụ, dãy Cauchy hữu tỉ cũng bị chặn. +\begin{appendixthm}\label{appendixthm:cauchy-sequences-are-bounded} + Nếu ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ thì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy số hữu tỉ bị chặn. +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + Theo định nghĩa dãy Cauchy hữu tỉ, với số hữu tỉ dương $1$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n, m\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{m} - a_{n}} < 1$. Do đó $\abs{a_{n} - a_{N}} < 1$ với mọi số tự nhiên $n\geq N$. Bên cạnh đó, với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có + \[ + \abs{a_{n}} = \abs{(a_{n} - a_{N}) + a_{N}} \leq \abs{a_{n} - a_{N}} + \abs{a_{N}} < 1 + \abs{a_{N}}. + \] + + Theo nguyên lý cực hạn, tập hợp $\{ \abs{a_{0}}, \abs{a_{1}}, \ldots, \abs{a_{N-1}}, 1 + \abs{a_{N}} \}$ có phần tử lớn nhất. Chúng ta kí hiệu phần tử này là $A$, $A$ còn là một số hữu tỉ dương, vì $A$ thuộc tập hợp trên (gồm các số hữu tỉ) và $A\geq 1 + \abs{a_{N}}$. + + Với hai điều trên, chúng ta suy ra $\abs{a_{n}}\leq A$ với mọi số tự nhiên $n$, điều này đồng nghĩa với việc ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy số hữu tỉ bị chặn. +\end{proof} + +Dãy số hữu tỉ hội tụ thì cũng là dãy Cauchy hữu tỉ nhưng điều ngược lại nói chung không đúng. Mệnh đề dưới đây đưa ra một dãy Cauchy hữu tỉ nhưng không hội tụ đến một số hữu tỉ nào. + +\begin{appendixthm}\label{appendixthm:irrational-cauchy-sequence} + Dãy số hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được định nghĩa bằng đệ quy như sau + \[ + x_{n} = \begin{cases} + 1 & \text{khi $n = 0$} \\ + \dfrac{2x_{n-1} + 2}{x_{n-1} + 2} & \text{khi $n\geq 1$} + \end{cases} + \] + + Chứng minh rằng dãy số hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy và không hội tụ đến bất kì số hữu tỉ nào. +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + Chúng ta chứng minh mệnh đề này bằng phản chứng, lần lượt qua các bước sau. + \begin{enumerate}[label={\textbf{Bước \arabic*.}},itemindent=1cm] + \item $x_{n}\geq 1$ với mọi số tự nhiên $n$. + + Khi $n = 0$, chúng ta có $x_{0} = 1$, do đó $x_{0}\geq 1$. + + Giả sử với số tự nhiên $n = k\geq 0$, chúng ta có $x_{k}\geq 1$. Khi đó theo giả thiết quy nạp + \[ + x_{k+1} = \frac{2x_{k-1} + 2}{x_{k-1} + 2} = 1 + \frac{x_{k-1}}{x_{k-1} + 2} \geq 1 + \] + + Theo nguyên lý quy nạp toán học, $x_{n}\geq 1$ với mọi số tự nhiên $n$. + \item Với mọi số tự nhiên $n$, $\abs{{x_{n}}^{2} - 2}\leq \dfrac{1}{n+1}$. + + Khi $n = 0$, chúng ta có $x_{0} = 1$, do đó $\abs{{x_{0}}^{2} - 1} = 1\leq \dfrac{1}{0+1}$. + + Giả sử với số tự nhiên $n = k\geq 0$, chúng ta có $\abs{{x_{k}}^{2} - 2}\leq \dfrac{1}{k+1}$. + \begin{align*} + \abs{{x_{k+1}}^{2} - 2} & = \abs{\frac{4{(x_{k} + 1)}^{2}}{{(x_{k} + 2)}^{2}} - 2} = \abs{\frac{2{x_{k}^{2}} - 4}{{(x_{k} + 2)}^{2}}} = \abs{\frac{2}{{(x_{k} + 2)}^{2}}}\abs{{x_{k}}^{2} - 2} \\ + & \leq \frac{1}{2}\abs{{x_{k}}^{2} - 2} & \text{(vì $x_{k} > 0$)} \\ + & \leq \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{k+1} & \text{(theo giả thiết quy nạp)} \\ + & = \frac{1}{2k+2}\leq \frac{1}{k+2}. + \end{align*} + + Theo nguyên lý quy nạp toán học, $\abs{{x_{n}}^{2} - 2}\leq \dfrac{1}{n+1}$ với mọi số tự nhiên $n$. + \item Chứng minh rằng ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ. + + Chúng ta chọn $\varepsilon$ là một số hữu tỉ dương, $N = \floor{\frac{1}{\varepsilon}}$, nếu số tự nhiên $n\geq N$ thì với mọi số tự nhiên $p$, chúng ta có + \begin{align*} + \abs{x_{n+p} - x_{n}} & = \frac{\abs{{x_{n+p}}^{2} - {x_{n}}^{2}}}{\abs{x_{n+p} + x_{n}}} = \frac{\abs{({x_{n+p}}^{2} - 2) + (2 - {x_{n}}^{2})}}{\abs{x_{n+p} + x_{n}}} \\ + & \leq \frac{\abs{{x_{n+p}}^{2} - 2} + \abs{{x_{n}}^{2} - 2}}{\abs{x_{n+p} + x_{n}}} \\ + & \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+p+1}\right) & \text{(theo \textbf{Bước 1} và \textbf{Bước 2})} \\ + & \leq \frac{1}{n+1} < \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon. + \end{align*} + + Do đó với mỗi số hữu tỉ dương $\varepsilon$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$ và với mọi số tự nhiên $p$, chúng ta có $\abs{x_{n+p} - x_{n}} < \varepsilon$. Theo định nghĩa dãy Cauchy hữu tỉ, ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ. + \item Dãy số hữu tỉ ${(y_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ (được định nghĩa bởi $y_{n} = {x_{n}}^{2}$ với mọi số tự nhiên $n$) hội tụ đến $2$. + + Chúng ta chọn $\varepsilon$ là một số hữu tỉ dương, $N = \floor{\frac{1}{\varepsilon}}$, nếu số tự nhiên $n\geq N$ thì + \[ + \abs{{x_{n}}^{2} - 2}\leq \frac{1}{n+1} < \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} < \varepsilon. + \] + + Như vậy, với mỗi số hữu tỉ dương $\varepsilon$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $\abs{{x_{n}}^{2} - 2} < \varepsilon$. Theo định nghĩa dãy số hội tụ, dãy số hữu tỉ ${(y_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến $2$. + \item Chứng minh rằng dãy số hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không hội tụ đến bất kì số hữu tỉ nào. + + Giả sử phản chứng rằng dãy số hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến số hữu tỉ $x$. + + Theo phần (iii) của Mệnh đề~\ref{appendixthm:limits-of-sum-and-product}, chúng ta suy ra dãy số ${(y_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến số hữu tỉ $x^{2}$. Theo Định lý~\ref{appendixthm:uniqueness-of-limit-points-of-convergence-rational-sequences}, chúng ta suy ra $x^{2} = 2$. + + Vì không có số hữu tỉ nào có bình phương bằng $2$ nên $x^{2} = 2$ (với $x$ là số hữu tỉ) là một kết quả vô lý. Như vậy giả sử phản chứng là sai, kéo theo dãy số hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không hội tụ đến số hữu tỉ nào. + \end{enumerate} +\end{proof} + +Khi sử dụng dãy Cauchy hữu tỉ để xây dựng tập hợp số thực, chúng ta gặp một vấn đề: \textit{có nhiều dãy Cauchy hữu tỉ hội tụ đến cùng một số hữu tỉ}. Điều này sẽ được giải quyết bằng một quan hệ tương đương như sau. + +\begin{appendixthm}\label{appendixthm:equivalent-rational-sequences} + Hai dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là có quan hệ $\sim$, và được kí hiệu là ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} \sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ khi và chỉ khi dãy số hữu tỉ ${(a_{n} - b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến $0$, nói cách khác + \[ + \forall\varepsilon > 0\Biggl( \exists N \Bigl( \forall n\geq N ( \abs{a_{n} - b_{n}} < \varepsilon ) \Bigr) \Biggr). + \] + \begin{enumerate}[label={(\roman*)},itemsep=0pt] + \item Quan hệ $\sim$ trên tập hợp các dãy số hữu tỉ là một quan hệ tương đương. Nói riêng, quan hệ $\sim$ trên tập hợp các dãy Cauchy hữu tỉ là một quan hệ tương đương. + \item Nếu hai dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ tương đương theo quan hệ $\sim$ thì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến số hữu tỉ $q$ khi và chỉ khi ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến số hữu tỉ $q$. + \item Nếu hai dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ tương đương theo quan hệ $\sim$ thì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là dãy Cauchy hữu tỉ khi và chỉ khi ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là dãy Cauchy hữu tỉ. + \end{enumerate} +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + \begin{enumerate}[label={(\roman*)},itemsep=0pt] + \item Dãy số hữu tỉ ${(a_{n} - a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy hữu tỉ hằng số, giá trị của dãy này tại mọi số tự nhiên $n$ bằng $0$, kéo theo dãy số hữu tỉ ${(a_{n} - a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến $0$. Do đó quan hệ $\sim$ trên tập hợp các dãy số hữu tỉ có tính chất phản xạ. + + ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ khi và chỉ khi + \[ + \forall\varepsilon > 0\Biggl( \exists N \Bigl( \forall n\geq N ( \abs{a_{n} - b_{n}} < \varepsilon ) \Bigr) \Biggr). + \] + + ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ khi và chỉ khi + \[ + \forall\varepsilon > 0\Biggl( \exists N \Bigl( \forall n\geq N ( \abs{b_{n} - a_{n}} < \varepsilon ) \Bigr) \Biggr). + \] + + Mặt khác, vì $\abs{a_{n} - b_{n}} = \abs{b_{n} - a_{n}}$ với mọi số tự nhiên $n$ nên hai điều kiện dưới đây tương đương + \[ + \forall\varepsilon > 0\Biggl( \exists N \Bigl( \forall n\geq N ( \abs{a_{n} - b_{n}} < \varepsilon ) \Bigr) \Biggr) \quad\longleftrightarrow\quad \forall\varepsilon > 0\Biggl( \exists N \Bigl( \forall n\geq N ( \abs{b_{n} - a_{n}} < \varepsilon ) \Bigr) \Biggr). + \] + + Do đó ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} \sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ khi và chỉ khi ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} \sim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, điều này có nghĩa là quan hệ $\sim$ trên tập hợp các dãy số hữu tỉ có tính chất đối xứng. + + Nếu các dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}, {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}, {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thỏa mãn ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thì theo định nghĩa quan hệ $\sim$ trên tập hợp dãy số hữu tỉ, với mỗi số hữu tỉ dương $\varepsilon$ + \begin{itemize} + \item Tồn tại số tự nhiên $N_{ab}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{ab}$, chúng ta có $\abs{a_{n} - b_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2}$. + \item Tồn tại số tự nhiên $N_{bc}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{bc}$, chúng ta có $\abs{b_{n} - c_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2}$. + \end{itemize} + + Chúng ta định nghĩa số tự nhiên $N$ là số tự nhiên lớn nhất trong hai số $N_{ab}, N_{bc}$. Nếu số tự nhiên $n\geq N$ thì $\abs{a_{n} - b_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2}$, $\abs{b_{n} - c_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2}$, và + \[ + \abs{a_{n} - c_{n}} = \abs{(a_{n} - b_{n}) + (b_{n} - c_{n})} \leq \abs{a_{n} - b_{n}} + \abs{b_{n} - c_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. + \] + + Từ điều trên, chúng ta suy ra rằng với mỗi số hữu tỉ dương $\varepsilon$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $ \abs{a_{n} - c_{n}} < \varepsilon$. Do đó ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} \sim {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, điều này có nghĩa là quan hệ $\sim$ trên tập hợp các dãy số hữu tỉ có tính chất bắc cầu. + + Vậy quan hệ $\sim$ trên tập hợp các dãy số hữu tỉ là một quan hệ tương đương. Vì tập hợp các dãy Cauchy hữu tỉ là tập hợp con của tập hợp các dãy số hữu tỉ nên quan hệ $\sim$ trên tập hợp các dãy Cauchy hữu tỉ cũng là một quan hệ tương đương. + \item ($\Rightarrow$) ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến số hữu tỉ $q$. + + Chúng ta chọn số hữu tỉ dương $\varepsilon$ bất kì. Theo định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ, tồn tại số tự nhiên $N_{a}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{a}$, chúng ta có $\abs{a_{n} - q} < \dfrac{\varepsilon}{2}$. Theo định nghĩa quan hệ $\sim$ trên tập hợp dãy số hữu tỉ, ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ kéo theo tồn tại số tự nhiên $N_{ab}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{ab}$, chúng ta có $\abs{a_{n} - b_{n}} < \varepsilon$. + + Chúng ta chọn số tự nhiên $N = \max\{ N_{a}, N_{ab} \}$. Khi đó, với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có + \[ + \abs{b_{n} - q} = \abs{(b_{n} - a_{n}) + (a_{n} - q)} \leq \abs{b_{n} - a_{n}} + \abs{a_{n} - q} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon + \] + + Theo định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ, dãy số hữu tỉ ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến số hữu tỉ $q$. + + ($\Leftarrow$) ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến số hữu tỉ $q$. + + Hoàn toàn tương tự, chúng ta chọn số hữu tỉ dương $\varepsilon$ bất kì. Theo định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ, tồn tại số tự nhiên $N_{a}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{b}$, chúng ta có $\abs{b_{n} - q} < \dfrac{\varepsilon}{2}$. Theo định nghĩa quan hệ $\sim$ trên tập hợp dãy số hữu tỉ, ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thì tồn tại số tự nhiên $N_{ab}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{ab}$, chúng ta có $\abs{a_{n} - b_{n}} < \varepsilon$. + + Chúng ta chọn số tự nhiên $N = \max\{ N_{b}, N_{ab} \}$. Khi đó, với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có + \[ + \abs{a_{n} - q} = \abs{(a_{n} - b_{n}) + (b_{n} - q)} \leq \abs{a_{n} - b_{n}} + \abs{b_{n} - q} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon + \] + + Theo định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ, dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến số hữu tỉ $q$. + \item ($\Rightarrow$) ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là dãy Cauchy hữu tỉ. + + Chúng ta chọn số hữu tỉ dương $\varepsilon$ bất kì. Theo định nghĩa dãy Cauchy hữu tỉ, tồn tại số tự nhiên $N_{a}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n, m\geq N_{a}$, chúng ta có $\abs{a_{n} - a_{m}} < \dfrac{\varepsilon}{3}$. Theo định nghĩa quan hệ $\sim$ trên tập hợp dãy số hữu tỉ, ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ kéo theo tồn tại số tự nhiên $N_{ab}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n \geq N_{ab}$, chúng ta có $\abs{a_{n} - b_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{3}$. + + Chúng ta chọn số tự nhiên $N = \max\{ N_{a}, N_{ab} \}$. Khi đó, với mọi số tự nhiên $n, m\geq N$, chúng ta có + \begin{align*} + \abs{b_{m} - b_{n}} & = \abs{(b_{m} - a_{m}) + (a_{m} - a_{n}) + (a_{n} - b_{n})} \\ + & \leq \abs{b_{m} - a_{m}} + \abs{a_{m} - a_{n}} + \abs{a_{n} - b_{n}} \\ + & < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon. + \end{align*} + + Từ điều trên, chúng ta suy ra rằng với mỗi số hữu tỉ dương $\varepsilon$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n, m\geq N$, chúng ta có $\abs{b_{m} - b_{n}} < \varepsilon$. Do đó ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ. + + ($\Leftarrow$) ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là dãy Cauchy hữu tỉ. + + Chúng ta chọn số hữu tỉ dương $\varepsilon$ bất kì. Theo định nghĩa dãy Cauchy hữu tỉ, tồn tại số tự nhiên $N_{b}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n, m\geq N_{b}$, chúng ta có $\abs{b_{n} - b_{m}} < \dfrac{\varepsilon}{3}$. Theo định nghĩa quan hệ $\sim$ trên tập hợp dãy số hữu tỉ, ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ kéo theo tồn tại số tự nhiên $N_{ab}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n \geq N_{ab}$, chúng ta có $\abs{a_{n} - b_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{3}$. + + Chúng ta chọn số tự nhiên $N = \max\{ N_{b}, N_{ab} \}$. Khi đó, với mọi số tự nhiên $n, m\geq N$, chúng ta có + \begin{align*} + \abs{a_{m} - a_{n}} & = \abs{(a_{m} - b_{m}) + (b_{m} - b_{n}) + (b_{n} - a_{n})} \\ + & \leq \abs{a_{m} - b_{m}} + \abs{b_{m} - b_{n}} + \abs{b_{n} - a_{n}} \\ + & < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon. + \end{align*} + + Từ điều trên, chúng ta suy ra rằng với mỗi số hữu tỉ dương $\varepsilon$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n, m\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{m} - a_{n}} < \varepsilon$. Do đó ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ. + \end{enumerate} +\end{proof} + +Chúng ta kí hiệu tập thương gồm các lớp tương đương của quan hệ $\sim$ trên tập hợp các dãy Cauchy hữu tỉ là $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$. Trong nội dung tiếp theo của mục này, chúng ta chỉ làm việc với dãy Cauchy hữu tỉ và các lớp tương đương của các dãy Cauchy hữu tỉ. + +\section{Các phép toán với dãy Cauchy hữu tỉ} + +\begin{appendixthm}[Phép cộng và phép nhân dãy Cauchy hữu tỉ]\label{appendixthm:addition-and-multiplication-of-cauchy-sequences} + ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là các dãy Cauchy hữu tỉ thì + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item ${(a_{n} + b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ\index{Phép cộng dãy Cauchy hữu tỉ}. Chúng ta cũng kí hiệu ${(a_{n} + b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} = {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} + {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \item ${(a_{n}b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ\index{Phép nhân dãy Cauchy hữu tỉ}. Chúng ta cũng kí hiệu ${(a_{n}b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} = {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\cdot {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \end{enumerate} +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chúng ta chọn $\varepsilon$ là một số hữu tỉ dương. + + Theo định nghĩa dãy Cauchy hữu tỉ, với số hữu tỉ dương $\dfrac{\varepsilon}{2}$ + \begin{itemize} + \item tồn tại số tự nhiên $N_{a}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n, m\geq N_{a}$, chúng ta có $\abs{a_{m} - a_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2}$ + \item tồn tại số tự nhiên $N_{b}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n, m\geq N_{b}$, chúng ta có $\abs{b_{m} - b_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2}$. + \end{itemize} + + Chúng ta định nghĩa $N = \max\{ N_{a}, N_{b} \}$. Với mọi số tự nhiên $n, m\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{m} - a_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2}$ và $\abs{b_{m} - b_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2}$, và + \[ + \abs{(a_{m} + b_{m}) - (a_{n} + b_{n})} = \abs{(a_{m} - a_{n}) + (b_{m} - b_{n})} \leq \abs{a_{m} - a_{n}} + \abs{b_{m} - b_{n}} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. + \] + + Từ những điều trên, chúng ta suy ra rằng với mỗi số hữu tỉ dương $\varepsilon$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n, m\geq N$, chúng ta có $\abs{(a_{m} + b_{m}) - (a_{n} + b_{n})} < \varepsilon$. Như vậy ${(a_{n} + b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ. + \item ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là các dãy Cauchy hữu tỉ. Theo Định lý~\ref{appendixthm:cauchy-sequences-are-bounded}, tồn tại hai số hữu tỉ dương $A, B$ sao cho $\abs{a_{n}}\leq A$ và $\abs{b_{n}}\leq B$ với mọi số tự nhiên $n$. + + Chúng ta chọn số hữu tỉ dương $\varepsilon$ bất kì. Theo định nghĩa dãy Cauchy hữu tỉ + \begin{itemize} + \item với số hữu tỉ dương $\dfrac{\varepsilon}{2B}$, tồn tại số tự nhiên $N_{a}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n, m\geq N_{a}$, chúng ta có $\abs{a_{m} - a_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2B}$ + \item với số hữu tỉ dương $\dfrac{\varepsilon}{2A}$, tồn tại số tự nhiên $N_{b}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n, m\geq N_{b}$, chúng ta có $\abs{b_{m} - b_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2A}$. + \end{itemize} + + Chúng ta định nghĩa $N = \max\{ N_{a}, N_{b}\}$. Nếu các số tự nhiên $n, m\geq N$ thì $\abs{a_{m} - a_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2B}$ và $\abs{b_{m} - b_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2A}$. Khi đó chúng ta có + \begin{align*} + \abs{a_{m}b_{m} - a_{n}b_{n}} & = \abs{a_{m}(b_{m} - b_{n}) + b_{n}(a_{m} - a_{n})} \\ + & \leq \abs{a_{m}(b_{m} - b_{n})} + \abs{b_{n}(a_{m} - a_{n})} \\ + & = \abs{a_{m}}\abs{b_{m} - b_{n}} + \abs{b_{n}}\abs{a_{m} - a_{n}} \\ + & < A\cdot \frac{\varepsilon}{2A} + B\cdot\frac{\varepsilon}{2B} \\ + & = \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. + \end{align*} + + Từ những điều trên, chúng ta suy ra rằng với mỗi số hữu tỉ dương $\varepsilon$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n, m\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{m}b_{m} - a_{n}b_{n}} < \varepsilon$. Như vậy ${(a_{n}b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary}\label{corollary:linear-combination-of-cauchy-sequences} + ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là các dãy Cauchy hữu tỉ thì ${(xa_{n} + yb_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ cũng là một dãy Cauchy hữu tỉ, trong đó $x, y$ là hai hằng số hữu tỉ. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Theo phần (ii) của Định lý~\ref{appendixthm:addition-and-multiplication-of-cauchy-sequences}, ${(xa_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(yb_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là các dãy Cauchy hữu tỉ. + + Theo phần (i) của Định lý~\ref{appendixthm:addition-and-multiplication-of-cauchy-sequences}, ${(xa_{n} + yb_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ. +\end{proof} + +Để định nghĩa phép cộng và phép nhân hai \textit{lớp tương đương của các dãy Cauchy hữu tỉ} (nói cách khác là hai phần tử của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$) theo cách tương tự như với \textit{dãy Cauchy hữu tỉ}, chúng ta cần một định nghĩa không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện của lớp tương đương. + +\begin{appendixthm}\label{appendixthm:basis-of-equivalence-class-of-rational-cauchy-sequences-addition} + Nếu các dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, ${(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, ${(d_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thỏa mãn ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(d_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thì + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item ${(a_{n} + b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} \sim {(c_{n} + d_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \item ${(a_{n}b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} \sim {(c_{n}d_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \end{enumerate} +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chúng ta chọn số hữu tỉ dương $\varepsilon$ bất kì. + + Theo định nghĩa quan hệ $\sim$ trên tập hợp các dãy Cauchy hữu tỉ, với số hữu tỉ dương $\dfrac{\varepsilon}{2}$ + \begin{itemize}[topsep=0pt] + \item tồn tại số tự nhiên $N_{ac}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{ac}$, chúng ta có $\abs{a_{n} - c_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2}$, + \item tồn tại số tự nhiên $N_{bd}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{bd}$, chúng ta có $\abs{b_{n} - d_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2}$. + \end{itemize} + + Chúng ta định nghĩa $N = \max\{ N_{ac}, N_{bd} \}$. Với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{n} - c_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2}$, $\abs{b_{n} - d_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2}$, và + \[ + \abs{(a_{n} + b_{n}) - (c_{n} + d_{n})} = \abs{(a_{n} - c_{n}) + (b_{n} - d_{n})} \leq \abs{a_{n} - c_{n}} + \abs{b_{n} - d_{n}} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. + \] + + Từ những điều trên, chúng ta suy ra rằng với mỗi số hữu tỉ dương $\varepsilon$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $\abs{(a_{n} + b_{n}) - (c_{n} + d_{n})} < \varepsilon$. Như vậy ${(a_{n} + b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} \sim {(c_{n} + d_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \item Chúng ta chọn số hữu tỉ dương $\varepsilon$ bất kì. + + Theo Định lý~\ref{appendixthm:cauchy-sequences-are-bounded}, vì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, ${(d_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là các dãy Cauchy hữu tỉ nên tồn tại hai số hữu tỉ dương $A, D$ sao cho $\abs{a_{n}} < A$ và $\abs{d_{n}} < D$ với mọi số tự nhiên $n$. + + Theo định nghĩa quan hệ $\sim$ trên tập hợp dãy Cauchy hữu tỉ + \begin{itemize} + \item với số hữu tỉ dương $\dfrac{\varepsilon}{2D}$, tồn tại số tự nhiên $N_{ac}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{ac}$, chúng ta có $\abs{a_{n} - c_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2D}$, + \item với số hữu tỉ dương $\dfrac{\varepsilon}{2A}$, tồn tại số tự nhiên $N_{bd}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{bd}$, chúng ta có $\abs{b_{n} - d_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2A}$. + \end{itemize} + + Chúng ta định nghĩa $N = \max\{ N_{ac}, N_{bd} \}$. Với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{n} - c_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2D}$, $\abs{b_{n} - d_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2A}$ và + \begin{align*} + \abs{a_{n}b_{n} - c_{n}d_{n}} & = \abs{a_{n}(b_{n} - d_{n}) + d_{n}(a_{n} - c_{n})} \\ + & \leq \abs{a_{n}(b_{n} - d_{n})} + \abs{d_{n}(a_{n} - c_{n})} \\ + & = \abs{a_{n}}\abs{b_{n} - d_{n}} + \abs{d_{n}}\abs{a_{n} - c_{n}} \\ + & < A\cdot\frac{\varepsilon}{2A} + D\cdot\frac{\varepsilon}{2D} \\ + & = \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. + \end{align*} + + Từ những điều trên, chúng ta suy ra rằng với mỗi số hữu tỉ dương $\varepsilon$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{n}b_{n} - c_{n}d_{n}} < \varepsilon$. Như vậy ${(a_{n}b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} \sim {(c_{n}d_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{definition} + Chúng ta kí hiệu lớp tương đương gồm các \textit{dãy số hữu tỉ} tương đương với dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là $\clsseq{a_{n}}{n}$. + + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Phép cộng hai phần tử\index{Phép cộng hai lớp tương đương dãy Cauchy hữu tỉ} của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ là một phép toán hai ngôi trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, được kí hiệu là $+$ và được xác định như sau + \[ + \clsseq{a_{n}}{n} + \clsseq{b_{n}}{n} = \clsseq{a_{n} + b_{n}}{n} + \] + + trong đó ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}, {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là các dãy Cauchy hữu tỉ. + \item Phép nhân hai phần tử\index{Phép nhân hai lớp tương đương dãy Cauchy hữu tỉ} của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ là một phép toán hai ngôi trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, được kí hiệu là $\cdot$ và được xác định như sau + \[ + \clsseq{a_{n}}{n} \cdot \clsseq{b_{n}}{n} = \clsseq{a_{n}b_{n}}{n} + \] + + trong đó ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}, {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là các dãy Cauchy hữu tỉ. + \end{enumerate} +\end{definition} + +Một cách không hình thức, chúng ta có thể diễn đạt định nghĩa trên thành: tổng (tích) của hai lớp tương đương là lớp tương đương của tổng (tích) hai dãy Cauchy. Với định nghĩa trên, phép cộng và phép nhân của hai phần tử trong $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện của lớp tương đương. Định nghĩa này cũng cho phép chúng ta chứng minh các tính chất của phép cộng, phép nhân trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ theo cách dễ dàng. + +\begin{appendixthm} + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Phép cộng trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ có tính chất kết hợp. + \item Phép cộng trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ có phần tử đồng nhất. + \item Mỗi phần tử của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ có phần tử đối. + \item Phép cộng trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ có tính chất giao hoán. + \end{enumerate} +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Với mỗi phần tử $\clsseq{a_{n}}{n}, \clsseq{b_{n}}{n}, \clsseq{c_{n}}{n}$ của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, theo định nghĩa phép cộng trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ và tính chất kết hợp của phép cộng số hữu tỉ, chúng ta có + \begin{align*} + \left(\clsseq{a_{n}}{n} + \clsseq{b_{n}}{n}\right) + \clsseq{c_{n}}{n} & = \clsseq{a_{n} + b_{n}}{n} + \clsseq{c_{n}}{n} \\ + & = \clsseq{(a_{n} + b_{n}) + c_{n}}{n} \\ + & = \clsseq{a_{n} + (b_{n} + c_{n})}{n} \\ + & = \clsseq{a_{n}}{n} + \clsseq{b_{n} + c_{n}}{n} \\ + & = \clsseq{a_{n}}{n} + \left(\clsseq{b_{n}}{n} + \clsseq{c_{n}}{n}\right) + \end{align*} + + Vậy phép cộng trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ có tính chất kết hợp. + \item $\clsseq{0}{n}$ là một phần tử của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$. Với mọi phần tử $\clsseq{a_{n}}{n}$ của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, theo định nghĩa phép cộng trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, chúng ta có + \begin{align*} + \clsseq{a_{n}}{n} + \clsseq{0}{n} & = \clsseq{a_{n} + 0}{n} = \clsseq{a_{n}}{n}, \\ + \clsseq{0}{n} + \clsseq{a_{n}}{n} & = \clsseq{0 + a_{n}}{n} = \clsseq{a_{n}}{n}. + \end{align*} + + Vậy $\clsseq{0}{n}$ là một phần tử đồng nhất của phép cộng trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$. + \item Với mỗi phần tử $\clsseq{a_{n}}{n}$ của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, chúng ta có + \begin{align*} + \clsseq{a_{n}}{n} + \clsseq{-a_{n}}{n} & = \clsseq{a_{n} + (-a_{n})}{n} = \clsseq{0}{n}, \\ + \clsseq{-a_{n}}{n} + \clsseq{a_{n}}{n} & = \clsseq{(-a_{n}) + a_{n}}{n} = \clsseq{0}{n}. + \end{align*} + + Vậy mỗi phần tử của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ có phần tử đối. + \item Với mỗi phần tử $\clsseq{a_{n}}{n}, \clsseq{b_{n}}{n}$ của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, theo định nghĩa phép cộng trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ và tính chất giao hoán của phép cộng số hữu tỉ, chúng ta có + \begin{align*} + \clsseq{a_{n}}{n} + \clsseq{b_{n}}{n} & = \clsseq{a_{n} + b_{n}}{n} \\ + & = \clsseq{b_{n} + a_{n}}{n} \\ + & = \clsseq{b_{n}}{n} + \clsseq{a_{n}}{n}. + \end{align*} + + Vậy phép cộng trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ có tính chất giao hoán. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{appendixthm}\label{appendixthm:rational-cauchy-sequences-abelian-group} + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Phép nhân trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ có tính chất kết hợp. + \item Phép nhân trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ có tính chất phân phối với phép cộng trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$. + \item Phép nhân trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ có phần tử đồng nhất, và phần tử này khác với phần tử đồng nhất của phép cộng trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$. + \item Phép nhân trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ có tính chất giao hoán. + \end{enumerate} +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Với mỗi phần tử $\clsseq{a_{n}}{n}, \clsseq{b_{n}}{n}, \clsseq{c_{n}}{n}$ của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, theo định nghĩa phép nhân trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ và tính chất kết hợp của phép nhân số hữu tỉ, chúng ta có + \begin{align*} + \left(\clsseq{a_{n}}{n} \cdot \clsseq{b_{n}}{n}\right) \cdot \clsseq{c_{n}}{n} & = \clsseq{a_{n}b_{n}}{n} \cdot \clsseq{c_{n}}{n} \\ + & = \clsseq{(a_{n}b_{n})c_{n}}{n} \\ + & = \clsseq{a_{n}(b_{n}c_{n})}{n} \\ + & = \clsseq{a_{n}}{n} \cdot \clsseq{b_{n}c_{n}}{n} \\ + & = \clsseq{a_{n}}{n} \cdot \left(\clsseq{b_{n}}{n} \cdot \clsseq{c_{n}}{n}\right) + \end{align*} + + Vậy phép nhân trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ có tính chất kết hợp. + \item Với mỗi phần tử $\clsseq{a_{n}}{n}, \clsseq{b_{n}}{n}, \clsseq{c_{n}}{n}$ của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, theo định nghĩa phép nhân và phép cộng trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ và tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng số hữu tỉ, chúng ta có + \begin{align*} + \left(\clsseq{a_{n}}{n} + \clsseq{b_{n}}{n}\right) \cdot \clsseq{c_{n}}{n} & = \clsseq{a_{n} + b_{n}}{n} \cdot \clsseq{c_{n}}{n} \\ + & = \clsseq{(a_{n}+ b_{n})c_{n}}{n} \\ + & = \clsseq{a_{n}c_{n} + b_{n}c_{n}}{n} \\ + & = \clsseq{a_{n}c_{n}}{n} + \clsseq{b_{n}c_{n}}{n} \\ + & = \clsseq{a_{n}}{n} \cdot \clsseq{c_{n}}{n} + \clsseq{b_{n}}{n} \cdot \clsseq{c_{n}}{n}. + \end{align*} + + Hoàn toàn tương tự, chúng ta cũng chứng minh được rằng + \[ + \clsseq{c_{n}}{n}\cdot \left(\clsseq{a_{n}}{n} + \clsseq{b_{n}}{n}\right) = \clsseq{c_{n}}{n} \cdot \clsseq{a_{n}}{n} + \clsseq{c_{n}}{n} \cdot \clsseq{b_{n}}{n}. + \] + + Vậy phép nhân trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ có tính chất phân phối với phép cộng trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$. + \item $\clsseq{1}{n}$ là một phần tử của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$. Với mọi phần tử $\clsseq{a_{n}}{n}$ của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, theo định nghĩa phép nhân trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, chúng ta có + \begin{align*} + \clsseq{a_{n}}{n}\cdot \clsseq{1}{n} & = \clsseq{a_{n}\cdot 1}{n} = \clsseq{a_{n}}{n}, \\ + \clsseq{1}{n}\cdot \clsseq{a_{n}}{n} & = \clsseq{1\cdot a_{n}}{n} = \clsseq{a_{n}}{n}. + \end{align*} + + Vậy $\clsseq{1}{n}$ là một phần tử đồng nhất của phép nhân trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$. + + Giả sử phản chứng rằng $\clsseq{1}{n} = \clsseq{0}{n}$. Theo định nghĩa quan hệ $\sim$ trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}$, chúng ta có ${(1)}_{n\in\mathbb{N}} \sim {(0)}_{n\in\mathbb{N}}$. Theo Định lý~\ref{appendixthm:equivalent-rational-sequences}, hai dãy số hữu tỉ ${(1)}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(0)}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến cùng một số hữu tỉ. Điều này là vô lý vì ${(1)}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến $1$, còn ${(0)}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến $0$ và $0\ne 1$. + + Do đó $\clsseq{1}{n}\ne \clsseq{0}{n}$. + \item Với mỗi phần tử $\clsseq{a_{n}}{n}, \clsseq{b_{n}}{n}$ của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, theo định nghĩa phép nhân trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ và tính chất giao hoán của phép nhân số hữu tỉ, chúng ta có + \begin{align*} + \clsseq{a_{n}}{n} \cdot \clsseq{b_{n}}{n} & = \clsseq{a_{n}b_{n}}{n} \\ + & = \clsseq{b_{n}a_{n}}{n} \\ + & = \clsseq{b_{n}}{n} \cdot \clsseq{a_{n}}{n}. + \end{align*} + + Vậy phép nhân trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ có tính chất giao hoán. + \end{enumerate} +\end{proof} + +Trên đây chúng ta đã chứng minh được rằng tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ cùng hai phép toán cộng và nhân thỏa mãn 8 tiên đề đầu tiên trong các tiên đề về trường. Để chứng minh rằng tiên đề thứ 9 cũng được thỏa mãn, chúng ta sử dụng định lý sau. +\begin{appendixthm}\label{appendixthm:nonzero-cauchy-sequences} + Nếu dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không hội tụ đến $0$ thì tồn tại số hữu tỉ dương $\varepsilon$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{n}}\geq \varepsilon$ và $a_{n}\ne 0$. +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + Theo định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ, dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không hội tụ đến $0$ khi và chỉ khi tồn tại số hữu tỉ dương $\varepsilon_{0}$ sao cho với mọi số tự nhiên $N_{a}$, tồn tại số tự nhiên $n\geq N_{a}$, chúng ta có $\abs{a_{n}} \geq \varepsilon_{0}$. ($\star$) + + Theo định nghĩa dãy Cauchy hữu tỉ, với số hữu tỉ dương $\dfrac{\varepsilon_{0}}{2}$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n, m\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{m} - a_{n}} < \dfrac{\varepsilon_{0}}{2}$. ($\star\star$) + + Vì ($\star$) nên với số tự nhiên $N$, tồn tại số tự nhiên $N'\geq N$ sao cho $\abs{a_{N'}} \geq \varepsilon_{0}$. Cùng với ($\star\star$), chúng ta suy ra rằng với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có + \[ + \abs{a_{n}} = \abs{a_{N'} - (a_{N'} - a_{n})} \geq \abs{a_{N'}} - \abs{a_{N'} - a_{n}} \geq \varepsilon_{0} - \frac{\varepsilon_{0}}{2} = \frac{\varepsilon_{0}}{2} > 0. + \] + + Do đó, với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{n}}\ne 0$. Vì giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ bằng $0$ khi và chỉ khi số hữu tỉ đó bằng $0$ nên với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $a_{n}\ne 0$. + + Vậy, với số hữu tỉ dương $\varepsilon = \dfrac{\varepsilon_{0}}{2}$, tồn tại tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{n}}\geq \varepsilon$ và $a_{n}\ne 0$. +\end{proof} + +\begin{appendixthm} + Với mỗi phần tử $\alpha\ne \clsseq{0}{n}$ trong $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, tồn tại phần tử $\beta$ trong $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ sao cho $\alpha\cdot\beta = \beta\cdot\alpha = \clsseq{1}{n}$. +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + Theo định nghĩa quan hệ $\sim$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}$, mọi phần tử của lớp tương đương $\alpha$ đều không tương đương với dãy số hữu tỉ ${(0)}_{n\in\mathbb{N}}$, kéo theo mọi phần tử của lớp tương đương $\alpha$ đều không hội tụ đến $0$. + + Chúng ta chọn ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một phần tử của lớp tương đương $\alpha$. Vì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không hội tụ đến $0$ nên theo Định lý~\ref{appendixthm:nonzero-cauchy-sequences}, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $a_{n}\ne 0$. Chúng ta định nghĩa dãy số hữu tỉ ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ như sau. + \[ + b_{n} = \begin{cases} + 0 & \text{nếu $n < N$} \\ + \dfrac{1}{a_{n}} & \text{nếu $n\geq N$} + \end{cases} + \] + + Chúng ta chứng minh ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ. + + Chúng ta chọn số hữu tỉ dương $\varepsilon$ bất kì. Theo Định lý~\ref{appendixthm:nonzero-cauchy-sequences}, tồn tại số hữu tỉ dương $\varepsilon_{0}$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N'$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N'$, chúng ta có $\abs{a_{n}}\geq \varepsilon_{0}$. Theo định nghĩa dãy Cauchy hữu tỉ, với số hữu tỉ dương $\varepsilon\cdot{\varepsilon_{0}}^{2}$, tồn tại số tự nhiên $N_{a}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n, m\geq N_{a}$, chúng ta có $\abs{a_{m} - a_{n}} < \varepsilon\cdot{\varepsilon_{0}}^{2}$. + + Chúng ta định nghĩa $N'' = \max\{ N_{a}, N' \}$. Với mọi số tự nhiên $n, m\geq N''$, chúng ta có $\abs{a_{m} - a_{n}} < \varepsilon\cdot{\varepsilon_{0}}^{2}$, $\abs{a_{n}}\geq\varepsilon_{0}$, và + \[ + \abs{b_{m} - b_{n}} = \abs{\frac{1}{a_{m}} - \frac{1}{a_{n}}} = \abs{\frac{a_{m} - a_{n}}{a_{m}a_{n}}} = \frac{\abs{a_{m} - a_{n}}}{\abs{a_{m}}\abs{a_{n}}} < \frac{\varepsilon\cdot{\varepsilon_{0}}^{2}}{{\varepsilon_{0}}^{2}} = \varepsilon. + \] + + Do đó ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ. + + Mặt khác, ${(a_{n}b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy số hữu tỉ dừng, vì với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $a_{n}b_{n} = 1$. Do đó, ${(a_{n}b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến $1$. Theo định nghĩa của phép nhân trong $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, chúng ta suy ra + \[ + \begin{split} + \alpha\cdot\beta = \clsseq{a_{n}}{n}\cdot\clsseq{b_{n}}{n} = \clsseq{a_{n}b_{n}}{n} = \clsseq{1}{n}, \\ + \beta\cdot\alpha = \clsseq{b_{n}}{n}\cdot\clsseq{a_{n}}{n} = \clsseq{b_{n}a_{n}}{n} = \clsseq{1}{n}. + \end{split} + \] + + Vậy, với mỗi phần tử $\alpha\ne \clsseq{0}{n}$ trong $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, tồn tại phần tử $\beta$ trong $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ sao cho $\alpha\cdot\beta = \beta\cdot\alpha = \clsseq{1}{n}$. +\end{proof} + +Đến lúc này, chúng ta đã chứng minh được rằng tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ cùng hai phép toán cộng và nhân thỏa mãn các tiên đề về trường. + +\section{Quan hệ tiền thứ tự giữa các dãy Cauchy hữu tỉ} + +Trong nội dung này, chúng ta định nghĩa một \textit{quan hệ tiền thứ tự} giữa các dãy Cauchy hữu tỉ để từ đó định nghĩa một \textit{quan hệ thứ tự} giữa các phần tử của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$. + +\begin{definition} + ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là hai dãy Cauchy hữu tỉ. + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chúng ta nói ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ có quan hệ $\lesssim$ nếu và chỉ nếu\index{Quan hệ tiền thứ tự giữa các dãy Cauchy hữu tỉ} ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ \textbf{tương đương} với ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hoặc tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $a_{n}\leq b_{n}$. + \item Chúng ta nói ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ có quan hệ $<$ nếu và chỉ nếu ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ \textbf{không tương đương} với ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\leq {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +Theo định nghĩa trên, quan hệ $<$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}$ là trường hợp riêng của quan hệ $\lesssim$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}$. + +Để chứng minh các tính chất của quan hệ $<, \lesssim$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}$, chúng ta mở rộng Định lý~\ref{appendixthm:nonzero-cauchy-sequences} thành định lý sau. Chứng minh của định lý sau là chứng minh của Định lý~\ref{appendixthm:nonzero-cauchy-sequences} sau khi được bổ sung. +\begin{appendixthm}\label{appendixthm:nonzero-cauchy-sequences-and-preorder} + Nếu dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không hội tụ đến $0$ thì có đúng một trong hai khả năng sau + \begin{itemize} + \item Tồn tại số hữu tỉ dương $q$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $a_{n}\geq q$. + \item Tồn tại số hữu tỉ dương $q$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $a_{n}\leq -q$. + \end{itemize} +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + Theo định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ, dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không hội tụ đến $0$ khi và chỉ khi tồn tại số hữu tỉ dương $\varepsilon_{0}$ sao cho với mọi số tự nhiên $N_{a}$, tồn tại số tự nhiên $n\geq N_{a}$, chúng ta có $\abs{a_{n}} \geq \varepsilon_{0}$. ($\star$) + + Theo định nghĩa dãy Cauchy hữu tỉ, với số hữu tỉ dương $\dfrac{\varepsilon_{0}}{2}$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n, m\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{m} - a_{n}} < \dfrac{\varepsilon_{0}}{2}$. ($\star\star$) + + Vì ($\star$) nên với số tự nhiên $N$, tồn tại số tự nhiên $N'\geq N$ sao cho $\abs{a_{N'}} \geq \varepsilon_{0}$. Cùng với ($\star\star$), chúng ta suy ra rằng với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có + \[ + \abs{a_{n}} = \abs{a_{N'} - (a_{N'} - a_{n})} \geq \abs{a_{N'}} - \abs{a_{N'} - a_{n}} \geq \varepsilon_{0} - \frac{\varepsilon_{0}}{2} = \frac{\varepsilon_{0}}{2} > 0. + \] + + Do đó, với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{n}}\ne 0$. Vì giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ bằng $0$ khi và chỉ khi số hữu tỉ đó bằng $0$ nên với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $a_{n}\ne 0$. + + Theo định nghĩa dãy Cauchy hữu tỉ, với số hữu tỉ dương $\dfrac{\varepsilon_{0}}{4}$, tồn tại số tự nhiên $N''$ sao cho với mọi số tự nhiên $n, m\geq N''$, chúng ta có $\abs{a_{m} - a_{n}} < \dfrac{\varepsilon_{0}}{4}$. Chúng ta chọn $N_{0} = \max\{ N, N'' \}$. Khi đó, với mọi số tự nhiên $n, m\geq N_{0}$, có $\abs{a_{m} - a_{n}} < \dfrac{\varepsilon_{0}}{4}$ và $\abs{a_{n}}\geq\dfrac{\varepsilon_{0}}{2}$. Vì $\abs{a_{N_{0}}}\geq\dfrac{\varepsilon_{0}}{2}$ và $a_{N_{0}}\ne 0$ nên chỉ có thể xảy ra một trong hai khả năng sau: + \begin{enumerate}[label={\textbf{Khả năng \arabic*.}},itemindent=2cm] + \item $a_{N_{0}}\geq \dfrac{\varepsilon_{0}}{2}$. + + Với mọi $n\geq N_{0}$, chúng ta có + \begin{align*} + a_{n} & = (a_{n} - a_{N_{0}}) + a_{N_{0}} \geq -\abs{a_{n} - a_{N_{0}}} + \frac{\varepsilon_{0}}{2} \geq -\frac{\varepsilon_{0}}{4} + \frac{\varepsilon_{0}}{2} = \frac{\varepsilon_{0}}{4}. + \end{align*} + + Do đó, với số hữu tỉ dương $q = \dfrac{\varepsilon_{0}}{4}$, tồn tại số tự nhiên $N_{0}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{0}$, có $a_{n}\geq q$. + \item $a_{N_{0}}\leq -\dfrac{\varepsilon_{0}}{2}$. + + Với mọi $n\geq N_{0}$, chúng ta có + \begin{align*} + a_{n} & = (a_{n} - a_{N_{0}}) + a_{N_{0}} \leq \abs{a_{n} - a_{N_{0}}} + \left(-\frac{\varepsilon_{0}}{2}\right) \leq \frac{\varepsilon_{0}}{4} + \left(-\frac{\varepsilon_{0}}{2}\right) = -\frac{\varepsilon_{0}}{4}. + \end{align*} + + Do đó, với số hữu tỉ dương $q = \dfrac{\varepsilon_{0}}{4}$, tồn tại số tự nhiên $N_{0}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{0}$, có $a_{n}\leq -q$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +Bằng định lý trên, chúng ta chứng minh được điều kiện cần và đủ để hai dãy Cauchy hữu tỉ có quan hệ $<$. + +\begin{appendixthm}\label{appendixthm:strictly-precedence-cauchy-sequence} + Hai dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thỏa mãn ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ khi và chỉ khi tồn tại số hữu tỉ dương $q$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $a_{n} - b_{n}\leq -q$. Bằng kí hiệu hình thức, điều kiện trên được viết như sau: + \[ + \exists q > 0 \Biggl( \exists N \bigl( \forall n\geq N (a_{n} - b_{n}\leq -q) \bigr) \Biggr). + \] +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + ($\Rightarrow$) ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + + Theo định nghĩa quan hệ $<$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}$, hai dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không tương đương. Theo định nghĩa quan hệ tương đương giữa các dãy số hữu tỉ, dãy số hữu tỉ ${(a_{n} - b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không hội tụ đến $0$. Theo Định lý~\ref{appendixthm:nonzero-cauchy-sequences-and-preorder}, chỉ có một trong hai khả năng sau + \begin{enumerate}[label={\textbf{Khả năng \arabic*.}},itemindent=2cm] + \item Tồn tại số hữu tỉ dương $q$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $a_{n} - b_{n}\geq q$. + \item Tồn tại số hữu tỉ dương $q$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $a_{n} - b_{n}\leq -q$. + \end{enumerate} + + Giả sử phản chứng rằng \textbf{Khả năng 1} xảy ra: Tồn tại số hữu tỉ dương $q$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $a_{n} - b_{n}\geq q$. + + Mặt khác, theo định nghĩa quan hệ $<$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}$, vì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ nên tồn tại số tự nhiên $N_{ab}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{ab}$, có $a_{n}\leq b_{n}$. + + Chúng ta chọn $m$ là một số tự nhiên lớn hơn $N$ và $N_{ab}$, khi đó $a_{m} > b_{m}$ (vì $a_{m} - b_{m}\geq q$) và $a_{m}\leq b_{m}$. Đây là một điều vô lý vì chỉ có đúng một trong hai mệnh đề $a_{m} > b_{m}$ và $a_{m}\leq b_{m}$ là đúng. Do đó giả sử phản chứng là sai. + + Như vậy chỉ có \textbf{Khả năng 2}: Tồn tại số hữu tỉ dương $q$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $a_{n} - b_{n}\leq -q$. + + \bigskip + + ($\Leftarrow$) Tồn tại số hữu tỉ dương $q$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $a_{n} - b_{n} < -q$. + + Từ điều trên, chúng ta suy ra rằng với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $a_{n}\leq b_{n}$ (vì $a_{n} - b_{n} < -q < 0$). Theo định nghĩa quan hệ $\lesssim$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}$, chúng ta suy ra ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + + Mặt khác, với số hữu tỉ dương $q$, với mọi số tự nhiên $N'$, tồn tại số tự nhiên $n\geq N'$ sao cho $\abs{a_{n} - b_{n}}\geq q$ (một số tự nhiên $n$ như vậy chính là $\max\{ N, N' \}$). Bằng kí hiệu hình thức, phát biểu vừa rồi được viết là + \[ + \exists \varepsilon > 0\Biggl( \forall N' \bigl( \exists n\geq N'( \abs{a_{n} - b_{n}} \geq \varepsilon ) \bigr) \Biggr) + \] + + Điều trên có nghĩa là dãy số hữu tỉ ${(a_{n} - b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không hội tụ đến $0$, kéo theo hai dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không tương đương. + + Theo định nghĩa quan hệ $<$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}$, chúng ta suy ra ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + + \bigskip + + Vậy hai dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thỏa mãn ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ khi và chỉ khi tồn tại số hữu tỉ dương $q$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $a_{n} - b_{n}\leq -q$. +\end{proof} + +\begin{appendixthm} + Quan hệ $\lesssim$ giữa các dãy Cauchy hữu tỉ là một quan hệ tiền thứ tự toàn phần. +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + Với mỗi dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, chúng ta có ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} \sim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Theo định nghĩa quan hệ $\lesssim$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}$, ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} \lesssim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Do đó quan hệ $\lesssim$ có tính chất phản xạ. + + Nếu các dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}, {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}, {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thỏa mãn ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thì chúng ta xét đủ các trường hợp sau: + \begin{enumerate}[label={\textbf{Trường hợp \arabic*.}},itemindent=2cm] + \item ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + + Vì quan hệ $\sim$ giữa các dãy Cauchy hữu tỉ là một quan hệ tương đương nên theo tính chất bắc cầu, chúng ta suy ra ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Theo định nghĩa quan hệ $\lesssim$ giữa các dãy Cauchy hữu tỉ, ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \item ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + + Theo Định lý~\ref{appendixthm:strictly-precedence-cauchy-sequence}, tồn tại số hữu tỉ dương $q$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N_{bc}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{bc}$, có $b_{n} - c_{n}\leq -q$. + + Theo định nghĩa quan hệ tương đương giữa các dãy số hữu tỉ, vẫn là với số hữu tỉ dương $q$, tồn tại số tự nhiên $N_{ab}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{ab}$, có $\abs{a_{n} - b_{n}} < q$. + + Chúng ta định nghĩa $N = \max\{ N_{bc}, N_{ab} \}$. Khi đó, với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $b_{n} - c_{n}\leq -q$, $\abs{a_{n} - b_{n}} < q$, và + \[ + a_{n} - c_{n} = (a_{n} - b_{n}) + (b_{n} - c_{n})\leq \abs{a_{n} - b_{n}} + (b_{n} - c_{n})\leq q + (-q) = 0 + \] + + hay nói cách khác, $a_{n}\leq c_{n}$ với mọi số tự nhiên $n\geq N$. + + Theo định nghĩa quan hệ $\lesssim$ giữa các dãy Cauchy hữu tỉ, ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \item ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + + Chúng ta thực hiện hoàn toàn tương tự \textbf{Trường hợp 2}. + + Theo Định lý~\ref{appendixthm:strictly-precedence-cauchy-sequence}, tồn tại số hữu tỉ dương $q$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N_{ab}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{ab}$, có $a_{n} - b_{n}\leq -q$. + + Theo định nghĩa quan hệ tương đương giữa các dãy số hữu tỉ, vẫn là với số hữu tỉ dương $q$, tồn tại số tự nhiên $N_{bc}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{bc}$, có $\abs{b_{n} - c_{n}} < q$. + + Chúng ta định nghĩa $N = \max\{ N_{ab}, N_{bc} \}$. Khi đó, với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $a_{n} - b_{n}\leq -q$, $\abs{b_{n} - c_{n}} < q$, và + \[ + a_{n} - c_{n} = (a_{n} - b_{n}) + (b_{n} - c_{n})\leq (a_{n} - b_{n}) + \abs{b_{n} - c_{n}}\leq (-q) + q = 0 + \] + + hay nói cách khác, $a_{n}\leq c_{n}$ với mọi số tự nhiên $n\geq N$. + + Theo định nghĩa quan hệ $\lesssim$ giữa các dãy Cauchy hữu tỉ, ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \item ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + + Theo Định lý~\ref{appendixthm:strictly-precedence-cauchy-sequence} + \begin{itemize} + \item tồn tại số hữu tỉ dương $q_{ab}$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N_{ab}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{ab}$, có $a_{n} - b_{n}\leq -q_{ab}$, + \item tồn tại số hữu tỉ dương $q_{bc}$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N_{bc}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{bc}$, có $b_{n} - c_{n}\leq -q_{bc}$. + \end{itemize} + + Chúng ta định nghĩa $q = q_{ab} + q_{bc}$, $N = \max\{ N_{ab}, N_{bc} \}$. Với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có + \[ + a_{n} - c_{n} = (a_{n} - b_{n}) + (b_{n} - c_{n}) \leq (-q_{ab}) + (-q_{bc}) = -q. + \] + + Theo Định lý~\ref{appendixthm:strictly-precedence-cauchy-sequence}, chúng ta suy ra ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, kéo theo ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \end{enumerate} + + Các trường hợp khẳng định rằng quan hệ $\lesssim$ giữa các dãy Cauchy hữu tỉ có tính chất bắc cầu. Đến lúc này, chúng ta đã chứng minh quan hệ $\lesssim$ giữa các dãy Cauchy hữu tỉ là một quan hệ tiền thứ tự. + + Xét hai dãy Cauchy hữu tỉ bất kì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Theo Hệ quả~\ref{corollary:linear-combination-of-cauchy-sequences}, ${(a_{n} - b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ. Chúng ta xét các trường hợp sau. + \begin{enumerate}[label={\textbf{Trường hợp \arabic*.}},itemindent=2cm] + \item ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ tương đương. + + Theo định nghĩa quan hệ $\lesssim$ giữa các dãy Cauchy hữu tỉ, chúng ta suy ra ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \item ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không tương đương. + + Khi đó, dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n} - b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không hội tụ đến $0$. Theo Định lý~\ref{appendixthm:nonzero-cauchy-sequences-and-preorder}, chỉ có một trong hai khả năng sau: + \begin{itemize} + \item Tồn tại số hữu tỉ dương $q$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $a_{n} - b_{n}\geq q$. + + Theo Định lý~\ref{appendixthm:strictly-precedence-cauchy-sequence}, khả năng này tương đương với ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, kéo theo ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \item Tồn tại số hữu tỉ dương $q$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $a_{n} - b_{n}\leq -q$. + + Theo Định lý~\ref{appendixthm:strictly-precedence-cauchy-sequence}, khả năng này tương đương với ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, kéo theo ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \end{itemize} + \end{enumerate} + + Cả hai trường hợp đều kéo theo ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hoặc ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + + Như vậy, quan hệ $\lesssim$ trên tập hợp các dãy số Cauchy hữu tỉ là một quan hệ tiền thứ tự toàn phần. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Nếu ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là sai thì ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. +\end{corollary} + +Tuy quan hệ $\lesssim$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}$ không phải một quan hệ thứ tự vì thiếu tính chất phản đối xứng, nhưng quan hệ này có một tính chất gần với tính chất phản đối xứng, được nêu trong định lý sau. + +\begin{appendixthm}\label{appendixthm:cauchy-sequences-pre-antisymmetric} + Nếu hai dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thỏa mãn ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + Giả sử phản chứng rằng hai dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không tương đương. + + Cùng với giả thiết ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, chúng ta suy ra ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Theo Định lý~\ref{appendixthm:strictly-precedence-cauchy-sequence}, chúng ta suy ra + \begin{itemize} + \item Tồn tại số hữu tỉ dương $q_{1}$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N_{1}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{1}$, có $a_{n} - b_{n}\leq -q_{1}$. + \item Tồn tại số hữu tỉ dương $q_{2}$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N_{2}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{2}$, có $b_{n} - a_{n}\leq -q_{2}$. + \end{itemize} + + Chúng ta định nghĩa $N = \max\{ N_{1}, N_{2} \}$. Khi đó, $a_{N} - b_{N}\leq -q_{1}$ và $b_{N} - a_{N}\leq -q_{2}$, kéo theo $a_{N} < b_{N}$ và $b_{N} < a_{N}$. Đây là một điều vô lý vì $a_{N} < b_{N}$ và $b_{N} < a_{N}$ không thể xảy ra đồng thời. Do đó giả sử phản chứng là sai. + + Vậy nếu hai dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thỏa mãn ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. +\end{proof} + +Với các định lý trên, chúng ta đã có đủ cơ sở và công cụ để định nghĩa và chứng minh các tính chất của quan hệ thứ tự trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$: đó là một quan hệ thứ tự toàn phần và tương thích với hai phép toán cộng và nhân trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$. + +\begin{appendixthm}\label{appendixthm:equivalent-cauchy-sequences-and-preorder} + Nếu các dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, ${(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, ${(d_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thỏa mãn ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(d_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ khi và chỉ khi ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(d_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + Do tính đối xứng trong phát biểu, chúng ta chỉ cần chứng minh ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ kéo theo ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(d_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + + \begin{enumerate}[label={\textbf{Trường hợp \arabic*.}},itemindent=2cm] + \item ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ tương đương. + + Vì quan hệ $\sim$ giữa các dãy Cauchy hữu tỉ là một quan hệ tương đương nên theo tính chất bắc cầu, chúng ta suy ra ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(d_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Theo định nghĩa quan hệ $\lesssim$ giữa các dãy Cauchy hữu tỉ, ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(d_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + + \item ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không tương đương. + + Cùng với ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, chúng ta suy ra ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Theo Định lý~\ref{appendixthm:strictly-precedence-cauchy-sequence}, tồn tại số hữu tỉ dương $q$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N_{ac}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{ac}$, có $a_{n} - c_{n}\leq -q$. + + Vì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(d_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ nên theo định nghĩa quan hệ $\sim$ giữa các dãy số hữu tỉ, chúng ta suy ra + \begin{itemize} + \item Với số hữu tỉ dương $\dfrac{q}{3}$, tồn tại số tự nhiên $N_{ab}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{ab}$, có $\abs{a_{n} - b_{n}} < \dfrac{q}{3}$. + \item Với số hữu tỉ dương $\dfrac{q}{3}$, tồn tại số tự nhiên $N_{cd}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{cd}$, có $\abs{c_{n} - d_{n}} < \dfrac{q}{3}$. + \end{itemize} + + Chúng ta định nghĩa $N = \max\{ N_{ac}, N_{ab}, N_{cd} \}$. Với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có + \[ + b_{n} - d_{n} = (b_{n} - a_{n}) + (a_{n} - c_{n}) + (c_{n} - d_{n}) \leq \abs{b_{n} - a_{n}} + (a_{n} - c_{n}) + \abs{c_{n} - d_{n}} \leq \frac{q}{3} + (-q) + \frac{q}{3} = -\frac{q}{3} + \] + + Theo Định lý~\ref{appendixthm:strictly-precedence-cauchy-sequence}, chúng ta suy ra ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(d_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, kéo theo ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(d_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \end{enumerate} + + Như vậy, nếu ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, ${(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, ${(d_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là các dãy Cauchy hữu tỉ thỏa mãn ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(d_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ kéo theo ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(d_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Tương tự, theo chiều ngược lại, chúng ta cũng có ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(d_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ kéo theo ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. +\end{proof} + +Định lý trên được sử dụng làm cơ sở cho định nghĩa sau. +\begin{definition} + Hai phần tử $\alpha, \beta$ của tập thương $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ được gọi là có quan hệ $\leq$ nếu và chỉ nếu với mỗi dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ trong $\alpha$ và dãy Cauchy hữu tỉ ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ trong $\beta$, chúng ta có ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. +\end{definition} + +\begin{appendixthm}\label{appendixthm:preorder-to-order} + Nếu hai dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thỏa mãn ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thì $\clsseq{a_{n}}{n}\leq \clsseq{b_{n}}{n}$. +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + Giả sử ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ tương đương với ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, và ${(y_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ tương đương với ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + + Theo Định lý~\ref{appendixthm:equivalent-cauchy-sequences-and-preorder}, ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ kéo theo ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(y_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + + Vì chúng ta đang xét các dãy Cauchy hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(y_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bất kì từ hai lớp tương đương $\clsseq{a_{n}}{n}$ và $\clsseq{b_{n}}{n}$ nên theo định nghĩa quan hệ $\leq$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, chúng ta suy ra $\clsseq{a_{n}}{n}\leq \clsseq{b_{n}}{n}$. +\end{proof} + +\begin{appendixthm} + Quan hệ $\leq$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ là một quan hệ thứ tự toàn phần. +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + Với mỗi phần tử $\alpha$ của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, chúng ta có $\alpha\leq\alpha$ vì hai phần tử bất kì của lớp tương đương $\alpha$ đều tương đương với nhau (và vì vậy có quan hệ $\lesssim$). Do đó quan hệ $\leq$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ có tính chất phản xạ. + + Nếu các phần tử $\alpha, \beta$ của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ thỏa mãn $\alpha\leq \beta$ và $\beta\leq \alpha$ thì với mỗi phần tử ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ trong lớp tương đương $\alpha$ và phần tử ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ trong lớp tương đương $\beta$, chúng ta có ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Theo Định lý~\ref{appendixthm:cauchy-sequences-pre-antisymmetric}, ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, kéo theo $\alpha = \beta$. Do đó quan hệ $\leq$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ có tính chất phản đối xứng. + + Nếu các phần tử $\alpha, \beta, \gamma$ của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ thỏa mãn $\alpha\leq \beta$ và $\beta\leq \gamma$ thì với mỗi phần tử ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ trong lớp tương đương $\alpha$, phần tử ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ trong lớp tương đương $\beta$, phần tử ${(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ trong lớp tương đương $\gamma$, chúng ta có ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Vì quan hệ $\lesssim$ trong tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ có tính chất bắc cầu nên ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Theo Định lý~\ref{appendixthm:preorder-to-order}, chúng ta suy ra $\alpha\leq \gamma$. Do đó quan hệ $\leq$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ có tính chất bắc cầu. + + Như vậy quan hệ $\leq$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ là một quan hệ thứ tự. + + Xét hai phần tử bất kì $\alpha$ và $\beta$ trong $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$. Với mỗi phần tử ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ trong lớp tương đương $\alpha$, phần tử ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ trong lớp tương đương $\beta$, chúng ta có ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hoặc ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ vì quan hệ $\lesssim$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ là một quan hệ thứ tự toàn phần. Theo Định lý~\ref{appendixthm:preorder-to-order}, chúng ta suy ra $\alpha\leq \beta$ hoặc $\beta\leq \alpha$. + + Vậy quan hệ $\leq$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ là một quan hệ thứ tự toàn phần. +\end{proof} + +\begin{appendixthm}\label{appendixthm:addition-multiplication-and-preorder-of-cauchy-sequences} + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Nếu các dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}, {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thỏa mãn ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thì với mọi dãy Cauchy hữu tỉ ${(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, chúng ta có ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} + {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} + {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \item Nếu các dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}, {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thỏa mãn ${(0)}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(0)}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thì chúng ta có ${(0)}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\cdot {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \end{enumerate} +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chúng ta xét đủ hai trường hợp sau. + \begin{enumerate}[label={\textbf{Trường hợp \arabic*.}},itemindent=1cm] + \item ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ tương đương. + + Cùng với ${(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, theo Định lý~\ref{appendixthm:basis-of-equivalence-class-of-rational-cauchy-sequences-addition}, chúng ta suy ra ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} + {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} + {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Điều này kéo theo ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} + {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} + {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \item ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không tương đương. + + Vì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không tương đương nên ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Theo Định lý~\ref{appendixthm:strictly-precedence-cauchy-sequence}, tồn tại số hữu tỉ dương $q$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $a_{n} - b_{n}\leq -q$. Từ điều này, chúng ta suy ra rằng: với số hữu tỉ dương $q$, với số tự nhiên $N$ thì với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $(a_{n} + c_{n}) - (b_{n} + c_{n}) = a_{n} - b_{n}\leq -q$. Một lần nữa, cũng theo Định lý~\ref{appendixthm:strictly-precedence-cauchy-sequence}, chúng ta suy ra ${(a_{n} + c_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(b_{n} + c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + + Mặt khác, theo định nghĩa phép cộng dãy Cauchy hữu tỉ trong Định lý~\ref{appendixthm:addition-and-multiplication-of-cauchy-sequences}, chúng ta có + \[ + {(a_{n} + c_{n})}_{n\in\mathbb{N}} = {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} + {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}},\qquad {(b_{n} + c_{n})}_{n\in\mathbb{N}} = {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} + {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}. + \] + + Do đó ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} + {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} + {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, kéo theo ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} + {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} + {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \end{enumerate} + \item Chúng ta xét đủ hai trường hợp sau. + \begin{enumerate}[label={\textbf{Trường hợp \arabic*.}},itemindent=1cm] + \item ${(0)}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hoặc ${(0)}_{n\in\mathbb{N}} \sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ (ít nhất một trong hai mệnh đề này đúng). + + Không mất tính tổng quát, giả sử ${(0)}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Chúng ta chọn số hữu tỉ dương $\varepsilon$ bất kì. + + Vì ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ nên theo Định lý~\ref{appendixthm:cauchy-sequences-are-bounded}, tồn tại một số hữu tỉ dương $B$ sao cho $\abs{b_{n}}\leq B$ với mọi số tự nhiên $n$. Mặt khác, ${(0)}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, do đó, theo định nghĩa quan hệ $\sim$ giữa các dãy số hữu tỉ, với số hữu tỉ dương $\dfrac{\varepsilon}{B}$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $\abs{a_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{B}$. Do đó, với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có + \[ + \abs{a_{n}b_{n} - 0} = \abs{a_{n}b_{n}} = \abs{a_{n}}\cdot\abs{b_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{B}\cdot B = \varepsilon. + \] + + Theo định nghĩa quan hệ $\sim$ giữa các dãy số hữu tỉ, chúng ta suy ra ${(a_{n}b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(0)}_{n\in\mathbb{N}}$. Bên cạnh đó, theo định nghĩa phép nhân dãy Cauchy hữu tỉ trong Định lý~\ref{appendixthm:addition-and-multiplication-of-cauchy-sequences}, ${(a_{n}b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} = {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\cdot {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Do vậy ${(0)}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\cdot {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, kéo theo ${(0)}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\cdot {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \item ${(0)}_{n\in\mathbb{N}} < {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(0)}_{n\in\mathbb{N}} < {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + + Theo Định lý~\ref{appendixthm:strictly-precedence-cauchy-sequence}, chúng ta suy ra + \begin{itemize} + \item tồn tại số hữu tỉ dương $a$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N_{a}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{a}$, có $-a_{n}\leq -a$, + \item tồn tại số hữu tỉ dương $a$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N_{b}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{b}$, có $-b_{n}\leq -b$. + \end{itemize} + + Chúng ta định nghĩa $q = ab$ và $N = \max\{ N_{a}, N_{b} \}$. Với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $a_{n}\geq 0, b_{n}\geq 0$ và $a_{n}b_{n}\geq a_{n}b \geq ab$, kéo theo $-a_{n}b_{n}\leq -ab = -q$. Theo Định lý~\ref{appendixthm:strictly-precedence-cauchy-sequence}, chúng ta suy ra ${(0)}_{n\in\mathbb{N}} < {(a_{n}b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Theo định nghĩa phép nhân dãy Cauchy hữu tỉ trong Định lý~\ref{appendixthm:addition-and-multiplication-of-cauchy-sequences}, ${(a_{n}b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} = {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\cdot {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Do vậy ${(0)}_{n\in\mathbb{N}} < {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\cdot {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, kéo theo ${(0)}_{n\in\mathbb{N}} \lesssim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\cdot {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \end{enumerate} + + Như vậy, nếu các dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thỏa mãn ${(0)}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(0)}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thì ${(0)}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\cdot {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{appendixthm} + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Nếu các phần tử $\alpha, \beta$ của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ thỏa mãn $\alpha\leq \beta$ thì với mọi phần tử $\gamma$ của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, chúng ta có $\alpha + \gamma\leq \beta + \gamma$. + \item Nếu các phần tử $\alpha, \beta$ của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ thỏa mãn $\clsseq{0}{n} \leq \alpha$ và $\clsseq{0}{n}\leq \beta$ thì chúng ta có $\clsseq{0}{n}\leq \alpha\cdot\beta$. + \end{enumerate} +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(y_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ lần lượt là hai phần tử của hai lớp tương đương $\alpha + \gamma$ và $\beta + \gamma$. + + ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}, {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}, {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ lần lượt là các phần tử của các lớp tương đương $\alpha, \beta, \gamma$. Khi đó + \[ + \begin{split} + \alpha + \gamma = \clsseq{a_{n}}{n} + \clsseq{c_{n}}{n} = \clsseq{a_{n} + c_{n}}{n}, \\ + \beta + \gamma = \clsseq{b_{n}}{n} + \clsseq{c_{n}}{n} = \clsseq{b_{n} + c_{n}}{n}. + \end{split} + \] + + Theo định nghĩa quan hệ $\leq$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, chúng ta có ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} \lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Theo Định lý~\ref{appendixthm:addition-multiplication-and-preorder-of-cauchy-sequences}, chúng ta suy ra ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} + {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} + {(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Với những điều trên, theo Định lý~\ref{appendixthm:preorder-to-order}, chúng ta suy ra $\alpha + \gamma \leq \beta + \gamma$. + + Như vậy, với hai phần tử ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(y_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bất kì của hai lớp tương đương $\alpha + \gamma$ và $\beta + \gamma$, chúng ta có ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(y_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, điều này có nghĩa là $\alpha + \gamma \leq \beta + \gamma$. + \item ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}, {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ lần lượt là các phần tử của các lớp tương đương $\alpha, \beta$. Theo định nghĩa quan hệ $\leq$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, chúng ta có ${(0)}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(0)}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Theo Định lý~\ref{appendixthm:addition-multiplication-and-preorder-of-cauchy-sequences} và định nghĩa phép nhân dãy Cauchy hữu tỉ, chúng ta suy ra ${(0)}_{n\in\mathbb{N}} \lesssim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\cdot{(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} = {(a_{n}b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + + Mặt khác, theo Định lý~\ref{appendixthm:preorder-to-order} và định nghĩa phép nhân dãy Cauchy hữu tỉ và phép nhân trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, chúng ta có + \begin{align*} + \clsseq{0}{n} \leq \clsseq{a_{n}b_{n}}{n} = \clsseq{a_{n}}{n}\cdot\clsseq{b_{n}}{n} = \alpha\cdot\beta. + \end{align*} + + Vậy nếu các phần tử $\alpha, \beta$ của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ thỏa mãn $\clsseq{0}{n} \leq \alpha$ và $\clsseq{0}{n}\leq \beta$ thì chúng ta có $\clsseq{0}{n}\leq \alpha\cdot\beta$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\section{Dãy Cauchy hữu tỉ và tiên đề về cận trên} + +Chúng ta chứng minh $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ cùng các phép toán và quan hệ thứ tự đã chỉ ra trên đây thỏa mãn tiên đề về cận trên. Để kiểm chứng sự thỏa mãn tiên đề về cận trên, chúng ta cũng thực hiện theo hai bước giống như với các tiên đề về trường và các tiên đề về thứ tự: Chứng minh phát biểu dành cho dãy Cauchy hữu tỉ trước, sau đó chứng minh cho lớp tương đương của các các Cauchy hữu tỉ. Tuy nhiên, chúng tôi phát biểu định lý cho lớp tương đương của các các Cauchy hữu tỉ trước. + +\begin{appendixthm}\label{appendixthm:equivalence-class-cauchy-sequence-and-the-axioms-of-completeness} + $S$ là một tập hợp con khác rỗng của tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ và $S$ bị chặn trên thì $S$ có cận trên nhỏ nhất. +\end{appendixthm} + +\begin{appendixthm}\label{appendixthm:cauchy-sequence-and-the-axioms-of-completeness} + $S$ là một tập hợp khác rỗng với các phần tử là các dãy Cauchy hữu tỉ. $S$ có cận trên là một dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Khi đó, tồn tại một dãy Cauchy hữu tỉ ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ sao cho + \begin{itemize} + \item ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một cận trên của $S$. + \item Nếu dãy Cauchy hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thì ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không phải một cận trên của $S$. + \end{itemize} +\end{appendixthm} + +\noindent Chứng minh dưới đây cho định lý trên mang tư tưởng xây dựng. Đây là một chứng minh dài, bạn đọc có thể tạm gác lại phần chứng minh cho các tính chất của hai dãy số hữu tỉ ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(\ell_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ trong chứng minh dưới đây. + +\begin{proof} + Chúng ta chọn ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một phần tử của $S$. Vì các dãy Cauchy hữu tỉ bị chặn nên tồn tại các số hữu tỉ dương $A$ và $A'$ sao cho với mọi số tự nhiên $n$, có $\abs{a_{n}}\leq A$ và $\abs{b_{n}}\leq A'$. Chúng ta chọn số hữu tỉ dương $B$ sao cho $A' < B$. + + Chúng ta định nghĩa \textit{đồng thời} hai dãy số hữu tỉ ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(\ell_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bằng quy nạp như sau + \begin{itemize} + \item $u_{0} = A, \ell_{0} = -B$. + \item Nếu dãy số hữu tỉ dừng ${\left(\dfrac{u_{k}+\ell_{k}}{2}\right)}_{n\in\mathbb{N}}$ là cận trên của $S$ thì $u_{k+1} = \dfrac{u_{k} + \ell_{k}}{2}$ và $\ell_{k+1} = \ell_{k}$. + \item Còn nếu dãy số hữu tỉ dừng ${\left(\dfrac{u_{k}+\ell_{k}}{2}\right)}_{n\in\mathbb{N}}$ không là cận trên của $S$ thì $u_{k+1} = u_{k}$ và $\ell_{k+1} = \dfrac{u_{k} + \ell_{k}}{2}$. + \end{itemize} + + Mục tiêu của chúng ta là chỉ ra ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là dãy Cauchy hữu tỉ thỏa mãn. Trước đó, chúng ta chứng minh một số tính chất của hai dãy số hữu tỉ ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(\ell_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + + \begin{enumerate}[label={\textbf{Tính chất \arabic*.}},itemindent=1.7cm] + \item Với mỗi số tự nhiên $m$ cố định, dãy số hữu tỉ dừng ${(u_{m})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một cận trên của $S$, dãy số hữu tỉ dừng ${(\ell_{m})}_{n\in\mathbb{N}}$ không là cận trên của $S$. + + Khi $m = 0$, ${(u_{0})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một cận trên của $S$, vì $u_{0} = A$ và $\abs{a_{n}}\leq A$ (với mọi số tự nhiên $n$) trong khi ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một cận trên của $S$. ${(\ell_{0})}_{n\in\mathbb{N}}$ không phải một cận trên của $S$, vì $\ell_{0} = -B$ và ${(-B)}_{n\in\mathbb{N}} < {(-A')}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + + Giả sử khi $m = k\geq 0$, ${(u_{k})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một cận trên của $S$ và ${(\ell_{k})}_{n\in\mathbb{N}}$ không là cận trên của $S$. Theo định nghĩa hai dãy số hữu tỉ ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(\ell_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, chúng ta có + \begin{itemize} + \item Nếu dãy số hữu tỉ dừng ${\left(\dfrac{u_{k}+\ell_{k}}{2}\right)}_{n\in\mathbb{N}}$ là cận trên của $S$ thì $u_{k+1} = \dfrac{u_{k} + \ell_{k}}{2}$, $\ell_{k+1} = \ell_{k}$. + + Điều này có nghĩa là ${(u_{k+1})}_{n\in\mathbb{N}}$ là cận trên của $S$. Mặt khác, theo giả thiết quy nạp, ${(\ell_{k})}_{n\in\mathbb{N}}$ không là cận trên của $S$. + \item Nếu dãy số hữu tỉ dừng ${\left(\dfrac{u_{k}+\ell_{k}}{2}\right)}_{n\in\mathbb{N}}$ không là cận trên của $S$ thì $u_{k+1} = u_{k}$, $\ell_{k+1} = \dfrac{u_{k}+\ell_{k}}{2}$. + + Điều này có nghĩa là ${(\ell_{k+1})}_{n\in\mathbb{N}}$ không là cận trên của $S$. Mặt khác, theo giả thiết quy nạp, ${(u_{k+1})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một cận trên của $S$. + \end{itemize} + + Theo nguyên lý quy nạp toán học, với mỗi số tự nhiên $m$ cố định, dãy số hữu tỉ dừng ${(u_{m})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một cận trên của $S$, dãy số hữu tỉ dừng ${(\ell_{m})}_{n\in\mathbb{N}}$ không là cận trên của $S$. + \item Với mọi số tự nhiên $n$, có $\ell_{n}\leq u_{n}$. + + Với $n = 0$, vì $u_{0} = A$ (một số hữu tỉ dương) và $\ell_{0} = -B$ (một số hữu tỉ âm) nên $\ell_{0}\leq u_{0}$. + + Giả sử với $n = k\geq 0$, $\ell_{k}\leq u_{k}$. Theo định nghĩa hai dãy số hữu tỉ ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(\ell_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, chúng ta có + \begin{itemize} + \item Nếu dãy số hữu tỉ dừng ${\left(\dfrac{u_{k}+\ell_{k}}{2}\right)}_{n\in\mathbb{N}}$ là cận trên của $S$ thì $u_{k+1} = \dfrac{u_{k} + \ell_{k}}{2}$ và $\ell_{k+1} = \ell_{k}$. Theo giả thiết quy nạp, chúng ta suy ra $\ell_{k+1}\leq u_{k+1}$. + \item Nếu dãy số hữu tỉ dừng ${\left(\dfrac{u_{k}+\ell_{k}}{2}\right)}_{n\in\mathbb{N}}$ không là cận trên của $S$ thì $u_{k+1} = u_{k}$ và $\ell_{k+1} = \dfrac{u_{k} + \ell_{k}}{2}$. Theo giả thiết quy nạp, chúng ta suy ra $\ell_{k+1}\leq u_{k+1}$. + \end{itemize} + + Theo nguyên lý quy nạp toán học, với mọi số tự nhiên $n$, có $\ell_{n}\leq u_{n}$. + \item ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là dãy không tăng và ${(\ell_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là dãy không giảm. + + Theo định nghĩa hai dãy số hữu tỉ ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(\ell_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, chúng ta có + \begin{itemize} + \item Nếu dãy số hữu tỉ dừng ${\left(\dfrac{u_{k}+\ell_{k}}{2}\right)}_{n\in\mathbb{N}}$ là cận trên của $S$ thì $u_{k+1} = \dfrac{u_{k} + \ell_{k}}{2}$ và $\ell_{k+1} = \ell_{k}$. + + Vì $\ell_{k+1} = \ell_{k}$ nên $\ell_{k}\leq \ell_{k+1}$. Mặt khác, theo \textbf{Tính chất 2}, $\ell_{k}\leq u_{k}$, kéo theo $u_{k+1} = \dfrac{u_{k} + \ell_{k}}{2}\leq u_{k}$. + \item Nếu dãy số hữu tỉ dừng ${\left(\dfrac{u_{k}+\ell_{k}}{2}\right)}_{n\in\mathbb{N}}$ không là cận trên của $S$ thì $u_{k+1} = u_{k}$ và $\ell_{k+1} = \dfrac{u_{k} + \ell_{k}}{2}$. + + Vì $u_{k+1} = u_{k}$ nên $u_{k+1}\leq u_{k}$. Mặt khác, theo \textbf{Tính chất 2}, $\ell_{k}\leq u_{k}$, kéo theo $\ell_{k+1} = \dfrac{u_{k} + \ell_{k}}{2}\geq \ell_{k}$. + \end{itemize} + + Vậy với mọi số tự nhiên $n$, có $u_{n+1}\leq u_{n}$ và $\ell_{n+1}\geq \ell_{n}$, kéo theo ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là dãy không tăng và ${(\ell_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là dãy không giảm. + \item Với mọi số tự nhiên $m, n$, có $\ell_{m}\leq u_{n}$. + + Theo \textbf{Tính chất 2 và 3}, nếu $m\leq n$ thì $\ell_{m}\leq \ell_{n}\leq u_{n}$, còn nếu $m > n$ thì $\ell_{m}\leq u_{m}\leq u_{n}$. + + Vậy với mọi số tự nhiên $m, n$, có $\ell_{m}\leq u_{n}$. + \item Với mọi số tự nhiên $n$, có $u_{n} - \ell_{n} = \dfrac{u_{0} - \ell_{0}}{2^{n}}$. + + Khi $n = 0$, $u_{0} - \ell_{0} = u_{0} - \ell_{0}$. + + Giả sử với $n = k\geq 0$, $u_{k} - \ell_{k} = \dfrac{u_{0} - \ell_{0}}{2^{k}}$. Theo định nghĩa hai dãy số hữu tỉ ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(\ell_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, chúng ta có + \begin{itemize} + \item Nếu dãy số hữu tỉ dừng ${\left(\dfrac{u_{k}+\ell_{k}}{2}\right)}_{n\in\mathbb{N}}$ là cận trên của $S$ thì $u_{k+1} = \dfrac{u_{k} + \ell_{k}}{2}$ và $\ell_{k+1} = \ell_{k}$. + + Cùng với giả thiết quy nạp, chúng ta suy ra $u_{k+1} - \ell_{k+1} = \dfrac{u_{k} - \ell_{k}}{2} = \dfrac{u_{0} - \ell_{0}}{2^{k+1}}$. + \item Nếu dãy số hữu tỉ dừng ${\left(\dfrac{u_{k}+\ell_{k}}{2}\right)}_{n\in\mathbb{N}}$ không là cận trên của $S$ thì $u_{k+1} = u_{k}$ và $\ell_{k+1} = \dfrac{u_{k} + \ell_{k}}{2}$. + + Cùng với giả thiết quy nạp, chúng ta suy ra $u_{k+1} - \ell_{k+1} = \dfrac{u_{k} - \ell_{k}}{2} = \dfrac{u_{0} - \ell_{0}}{2^{k+1}}$. + \end{itemize} + + Theo nguyên lý quy nạp toán học, với mọi số tự nhiên $n$, $u_{n} - \ell_{n} = \dfrac{u_{0} - \ell_{0}}{2^{n}}$. + \item ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(\ell_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là hai dãy Cauchy hữu tỉ tương đương. + + Theo \textbf{Tính chất 5} và bất đẳng thức $n+1\leq 2^{n}$, chúng ta suy ra $u_{n} - \ell_{n}\leq \dfrac{u_{0} - \ell_{0}}{n+1} = \dfrac{A+B}{N+1}$ với mọi số tự nhiên $n$. Chúng ta chọn số hữu tỉ dương $\varepsilon$ bất kì. + + Chúng ta định nghĩa $N = \floor{\dfrac{A+B}{\varepsilon}}$. Với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có + \[ + \abs{u_{n} - \ell_{n}}\leq \frac{A + B}{n+1}\leq \frac{A+B}{\floor{\dfrac{A+B}{\varepsilon}} + 1} < \frac{A+B}{\dfrac{A+B}{\varepsilon}} = \varepsilon. + \] + + Theo định nghĩa quan hệ $\sim$ trên tập hợp các dãy số hữu tỉ, chúng ta suy ra ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(\ell_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là hai dãy số hữu tỉ tương đương. + + Vẫn là với số tự nhiên $N$ được định nghĩa trên, khi đó với mọi số tự nhiên $n\geq N$, với mọi số tự nhiên $p$, và theo \textbf{Tính chất 4}, chúng ta có + \begin{align*} + \abs{u_{n+p} - u_{n}} & = u_{n} - u_{n+p}\leq u_{n} - \ell_{n} < \varepsilon, \\ + \abs{\ell_{n+p} - \ell_{n}} & = \ell_{n+p} - \ell_{n}\leq u_{n} - \ell_{n} < \varepsilon. + \end{align*} + + Do đó ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(\ell_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là hai dãy Cauchy hữu tỉ. + + Như vậy ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(\ell_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là hai dãy Cauchy hữu tỉ tương đương. + \end{enumerate} + + Tiếp theo, chúng ta chứng minh ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(\ell_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là các cận trên của $S$. + + Giả sử phản chứng rằng ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không phải cận trên của $S$. Khi đó, tồn tại dãy Cauchy hữu tỉ ${(s_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thuộc $S$ sao cho ${(s_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Theo Định lý~\ref{appendixthm:strictly-precedence-cauchy-sequence}, tồn tại số hữu tỉ dương $q$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N_{0}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{0}$, có $u_{n} - s_{n}\leq -q$. Mặt khác, vì ${(s_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ nên với số hữu tỉ dương $\dfrac{q}{2}$, tồn tại số tự nhiên $N_{s}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n, m\geq N_{s}$, có $\abs{s_{m} - s_{n}} < \dfrac{-q}{2}$. Chúng ta định nghĩa $N = \max\{ N_{0}, N_{s} \}$, khi đó với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có + \[ + u_{N} - s_{n} = (u_{N} - s_{N}) + (s_{N} - s_{n}) \leq (-q) + \abs{s_{N} - s_{n}} \leq (-q) + \frac{q}{2} = \frac{-q}{2} + \] + + Theo Định lý~\ref{appendixthm:strictly-precedence-cauchy-sequence}, dãy số hữu tỉ dừng ${(u_{N})}_{n\in\mathbb{N}} < {(s_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với \textbf{Tính chất 1} nên giả sử phản chứng là sai. Do đó ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một cận trên của $S$. Mặt khác, vì ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(\ell_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là hai dãy Cauchy hữu tỉ tương đương nên ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(\ell_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là các cận trên của $S$. + + Giả sử dãy Cauchy hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thỏa mãn ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Cùng với việc ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(\ell_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, chúng ta suy ra ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(\ell_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Theo Định lý~\ref{appendixthm:strictly-precedence-cauchy-sequence}, tồn tại số hữu tỉ dương $q'$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N_{1}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N_{1}$, có $x_{n} - \ell_{n}\leq -q'$. Mặt khác, vì ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ nên với số hữu tỉ dương $\dfrac{q'}{2}$, tồn tại số tự nhiên $N_{x}$ sao cho với mọi số tự nhiên $n, m\geq N_{x}$, có $\abs{x_{m} - x_{n}} < \dfrac{-q'}{2}$. Chúng ta định nghĩa $N' = \max\{ N_{1}, N_{x} \}$, khi đó với mọi số tự nhiên $n\geq N'$, chúng ta có + \[ + x_{n} - \ell_{N'} = (x_{n} - x_{N'}) + (x_{N'} - \ell_{N'})\leq \abs{x_{n} - x_{N'}} + (-q')\leq \frac{q'}{2} + (-q') = \frac{-q'}{2} + \] + + Theo Định lý~\ref{appendixthm:strictly-precedence-cauchy-sequence}, dãy số hữu tỉ dừng ${(\ell_{N'})}_{n\in\mathbb{N}} > {(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Theo \textbf{Tính chất 1}, ${(\ell_{N'})}_{n\in\mathbb{N}}$ không là cận trên của $S$. Do đó ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không là cận trên của $S$. + + Như vậy, ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ và là cận trên của $S$, và với mọi dãy Cauchy hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thỏa mãn ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thì ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không phải một cận trên của $S$. +\end{proof} + +\begin{proof}[Chứng minh Định lý~\ref{appendixthm:equivalence-class-cauchy-sequence-and-the-axioms-of-completeness}] + Chúng ta định nghĩa tập hợp $S'$ như sau + \[ + S' = \bigcup_{\xi\in S} \xi + \] + + Các phần tử của $S$ là các lớp tương đương trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}$ theo quan hệ $\sim$, các phần tử của các lớp tương đương này là các dãy Cauchy hữu tỉ. Do đó $\xi$ trong định nghĩa trên là phần tử của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, và tất cả các phần tử của $S'$ là các dãy Cauchy hữu tỉ. + + Giả sử $\alpha$ là một cận trên của $S$ và ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một phần tử của lớp tương đương $\alpha$. Vì $\alpha$ là cận trên của $S$ nên theo định nghĩa quan hệ $\leq$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, mỗi phần tử ${(s_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ của $S'$ đều thỏa mãn ${(s_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Do đó $S'$ bị chặn trên. Theo Định lý~\ref{appendixthm:cauchy-sequence-and-the-axioms-of-completeness}, tồn tại dãy Cauchy hữu tỉ ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ sao cho ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là cận trên của $S'$, và với mọi dãy Cauchy hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thỏa mãn ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thì ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không phải một cận trên của $S'$. Theo Định lý~\ref{appendixthm:preorder-to-order}, $\clsseq{u_{n}}{n}$ là một cận trên của $S$. + + Giả sử $\beta$ là một cận trên của $S$, khi đó mỗi phần tử ${(y_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ của lớp tương đương $\beta$ là một cận trên của $S'$. Theo Định lý~\ref{appendixthm:cauchy-sequence-and-the-axioms-of-completeness}, không thể có ${(y_{n})}_{n\in\mathbb{N}} < {(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Do đó ${(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(y_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Theo Định lý~\ref{appendixthm:preorder-to-order}, $\clsseq{u_{n}}{n}\leq \clsseq{y_{n}}{n}$. Như vậy $\clsseq{u_{n}}{n}$ là cận trên nhỏ nhất của $S$. + + Vậy $S$ có cận trên nhỏ nhất. +\end{proof} + +\section{Liên hệ lớp tương đương các dãy Cauchy hữu tỉ với số hữu tỉ} + +\begin{appendixthm}\label{appendixthm:embed-Q-into-quotient-set-of-rational-cauchy-sequences} + Ánh xạ $\iota: \mathbb{Q}\to \mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ được định nghĩa bởi $\iota(q) = \clsseq{q}{n}$ là một đơn ánh nhưng không phải một song ánh. Bên cạnh đó, với mọi số hữu tỉ $q_{1}, q_{2}$, chúng ta có + \[ + \begin{split} + \iota(q_{1} + q_{2}) = \iota(q_{1}) + \iota(q_{2}), \\ + \iota(q_{1}q_{2}) = \iota(q_{1})\iota(q_{2}), \\ + q_{1}\leq q_{2} \implies \iota(q_{1})\leq \iota(q_{2}). + \end{split} + \] +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + Nếu $\iota(q_{1}) = \iota(q_{2})$ thì $\clsseq{q_{1}}{n} = \clsseq{q_{2}}{n}$, kéo theo ${(q_{1})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(q_{2})}_{n\in\mathbb{N}}$, dẫn đến $q_{1} = q_{2}$. Do đó $\iota$ là một đơn ánh. Mặt khác, $\iota$ không phải toàn ánh vì không tồn tại số hữu tỉ $q$ nào để lớp tương đương $\iota(q)$ chứa dãy Cauchy hữu tỉ trong Mệnh đề~\ref{appendixthm:irrational-cauchy-sequence}, kéo theo $\iota$ không phải một toàn ánh. Vì vậy $\iota$ là một đơn ánh nhưng không phải song ánh. + + Theo định nghĩa phép cộng, phép nhân trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}$ và $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ + \begin{align*} + & \iota(q_{1} + q_{2}) = \clsseq{q_{1} + q_{2}}{n} = \clsseq{q_{1}}{n} + \clsseq{q_{2}}{n} = \iota(q_{1}) + \iota(q_{2}), \\ + & \iota(q_{1}q_{2}) = \clsseq{q_{1}q_{2}}{n} = \clsseq{q_{1}}{n}\cdot\clsseq{q_{2}}{n} = \iota(q_{1})\iota(q_{2}). + \end{align*} + + Theo định nghĩa quan hệ $\lesssim$ trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}$, quan hệ $\leq$ trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ và Định lý~\ref{appendixthm:preorder-to-order}, chúng ta có + \[ + q_{1}\leq q_{2} \implies {(q_{1})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(q_{2})}_{n\in\mathbb{N}} \implies \clsseq{q_{1}}{n} \leq \clsseq{q_{2}}{n} \implies \iota(q_{1}) \leq \iota(q_{2}). + \] +\end{proof} + +Định lý trên được hiểu là đơn ánh $\iota$ bảo toàn phép cộng, phép nhân, và quan hệ thứ tự. Vì điều này, chúng ta có thể đồng nhất số hữu tỉ $q$ với lớp tương đương $\clsseq{q}{n}$. diff --git a/set-theory/appendix2.tex b/set-theory/appendix2.tex new file mode 100644 index 0000000..2ba5b15 --- /dev/null +++ b/set-theory/appendix2.tex @@ -0,0 +1 @@ +\chapter{Đọc thêm} diff --git a/set-theory/chapter3.tex b/set-theory/chapter3.tex index de1e32c..68d215c 100644 --- a/set-theory/chapter3.tex +++ b/set-theory/chapter3.tex @@ -764,6 +764,6 @@ \subsection{Bài tập} \end{enumerate} \end{exercise} -\begin{exercise} +\begin{exercise}[Phần nguyên của số hữu tỉ] Chứng minh rằng với mỗi số hữu tỉ $q$, tồn tại duy nhất số nguyên $n$ sao cho $n\leq q < n + 1$. [Gợi ý: Để chứng minh tính tồn tại, hãy sử dụng thuật toán chia Euclid.] \end{exercise} diff --git a/set-theory/chapter4.old.tex b/set-theory/chapter4.old.tex index f4b54b6..6c3bc43 100644 --- a/set-theory/chapter4.old.tex +++ b/set-theory/chapter4.old.tex @@ -1386,7 +1386,7 @@ \subsection{Dãy số hữu ti và dãy Cauchy hữu tỉ} Chọn một số hữu tỉ $\varepsilon > 0$, chúng ta sẽ tìm số tự nhiên $N(\varepsilon)$ để sử dụng định nghĩa dãy số hữu tỉ hội tụ. - $\abs{a_{n} - 1} < \varepsilon$ khi và chỉ khi $\frac{1}{n+1} < \varepsilon$. Bên cạnh đó, nếu $n \geq \floor{\frac{1}{\varepsilon}}$ (đây là kí hiệu phần nguyên, được định nghĩa phần nguyên của số hữu tỉ thì + $\abs{a_{n} - 1} < \varepsilon$ khi và chỉ khi $\frac{1}{n+1} < \varepsilon$. Bên cạnh đó, nếu $n \geq \floor{\frac{1}{\varepsilon}}$ (đây là kí hiệu phần nguyên), được định nghĩa phần nguyên của số hữu tỉ thì \[ \frac{1}{n+1}\leq \frac{1}{\floor{\dfrac{1}{\varepsilon}} + 1} < \frac{1}{\dfrac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon. \] diff --git a/set-theory/chapter4.tex b/set-theory/chapter4.tex index b835310..80457cb 100644 --- a/set-theory/chapter4.tex +++ b/set-theory/chapter4.tex @@ -1,3 +1,5 @@ +% chktex-file 9 +% chktex-file 17 \chapter{Số thực và số phức}\label{chapter:real-and-complex-numbers} \section{Xây dựng tập hợp số thực} @@ -11,60 +13,60 @@ \subsection{Hệ tiên đề về số thực} Câu trả lời trực giác hình học cho cách hiểu thứ hai có thể làm hài lòng nhiều người nhưng là không đủ tốt đối với một định nghĩa toán học. Với định nghĩa trực giác như vậy, chúng ta khó lòng nói về các phép toán với các số thực như cộng, trừ, nhân, chia. Đối với những người học và làm toán, việc biết các số thực và các phép toán với số thực, quan hệ giữa các số thực có những tính chất gì quan trọng hơn việc biết số thực là gì trong thực tế. Trong chương này, chúng ta định nghĩa số thực bằng một hệ tiên đề (hay tính chất). Chúng ta coi những đối tượng thỏa mãn hệ tiên đề (hay tính chất) này là các số thực. \begin{axiom} - Tập hợp số thực được kí hiệu là $\mathbb{R}$. Các phần tử của $\mathbb{R}$ thỏa mãn ba nhóm tiên đề sau. - - \textbf{Các tiên đề về trường.} $\mathbb{R}$ có hai phép toán hai ngôi là phép cộng (được kí hiệu là $+$) và phép nhân (được kí hiệu là $\cdot$) và các phép toán này thỏa mãn các tính chất sau: - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item Phép cộng có tính chất kết hợp. Nói cách khác, với mọi số thực $x, y, z$, chúng ta có - \[ - (x + y) + z = x + (y + z). - \] - \item Phép cộng có phần tử đồng nhất. Nói cách khác, tồn tại số thực $0$ sao cho với mọi số thực $x$, chúng ta có - \[ - x + 0 = 0 + x = x. - \] - \item Mỗi số thực có phần tử đối. Nói cách khác, với mỗi số thực $x$, tồn tại số thực $(-x)$ thỏa mãn - \[ - x + (-x) = (-x) + x = 0. - \] - \item Phép cộng có tính chất giao hoán. Nói cách khác, với mọi số thực $x, y$, chúng ta có - \[ - x + y = y + x. - \] - \item Phép nhân có tính chất kết hợp. Nói cách khác, với mọi số thực $x, y, z$, chúng ta có - \[ - (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z). - \] - \item Phép nhân có tính chất phân phối với phép cộng. Nói cách khác, với mọi số thực $x, y, z$, chúng ta có - \[ - \begin{split} - (x + y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z, \\ - z\cdot (x + y) = z\cdot x + z\cdot y. - \end{split} - \] - - \item Phép nhân có phần tử đồng nhất, phần tử này khác $0$. Nói cách khác, tồn tại số thực $1\ne 0$ sao cho với mọi số thực $x$, chúng ta có - \[ - x + 1 = 1 + x = x. - \] - \item Phép nhân có tính chất giao hoán. Nói cách khác, với mọi số thực $x, y$, chúng ta có - \[ - x\cdot y = y\cdot x. - \] - \item Mỗi số thực khác $0$ có phần tử nghịch đảo. Nói cách khác, với mỗi số thực $x\ne 0$, tồn tại số thực $x^{-1}$ sao cho - \[ - x\cdot x^{-1} = x^{-1}\cdot x = 1. - \] - \end{enumerate} - - \textbf{Các tiên đề về thứ tự.} $\mathbb{R}$ có quan hệ $\leq$ thỏa mãn các tính chất sau: - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item $\leq$ là một quan hệ thứ tự toàn phần. - \item Với mọi số thực $x, y$, nếu $x\leq y$ thì với mọi số thực $z$, chúng ta có $x + z\leq y + z$. - \item Với mọi số thực $x, y$, nếu $0\leq x$ và $0\leq y$ thì $0\leq x\cdot y$. - \end{enumerate} - - \textbf{Tiên đề về cận trên (hay tiên đề về tính đầy đủ).} Nếu một tập hợp con khác rỗng của $\mathbb{R}$ có cận trên thì cũng có cận trên nhỏ nhất. + Tập hợp số thực\index{Số thực} được kí hiệu là $\mathbb{R}$. Các phần tử của $\mathbb{R}$ thỏa mãn ba nhóm tiên đề sau. + + \textbf{Các tiên đề về trường.} $\mathbb{R}$ có hai phép toán hai ngôi là phép cộng (được kí hiệu là $+$) và phép nhân (được kí hiệu là $\cdot$) và các phép toán này thỏa mãn các tính chất sau: + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Phép cộng có tính chất kết hợp. Nói cách khác, với mọi số thực $x, y, z$, chúng ta có + \[ + (x + y) + z = x + (y + z). + \] + \item Phép cộng có phần tử đồng nhất. Nói cách khác, tồn tại số thực $0$ sao cho với mọi số thực $x$, chúng ta có + \[ + x + 0 = 0 + x = x. + \] + \item Mỗi số thực có phần tử đối. Nói cách khác, với mỗi số thực $x$, tồn tại số thực $(-x)$ thỏa mãn + \[ + x + (-x) = (-x) + x = 0. + \] + \item Phép cộng có tính chất giao hoán. Nói cách khác, với mọi số thực $x, y$, chúng ta có + \[ + x + y = y + x. + \] + \item Phép nhân có tính chất kết hợp. Nói cách khác, với mọi số thực $x, y, z$, chúng ta có + \[ + (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z). + \] + \item Phép nhân có tính chất phân phối với phép cộng. Nói cách khác, với mọi số thực $x, y, z$, chúng ta có + \[ + \begin{split} + (x + y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z, \\ + z\cdot (x + y) = z\cdot x + z\cdot y. + \end{split} + \] + + \item Phép nhân có phần tử đồng nhất, phần tử này khác $0$. Nói cách khác, tồn tại số thực $1\ne 0$ sao cho với mọi số thực $x$, chúng ta có + \[ + x \cdot 1 = 1 \cdot x = x. + \] + \item Phép nhân có tính chất giao hoán. Nói cách khác, với mọi số thực $x, y$, chúng ta có + \[ + x\cdot y = y\cdot x. + \] + \item Mỗi số thực khác $0$ có phần tử nghịch đảo. Nói cách khác, với mỗi số thực $x\ne 0$, tồn tại số thực $x^{-1}$ sao cho + \[ + x\cdot x^{-1} = x^{-1}\cdot x = 1. + \] + \end{enumerate} + + \textbf{Các tiên đề về thứ tự.} $\mathbb{R}$ có quan hệ $\leq$ thỏa mãn các tính chất sau: + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item $\leq$ là một quan hệ thứ tự toàn phần. + \item Với mọi số thực $x, y$, nếu $x\leq y$ thì với mọi số thực $z$, chúng ta có $x + z\leq y + z$. + \item Với mọi số thực $x, y$, nếu $0\leq x$ và $0\leq y$ thì $0\leq x\cdot y$. + \end{enumerate} + + \textbf{Tiên đề về cận trên (hay tiên đề về tính đầy đủ).} Nếu một tập hợp con khác rỗng của $\mathbb{R}$ có cận trên thì cũng có cận trên nhỏ nhất. \end{axiom} Chúng ta bình luận và làm rõ thêm hệ tiên đề vừa nêu. Các tiên đề về trường và các tiên đề về thứ tự có lẽ không có gì xa lạ với bạn đọc. Chúng tôi chỉ lưu ý thêm ba điều về hai nhóm tiên đề này: (1) Các phần tử $0$, $1$, $(-x)$, và $x^{-1}$ được hiểu như các kí hiệu đơn thuần, ở thời điểm này chúng ta \textit{chưa} coi đó như những số hay phép toán quen thuộc; (2) Tiên đề về sự tồn tại của hai phần tử $0$ và $1$ không khẳng định tính duy nhất của những phần tử như vậy. @@ -72,57 +74,57 @@ \subsection{Hệ tiên đề về số thực} Quay lại với hệ tiên đề về số thực. Trong chương trước, chúng ta đã chỉ ra được tập hợp số hữu tỉ $\mathbb{Q}$ cùng với hai phép toán cộng, nhân, và quan hệ $\leq$ thỏa mãn các tiên đề về trường và các tiên đề về thứ tự. Mệnh đề dưới đây (xem~\cite{spivak}) cho thấy tập hợp số hữu tỉ không thỏa mãn tiên đề về cận trên, hay chúng ta còn nói rằng tập hợp số hữu tỉ không đầy đủ theo quan hệ thứ tự $\leq$. \begin{proposition}\label{proposition:irrational-cut} - Trong tập hợp số hữu tỉ - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item Chứng minh rằng không tồn tại số hữu tỉ $x$ nào thỏa mãn $x^{2} = 2$. - \item Chứng minh rằng tập hợp - \[ - S = \{ x \mid x\in\mathbb{Q}, 0 < x \text{ và } x^{2} < 2 \} - \] - - không có phần tử lớn nhất. - \item Chứng minh rằng tập hợp $S$ ở phần (ii) không có cận trên nhỏ nhất. - \end{enumerate} + Trong tập hợp số hữu tỉ + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chứng minh rằng không tồn tại số hữu tỉ $x$ nào thỏa mãn $x^{2} = 2$. + \item Chứng minh rằng tập hợp + \[ + S = \{ x \mid x\in\mathbb{Q}, 0 < x \text{ và } x^{2} < 2 \} + \] + + không có phần tử lớn nhất. + \item Chứng minh rằng tập hợp $S$ ở phần (ii) không có cận trên nhỏ nhất. + \end{enumerate} \end{proposition} \begin{proof} - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item Giả sử phản chứng rằng tồn tại số hữu tỉ $x$ sao cho $x^{2} = 2$. Chúng ta kí hiệu phân số tối giản của $x$ là $\frac{p}{q}$. Vì ${\left(\frac{p}{q}\right)}^{2} = 2$ nên $p^{2} = 2q^{2}$. Vì $2$ là ước của $2q^{2}$ nên $2$ cũng là ước của $p^{2}$. Theo bổ đề Euclid, chúng ta suy ra $2$ là ước của $p$, do đó tồn tại số tự nhiên $a$ sao cho $p = 2a$. Cùng với việc $p^{2} = 2q^{2}$, chúng ta suy ra $4a^{2} = 2q^{2}$, kéo theo $2a^{2} = q^{2}$. Một lần nữa, theo bổ đề Euclid, chúng ta suy ra $2$ là ước của $q$. Như vậy $2$ là ước chung của $p$ và $q$, điều này mâu thuẫn với việc $\frac{p}{q}$ là một phân số tối giản. - - Vậy không tồn tại số hữu tỉ $x$ nào thỏa mãn $x^{2} = 2$. - \item Chúng ta chọn một số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ thuộc $S$ (trong đó $a, b$ là các số nguyên dương). Theo định nghĩa của $S$, chúng ta suy ra $a^{2} < 2b^{2}$. Xét số hữu tỉ $\frac{2a + 2b}{a + 2b}$. - \begin{align*} - {(2a + 2b)}^{2} & = 4a^{2} + 8ab + 4b^{2} \\ - & < 2a^{2} + 8ab + 8b^{2} \\ - & = 2(a^{2} + 4ab + 4b^{2}) \\ - & = 2{(a + 2b)}^{2} - \end{align*} - - Do đó $\frac{2a + 2b}{a + b}$ là một phần tử của $S$. Bên cạnh đó, $\frac{a}{b} < \frac{2a + 2b}{a + 2b}$, vì - \begin{align*} - a(a + 2b) & = a^{2} + 2ab < 2ab + 2b^{2} = b(2a + 2b) - \end{align*} - - Như vậy, với mỗi phần tử $x$ thuộc $S$, chúng ta luôn tìm được được một phần tử khác của $S$ nhưng lớn hơn $x$. Do đó tập hợp $S$ không có phần tử lớn nhất. - \item Tập hợp $S$ có cận trên. Chẳng hạn, $2$ là một cận trên của $S$, bởi vì với mọi $x$ thuộc $S$, $x^{2} < 2 < 4$, kéo theo $(x - 2)(x + 2) < 0$, và $x < 2$. Mặt khác, nếu $y$ là một cận trên của $S$ thì $y > 0$. - - Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng nếu số hữu tỉ $y$ là một cận trên của $S$ thì $y^{2} > 2$. Giả sử phản chứng rằng $y^{2}\leq 2$. Theo phần (i), chúng ta suy ra $y^{2} < 2$, kéo theo $y$ là một phần tử của $S$. $y$ là một cận trên của $S$ và là một phần tử của $S$ thì $y$ cũng là phần tử lớn nhất của $S$. Điều này mâu thuẫn với kết quả đã chứng minh ở phần (ii). Do đó giả sử phản chứng là sai, và chúng ta suy ra $y^{2} > 2$. - - Chọn $y$ là một cận trên của $S$. Chúng ta kí hiệu $\frac{a}{b}$ là phân số của $y$ ($a, b$ là các số nguyên dương). Vì $y^{2} > 2$ nên $a^{2} > 2b^{2}$. Chúng ta tiếp tục xét số hữu tỉ $\frac{2a + 2b}{a + 2b}$. - \begin{align*} - {(2a + 2b)}^{2} & = 4a^{2} + 8ab + 4b^{2} \\ - & > 2a^{2} + 8ab + 8b^{2} \\ - & = 2(a^{2} + 4ab + 4b^{2}) \\ - & = 2{(a + 2b)}^{2} - \end{align*} - - Do đó $\frac{2a + 2b}{a + b}$ là một cận trên của $S$. Ngoài ra, $\frac{2a + 2b}{a + 2b} < \frac{a}{b}$, vì - \begin{align*} - b(2a + 2b) = 2ab + 2b^{2} < 2ab + a^{2} = a(a + 2b) - \end{align*} - - Như vậy với mỗi cận trên $y$ của $S$, chúng ta luôn tìm được một cận trên khác của $S$ và nhỏ hơn $y$. Do đó tập hợp $S$ không có cận trên nhỏ nhất. - \end{enumerate} + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Giả sử phản chứng rằng tồn tại số hữu tỉ $x$ sao cho $x^{2} = 2$. Chúng ta kí hiệu phân số tối giản của $x$ là $\frac{p}{q}$. Vì ${\left(\frac{p}{q}\right)}^{2} = 2$ nên $p^{2} = 2q^{2}$. Vì $2$ là ước của $2q^{2}$ nên $2$ cũng là ước của $p^{2}$. Theo bổ đề Euclid, chúng ta suy ra $2$ là ước của $p$, do đó tồn tại số tự nhiên $a$ sao cho $p = 2a$. Cùng với việc $p^{2} = 2q^{2}$, chúng ta suy ra $4a^{2} = 2q^{2}$, kéo theo $2a^{2} = q^{2}$. Một lần nữa, theo bổ đề Euclid, chúng ta suy ra $2$ là ước của $q$. Như vậy $2$ là ước chung của $p$ và $q$, điều này mâu thuẫn với việc $\frac{p}{q}$ là một phân số tối giản. + + Vậy không tồn tại số hữu tỉ $x$ nào thỏa mãn $x^{2} = 2$. + \item Chúng ta chọn một số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ thuộc $S$ (trong đó $a, b$ là các số nguyên dương). Theo định nghĩa của $S$, chúng ta suy ra $a^{2} < 2b^{2}$. Xét số hữu tỉ $\frac{2a + 2b}{a + 2b}$. + \begin{align*} + {(2a + 2b)}^{2} & = 4a^{2} + 8ab + 4b^{2} \\ + & < 2a^{2} + 8ab + 8b^{2} \\ + & = 2(a^{2} + 4ab + 4b^{2}) \\ + & = 2{(a + 2b)}^{2} + \end{align*} + + Do đó $\frac{2a + 2b}{a + b}$ là một phần tử của $S$. Bên cạnh đó, $\frac{a}{b} < \frac{2a + 2b}{a + 2b}$, vì + \begin{align*} + a(a + 2b) & = a^{2} + 2ab < 2ab + 2b^{2} = b(2a + 2b) + \end{align*} + + Như vậy, với mỗi phần tử $x$ thuộc $S$, chúng ta luôn tìm được được một phần tử khác của $S$ nhưng lớn hơn $x$. Do đó tập hợp $S$ không có phần tử lớn nhất. + \item Tập hợp $S$ có cận trên. Chẳng hạn, $2$ là một cận trên của $S$, bởi vì với mọi $x$ thuộc $S$, $x^{2} < 2 < 4$, kéo theo $(x - 2)(x + 2) < 0$, và $x < 2$. Mặt khác, nếu $y$ là một cận trên của $S$ thì $y > 0$. + + Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng nếu số hữu tỉ $y$ là một cận trên của $S$ thì $y^{2} > 2$. Giả sử phản chứng rằng $y^{2}\leq 2$. Theo phần (i), chúng ta suy ra $y^{2} < 2$, kéo theo $y$ là một phần tử của $S$. $y$ là một cận trên của $S$ và là một phần tử của $S$ thì $y$ cũng là phần tử lớn nhất của $S$. Điều này mâu thuẫn với kết quả đã chứng minh ở phần (ii). Do đó giả sử phản chứng là sai, và chúng ta suy ra $y^{2} > 2$. + + Chọn $y$ là một cận trên của $S$. Chúng ta kí hiệu $\frac{a}{b}$ là phân số của $y$ ($a, b$ là các số nguyên dương). Vì $y^{2} > 2$ nên $a^{2} > 2b^{2}$. Chúng ta tiếp tục xét số hữu tỉ $\frac{2a + 2b}{a + 2b}$. + \begin{align*} + {(2a + 2b)}^{2} & = 4a^{2} + 8ab + 4b^{2} \\ + & > 2a^{2} + 8ab + 8b^{2} \\ + & = 2(a^{2} + 4ab + 4b^{2}) \\ + & = 2{(a + 2b)}^{2} + \end{align*} + + Do đó $\frac{2a + 2b}{a + b}$ là một cận trên của $S$. Ngoài ra, $\frac{2a + 2b}{a + 2b} < \frac{a}{b}$, vì + \begin{align*} + b(2a + 2b) = 2ab + 2b^{2} < 2ab + a^{2} = a(a + 2b) + \end{align*} + + Như vậy với mỗi cận trên $y$ của $S$, chúng ta luôn tìm được một cận trên khác của $S$ và nhỏ hơn $y$. Do đó tập hợp $S$ không có cận trên nhỏ nhất. + \end{enumerate} \end{proof} Trong hai mục tiếp theo, chúng tôi trình bày về hai mô hình số thực (hai cách xây dựng tập hợp số thực) từ tập hợp số hữu tỉ. Xây dựng tập hợp số thực là gì? Xây dựng tập hợp số thực là việc tạo ra một đối tượng toán học thỏa mãn hệ tiên đề về số thực. Chúng ta so sánh hệ tiên đề về số thực với một bản thiết kế, khi đó việc xây dựng tập hợp số thực chính là tạo ra một tác phẩm giống như bản thiết kế đó. Xây dựng được tập hợp số thực đồng nghĩa với việc \textit{chứng minh được} bản thiết kế là khả thi. Trong logic toán học, chúng ta có thuật ngữ riêng để gọi một công trình tương ứng với một bản thiết kế, đó là \textit{mô hình}. Mô hình là một đối tượng, hay cấu trúc toán học thỏa mãn một hệ tiên đề nào đó. @@ -132,17 +134,17 @@ \subsection{Tóm lược về mô hình số thực bằng lát cắt Dedekind} Trước khi đưa ra định nghĩa tổng quát của lát cắt Dedekind, chúng tôi muốn nói về cách hiểu trực giác của ý tưởng lát cắt. Một lần nữa, chúng ta sử dụng mô tả trực quan \textit{đường thẳng thực}: Chúng ta đánh dấu một điểm trên đường thẳng thực, khi đó chúng ta đã phân hoạch đường thẳng thực làm hai phần --- phần bên trái không bao gồm điểm đánh dấu và phần bên phải bao gồm điểm đánh dấu. \begin{definition}[Lát cắt Dedekind] - Một lát cắt Dedekind\index{Lát cắt Dedekind} trong một tập hợp $S$ được sắp thứ tự toàn phần là một phân hoạch gồm hai tập hợp $A, B$ sao cho - \begin{enumerate}[label={(DC\arabic*)},itemindent=0.5cm] - \item $A$ khác rỗng và $A$ không phải toàn bộ tập hợp $S$. - \item Mọi phần tử của $A$ nhỏ hơn mọi phần tử của $B$. - \item $A$ không có phần tử lớn nhất. - \item Nếu $x$ thuộc $A$ thì bất cứ phần tử nào nhỏ hơn $x$ và thuộc $S$ cũng thuộc $A$ (đặc điểm này còn được phát biểu là $A$ đóng dưới). - \end{enumerate} + Một lát cắt Dedekind\index{Lát cắt Dedekind} trong một tập hợp $S$ được sắp thứ tự toàn phần là một phân hoạch gồm hai tập hợp $A, B$ sao cho + \begin{enumerate}[label={(DC\arabic*)},itemindent=0.5cm] + \item $A$ khác rỗng và $A$ không phải toàn bộ tập hợp $S$. + \item Mọi phần tử của $A$ nhỏ hơn mọi phần tử của $B$. + \item $A$ không có phần tử lớn nhất. + \item Nếu $x$ thuộc $A$ thì bất cứ phần tử nào nhỏ hơn $x$ và thuộc $S$ cũng thuộc $A$ (đặc điểm này còn được phát biểu là $A$ đóng dưới). + \end{enumerate} - Một lát cắt như vậy được kí hiệu là $(A, B)$, hoặc chỉ là $A$, bởi vì $B = S\setminus A$ ($B$ hoàn toàn được xác định khi biết $A$). + Một lát cắt như vậy được kí hiệu là $(A, B)$, hoặc chỉ là $A$, bởi vì $B = S\setminus A$ ($B$ hoàn toàn được xác định khi biết $A$). - Chúng ta kí hiệu tập hợp các lát cắt Dedekind trong tập hợp $S$ là $\mathscr{D}_{S}$. + Chúng ta kí hiệu tập hợp các lát cắt Dedekind trong tập hợp $S$ là $\mathscr{D}_{S}$. \end{definition} Để xây dựng tập hợp số thực bằng lát cắt Dedekind, chúng ta sử dụng các lát cắt trong tập hợp số hữu tỉ. Tập hợp các lát cắt Dedekind trong tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là $\mathscr{D}_{\mathbb{Q}}$. Chúng ta cũng dùng cách gọi vắn tắt là lát cắt để chỉ lát cắt Dedekind trên tập hợp số hữu tỉ, trừ khi ngữ cảnh phát biểu khác đi. @@ -151,127 +153,127 @@ \subsection{Tóm lược về mô hình số thực bằng lát cắt Dedekind} Để hiểu rõ hơn định nghĩa lát cắt, chúng ta theo dõi các ví dụ và phản ví dụ sau. \begin{example} - Tập hợp - \[ - A = \{ x \mid x\in\mathbb{Q} \wedge x < q \} - \] - - trong đó $q$ là một số hữu tỉ, là một lát cắt. Chúng ta kiểm tra điều này qua từng điều trong định nghĩa lát cắt. - \begin{enumerate}[label={(DC\arabic*)},itemindent=0.5cm] - \item $A$ khác rỗng vì $q - 1$ là một phần tử của $A$. Bên cạnh đó, $A$ cũng không phải toàn bộ tập hợp số hữu tỉ vì $q$ không phải một phần tử của $A$. - \item $B = \mathbb{Q} - A = \{ x \mid x\in\mathbb{Q} \wedge q\leq x \}$. Mọi phần tử của $A$ nhỏ hơn mọi phần tử của $B$ theo tính chất bắc cầu của quan hệ $\leq$ trên tập hợp số hữu tỉ. - \item $A$ không có phần tử lớn nhất vì với mỗi phần tử $x$ của $A$, chúng ta luôn tìm được một phần tử khác lớn hơn, chẳng hạn như $\frac{q + x}{2}$. - \item Nếu một số hữu tỉ $x$ thuộc $A$ thì mọi số hữu tỉ nhỏ hơn $x$ cũng thuộc $A$. Điều này được suy ra từ tính chất bắc cầu của quan hệ $\leq$ trên tập hợp số hữu tỉ. - \end{enumerate} + Tập hợp + \[ + A = \{ x \mid x\in\mathbb{Q} \wedge x < q \} + \] + + trong đó $q$ là một số hữu tỉ, là một lát cắt. Chúng ta kiểm tra điều này qua từng điều trong định nghĩa lát cắt. + \begin{enumerate}[label={(DC\arabic*)},itemindent=0.5cm] + \item $A$ khác rỗng vì $q - 1$ là một phần tử của $A$. Bên cạnh đó, $A$ cũng không phải toàn bộ tập hợp số hữu tỉ vì $q$ không phải một phần tử của $A$. + \item $B = \mathbb{Q} - A = \{ x \mid x\in\mathbb{Q} \wedge q\leq x \}$. Mọi phần tử của $A$ nhỏ hơn mọi phần tử của $B$ theo tính chất bắc cầu của quan hệ $\leq$ trên tập hợp số hữu tỉ. + \item $A$ không có phần tử lớn nhất vì với mỗi phần tử $x$ của $A$, chúng ta luôn tìm được một phần tử khác lớn hơn, chẳng hạn như $\frac{q + x}{2}$. + \item Nếu một số hữu tỉ $x$ thuộc $A$ thì mọi số hữu tỉ nhỏ hơn $x$ cũng thuộc $A$. Điều này được suy ra từ tính chất bắc cầu của quan hệ $\leq$ trên tập hợp số hữu tỉ. + \end{enumerate} \end{example} \begin{example} - Tập hợp - \[ - A = \{ x \mid \text{$x$ là số hữu tỉ thỏa mãn $x < 0$ hoặc $x^{2} < 2$} \} - \] + Tập hợp + \[ + A = \{ x \mid \text{$x$ là số hữu tỉ thỏa mãn $x < 0$ hoặc $x^{2} < 2$} \} + \] - là một lát cắt. Điều này được suy ra từ tính chất bắc cầu của quan hệ $\leq$ trên tập hợp số hữu tỉ và Mệnh đề~\ref{proposition:irrational-cut}. + là một lát cắt. Điều này được suy ra từ tính chất bắc cầu của quan hệ $\leq$ trên tập hợp số hữu tỉ và Mệnh đề~\ref{proposition:irrational-cut}. \end{example} \begin{counterexample} - Tập hợp - \[ - A = \{ x \mid \text{$x$ là số hữu tỉ thỏa mãn $x > 0$ và $x^{2} < 2$} \} - \] + Tập hợp + \[ + A = \{ x \mid \text{$x$ là số hữu tỉ thỏa mãn $x > 0$ và $x^{2} < 2$} \} + \] - \textbf{không phải} một lát cắt. Bởi vì $1$ là phần tử của $A$ nhưng $0 < 1$ lại không phải một phần tử của $A$. + \textbf{không phải} một lát cắt. Bởi vì $1$ là phần tử của $A$ nhưng $0 < 1$ lại không phải một phần tử của $A$. \end{counterexample} \begin{counterexample} - Tập hợp - \[ - A = \left\{ \frac{-1}{n} \mid \text{$n$ là một số nguyên dương} \right\} - \] + Tập hợp + \[ + A = \left\{ \frac{-1}{n} \mid \text{$n$ là một số nguyên dương} \right\} + \] - \textbf{không phải} một lát cắt. Bởi vì $-1$ là phần tử của $A$ nhưng $-2 < -1$ lại không phải một phần tử của $A$. + \textbf{không phải} một lát cắt. Bởi vì $-1$ là phần tử của $A$ nhưng $-2 < -1$ lại không phải một phần tử của $A$. \end{counterexample} Chúng ta định nghĩa các phép toán và quan hệ giữa các lát cắt như sau. \begin{definition}\label{definition:order-relation-between-dedekind-cuts} - $A$ và $B$ là hai lát cắt. Chúng ta nói lát cắt $A$ có quan hệ $\leq$ với lát cắt $B$ và kí hiệu là $A\leq B$ nếu và chỉ nếu $A\subseteq B$. + $A$ và $B$ là hai lát cắt. Chúng ta nói lát cắt $A$ có quan hệ $\leq$ với lát cắt $B$ và kí hiệu là $A\leq B$ nếu và chỉ nếu $A\subseteq B$. \end{definition} \begin{theorem} - Quan hệ $\leq$ trên tập hợp các lát cắt $\mathscr{D}_{\mathbb{Q}}$ ở Định nghĩa~\ref{definition:order-relation-between-dedekind-cuts} là một quan hệ thứ tự toàn phần. + Quan hệ $\leq$ trên tập hợp các lát cắt $\mathscr{D}_{\mathbb{Q}}$ ở Định nghĩa~\ref{definition:order-relation-between-dedekind-cuts} là một quan hệ thứ tự toàn phần. \end{theorem} Quan hệ $\leq$ về bản chất chính là quan hệ bao hàm giữa các tập hợp (các lát cắt là các tập hợp). Để nói về các phép toán với lát cắt, chúng ta lưu ý hai lát cắt đặc biệt sau đây. \[ - \begin{split} - O = \{ x \mid x\in\mathbb{Q} \wedge x < 0 \}, \\ - I = \{ x \mid x\in\mathbb{Q} \wedge x < 1 \}. - \end{split} + \begin{split} + O = \{ x \mid x\in\mathbb{Q} \wedge x < 0 \}, \\ + I = \{ x \mid x\in\mathbb{Q} \wedge x < 1 \}. + \end{split} \] Với cơ sở là quan hệ thứ tự toàn phần trên tập hợp các lát cắt $\mathscr{D}_{\mathbb{Q}}$, chúng ta đưa ra định nghĩa sau. \begin{definition} - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item Một lát cắt $A$ được gọi là lát cắt dương nếu và chỉ nếu $O < A$. - \item Một lát cắt $A$ được gọi là lát cắt âm nếu và chỉ nếu $A < O$. - \end{enumerate} + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Một lát cắt $A$ được gọi là lát cắt dương nếu và chỉ nếu $O < A$. + \item Một lát cắt $A$ được gọi là lát cắt âm nếu và chỉ nếu $A < O$. + \end{enumerate} \end{definition} Như vậy, một lát cắt $A$ là không âm nếu và chỉ nếu $O\leq A$, là không dương nếu $A\leq O$. Phép cộng hai lát cắt được thực hiện bằng cách cộng từng cặp phần tử của hai lát cắt. \begin{theorem}[Phép toán cộng lát cắt] - Cho hai lát cắt $A$ và $B$. Khi đó tập hợp sau - \[ - A + B = \{ a + b \mid a\in A\wedge b\in B \} - \] + Cho hai lát cắt $A$ và $B$. Khi đó tập hợp sau + \[ + A + B = \{ a + b \mid a\in A\wedge b\in B \} + \] - là một lát cắt. + là một lát cắt. \end{theorem} Để định nghĩa phép nhân hai lát cắt, chúng ta cần dùng đến khái niệm lát cắt dương, âm, không âm, và định nghĩa cho từng trường hợp. \begin{theorem}[Phép nhân hai lát cắt] - Cho hai lát cắt $A$ và $B$. - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item Nếu $A\geq O$ và $B\geq O$ thì tập hợp sau - \[ - A\cdot B = \{ ab \mid a\in A\wedge b\in B\wedge a\geq 0\wedge b\geq 0 \} \cup O - \] - - là một lát cắt. - \item Nếu $A\geq O$ và $B < O$ thì tập hợp $A\cdot B = -A\cdot (-B)$ là một lát cắt. - \item Nếu $A < O$ và $B\geq O$ thì tập hợp $A\cdot B = -(-A)\cdot B$ là một lát cắt. - \item Nếu $A < O$ và $B < O$ thì tập hợp $A\cdot B = (-A)\cdot (-B)$ là một lát cắt. - \end{enumerate} + Cho hai lát cắt $A$ và $B$. + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Nếu $A\geq O$ và $B\geq O$ thì tập hợp sau + \[ + A\cdot B = \{ ab \mid a\in A\wedge b\in B\wedge a\geq 0\wedge b\geq 0 \} \cup O + \] + + là một lát cắt. + \item Nếu $A\geq O$ và $B < O$ thì tập hợp $A\cdot B = -A\cdot (-B)$ là một lát cắt. + \item Nếu $A < O$ và $B\geq O$ thì tập hợp $A\cdot B = -(-A)\cdot B$ là một lát cắt. + \item Nếu $A < O$ và $B < O$ thì tập hợp $A\cdot B = (-A)\cdot (-B)$ là một lát cắt. + \end{enumerate} \end{theorem} Kiểm tra phép cộng, phép nhân, quan hệ $\leq$ trên tập hợp các lát cắt có thỏa mãn hệ tiên đề về số thực hay không là một công việc cần nhiều thời gian, sự cẩn thận và tỉ mỉ mặc dù không khó. Để biết chi tiết hơn, bạn đọc có thể tham khảo về cách xây dựng tập hợp số thực trong~\cite{spivak} hoặc~\cite{abbott}. Trong tài liệu này, chúng tôi chỉ kiểm tra tiên đề về cân trên. \begin{theorem} - Cho tập hợp $\mathscr{D}$ là một tập hợp con khác rỗng của tập hợp các lát cắt Dedekind hữu tỉ $\mathscr{D}_{\mathbb{Q}}$ và $\mathscr{D}$ có cận trên. Khi đó $\mathscr{D}$ có cận trên nhỏ nhất. + Cho tập hợp $\mathscr{D}$ là một tập hợp con khác rỗng của tập hợp các lát cắt Dedekind hữu tỉ $\mathscr{D}_{\mathbb{Q}}$ và $\mathscr{D}$ có cận trên. Khi đó $\mathscr{D}$ có cận trên nhỏ nhất. \end{theorem} \begin{proof} - Chúng ta xét tập hợp $S = \bigcup\limits_{A\in\mathscr{D}} A$, trong đó $A$ là các phần tử (là các lát cắt) của $\mathscr{D}$. Tập hợp $S$ bao gồm các số hữu tỉ. - - Đầu tiên, chúng ta chứng minh $S$ là một lát cắt. - \begin{enumerate}[label={(DC\arabic*)}, itemindent=0.2cm] - \item $S$ là hợp thành của các lát cắt nên $S$ khác rỗng. - \item Vì $\mathscr{D}$ có cận trên nên mọi phần tử $A$ của $\mathscr{D}$ đều nhỏ hơn hoặc bằng một lát cắt $B$ nào đó. Do đó $S\leq B$, kéo theo $S$ không phải toàn bộ tập hợp số hữu tỉ. - \item Giả sử $x$ là một phần tử của $S$. Theo định nghĩa của $S$ và phép toán hợp của các tập hợp, tồn tại một lát cắt $A$ (là phần tử của $S$) sao cho $x$ thuộc $A$. Vì lát cắt $A$ không có phần tử lớn nhất nên tồn tại phần tử $y$ của $A$ sao cho $x < y$. Do $y$ thuộc $A$ nên $y$ cũng thuộc $S$. Do đó $S$ không có phần tử lớn nhất. - \item Giả sử $x$ là một phần tử của $S$ và $y$ là một số hữu tỉ nhỏ hơn $x$. Theo định nghĩa của $S$ và phép toán hợp của các tập hợp, tồn tại một lát cắt $A$ (là phần tử của $S$) sao cho $x$ thuộc $A$. Vì lát cắt $A$ đóng dưới nên $y$ thuộc $A$, kéo theo $y$ cũng thuộc $S$. Do đó $S$ đóng dưới. - \end{enumerate} + Chúng ta xét tập hợp $S = \bigcup\limits_{A\in\mathscr{D}} A$, trong đó $A$ là các phần tử (là các lát cắt) của $\mathscr{D}$. Tập hợp $S$ bao gồm các số hữu tỉ. - Như vậy $S$ là một lát cắt. + Đầu tiên, chúng ta chứng minh $S$ là một lát cắt. + \begin{enumerate}[label={(DC\arabic*)}, itemindent=0.2cm] + \item $S$ là hợp thành của các lát cắt nên $S$ khác rỗng. + \item Vì $\mathscr{D}$ có cận trên nên mọi phần tử $A$ của $\mathscr{D}$ đều nhỏ hơn hoặc bằng một lát cắt $B$ nào đó. Do đó $S\leq B$, kéo theo $S$ không phải toàn bộ tập hợp số hữu tỉ. + \item Giả sử $x$ là một phần tử của $S$. Theo định nghĩa của $S$ và phép toán hợp của các tập hợp, tồn tại một lát cắt $A$ (là phần tử của $S$) sao cho $x$ thuộc $A$. Vì lát cắt $A$ không có phần tử lớn nhất nên tồn tại phần tử $y$ của $A$ sao cho $x < y$. Do $y$ thuộc $A$ nên $y$ cũng thuộc $S$. Do đó $S$ không có phần tử lớn nhất. + \item Giả sử $x$ là một phần tử của $S$ và $y$ là một số hữu tỉ nhỏ hơn $x$. Theo định nghĩa của $S$ và phép toán hợp của các tập hợp, tồn tại một lát cắt $A$ (là phần tử của $S$) sao cho $x$ thuộc $A$. Vì lát cắt $A$ đóng dưới nên $y$ thuộc $A$, kéo theo $y$ cũng thuộc $S$. Do đó $S$ đóng dưới. + \end{enumerate} - Tiếp theo, chúng ta chứng minh $S$ là cận trên nhỏ nhất của $\mathscr{D}$. + Như vậy $S$ là một lát cắt. - Giả sử $X$ là một cận trên của $\mathscr{D}$. Theo định nghĩa quan hệ $\leq$ trên tập hợp $\mathscr{D}_{\mathbb{Q}}$, mọi phần tử $A$ (cũng là các lát cắt) của $\mathscr{D}$ thỏa mãn $A\leq X$ ($A\subseteq X$). Do đó, hợp của tất cả các phần tử của $\mathscr{D}$, hay $S = \bigcup\limits_{A\in\mathscr{D}} A$ thỏa mãn $S\subseteq X$ ($S\leq X$). Do đó $S$ nhỏ hơn hoặc bằng của mọi cận trên của $\mathscr{D}$, điều này có nghĩa là $S$ là cận trên nhỏ nhất của $\mathscr{D}$. + Tiếp theo, chúng ta chứng minh $S$ là cận trên nhỏ nhất của $\mathscr{D}$. - Vậy $\mathscr{D}$ có cận trên nhỏ nhất. + Giả sử $X$ là một cận trên của $\mathscr{D}$. Theo định nghĩa quan hệ $\leq$ trên tập hợp $\mathscr{D}_{\mathbb{Q}}$, mọi phần tử $A$ (cũng là các lát cắt) của $\mathscr{D}$ thỏa mãn $A\leq X$ ($A\subseteq X$). Do đó, hợp của tất cả các phần tử của $\mathscr{D}$, hay $S = \bigcup\limits_{A\in\mathscr{D}} A$ thỏa mãn $S\subseteq X$ ($S\leq X$). Do đó $S$ nhỏ hơn hoặc bằng của mọi cận trên của $\mathscr{D}$, điều này có nghĩa là $S$ là cận trên nhỏ nhất của $\mathscr{D}$. + + Vậy $\mathscr{D}$ có cận trên nhỏ nhất. \end{proof} \subsection{Tóm lược về mô hình số thực bằng dãy Cauchy hữu tỉ} @@ -281,132 +283,132 @@ \subsection{Tóm lược về mô hình số thực bằng dãy Cauchy hữu t Nhiều định nghĩa và kết quả liên quan đến dãy số trong mục này có thể quen thuộc với nhiều bạn đọc. Tuy nhiên, chúng tôi vẫn sẽ nêu lại một cách sơ lược. Trước khi đi đến định nghĩa dãy Cauchy hữu tỉ, chúng ta cần định nghĩa về dãy số hữu tỉ và tính hội tụ. \begin{definition}[Dãy số hữu tỉ\index{Dãy số hữu tỉ}] - Một \textbf{dãy số hữu tỉ} là một ánh xạ với tập nguồn là tập hợp số tự nhiên và tập đích là tập hợp số hữu tỉ. + Một \textbf{dãy số hữu tỉ} là một ánh xạ với tập nguồn là tập hợp số tự nhiên và tập đích là tập hợp số hữu tỉ. - \noindent Một dãy số hữu tỉ $f: \mathbb{N}\to\mathbb{Q}$ được kí hiệu là ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, và $f_{n}$ là giá trị được gán với số tự nhiên $n$ bởi $f$. Ngoài cách kí hiệu trên, nhiều tác giả còn dùng các kí hiệu khác cho dãy số, chẳng hạn - \[ - {(f_{n})}, \quad {(f_{n})}_{n=0}, \quad {(f_{n})}^{\infty}_{n=0} - \] + \noindent Một dãy số hữu tỉ $f: \mathbb{N}\to\mathbb{Q}$ được kí hiệu là ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, và $f_{n}$ là giá trị được gán với số tự nhiên $n$ bởi $f$. Ngoài cách kí hiệu trên, nhiều tác giả còn dùng các kí hiệu khác cho dãy số, chẳng hạn + \[ + {(f_{n})}, \quad {(f_{n})}_{n=0}, \quad {(f_{n})}^{\infty}_{n=0} + \] - \noindent Trong dãy số hữu tỉ ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, một số tự nhiên $n$ cụ thể được gọi là một \textbf{chỉ số\index{Chỉ số}}. + \noindent Trong dãy số hữu tỉ ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, một số tự nhiên $n$ cụ thể được gọi là một \textbf{chỉ số\index{Chỉ số}}. \end{definition} Khi có một dãy số, người ta thường quan tâm đến việc giá trị của dãy số sẽ như thế nào với chỉ số $n$ rất lớn, hay dãy số đó có hội tụ không. Để phát biểu một cách chặt chẽ về đặc điểm này của dãy số, các nhà toán học đã đúc kết lại thành định nghĩa dãy số hội tụ. \begin{definition} - Dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là - \textbf{hội tụ đến số hữu tỉ $a$} nếu và chỉ nếu - \[ - \forall \varepsilon > 0 \Biggl(\exists N(\varepsilon)\Bigl(\forall n\geq N(\varepsilon)(\abs{a_{n} - a} < \varepsilon)\bigr)\biggr). - \] - - Dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là \textbf{hội tụ\index{Hội tụ}} nếu tồn tại số hữu tỉ $a$ sao cho dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến $a$. Số hữu tỉ $a$ khi đó được gọi là một \textbf{điểm giới hạn\index{Điểm giới hạn}}, hay \textbf{giới hạn\index{Giới hạn}} của dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. - - Bằng kí hiệu, chúng ta viết điều kiện cần và đủ để dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ \textbf{không hội tụ đến số hữu tỉ $a$} như sau - \[ - \exists\varepsilon_{0} > 0 \Biggl(\forall N\Bigl(\exists n\geq N (\abs{a_{n} - a}\geq\varepsilon_{0} )\Bigr)\Biggr). - \] + Dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là + \textbf{hội tụ đến số hữu tỉ $a$} nếu và chỉ nếu + \[ + \forall \varepsilon > 0 \Biggl(\exists N(\varepsilon)\Bigl(\forall n\geq N(\varepsilon)(\abs{a_{n} - a} < \varepsilon)\bigr)\biggr). + \] + + Dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là \textbf{hội tụ\index{Hội tụ}} nếu tồn tại số hữu tỉ $a$ sao cho dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến $a$. Số hữu tỉ $a$ khi đó được gọi là một \textbf{điểm giới hạn\index{Điểm giới hạn}}, hay \textbf{giới hạn\index{Giới hạn}} của dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + + Bằng kí hiệu, chúng ta viết điều kiện cần và đủ để dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ \textbf{không hội tụ đến số hữu tỉ $a$} như sau + \[ + \exists\varepsilon_{0} > 0 \Biggl(\forall N\Bigl(\exists n\geq N (\abs{a_{n} - a}\geq\varepsilon_{0} )\Bigr)\Biggr). + \] \end{definition} Trên đây là một định nghĩa hình thức cho khái niệm dãy số hữu tỉ hội tụ. Chúng tôi thừa nhận rằng cách định nghĩa này khó hiểu với những người mới học. Nếu bạn đọc cảm thấy đây là một cách định nghĩa phức tạp, thì chúng tôi cho rằng việc nên làm đầu tiên là đọc về vị từ và lượng từ trong Chương~\ref{chapter:logic-and-set-theory}. Thay cho (nhưng không hoàn toàn thay thế) cách định nghĩa trên, định nghĩa cho dãy số hữu tỉ hội tụ có thể được phát biểu bớt hình thức hơn như sau: \begin{itemize} - \item (Thông dịch trực tiếp logic hình thức thành câu văn) Dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là hội tụ đến số hữu tỉ $a$ nếu và chỉ nếu: với mỗi (số hữu tỉ) $\varepsilon > 0$, tồn tại số tự nhiên $N(\varepsilon)$ chỉ phụ thuộc vào $\varepsilon$ sao cho với mọi chỉ số $n\geq N(\varepsilon)$, chúng ta có $\abs{a_{n} - a} < \varepsilon$. - \item (Phát biểu không hình thức) Dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là hội tụ đến số hữu tỉ $a$ nếu và chỉ nếu: với mỗi (số hữu tỉ) $\varepsilon > 0$ nhỏ tùy ý, luôn tồn tại một chỉ số mà từ chỉ số đó trở đi, khoảng cách từ $a_{n}$ đến $a$ nhỏ hơn $\varepsilon$. + \item (Thông dịch trực tiếp logic hình thức thành câu văn) Dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là hội tụ đến số hữu tỉ $a$ nếu và chỉ nếu: với mỗi (số hữu tỉ) $\varepsilon > 0$, tồn tại số tự nhiên $N(\varepsilon)$ chỉ phụ thuộc vào $\varepsilon$ sao cho với mọi chỉ số $n\geq N(\varepsilon)$, chúng ta có $\abs{a_{n} - a} < \varepsilon$. + \item (Phát biểu không hình thức) Dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là hội tụ đến số hữu tỉ $a$ nếu và chỉ nếu: với mỗi (số hữu tỉ) $\varepsilon > 0$ nhỏ tùy ý, luôn tồn tại một chỉ số mà từ chỉ số đó trở đi, khoảng cách từ $a_{n}$ đến $a$ nhỏ hơn $\varepsilon$. \end{itemize} \begin{theorem}\label{theorem:uniqueness-of-limit-points-of-convergence-rational-sequences} - Nếu một dãy số hữu tỉ hội tụ thì dãy số hữu tỉ đó chỉ có một điểm giới hạn. + Nếu một dãy số hữu tỉ hội tụ thì dãy số hữu tỉ đó chỉ có một điểm giới hạn. \end{theorem} Việc tính toán giới hạn của một số dãy số có thể được đơn giản hóa nhờ kết quả sau và những giới hạn đã biết. \begin{proposition}\label{proposition:limits-of-sum-and-product} - ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là các dãy số hữu tỉ. - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item Nếu $\lim a_{n} = a$ và $\lim b_{n} = b$ thì $\lim s_{n} = a + b$, trong đó dãy số hữu tỉ ${(s_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được định nghĩa bởi $s_{n} = a_{n} + b_{n}$ với mọi số tự nhiên $n$ (Chúng ta còn kí hiệu ${(s_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bởi ${(a_{n} + b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$). - \item Nếu $\lim a_{n} = a$ thì $\lim c_{n} = ca$, trong đó dãy số hữu tỉ ${(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được định nghĩa bởi $c_{n} = c\cdot a_{n}$ với mọi số tự nhiên $n$, trong đó $c$ là một hằng số hữu tỉ (Chúng ta còn kí hiệu ${(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bởi ${(ca_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$). - \item Nếu $\lim a_{n} = a$ và $\lim b_{n} = b$ thì $\lim p_{n} = ab$, trong đó dãy số hữu tỉ ${(p_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được định nghĩa bởi $p_{n} = a_{n}b_{n}$ với mọi số tự nhiên $n$ (Chúng ta còn kí hiệu ${(p_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bởi ${(a_{n}b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$). - \end{enumerate} + ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là các dãy số hữu tỉ. + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Nếu $\lim a_{n} = a$ và $\lim b_{n} = b$ thì $\lim s_{n} = a + b$, trong đó dãy số hữu tỉ ${(s_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được định nghĩa bởi $s_{n} = a_{n} + b_{n}$ với mọi số tự nhiên $n$ (Chúng ta còn kí hiệu ${(s_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bởi ${(a_{n} + b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$). + \item Nếu $\lim a_{n} = a$ thì $\lim c_{n} = ca$, trong đó dãy số hữu tỉ ${(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được định nghĩa bởi $c_{n} = c\cdot a_{n}$ với mọi số tự nhiên $n$, trong đó $c$ là một hằng số hữu tỉ (Chúng ta còn kí hiệu ${(c_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bởi ${(ca_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$). + \item Nếu $\lim a_{n} = a$ và $\lim b_{n} = b$ thì $\lim p_{n} = ab$, trong đó dãy số hữu tỉ ${(p_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được định nghĩa bởi $p_{n} = a_{n}b_{n}$ với mọi số tự nhiên $n$ (Chúng ta còn kí hiệu ${(p_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bởi ${(a_{n}b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$). + \end{enumerate} \end{proposition} \begin{definition}[Dãy Cauchy hữu tỉ] - Dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là một \textbf{dãy Cauchy hữu tỉ\index{Dãy Cauchy hữu tỉ}} nếu và chỉ nếu - \[ - \forall\varepsilon > 0 \Biggl( \exists N(\varepsilon) \Bigl( \forall n\geq N(\varepsilon) \bigl(\forall m\geq N(\varepsilon) (\abs{a_{m} - a_{n}} < \varepsilon)\bigr) \Bigr) \Biggr). - \] + Dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là một \textbf{dãy Cauchy hữu tỉ\index{Dãy Cauchy hữu tỉ}} nếu và chỉ nếu + \[ + \forall\varepsilon > 0 \Biggl( \exists N(\varepsilon) \Bigl( \forall n\geq N(\varepsilon) \bigl(\forall m\geq N(\varepsilon) (\abs{a_{m} - a_{n}} < \varepsilon)\bigr) \Bigr) \Biggr). + \] - \noindent Điều kiện trên có thể phát biểu dưới dạng tương đương là - \[ - \forall\varepsilon > 0 \Biggl( \exists N(\varepsilon) \Bigl( \forall n\geq N(\varepsilon) \bigl(\forall p > 0 (\abs{a_{n+p} - a_{n}} < \varepsilon)\bigr) \Bigr) \Biggr). - \] + \noindent Điều kiện trên có thể phát biểu dưới dạng tương đương là + \[ + \forall\varepsilon > 0 \Biggl( \exists N(\varepsilon) \Bigl( \forall n\geq N(\varepsilon) \bigl(\forall p > 0 (\abs{a_{n+p} - a_{n}} < \varepsilon)\bigr) \Bigr) \Biggr). + \] - \noindent Chúng ta kí hiệu tập hợp các dãy Cauchy hữu tỉ là $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}$. + \noindent Chúng ta kí hiệu tập hợp các dãy Cauchy hữu tỉ là $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}$. \end{definition} Dãy Cauchy hữu tỉ và tính hội tụ có liên hệ sau. \begin{theorem} - Nếu một dãy số hữu tỉ hội tụ thì đó cũng là một dãy Cauchy hữu tỉ. + Nếu một dãy số hữu tỉ hội tụ thì đó cũng là một dãy Cauchy hữu tỉ. \end{theorem} Dãy số hữu tỉ hội tụ thì cũng là dãy Cauchy hữu tỉ, nhưng dãy Cauchy hữu tỉ thì có thể không hội tụ đến số hữu tỉ nào. \begin{proposition} - Dãy số hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được định nghĩa bằng đệ quy như sau - \[ - x_{n} = \begin{cases} - 1 & \text{khi $n = 0$} \\ - \dfrac{2x_{n-1} + 2}{x_{n-1} + 2} & \text{khi $n\geq 1$} - \end{cases} - \] - - Chứng minh rằng dãy số hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy và không hội tụ đến bất kì số hữu tỉ nào. + Dãy số hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được định nghĩa bằng đệ quy như sau + \[ + x_{n} = \begin{cases} + 1 & \text{khi $n = 0$} \\ + \dfrac{2x_{n-1} + 2}{x_{n-1} + 2} & \text{khi $n\geq 1$} + \end{cases} + \] + + Chứng minh rằng dãy số hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy và không hội tụ đến bất kì số hữu tỉ nào. \end{proposition} \begin{proof}[Chứng minh sơ lược] - Chúng ta chứng minh mệnh đề này bằng phản chứng, lần lượt qua các bước sau. - \begin{enumerate}[label={\textbf{Bước \arabic*.}},itemindent=1cm] - \item $x_{n}\geq 1$ với mọi số tự nhiên $n$. - \item Với mọi số tự nhiên $n$, $\abs{{x_{n}}^{2} - 2}\leq \dfrac{1}{n+1}$. - \item Chứng minh rằng ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ. + Chúng ta chứng minh mệnh đề này bằng phản chứng, lần lượt qua các bước sau. + \begin{enumerate}[label={\textbf{Bước \arabic*.}},itemindent=1cm] + \item $x_{n}\geq 1$ với mọi số tự nhiên $n$. + \item Với mọi số tự nhiên $n$, $\abs{{x_{n}}^{2} - 2}\leq \dfrac{1}{n+1}$. + \item Chứng minh rằng ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ. - Chúng ta chọn $\varepsilon$ là một số hữu tỉ dương, $N = \floor{\frac{1}{\varepsilon}}$, nếu số tự nhiên $n\geq N$ thì với mọi số tự nhiên $p$, chúng ta có - \begin{align*} - \abs{x_{n+p} - x_{n}} & = \frac{\abs{{x_{n+p}}^{2} - {x_{n}}^{2}}}{\abs{x_{n+p} + x_{n}}} = \frac{\abs{({x_{n+p}}^{2} - 2) + (2 - {x_{n}}^{2})}}{\abs{x_{n+p} + x_{n}}} \\ - & \leq \frac{\abs{{x_{n+p}}^{2} - 2} + \abs{{x_{n}}^{2} - 2}}{\abs{x_{n+p} + x_{n}}} \\ - & \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+p+1}\right) & \text{(theo \textbf{Bước 1} và \textbf{Bước 2})} \\ - & \leq \frac{1}{n+1} < \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon. - \end{align*} + Chúng ta chọn $\varepsilon$ là một số hữu tỉ dương, $N = \floor{\frac{1}{\varepsilon}}$, nếu số tự nhiên $n\geq N$ thì với mọi số tự nhiên $p$, chúng ta có + \begin{align*} + \abs{x_{n+p} - x_{n}} & = \frac{\abs{{x_{n+p}}^{2} - {x_{n}}^{2}}}{\abs{x_{n+p} + x_{n}}} = \frac{\abs{({x_{n+p}}^{2} - 2) + (2 - {x_{n}}^{2})}}{\abs{x_{n+p} + x_{n}}} \\ + & \leq \frac{\abs{{x_{n+p}}^{2} - 2} + \abs{{x_{n}}^{2} - 2}}{\abs{x_{n+p} + x_{n}}} \\ + & \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+p+1}\right) & \text{(theo \textbf{Bước 1} và \textbf{Bước 2})} \\ + & \leq \frac{1}{n+1} < \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon. + \end{align*} - Do đó với mỗi số hữu tỉ dương $\varepsilon$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$ và với mọi số tự nhiên $p$, chúng ta có $\abs{x_{n+p} - x_{n}} < \varepsilon$. Theo định nghĩa dãy Cauchy hữu tỉ, ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ. - \item Dãy số hữu tỉ ${(y_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ (được định nghĩa bởi $y_{n} = {x_{n}}^{2}$ với mọi số tự nhiên $n$) hội tụ đến $2$. + Do đó với mỗi số hữu tỉ dương $\varepsilon$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$ và với mọi số tự nhiên $p$, chúng ta có $\abs{x_{n+p} - x_{n}} < \varepsilon$. Theo định nghĩa dãy Cauchy hữu tỉ, ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ. + \item Dãy số hữu tỉ ${(y_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ (được định nghĩa bởi $y_{n} = {x_{n}}^{2}$ với mọi số tự nhiên $n$) hội tụ đến $2$. - Chúng ta chọn $\varepsilon$ là một số hữu tỉ dương, $N = \floor{\frac{1}{\varepsilon}}$, nếu số tự nhiên $n\geq N$ thì - \[ - \abs{{x_{n}}^{2} - 2}\leq \frac{1}{n+1} < \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} < \varepsilon. - \] + Chúng ta chọn $\varepsilon$ là một số hữu tỉ dương, $N = \floor{\frac{1}{\varepsilon}}$, nếu số tự nhiên $n\geq N$ thì + \[ + \abs{{x_{n}}^{2} - 2}\leq \frac{1}{n+1} < \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} < \varepsilon. + \] - Theo định nghĩa dãy số hội tụ, dãy số hữu tỉ ${(y_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến $2$. - \item Chứng minh rằng dãy số hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không hội tụ đến bất kì số hữu tỉ nào. + Theo định nghĩa dãy số hội tụ, dãy số hữu tỉ ${(y_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến $2$. + \item Chứng minh rằng dãy số hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không hội tụ đến bất kì số hữu tỉ nào. - Giả sử phản chứng rằng dãy số hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến số hữu tỉ $x$. + Giả sử phản chứng rằng dãy số hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến số hữu tỉ $x$. - Theo phần (iii) của Mệnh đề~\ref{proposition:limits-of-sum-and-product}, chúng ta suy ra dãy số ${(y_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến số hữu tỉ $x^{2}$. Theo Định lý~\ref{theorem:uniqueness-of-limit-points-of-convergence-rational-sequences}, chúng ta suy ra $x^{2} = 2$. + Theo phần (iii) của Mệnh đề~\ref{proposition:limits-of-sum-and-product}, chúng ta suy ra dãy số ${(y_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến số hữu tỉ $x^{2}$. Theo Định lý~\ref{theorem:uniqueness-of-limit-points-of-convergence-rational-sequences}, chúng ta suy ra $x^{2} = 2$. - Theo Mệnh đề~\ref{proposition:irrational-cut}, không có số hữu tỉ nào có bình phương bằng $2$. Do đó $x^{2} = 2$ (với $x$ là số hữu tỉ) là một kết quả vô lý. Như vậy giả sử phản chứng là sai, kéo theo dãy số hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không hội tụ đến số hữu tỉ nào. - \end{enumerate} + Theo Mệnh đề~\ref{proposition:irrational-cut}, không có số hữu tỉ nào có bình phương bằng $2$. Do đó $x^{2} = 2$ (với $x$ là số hữu tỉ) là một kết quả vô lý. Như vậy giả sử phản chứng là sai, kéo theo dãy số hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không hội tụ đến số hữu tỉ nào. + \end{enumerate} \end{proof} Khi sử dụng dãy Cauchy hữu tỉ để xây dựng tập hợp số thực, chúng ta gặp một vấn đề: \textit{có nhiều dãy Cauchy hữu tỉ hội tụ đến cùng một số hữu tỉ}. Điều này sẽ được giải quyết bằng quan hệ tương đương trong định lý sau. \begin{theorem} - Hai dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là có quan hệ $\sim$, và được kí hiệu là ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} \sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ khi và chỉ khi dãy số hữu tỉ ${(a_{n} - b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến $0$, nói cách khác - \[ - \forall\varepsilon > 0\Biggl( \exists N \Bigl( \forall n\geq N ( \abs{a_{n} - b_{n}} < \varepsilon ) \Bigr) \Biggr). - \] - \begin{enumerate}[label={(\roman*)},itemsep=0pt] - \item Quan hệ $\sim$ trên tập hợp các dãy số hữu tỉ là một quan hệ tương đương. Nói riêng, quan hệ $\sim$ trên tập hợp các dãy Cauchy hữu tỉ là một quan hệ tương đương. - \item Nếu hai dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ tương đương theo quan hệ $\sim$ thì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến số hữu tỉ $q$ khi và chỉ khi ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến số hữu tỉ $q$. - \item Nếu hai dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ tương đương theo quan hệ $\sim$ thì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là dãy Cauchy hữu tỉ khi và chỉ khi ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là dãy Cauchy hữu tỉ. - \end{enumerate} + Hai dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là có quan hệ $\sim$, và được kí hiệu là ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} \sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ khi và chỉ khi dãy số hữu tỉ ${(a_{n} - b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến $0$, nói cách khác + \[ + \forall\varepsilon > 0\Biggl( \exists N \Bigl( \forall n\geq N ( \abs{a_{n} - b_{n}} < \varepsilon ) \Bigr) \Biggr). + \] + \begin{enumerate}[label={(\roman*)},itemsep=0pt] + \item Quan hệ $\sim$ trên tập hợp các dãy số hữu tỉ là một quan hệ tương đương. Nói riêng, quan hệ $\sim$ trên tập hợp các dãy Cauchy hữu tỉ là một quan hệ tương đương. + \item Nếu hai dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ tương đương theo quan hệ $\sim$ thì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến số hữu tỉ $q$ khi và chỉ khi ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến số hữu tỉ $q$. + \item Nếu hai dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ tương đương theo quan hệ $\sim$ thì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là dãy Cauchy hữu tỉ khi và chỉ khi ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là dãy Cauchy hữu tỉ. + \end{enumerate} \end{theorem} Chúng ta kí hiệu tập hợp các dãy Cauchy hữu tỉ là $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}$. @@ -414,30 +416,30 @@ \subsection{Tóm lược về mô hình số thực bằng dãy Cauchy hữu t Phép cộng và phép nhân dãy Cauchy hữu tỉ được thực hiện bằng cách cộng và nhân các giá trị của hai dãy Cauchy hữu tỉ tại các chỉ số bằng nhau. \begin{theorem}[Phép cộng và phép nhân dãy Cauchy hữu tỉ]\label{theorem:addition-and-multiplication-of-rational-cauchy-sequences} - ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là các dãy Cauchy hữu tỉ thì - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item ${(a_{n} + b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ\index{Phép cộng dãy Cauchy hữu tỉ}. Chúng ta cũng kí hiệu ${(a_{n} + b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} = {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} + {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. - \item ${(a_{n}b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ\index{Phép nhân dãy Cauchy hữu tỉ}. Chúng ta cũng kí hiệu ${(a_{n}b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} = {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\cdot {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. - \end{enumerate} + ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là các dãy Cauchy hữu tỉ thì + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item ${(a_{n} + b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ\index{Phép cộng dãy Cauchy hữu tỉ}. Chúng ta cũng kí hiệu ${(a_{n} + b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} = {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}} + {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \item ${(a_{n}b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy hữu tỉ\index{Phép nhân dãy Cauchy hữu tỉ}. Chúng ta cũng kí hiệu ${(a_{n}b_{n})}_{n\in\mathbb{N}} = {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\cdot {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \end{enumerate} \end{theorem} \begin{definition} - Chúng ta kí hiệu lớp tương đương gồm các \textit{dãy số hữu tỉ} tương đương với dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là $\clsseq{a_{n}}{n}$. - - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item Phép cộng hai phần tử\index{Phép cộng hai lớp tương đương dãy Cauchy hữu tỉ} của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ là một phép toán hai ngôi trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, được kí hiệu là $+$ và được xác định như sau - \[ - \clsseq{a_{n}}{n} + \clsseq{b_{n}}{n} = \clsseq{a_{n} + b_{n}}{n} - \] - - trong đó ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}, {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là các dãy Cauchy hữu tỉ. - \item Phép nhân hai phần tử\index{Phép nhân hai lớp tương đương dãy Cauchy hữu tỉ} của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ là một phép toán hai ngôi trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, được kí hiệu là $\cdot$ và được xác định như sau - \[ - \clsseq{a_{n}}{n} \cdot \clsseq{b_{n}}{n} = \clsseq{a_{n}b_{n}}{n} - \] - - trong đó ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}, {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là các dãy Cauchy hữu tỉ. - \end{enumerate} + Chúng ta kí hiệu lớp tương đương gồm các \textit{dãy số hữu tỉ} tương đương với dãy số hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là $\clsseq{a_{n}}{n}$. + + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Phép cộng hai phần tử\index{Phép cộng hai lớp tương đương dãy Cauchy hữu tỉ} của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ là một phép toán hai ngôi trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, được kí hiệu là $+$ và được xác định như sau + \[ + \clsseq{a_{n}}{n} + \clsseq{b_{n}}{n} = \clsseq{a_{n} + b_{n}}{n} + \] + + trong đó ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}, {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là các dãy Cauchy hữu tỉ. + \item Phép nhân hai phần tử\index{Phép nhân hai lớp tương đương dãy Cauchy hữu tỉ} của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ là một phép toán hai ngôi trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, được kí hiệu là $\cdot$ và được xác định như sau + \[ + \clsseq{a_{n}}{n} \cdot \clsseq{b_{n}}{n} = \clsseq{a_{n}b_{n}}{n} + \] + + trong đó ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}, {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là các dãy Cauchy hữu tỉ. + \end{enumerate} \end{definition} Một cách không hình thức, chúng ta có thể diễn đạt định nghĩa trên thành: tổng (tích) của hai lớp tương đương là lớp tương đương của tổng (tích) hai dãy Cauchy. Với định nghĩa trên, phép cộng và phép nhân của hai phần tử trong $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện của lớp tương đương. Định nghĩa này cũng cho phép chúng ta kiểm tra các tiên đề về trường một cách thuận lợi. @@ -445,27 +447,27 @@ \subsection{Tóm lược về mô hình số thực bằng dãy Cauchy hữu t Để định nghĩa quan hệ thứ tự như mong muốn trong $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$, chúng ta sử dụng một quan hệ tiền thứ tự trong $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}$. \begin{definition} - ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là hai dãy Cauchy hữu tỉ. - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item Chúng ta nói ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ có quan hệ $\lesssim$ nếu và chỉ nếu\index{Quan hệ tiền thứ tự giữa các dãy Cauchy hữu tỉ} ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ \textbf{tương đương} với ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hoặc tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $a_{n}\leq b_{n}$. - \item Chúng ta nói ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ có quan hệ $<$ nếu và chỉ nếu ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ \textbf{không tương đương} với ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\leq {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. - \end{enumerate} + ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là hai dãy Cauchy hữu tỉ. + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chúng ta nói ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ có quan hệ $\lesssim$ nếu và chỉ nếu\index{Quan hệ tiền thứ tự giữa các dãy Cauchy hữu tỉ} ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ \textbf{tương đương} với ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hoặc tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $a_{n}\leq b_{n}$. + \item Chúng ta nói ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ có quan hệ $<$ nếu và chỉ nếu ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ \textbf{không tương đương} với ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\leq {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + \end{enumerate} \end{definition} \begin{theorem} - Quan hệ $\lesssim$ giữa các dãy Cauchy hữu tỉ là một quan hệ tiền thứ tự toàn phần. + Quan hệ $\lesssim$ giữa các dãy Cauchy hữu tỉ là một quan hệ tiền thứ tự toàn phần. \end{theorem} \begin{theorem}\label{theorem:preorder-and-equivalence-relation-between-rational-cauchy-sequences} - Nếu hai dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thỏa mãn ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + Nếu hai dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thỏa mãn ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thì ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. \end{theorem} \begin{definition} - Hai phần tử $\alpha, \beta$ của tập thương $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ được gọi là có quan hệ $\leq$ nếu và chỉ nếu với mỗi dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ trong $\alpha$ và dãy Cauchy hữu tỉ ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ trong $\beta$, chúng ta có ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + Hai phần tử $\alpha, \beta$ của tập thương $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ được gọi là có quan hệ $\leq$ nếu và chỉ nếu với mỗi dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ trong $\alpha$ và dãy Cauchy hữu tỉ ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ trong $\beta$, chúng ta có ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\lesssim {(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. \end{definition} \begin{theorem} - Quan hệ $\leq$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ là một quan hệ thứ tự toàn phần. + Quan hệ $\leq$ trên tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ là một quan hệ thứ tự toàn phần. \end{theorem} Với mô hình số thực bằng dãy Cauchy hữu tỉ, việc kiểm tra các tiên đề về trường, các tiên đề về thứ tự có thể được thực hiện rất tự nhiên. Nhưng với tiên đề về cận trên, chứng minh đòi hỏi việc xây dựng một phần tử của $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ là cận trên nhỏ nhất. Chi tiết nội dung về việc xây dựng tập hợp số thực, chúng tôi đặt tại phần phụ lục của tài liệu này. @@ -473,19 +475,19 @@ \subsection{Tóm lược về mô hình số thực bằng dãy Cauchy hữu t \subsection{Tính duy nhất của tập hợp số thực} \begin{definition} - Số thực là một lát cắt trên tập hợp số hữu tỉ. Tập hợp số thực được kí hiệu là $\mathbb{R}$. + Số thực là một lát cắt trên tập hợp số hữu tỉ. Tập hợp số thực được kí hiệu là $\mathbb{R}$. \end{definition} Với việc có nhiều cách xây dựng tập hợp số thực, trong đó, tiêu biểu là mô hình lát cắt Dedekind và mô hình dãy Cauchy hữu tỉ, chúng ta có ít nhất hai cách để định nghĩa số thực --- Số thực có thể được định nghĩa là một lát cắt trên tập hợp số hữu tỉ, hoặc một phần tử của tập thương $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$. Tuy nhiên, các nhà toán học đã chứng minh được rằng mọi mô hình số thực là đẳng cấu với nhau. \begin{theorem}\label{theorem:uniqueness-of-complete-ordered-field} - Nếu tập hợp $R$ với phép cộng (${+}_{R}$) với phần tử đồng nhất của phép cộng ($0_{R}$), phép nhân (${\times}_{R}$) với phần tử đồng nhất của phép nhân ($1_{R}$), và quan hệ thứ tự ($\leq_{R}$) thỏa mãn hệ tiên đề về số thực thì tồn tại một song ánh $f: \mathscr{D}_{\mathbb{Q}}\to R$ sao cho - \begin{itemize}[topsep=0pt,itemsep=0pt] - \item $f(0) = 0_{R}$, $f(1) = 1_{R}$. - \item $f(x + y) = f(x) +_{R} f(y)$ với mọi số thực $x, y$. - \item $f(xy) = f(x) \times_{R} f(y)$ với mọi số thực $x, y$. - \item $x\leq y$ kéo theo $f(x)\leq_{R} f(y)$ với mọi số thực $x, y$. - \end{itemize} + Nếu tập hợp $R$ với phép cộng (${+}_{R}$) với phần tử đồng nhất của phép cộng ($0_{R}$), phép nhân (${\times}_{R}$) với phần tử đồng nhất của phép nhân ($1_{R}$), và quan hệ thứ tự ($\leq_{R}$) thỏa mãn hệ tiên đề về số thực thì tồn tại một song ánh $f: \mathscr{D}_{\mathbb{Q}}\to R$ sao cho + \begin{itemize}[topsep=0pt,itemsep=0pt] + \item $f(0) = 0_{R}$, $f(1) = 1_{R}$. + \item $f(x + y) = f(x) +_{R} f(y)$ với mọi số thực $x, y$. + \item $f(xy) = f(x) \times_{R} f(y)$ với mọi số thực $x, y$. + \item $x\leq y$ kéo theo $f(x)\leq_{R} f(y)$ với mọi số thực $x, y$. + \end{itemize} \end{theorem} Một chứng minh cho Định lý~\ref{theorem:uniqueness-of-complete-ordered-field} được phác thảo trong~\cite{spivak}. Với định lý này, chúng ta có thể sử dụng khái niệm số thực mà không cần biết rõ là số thực được định nghĩa theo mô hình nào, tương tự với việc có thể sử dụng bất kì phần tử nào của một lớp tương đương để làm phần tử đại diện của lớp tương đương đó. @@ -497,223 +499,627 @@ \subsection{Thuộc tính Archimedes} Trong chương trình phổ thông, thuộc tính Archimedes thường được thừa nhận. Chứng minh dưới đây cho thuộc tính Archimedes sử dụng tiên đề về cận trên. \begin{theorem}[Thuộc tính Archimedes\index{Thuộc tính Archimedes}] - Với mỗi số thực $x$, tồn tại số nguyên $n$ sao cho $x < n$. + Với mỗi số thực $x$, tồn tại số nguyên $n$ sao cho $x < n$. \end{theorem} \begin{proof} - Giả sử phản chứng rằng tồn tại số thực $x$ sao cho với mọi số nguyên $n$, có $n\leq x$. Theo giả sử phản chứng, $x$ là một cận trên của tập hợp số nguyên. Theo tiên đề về cận trên, tập hợp số nguyên có cận trên nhỏ nhất, chúng ta kí hiệu cận trên nhỏ nhất đó là $s$. Do đó $n\leq s$ với mọi số nguyên $n$. Vì $s$ là cận trên nhỏ nhất của tập hợp số nguyên nên $s - 1$ không phải một cận trên của tập hợp số nguyên, do đó tồn tại số nguyên $m$ sao cho $s - 1 < m$, kéo theo $s < m + 1$. Điều này mâu thuẫn với việc $s$ là cận trên của tập hợp số nguyên, nên giả sử phản chứng là sai. + Giả sử phản chứng rằng tồn tại số thực $x$ sao cho với mọi số nguyên $n$, có $n\leq x$. Theo giả sử phản chứng, $x$ là một cận trên của tập hợp số nguyên. Theo tiên đề về cận trên, tập hợp số nguyên có cận trên nhỏ nhất, chúng ta kí hiệu cận trên nhỏ nhất đó là $s$. Do đó $n\leq s$ với mọi số nguyên $n$. Vì $s$ là cận trên nhỏ nhất của tập hợp số nguyên nên $s - 1$ không phải một cận trên của tập hợp số nguyên, do đó tồn tại số nguyên $m$ sao cho $s - 1 < m$, kéo theo $s < m + 1$. Điều này mâu thuẫn với việc $s$ là cận trên của tập hợp số nguyên, nên giả sử phản chứng là sai. - Vậy với mỗi số thực $x$, tồn tại số nguyên $n$ sao cho $x < n$. + Vậy với mỗi số thực $x$, tồn tại số nguyên $n$ sao cho $x < n$. \end{proof} \begin{corollary} - Với mọi số thực $x, y$, nếu $y > 0$ thì tồn tại số nguyên $n$ sao cho $x < ny$. + Với mọi số thực $x, y$, nếu $y > 0$ thì tồn tại số nguyên $n$ sao cho $x < ny$. \end{corollary} Hệ quả trên được rút ra từ việc áp dụng thuộc tính Archimedes cho số thực $\frac{x}{y}$. Trong nhiều tài liệu khác, hệ quả trên được coi là thuộc tính Archimedes. \begin{figure}[htp] - \centering - \begin{tikzpicture}[scale=2.0] - \coordinate (O) at (0,0); - \coordinate (I) at (1,0); - \coordinate (II) at (2,0); - \coordinate (III) at (3,0); - \coordinate (IV) at (4,0); - \coordinate (V) at (5,0); - - \coordinate (PI) at (3.1415926,0); - - \node [label={below:$0$}] at (O) {}; - \node [label={below:$1$}] at (I) {}; - \node [label={below:$2$}] at (II) {}; - \node [label={below:$\mathbf{3}$}] at (III) {}; - \node [label={above:$\mathbf{3.14}$}] at (PI) {}; - \node [label={below:$\mathbf{4}$}] at (IV) {}; - \node [label={below:$5$}] at (V) {}; - - \draw (O) -- (I) -- (II) -- (III) -- (IV) -- (V); - \draw (O) -- ++(0,0.1); - \draw (I) -- ++(0,0.1); - \draw (II) -- ++(0,0.1); - \draw (III) -- ++(0,0.1); - \draw (PI) -- ++(0,0.1); - \draw (IV) -- ++(0,0.1); - \draw (V) -- ++(0,0.1); - - \draw (O) arc (120:60:1); - \draw (I) arc (120:60:1); - \draw (II) arc (120:60:1); - \draw (III) arc (120:60:1); - \draw (IV) arc (120:60:1); - \end{tikzpicture} - \caption{Minh họa thuộc tính Archimedes với $x = 3.14$.} + \centering + \begin{tikzpicture}[scale=2.0] + \coordinate (O) at (0,0); + \coordinate (I) at (1,0); + \coordinate (II) at (2,0); + \coordinate (III) at (3,0); + \coordinate (IV) at (4,0); + \coordinate (V) at (5,0); + + \coordinate (PI) at (3.1415926,0); + + \node [label={below:$0$}] at (O) {}; + \node [label={below:$1$}] at (I) {}; + \node [label={below:$2$}] at (II) {}; + \node [label={below:$\mathbf{3}$}] at (III) {}; + \node [label={above:$\mathbf{3.14}$}] at (PI) {}; + \node [label={below:$\mathbf{4}$}] at (IV) {}; + \node [label={below:$5$}] at (V) {}; + + \draw (O) -- (I) -- (II) -- (III) -- (IV) -- (V); + \draw (O) -- ++(0,0.1); + \draw (I) -- ++(0,0.1); + \draw (II) -- ++(0,0.1); + \draw (III) -- ++(0,0.1); + \draw (PI) -- ++(0,0.1); + \draw (IV) -- ++(0,0.1); + \draw (V) -- ++(0,0.1); + + \draw (O) arc (120:60:1); + \draw (I) arc (120:60:1); + \draw (II) arc (120:60:1); + \draw (III) arc (120:60:1); + \draw (IV) arc (120:60:1); + \end{tikzpicture} + \caption{Minh họa thuộc tính Archimedes với $x = 3.14$.} \end{figure} \begin{theorem}[Phần nguyên của số thực\index{Phần nguyên của số thực}] - Với mọi số thực $x$, tồn tại duy nhất số nguyên $n$ sao cho $n\leq x < n+1$. + Với mọi số thực $x$, tồn tại duy nhất số nguyên $n$ sao cho $n\leq x < n+1$. - \noindent Nói riêng, số nguyên $n$ như vậy được gọi là \textbf{phần nguyên của số thực $x$} và được kí hiệu là $\floor{x}$. + \noindent Nói riêng, số nguyên $n$ như vậy được gọi là \textbf{phần nguyên của số thực $x$} và được kí hiệu là $\floor{x}$. \end{theorem} \begin{proof} - Theo thuộc tính Archimedes, tồn tại số nguyên $a$ và $b$ sao cho $x < b$ và $-x < a$, kéo theo $-a < x < b$. + Theo thuộc tính Archimedes, tồn tại số nguyên $a$ và $b$ sao cho $x < b$ và $-x < a$, kéo theo $-a < x < b$. - Theo tính chất bắc cầu của quan hệ thứ tự trên tập hợp số thực, nếu một số nguyên $c$ thỏa mãn $c\leq x$ thì $c\leq b$. Theo nguyên lý thứ tự tốt, tập hợp các số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng $x$ có phần tử lớn nhất, chúng ta kí hiệu phần tử đó là $n$. Vì $n < n + 1$ và $n + 1$ là một số nguyên nên theo định nghĩa của $n$, chúng ta có $n\leq x < n + 1$. + Theo tính chất bắc cầu của quan hệ thứ tự trên tập hợp số thực, nếu một số nguyên $c$ thỏa mãn $c\leq x$ thì $c\leq b$. Theo nguyên lý thứ tự tốt, tập hợp các số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng $x$ có phần tử lớn nhất, chúng ta kí hiệu phần tử đó là $n$. Vì $n < n + 1$ và $n + 1$ là một số nguyên nên theo định nghĩa của $n$, chúng ta có $n\leq x < n + 1$. - Giả sử số nguyên $m$ thỏa mãn $m\leq x < m + 1$. Giả sử phản chứng rằng $m < n$, khi đó $m + 1\leq n$, kéo theo $m + 1\leq x$, mâu thuẫn với $x < m + 1$. Giả sử phản chứng rằng $n < m$, khi đó $n + 1\leq m$, kéo theo $n + 1\leq x$, mâu thuẫn với $x < n + 1$. Do đó $m = n$. + Giả sử số nguyên $m$ thỏa mãn $m\leq x < m + 1$. Giả sử phản chứng rằng $m < n$, khi đó $m + 1\leq n$, kéo theo $m + 1\leq x$, mâu thuẫn với $x < m + 1$. Giả sử phản chứng rằng $n < m$, khi đó $n + 1\leq m$, kéo theo $n + 1\leq x$, mâu thuẫn với $x < n + 1$. Do đó $m = n$. - Vậy với mọi số thực $x$, tồn tại duy nhất số nguyên $n$ sao cho $n\leq x < n+1$. + Vậy với mọi số thực $x$, tồn tại duy nhất số nguyên $n$ sao cho $n\leq x < n+1$. \end{proof} \begin{theorem}[Tính trù mật của tập hợp số hữu tỉ\index{Tính trù mật của tập hợp số hữu tỉ}] - Với mọi số thực $x, y$ sao cho $x < y$, tồn tại số hữu tỉ $q$ sao cho $x < q < y$. + Với mọi số thực $x, y$ sao cho $x < y$, tồn tại số hữu tỉ $q$ sao cho $x < q < y$. \end{theorem} \begin{proof} - Theo thuộc tính Archimedes, tồn tại số nguyên $n$ sao cho $1 < n(y - x)$. Do đó $1 + nx < ny$. Theo định nghĩa phần nguyên của số thực, chúng ta có $nx < \floor{nx} + 1 \leq nx + 1 < ny$. + Theo thuộc tính Archimedes, tồn tại số nguyên $n$ sao cho $1 < n(y - x)$. Do đó $1 + nx < ny$. Theo định nghĩa phần nguyên của số thực, chúng ta có $nx < \floor{nx} + 1 \leq nx + 1 < ny$. - Do đó, với số nguyên $m = \floor{nx} + 1$, chúng ta có $nx < m < ny$. Bên cạnh đó, vì $y - x > 0$ và $n > 0$ nên $1 < n(y - x)$ kéo theo $n > 0$. Do đó $x < \frac{m}{n} < y$. + Do đó, với số nguyên $m = \floor{nx} + 1$, chúng ta có $nx < m < ny$. Bên cạnh đó, vì $y - x > 0$ và $n > 0$ nên $1 < n(y - x)$ kéo theo $n > 0$. Do đó $x < \frac{m}{n} < y$. - Vậy, với mọi số thực $x, y$ sao cho $x < y$, tồn tại số hữu tỉ $q$ sao cho $x < q < y$. + Vậy, với mọi số thực $x, y$ sao cho $x < y$, tồn tại số hữu tỉ $q$ sao cho $x < q < y$. \end{proof} \subsection{Bài tập} \begin{exercise} - $A$ là một lát cắt trên $\mathbb{Q}$. Chứng minh rằng $\mathbb{Q}\setminus A$ chỉ gồm tất cả các cận trên hữu tỉ của $A$. + $A$ là một lát cắt trên $\mathbb{Q}$. Chứng minh rằng $\mathbb{Q}\setminus A$ chỉ gồm tất cả các cận trên hữu tỉ của $A$. \end{exercise} \begin{exercise} - $A$ là một lát cắt trên $\mathbb{R}$. Chứng minh rằng $\mathbb{R}\setminus A$ có phần tử nhỏ nhất. Các lát cắt trên tập hợp số hữu tỉ có gì khác với các lát cắt trên tập hợp số thực? + $A$ là một lát cắt trên $\mathbb{R}$. Chứng minh rằng $\mathbb{R}\setminus A$ có phần tử nhỏ nhất. Các lát cắt trên tập hợp số hữu tỉ có gì khác với các lát cắt trên tập hợp số thực? \end{exercise} \begin{exercise} - Chứng minh rằng nếu một tập hợp con khác rỗng của tập hợp số thực bị chặn dưới thì có cận dưới lớn nhất. + Chứng minh rằng nếu một tập hợp con khác rỗng của tập hợp số thực bị chặn dưới thì có cận dưới lớn nhất. \end{exercise} \begin{exercise} - $A$ là tập hợp con khác rỗng của tập hợp số thực. Tập hợp $-A$ được định nghĩa như sau - \[ - -A = \{ -x \mid x\in A \}. - \] - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item Chứng minh rằng nếu $A$ có cận trên nhỏ nhất thì $-A$ có cận dưới lớn nhất, và khi đó $\sup A = -\inf (-A)$. - \item Chứng minh rằng nếu $A$ có cận dưới lớn nhất thì $-A$ có cận trên nhỏ nhất, và khi đó $\inf A = -\sup (-A)$. - \end{enumerate} + $A$ là tập hợp con khác rỗng của tập hợp số thực. Tập hợp $-A$ được định nghĩa như sau + \[ + -A = \{ -x \mid x\in A \}. + \] + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chứng minh rằng nếu $A$ có cận trên nhỏ nhất thì $-A$ có cận dưới lớn nhất, và khi đó $\sup A = -\inf (-A)$. + \item Chứng minh rằng nếu $A$ có cận dưới lớn nhất thì $-A$ có cận trên nhỏ nhất, và khi đó $\inf A = -\sup (-A)$. + \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise} - ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy. Chứng minh rằng - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item Tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $\abs{a_{n} - a_{N}} < 1$. - \item ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bị chặn. Nói cách khác, tồn tại số thực dương $A$ sao cho $\abs{a_{n}}\leq A$ với mọi số tự nhiên $n$. - \end{enumerate} + ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy Cauchy. Chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $\abs{a_{n} - a_{N}} < 1$. + \item ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bị chặn. Nói cách khác, tồn tại số thực dương $A$ sao cho $\abs{a_{n}}\leq A$ với mọi số tự nhiên $n$. + \end{enumerate} \end{exercise} Kết quả trong bài tập trên vẫn đúng với dãy Cauchy hữu tỉ và là cần thiết để chứng minh phần (ii) của Định lý~\ref{theorem:addition-and-multiplication-of-rational-cauchy-sequences}. \begin{exercise} - Chứng minh rằng với mỗi số thực $a$, $b$ thỏa mãn $a < b$, tồn tại số vô tỉ $x$ sao cho $a < x < b$. [Gợi ý: Tồn tại số hữu tỉ nằm giữa $a - \sqrt{2}$ và $b - \sqrt{2}$.] + Chứng minh rằng với mỗi số thực $a$, $b$ thỏa mãn $a < b$, tồn tại số vô tỉ $x$ sao cho $a < x < b$. [Gợi ý: Tồn tại số hữu tỉ nằm giữa $a - \sqrt{2}$ và $b - \sqrt{2}$.] \end{exercise} \begin{exercise} - Chứng minh rằng với mỗi số thực $x$ và số thực dương $\varepsilon$, tồn tại số hữu tỉ $q$ sao cho $\abs{q - x} < \varepsilon$. + Chứng minh rằng với mỗi số thực $x$ và số thực dương $\varepsilon$, tồn tại số hữu tỉ $q$ sao cho $\abs{q - x} < \varepsilon$. \end{exercise} \begin{exercise} - Chứng minh rằng với hai số thực $x$, $y$ thỏa mãn $x < y$, tồn tại số nguyên $m$ và số tự nhiên $n$ sao cho $x < \dfrac{m}{2^{n}} < y$. [Gợi ý: Áp dụng cách lập luận của chứng minh tính trù mật của tập hợp số hữu tỉ.] + Chứng minh rằng với hai số thực $x$, $y$ thỏa mãn $x < y$, tồn tại số nguyên $m$ và số tự nhiên $n$ sao cho $x < \dfrac{m}{2^{n}} < y$. [Gợi ý: Áp dụng cách lập luận của chứng minh tính trù mật của tập hợp số hữu tỉ.] \end{exercise} \begin{exercise} - Cho các số thực $a$, $b$ thỏa mãn $a < b$. Chứng minh rằng - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item Tồn tại song ánh từ khoảng mở $(0, 1)$ đến khoảng mở $(a, b)$. - \item Tồn tại song ánh từ khoảng đóng $[0, 1]$ đến khoảng đóng $[a, b]$. - \end{enumerate} + Cho các số thực $a$, $b$ thỏa mãn $a < b$. Chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Tồn tại song ánh từ khoảng mở $(0, 1)$ đến khoảng mở $(a, b)$. + \item Tồn tại song ánh từ khoảng đóng $[0, 1]$ đến khoảng đóng $[a, b]$. + \end{enumerate} - Trong đó $(a, b)$ là tập hợp $\{ x\in\mathbb{R} \mid a < x < b \}$, $[a, b]$ là tập hợp $\{ x\in\mathbb{R} \mid a\leq x \leq b \}$. + Trong đó $(a, b)$ là tập hợp $\{ x\in\mathbb{R} \mid a < x < b \}$, $[a, b]$ là tập hợp $\{ x\in\mathbb{R} \mid a\leq x \leq b \}$. \end{exercise} \begin{exercise} - Cho $c$ là một số thực dương. Hai số thực $x$ và $y$ được gọi là có quan hệ $\sim$ nếu và chỉ nếu tồn tại số nguyên $n$ sao cho $x - y = nc$. Chứng minh rằng - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item $\sim$ là một quan hệ tương đương. - \item Tồn tại một song ánh từ $\mathbb{R}/_{\sim}$ đến tập hợp $[0, c)$. - \end{enumerate} + Cho $c$ là một số thực dương. Hai số thực $x$ và $y$ được gọi là có quan hệ $\sim$ nếu và chỉ nếu tồn tại số nguyên $n$ sao cho $x - y = nc$. Chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item $\sim$ là một quan hệ tương đương. + \item Tồn tại một song ánh từ $\mathbb{R}/_{\sim}$ đến tập hợp $[0, c)$. + \end{enumerate} - Trong đó $[a, b)$ là tập hợp $\{ x\in\mathbb{R} \mid a\leq x < b \}$,$(a, b]$ là tập hợp $\{ x\in\mathbb{R} \mid a < x \leq b \}$. + Trong đó $[a, b)$ là tập hợp $\{ x\in\mathbb{R} \mid a\leq x < b \}$,$(a, b]$ là tập hợp $\{ x\in\mathbb{R} \mid a < x \leq b \}$. \end{exercise} \begin{exercise} - Chứng minh rằng - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item Hợp của hai khoảng mở có phải một khoảng mở không? Tương tự, hợp của hai khoảng đóng có phải một khoảng đóng không? Hãy đưa ra ví dụ và phản ví dụ. - \item Giao của hai khoảng mở hoặc là tập hợp rỗng, hoặc là một khoảng mở. - \item Giao của hai khoảng đóng hoặc là tập hợp rỗng, hoặc gồm đúng một phần tử, hoặc là một khoảng đóng. - \end{enumerate} + Chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Hợp của hai khoảng mở có phải một khoảng mở không? Tương tự, hợp của hai khoảng đóng có phải một khoảng đóng không? Hãy đưa ra ví dụ và phản ví dụ. + \item Giao của hai khoảng mở hoặc là tập hợp rỗng, hoặc là một khoảng mở. + \item Giao của hai khoảng đóng hoặc là tập hợp rỗng, hoặc gồm đúng một phần tử, hoặc là một khoảng đóng. + \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[Nguyên lý Cantor về các khoảng đóng lồng nhau] - Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$. Giả sử với mỗi số nguyên dương $n$, có $I_{n} \supseteq I_{n+1}$. - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item Chứng minh rằng tập hợp các số thực $a_{n}$ có cận trên nhỏ nhất (chúng ta sẽ kí hiệu là $a$), và tập hợp các số thực $b_{n}$ có cận dưới lớn nhất (chúng ta sẽ kí hiệu là $b$). - \item Chứng minh rằng giao của tất cả các khoảng đóng $I_{n}$ khác rỗng. - \item Chứng minh rằng nếu $a = b$ thì giao của tất cả các khoảng đóng $I_{n}$ chỉ gồm đúng một phần tử. - \end{enumerate} + Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$. Giả sử với mỗi số nguyên dương $n$, có $I_{n} \supseteq I_{n+1}$. + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chứng minh rằng tập hợp các số thực $a_{n}$ có cận trên nhỏ nhất (chúng ta sẽ kí hiệu là $a$), và tập hợp các số thực $b_{n}$ có cận dưới lớn nhất (chúng ta sẽ kí hiệu là $b$). + \item Chứng minh rằng giao của tất cả các khoảng đóng $I_{n}$ khác rỗng. + \item Chứng minh rằng nếu $a = b$ thì giao của tất cả các khoảng đóng $I_{n}$ chỉ gồm đúng một phần tử. + \end{enumerate} \end{exercise} Thực tế, trong nguyên lý Cantor, điều kiện $a = b$ được thay bởi điều kiện tương đương là $\lim (a_{n} - b_{n}) = 0$. Nguyên lý Cantor cho thấy giao của dãy các khoảng đóng lồng nhau khác rỗng, tuy nhiên điều này không còn đúng nếu chúng ta thay khoảng đóng bởi khoảng mở. Hai bài tập dưới đây cung cấp ví dụ và phản ví dụ cho nhận định này. \begin{exercise} - Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n} = (0, \frac{1}{n})$. Chứng minh rằng - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n}\supset I_{n+1}$. - \item Giao của tất cả các khoảng mở $I_{n}$ là tập hợp rỗng. - \end{enumerate} + Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n} = (0, \frac{1}{n})$. Chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n}\supset I_{n+1}$. + \item Giao của tất cả các khoảng mở $I_{n}$ là tập hợp rỗng. + \end{enumerate} \end{exercise}\begin{exercise}[Nguyên lý Cantor về các khoảng đóng lồng nhau] - Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$. Giả sử với mỗi số nguyên dương $n$, có $I_{n} \supseteq I_{n+1}$. - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item Chứng minh rằng tập hợp các số thực $a_{n}$ có cận trên nhỏ nhất (chúng ta sẽ kí hiệu là $a$), và tập hợp các số thực $b_{n}$ có cận dưới lớn nhất (chúng ta sẽ kí hiệu là $b$). - \item Chứng minh rằng giao của tất cả các khoảng đóng $I_{n}$ khác rỗng. - \item Chứng minh rằng nếu $a = b$ thì giao của tất cả các khoảng đóng $I_{n}$ chỉ gồm đúng một phần tử. - \end{enumerate} + Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$. Giả sử với mỗi số nguyên dương $n$, có $I_{n} \supseteq I_{n+1}$. + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chứng minh rằng tập hợp các số thực $a_{n}$ có cận trên nhỏ nhất (chúng ta sẽ kí hiệu là $a$), và tập hợp các số thực $b_{n}$ có cận dưới lớn nhất (chúng ta sẽ kí hiệu là $b$). + \item Chứng minh rằng giao của tất cả các khoảng đóng $I_{n}$ khác rỗng. + \item Chứng minh rằng nếu $a = b$ thì giao của tất cả các khoảng đóng $I_{n}$ chỉ gồm đúng một phần tử. + \end{enumerate} \end{exercise} Thực tế, trong nguyên lý Cantor, điều kiện $a = b$ được thay bởi điều kiện tương đương là $\lim (a_{n} - b_{n}) = 0$. Nguyên lý Cantor cho thấy giao của dãy các khoảng đóng lồng nhau khác rỗng, tuy nhiên điều này không còn đúng nếu chúng ta thay khoảng đóng bởi khoảng mở. Hai bài tập dưới đây cung cấp ví dụ và phản ví dụ cho nhận định này. \begin{exercise} - Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n} = (0, \frac{1}{n})$. Chứng minh rằng - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n}\supset I_{n+1}$. - \item Giao của tất cả các khoảng mở $I_{n}$ là tập hợp rỗng. - \end{enumerate} + Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n} = (0, \frac{1}{n})$. Chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n}\supset I_{n+1}$. + \item Giao của tất cả các khoảng mở $I_{n}$ là tập hợp rỗng. + \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise} - Cho khoảng đóng $[a, b]$. Với mỗi số nguyên dương $n$, chúng ta định nghĩa $a_{n} = a - \dfrac{1}{n}$ và $b_{n} = b + \dfrac{1}{n}$. Chứng minh rằng - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item $a_{n}\leq b_{n}$ với mọi số nguyên dương $n$. - \item $a$ là cận trên đúng của tập hợp các số thực $a_{n}$, và $b$ là cận dưới đúng của tập hợp các số thực $b_{n}$. - \item $[a, b]$ là giao của tất cả các khoảng mở $(a_{n}, b_{n})$, với $n$ là số nguyên dương. - \end{enumerate} + Cho khoảng đóng $[a, b]$. Với mỗi số nguyên dương $n$, chúng ta định nghĩa $a_{n} = a - \dfrac{1}{n}$ và $b_{n} = b + \dfrac{1}{n}$. Chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item $a_{n}\leq b_{n}$ với mọi số nguyên dương $n$. + \item $a$ là cận trên đúng của tập hợp các số thực $a_{n}$, và $b$ là cận dưới đúng của tập hợp các số thực $b_{n}$. + \item $[a, b]$ là giao của tất cả các khoảng mở $(a_{n}, b_{n})$, với $n$ là số nguyên dương. + \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise} - Cho khoảng mở $(a, b)$. Với mỗi số nguyên dương $n > 1$, chúng ta định nghĩa $a_{n} = a + \dfrac{b-a}{n}$ và $b_{n} = b - \dfrac{b-a}{n}$. Chứng minh rằng - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item $a_{n}\leq b_{n}$ với mọi số nguyên dương $n > 1$. - \item $a$ là cận dưới đúng của tập hợp các số thực $a_{n}$, và $b$ là cận trên đúng của tập hợp các số thực $b_{n}$. - \item $(a, b)$ là hợp của tất cả các khoảng đóng $[a_{n}, b_{n}]$, với các số nguyên dương $n > 1$. - \end{enumerate} + Cho khoảng mở $(a, b)$. Với mỗi số nguyên dương $n > 1$, chúng ta định nghĩa $a_{n} = a + \dfrac{b-a}{n}$ và $b_{n} = b - \dfrac{b-a}{n}$. Chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item $a_{n}\leq b_{n}$ với mọi số nguyên dương $n > 1$. + \item $a$ là cận dưới đúng của tập hợp các số thực $a_{n}$, và $b$ là cận trên đúng của tập hợp các số thực $b_{n}$. + \item $(a, b)$ là hợp của tất cả các khoảng đóng $[a_{n}, b_{n}]$, với các số nguyên dương $n > 1$. + \end{enumerate} \end{exercise} \section{Số phức} \subsection{Xây dựng tập hợp số phức} -\subsection{Phần thực, phần ảo, liên hợp của số phức} +Không tồn tại số thực nào có bình phương bằng $-1$. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã được giới thiệu khái niệm đơn vị ảo $\imath$ (thỏa mãn $\imath^{2} = -1$) và tập hợp số phức. Tuy nhiên cách tiếp cận đó không thỏa đáng. Bởi nếu tiếp cận như vậy. $\imath$ có nguồn gốc không rõ ràng, hay chúng ta không trả lời được $\imath$ với cách tiếp cận đó. Để khắc phục điều này, số phức và tập hợp số phức được định nghĩa như sau. +\begin{definition} + Tập hợp số phức\index{Số phức} là tập hợp gồm tất cả các cặp (có thứ tự) số thực. Tập hợp số phức được kí hiệu là $\mathbb{C}$. +\end{definition} + +Theo định nghĩa trên, $\mathbb{C} = \mathbb{R}\times\mathbb{R} = \mathbb{R}^{2}$ và mỗi số phức đều có dạng $(a, b)$, trong đó $a$ và $b$ là các số thực. + +\begin{definition}[Phép cộng và phép nhân số phức] + Với mỗi số phức $(a, b)$, $(c, d)$, chúng ta định nghĩa tổng và tích hai số phức $(a, b)$, $(c, d)$ như sau + \begin{align*} + (a, b) + (c, d) & = (a + c, b + d), \\ + (a, b)\cdot (c, d) & = (ac - db, da + bc). + \end{align*} +\end{definition} + +Với định nghĩa trên, chúng ta chứng minh được kết quả sau. +\begin{proposition} + Ánh xạ $\iota: \mathbb{R}\to \mathbb{C}$, với $\iota(x) = (x, 0)$ là một đơn ánh. Đơn ánh này bảo toàn phép cộng và phép nhân, nói cách khác, $\iota(x, y) = \iota(x) + \iota(y)$ và $\iota(xy) = \iota(x)\iota(y)$. +\end{proposition} + +Phép nhân số phức được định nghĩa như trên sẽ đảm bảo\footnote{Có thể đây không phải cách duy nhất, nhưng chúng ta chỉ quan tâm đến phép nhân số phức theo định nghĩa này.} rằng phép nhân số phức có tính chất phân phối với phép cộng số phức. Thay cho kí hiệu $(a, b)$, chúng ta viết $a + b\imath$ hoặc $a + \imath b$ và \textit{đồng nhất} số thực $a$ với $(a, 0)$ (Mệnh đề trên là cơ sở cho việc đồng nhất này). Áp dụng kí hiệu này và định nghĩa phép nhân số phức, chúng ta thu được +\[ + \begin{split} + a + b\imath & = (a, b) \\ + & = (a, 0) + (0, b), \\ + {(0 + 1\imath)}^{2} & = {(0, 1)}^{2} \\ + & = (0\cdot 0 - 1\cdot 1, 1\cdot 0 + 1\cdot 0) \\ + & = (-1, 0) \\ + & = -1. + \end{split} +\] + +Bên cạnh đó, thay cho cách viết $0 + b\imath$, chúng ta viết $b\imath$. Cùng với các đẳng thức trên, chúng ta suy ra $\imath^{2} = -1$. + +\begin{theorem} + Hai số phức $a + b\imath$ và $c + d\imath$ bằng nhau khi và chỉ khi $a = c$, $b = d$. +\end{theorem} + +Đến hiện tại, chúng ta đã xây dựng nhiều tập hợp số: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$. +\begin{itemize} + \item Việc mở rộng tập hợp số tự nhiên thành tập hợp số nguyên bắt nguồn từ mong muốn thực hiện được phép trừ hai số tự nhiên bất kì. + \item Việc mở rộng tập hợp số nguyên thành tập hợp số hữu tỉ bắt nguồn từ mong muốn thực hiện được phép chia một số nguyên cho một số nguyên khác $0$ + \item Việc mở rộng tập hợp số hữu tỉ thành tập hợp số thực là một quá trình đầy đủ hóa, để cho mọi tập hợp con khác rỗng và bị chặn trên đều có cận trên nhỏ nhất. +\end{itemize} + +Song hành với mỗi tập hợp số là các phép toán và quan hệ. Những hạn chế của các phép toán hay quan hệ là động lực để mở rộng tập hợp số đã có thành tập hợp số rộng hơn, khắc phục hạn chế của tập hợp số trước. Qua định nghĩa của các tập hợp số, cũng như các phép toán, quan hệ trên chúng, có thể đưa ra nhận định rằng: Chính các phép toán, quan hệ và các tính chất của chúng là những điều quyết định chúng ta nên định nghĩa các tập hợp số như thế nào. + +\begin{theorem}[Trường số phức] + Tập hợp số phức với phép toán cộng và nhân là một trường. Nói cách khác + \begin{enumerate}[label={(F\arabic*)}] + \item Phép cộng có tính chất kết hợp. Nói cách khác, với mọi số phức $z_{1}, z_{2}, z_{3}$, chúng ta có + \[ + (z_{1} + z_{2}) + z_{3} = z_{1} + (z_{2} + z_{3}). + \] + \item Phép cộng có phần tử đồng nhất. Nói cách khác, với mọi số phức $z$, chúng ta có + \[ + z + 0 = 0 + z = z. + \] + \item Mỗi số thực có phần tử đối. Nói cách khác, với mỗi số phức $z$, tồn tại số phức $(-z)$ thỏa mãn + \[ + z + (-z) = (-z) + z = 0. + \] + \item Phép cộng có tính chất giao hoán. Nói cách khác, với mọi số phức $z_{1}, z_{2}$, chúng ta có + \[ + z_{1} + z_{2} = z_{2} + z_{1}. + \] + \item Phép nhân có tính chất kết hợp. Nói cách khác, với mọi số phức $z_{1}, z_{2}, z_{3}$, chúng ta có + \[ + (z_{1} \cdot z_{2}) \cdot z_{3} = z_{1} \cdot (z_{2} \cdot z_{3}). + \] + \item Phép nhân có tính chất phân phối với phép cộng. Nói cách khác, với mọi số phức $z_{1}, z_{2}, z_{3}$, chúng ta có + \[ + \begin{split} + (z_{1} + z_{2})\cdot z_{3} = z_{1}\cdot z_{3} + z_{2}\cdot z_{3}, \\ + z_{3}\cdot (z_{1} + z_{2}) = z_{3}\cdot z_{1} + z_{3}\cdot z_{2}. + \end{split} + \] + + \item Phép nhân có phần tử đồng nhất. Nói cách khác, với mọi số phức $z$, chúng ta có + \[ + z \cdot 1 = 1 \cdot z = z. + \] + \item Phép nhân có tính chất giao hoán. Nói cách khác, với mọi số phức $z_{1}, z_{2}$, chúng ta có + \[ + z_{1}\cdot z_{2} = z_{2}\cdot z_{1}. + \] + \item Mỗi số thực khác $0$ có phần tử nghịch đảo. Nói cách khác, với mỗi số thực $z\ne 0$, tồn tại số thực $x^{-1}$ sao cho + \[ + z\cdot z^{-1} = z^{-1}\cdot z = 1. + \] + \end{enumerate} +\end{theorem} + +Chúng tôi để bạn đọc tự kiểm tra các tính chất (F1) $-$ (F8). Còn với tính chất (F9), chúng ta có +\[ + (a + b\imath)\left(\frac{a}{a^{2}+b^{2}} + \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}\imath\right) = 1. +\] + +Với tính chất (F8), chúng ta có thể thực hiện phép nhân hai số phức mà không cần ghi nhớ định nghĩa ban đầu của phép nhân số phức. + +\subsection{Phần thực, phần ảo, liên hợp và dạng lượng giác của số phức} + +\begin{definition} + Với mỗi số phức $z = a + b\imath$, $a$ được gọi là \textbf{phần thực\index{Phần thực của số phức}} của $z$, $b$ được gọi là \textbf{phần ảo\index{Phần ảo của số phức}} của $z$, và $a - b\imath$ được gọi là \textbf{liên hợp\index{Liên hợp của số phức}} của $z$. + +\end{definition} -\subsection{Biểu diễn hình học và dạng lượng giác của số phức} +Phần thực, phần ảo, liên hợp của số phức $z$ lần lượt được kí hiệu là $\Re{(z)}$ (hoặc $\text{Re}(z)$), $\Im{(z)}$ (hoặc $\text{Im}(z)$), $\overline{z}$. Ba khái niệm này có liên hệ như sau. + +\begin{theorem} + Với mỗi số phức $z$, + \[ + \Re{(z)} = \frac{1}{2}(z + \overline{z}),\qquad \Im{(z)} = \frac{1}{2i}(z - \overline{z}). + \] +\end{theorem} + +Phép lấy liên hợp của số phức có tính chất đối hợp. +\begin{theorem} + Với mỗi số phức $z$, $\overline{\overline{z}} = z$. +\end{theorem} + +Phép lấy liên hợp của số phức tương thích với phép cộng và phép nhân số phức. +\begin{theorem} + Với mọi số phức $z_{1}$, $z_{2}$, + \[ + \overline{z_{1} + z_{2}} = \overline{z_{1}} + \overline{z_{2}},\qquad \overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}}\cdot\overline{z_{2}} + \] +\end{theorem} + +\begin{definition} + \textbf{Giá trị tuyệt đối}, \textbf{modulus}, hay \textbf{độ lớn\index{Độ lớn của số phức}} của số phức $z = a + b\imath$ là số thực không âm $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$. Độ lớn của số phức $z$ được kí hiệu là $\abs{z}$. +\end{definition} + +Từ định nghĩa trên, chúng ta rút ra kết quả sau. +\begin{theorem}\label{theorem:modulus-real-imaginary-parts-of-a-complex-number} + Với mỗi số phức $z = a + b\imath$ + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item ${\abs{z}}^{2} = {(\Re{(z)})}^{2} + {(\Im{(z)})}^{2} = a^{2} + b^{2}$. + \item ${\abs{z}}^{2} = z\overline{z}$. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +Trong trường hợp số phức $z\ne 0$, chúng ta có nhận xét sau +\[ + \frac{z}{\abs{z}} = \frac{\Re{(z)}}{\abs{z}} + \frac{\Im{(z)}}{\abs{z}}\imath. +\] + +và theo Định lý~\ref{theorem:modulus-real-imaginary-parts-of-a-complex-number} +\[ + {\left(\frac{\Re{(z)}}{\abs{z}}\right)}^{2} + {\left( \frac{\Im{(z)}}{\abs{z}}\right)}^{2} = 1. +\] + +Như vậy, tồn tại số thực $\phi$ sao cho +\[ + \cos{(\phi)} = \frac{\Re{(z)}}{\abs{z}},\qquad \sin{(\phi)} = \frac{\Im{(z)}}{\abs{z}}. +\] + +Khi đó, chúng ta thu được dạng lượng giác của số phức\index{Dạng lượng giác của số phức} $z$. +\[ + z = \abs{z}(\cos{(\phi)} + \imath\sin{(\phi)}). +\] +\begin{theorem} + Với mỗi số phức $z\ne 0$, tồn tại duy nhất số thực $\phi$ thuộc $(-\pi, \pi]$ sao cho + \[ + z = \abs{z}(\cos{(\phi)} + \imath\sin{(\phi)}). + \] + + Trong đó, $\phi$ được gọi là \textbf{argument\index{Argument của số phức}} của số phức $z\ne 0$, và được kí hiệu là $\arg{(z)}$. +\end{theorem} + +Hoàn toàn có thể đưa ra một công thức để xác định $\arg{(z)}$. Tuy nhiên một công thức như vậy đòi hỏi phải xem xét nhiều trường hợp khác nhau của $\Re{(z)}$ và $\Im{(z)}$. Trong thực tế, để được linh hoạt hơn, thay vì sử dụng $\arg{(z)}$, chúng ta dùng các giá trị trong tập hợp sau +\[ + \Bigl\{ \arg{(z)} + 2k\pi \mid k\in\mathbb{Z} \Bigr\}. +\] + +hay nói cách khác là bất cứ số thực nào đồng dư modulo $2\pi$ với $\arg{(z)}$. + +Với dạng lượng giác của số phức, việc thực hiện phép nhân, và lũy thừa trở nên dễ dàng bằng định lý sau. +\begin{theorem} + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Với mỗi số phức $z_{1} = \abs{z_{1}}(\cos(\phi_{1}) + \imath\sin(\phi_{1}))$ và $z_{2} = \abs{z_{2}}(\cos(\phi_{2}) + \imath\sin(\phi_{2}))$, chúng ta có + \[ + z_{1}z_{2} = \abs{z_{1}}\abs{z_{2}}(\cos(\phi_{1}+\phi_{2}) + \imath\sin(\phi_{1} + \phi_{2})). + \] + \item Với mỗi số phúc $z = \abs{z}(\cos(\phi) + \imath\sin(\phi))$ khác $0$, chúng ta có + \[ + z^{-1} = \frac{1}{\abs{z}}(\cos(-\phi) + \imath\sin(-\phi)). + \] + \item (Công thức Moivre) Với mỗi số phức $z = \abs{z}(\cos(\phi) + \imath\sin(\phi))$, với mọi số nguyên $n$, chúng ta có + \[ + z^{n} = \abs{z}^{n}(\cos(n\phi) + \imath\sin(n\phi)). + \] + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{theorem}[Căn bậc $n$ của số phức] + Tồn tại đúng $n$ số phức có lũy thừa bậc $n$ bằng một số phức $z_{0}$ khác $0$ cho trước. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Nếu số phức $z$ thỏa mãn $z^{n} = z_{0}$ thì $z\ne 0$. Bằng dạng lượng giác của số phức $z$, $z_{0}$ và công thức Moivre, chúng ta thu được + \[ + \abs{z}^{n}(\cos(n\phi) + \imath\sin(n\phi)) = \abs{z_{0}}(\cos(\phi_{0}) + \imath\sin(\phi_{0})). + \] + + Do đó + \[ + \begin{cases} + \abs{z} = \sqrt[n]{\abs{z_{0}}}, \\ + \cos(n\phi) = \cos(\phi_{0}), \\ + \sin(n\phi) = \sin(\phi_{0}). + \end{cases} + \] + + $\cos(n\phi) = \cos(\phi_{0})$ kéo theo $n\phi \equiv \phi_{0} \pmod{2\pi}$ hoặc $n\phi\equiv -\phi_{0}\pmod{2\pi}$. $\sin(n\phi) = \sin(\phi_{0})$ kéo theo $n\phi \equiv \phi_{0} \pmod{2\pi}$ hoặc $n\phi\equiv \pi-\phi_{0}\pmod{2\pi}$. Vì $\cos(n\phi) = \cos(\phi_{0})$ và $\sin(n\phi) = \sin(\phi_{0})$ nên $n\phi \equiv \phi_{0}\pmod{2\pi}$. + + Từ đồng dư thức $n\phi \equiv \phi_{0}\pmod{2\pi}$, chúng ta suy ra $n$ khả năng: $\phi\equiv \frac{\phi_{0}}{n} + \frac{2k\pi}{n} \pmod{2\pi}$ với $k = 0, 1,\ldots, n-1$. + + Vậy mỗi số phức khác $0$ có đúng $n$ cặn bậc $n$, đó là + \[ + \sqrt[n]{\abs{z_{0}}}\left(\cos\left(\frac{\phi_{0} + 2k\pi}{n}\right) + \imath\sin\left(\frac{\phi_{0} + 2k\pi}{n}\right)\right)\qquad k = 0, 1, \ldots, n-1. + \] +\end{proof} + +Nói riêng, số $1$ có $n$ căn bậc $n$ là +\[ + \zeta_{k} = \cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right) + \imath\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right). +\] + +Trong nội dung tiếp theo về biểu diễn hình học của số phức, chúng ta sẽ chỉ ra ý nghĩa hình học của từng khái niệm về số phức đã được đề cập đến giờ trong tài liệu này. + +\subsection{Biểu diễn hình học của số phức} + +Tập hợp số thực có thể được trực quan hóa bằng một đường thẳng (trục số thực). Tập hợp số phức được trực quan hóa thành một mặt phẳng tọa độ (mặt phẳng phức\index{Mặt phẳng phức}\footnote{Các nhà toán học Caspar Wessel, Jean-Robert Argand, Carl Friedrich Gau{\ss} là những người đầu tiên đề xuất biểu diễn số phức lên mặt phẳng tọa độ theo cách này. Trong đó, Argand là người đưa ra chứng minh chặt chẽ đầu tiên cho định lý cơ bản của đại số, định lý đó được phát biểu rằng ``Mọi đa thức khác hằng số với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức''.}), trong đó mỗi số phức tương ứng với một điểm trong mặt phẳng tọa độ (Xem Hình~\ref{fig:complex-plane}). Trong mặt phẳng phức, trục $Ox$ được gọi là trục thực\index{Trục thực}, trục $Oy$ được gọi là trục ảo\index{Trục ảo}. + +\begin{figure}[htp] + \centering + \begin{tikzpicture}[>=Stealth,scale=2.0] + \draw[help lines, color=gray!30, dashed,step=0.5cm] (-1.9,-1.9) grid (1.9,1.9); + + \node[label={[label distance=-2mm]135:$O$}] at (0,0) {}; + \node[label={[label distance=0mm]45:$z$},fill,inner sep=1pt] at ({1.5*cos(56)}, {1.5*sin(56)}) {}; + \node[label={[label distance=0mm]-45:$\overline{z}$},fill,inner sep=1pt] at ({1.5*cos(-56)}, {1.5*sin(-56)}) {}; + + \node[label={below:$\Re{(z)}$},fill,inner sep=1pt] at ({1.5*cos(56)}, 0) {}; + \node[label={left:$\Im{(z)}$},fill,inner sep=1pt] at (0, {1.5*sin(56)}) {}; + + \draw (0,0) circle (1.5); + \draw[->,very thick] (0,0) -- ({1.5*cos(56)}, {1.5*sin(56)}); + \draw[->,very thick] (0,0) -- ({1.5*cos(-56)}, {1.5*sin(-56)}); + \draw[dashed] ({1.5*cos(56)}, {1.5*sin(56)}) -- ({1.5*cos(-56)}, {1.5*sin(-56)}); + \draw[dashed] ({1.5*cos(56)}, {1.5*sin(56)}) -- (0, {1.5*sin(56)}); + + \draw[->] (0,0)+(0:0.3cm) arc (0:56:0.3cm); + \node at ($(0,0)+(28:0.45cm)$) {$\phi$}; + + \draw[->] (-2,0)--(2,0) node[right]{$x$}; + \draw[->] (0,-2)--(0,2) node[above]{$y\imath$}; + \end{tikzpicture} + \caption{Mặt phẳng phức.}\label{fig:complex-plane} +\end{figure} + +Để được súc tích trong diễn đạt, thay vì nói ``điểm biểu diễn số phức $z$ trong mặt phẳng phức'', chúng ta nói ``điểm $z$''. Gốc tọa độ tương ứng với số phức $0$. + +Với mỗi số phức $z\ne 0$, chúng ta viết $z$ dưới dạng lượng giác +\[ + z = \abs{z}(\cos{(\phi)} + \imath\sin{(\phi)}) +\] + +trong đó $\phi = \arg{(z)}$. + +Với mặt phẳng phức, các thuộc tính của số phức $z$ mang các ý nghĩa hình học. Độ lớn của số phức $z$ chính là khoảng cách từ điểm $z$ đến gốc tọa độ $O$. Phần thực của $z$ là hoành độ của điểm $z$, phần ảo của $z$ là tung độ của điểm $z$. Điểm $\overline{z}$ biểu diễn cho số phức liên hợp của $z$ là điểm đối xứng với $z$ qua trục thực. Argument của $z$ là số đo của góc định hướng $(Ox, Oz)$ với tia đầu là tia $Ox$, tia cuối là tia $Oz$. + +Phép cộng hai số phức tương ứng với phép cộng vector (Xem Hình~\ref{fig:complex-addition}.) +\begin{figure}[htp] + \centering + \begin{tikzpicture}[>=Stealth,scale=2.0] + \draw[help lines, color=gray!30, dashed,step=0.5cm] (-1.4,-1.4) grid (1.4,1.4); + + \coordinate (Z1) at (1,0.8); + \coordinate (Z2) at (-0.25,-1); + \coordinate (Z) at (0.75,-0.2); + + \node[label={[label distance=-2mm]135:$O$}] at (0,0) {}; + \node[label={[label distance=0mm]45:$z_{1}$},fill,inner sep=1pt] at (Z1) {}; + \node[label={[label distance=0mm]180:$z_{2}$},fill,inner sep=1pt] at (Z2) {}; + + \node[label={[label distance=0mm]-45:$z_{1}+z_{2}$},fill,inner sep=1pt] at (Z) {}; + + \draw[->,thick] (0,0) -- (Z1); + \draw[->,thick] (0,0) -- (Z2); + \draw[->,thick] (0,0) -- (Z); + \draw[dashed] (Z1) -- (Z) -- (Z2); + + \draw[->] (-1.5,0)--(1.5,0) node[right]{$x$}; + \draw[->] (0,-1.5)--(0,1.5) node[above]{$y\imath$}; + \end{tikzpicture} + \caption{Phép cộng hai số phức.}\label{fig:complex-addition} +\end{figure} + +Phép nhân một số phức $z_{0}$ với số phức $z\ne 0$ tương ứng với một phép vị tự-quay (Xem Hình~\ref{fig:complex-multiplication}) + +\begin{figure}[htp] + \centering + \begin{tikzpicture}[>=Stealth,scale=2.0] + \draw[help lines, color=gray!30, dashed,step=0.5cm] (-1.5,-1.5) grid (2.0,2.0); + + \coordinate (X) at (1,0); + \coordinate (Z1) at ({1.2*cos(50)},{1.2*sin(50)}); + \coordinate (Z2) at ({1.5*cos(70)},{1.5*sin(70)}); + \coordinate (Z) at ({1.8*cos(120)},{1.8*sin(120)}); + + \node[label={[label distance=-2mm]-135:$O$}] at (0,0) {}; + \node[label={[label distance=0mm]45:$z_{0}$},fill,inner sep=1pt] at (Z1) {}; + \node[label={[label distance=0mm]45:$z$},fill,inner sep=1pt] at (Z2) {}; + + \node[label={[label distance=0mm]135:$z_{0}z$},fill,inner sep=1pt] at (Z) {}; + + \draw[->,thick] (0,0) -- (Z1); + \draw[->,thick] (0,0) -- (Z2); + \draw[->,thick] (0,0) -- (Z); + + \tkzMarkAngle[size=0.30cm,->,mark=|,mkpos=0.5](X,O,Z1); + \tkzMarkAngle[size=0.45cm,->,mark=||,mkpos=0.5](X,O,Z2); + \tkzMarkAngle[size=0.30cm,->,mark=|,mkpos=0.5](Z2,O,Z); + \tkzMarkAngle[size=0.65cm,->](X,O,Z); + + \draw[->] (-2,0)--(2,0) node[right]{$x$}; + \draw[->] (0,-2)--(0,2) node[above]{$y\imath$}; + \end{tikzpicture} + \caption{Phép nhân hai số phức.}\label{fig:complex-multiplication} +\end{figure} + +Biểu diễn hình học của các căn bậc $n$ của một số phức khác không cho trước là $n$ điểm. $n$ điểm này thuộc đường tròn đơn vị và là $n$ đỉnh của một $n$-giác đều với tâm là gốc tọa độ (Xem Hình~\ref{fig:5throot-of-unity}.) + +\begin{figure}[htp] + \centering + \begin{tikzpicture}[>=Stealth,scale=2.0] + \draw[help lines, color=gray!30, dashed,step=0.5cm] (-1.4,-1.4) grid (1.4,1.4); + + \node[label={[label distance=-2mm]35:$O$}] at (0,0) {}; + + \foreach\k in {0,1,2,3,4} { + \coordinate (P) at ({cos(\k*360/5)}, {sin(\k*360/5)}); + \node[fill,inner sep=1pt,circle] at (P) {}; + \draw[->,thick] (0,0) -- (P); + } + + \draw (0,0) circle (1.0); + + \draw[->] (-1.5,0)--(1.5,0) node[right]{$x$}; + \draw[->] (0,-1.5)--(0,1.5) node[above]{$y\imath$}; + \end{tikzpicture} + \caption{Các căn bậc $5$ của $1$.}\label{fig:5throot-of-unity} +\end{figure} \subsection{Bài tập} + +\begin{exercise} + Chứng minh rằng không tồn tại một quan hệ thứ tự toàn phần $\leq$ trên tập hợp số phức $\mathbb{C}$ mà tương thích với phép cộng và phép nhân số phức. [Gợi ý: Chứng minh bằng phản chứng, xem xét 6 thứ tự có thể có của ba số phức $0$, $1$, $\imath$.] +\end{exercise} + +\begin{exercise} + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Cho một ví dụ về quan hệ thứ tự không toàn phần trên tập hợp số phức [Gợi ý: Chỉ định nghĩa quan hệ thứ tự trên một tập con của $\mathbb{C}$]. + \item Cho một ví dụ về quan hệ tiền thứ tự toàn phần trên tập hợp số phức. + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Với mọi số phức $z_{1}$, $z_{2}$, chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item $\abs{z_{1}z_{2}} = \abs{z_{1}}\abs{z_{2}}$. + \item $\abs{z_{1} + z_{2}}\leq \abs{z_{1}} + \abs{z_{2}}$. + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Chúng ta kí hiệu $U$ là tập hợp các số phức có độ lớn bằng $1$. + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chứng minh rằng tồn tại một song ánh giữa $U$ và $[0, 2\pi)$. + \item Chỉ ra một quan hệ tương đương $\sim$ trên tập hợp số thực $\mathbb{R}$ sao cho tồn tại một song ánh $f: \mathbb{R}/_{\sim} \to U$. + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{exercise} + Chứng minh rằng tồn tại một song ánh giữa $U\setminus\{ 1 \}$ và $\mathbb{R}$. +\end{exercise} + +\begin{exercise}[Căn nguyên thủy] + $n$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng trong $U_{n}$, tồn tại phần tử mà mọi phần tử khác đều là lũy thừa của phần tử đó. + + Phần tử như vậy được gọi là căn bậc $n$ nguyên thủy. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố $p$, có đúng $p-1$ căn bậc $p$ nguyên thủy. +\end{exercise} + +\begin{exercise} + $n$ là một số nguyên dương. $U_{n}$ là tập hợp tất cả các căn bậc $n$ của $1$. $\mathbb{Z}_{n}$ là tập hợp gồm $n$ số nguyên $0$, $1$, \ldots $n-1$. Phép cộng $+_{n}$ trên tập hợp $\mathbb{Z}_{n}$ được định nghĩa như sau + \[ + a +_{n} b = \begin{cases} + a + b & \text{nếu $a + b < n$}, \\ + a + b - n & \text{nếu $n\leq a + b$}. + \end{cases} + \] + + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chứng minh rằng ánh xạ $\tau: U_{n}\to \mathbb{Z}_{n}$, với $\tau(\zeta_{k}) = k$ là một song ánh và $\tau(\zeta_{k}\zeta_{\ell}) = \tau(\zeta_{k}) +_{n} \tau(\zeta_{\ell})$ với mọi $k, \ell\in \mathbb{Z}_{n}$. + \item Với $n > 2$, chứng minh rằng tồn tại ít nhất một song ánh khác từ $U_{n}$ đến $\mathbb{Z}_{n}$ cũng có tính chất như $\tau$. + \end{enumerate} +\end{exercise} diff --git a/set-theory/chapter5.tex b/set-theory/chapter5.tex index 5fe3ee6..4ee12b5 100644 --- a/set-theory/chapter5.tex +++ b/set-theory/chapter5.tex @@ -1 +1,7 @@ \chapter{Số $p$-adic}\label{chapter:p-adic} + +\section{Xây dựng tập hợp số $p$-adic} + +\subsection{Xây dựng tập hợp số $p$-adic theo giải tích} + +\subsection{Xây dựng tập hợp số $p$-adic theo đại số} diff --git a/set-theory/main.tex b/set-theory/main.tex index 7e0d961..785555d 100644 --- a/set-theory/main.tex +++ b/set-theory/main.tex @@ -21,10 +21,16 @@ \usepackage{epigraph} \usepackage{setspace} \usepackage{pgf,tikz} +\usepackage{tkz-euclide} \usetikzlibrary{arrows} \usetikzlibrary{arrows.meta} \usetikzlibrary{positioning} \usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{shapes} +\usetikzlibrary{shapes.arrows} +\usetikzlibrary{decorations.markings} +\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing} +\usetikzlibrary{decorations.text} \setstretch{1.16} \hypersetup{colorlinks=true, @@ -48,6 +54,15 @@ \newmdtheoremenv{definition}[theorem]{Định nghĩa} \newmdtheoremenv{example}[theorem]{Ví dụ} \newmdtheoremenv{counterexample}[theorem]{Phản ví dụ} + +\theoremstyle{theorem} +\newmdtheoremenv{appendixthm}{Định lý} +\newmdtheoremenv{appendixcorollary}[appendixthm]{Hệ quả} +\theoremstyle{definition} +\newmdtheoremenv{appendixdefinition}[appendixthm]{Định nghĩa} +\newmdtheoremenv{appendixexample}[appendixthm]{Ví dụ} +\newmdtheoremenv{appendixcounterexample}[appendixthm]{Phản ví dụ} + \newtheorem{exercise}{Bài tập} \counterwithin{exercise}{section} @@ -87,8 +102,8 @@ \input{chapter6.tex} \appendix - -\chapter{Đọc thêm} +\input{appendix1.tex} +\input{appendix2.tex} \printindex \printbibliography[heading=bibintoc,title={Tài liệu tham khảo}] From 680088bcd64143f5dfc5222417a28bcfee98b9e4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: duong755 Date: Sun, 15 Oct 2023 14:37:10 +0700 Subject: [PATCH 5/9] feat(set-theory): chapter 4, more exercises on complex numbers --- set-theory/chapter4.tex | 54 ++++++++++++++++++++++++++++++++--------- set-theory/main.tex | 3 ++- 2 files changed, 44 insertions(+), 13 deletions(-) diff --git a/set-theory/chapter4.tex b/set-theory/chapter4.tex index 80457cb..f150f0c 100644 --- a/set-theory/chapter4.tex +++ b/set-theory/chapter4.tex @@ -940,7 +940,7 @@ \subsection{Phần thực, phần ảo, liên hợp và dạng lượng giác c Nói riêng, số $1$ có $n$ căn bậc $n$ là \[ - \zeta_{k} = \cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right) + \imath\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right). + \zeta_{k} = \cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right) + \imath\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\qquad k = 0, 1, \ldots, n-1. \] Trong nội dung tiếp theo về biểu diễn hình học của số phức, chúng ta sẽ chỉ ra ý nghĩa hình học của từng khái niệm về số phức đã được đề cập đến giờ trong tài liệu này. @@ -1028,19 +1028,17 @@ \subsection{Biểu diễn hình học của số phức} \node[label={[label distance=-2mm]-135:$O$}] at (0,0) {}; \node[label={[label distance=0mm]45:$z_{0}$},fill,inner sep=1pt] at (Z1) {}; + \draw (X) -- (O) -- (Z1) pic [draw=black, angle radius=4mm] {angle = X--O--Z1}; \node[label={[label distance=0mm]45:$z$},fill,inner sep=1pt] at (Z2) {}; + \draw (X) -- (O) -- (Z2) pic [double, double distance=0.5mm, draw=black, angle radius=8mm] {angle = X--O--Z2}; \node[label={[label distance=0mm]135:$z_{0}z$},fill,inner sep=1pt] at (Z) {}; + \draw (Z2) -- (O) -- (Z) pic [draw=black, angle radius=4mm] {angle = Z2--O--Z}; \draw[->,thick] (0,0) -- (Z1); \draw[->,thick] (0,0) -- (Z2); \draw[->,thick] (0,0) -- (Z); - \tkzMarkAngle[size=0.30cm,->,mark=|,mkpos=0.5](X,O,Z1); - \tkzMarkAngle[size=0.45cm,->,mark=||,mkpos=0.5](X,O,Z2); - \tkzMarkAngle[size=0.30cm,->,mark=|,mkpos=0.5](Z2,O,Z); - \tkzMarkAngle[size=0.65cm,->](X,O,Z); - \draw[->] (-2,0)--(2,0) node[right]{$x$}; \draw[->] (0,-2)--(0,2) node[above]{$y\imath$}; \end{tikzpicture} @@ -1058,7 +1056,7 @@ \subsection{Biểu diễn hình học của số phức} \foreach\k in {0,1,2,3,4} { \coordinate (P) at ({cos(\k*360/5)}, {sin(\k*360/5)}); - \node[fill,inner sep=1pt,circle] at (P) {}; + \node[label={{\k*360/5}:$\zeta_{\k}$},fill,inner sep=1pt,circle] at (P) {}; \draw[->,thick] (0,0) -- (P); } @@ -1067,19 +1065,23 @@ \subsection{Biểu diễn hình học của số phức} \draw[->] (-1.5,0)--(1.5,0) node[right]{$x$}; \draw[->] (0,-1.5)--(0,1.5) node[above]{$y\imath$}; \end{tikzpicture} - \caption{Các căn bậc $5$ của $1$.}\label{fig:5throot-of-unity} + \caption{Biểu diễn hình học cho các căn bậc $5$ của $1$.}\label{fig:5throot-of-unity} \end{figure} \subsection{Bài tập} \begin{exercise} + Cho $z$ là một số phức nhưng không phải số thực. Chứng minh rằng $\mathbb{C} = \{ a + bz \mid a\in\mathbb{R}, b\in\mathbb{R} \}$. +\end{exercise} + +\begin{exercise}\label{example:lost-of-total-ordering-on-C} Chứng minh rằng không tồn tại một quan hệ thứ tự toàn phần $\leq$ trên tập hợp số phức $\mathbb{C}$ mà tương thích với phép cộng và phép nhân số phức. [Gợi ý: Chứng minh bằng phản chứng, xem xét 6 thứ tự có thể có của ba số phức $0$, $1$, $\imath$.] \end{exercise} \begin{exercise} \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item Cho một ví dụ về quan hệ thứ tự không toàn phần trên tập hợp số phức [Gợi ý: Chỉ định nghĩa quan hệ thứ tự trên một tập con của $\mathbb{C}$]. - \item Cho một ví dụ về quan hệ tiền thứ tự toàn phần trên tập hợp số phức. + \item Hãy đưa ra một ví dụ về quan hệ thứ tự không toàn phần trên tập hợp số phức [Gợi ý: Chỉ định nghĩa quan hệ thứ tự trên một tập con của $\mathbb{C}$.] + \item Hãy đưa ra một ví dụ về quan hệ tiền thứ tự toàn phần trên tập hợp số phức. \end{enumerate} \end{exercise} @@ -1088,6 +1090,7 @@ \subsection{Bài tập} \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] \item $\abs{z_{1}z_{2}} = \abs{z_{1}}\abs{z_{2}}$. \item $\abs{z_{1} + z_{2}}\leq \abs{z_{1}} + \abs{z_{2}}$. + \item nếu $z_{1}\ne 0$ và $z_{2}\ne 0$ thì $\arg{(z_{1}z_{2})}\equiv \arg{(z_{1})} + \arg{(z_{2})} \pmod{2\pi}$. \end{enumerate} \end{exercise} @@ -1095,7 +1098,7 @@ \subsection{Bài tập} Chúng ta kí hiệu $U$ là tập hợp các số phức có độ lớn bằng $1$. \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] \item Chứng minh rằng tồn tại một song ánh giữa $U$ và $[0, 2\pi)$. - \item Chỉ ra một quan hệ tương đương $\sim$ trên tập hợp số thực $\mathbb{R}$ sao cho tồn tại một song ánh $f: \mathbb{R}/_{\sim} \to U$. + \item Hãy đưa ra một quan hệ tương đương $\sim$ trên tập hợp số thực $\mathbb{R}$ sao cho tồn tại một song ánh $f: \mathbb{R}/_{\sim} \to U$. \end{enumerate} \end{exercise} @@ -1106,7 +1109,7 @@ \subsection{Bài tập} \begin{exercise}[Căn nguyên thủy] $n$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng trong $U_{n}$, tồn tại phần tử mà mọi phần tử khác đều là lũy thừa của phần tử đó. - Phần tử như vậy được gọi là căn bậc $n$ nguyên thủy. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố $p$, có đúng $p-1$ căn bậc $p$ nguyên thủy. + Phần tử như vậy được gọi là căn bậc $n$ nguyên thủy. Chứng minh rằng $\zeta_{k}$ là một căn bậc $n$ nguyên thủy khi và chỉ khi $n$ và $k$ nguyên tố cùng nhau. \end{exercise} \begin{exercise} @@ -1123,3 +1126,30 @@ \subsection{Bài tập} \item Với $n > 2$, chứng minh rằng tồn tại ít nhất một song ánh khác từ $U_{n}$ đến $\mathbb{Z}_{n}$ cũng có tính chất như $\tau$. \end{enumerate} \end{exercise} + +\begin{exercise}[Quaternion] + Tập hợp số bộ bốn (quaternion) được định nghĩa là $\mathbb{H} = \mathbb{C}\times\mathbb{C}$. Nói cách khác, đây là tập hợp gồm tất cả các cặp (có thứ tự) số phức. Trong bài tập này, chúng ta kí hiệu quaternion bởi các chữ cái in đậm, kí hiệu số phức bởi các chữ cái in thường. + + Liên hợp của quaternion $\mathbf{z} = (a, b)$ được kí hiệu là ${\mathbf{z}}^{*}$ và được xác định như sau + \[ + {\mathbf{z}}^{*} = (\overline{a}, -b) + \] + + Phép cộng quaternion và phép nhân quaternion được định nghĩa như sau + \begin{align*} + (a, b) + (c, d) & = (a+c, b+d), \\ + (a,b)(c,d) & = (ac - \overline{d}b, da + b\overline{c}). + \end{align*} + + Tương tự như khi định nghĩa số phức như một cặp số thực, chúng ta \textit{đồng nhất} số phức $a$ với quaternion $(a, 0)$. Như vậy $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}\subset \mathbb{H}$. + + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Chứng minh rằng phép nhân quaternion có tính chất kết hợp. + \item Hãy đưa ra một ví dụ để cho thấy rằng phép nhân quaternion không có tính chất giao hoán. + \item Chứng minh rằng với mọi quaternion $\mathbf{z_{1}}$, $\mathbf{z_{2}}$, ${(\mathbf{z_{1}}{\mathbf{z_{2}}})}^{*} = {\mathbf{z_{2}}}^{*}{\mathbf{z_{1}}}^{*}$ và $\mathbf{z_{1}}\mathbf{z_{1}}^{*} = \mathbf{z_{1}}^{*}\mathbf{z_{1}}$. + \item Chứng minh rằng với mọi quaternion $\mathbf{z}$, $\mathbf{z}^{*}\mathbf{z}$ là một số thực không âm. + \item $\mathcal{N}: \mathbb{H}\to \mathbb{R}$ là ánh xạ cho bởi biểu thức $\mathcal{N}(\mathbf{z}) = \sqrt{\mathbf{z}^{*}\mathbf{z}}$. Chứng minh rằng với mọi quaternion $\mathbf{z_{1}}$, $\mathbf{z_{2}}$, có $\mathcal{N}(\mathbf{z_{1}}\mathbf{z_{2}}) = \mathcal{N}(\mathbf{z_{1}})\mathcal{N}(\mathbf{z_{2}})$. + \end{enumerate} +\end{exercise} + +Trong chương này, cách định nghĩa số phức như một cặp số thực, và định nghĩa quaternion như một cặp số phức là một phần của \textbf{phép dựng Cayley-Dickson}. Phép dựng này được sử dụng để tạo ra các tập hợp số rộng hơn, chẳng hặn như octonion (số bộ 8), sedenion (số bộ 16), trigintaduonion (số bộ 32), \ldots Nói chung, càng tiếp tục mở rộng với phép dựng Cayley-Dickson, tập hợp số mới sẽ mất đi tính chất nào đó: tập hợp số phức không được sắp thứ tự hoàn toàn (xem Bài tập~\ref{example:lost-of-total-ordering-on-C}), phép nhân quaternion không có tính chất giao hoán, phép nhân octonion không có tính chất kết hợp, \ldots diff --git a/set-theory/main.tex b/set-theory/main.tex index 785555d..d727884 100644 --- a/set-theory/main.tex +++ b/set-theory/main.tex @@ -21,13 +21,14 @@ \usepackage{epigraph} \usepackage{setspace} \usepackage{pgf,tikz} -\usepackage{tkz-euclide} +\usetikzlibrary{angles} \usetikzlibrary{arrows} \usetikzlibrary{arrows.meta} \usetikzlibrary{positioning} \usetikzlibrary{calc} \usetikzlibrary{shapes} \usetikzlibrary{shapes.arrows} +\usetikzlibrary{quotes} \usetikzlibrary{decorations.markings} \usetikzlibrary{decorations.pathmorphing} \usetikzlibrary{decorations.text} From d02ec31d62f2f5df739d0097c94ddd937ba85b90 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: duong755 Date: Sun, 15 Oct 2023 22:59:59 +0700 Subject: [PATCH 6/9] feat(set-theory): add cauchy-completness to appendix, move axiomatic set theory to the last chapter --- set-theory/appendix1.tex | 212 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- set-theory/chapter1.tex | 27 ++--- set-theory/chapter2.tex | 2 +- set-theory/chapter6.tex | 12 ++- set-theory/main.bib | 7 ++ 5 files changed, 235 insertions(+), 25 deletions(-) diff --git a/set-theory/appendix1.tex b/set-theory/appendix1.tex index 7573d37..71ecef3 100644 --- a/set-theory/appendix1.tex +++ b/set-theory/appendix1.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \chapter{Mô hình số thực bằng dãy Cauchy hữu tỉ} Phần phụ lục này cung cấp đầy đủ các chi tiết kĩ thuật trong việc xây dựng tập hợp số thực bằng dãy Cauchy hữu tỉ. Để phục vụ cho Chương~\ref{chapter:p-adic} về số $p$-adic, bạn đọc chỉ cần xem mục 1 và 2 của chương này với lưu ý rằng chứng minh trong hai mục này vẫn hợp lệ khi thay giá trị tuyệt đối thông thường bởi giá trị tuyệt đối $p$-adic. -\section{Dãy số hữu tỉ và dãy Cauchy hữu tỉ} +\section{Dãy số hữu tỉ và dãy Cauchy hữu tỉ}\label{section:rational-sequences-and-rational-cauchy-sequences} Khái niệm dãy số có thể được mô tả một cách trực giác: Một dãy số là một danh sách số và \textit{mỗi số tự nhiên được gán với đúng một số trong danh sách}. Dãy số tự nhiên $0, 1, 2, \ldots$, dãy số lẻ $1, 3, 5, \ldots$ là những ví dụ về dãy số. Tuy nhiên, để tuân thủ tiêu chuẩn của toán học hiện đại, các khái niệm cần được định nghĩa hình thức. Dãy số được định nghĩa như một ánh xạ, như trong định nghĩa sau đây. @@ -310,7 +310,7 @@ \section{Dãy số hữu tỉ và dãy Cauchy hữu tỉ} Dãy số hữu tỉ hội tụ thì cũng là dãy Cauchy hữu tỉ nhưng điều ngược lại nói chung không đúng. Mệnh đề dưới đây đưa ra một dãy Cauchy hữu tỉ nhưng không hội tụ đến một số hữu tỉ nào. -\begin{appendixthm}\label{appendixthm:irrational-cauchy-sequence} +\begin{appendixthm}\label{appendixprop:irrational-cauchy-sequence} Dãy số hữu tỉ ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được định nghĩa bằng đệ quy như sau \[ x_{n} = \begin{cases} @@ -710,7 +710,7 @@ \section{Các phép toán với dãy Cauchy hữu tỉ} Trên đây chúng ta đã chứng minh được rằng tập hợp $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ cùng hai phép toán cộng và nhân thỏa mãn 8 tiên đề đầu tiên trong các tiên đề về trường. Để chứng minh rằng tiên đề thứ 9 cũng được thỏa mãn, chúng ta sử dụng định lý sau. \begin{appendixthm}\label{appendixthm:nonzero-cauchy-sequences} - Nếu dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không hội tụ đến $0$ thì tồn tại số hữu tỉ dương $\varepsilon$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{n}}\geq \varepsilon$ và $a_{n}\ne 0$. + Nếu dãy Cauchy hữu tỉ ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không hội tụ đến $0$ thì tồn tại số hữu tỉ dương $\varepsilon$ sao cho tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{n}}\geq \varepsilon$. \end{appendixthm} \begin{proof} @@ -725,7 +725,7 @@ \section{Các phép toán với dãy Cauchy hữu tỉ} Do đó, với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{n}}\ne 0$. Vì giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ bằng $0$ khi và chỉ khi số hữu tỉ đó bằng $0$ nên với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $a_{n}\ne 0$. - Vậy, với số hữu tỉ dương $\varepsilon = \dfrac{\varepsilon_{0}}{2}$, tồn tại tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{n}}\geq \varepsilon$ và $a_{n}\ne 0$. + Vậy, với số hữu tỉ dương $\varepsilon = \dfrac{\varepsilon_{0}}{2}$, tồn tại tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có $\abs{a_{n}}\geq \varepsilon$. \end{proof} \begin{appendixthm} @@ -1291,7 +1291,7 @@ \section{Liên hệ lớp tương đương các dãy Cauchy hữu tỉ với s \end{appendixthm} \begin{proof} - Nếu $\iota(q_{1}) = \iota(q_{2})$ thì $\clsseq{q_{1}}{n} = \clsseq{q_{2}}{n}$, kéo theo ${(q_{1})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(q_{2})}_{n\in\mathbb{N}}$, dẫn đến $q_{1} = q_{2}$. Do đó $\iota$ là một đơn ánh. Mặt khác, $\iota$ không phải toàn ánh vì không tồn tại số hữu tỉ $q$ nào để lớp tương đương $\iota(q)$ chứa dãy Cauchy hữu tỉ trong Mệnh đề~\ref{appendixthm:irrational-cauchy-sequence}, kéo theo $\iota$ không phải một toàn ánh. Vì vậy $\iota$ là một đơn ánh nhưng không phải song ánh. + Nếu $\iota(q_{1}) = \iota(q_{2})$ thì $\clsseq{q_{1}}{n} = \clsseq{q_{2}}{n}$, kéo theo ${(q_{1})}_{n\in\mathbb{N}}\sim {(q_{2})}_{n\in\mathbb{N}}$, dẫn đến $q_{1} = q_{2}$. Do đó $\iota$ là một đơn ánh. Mặt khác, $\iota$ không phải toàn ánh vì không tồn tại số hữu tỉ $q$ nào để lớp tương đương $\iota(q)$ chứa dãy Cauchy hữu tỉ trong Mệnh đề~\ref{appendixprop:irrational-cauchy-sequence}, kéo theo $\iota$ không phải một toàn ánh. Vì vậy $\iota$ là một đơn ánh nhưng không phải song ánh. Theo định nghĩa phép cộng, phép nhân trên $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}$ và $\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/_{\sim}$ \begin{align*} @@ -1306,3 +1306,205 @@ \section{Liên hệ lớp tương đương các dãy Cauchy hữu tỉ với s \end{proof} Định lý trên được hiểu là đơn ánh $\iota$ bảo toàn phép cộng, phép nhân, và quan hệ thứ tự. Vì điều này, chúng ta có thể đồng nhất số hữu tỉ $q$ với lớp tương đương $\clsseq{q}{n}$. + +\section{Tính đầy đủ-Cauchy} + +Mục tiêu của mục này là chứng minh ``Mọi dãy Cauchy đều hội tụ''. + +\begin{definition}[Giá trị tuyệt đối của số thực] + Ánh xạ $\abs{\cdot}: \mathbb{R}\to \mathbb{R}_{\geq 0}$ được định nghĩa bởi + \[ + \abs{x} = \begin{cases} + x & \text{nếu $x\geq 0$}, \\ + -x & \text{nếu $x < 0$} + \end{cases} + \] + + được gọi là \textbf{ánh xạ giá trị tuyệt đối}, hay \textbf{hàm giá trị tuyệt đối} của số thực\index{Giá trị tuyệt đối của số thực}. Số thực không âm $\abs{x}$ được gọi là giá trị tuyệt đối của số thực $x$. +\end{definition} + +Trong Mục~\ref{section:rational-sequences-and-rational-cauchy-sequences}, khi chuẩn bị cho việc xây dựng mô hình số thực bằng dãy Cauchy hữu tỉ, chúng ta đã đưa ra khái niệm dãy số hữu tỉ và một số định nghĩa liên quan. Dưới đây, chúng ta đưa ra các định nghĩa tương tự và dành cho dãy số thực (chỉ thay số hữu tỉ thành số thực). + +\begin{definition}[Dãy số thực] + Ánh xạ $f: \mathbb{N}\to \mathbb{R}$ được gọi là một \textbf{dãy số thực\index{Dãy số thực}}, hay \textbf{dãy số}, \textbf{dãy}. + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Dãy ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là \textbf{dãy hằng số\index{Dãy hằng số}} nếu và chỉ nếu giá trị tại mọi chỉ số $n$ của dãy này là như nhau. + \item Dãy ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là \textbf{dãy dừng\index{Dãy dừng}} nếu và chỉ nếu tồn tại số tự nhiên $n_{0}$ sao cho giá trị tại mọi chỉ số $n\geq n_{0}$ là như nhau. + \item Dãy ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là \textbf{dãy tăng\index{Dãy tăng}}, hay \textbf{dãy tăng thực sự} nếu và chỉ nếu tồn tại số tự nhiên $n_{0}$ sao cho $f_{n+1} > f_{n}$ với mọi số tự nhiên $n\geq n_{0}$. + \item Dãy ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là \textbf{dãy giảm\index{Dãy giảm}}, hay \textbf{dãy giảm thực sự} nếu và chỉ nếu tồn tại số tự nhiên $n_{0}$ sao cho $f_{n+1} < f_{n}$ với mọi số tự nhiên $n\geq n_{0}$. + \item Dãy ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là \textbf{dãy không giảm\index{Dãy không giảm}} nếu và chỉ nếu tồn tại số tự nhiên $n_{0}$ sao cho $f_{n+1}\geq f_{n}$ với mọi số tự nhiên $n\geq n_{0}$. + \item Dãy ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là \textbf{dãy không tăng\index{Dãy không tăng}} nếu và chỉ nếu tồn tại số tự nhiên $n_{0}$ sao cho $f_{n+1}\leq f_{n}$ với mọi số tự nhiên $n\geq n_{0}$. + \item Dãy ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là \textbf{dãy bị chặn\index{Dãy bị chặn}} nếu và chỉ nếu tồn tại số thực $A$ sao cho với mọi số tự nhiên $n$, có $\abs{f_{n}}\leq A$ (hoặc $\abs{f_{n}} < A$). + \item Dãy ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là \textbf{dãy Cauchy\index{Dãy Cauchy thục}} nếu và chỉ nếu với mọi số thực dương $\varepsilon$, tồn tại số tự nhiên $N(\varepsilon)$ sao cho với mọi số tự nhiên $n, m\geq N(\varepsilon)$, có $\abs{f_{m} - f_{n}} < \varepsilon$. Bằng logic hình thức, chúng ta viết + \[ + \forall \varepsilon > 0\ \exists N(\varepsilon)\ \forall n, m\geq N(\varepsilon)\ \abs{f_{n} - f_{m}} < \varepsilon. + \] + \item Dãy ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ được gọi là hội tụ đến số thực $a$ nếu và chỉ nếu với mọi số thực dương $\varepsilon$, tồn tại số tự nhiên $N(\varepsilon)$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N(\varepsilon)$, có $\abs{f_{n} - a} < \varepsilon$. Bằng logic hình thức, chúng ta viết + \[ + \forall \varepsilon > 0\ \exists N(\varepsilon)\ \forall n\geq N(\varepsilon)\ \abs{f_{n} - a} < \varepsilon. + \] + \item Nếu tồn tại số thực $a$ sao cho dãy ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến $a$ thì $a$ được gọi là một điểm giới hạn (hay giới hạn) của dãy ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và chúng ta nói dãy ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ. + \end{enumerate} +\end{definition} + +Tương tự với dãy số hữu tỉ, chúng ta có các kết quả sau, với chứng minh hoàn toàn tương tự. +\begin{appendixthm} + Dãy Cauchy là dãy bị chặn. +\end{appendixthm} + +\begin{appendixthm} + Nếu một dãy hội tụ thì điểm giới hạn của dãy đó là duy nhất. +\end{appendixthm} + +Để biểu thị số thực $a$ là giới hạn của dãy ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, chúng ta kí hiệu $\lim f_{n} = a$. + +\begin{appendixthm}\label{appendixthm:limits-of-sum-and-product-of-sequences} + Nếu $\lim a_{n} = a$ và $\lim b_{n} = b$ thì + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item $\lim (a_{n} + b_{n}) = a + b$. + \item $\lim (a_{n}b_{n}) = ab$. + \end{enumerate} +\end{appendixthm} + +Với các định lý dưới đây, sự khác biệt (tiên đề về cận trên, hay tiên đề về tính đầy đủ) giữa tập hợp số thực và tập hợp số hữu tỉ được nhấn mạnh thêm nhiều lần. + +\begin{appendixthm}[Định lý về dãy đơn điệu và bị chặn] + Dãy đơn điệu không giảm và bị chặn trên thì hội tụ. Dãy đơn điệu không tăng và bị chặn dưới thì hội tụ\footnote{Định lý này còn có phát biểu ngắn gọn hơn: Dãy đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.}. +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Giả sử dãy ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không giảm và bị chặn. Như vậy tập hợp tất cả các giá trị của dãy ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là khác rỗng và bị chặn trên. Theo tiên đề về cận trên, tập hợp tất cả các giá trị của dãy ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ có cận trên nhỏ nhất. Chúng ta kí hiệu cận trên nhỏ nhất này là $a$. + + Dãy ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không giảm nên tồn tại số tự nhiên $n_{0}$ sao cho $a_{n+1}\geq a_{n}$ với mọi $n\geq n_{0}$. + + Theo định nghĩa cận trên nhỏ nhất, với mọi số thực dương $\varepsilon$, $a - \varepsilon$ không phải cận trên của tập hợp tất cả các giá trị của dãy ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. Do đó, với mỗi số thực dương $\varepsilon$, tồn tại số tự nhiên $n_{1}$ sao cho $a_{n_{1}} > a - \varepsilon$. Vì dãy ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không giảm nên $a - a_{n}\leq a - a_{n_{1}} < \varepsilon$ với mọi số tự nhiên $n\geq N = \max\{ n_{0}, n_{1} \}$. Bên cạnh đó, $\abs{a - a_{n}} = a - a_{n}$ với mọi số tự nhiên $n$ vì $a$ là cận trên nhỏ nhất của tập hợp tất cả các giá trị của dãy ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + + Như vậy, với mỗi số thực dương $\varepsilon$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $\abs{a_{n} - a} < \varepsilon$. Do đó, dãy ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ. + \item Giả sử dãy ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ không tăng và bị chặn. Khi đó dãy $(b_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ được định nghĩa bởi $b_{n} = -a_{n}$ với mọi số tự nhiên $n$ là một dãy không giảm và bị chặn. Theo phần (i), dãy $(b_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ. Theo Định lý~\ref{appendixthm:limits-of-sum-and-product-of-sequences}, dãy ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ. + \end{enumerate} +\end{proof} + +Trong phần (ii) của chứng minh trên, thay vì áp dụng phần (i), chúng ta có thể chứng minh tương tự phần (i) bằng cách chỉ ra giới hạn của dãy số là cận dưới lớn nhất của tập hợp tất cả các giá trị của dãy ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. + +\begin{definition} + Cho hai số thực $a, b$ thỏa mãn $a\leq b$. Chúng ta định nghĩa \textbf{khoảng mở\index{Khoảng mở}} $(a, b)$ và \textbf{khoảng đóng\index{Khoảng đóng}} $[a, b]$ là hai tập hợp sau. + \[ + \begin{split} + (a, b) = \{ x\in\mathbb{R} \mid a < x < b \}, \\ + [a, b] = \{ x\in\mathbb{R} \mid a\leq x\leq b \}. + \end{split} + \] +\end{definition} + +Nói riêng, nếu hai số thực $a, b$ thỏa mãn $a = b$ thì $(a, b) = \varnothing$ và $[a, b] = \{ a \}$. + +\begin{appendixthm}[Định lý Cantor về các khoảng đóng lồng nhau] + Hai dãy số ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ và ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ thỏa mãn $a_{n}\leq b_{n}$, $[a_{n+1}, b_{n+1}]\subseteq [a_{n}, b_{n}]$ với mọi số tự nhiên $n$. + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} [a_{n}, b_{n}]\ne \varnothing$. + \item Nếu $\lim (a_{n} - b_{n}) = 0$ thì tập hợp $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} [a_{n}, b_{n}]$ có đúng một phần tử. + \end{enumerate} +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item Vì $[a_{n+1}, b_{n+1}]\subseteq [a_{n}, b_{n}]$ với mọi số tự nhiên $n$ nên $a_{n}\leq a_{n+1}$ và $b_{n}\geq b_{n+1}$ với mọi số tự nhiên $n$. Vì $a_{n}\leq a_{n+1}$ và $b_{n}\geq b_{n+1}$ với mọi số tự nhiên $n$ nên $a_{0}\leq a_{n}$ và $b_{n}\leq b_{0}$ với mọi số tự nhiên $n$ (điều này được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học). Vì $a_{n}\leq b_{n}$ với mọi số tự nhiên $n$ nên $a_{n}\leq b_{n}\leq b_{0}$ và $a_{0}\leq a_{n}\leq b_{n}$ với mọi số tự nhiên $n$. Do đó dãy số ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bị chặn trên, dãy số ${(b_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bị chặn dưới. Kí hiệu $a = \sup {\{ a_{n}\}}_{n\in\mathbb{N}}$ và $b = \inf {\{ b_{n} \}}_{n\in\mathbb{N}}$. Giả sử phản chứng rằng $a > b$, khi đó $b$ không phải cận trên nhỏ nhất của ${\{ a_{n} \}}_{n\in\mathbb{N}}$, kéo theo tồn tại số tự nhiên $m$ sao cho $a_{m} > b$. Mà $b_{0}\leq b$ nên chúng ta suy ra $b_{0} < a_{m}$, điều này mâu thuẫn với mệnh đề vừa chứng minh ``$a_{n}\leq b_{0}$ với mọi số tự nhiên $n$''. Do đó, $a\leq b$. Chọn một phần tử $x$ bất kì từ khoảng đóng $[a, b]$, chúng ta có $a_{n}\leq a\leq x\leq b\leq b_{n}$ với mọi số tự nhiên $n$. Do đó, $x$ thuộc $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} [a_{n}, b_{n}]$. Như vậy $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} [a_{n}, b_{n}]\ne\varnothing$. + \item Với các giá trị $a, b$ ở phần (i), chúng ta chứng minh rằng + \[ + \bigcap_{n\in\mathbb{N}} [a_{n}, b_{n}] = [a, b]. + \] + + Giả sử $x$ thuộc $[a, b]$ thì $x$ thuộc $[a_{n}, b_{n}]$ với mọi số tự nhiên $n$ vì $a_{n}\leq a$ và $b\leq b_{n}$ với mọi số tự nhiên $n$. Do đó $x$ thuộc $[a_{n}, b_{n}]$ với mọi số tự nhiên $n$, kéo theo $x$ thuộc $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} [a_{n}, b_{n}]$. Như vậy $[a, b]\subseteq \bigcap_{n\in\mathbb{N}} [a_{n}, b_{n}]$. + + Giả sử $x$ thuộc $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} [a_{n}, b_{n}]$ (chúng ta giả sử được như vậy vì $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} [a_{n}, b_{n}]\ne \varnothing$). Theo định nghĩa khoảng đóng, $a_{n}\leq x\leq b_{n}$ với mọi số tự nhiên $n$. Do đó $x$ là cận trên của ${\{a_{n}\}}_{n\in\mathbb{N}}$ và là cận dưới của ${\{b_{n}\}}_{n\in\mathbb{N}}$, kéo theo $a\leq x\leq b$, hay $x$ thuộc $[a, b]$. Như vậy $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} [a_{n}, b_{n}]\subseteq [a, b]$. + + Vậy $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} [a_{n}, b_{n}] = [a, b]$. Nếu $\lim (a_{n} - b_{n}) = 0$ thì $a = b$, kéo theo $[a, b]$ có đúng một phàn tử, do đó $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} [a_{n}, b_{n}]$ có đúng một phần tử. + \end{enumerate} +\end{proof} + +Nói chung, định lý trên sẽ không còn đúng nếu chúng ta thay khoảng đóng bởi khoảng mở. + +\begin{appendixthm}[Định lý Bolzano-Weierstra{\ss} cho số thực] + Mọi dãy bị chặn đều chứa một dãy con\index{Dãy con} hội tụ. +\end{appendixthm} + +Trước tiên, chúng ta làm rõ hơn khái niệm dãy con. Với một dãy ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$, chúng ta lần lượt chọn vô hạn các số tự nhiên $n_{k}$ (trong đó $k\in\mathbb{N}$) sao cho $n_{0} < n_{1} < n_{2} < \cdots$ thì ${(f_{n_{k}})}_{k\in\mathbb{N}}$ là một dãy con của ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$. +\begin{figure}[htp] + \centering + \begin{tikzpicture} + \foreach \x in {0,...,12} { + \node [label={below:$f_{\x}$}] at (\x, 0) {}; + } + + \node [label={below:$\longrightarrow$}] at (13, -0.6) {}; + + \node [label={below:$f_{n_{0}}$}] at (2, -1) {}; + \node [label={below:$f_{n_{1}}$}] at (3, -1) {}; + \node [label={below:$f_{n_{2}}$}] at (5, -1) {}; + \node [label={below:$f_{n_{3}}$}] at (7, -1) {}; + \node [label={below:$f_{n_{4}}$}] at (8, -1) {}; + \node [label={below:$f_{n_{5}}$}] at (11, -1) {}; + \end{tikzpicture} + \caption{Minh họa các giá trị đầu tiên của một dãy con ${(f_{n_{k}})}_{k\in\mathbb{N}}$ của dãy ${(f_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$.} +\end{figure} + +\begin{proof} + Giả sử ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bị chặn. Theo định nghĩa dãy bị chặn, tồn tại số thực dương $A$ sao cho $\abs{x_{n}}\leq A$ với mọi số tự nhiên $n$. Chúng ta định nghĩa $a_{0} = -A$, $b_{0} = A$. Chúng ta định nghĩa $a_{n}$, $b_{n}$ với mọi số tự nhiên $n$ và xây dựng một dãy con của ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bằng quy nạp như sau + \begin{itemize} + \item Chọn một số tự nhiên $n_{0}$ thuộc $[a_{0}, b_{0}]$. + \item Ít nhất một trong hai khoảng đóng $\left[a_{0}, \dfrac{1}{2}(a_{0}+b_{0})\right]$ và $\left[\dfrac{1}{2}(a_{0}+b_{0}), b_{0}\right]$ thỏa mãn: có vô hạn số tự nhiên $n$ sao cho $x_{n}$ thuộc khoảng đóng đó. Nếu khoảng đóng đó là $\left[a_{0}, \dfrac{1}{2}(a_{0}+b_{0})\right]$ thì chúng ta định nghĩa $a_{1} = a_{0}$, $b_{1} = \dfrac{1}{2}(a_{0} + b_{0})$. Nếu khoảng đóng đó là $\left[\dfrac{1}{2}(a_{0}+b_{0}), b_{0}\right]$ thì chúng ta định nghĩa $a_{1} = \dfrac{1}{2}(a_{0} + b_{0})$, $b_{1} = b_{0}$. Như vậy, $[a_{1}, b_{1}]\subseteq [a_{0}, b_{0}]$. Chọn một số tự nhiên $n_{1}$ thuộc $[a_{1}, b_{1}]$ sao cho $n_{1} > n_{0}$. + \item Ít nhất một trong hai khoảng đóng $\left[a_{k}, \dfrac{1}{2}(a_{k}+b_{k})\right]$ và $\left[\dfrac{1}{2}(a_{k}+b_{k}), b_{k}\right]$ thỏa mãn: có vô hạn số tự nhiên $n$ sao cho $x_{n}$ thuộc khoảng đóng đó. Nếu khoảng đóng đó là $\left[a_{k}, \dfrac{1}{2}(a_{k}+b_{k})\right]$ thì chúng ta định nghĩa $a_{k+1} = a_{k}$, $b_{k+1} = \dfrac{1}{2}(a_{k} + b_{k})$. Nếu khoảng đóng đó là $\left[\dfrac{1}{2}(a_{k}+b_{k}), b_{k}\right]$ thì chúng ta định nghĩa $a_{k+1} = \dfrac{1}{2}(a_{k} + b_{k})$, $b_{k+1} = b_{k}$. Như vậy, $[a_{k+1}, b_{k+1}]\subseteq [a_{k}, b_{k}]$. Chọn một số tự nhiên $n_{k+1}$ thuộc $[a_{k+1}, b_{k+1}]$ sao cho $n_{k+1} > n_{k}$. + \end{itemize} + + Từ cách xây dựng trên, chúng ta suy ra $a_{n} - b_{n} = \dfrac{1}{2^{n}}(a_{0} - b_{0})$ với mọi số tự nhiên $n$. Với mọi số thực dương $\varepsilon$, với số tự nhiên $N = \floor{(b_{0} - a_{0})\dfrac{1}{\varepsilon}}$, với mọi số tự nhiên $n\geq N$, chúng ta có + \[ + \abs{a_{n} - b_{n}} = \abs{\frac{1}{2^{n}}(a_{0} - b_{0})}\leq \frac{1}{n+1}\abs{a_{0} - b_{0}}\leq \frac{1}{N+1}\abs{a_{0} - b_{0}} < \varepsilon. + \] + + Trong đó, $2^{n}\geq 1 + n$ theo bất đẳng thức Bernoulli và $N + 1 > (b_{0} - a_{0})\dfrac{1}{\varepsilon}$ theo định nghĩa phần nguyên của số thực. + + Do đó $\lim (a_{n} - b_{n}) = 0$. Theo định lý Cantor về các khoảng đóng lồng nhau, $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} [a_{n}, b_{n}]$ có đúng một phần tử. Chúng ta kí hiệu phần tử này là $x$. Với mọi số thực dương $\varepsilon$, với số tự nhiên $N = \floor{(b_{0} - a_{0})\dfrac{1}{\varepsilon}}$, với mọi số tự nhiên ${k}\geq N$, chúng ta có $x, x_{n_{k}}$ thuộc $[a_{k}, b_{k}]$, kéo theo + \[ + \abs{x_{n_{k}} - x}\leq \abs{a_{k} - b_{k}} < \varepsilon. + \] + + Do đó, $\lim x_{n_{k}} = x$. Như vậy mọi dãy bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ. +\end{proof} + +Một dãy Cauchy hữu tỉ thì có thể hội tụ về một số hữu tỉ hoặc không. Nhưng dãy Cauchy thực thì hội tụ về một số thực. +\begin{appendixthm}[Tính đầy đủ-Cauchy] + Một dãy số hội tụ khi và chỉ khi đó là dãy Cauchy. +\end{appendixthm} + +\begin{proof} + Cho ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy số. + + ($\Rightarrow$) ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ về một số thực $x$. + + $\varepsilon$ là một số thực dương bất kì. Theo định nghĩa dãy số hội tụ, với số thực dương $\dfrac{\varepsilon}{2}$, tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N$, có $\abs{x_{n} - x} < \dfrac{\varepsilon}{2}$. Khi đó với mọi số tự nhiên $n, m\geq N$, chúng ta có + \[ + \abs{x_{m} - x_{n}} = \abs{(x_{m} - x) + (x - x_{n})}\leq \abs{x_{m} - x} + \abs{x - x_{n}} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. + \] + + Do đó ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là dãy Cauchy. + + ($\Leftarrow$) ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là dãy Cauchy. + + Vì dãy Cauchy cũng là dãy bị chặn nên ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ bị chặn. Theo định lý Bolzano-Weierstra{\ss} cho số thực, ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ có một dãy con ${(x_{n_{k}})}_{k\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến một số thực $x$. + + $\varepsilon$ là một số thực dương bất kì. Vì ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ là dãy Cauchy và dãy con ${(x_{n_{k}})}_{k\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến một số thực $x$ nên + \begin{itemize} + \item Tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho với mọi số tự nhiên $n, m\geq N$, có $\abs{x_{m} - x_{n}} < \dfrac{\varepsilon}{2}$. + \item Tồn tại số tự nhiên $K$ sao cho với mọi số tự nhiên $k\geq K$, có $\abs{x_{n_{k}} - x} < \dfrac{\varepsilon}{2}$. + \end{itemize} + + Do đó, với mọi số tự nhiên $k\geq N' = \max\{ N, K \}$, chúng ta có $n_{k}\geq k\geq N'$ và + \[ + \abs{x_{k} - x} = \abs{(x_{k} - x_{n_{k}}) + (x_{n_{k}} - x)} \leq \abs{x_{k} - x_{n_{k}}} + \abs{x_{n_{k}} - x} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. + \] + + Như vậy, với mỗi số thực dương $\varepsilon$, tồn tại số tự nhiên $N'$ sao cho với mọi số tự nhiên $n\geq N'$, chúng ta có $\abs{x_{n} - x} < \varepsilon$. Do đó ${(x_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đến số thực $x$. + + Vậy một dãy số hội tụ khi và chỉ khi đó là dãy Cauchy. +\end{proof} diff --git a/set-theory/chapter1.tex b/set-theory/chapter1.tex index 725f02f..e8e4464 100644 --- a/set-theory/chapter1.tex +++ b/set-theory/chapter1.tex @@ -1,3 +1,4 @@ +% chktex-file 44 \chapter{Logic và Tập hợp}\label{chapter:logic-and-set-theory} \section{Mệnh đề và các phép toán logic} @@ -73,6 +74,7 @@ \subsection{Biểu thức logic} Theo Bảng~\ref{section1:truth-table-of-not-and-or}, hai biểu thức $P\wedge Q$ và $P\vee Q$ tương đương trong hai trường hợp (1) $P, Q$ cùng đúng và (2) $P, Q$ cùng sai. Còn khi $P, Q$ khác tính đúng-sai thì $P\wedge Q$ và $P\vee Q$ không tương đương. Chúng ta xét hai biểu thức $P\implies Q$ và $\neg P \vee Q$ (lưu ý thứ tự thực hiện phép toán). Để kiểm tra sự tương đương của hai biểu thức trong tất cả các trường hợp, chúng ta lập bảng chân trị (Bảng~\ref{section1:truth-table-of-implication-and-neg-vee}). \begin{table}[htp] \centering + % chktex-file 44 \[ \begin{array}{cc|cc} P & Q & P\implies Q & \neg P\vee Q \\ @@ -158,7 +160,7 @@ \subsection{Bài tập} \section{Tập hợp} -\subsection{Định nghĩa tập hợp} +\subsection{Tập hợp} Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không được định nghĩa về mặt toán học. Chúng ta chấp nhận và hiểu về tập hợp bằng định nghĩa trực giác ``Tập hợp là một bộ các đối tượng'' và các ví dụ: \textit{Tập hợp các sinh viên trong một lớp học}, \textit{Tập hợp các câu văn trong một cuốn sách}, \textit{Tập hợp các nghiệm thực của phương trình $x^{2} + 1 = 0$}, \textit{Tập hợp các số nguyên}\ldots Bạn đọc có thể đưa ra thêm nhiều ví dụ khác về tập hợp. Tựu chung lại, chúng ta thống nhất các thuật ngữ và các đặc điểm sau của tập hợp như sau: \begin{enumerate}[label={(\arabic*)},itemsep=0pt] @@ -187,7 +189,7 @@ \subsection{Định nghĩa tập hợp} \item $S = \{ n \mid \text{$n$ là một số tự nhiên rất lớn} \}$ không phải một tập hợp, vì khái niệm \textit{số tự nhiên rất lớn} không được định nghĩa. \end{itemize} -Để cho ngắn gọn, chúng ta có thể dùng từ tập thay vì tập hợp. Ở Chương~\ref{chapter:cardinality}, chúng ta sẽ bàn thêm về tập hợp có vô hạn phần tử. +Để cho ngắn gọn, chúng ta có thể dùng từ tập thay vì tập hợp. Ở Chương~\ref{chapter:cardinality-and-axiomatic-set-theory}, chúng ta sẽ bàn thêm về tập hợp có vô hạn phần tử. \subsection{Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp} @@ -227,7 +229,7 @@ \subsection{Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp} Cho các tập hợp $A, B, C$. Nếu $A\subseteq B$, $B\subseteq C$ thì $A\subseteq C$. \end{theorem} -Chúng ta kết thúc mục này bằng định nghĩa tập hợp lũy thừa, và sẽ quay trở lại với khái niệm này trong Chương~\ref{chapter:cardinality}. +Chúng ta kết thúc mục này bằng định nghĩa tập hợp lũy thừa, và sẽ quay trở lại với khái niệm này trong Chương~\ref{chapter:cardinality-and-axiomatic-set-theory}. \begin{definition}[Tập hợp lũy thừa] Tập hợp lũy thừa của một tập hợp $S$ là một tập hợp với các phần tử là tất cả các tập hợp con của $S$. Chúng ta kí hiệu tập hợp lũy thừa của $S$ là $\mathcal{P}(S)$. @@ -292,7 +294,7 @@ \subsection{Lượng hóa} Quay trở lại với hai ví dụ được xét ở mục trước. Ở ví dụ đầu tiên, vì ngày hôm qua và ngày hôm kia có mưa, nên người hàng xóm có thể trả lời \textit{cả hai ngày vừa qua đều có mưa} thay vì nói về từng ngày một. Ở ví dụ thứ hai, người giáo viên có thể hỏi tiếp người đồng nghiệp của mình rằng: ``Trong lớp có học sinh nào được điểm 10 không?\@'', hay là ``Tất cả học sinh nào đều được điểm trên trung bình chứ?\@''. Người đồng nghiệp có thể trả lời rằng ``Có học sinh được điểm 10'' và ``Mọi học sinh đều được điểm lớn hơn hoặc bằng 5.\@'' Tình huống tương tự cũng xảy ra khi chúng ta cần đưa ra lớp các mệnh đề về một tập hợp các đối tượng: Cho trước tập hợp $S$ và một vị từ $p$ (áp dụng lên các phần tử của $x$), chúng ta muốn biết liệu $p(x)$ đúng hay sai, với $x$ là phần tử của $S$. Khi trả lời câu hỏi đó, chúng ta thường gặp các trường hợp sau đây: -\begin{enumerate} +\begin{enumerate}[label={(\roman*)}] \item Có ít nhất một phần tử $x$ của $S$ sao cho có $p(x)$. Khi đó chúng ta kí hiệu \[ \exists x\in S (p(x))\qquad\text{hay}\qquad \exists x\in S: p(x) @@ -314,7 +316,7 @@ \subsection{Lượng hóa} Từ định nghĩa của hai lượng hóa, chúng ta rút ra hai nguyên lý sau đây. -\begin{enumerate} +\begin{enumerate}[label={(\roman*)}] \item \textbf{Phủ định của $\exists x\in S : p(x)$} là $\forall x\in S: \neg p(x)$. Viết thành câu, điều này có nghĩa là: \textbf{phủ định của mệnh đề ``tồn tại $x$ thuộc $S$ sao cho có $p(x)$''} tương đương với \textbf{mệnh đề ``với mọi $x$ thuộc $S$, không có $p(x)$''}. \item \textbf{Phủ định của $\forall x\in S : p(x)$} là $\exists x\in S: \neg p(x)$. Viết thành câu, điều này có nghĩa là: phủ định của mệnh đề ``với mọi $x$ thuộc $S$ sao cho có $p(x)$'' tương đương với mệnh đề ``tồn tại $x$ thuộc $S$ sao cho không có $p(x)$''. \end{enumerate} @@ -622,8 +624,8 @@ \subsection{Bài tập} Cho ba tập hợp $A, B, C$. Chứng minh rằng \begin{equation*} \begin{split} - A - (B\cup C) = (A - B) \cap (A - C), \\ - A - (B\cap C) = (A - B) \cup (A - C). + A \setminus (B\cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C), \\ + A \setminus (B\cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). \end{split} \end{equation*} \end{exercise} @@ -636,8 +638,8 @@ \subsection{Bài tập} Công thức De Morgan có thể được viết dưới dạng khác, sử dụng phép toán hiệu hai tập hợp thay vì lấy phần bù. Cụ thể là \begin{equation*} \begin{split} - A - \bigcup_{i\in I}A_{i} = \bigcap_{i\in I}{(A - A_{i})}, \\ - A - \bigcap_{i\in I}A_{i} = \bigcup_{i\in I}{(A - A_{i})}. + A \setminus \bigcup_{i\in I}A_{i} = \bigcap_{i\in I}{(A \setminus A_{i})}, \\ + A \setminus \bigcap_{i\in I}A_{i} = \bigcup_{i\in I}{(A \setminus A_{i})}. \end{split} \end{equation*} @@ -657,10 +659,3 @@ \subsection{Bài tập} \begin{exercise}\label{set-operations:exercise7} Cho tập hợp $S$ khác rỗng được phân hoạch thành họ các tập hợp $A_{i}$ với $i\in I$ (tập hợp $I$ khác rỗng). Chứng minh rằng với mỗi phần tử thuộc $S$, tồn tại duy nhất $i\in I$ sao cho phần tử đó thuộc $A_{i}$. [Gợi ý: Chứng minh bằng phản chứng.] \end{exercise} - - -\section{* Lý thuyết tập hợp theo tiên đề}\label{section5:axiomatic-set-theory} - -\subsection{Nghịch lý Russell} - -\subsection{Lý thuyết tập hợp ZFC} diff --git a/set-theory/chapter2.tex b/set-theory/chapter2.tex index e37418f..614a0bc 100644 --- a/set-theory/chapter2.tex +++ b/set-theory/chapter2.tex @@ -390,7 +390,7 @@ \subsection{Đơn ánh. Toàn ánh. Song ánh} \subsection{Tích Descartes} -Ngoại trừ mục hiện tại và Mục~\ref{section5:axiomatic-set-theory}, trong tài liệu này, chúng ta chỉ làm việc với tích Descartes của hai tập hợp. Mục tiêu của mục này là đưa ra một định nghĩa cho tích Descartes của một họ các tập hợp (có thể gồm vô hạn tập hợp). +Mục tiêu của mục này là đưa ra một định nghĩa cho tích Descartes của một họ các tập hợp (gồm hữu hạn hoặc vô hạn tập hợp). Tuy ngay bây giờ có thể định nghĩa tích Descartes của một họ các tập hợp, nhưng chúng ta bắt đầu với tích Descartes của hữu hạn tập hợp trước. Trước tiên, chúng ta định nghĩa bộ-$n$ có thứ tự. Một cách trực giác, chúng ta hiểu bộ-$n$ có thứ tự là một danh sách gồm $n$ đối tượng, và hai bộ-$n$ có thứ tự bằng nhau khi và chỉ khi các đối tượng thứ $i$ của chúng bằng nhau ($i$ là số tự nhiên không vượt quá $n$). Thực tế, đó là tất cả những gì chúng ta cần biết và dùng đến về bộ-$n$ có thứ tự trong tài liệu này. diff --git a/set-theory/chapter6.tex b/set-theory/chapter6.tex index 063d6ae..8fe41ca 100644 --- a/set-theory/chapter6.tex +++ b/set-theory/chapter6.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\chapter{Lực lượng của tập hợp}\label{chapter:cardinality} +\chapter{Lực lượng của tập hợp và lý thuyết tập hợp theo tiên đề}\label{chapter:cardinality-and-axiomatic-set-theory} Cho đến thời điểm này, mặc dù chúng ta đã bắt gặp và làm việc cùng sự vô hạn (chẳng hạn như các tập hợp có vô hạn phần tử), nhưng chúng ta chưa hề định nghĩa thế nào là vô hạn. Mục tiêu của chương này không phải là trả lời vô hạn là gì, mà là giới thiệu khái niệm lực lượng của tập hợp để từ đó tìm ra một số đặc điểm của các tập hợp có vô hạn phần tử. @@ -10,7 +10,13 @@ \subsection{Tập hợp lũy thừa} \subsection{Bài tập} -\section{Lực lượng đếm được và Lực lượng không đếm được} +\section{Lý thuyết tập hợp theo tiên đề} + +\subsection{Nghịch lý Russell và nghịch lý Cantor} + +\subsection{Lý thuyết tập hợp ZF và ZFC} + +\section{Lực lượng đếm được và lực lượng không đếm được} \subsection{Lực lượng đếm được} @@ -20,7 +26,7 @@ \subsection{Bài tập} \section{Một số thông tin về lực lượng của tập hợp} -\subsection{Lục lượng của tập hợp số thực} +\subsection{Lực lượng của tập hợp số thực} \subsection{Định lý Cantor-Schr\"{o}der-Bernstein} diff --git a/set-theory/main.bib b/set-theory/main.bib index 1b1e3be..3900eb9 100644 --- a/set-theory/main.bib +++ b/set-theory/main.bib @@ -29,6 +29,13 @@ @book{tuy publisher={Đại học quốc gia Hà Nội} } +@book{katok, + title={$p$-adic Analysis Compared with Real}, + author={Svetlana Katok}, + year={2007}, + publisher={American Mathematical Society \and Mathematics Advanced Study Semesters} +} + @book{zahlen, title={Numbers}, author={{Heinz-Dieter Ebbinghaus} and {Hans Herme} and {Friedrich Hirzebruch} and {Max Koecher} and {Klaus Lamotke} and {Klaus Mainzer} and {J\"{u}rgen Neukirch} and {Alexander Prestel} and {Reinhold Remmert}}, From d84eceab4e23b1bf17c0c88434d73f4593a40747 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: duong755 Date: Sun, 22 Oct 2023 17:10:34 +0700 Subject: [PATCH 7/9] fix(set-theory): chapter 4, remove duplicate exercise, add comments --- set-theory/chapter4.tex | 24 ++++++++---------------- 1 file changed, 8 insertions(+), 16 deletions(-) diff --git a/set-theory/chapter4.tex b/set-theory/chapter4.tex index f150f0c..2b17b3f 100644 --- a/set-theory/chapter4.tex +++ b/set-theory/chapter4.tex @@ -644,15 +644,16 @@ \subsection{Bài tập} \item Tồn tại một song ánh từ $\mathbb{R}/_{\sim}$ đến tập hợp $[0, c)$. \end{enumerate} - Trong đó $[a, b)$ là tập hợp $\{ x\in\mathbb{R} \mid a\leq x < b \}$,$(a, b]$ là tập hợp $\{ x\in\mathbb{R} \mid a < x \leq b \}$. + Trong đó $[a, b)$ là tập hợp $\{ x\in\mathbb{R} \mid a\leq x < b \}$, $(a, b]$ là tập hợp $\{ x\in\mathbb{R} \mid a < x \leq b \}$. \end{exercise} +Trong bài tập trên, quan hệ $\sim$ được gọi là \textbf{quan hệ đồng dư modulo $c$}. + \begin{exercise} - Chứng minh rằng \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] \item Hợp của hai khoảng mở có phải một khoảng mở không? Tương tự, hợp của hai khoảng đóng có phải một khoảng đóng không? Hãy đưa ra ví dụ và phản ví dụ. - \item Giao của hai khoảng mở hoặc là tập hợp rỗng, hoặc là một khoảng mở. - \item Giao của hai khoảng đóng hoặc là tập hợp rỗng, hoặc gồm đúng một phần tử, hoặc là một khoảng đóng. + \item Chứng minh rằng giao của hai khoảng mở hoặc là tập hợp rỗng, hoặc là một khoảng mở. + \item Chứng minh rằng giao của hai khoảng đóng hoặc là tập hợp rỗng, hoặc gồm đúng một phần tử, hoặc là một khoảng đóng. \end{enumerate} \end{exercise} @@ -673,17 +674,8 @@ \subsection{Bài tập} \item Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n}\supset I_{n+1}$. \item Giao của tất cả các khoảng mở $I_{n}$ là tập hợp rỗng. \end{enumerate} -\end{exercise}\begin{exercise}[Nguyên lý Cantor về các khoảng đóng lồng nhau] - Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$. Giả sử với mỗi số nguyên dương $n$, có $I_{n} \supseteq I_{n+1}$. - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item Chứng minh rằng tập hợp các số thực $a_{n}$ có cận trên nhỏ nhất (chúng ta sẽ kí hiệu là $a$), và tập hợp các số thực $b_{n}$ có cận dưới lớn nhất (chúng ta sẽ kí hiệu là $b$). - \item Chứng minh rằng giao của tất cả các khoảng đóng $I_{n}$ khác rỗng. - \item Chứng minh rằng nếu $a = b$ thì giao của tất cả các khoảng đóng $I_{n}$ chỉ gồm đúng một phần tử. - \end{enumerate} \end{exercise} -Thực tế, trong nguyên lý Cantor, điều kiện $a = b$ được thay bởi điều kiện tương đương là $\lim (a_{n} - b_{n}) = 0$. Nguyên lý Cantor cho thấy giao của dãy các khoảng đóng lồng nhau khác rỗng, tuy nhiên điều này không còn đúng nếu chúng ta thay khoảng đóng bởi khoảng mở. Hai bài tập dưới đây cung cấp ví dụ và phản ví dụ cho nhận định này. - \begin{exercise} Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n} = (0, \frac{1}{n})$. Chứng minh rằng \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] @@ -755,7 +747,7 @@ \subsection{Xây dựng tập hợp số phức} Đến hiện tại, chúng ta đã xây dựng nhiều tập hợp số: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$. \begin{itemize} \item Việc mở rộng tập hợp số tự nhiên thành tập hợp số nguyên bắt nguồn từ mong muốn thực hiện được phép trừ hai số tự nhiên bất kì. - \item Việc mở rộng tập hợp số nguyên thành tập hợp số hữu tỉ bắt nguồn từ mong muốn thực hiện được phép chia một số nguyên cho một số nguyên khác $0$ + \item Việc mở rộng tập hợp số nguyên thành tập hợp số hữu tỉ bắt nguồn từ mong muốn thực hiện được phép chia một số nguyên cho một số nguyên khác $0$. \item Việc mở rộng tập hợp số hữu tỉ thành tập hợp số thực là một quá trình đầy đủ hóa, để cho mọi tập hợp con khác rỗng và bị chặn trên đều có cận trên nhỏ nhất. \end{itemize} @@ -812,7 +804,7 @@ \subsection{Xây dựng tập hợp số phức} (a + b\imath)\left(\frac{a}{a^{2}+b^{2}} + \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}\imath\right) = 1. \] -Với tính chất (F8), chúng ta có thể thực hiện phép nhân hai số phức mà không cần ghi nhớ định nghĩa ban đầu của phép nhân số phức. +Với tính chất (F6), chúng ta có thể thực hiện phép nhân hai số phức mà không cần ghi nhớ định nghĩa ban đầu của phép nhân số phức. \subsection{Phần thực, phần ảo, liên hợp và dạng lượng giác của số phức} @@ -1152,4 +1144,4 @@ \subsection{Bài tập} \end{enumerate} \end{exercise} -Trong chương này, cách định nghĩa số phức như một cặp số thực, và định nghĩa quaternion như một cặp số phức là một phần của \textbf{phép dựng Cayley-Dickson}. Phép dựng này được sử dụng để tạo ra các tập hợp số rộng hơn, chẳng hặn như octonion (số bộ 8), sedenion (số bộ 16), trigintaduonion (số bộ 32), \ldots Nói chung, càng tiếp tục mở rộng với phép dựng Cayley-Dickson, tập hợp số mới sẽ mất đi tính chất nào đó: tập hợp số phức không được sắp thứ tự hoàn toàn (xem Bài tập~\ref{example:lost-of-total-ordering-on-C}), phép nhân quaternion không có tính chất giao hoán, phép nhân octonion không có tính chất kết hợp, \ldots +Trong chương này, cách định nghĩa số phức như một cặp số thực, và định nghĩa quaternion như một cặp số phức là một phần của \textbf{phép dựng Cayley-Dickson}. Phép dựng này được sử dụng để tạo ra các tập hợp số rộng hơn, chẳng hạn như octonion (số bộ 8), sedenion (số bộ 16), trigintaduonion (số bộ 32), \ldots Nói chung, càng tiếp tục mở rộng với phép dựng Cayley-Dickson, tập hợp số mới sẽ mất đi tính chất nào đó: tập hợp số phức không được sắp thứ tự hoàn toàn (xem Bài tập~\ref{example:lost-of-total-ordering-on-C}), phép nhân quaternion không có tính chất giao hoán, phép nhân octonion không có tính chất kết hợp, \ldots From 0b9cbfa7b96b71c074f367bb2164832daf4e7f1f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: duong755 Date: Fri, 27 Oct 2023 17:36:52 +0700 Subject: [PATCH 8/9] fix(set-theory): fix typos, add indices to chapter 1, 3, 4 --- set-theory/chapter1.tex | 610 ++++++++++++++++++++-------------------- set-theory/chapter3.tex | 6 +- set-theory/chapter4.tex | 63 +++-- 3 files changed, 341 insertions(+), 338 deletions(-) diff --git a/set-theory/chapter1.tex b/set-theory/chapter1.tex index e8e4464..6edfa12 100644 --- a/set-theory/chapter1.tex +++ b/set-theory/chapter1.tex @@ -8,15 +8,15 @@ \subsection{Mệnh đề} Trong toán học cũng như đời sống, bạn đọc hẳn đã bắt gặp những câu có tính phát biểu. Chẳng hạn như: \begin{enumerate}[label={(\arabic*)}] - \item (Định lý Pythagoras) Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông. - \item Tồn tại số hữu tỉ có bình phương bằng $2$. - \item Không tồn tại số tự nhiên $n > 4$ sao cho $2^{2^{n}} + 1$ là số nguyên tố. - \item Năm 1967, Alexander Grothendieck đến Việt Nam. + \item (Định lý Pythagoras) Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông. + \item Tồn tại số hữu tỉ có bình phương bằng $2$. + \item Không tồn tại số tự nhiên $n > 4$ sao cho $2^{2^{n}} + 1$ là số nguyên tố. + \item Năm 1967, Alexander Grothendieck đến Việt Nam. \end{enumerate} -Mỗi câu trên được gọi là một \textit{mệnh đề toán học}, hay nói ngắn gọn trong ngữ cảnh của tài liệu này là \textit{mệnh đề}, và \textit{có tính đúng sai}. Một mệnh đề hoặc đúng, hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai. Trong các ví dụ nêu trên, bạn đọc có thể kiểm tra tính đúng sai của một số mệnh đề. Các mệnh đề 1, 4 là đúng. Mệnh đề 2 là sai. Mệnh đề 3 mặc dù có tính đúng sai, nhưng cho đến nay các nhà toán học vẫn chưa có câu trả lời. Mệnh đề chưa được xác minh tính đúng sai được gọi là giả thuyết. +Mỗi câu trên được gọi là một \textbf{mệnh đề toán học\index{Mệnh đề toán học}}, hay nói ngắn gọn trong ngữ cảnh của tài liệu này là \textbf{mệnh đề\index{Mệnh đề}}, và \textit{có tính đúng sai}. Một mệnh đề hoặc đúng, hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai. Trong các ví dụ nêu trên, bạn đọc có thể kiểm tra tính đúng sai của một số mệnh đề. Các mệnh đề 1, 4 là đúng. Mệnh đề 2 là sai. Mệnh đề 3 mặc dù có tính đúng sai, nhưng cho đến nay các nhà toán học vẫn chưa có câu trả lời. Mệnh đề chưa được xác minh tính đúng sai được gọi là \textbf{giả thuyết\index{Giả thuyết}}. -Với một mệnh đề đúng, chúng ta nói giá trị chân lý (hay chân trị) của mệnh đề đó là \textit{đúng}. Với một mệnh đề sai, chúng ta nói giá trị chân lý (hay chân trị) của mệnh đề đó là \textit{sai}. +Với một mệnh đề đúng, chúng ta nói giá trị chân lý\index{Giá trị chân lý} (hay chân trị\index{Chân trị}) của mệnh đề đó là \textit{đúng}. Với một mệnh đề sai, chúng ta nói giá trị chân lý (hay chân trị) của mệnh đề đó là \textit{sai}. \subsection{Các phép toán logic} @@ -24,43 +24,43 @@ \subsection{Các phép toán logic} Từ một mệnh đề $P$, chúng ta đưa ra được mệnh đề phủ định, kí hiệu là $\neg P$. Nếu $P$ đúng thì $\neg P$ sai. Ngược lại, nếu $P$ sai thì $\neg P$ đúng. -Từ hai mệnh đề $P$ và $Q$, người ta định nghĩa ra phép toán VÀ (hội) và HOẶC (tuyển). Hội của $P$ và $Q$ là đúng nếu cả hai mệnh đề đúng, là sai nếu ít nhất một trong hai mệnh đề sai. Tuyển của $P$ và $Q$ là đúng nếu ít nhất một trong hai mệnh đề đúng, là sai nếu cả hai mệnh đề sai. Hội của $P$ và $Q$ được kí hiệu là $P\wedge Q$. Tuyển của $P$ và $Q$ được kí hiệu là $P\vee Q$. +Từ hai mệnh đề $P$ và $Q$, người ta định nghĩa ra phép toán VÀ (hội\index{Phép hội}) và HOẶC (tuyển\index{Phép tuyển}). Hội của $P$ và $Q$ là đúng nếu cả hai mệnh đề đúng, là sai nếu ít nhất một trong hai mệnh đề sai. Tuyển của $P$ và $Q$ là đúng nếu ít nhất một trong hai mệnh đề đúng, là sai nếu cả hai mệnh đề sai. Hội của $P$ và $Q$ được kí hiệu là $P\wedge Q$. Tuyển của $P$ và $Q$ được kí hiệu là $P\vee Q$. Tính đúng sai của các mệnh đề được tạo ra từ ba phép toán phủ định, hội, tuyển được tổng kết trong Bảng~\ref{section1:truth-table-of-not-and-or} dưới đây. \begin{table}[htp] - \centering - \[ - \begin{array}{cc|ccc} - P & Q & \neg P & P\wedge Q & P\vee Q \\ - \toprule - \bottomrule - \text{đúng} & \text{đúng} & \text{sai} & \text{đúng} & \text{đúng} \\ - \text{đúng} & \text{sai} & \text{sai} & \text{sai} & \text{đúng} \\ - \text{sai} & \text{đúng} & \text{đúng} & \text{sai} & \text{đúng} \\ - \text{sai} & \text{sai} & \text{đúng} & \text{sai} & \text{sai} - \end{array} - \] - \caption{Bảng chân trị của các mệnh đề được tạo ra từ ba phép toán phủ định ($\neg$), hội ($\wedge$) và tuyển ($\vee$).}\label{section1:truth-table-of-not-and-or} + \centering + \[ + \begin{array}{cc|ccc} + P & Q & \neg P & P\wedge Q & P\vee Q \\ + \toprule + \bottomrule + \text{đúng} & \text{đúng} & \text{sai} & \text{đúng} & \text{đúng} \\ + \text{đúng} & \text{sai} & \text{sai} & \text{sai} & \text{đúng} \\ + \text{sai} & \text{đúng} & \text{đúng} & \text{sai} & \text{đúng} \\ + \text{sai} & \text{sai} & \text{đúng} & \text{sai} & \text{sai} + \end{array} + \] + \caption{Bảng chân trị\index{Bảng chân trị} của các mệnh đề được tạo ra từ ba phép toán phủ định ($\neg$), hội ($\wedge$) và tuyển ($\vee$).}\label{section1:truth-table-of-not-and-or} \end{table} Bên cạnh ba phép toán logic là phủ định, hội, và tuyển, chúng ta còn dành sự quan tâm tới quan hệ giữa các mệnh đề. Cụ thể hơn, chúng ta đặc biệt quan tâm đến \textit{quan hệ kéo theo} và \textit{quan hệ tương đương}. -Để nêu lên quan hệ kéo theo giữa hai mệnh đề $P$ và $Q$, chúng ta nói ``$P$ kéo theo $Q$'' hay ``từ $P$ suy ra $Q$'', kí hiệu $P\implies Q$. Với quan hệ tương đương, chúng ta nói ``$P$ tương đương với $Q$'', ``$P$ và $Q$ tương đương'', ``$P$ nếu và chỉ nếu $Q$'', ``$P$ khi và chỉ khi $Q$'', hay ``$Q$ là điều kiện cần và đủ của $P$'', kí hiệu $P\Leftrightarrow Q$. Hai câu ``$P$ kéo theo $Q$'' và ``$P$ tương đương với $Q$'' cũng chính là các mệnh đề. Tính đúng sai của hai mệnh đề này được liệt kê trong Bảng~\ref{section1:truth-table-of-implication-and-equivalence} +Để nêu lên quan hệ kéo theo giữa hai mệnh đề $P$ và $Q$, chúng ta nói ``$P$ kéo theo $Q$'' hay ``từ $P$ suy ra $Q$'', kí hiệu $P\implies Q$. Với quan hệ tương đương, chúng ta nói ``$P$ tương đương với $Q$'', ``$P$ và $Q$ tương đương'', ``$P$ nếu và chỉ nếu $Q$'', ``$P$ khi và chỉ khi $Q$'', hay ``$Q$ là điều kiện cần và đủ của $P$'', kí hiệu $P\Leftrightarrow Q$. Hai câu ``$P$ kéo theo $Q$'' và ``$P$ tương đương với $Q$'' cũng chính là các mệnh đề. Tính đúng sai của hai mệnh đề này được liệt kê trong Bảng~\ref{section1:truth-table-of-implication-and-equivalence}. \begin{table}[htp] - \centering - \[ - \begin{array}{cc|cc} - P & Q & P\implies Q & P\Leftrightarrow Q \\ - \toprule - \bottomrule - \text{đúng} & \text{đúng} & \text{đúng} & \text{đúng} \\ - \text{đúng} & \text{sai} & \text{sai} & \text{sai} \\ - \text{sai} & \text{đúng} & \text{đúng} & \text{sai} \\ - \text{sai} & \text{sai} & \text{đúng} & \text{đúng} - \end{array} - \] - \caption{Bảng chân trị của hai mệnh đề $P\implies Q$ và $P\Leftrightarrow Q$}\label{section1:truth-table-of-implication-and-equivalence} + \centering + \[ + \begin{array}{cc|cc} + P & Q & P\implies Q & P\Leftrightarrow Q \\ + \toprule + \bottomrule + \text{đúng} & \text{đúng} & \text{đúng} & \text{đúng} \\ + \text{đúng} & \text{sai} & \text{sai} & \text{sai} \\ + \text{sai} & \text{đúng} & \text{đúng} & \text{sai} \\ + \text{sai} & \text{sai} & \text{đúng} & \text{đúng} + \end{array} + \] + \caption{Bảng chân trị của hai mệnh đề $P\implies Q$ và $P\Leftrightarrow Q$}\label{section1:truth-table-of-implication-and-equivalence} \end{table} Thay vì ghi nhớ Bảng~\ref{section1:truth-table-of-implication-and-equivalence}, chúng ta có thể tóm gọn nội dung bảng bằng vài nhận xét: $P\implies Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai; $P\Leftrightarrow Q$ đúng nếu $P$ và $Q$ cùng đúng, hoặc cùng sai; $P\Leftrightarrow Q$ sai nếu một trong hai mệnh đề đúng, mệnh đề còn lại sai. @@ -69,219 +69,219 @@ \subsection{Biểu thức logic} Với các toán tử và quan hệ logic đã nêu, chúng ta có thể kết hợp các mệnh đề với nhau để tạo ra những \textit{biểu thức logic}. Biểu thức logic có thể phức tạp như biểu thức số, và cũng có quy ước về thứ tự thực hiện các phép toán. Theo mức độ ưu tiên giảm dần, chúng ta lần lượt thực hiện phép phủ định, hội, và tuyển, trong đó biểu thức ở ngoặc trong cùng được thực hiện trước. Một số ví dụ về biểu thức logic là $(P\wedge Q)\wedge R$, $P\vee (Q\vee R)$, $P \implies (Q\vee \neg R)$, $(P\vee Q) \wedge (P\vee R)$. -Một biểu thức logic thực ra cũng chính là một mệnh đề, chúng chỉ khác ở hình thức thể hiện. Hai mệnh đề có thể tương đương hoặc không, hai biểu thức logic cũng vậy. Tuy nhiên, do biểu thức logic được cấu thành từ một hay nhiều mệnh đề, nên việc kiểm tra sự tương đương của hai biểu thức logic có phần khó khăn hơn. Chúng ta xem xét hai ví dụ sau đây. +Một biểu thức logic cũng chính là một mệnh đề, chúng chỉ khác ở hình thức. Hai mệnh đề có thể tương đương hoặc không, hai biểu thức logic cũng vậy. Tuy nhiên, do biểu thức logic có thể được cấu thành từ một hay nhiều mệnh đề, nên việc kiểm tra sự tương đương của hai biểu thức logic có phần khó khăn hơn. Chúng ta xem xét hai ví dụ sau đây. Theo Bảng~\ref{section1:truth-table-of-not-and-or}, hai biểu thức $P\wedge Q$ và $P\vee Q$ tương đương trong hai trường hợp (1) $P, Q$ cùng đúng và (2) $P, Q$ cùng sai. Còn khi $P, Q$ khác tính đúng-sai thì $P\wedge Q$ và $P\vee Q$ không tương đương. Chúng ta xét hai biểu thức $P\implies Q$ và $\neg P \vee Q$ (lưu ý thứ tự thực hiện phép toán). Để kiểm tra sự tương đương của hai biểu thức trong tất cả các trường hợp, chúng ta lập bảng chân trị (Bảng~\ref{section1:truth-table-of-implication-and-neg-vee}). \begin{table}[htp] - \centering - % chktex-file 44 - \[ - \begin{array}{cc|cc} - P & Q & P\implies Q & \neg P\vee Q \\ - \toprule - \bottomrule - \text{đúng} & \text{đúng} & \text{đúng} & \text{đúng} \\ - \text{đúng} & \text{sai} & \text{sai} & \text{sai} \\ - \text{sai} & \text{đúng} & \text{đúng} & \text{đúng} \\ - \text{sai} & \text{sai} & \text{đúng} & \text{đúng} - \end{array} - \] - \caption{Bảng chân trị của hai mệnh đề $P\implies Q$ và $\neg P\vee Q$}\label{section1:truth-table-of-implication-and-neg-vee} + \centering + % chktex-file 44 + \[ + \begin{array}{cc|cc} + P & Q & P\implies Q & \neg P\vee Q \\ + \toprule + \bottomrule + \text{đúng} & \text{đúng} & \text{đúng} & \text{đúng} \\ + \text{đúng} & \text{sai} & \text{sai} & \text{sai} \\ + \text{sai} & \text{đúng} & \text{đúng} & \text{đúng} \\ + \text{sai} & \text{sai} & \text{đúng} & \text{đúng} + \end{array} + \] + \caption{Bảng chân trị của hai mệnh đề $P\implies Q$ và $\neg P\vee Q$}\label{section1:truth-table-of-implication-and-neg-vee} \end{table} Bảng~\ref{section1:truth-table-of-implication-and-neg-vee} cho thấy hai biểu thức đang xét là tương đương, với bất kì giá trị nào của $P$ và $Q$. Đây là một ví dụ cho việc đưa ra một biểu thức logic tương đương với biểu thức đã cho, và chỉ sử dụng các phép toán ``quen thuộc hơn'' (phủ định và tuyển). Trên đây, chúng ta đã nhắc đến thứ tự thực hiện phép toán trong một biểu thức logic, tuy nhiên quy tắc đó chỉ bao gồm ba phép toán phủ định, hội, và tuyển. Vậy phải chăng quy tắc đã nêu là chưa đủ (vì còn có các phép toán khác như là kéo theo và tương đương chẳng hạn)?. Trong phần bài tập, chúng ta sẽ trả lời cho hai câu hỏi: \begin{itemize}[itemsep=0pt] - \item Có bao nhiêu phép toán logic có thể định nghĩa trên hai mệnh đề? - \item Có thể tạo ra một biểu thức logic mới, tương đương với biểu thức logic đã cho và chỉ sử dụng ba phép toán phủ định, hội, và tuyển hay không? + \item Có bao nhiêu phép toán logic có thể định nghĩa trên hai mệnh đề? + \item Có thể tạo ra một biểu thức logic mới, tương đương với biểu thức logic đã cho và chỉ sử dụng ba phép toán phủ định, hội, và tuyển hay không? \end{itemize} \subsection{Bài tập} \setcounter{exercise}{0} \begin{exercise}\label{propositional-logic:exercise1} - Trong các câu dưới đây, câu nào là một mệnh đề? Nếu đó là một mệnh đề, hãy cho biết mệnh đề đó đúng, sai, hay không xác định. - \begin{enumerate}[label={(\alph*)},itemsep=0pt] - \item $\pi = 3.14159265358979$ - \item Hôm nay có mưa. - \item Hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ bằng nhau nếu và chỉ nếu $BC = B'C'$, $CA = C'A'$, $AB = A'B'$. - \item Làm bài tập đi! - \end{enumerate} + Trong các câu dưới đây, câu nào là một mệnh đề? Nếu đó là một mệnh đề, hãy cho biết mệnh đề đó đúng, sai, hay không xác định. + \begin{enumerate}[label={(\alph*)},itemsep=0pt] + \item $\pi = 3.14159265358979$ + \item Hôm nay có mưa. + \item Hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ bằng nhau nếu và chỉ nếu $BC = B'C'$, $CA = C'A'$, $AB = A'B'$. + \item Làm bài tập đi! + \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}\label{propositional-logic:exercise2} - Cho trước mệnh đề $P$, có thể kết luận gì về tính đúng sai của các mệnh đề sau: $P\vee P$, $P\wedge P$, $P\vee \neg P$, $P\wedge \neg P$? + Cho trước mệnh đề $P$, có thể kết luận gì về tính đúng sai của các mệnh đề sau: $P\vee P$, $P\wedge P$, $P\vee \neg P$, $P\wedge \neg P$? \end{exercise} \begin{exercise}\label{propositional-logic:exercise3} - Cho trước ba mệnh đề $P$, $Q$, và $R$. Dùng bảng chân trị, hãy chứng minh - \begin{enumerate}[label={(\alph*)},itemsep=0pt] - \item $P\wedge Q$ và $Q\wedge P$ tương đương. - \item $P\vee Q$ và $Q\vee P$ tương đương. - \item $(P\wedge Q)\wedge R$ và $P\wedge (Q\wedge R)$ tương đương. - \item $(P\vee Q)\vee R$ và $P\vee (Q\vee R)$ tương đương. - \item $P\vee (Q\wedge R)$ và $(P\vee Q)\wedge (P\vee R)$ tương đương. - \item $P\wedge (Q\vee R)$ và $(P\wedge Q)\vee (P\wedge R)$ tương đương. - \end{enumerate} - - \noindent Hãy đối chiếu hai mệnh đề sau cùng với tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. + Cho trước ba mệnh đề $P$, $Q$, và $R$. Dùng bảng chân trị, hãy chứng minh + \begin{enumerate}[label={(\alph*)},itemsep=0pt] + \item $P\wedge Q$ và $Q\wedge P$ tương đương. + \item $P\vee Q$ và $Q\vee P$ tương đương. + \item $(P\wedge Q)\wedge R$ và $P\wedge (Q\wedge R)$ tương đương. + \item $(P\vee Q)\vee R$ và $P\vee (Q\vee R)$ tương đương. + \item $P\vee (Q\wedge R)$ và $(P\vee Q)\wedge (P\vee R)$ tương đương. + \item $P\wedge (Q\vee R)$ và $(P\wedge Q)\vee (P\wedge R)$ tương đương. + \end{enumerate} + + \noindent Hãy đối chiếu hai mệnh đề sau cùng với tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. \end{exercise} Thứ tự thực hiện phép toán cho phép người sử dụng lược bỏ những cặp ngoặc không cần thiết. Tuy nhiên, khi biểu thức sử dụng các phép toán rất nhiều lần, việc sử dụng ngoặc ngay cả ở những vị trí không cần thiết lại tỏ ra dễ đọc và bớt gây nhầm lẫn. \begin{exercise}\label{propositional-logic:exercise4} - Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$, chứng minh rằng các cặp mệnh đề dưới đây tương đương. - \begin{enumerate}[label={(\alph*)},itemsep=0pt] - \item $\neg (P\vee Q)$ và $(\neg P) \wedge (\neg Q)$. - \item $\neg (P\wedge Q)$ và $(\neg P)\vee (\neg Q)$. - \item $\neg (P\implies Q)$ và $(\neg Q)\implies (\neg P)$. - \item $P\Leftrightarrow Q$ và $(P\implies Q) \wedge (Q\implies P)$. - \end{enumerate} + Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$, chứng minh rằng các cặp mệnh đề dưới đây tương đương. + \begin{enumerate}[label={(\alph*)},itemsep=0pt] + \item $\neg (P\vee Q)$ và $(\neg P) \wedge (\neg Q)$. + \item $\neg (P\wedge Q)$ và $(\neg P)\vee (\neg Q)$. + \item $\neg (P\implies Q)$ và $(\neg Q)\implies (\neg P)$. + \item $P\Leftrightarrow Q$ và $(P\implies Q) \wedge (Q\implies P)$. + \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}\label{propositional-logic:exercise5} - Một phép toán logic hai ngôi $*$ thực hiện trên hai mệnh đề $P$ và $Q$ là một quy tắc gán mỗi cặp giá trị chân lý của $P$ và $Q$ với \textit{đúng một} giá trị chân lý nữa, kí hiệu là $P * Q$. Phép toán hội và tuyển là hai ví dụ về phép toán logic hai ngôi. Hai phép toán logic $*$ và $\#$ được gọi là trùng nhau (tương đương) nếu tại mỗi cặp giá trị chân lý của $P$ và $Q$ luôn có $P * Q = P\# Q$. + Một phép toán logic hai ngôi $*$ thực hiện trên hai mệnh đề $P$ và $Q$ là một quy tắc gán mỗi cặp giá trị chân lý của $P$ và $Q$ với \textit{đúng một} giá trị chân lý nữa, kí hiệu là $P * Q$. Phép toán hội và tuyển là hai ví dụ về phép toán logic hai ngôi. Hai phép toán logic $*$ và $\#$ được gọi là trùng nhau (tương đương) nếu tại mỗi cặp giá trị chân lý của $P$ và $Q$ luôn có $P * Q \Leftrightarrow P\# Q$. - Có bao nhiêu phép toán logic hai ngôi (không tính thêm phép toán trùng với phép toán đã xét)? Tương tự, bạn có thể định nghĩa phép toán logic $n$ ngôi không? Và có bao nhiêu phép toán logic $n$ ngôi? [Gợi ý: Quan sát bảng chân trị của một phép toán logic hai ngôi, và đếm bằng quy tắc nhân.] + Có bao nhiêu phép toán logic hai ngôi (không tính thêm phép toán trùng với phép toán đã xét)? Tương tự, bạn có thể định nghĩa phép toán logic $n$ ngôi không? Và có bao nhiêu phép toán logic $n$ ngôi? [Gợi ý: Quan sát bảng chân trị của một phép toán logic hai ngôi, và đếm bằng quy tắc nhân.] \end{exercise} \begin{exercise}\label{propositional-logic:exercise6} - Dựa vào bảng chân trị của biểu thức $P\implies Q$, chứng minh quan hệ tương đương sau - \[ - (P\implies Q) \Leftrightarrow (P\wedge Q)\vee (\neg P\wedge Q) \vee (\neg P\wedge \neg Q) - \] - [Gợi ý: Các biểu thức $P\wedge Q$, $\neg P\wedge Q$, $\neg P\wedge \neg Q$ tương ứng với các hàng nào trong bảng chân trị?] + Dựa vào bảng chân trị của biểu thức $P\implies Q$, chứng minh quan hệ tương đương sau + \[ + (P\implies Q) \Leftrightarrow (P\wedge Q)\vee (\neg P\wedge Q) \vee (\neg P\wedge \neg Q) + \] + [Gợi ý: Các biểu thức $P\wedge Q$, $\neg P\wedge Q$, $\neg P\wedge \neg Q$ tương ứng với các hàng nào trong bảng chân trị của $P\implies Q$?] \end{exercise} \begin{exercise}\label{propositional-logic:exercise7} - Áp dụng cách tiếp cận của Bài tập~\ref{propositional-logic:exercise6}, chứng minh rằng với mỗi phép toán logic hai ngôi $*$, biểu thức $P * Q$ tương đương với một biểu thức chỉ gồm $P, Q$ và ba phép toán phủ định, hội, và tuyển. + Áp dụng cách tiếp cận của Bài tập~\ref{propositional-logic:exercise6}, chứng minh rằng với mỗi phép toán logic hai ngôi $*$, biểu thức $P * Q$ tương đương với một biểu thức chỉ gồm $P, Q$ và ba phép toán phủ định, hội, và tuyển. \end{exercise} \section{Tập hợp} \subsection{Tập hợp} -Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không được định nghĩa về mặt toán học. Chúng ta chấp nhận và hiểu về tập hợp bằng định nghĩa trực giác ``Tập hợp là một bộ các đối tượng'' và các ví dụ: \textit{Tập hợp các sinh viên trong một lớp học}, \textit{Tập hợp các câu văn trong một cuốn sách}, \textit{Tập hợp các nghiệm thực của phương trình $x^{2} + 1 = 0$}, \textit{Tập hợp các số nguyên}\ldots Bạn đọc có thể đưa ra thêm nhiều ví dụ khác về tập hợp. Tựu chung lại, chúng ta thống nhất các thuật ngữ và các đặc điểm sau của tập hợp như sau: +Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không được định nghĩa về mặt toán học. Chúng ta chấp nhận và hiểu về tập hợp bằng định nghĩa trực giác ``Tập hợp\index{Tập hợp} là một bộ các đối tượng'' và các ví dụ: \textit{Tập hợp các sinh viên trong một lớp học}, \textit{Tập hợp các câu văn trong một cuốn sách}, \textit{Tập hợp các nghiệm thực của phương trình $x^{2} + 1 = 0$}, \textit{Tập hợp các số nguyên}\ldots Bạn đọc có thể đưa ra thêm nhiều ví dụ khác về tập hợp. Tựu chung lại, chúng ta thống nhất các thuật ngữ và các đặc điểm sau của tập hợp như sau: \begin{enumerate}[label={(\arabic*)},itemsep=0pt] - \item Một \textbf{tập hợp} được cấu thành từ các đối tượng được gọi là \textbf{phần tử}. Nếu đối tượng $x$ là phần tử của tập hợp $S$, chúng ta kí hiệu $x\in S$. Nếu đối tượng $x$ không là phần tử của tập hợp $S$, chúng ta kí hiệu $x\notin S$. - \item Chỉ có đúng một tập hợp không chứa phần tử nào. Tập hợp đó được gọi là \textbf{tập hợp rỗng}. Chúng ta kí hiệu tập hợp rỗng là $\varnothing$. - \item Cho trước một đối tượng $x$ và một tập hợp $S$. Khi đó chỉ đúng một trong hai mệnh đề sau là đúng: (1) $x\in S$, (2) $x\notin S$. + \item Một \textbf{tập hợp} được cấu thành từ các đối tượng được gọi là \textbf{phần tử}. Nếu đối tượng $x$ là phần tử của tập hợp $S$, chúng ta kí hiệu $x\in S$. Nếu đối tượng $x$ không là phần tử của tập hợp $S$, chúng ta kí hiệu $x\notin S$. + \item Chỉ có đúng một tập hợp không chứa phần tử nào. Tập hợp đó được gọi là \textbf{tập hợp rỗng\index{Tập hợp rỗng}}. Chúng ta kí hiệu tập hợp rỗng là $\varnothing$. + \item Cho trước một đối tượng $x$ và một tập hợp $S$. Khi đó chỉ đúng một trong hai mệnh đề sau là đúng: (1) $x\in S$, (2) $x\notin S$. \end{enumerate} -Một tập hợp có thể không có phần tử nào (tập hợp rỗng), khác rỗng và có hữu hạn phần tử, hoặc có vô hạn phần tử. Để xác định một tập hợp, chúng ta có thể liệt kê tất cả các phần tử nếu tập hợp đó có hữu hạn phần tử, hoặc các phần tử đó tuân theo một quy luật dễ đoán nào đó, chẳng hạn +Một tập hợp có thể không có phần tử nào (tập hợp rỗng), khác rỗng và có hữu hạn phần tử, hoặc có vô hạn phần tử. Để xác định một tập hợp, chúng ta có thể liệt kê tất cả các phần tử nếu tập hợp đó có hữu hạn phần tử hoặc các phần tử đó tuân theo một quy luật dễ đoán nào đó, chẳng hạn \begin{itemize} - \item Tập hợp $S$ gồm các nghiệm thực của phương trình $x^{2} - 4x + 3 = 0$ - \[ - S = \{ 1, 3 \}. - \] - \item Tập hợp $E$ gồm các số nguyên chia hết cho $3$ - \[ - E = \{ \ldots, -6, -3, 0, 3, 6, \ldots \}. - \] + \item Tập hợp $S$ gồm các nghiệm thực của phương trình $x^{2} - 4x + 3 = 0$ + \[ + S = \{ 1, 3 \}. + \] + \item Tập hợp $E$ gồm các số nguyên chia hết cho $3$ + \[ + E = \{ \ldots, -6, -3, 0, 3, 6, \ldots \}. + \] \end{itemize} Trong toán học, chúng ta thường xuyên làm việc với các tập hợp số. Những tập hợp này được kí hiệu bằng các chữ cái rỗng: $\mathbb{N}$ (tập hợp các số tự nhiên), $\mathbb{Z}$ (tập hợp các số nguyên), $\mathbb{Z}_{\geq 0}$ (tập hợp các số nguyên không âm), $\mathbb{Q}$ (tập hợp các số hữu tỉ), $\mathbb{R}$ (tập hợp các số thực). Trong các chương sau, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết hơn về các tập hợp này. Bên cạnh đó, để xác định tập hợp, thay vì liệt kê các phần tử, chúng ta có thể đưa ra một \textit{mô tả chính xác} cho các phần tử của tập hợp đó. Lưu ý rằng mô tả này cần rõ ràng, khách quan (được thống nhất giữa những người học và làm toán), không nhập nhằng hay đa nghĩa. \begin{itemize} - \item $S = \{ x \mid \text{$x$ là nghiệm thực của phương trình $x^{5} - x - 1 = 0$} \}$ là một tập hợp. - \item $S = \{ n \mid \text{$n$ là một số tự nhiên rất lớn} \}$ không phải một tập hợp, vì khái niệm \textit{số tự nhiên rất lớn} không được định nghĩa. + \item $S = \{ x \mid \text{$x$ là nghiệm thực của phương trình $x^{5} - x - 1 = 0$} \}$ là một tập hợp. + \item $S = \{ n \mid \text{$n$ là một số tự nhiên rất lớn} \}$ không phải một tập hợp, vì khái niệm \textit{số tự nhiên rất lớn} không được định nghĩa. \end{itemize} Để cho ngắn gọn, chúng ta có thể dùng từ tập thay vì tập hợp. Ở Chương~\ref{chapter:cardinality-and-axiomatic-set-theory}, chúng ta sẽ bàn thêm về tập hợp có vô hạn phần tử. -\subsection{Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp} +\subsection{Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp\index{Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp}} Cho trước một đối tượng và một tập hợp, chúng ta đặt câu hỏi đối tượng này có thuộc tập hợp đó hay không? Với hai tập hợp, chúng ta có câu hỏi: phần tử của tập hợp này có là phần tử của tập hợp kia hay không? Với câu hỏi này, chúng ta đi đến định nghĩa sau. \begin{definition} - (Tập hợp) $A$ là tập hợp con của (tập hợp) $B$ nếu và chỉ nếu mỗi phần tử của $A$ cũng là phần tử của $B$. + (Tập hợp) $A$ là tập hợp con\index{Tập hợp con} của (tập hợp) $B$ nếu và chỉ nếu mỗi phần tử của $A$ cũng là phần tử của $B$. - Nói riêng, hai tập hợp $A$ và $B$ bằng nhau khi và chỉ khi mỗi phần tử của $A$ là phần tử của $B$ và mỗi phần tử của $B$ là phần tử của $A$. + Nói riêng, hai tập hợp $A$ và $B$ bằng nhau khi và chỉ khi mỗi phần tử của $A$ là phần tử của $B$ và mỗi phần tử của $B$ là phần tử của $A$. \end{definition} Khi $A$ là tập hợp con của $B$, chúng ta còn nói, $A$ là bộ phận của $B$ (hay $B$ chứa $A$), và kí hiệu $A\subseteq B$ (còn có thể viết là $B\supseteq A$). Khi hai tập hợp $A$ và $B$ bằng nhau, chúng ta kí hiệu $A = B$. -Có những trường hợp mà $A$ là tập hợp con của $B$ nhưng $A$ không bằng $B$, nói cách khác, có phần tử của $B$ lại không là phần tử của $A$. Khi đó, chúng ta nói $A$ \textit{là tập hợp con thực sự của} $B$ và kí hiệu $A\subset B$ (còn có thể viết là $B\supset A$). Chúng ta quy ước tập hợp rỗng là tập hợp con của mọi tập hợp. +Có những trường hợp mà $A$ là tập hợp con của $B$ nhưng $A$ không bằng $B$, nói cách khác, có phần tử của $B$ lại không là phần tử của $A$. Khi đó, chúng ta nói $A$ \textit{là tập hợp con thực sự\index{Tập hợp con thực sự} của} $B$ và kí hiệu $A\subset B$ (còn có thể viết là $B\supset A$). Chúng ta quy ước tập hợp rỗng là tập hợp con của mọi tập hợp. Dưới đây là một số ví dụ và phản ví dụ về quan hệ bao hàm giữa các tập hợp. \begin{example} - $\{ -1, 1 \}$ là tập hợp con thực sự của $\{ -1, 0, 1 \}$. + $\{ -1, 1 \}$ là tập hợp con thực sự của $\{ -1, 0, 1 \}$. \end{example} \begin{counterexample} - $\{ -1, 1 \}$ không phải tập hợp con của $\{ 1, 2, 3 \}$; $\{ 1, 2, 3 \}$ cũng không phải tập hợp con của $\{ -1, 1 \}$. + $\{ -1, 1 \}$ không phải tập hợp con của $\{ 1, 2, 3 \}$; $\{ 1, 2, 3 \}$ cũng không phải tập hợp con của $\{ -1, 1 \}$. \end{counterexample} \begin{example} - Trong mặt phẳng, tập hợp các tam giác đều là tập hợp con thực sự của tập hợp các tam giác cân. Khi không dùng các thuật ngữ của lý thuyết tập hợp, phát biểu vừa rồi sẽ là: mọi tam giác đều là tam giác cân, nhưng một tam giác cân không nhất thiết là tam giác đều. + Trong mặt phẳng, tập hợp các tam giác đều là tập hợp con thực sự của tập hợp các tam giác cân. Khi không dùng các thuật ngữ của lý thuyết tập hợp, phát biểu vừa rồi sẽ là: mọi tam giác đều là tam giác cân, nhưng một tam giác cân không nhất thiết là tam giác đều. \end{example} \begin{counterexample} - Trong mặt phẳng, tập hợp các tam giác vuông không phải là tập hợp con của tập hợp các tam giác cân, và ngược lại. Nếu không dùng thuật ngữ của lý thuyết tập hợp, chúng ta nói: không phải tam giác vuông nào cũng là tam giác cân, và không phải tam giác cân nào cũng là tam giác vuông. + Trong mặt phẳng, tập hợp các tam giác vuông không phải là tập hợp con của tập hợp các tam giác cân, và ngược lại. Nếu không dùng thuật ngữ của lý thuyết tập hợp, chúng ta nói: không phải tam giác vuông nào cũng là tam giác cân, và không phải tam giác cân nào cũng là tam giác vuông. \end{counterexample} Định lý sau cho thấy quan hệ bao hàm giữa các tập hợp có tính chất bắc cầu. Chứng tôi để lại chứng minh định lý này cho bạn đọc trong phần bài tập. \begin{theorem} - Cho các tập hợp $A, B, C$. Nếu $A\subseteq B$, $B\subseteq C$ thì $A\subseteq C$. + Cho các tập hợp $A, B, C$. Nếu $A\subseteq B$, $B\subseteq C$ thì $A\subseteq C$. \end{theorem} Chúng ta kết thúc mục này bằng định nghĩa tập hợp lũy thừa, và sẽ quay trở lại với khái niệm này trong Chương~\ref{chapter:cardinality-and-axiomatic-set-theory}. \begin{definition}[Tập hợp lũy thừa] - Tập hợp lũy thừa của một tập hợp $S$ là một tập hợp với các phần tử là tất cả các tập hợp con của $S$. Chúng ta kí hiệu tập hợp lũy thừa của $S$ là $\mathcal{P}(S)$. + \textbf{Tập hợp lũy thừa\index{Tập hợp lũy thừa}} của một tập hợp $S$ là một tập hợp với các phần tử là tất cả các tập hợp con của $S$. Chúng ta kí hiệu tập hợp lũy thừa của $S$ là $\mathcal{P}(S)$. \end{definition} Dưới đây là một số ví dụ về tập lũy thừa. \begin{example} - Tập hợp lũy thừa của tập hợp rỗng là $\{ \varnothing \}$. - \begin{equation*} - \begin{split} - \mathcal{P}(\varnothing) = \{ \varnothing \}, \\ - \mathcal{P}(\{ 1 \}) = \{ \varnothing, \{ 1 \} \}, \\ - \mathcal{P}(\{ 1, 2 \}) = \{ \varnothing, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 1, 2 \} \}. - \end{split} - \end{equation*} + Tập hợp lũy thừa của tập hợp rỗng là $\{ \varnothing \}$. + \begin{equation*} + \begin{split} + \mathcal{P}(\varnothing) = \{ \varnothing \}, \\ + \mathcal{P}(\{ 1 \}) = \{ \varnothing, \{ 1 \} \}, \\ + \mathcal{P}(\{ 1, 2 \}) = \{ \varnothing, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 1, 2 \} \}. + \end{split} + \end{equation*} \end{example} -Trong nhiều tài liệu khác, các tác giả còn dùng kí hiệu $\subset$ để chỉ quan hệ là tập hợp con, và dùng kí hiệu $\subsetneq$ để chỉ quan hệ là tập hợp con thực sự. Còn ở tài liệu này, chúng ta quy ước dùng kí hiệu $\subseteq$ để chỉ quan hệ là tập hợp con, và dùng kí hiệu $\subset$ để chỉ quan hệ là tập hợp con thực sự, gợi sự tương tự với cặp kí hiệu $\leq$ và $<$. +Trong nhiều tài liệu khác, các tác giả còn dùng kí hiệu $\subset$ để chỉ quan hệ là tập hợp con, và dùng kí hiệu $\subsetneq$ để chỉ quan hệ là tập hợp con thực sự. Còn ở tài liệu này, chúng tôi quy ước dùng kí hiệu $\subseteq$ để chỉ quan hệ là tập hợp con, và dùng kí hiệu $\subset$ để chỉ quan hệ là tập hợp con thực sự, gợi sự tương tự với cặp kí hiệu $\leq$ và $<$. \subsection{Bài tập} \setcounter{exercise}{0} \begin{exercise}\label{naive-set-theory:exercise1} - Trong các trường hợp dưới đây, đâu là tập hợp? Nếu đó là tập hợp, hãy thử liệt kê các phần tử của tập hợp đó. - \begin{enumerate}[label={(\alph*)},itemsep=0pt] - \item $\{ n \mid n \text{ là ước nguyên dương của 27 } \}$. - \item $\{ x \mid x \text{ là nghiệm thực của phương trình } 2x^{2} + 2x + 1 = 0 \}$. - \item $\{ n \mid n \text{ có phân tích nguyên tố đơn giản } \}$. - \item $\{ x \mid x \text{ là nghiệm thực của một phương trình có hệ số nguyên với bậc không quá hai } \}$. - \end{enumerate} + Trong các trường hợp dưới đây, đâu là tập hợp? Nếu đó là tập hợp, hãy thử liệt kê các phần tử của tập hợp đó. + \begin{enumerate}[label={(\alph*)},itemsep=0pt] + \item $\{ n \mid n \text{ là ước nguyên dương của 27 } \}$. + \item $\{ x \mid x \text{ là nghiệm thực của phương trình } 2x^{2} + 2x + 1 = 0 \}$. + \item $\{ n \mid n \text{ có phân tích nguyên tố đơn giản } \}$. + \item $\{ x \mid x \text{ là nghiệm thực của một phương trình có hệ số nguyên với bậc không quá hai } \}$. + \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}\label{naive-set-theory:exercise2} - Cho tập hợp $S$ gồm ba phần tử $x, y, z$. Hãy liệt kê tất cả các tập hợp con của $S$ và quan hệ bao hàm giữa các tập hợp con đó. + Cho tập hợp $S$ gồm ba phần tử $x, y, z$. Hãy liệt kê tất cả các tập hợp con của $S$ và quan hệ bao hàm giữa các tập hợp con đó. \end{exercise} \begin{exercise}\label{naive-set-theory:exercise3} - Cho tập hợp $S$ gồm các chuỗi nhị phân có độ dài $n$. $S$ có bao nhiêu phần tử? + Cho tập hợp $S$ gồm tất cả các chuỗi nhị phân có độ dài $n$. $S$ có bao nhiêu phần tử? \end{exercise} \begin{exercise}\label{naive-set-theory:exercise4} - Cho các tập hợp $A, B, C$. Nếu $A\subseteq B$, $B\subseteq C$ thì $A\subseteq C$. + Cho các tập hợp $A, B, C$. Chứng minh rằng nếu $A\subseteq B$, $B\subseteq C$ thì $A\subseteq C$. - Nếu $A\subseteq B$ và $B\subset C$, hoặc $A\subset B$ và $B\subseteq C$, hoặc $A\subset B$ và $B\subset C$, có thể kết luận gì về mối quan hệ giữa $A$ và $C$? + Chứng minh rằng nếu $A\subseteq B$ và $B\subset C$, hoặc $A\subset B$ và $B\subseteq C$, hoặc $A\subset B$ và $B\subset C$, thì $A\subset C$. \end{exercise} \section{Vị từ và lượng hóa} \subsection{Vị từ} -Mục này giới thiệu khái niệm vị từ. Chúng ta bắt đầu bằng hai ví dụ thực tế. +Mục này giới thiệu khái niệm vị từ\index{Vị từ}. Chúng ta bắt đầu bằng hai ví dụ thực tế. Một người đi chơi xa về hỏi hàng xóm về thời tiết trong hai ngày vừa rồi, ngày nào có mưa. Câu trả lời mà người đó nhận được là: \textbf{Ngày hôm qua} \textit{có mưa} và \textbf{Ngày hôm kia} \textit{có mưa}. Ở ví dụ này, câu trả lời (hay mệnh đề) có dạng ``(ngày) có mưa''. @@ -295,42 +295,42 @@ \subsection{Lượng hóa} Tình huống tương tự cũng xảy ra khi chúng ta cần đưa ra lớp các mệnh đề về một tập hợp các đối tượng: Cho trước tập hợp $S$ và một vị từ $p$ (áp dụng lên các phần tử của $x$), chúng ta muốn biết liệu $p(x)$ đúng hay sai, với $x$ là phần tử của $S$. Khi trả lời câu hỏi đó, chúng ta thường gặp các trường hợp sau đây: \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item Có ít nhất một phần tử $x$ của $S$ sao cho có $p(x)$. Khi đó chúng ta kí hiệu - \[ - \exists x\in S (p(x))\qquad\text{hay}\qquad \exists x\in S: p(x) - \] - - hoặc chỉ ngắn gọn là $\exists x (p(x))$ nếu ngữ cảnh đã nêu rõ $x$ thuộc tập hợp nào. Thay vì kí hiệu trên, chúng ta nói \textbf{tồn tại $x$ thuộc $S$ sao cho có $p(x)$}. Nói riêng, khi tồn tại $x\in S$ thỏa mãn $p(x)$, chúng ta thường đặt ra thêm câu hỏi về tính duy nhất của phần tử như vậy. Nếu đó là phần tử duy nhất thỏa mãn điều kiện đó, chúng ta kí hiệu - \[ - \exists! x\in S (p(x))\qquad\text{hay}\qquad \exists! x\in S: p(x) - \] - \item Mọi phần tử $x$ của $S$ đều làm cho $p(x)$ đúng. Khi đó chúng ta kí hiệu - \[ - \forall x\in S (p(x))\qquad\text{hay}\qquad \forall x\in S: p(x) - \] - - hoặc chỉ ngắn gọn là $\forall x (p(x))$ nếu ngữ cảnh đã nêu rõ $x$ thuộc tập hợp nào. Thay cho kí hiệu, chúng ta còn nói \textbf{với mọi $x$ thuộc $S$, có $p(x)$}, hay \textbf{với mỗi $x$ thuộc $S$, có $p(x)$}. + \item Có ít nhất một phần tử $x$ của $S$ sao cho có $p(x)$. Khi đó chúng ta kí hiệu + \[ + \exists x\in S\; p(x)\qquad\text{hay}\qquad \exists x\in S\; (p(x))\qquad\text{hay}\qquad \exists x\in S: p(x) + \] + + hoặc chỉ ngắn gọn là $\exists x (p(x))$ nếu ngữ cảnh đã nêu rõ $x$ thuộc tập hợp nào. Thay vì kí hiệu trên, chúng ta nói \textbf{tồn tại $x$ thuộc $S$ sao cho có $p(x)$}. Nói riêng, khi tồn tại $x\in S$ thỏa mãn $p(x)$, chúng ta thường đặt ra thêm câu hỏi về tính duy nhất của phần tử như vậy. Nếu đó là phần tử duy nhất thỏa mãn điều kiện đó, chúng ta kí hiệu + \[ + \exists! x\in S\; p(x)\qquad\text{hay}\qquad \exists! x\in S\; (p(x))\qquad\text{hay}\qquad \exists! x\in S: p(x) + \] + \item Mọi phần tử $x$ của $S$ đều làm cho $p(x)$ đúng. Khi đó chúng ta kí hiệu + \[ + \forall x\in S\; p(x)\qquad\text{hay}\qquad \forall x\in S\; (p(x))\qquad\text{hay}\qquad \forall x\in S: p(x) + \] + + hoặc chỉ ngắn gọn là $\forall x (p(x))$ nếu ngữ cảnh đã nêu rõ $x$ thuộc tập hợp nào. Thay cho kí hiệu, chúng ta còn nói \textbf{với mọi $x$ thuộc $S$, có $p(x)$}, hay \textbf{với mỗi $x$ thuộc $S$, có $p(x)$}. \end{enumerate} -Hành động đưa ra các mệnh đề như trên được gọi là \textit{lượng hóa}. $\exists, \forall$ được gọi là những lượng hóa, hay lượng từ. $\exists$ được gọi là lượng hóa tồn tại, $\forall$ được gọi là lượng hóa phổ cập. Về mặt kí hiệu, chúng ta sẽ linh hoạt kí hiệu lượng hóa theo một trong hai lối viết là $\exists x\in S (p(x))$ và $\exists x\in S: p(x)$. Lối viết thứ hai đơn giản nhưng phù hợp hơn với mệnh đề chỉ gồm một lượng từ. Trong khi đó, lối viết thứ nhất tuy phức tạp hơn nhưng giúp kí hiệu không nhập nhằng khi mệnh đề có nhiều lượng từ. Trong tài liệu này, trừ chương hiện tại, khi áp dụng lượng hóa, chúng ta ưu tiên dùng các câu văn hoàn chỉnh. +Hành động đưa ra các mệnh đề như trên được gọi là \textbf{lượng hóa\index{Lượng hóa}}. $\exists, \forall$ được gọi là những lượng hóa, hay lượng từ. $\exists$ được gọi là lượng hóa tồn tại\index{Lượng hóa tồn tại}, $\forall$ được gọi là lượng hóa phổ cập\index{Lượng hóa phổ cập}. Về mặt kí hiệu, chúng ta sẽ linh hoạt kí hiệu lượng hóa theo một trong các lối viết là $\exists x\in S\; p(x)$, $\exists x\in S (p(x))$ và $\exists x\in S: p(x)$. Lối viết thứ ba đơn giản nhưng phù hợp hơn với mệnh đề chỉ gồm một lượng từ. Trong khi đó, lối viết thứ hai tuy phức tạp hơn nhưng giúp kí hiệu không nhập nhằng khi mệnh đề có nhiều lượng từ. Trong tài liệu này, trừ chương hiện tại, khi áp dụng lượng hóa, chúng ta ưu tiên dùng các câu văn hoàn chỉnh. Từ định nghĩa của hai lượng hóa, chúng ta rút ra hai nguyên lý sau đây. \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item \textbf{Phủ định của $\exists x\in S : p(x)$} là $\forall x\in S: \neg p(x)$. Viết thành câu, điều này có nghĩa là: \textbf{phủ định của mệnh đề ``tồn tại $x$ thuộc $S$ sao cho có $p(x)$''} tương đương với \textbf{mệnh đề ``với mọi $x$ thuộc $S$, không có $p(x)$''}. - \item \textbf{Phủ định của $\forall x\in S : p(x)$} là $\exists x\in S: \neg p(x)$. Viết thành câu, điều này có nghĩa là: phủ định của mệnh đề ``với mọi $x$ thuộc $S$ sao cho có $p(x)$'' tương đương với mệnh đề ``tồn tại $x$ thuộc $S$ sao cho không có $p(x)$''. + \item \textbf{Phủ định của $\exists x\in S : p(x)$} là $\forall x\in S: \neg p(x)$. Viết thành câu, điều này có nghĩa là: \textbf{phủ định của mệnh đề ``tồn tại $x$ thuộc $S$ sao cho có $p(x)$''} tương đương với \textbf{mệnh đề ``với mọi $x$ thuộc $S$, không có $p(x)$''}. + \item \textbf{Phủ định của $\forall x\in S : p(x)$} là $\exists x\in S: \neg p(x)$. Viết thành câu, điều này có nghĩa là: phủ định của mệnh đề ``với mọi $x$ thuộc $S$ sao cho có $p(x)$'' tương đương với mệnh đề ``tồn tại $x$ thuộc $S$ sao cho không có $p(x)$''. \end{enumerate} Để khép lại phần này, chúng ta bàn về trường hợp mệnh đề sử dụng nhiều lượng từ. Xét một vị từ $p$ sử dụng hai biến $x, y$, và chúng ta chỉ xét các giá trị của $x, y$ lần lượt thuộc hai tập hợp $A, B$ nào đó. Thay cho câu ``với mọi $x$, với mọi $y$, có $p(x, y)$'', chúng ta kí hiệu $\forall x\forall y : p(x, y)$. Thay cho câu ``với mọi $x$, tồn tại $y$ sao cho có $p(x, y)$'', chúng ta kí hiệu $\forall x \exists y : p(x,y)$. Thay cho câu ``tồn tại $x$ sao cho với mọi $y$, có $p(x, y)$'', chúng ta kí hiệu $\exists x \forall y : p(x, y)$. Bây giờ, chúng ta quan tâm tới việc phát biểu mệnh đề phủ định ở ba ví dụ trên. Bằng cách áp dụng liên tiếp hai nguyên lý nêu trên hai lần, chúng ta thu được \begin{align*} - \neg(\forall x \forall y (p(x, y))) & \Leftrightarrow \exists x (\neg(\forall y (p(x, y)))) \\ - & \Leftrightarrow \exists x (\exists y (\neg p(x, y))), \\ - \neg(\forall x\exists y (p(x, y))) & \Leftrightarrow \exists x (\neg(\exists y (p(x, y)))) \\ - & \Leftrightarrow \exists x (\forall y (\neg p(x, y))), \\ - \neg(\exists x\forall y (p(x, y))) & \Leftrightarrow \forall x (\neg(\forall y( p(x, y)))) \\ - & \Leftrightarrow \forall x (\exists y (\neg (p(x, y)))) + \neg(\forall x \forall y (p(x, y))) & \Leftrightarrow \exists x (\neg(\forall y (p(x, y)))) \\ + & \Leftrightarrow \exists x (\exists y (\neg p(x, y))), \\ + \neg(\forall x\exists y (p(x, y))) & \Leftrightarrow \exists x (\neg(\exists y (p(x, y)))) \\ + & \Leftrightarrow \exists x (\forall y (\neg p(x, y))), \\ + \neg(\exists x\forall y (p(x, y))) & \Leftrightarrow \forall x (\neg(\forall y( p(x, y)))) \\ + & \Leftrightarrow \forall x (\exists y (\neg (p(x, y)))) \end{align*} Qua ba ví dụ trên đây, chúng ta rút ra quy tắc khi viết phủ định của một mệnh đề gồm nhiều lượng hóa: đổi lượng hóa phổ cập sang lượng hóa tồn tại và ngược lại, rồi phủ định điều kiện giữa các biến. @@ -341,22 +341,22 @@ \subsection{Phương pháp quy nạp toán học} Trong mục này, chúng ta xem xét một trường hợp riêng của vị từ: vị từ sử dụng biến là số tự nhiên. Chúng ta quan tâm tới trường hợp này vì khi học và làm toán, chúng ta thường cần chứng minh các mệnh đề có dạng $p(n)$ (với $n$ là số tự nhiên) cho \textit{tất cả} các trường hợp của $n$. Để chứng minh một lớp các mệnh đề như vậy, phương pháp quy nạp toán học thường được sử dụng. Phương pháp này được phát biểu thành định lý sau. -\begin{theorem}[Nguyên lý quy nạp toán học] - Cho $p$ là một vị từ áp dụng trên tập hợp các số tự nhiên. Nếu - \begin{itemize} - \item Có $p(0)$. - \item Với mọi số tự nhiên $k$, có $p(k)$ kéo theo $p(k + 1)$. - \end{itemize} +\begin{theorem}[Nguyên lý quy nạp toán học\index{Nguyên lý quy nạp toán học}] + Cho $p$ là một vị từ áp dụng trên tập hợp các số tự nhiên. Nếu + \begin{itemize} + \item Có $p(0)$. + \item Với mọi số tự nhiên $k$, có $p(k)$ kéo theo $p(k + 1)$. + \end{itemize} - thì có $p(n)$ với mọi số tự nhiên $n$. + thì có $p(n)$ với mọi số tự nhiên $n$. \end{theorem} Khi chứng minh có $p(n)$ với mọi $n$ là số tự nhiên bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta thực hiện các bước sau: \begin{enumerate}[label={\textbf{Bước \arabic*.}},itemindent=1cm] - \item (Bước cơ sở) Chúng ta chứng minh có $p(0)$. - \item (Bước quy nạp) Chúng ta chứng minh rằng với mỗi $k\geq 1$, $p(k)$ kéo theo $p(k+1)$. Ở bước này, mệnh đề $p(k)$ được gọi là \textit{giả thiết quy nạp}. - \item Kết luận rằng có $p(n)$ với mọi số nguyên dương $n$. + \item (Bước cơ sở\index{Bước cơ sở}) Chúng ta chứng minh có $p(0)$. + \item (Bước quy nạp\index{Bước quy nạp}) Chúng ta chứng minh rằng với mỗi $k\geq 1$, $p(k)$ kéo theo $p(k+1)$. Ở bước này, mệnh đề $p(k)$ được gọi là \textit{giả thiết quy nạp}. + \item Kết luận rằng có $p(n)$ với mọi số nguyên dương $n$. \end{enumerate} Từ tổng kết trên của phương pháp chứng minh bằng quy nạp toán học, bạn đọc có thể kiểm tra nhận xét sau: phương pháp trên vẫn áp dụng được cho trường hợp $n$ là số nguyên lớn hơn hoặc bằng một số nguyên $n_{0}$ cho trước, hoặc trường hợp $n$ là số nguyên lớn hơn hoặc bằng một số nguyên cho trước bằng cách thay đổi một chút ở Bước cơ sở. @@ -364,108 +364,108 @@ \subsection{Phương pháp quy nạp toán học} Chúng ta đưa ra hai ví dụ về chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. \begin{example} - Chứng minh rằng tổng của các số tự nhiên lẻ liên tiếp bắt đầu từ $1$ là bình phương của một số tự nhiên. + Chứng minh rằng tổng của các số tự nhiên lẻ liên tiếp bắt đầu từ $1$ là bình phương của một số tự nhiên. \end{example} Phát biểu của bài toán này không chứa biến. Trước hết, chúng ta khảo sát một số trường hợp đầu tiên, với nhận xét rằng số tự nhiên lẻ thứ $n$ là $(2n - 1)$. \begin{align*} - \sum^{1}_{i=1}(2i - 1) & = 1 = 1^{2}, \\ - \sum^{2}_{i=1}(2i - 1) & = 1 + 3 = 4 = 2^{2}, \\ - \sum^{3}_{i=1}(2i - 1) & = 1 + 3 + 5 = 9 = 3^{2}. + \sum^{1}_{i=1}(2i - 1) & = 1 = 1^{2}, \\ + \sum^{2}_{i=1}(2i - 1) & = 1 + 3 = 4 = 2^{2}, \\ + \sum^{3}_{i=1}(2i - 1) & = 1 + 3 + 5 = 9 = 3^{2}. \end{align*} Từ khảo sát trên, chúng ta dự đoán (cuối mục này, chúng ta sẽ bàn thêm về sự dự đoán này) rằng \[ - \sum^{n}_{i=1}(2i - 1) = 1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^{2}. + \sum^{n}_{i=1}(2i - 1) = 1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^{2}. \] Đây là điều mà chúng ta sẽ chứng minh. \begin{proof} - Chúng ta chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, có $\sum^{n}_{i=1}(2i - 1) = n^{2}$. + Chúng ta chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, có $\sum^{n}_{i=1}(2i - 1) = n^{2}$. - Với trường hợp $n = 1$, mệnh đề đúng, bởi vì $1 = 1^{2}$. + Với trường hợp $n = 1$, mệnh đề đúng, bởi vì $1 = 1^{2}$. - Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$ ($k\geq 1$). - \[ - \sum^{k+1}_{i=1}(2i - 1) = \sum^{k}_{i=1}(2i - 1) + (2k + 1). - \] + Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$ ($k\geq 1$). + \[ + \sum^{k+1}_{i=1}(2i - 1) = \sum^{k}_{i=1}(2i - 1) + (2k + 1). + \] - Theo giả thiết quy nạp, $\sum^{k}_{i=1}(2i - 1) = k^{2}$. Do đó - \[ - \sum^{k+1}_{i=1}(2i - 1) = k^{2} + 2k + 1 = {(k+1)}^{2}. - \] + Theo giả thiết quy nạp, $\sum^{k}_{i=1}(2i - 1) = k^{2}$. Do đó + \[ + \sum^{k+1}_{i=1}(2i - 1) = k^{2} + 2k + 1 = {(k+1)}^{2}. + \] - Theo nguyên lý quy nạp toán học, với mọi số nguyên dương $n$, có $\sum^{n}_{i=1}(2i - 1) = n^{2}$. Do đó, tổng của các số tự nhiên lẻ liên tiếp bắt đầu từ $1$ là bình phương của một số tự nhiên. + Theo nguyên lý quy nạp toán học, với mọi số nguyên dương $n$, có $\sum^{n}_{i=1}(2i - 1) = n^{2}$. Do đó, tổng của các số tự nhiên lẻ liên tiếp bắt đầu từ $1$ là bình phương của một số tự nhiên. \end{proof} \begin{example} - Chứng minh rằng mỗi đa thức bậc $n$ với hệ số thực có không quá $n$ nghiệm. + Chứng minh rằng mỗi đa thức bậc $n$ với hệ số thực có không quá $n$ nghiệm. \end{example} \begin{proof} - Với trường hợp $n = 1$, chúng ta xét đa thức $aX + b$ (trong đó $a\ne 0$). Phương trình $aX + b = 0$ chỉ có một nghiệm là $X = \frac{-b}{a}$. Do đó, mệnh đề đúng với $n = 1$. + Với trường hợp $n = 1$, chúng ta xét đa thức $aX + b$ (trong đó $a\ne 0$). Phương trình $aX + b = 0$ chỉ có một nghiệm là $X = \frac{-b}{a}$. Do đó, mệnh đề đúng với $n = 1$. - Giả sử rằng đa thức bậc $k$ có không quá $k$ nghiệm ($k\geq 1$). Chúng ta xét đa thức $f(X)$ có bậc $(k + 1)$. + Giả sử rằng đa thức bậc $k$ có không quá $k$ nghiệm ($k\geq 1$). Chúng ta xét đa thức $f(X)$ có bậc $(k + 1)$. - Nếu $f(X)$ không có nghiệm, chúng ta kết luận $f(X)$ có không quá $(k + 1)$ nghiệm (vì $0 \leq k + 1$). + Nếu $f(X)$ không có nghiệm, chúng ta kết luận $f(X)$ có không quá $(k + 1)$ nghiệm (vì $0 \leq k + 1$). - Nếu $f(X)$ có ít nhất một nghiệm là $X = a$, chúng ta thực hiện phép chia đa thức và lấy dư. Sau khi thực hiện phép chia, chúng ta thu được một đa thức $g(X)$ bậc $k$ (bậc của $g(X)$ = bậc của $f(X)$ trừ $1$) nào đó và số dư là một số thực $r$, chúng ta viết $f(X) = (X - a)g(x) + r$. Vì $f(a) = 0$ nên $r = 0$, dẫn đến $f(X) = (X - a)g(X)$. Theo giả thiết quy nạp, $g(X)$ có không quá $k$ nghiệm. Cùng với đẳng thức vừa thu được, chúng ta kết luận $f(X)$ có không quá $(k + 1)$ nghiệm. + Nếu $f(X)$ có ít nhất một nghiệm là $X = a$, chúng ta thực hiện phép chia đa thức và lấy dư. Sau khi thực hiện phép chia, chúng ta thu được một đa thức $g(X)$ bậc $k$ (bậc của $g(X)$ = bậc của $f(X)$ trừ $1$) nào đó và số dư là một số thực $r$, chúng ta viết $f(X) = (X - a)g(x) + r$. Vì $f(a) = 0$ nên $r = 0$, dẫn đến $f(X) = (X - a)g(X)$. Theo giả thiết quy nạp, $g(X)$ có không quá $k$ nghiệm. Cùng với đẳng thức vừa thu được, chúng ta kết luận $f(X)$ có không quá $(k + 1)$ nghiệm. - Theo nguyên lý quy nạp, mỗi đa thức bậc $n$ với hệ số thực có không quá $n$ nghiệm. + Theo nguyên lý quy nạp, mỗi đa thức bậc $n$ với hệ số thực có không quá $n$ nghiệm. \end{proof} Khi chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học, bước cơ sở và bước quy nạp đều là bắt buộc. Khi thiếu một trong hai bước, chúng ta gọi đó là \textit{quy nạp không hoàn toàn}. Việc bỏ qua một trong hai bước có thể dẫn đến một kết luận sai. Nhà toán học Fermat khi xem xét các số tự nhiên có dạng $2^{2^{n}} + 1$ đã nhận thấy rằng khi $n = 0, 1, 2, 3, 4$ thì số có dạng như vậy là số nguyên tố, và đi thẳng tới kết luận rằng mọi số tự nhiên có dạng đó là số nguyên tố. Về sau, nhà toán học Euler đã bác bỏ kết luận này sau khi chỉ ra $2^{2^{5}} + 1$ là hợp số với ước số là $641$. -Cũng có khi việc sử dụng giả thiết quy nạp mà chỉ gồm đúng mệnh đề ``liền trước'' là không đủ. Khi đó, người ta có thể áp dụng một dạng khác của phương pháp quy nạp toán học, gọi là phương pháp quy nạp mạnh. Với phương pháp này, giả thuyết quy nạp bao gồm toàn bộ các mệnh đề đi trước. +Cũng có khi việc sử dụng giả thiết quy nạp mà chỉ gồm đúng mệnh đề ``liền trước'' là không đủ. Khi đó, người ta có thể áp dụng một dạng khác của phương pháp quy nạp toán học, gọi là phương pháp quy nạp mạnh\index{Phương pháp quy nạp mạnh}. Với phương pháp này, giả thuyết quy nạp bao gồm toàn bộ các mệnh đề đi trước. Nếu chứng minh có $p(n)$ với mọi $n$ là số nguyên dương bằng phương pháp quy nạp mạnh, chúng ta thực hiện các bước sau: \begin{enumerate}[label={\textbf{Bước \arabic*.}},itemindent=1cm] - \item (Bước cơ sở) Chúng ta chứng minh có $p(0)$. - \item (Bước quy nạp) Chúng ta chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $k$, nếu có $p(n)$ \textit{với mọi} $0\leq n\leq k$ thì có $p(k+1)$. Ở bước này, các mệnh đề $p(1), p(2), \ldots, p(k)$ được gọi là \textit{giả thiết quy nạp}. - \item Kết luận rằng có $p(n)$ với mọi số nguyên dương $n$. + \item (Bước cơ sở) Chúng ta chứng minh có $p(0)$. + \item (Bước quy nạp) Chúng ta chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $k$, nếu có $p(n)$ \textit{với mọi} $0\leq n\leq k$ thì có $p(k+1)$. Ở bước này, các mệnh đề $p(1), p(2), \ldots, p(k)$ được gọi là \textit{giả thiết quy nạp}. + \item Kết luận rằng có $p(n)$ với mọi số nguyên dương $n$. \end{enumerate} Sau đây là một ví dụ điển hình cho việc chứng minh bằng phương pháp quy nạp mạnh. \begin{example}[Định lý cơ bản của số học] - Mỗi số tự nhiên lớn hơn $1$ đều là tích của các số nguyên tố, và phân tích nguyên tố đó là duy nhất, không tính đến thứ tự. + Mỗi số tự nhiên lớn hơn $1$ đều là tích của các số nguyên tố, và phân tích nguyên tố đó là duy nhất, không tính đến thứ tự. \end{example} \begin{proof} - Khi $n = 2$, $n$ là một số nguyên tố, mệnh đề đúng. + Khi $n = 2$, $n$ là một số nguyên tố, mệnh đề đúng. - Giả sử mỗi số tự nhiên lớn hơn $1$ và không vượt quá $m - 1$ đều là tích của các số nguyên tố và phân tích nguyên tố đó là duy nhất. Xét số tự nhiên $m$. + Giả sử mỗi số tự nhiên lớn hơn $1$ và không vượt quá $m - 1$ đều là tích của các số nguyên tố và phân tích nguyên tố đó là duy nhất. Xét số tự nhiên $m$. - Nếu $m$ là số nguyên tố, mệnh đề đúng. + Nếu $m$ là số nguyên tố, mệnh đề đúng. - Nếu $m$ là hợp số thì $m$ chia hết cho một số nguyên tố $p$ nào đó và $1 < m/p < m$. Chúng ta có phân tích $m = p\cdot (m/p)$. Theo giả thiết quy nạp, $m/p$ là tích của các số nguyên tố. Do đó $m$ là tích của các số nguyên tố. Chúng ta cần chứng minh tính duy nhất của phân tích nguyên tố. Giả sử phân tích nguyên tố của $m$ là - \[ - m = {(p_{1})}^{m_{1}}{(p_{2})}^{m_{2}}\cdots {(p_{r})}^{m_{r}} = {(q_{1})}^{t_{1}}{(q_{2})}^{t_{2}}\cdots {(q_{s})}^{t_{s}} - \] + Nếu $m$ là hợp số thì $m$ chia hết cho một số nguyên tố $p$ nào đó và $1 < m/p < m$. Chúng ta có phân tích $m = p\cdot (m/p)$. Theo giả thiết quy nạp, $m/p$ là tích của các số nguyên tố. Do đó $m$ là tích của các số nguyên tố. Chúng ta cần chứng minh tính duy nhất của phân tích nguyên tố. Giả sử phân tích nguyên tố của $m$ là + \[ + m = {(p_{1})}^{m_{1}}{(p_{2})}^{m_{2}}\cdots {(p_{r})}^{m_{r}} = {(q_{1})}^{t_{1}}{(q_{2})}^{t_{2}}\cdots {(q_{s})}^{t_{s}} + \] - trong đó $p_{1}, \ldots, p_{r}, q_{1}, \ldots, q_{s}$ là các số nguyên tố, còn $m_{1}, \ldots, m_{r}$, $t_{1}, \ldots, t_{s}$ là các số nguyên dương. + trong đó $p_{1}, \ldots, p_{r}, q_{1}, \ldots, q_{s}$ là các số nguyên tố, còn $m_{1}, \ldots, m_{r}$, $t_{1}, \ldots, t_{s}$ là các số nguyên dương. - $p_{1}$ là ước của $m = {(p_{1})}^{m_{1}}{(p_{2})}^{m_{2}}\cdots {(p_{r})}^{m_{r}}$ nên $p_{1}$ cũng là ước của ${(q_{1})}^{t_{1}}{(q_{2})}^{t_{2}}\cdots {(q_{s})}^{t_{s}}$. Theo hệ quả của Bổ đề Euclid\footnote{Hệ quả của Bổ đề Euclid được phát biểu rằng: Nếu một số nguyên tố $p$ là ước của tích $ab$ thì $p$ là ước của ít nhất một trong hai số $a$ và $b$.}, tồn tại chỉ số $i$ (mà $1\leq i\leq s$) sao cho $p_{1}$ là ước của ${(q_{i})}^{t_{i}}$. Do tính giao hoán của phép nhân nên không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử chỉ số đó chính là $1$. Việc $p_{1}$ là ước của ${(q_{1})}^{t_{1}}$ kéo theo $p_{1} = q_{1}$ (điều này cũng được rút ra từ hệ quả của Bổ đề Euclid). Như vậy, chúng ta có hai phân tích nguyên tố của số tự nhiên $m/p_{1}$. Theo giả thiết quy nạp, phân tích nguyên tố của $m/p_{1}$ là duy nhất. Do đó phân tích nguyên tố của $m$ cũng là duy nhất. + $p_{1}$ là ước của $m = {(p_{1})}^{m_{1}}{(p_{2})}^{m_{2}}\cdots {(p_{r})}^{m_{r}}$ nên $p_{1}$ cũng là ước của ${(q_{1})}^{t_{1}}{(q_{2})}^{t_{2}}\cdots {(q_{s})}^{t_{s}}$. Theo hệ quả của Bổ đề Euclid\footnote{Hệ quả của Bổ đề Euclid được phát biểu rằng: Nếu một số nguyên tố $p$ là ước của tích $ab$ thì $p$ là ước của ít nhất một trong hai số $a$ và $b$.}, tồn tại chỉ số $i$ (mà $1\leq i\leq s$) sao cho $p_{1}$ là ước của ${(q_{i})}^{t_{i}}$. Do tính giao hoán của phép nhân nên không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử chỉ số đó chính là $1$. Việc $p_{1}$ là ước của ${(q_{1})}^{t_{1}}$ kéo theo $p_{1} = q_{1}$ (điều này cũng được rút ra từ hệ quả của Bổ đề Euclid). Như vậy, chúng ta có hai phân tích nguyên tố của số tự nhiên $m/p_{1}$. Theo giả thiết quy nạp, phân tích nguyên tố của $m/p_{1}$ là duy nhất. Do đó phân tích nguyên tố của $m$ cũng là duy nhất. - Theo nguyên lý quy nạp mạnh, mỗi số tự nhiên lớn hơn $1$ đều là tích của các số nguyên tố và phân tích nguyên tố đó là duy nhất. + Theo nguyên lý quy nạp mạnh, mỗi số tự nhiên lớn hơn $1$ đều là tích của các số nguyên tố và phân tích nguyên tố đó là duy nhất. \end{proof} Dù mang tên gọi ``Nguyên lý quy nạp mạnh'' nhưng nguyên lý này và nguyên lý quy nạp toán học là tương đương nhau. -Không phải mệnh đề nào với lượng hóa cho số tự nhiên, hay số nguyên dương cũng được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Tuy vậy, phương pháp quy nạp toán học tỏ ra hiệu quả trong việc chứng minh nhiều kết quả. Lúc này chúng ta chưa khẳng định được tính đúng đắn của phương pháp này mà mới chỉ được thuyết phục bằng các bước chứng minh nghe hợp lý cũng như các ví dụ. Thực ra, nguyên lý quy nạp toán học thường được phát biểu như một tiên đề. Chúng ta sẽ quay lại với nguyên lý quy nạp toán học trong Chương~\ref{chapter:natural-numbers-integers-and-rationals}. +Không phải mệnh đề nào với lượng hóa cho số tự nhiên, hay số nguyên dương cũng được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Tuy vậy, phương pháp quy nạp toán học tỏ ra hiệu quả trong việc chứng minh nhiều kết quả. Lúc này chúng ta chưa khẳng định được tính đúng đắn của phương pháp này mà mới chỉ được thuyết phục bằng các bước chứng minh nghe hợp lý cũng như các ví dụ. Thực ra, nguyên lý quy nạp toán học thường được phát biểu như một tiên đề. Chúng ta sẽ quay lại với nguyên lý quy nạp toán học trong Chương~\ref{chapter:natural-numbers-integers-and-rationals}. -Như đã đề cập từ trước, chúng ta nói thêm về sự dự đoán trong chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Bạn đọc khi theo dõi đến ví dụ về tổng các số tự nhiên lẻ liên tiếp có thể thấy điều được dự đoán là không tự nhiên, và đặt ra các câu hỏi như: ``Dự đoán đó đến từ đâu?\@'' thậm chí là ``Nếu gặp trường hợp quá khó dự đoán thì sao?\@'' Đây là một nhược điểm lớn của phương pháp chứng minh quy nạp $-$ Đó là \textit{người sử dụng phương pháp quy nạp phải biết mình đang chứng minh điều gì, một cách cụ thể}, và chứng minh bằng phương pháp quy nạp \textit{không cung cấp thêm thông tin gì về bài toán} ngoại trừ chính kết quả được chứng minh. Điểm yếu này không thể khắc phục hoàn toàn vì tính chủ quan của nó. Những người học và làm toán chỉ còn cách phát triển kinh nghiệm để cải thiện kĩ năng dự đoán đó, hoặc dùng những phương pháp chứng minh khác. +Như đã đề cập từ trước, chúng ta nói thêm về sự dự đoán trong chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Bạn đọc khi theo dõi đến ví dụ về tổng các số tự nhiên lẻ liên tiếp có thể thấy điều được dự đoán là không tự nhiên, và đặt ra các câu hỏi như: ``Dự đoán đó đến từ đâu?\@'' thậm chí là ``Nếu gặp trường hợp quá khó dự đoán thì sao?\@'' Đây là một nhược điểm lớn của phương pháp chứng minh quy nạp --- Đó là \textit{người sử dụng phương pháp quy nạp phải biết mình đang chứng minh điều gì, một cách cụ thể}, và chứng minh bằng phương pháp quy nạp \textit{không cung cấp thêm thông tin gì về bài toán} ngoại trừ chính kết quả được chứng minh. Điểm yếu này không thể khắc phục hoàn toàn vì tính chủ quan của nó. Những người học và làm toán chỉ còn cách phát triển kinh nghiệm để cải thiện kĩ năng dự đoán đó, hoặc dùng những phương pháp chứng minh khác. \subsection{Bài tập} \setcounter{exercise}{0} \begin{exercise} - Chỉ ra rằng nguyên lý quy nạp mạnh là hệ quả của nguyên lý quy nạp toán học. + Chỉ ra rằng nguyên lý quy nạp mạnh là hệ quả của nguyên lý quy nạp toán học. \end{exercise} \begin{exercise} - Hãy dự đoán một tập hợp có $n$ phần tử ($n\geq 0$) thì tập lũy thừa của tập hợp đó có bao nhiêu phần tử. Chứng minh dự đoán đó. + Hãy dự đoán một tập hợp có $n$ phần tử ($n\geq 0$) thì tập lũy thừa của tập hợp đó có bao nhiêu phần tử. Chứng minh dự đoán đó. \end{exercise} \section{Các phép toán trên tập hợp} @@ -474,32 +474,32 @@ \section{Các phép toán trên tập hợp} \subsection{Hợp và giao của các tập hợp} -\begin{definition}[Hợp của hai tập hợp] - Cho hai tập hợp $A$ và $B$. Hợp của $A$ và $B$ là tập hợp gồm các phần tử của $A$ và các phần tử của $B$, được kí hiệu là $A\cup B$. - \[ - A\cup B = \{ x \mid x\in A \vee x\in B \}. - \] +\begin{definition}[Hợp của hai tập hợp\index{Phép hợp hai tập hợp}] + Cho hai tập hợp $A$ và $B$. Hợp của $A$ và $B$ là tập hợp gồm các phần tử của $A$ và các phần tử của $B$, được kí hiệu là $A\cup B$. + \[ + A\cup B = \{ x \mid x\in A \vee x\in B \}. + \] \end{definition} -\begin{definition}[Giao của hai tập hợp] - Cho hai tập hợp $A$ và $B$. Giao của $A$ và $B$ là tập hợp gồm các phần tử đồng thời thuộc $A$ và $B$, được kí hiệu là $A\cap B$. - \[ - A\cap B = \{ x \mid x\in A \wedge x\in B \}. - \] +\begin{definition}[Giao của hai tập hợp\index{Phép giao hai tập hợp}] + Cho hai tập hợp $A$ và $B$. Giao của $A$ và $B$ là tập hợp gồm các phần tử đồng thời thuộc $A$ và $B$, được kí hiệu là $A\cap B$. + \[ + A\cap B = \{ x \mid x\in A \wedge x\in B \}. + \] \end{definition} Phép toán hợp và phép toán giao của hai tập hợp có những tính chất tương tự như hai phép toán logic là tuyển và hội (tính chất giao hoán, kết hợp, và phân phối). Điều này được thể hiện qua định lý sau. \begin{theorem} - Cho ba tập hợp $A, B, C$. Khi đó - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item $A\cup B = A\cup B$. - \item $A\cap B = B\cap A$. - \item $(A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C)$. - \item $(A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C)$. - \item $A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)$. - \item $A\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)$. - \end{enumerate} + Cho ba tập hợp $A, B, C$. Khi đó + \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] + \item $A\cup B = A\cup B$. + \item $A\cap B = B\cap A$. + \item $(A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C)$. + \item $(A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C)$. + \item $A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)$. + \item $A\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)$. + \end{enumerate} \end{theorem} Chứng minh cho định lý trên có thể được thực hiện bằng các tính chất giao hoán, kết hợp, và phân phối của hai phép toán tuyển và hội. Trong định lý trên, nhờ tính chất kết hợp mà chúng ta có thể bỏ qua dấu ngoặc để viết $A\cup B\cup C$ và $A\cap B\cap C$ mà không lo ngại có hiểu lầm nào. @@ -508,17 +508,17 @@ \subsection{Phần bù và hiệu hai tập hợp} Khi học hay làm toán và làm việc với tập hợp, chúng ta thường xuyên gặp trường hợp các tập hợp đang xét đều là tập hợp con của một tập hợp nào đó. Chẳng hạn: Khi học hình học phẳng, chúng ta làm việc trong một mặt phẳng (mặt phẳng này chứa tất cả các điểm, đường thẳng, tam giác, đường tròn mà chúng ta đang xét); Khi xem xét một đồ thị, chúng ta quan tâm tới các đỉnh, cạnh của đồ thị, và có thể cả các đồ thị con của đồ thị đó;\ldots Tập hợp chứa tất cả các đối tượng đang xét được gọi là \textit{không gian}, hay \textit{tập vũ trụ} (việc tập hợp này là gì phụ thuộc vào ngữ cảnh của môn học, chuyên ngành, và đặc biệt là vấn đề đang tìm hiểu). Ở các phân ngành khác của toán học nói riêng và khoa học nói chung, thuật ngữ không gian được sử dụng như vậy thường xuyên (không gian vector, không gian topology, không gian mẫu, không gian affine, không gian xạ ảnh, không gian tìm kiếm,\ldots). Trong mục này, chúng ta kí hiệu không gian là $X$. -\begin{definition}[Phần bù] - Cho tập hợp $A$ trong không gian $X$. Phần bù của $A$ (trong $X$) là tập hợp gồm các phần tử thuộc $X$ nhưng không thuộc $A$. Phần bù của $A$ trong $X$ được kí hiệu là $A^{c}$. +\begin{definition}[Phần bù\index{Phần bù}] + Cho tập hợp $A$ trong không gian $X$. Phần bù của $A$ (trong $X$) là tập hợp gồm các phần tử thuộc $X$ nhưng không thuộc $A$. Phần bù của $A$ trong $X$ được kí hiệu là $A^{c}$. \end{definition} Khi không gian $X$ đã được xác định qua ngữ cảnh, chúng ta chỉ cần nói ``phần bù của $A$'' thay cho ``phần bù của $A$ trong $X$''. Gần giống với khái niệm phần bù, chúng ta có khái niệm hiệu của hai tập hợp. -\begin{definition}[Hiệu của hai tập hợp] - Cho tập hợp $A$ và $B$. Hiệu của $A$ và $B$ là tập hợp gồm các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$. Chúng ta kí hiệu hiệu của $A$ và $B$ là $A - B$ hoặc $A\setminus B$. - \[ - A - B = \{ x \mid x\in A \wedge x\notin B \}. - \] +\begin{definition}[Hiệu của hai tập hợp\index{Hiệu của hai tập hợp}] + Cho tập hợp $A$ và $B$. Hiệu của $A$ và $B$ là tập hợp gồm các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$. Chúng ta kí hiệu hiệu của $A$ và $B$ là $A - B$ hoặc $A\setminus B$. + \[ + A \setminus B = \{ x \mid x\in A \wedge x\notin B \}. + \] \end{definition} Khái niệm phần bù là một trường hợp riêng của khái niệm hiệu hai tập hợp. Khác với phần bù, để định nghĩa hiệu của hai tập hợp $A$ và $B$, chúng ta không nhất thiết phải có $A\supseteq B$. @@ -528,50 +528,52 @@ \subsection{Công thức De Morgan} Để có thể phát biểu hình thức cho công thức De Morgan, chúng ta cần định nghĩa hợp và giao của một lượng tùy ý các tập hợp (có thể là vô hạn các tập hợp). Cho đến thời điểm hiện tại, chúng ta chỉ có một cách để thể hiện ``số lượng'' tùy ý như vậy, đó là sử dụng chính tập hợp. Chúng ta áp dụng điều này trong định nghĩa dưới đây. \begin{definition}[Hợp và giao của các (nhiều tùy ý) tập hợp] - Cho trước một tập hợp $I$ khác tập hợp rỗng. Hợp của \textit{họ các tập hợp $A_{i}$}, trong đó $i\in I$ là tập hợp gồm tất cả các phần tử của các tập hợp $A_{i}$, với $i\in I$. Nói cách khác, tập hợp này gồm các phần tử sao cho phần tử đó thuộc $A_{i}$ với $i\in I$ nào đó. Chúng ta kí hiệu - \[ - \bigcup_{i\in I}A_{i} = \{ x \mid \exists i\in I: x\in A_{i} \}. - \] - - Giao của \textit{họ các tập hợp $A_{i}$}, trong đó $i\in I$ là tập hợp gồm tất cả các phần tử đồng thời thuộc tất cả các tập hợp $A_{i}$, với $i\in I$. Chúng ta kí hiệu - \[ - \bigcap_{i\in I}A_{i} = \{ x \mid \forall i\in I: x\in A_{i} \}. - \] + Cho trước một tập hợp $I$ khác tập hợp rỗng. ${(A_{i})}_{i\in I}$ là một họ các tập hợp\index{Họ các tập hợp}. + + Hợp\index{Hợp của một họ tập hợp} của \textit{họ các tập hợp $A_{i}$}, trong đó $i\in I$, là tập hợp gồm tất cả các phần tử của các tập hợp $A_{i}$, với $i\in I$. Nói cách khác, tập hợp này gồm các phần tử sao cho phần tử đó thuộc $A_{i}$ với $i\in I$ nào đó. Chúng ta kí hiệu + \[ + \bigcup_{i\in I}A_{i} = \{ x \mid \exists i\in I: x\in A_{i} \}. + \] + + Giao\index{Giao của một họ tập hợp} của \textit{họ các tập hợp $A_{i}$}, trong đó $i\in I$, là tập hợp gồm tất cả các phần tử đồng thời thuộc tất cả các tập hợp $A_{i}$, với $i\in I$. Chúng ta kí hiệu + \[ + \bigcap_{i\in I}A_{i} = \{ x \mid \forall i\in I: x\in A_{i} \}. + \] \end{definition} -Tập hợp $I$ được sử dụng trong định nghĩa trên được gọi là \textbf{tập hợp chỉ số}. Bạn đọc hãy thử trường hợp tập hợp $I$ gồm $2$ phần tử để kiểm tra định nghĩa trên có phù hợp với định nghĩa hợp và giao của hai tập hợp không. +Tập hợp $I$ được sử dụng trong định nghĩa trên được gọi là \textbf{tập hợp chỉ số\index{Tập hợp chỉ số}}. Bằng cách sử dụng tập hợp chỉ số, chúng ta có thể phát biểu hình thức cho một họ gồm nhiều tùy ý (có thể vô hạn) các tập hợp. Bạn đọc hãy thử trường hợp tập hợp $I$ gồm $2$ phần tử để kiểm tra định nghĩa trên có phù hợp với định nghĩa hợp và giao của hai tập hợp không. Lúc này, chúng ta có thể phát biểu công thức De Morgan. -\begin{theorem}[Công thức De Morgan]\label{theorem:de-morgan-formula} - ${(A_{i})}_{i\in I}$ là một họ các tập hợp. Khi đó - \begin{equation*} - \begin{split} - {\left(\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)}^{c} = \bigcap_{i\in I}{A_{i}}^{c}, \\ - {\left(\bigcap_{i\in I}A_{i}\right)}^{c} = \bigcup_{i\in I}{A_{i}}^{c}. - \end{split} - \end{equation*} +\begin{theorem}[Công thức De Morgan\index{Công thức De Morgan}]\label{theorem:de-morgan-formula} + ${(A_{i})}_{i\in I}$ là một họ các tập hợp. Khi đó + \begin{equation*} + \begin{split} + {\left(\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)}^{c} = \bigcap_{i\in I}{A_{i}}^{c}, \\ + {\left(\bigcap_{i\in I}A_{i}\right)}^{c} = \bigcup_{i\in I}{A_{i}}^{c}. + \end{split} + \end{equation*} \end{theorem} \noindent Chúng ta đưa ra một chứng minh cho công thức De Morgan bằng nguyên lý lượng hóa. Chứng minh này cũng minh họa cho cách chứng minh hai tập hợp bằng nhau. \begin{proof} - Với công thức đầu tiên, chúng ta giả sử $x \in {\left(\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)}^{c}$. Điều này tương đương với việc $x\notin A_{i}$ với mọi $i\in I$, hay $x\in {A_{i}}^{c}$ với mọi $i\in I$ (theo định nghĩa phần bù). Theo định nghĩa của phép giao các tập hợp, $x\in \bigcap_{i\in I}{A_{i}}^{c}$. Do đó $x\in \bigcap_{i\in I}{A_{i}}^{c}$, kéo theo - \[ - {\left(\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)}^{c} \subseteq \bigcap_{i\in I}{A_{i}}^{c}. - \] - - Ngược lại, giả sử $x\in \bigcap_{i\in I}{A_{i}}^{c}$. Theo định nghĩa của phép giao các tập hợp, chúng ta suy ra $x\in {A_{i}}^{c}$ với mọi $i\in I$, hay $x\notin A_{i}$ với mọi $i\in I$ (theo định nghĩa phần bù). Theo nguyên lý lượng hóa, mệnh đề vừa thu được tương đương với phủ định của mệnh đề ``tồn tại $i\in I$ sao cho $x\in A_{i}$''. Do đó $x\in {\left(\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)}^{c}$, kéo theo - \[ - \bigcap_{i\in I}{A_{i}}^{c} \subseteq {\left(\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)}^{c} - \] - - Do vậy - \[ - {\left(\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)}^{c} = \bigcap_{i\in I}{A_{i}}^{c}. - \] - - Cuối cùng, bằng phép toán lấy phần bù, chúng ta chỉ ra được công thức thứ hai là hệ quả của công thức đầu tiên. + Với công thức đầu tiên, chúng ta giả sử $x \in {\left(\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)}^{c}$. Điều này tương đương với việc $x\notin A_{i}$ với mọi $i\in I$, hay $x\in {A_{i}}^{c}$ với mọi $i\in I$ (theo định nghĩa phần bù). Theo định nghĩa của phép giao các tập hợp, $x\in \bigcap_{i\in I}{A_{i}}^{c}$. Do đó $x\in \bigcap_{i\in I}{A_{i}}^{c}$, kéo theo + \[ + {\left(\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)}^{c} \subseteq \bigcap_{i\in I}{A_{i}}^{c}. + \] + + Ngược lại, giả sử $x\in \bigcap_{i\in I}{A_{i}}^{c}$. Theo định nghĩa của phép giao các tập hợp, chúng ta suy ra $x\in {A_{i}}^{c}$ với mọi $i\in I$, hay $x\notin A_{i}$ với mọi $i\in I$ (theo định nghĩa phần bù). Theo nguyên lý lượng hóa, mệnh đề vừa thu được tương đương với phủ định của mệnh đề ``tồn tại $i\in I$ sao cho $x\in A_{i}$''. Do đó $x\in {\left(\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)}^{c}$, kéo theo + \[ + \bigcap_{i\in I}{A_{i}}^{c} \subseteq {\left(\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)}^{c} + \] + + Do vậy + \[ + {\left(\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)}^{c} = \bigcap_{i\in I}{A_{i}}^{c}. + \] + + Cuối cùng, bằng phép toán lấy phần bù, chúng ta chỉ ra được công thức thứ hai là hệ quả của công thức đầu tiên. \end{proof} Ngay ở thời điểm chưa chứng minh, chúng ta có thể chỉ ra hai công thức là hệ quả của nhau. Ngoài ra, công thức thứ hai hoàn toàn có thể được chứng minh một cách độc lập với công thức thứ nhất. @@ -580,29 +582,29 @@ \subsection{Công thức De Morgan} \subsection{Phân hoạch của một tập hợp} -\begin{definition}[Hai tập hợp rời nhau] - Hai tập hợp được gọi là rời nhau nếu giao của chúng là tập hợp rỗng. +\begin{definition}[Hai tập hợp rời nhau\index{Hai tập hợp rời nhau}] + Hai tập hợp được gọi là rời nhau nếu giao của chúng là tập hợp rỗng. \end{definition} Cùng với định nghĩa trên và định nghĩa hợp của nhiều tùy ý các tập hợp, chúng ta đưa ra định nghĩa phân hoạch của một tập hợp khác rỗng. -\begin{definition}[Phân hoạch của tập hợp khác rỗng] - Cho tập hợp $S$ khác tập hợp rỗng. Một họ tập hợp $A_{i}$, với $i\in I$ (tập hợp $I$ khác tập hợp rỗng) được gọi là một phân hoạch của tập hợp $S$ nếu và chỉ nếu các tập hợp của họ trên rời nhau từng đôi một và hợp thành của tất cả các tập hợp này là $S$. Bằng kí hiệu, chúng ta viết - \[ - \forall i\in I\forall j\in I (i\ne j \implies A_{i}\cap A_{j} = \varnothing) \qquad\text{và}\qquad\bigcup_{i\in I}A_{i} = S. - \] +\begin{definition}[Phân hoạch của tập hợp khác rỗng\index{Phân hoạch của tập hợp khác rỗng}] + Cho tập hợp $S$ khác tập hợp rỗng. Một họ tập hợp ${(A_{i})}_{i\in I}$ được gọi là một phân hoạch của tập hợp $S$ nếu và chỉ nếu các tập hợp của họ trên rời nhau từng đôi một và hợp thành của tất cả các tập hợp này là $S$. Bằng kí hiệu, chúng ta viết + \[ + \forall i\in I\;\forall j\in I (i\ne j \implies A_{i}\cap A_{j} = \varnothing) \qquad\text{và}\qquad\bigcup_{i\in I}A_{i} = S. + \] \end{definition} Dĩ nhiên, mỗi tập hợp trong một phân hoạch của một tập hợp $S$ khác rỗng đều là tập hợp con của $S$. Thay cho cách phát biểu như trên, chúng ta còn nói: $S$ được phân hoạch bởi (thành) họ tập hợp $A_{i}$ với $i\in I$. Khi áp dụng phép toán hợp trên một họ các tập hợp đôi một rời nhau, chúng ta nói phép hợp đó là phép hợp rời, và kí hiệu là: \[ - \bigsqcup_{i\in I}A_{i}. + \bigsqcup_{i\in I}A_{i}. \] -Khi đó, chúng ta còn nói $S$ là \textit{hợp rời} của họ tập hợp $A_{i}$ với $i\in I$. Hãy xem xét một số ví dụ về phân hoạch. +Khi đó, chúng ta còn nói $S$ là \textit{hợp rời\index{Hợp rời}} của họ tập hợp $A_{i}$ với $i\in I$. Hãy xem xét một số ví dụ về phân hoạch. \begin{itemize} - \item Tập hợp $S = \{ 1 \}$ gồm một phần tử có đúng một phân hoạch là $\{ 1 \}$. Tổng quát hơn, mọi tập hợp khác rỗng đều nhận chính nó làm một phân hoạch với họ gồm đúng một tập hợp. - \item Tập hợp $S = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$ được phân hoạch thành họ gồm năm tập hợp $\{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 3 \}, \{ 4 \}, \{ 5 \}$, hoặc thành họ gồm hai tập hợp $\{ 1, 2 \}, \{ 3, 4, 5 \}$. Ví dụ này cho thấy phân hoạch của một tập hợp khác rỗng có thể là không duy nhất. Bạn đọc có thể chứng minh một tập hợp khác rỗng với nhiều hơn một phần tử sẽ có nhiều hơn một phân hoạch. - \item Tập hợp các số nguyên có thể được phân hoạch thành họ gồm hai tập hợp: tập hợp gồm các số nguyên chẵn và tập hợp gồm các số nguyên lẻ. + \item Tập hợp $S = \{ 1 \}$ gồm một phần tử có đúng một phân hoạch là $\{ 1 \}$. Tổng quát hơn, mọi tập hợp khác rỗng đều nhận chính nó làm một phân hoạch với họ gồm đúng một tập hợp. + \item Tập hợp $S = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$ được phân hoạch thành họ gồm năm tập hợp $\{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 3 \}, \{ 4 \}, \{ 5 \}$, hoặc thành họ gồm hai tập hợp $\{ 1, 2 \}, \{ 3, 4, 5 \}$. Ví dụ này cho thấy phân hoạch của một tập hợp khác rỗng có thể là không duy nhất. Bạn đọc có thể chứng minh một tập hợp khác rỗng với nhiều hơn một phần tử sẽ có nhiều hơn một phân hoạch. + \item Tập hợp các số nguyên có thể được phân hoạch thành họ gồm hai tập hợp: tập hợp gồm các số nguyên chẵn và tập hợp gồm các số nguyên lẻ. \end{itemize} Trong Chương~\ref{chapter:relations-and-mappings}, chúng ta sẽ quay trở lại với khái niệm phân hoạch khi bàn về quan hệ tương đương. @@ -611,51 +613,51 @@ \subsection{Bài tập} \setcounter{exercise}{0} \begin{exercise}\label{set-operations:exercise1} - Cho ba tập hợp $A, B, C$ gồm hữu hạn phần tử. Kí hiệu $\card{A}$ là số lượng phần tử của tập hợp $A$. Chứng minh rằng - \begin{enumerate}[label={(\alph*)}] - \item $\card{A\cup B} = \card{A} + \card{B} - \card{A\cap B}$. - \item $\card{A\cup B\cup C} = \card{A} + \card{B} + \card{C} - \card{A\cap B} - \card{B\cap C} - \card{C\cap A} + \card{A\cap B\cap C}$ [Gợi ý: Áp dụng phần (a)] - \end{enumerate} + Cho ba tập hợp $A, B, C$ gồm hữu hạn phần tử. Kí hiệu $\card{A}$ là số lượng phần tử của tập hợp $A$. Chứng minh rằng + \begin{enumerate}[label={(\alph*)}] + \item $\card{A\cup B} = \card{A} + \card{B} - \card{A\cap B}$. + \item $\card{A\cup B\cup C} = \card{A} + \card{B} + \card{C} - \card{A\cap B} - \card{B\cap C} - \card{C\cap A} + \card{A\cap B\cap C}$ [Gợi ý: Áp dụng phần (a)] + \end{enumerate} - Bạn đọc hãy đưa ra một tổng quát (không cần chứng minh) cho hai công thức trên (cho nhiều tập hợp thay vì hai, hay ba tập hợp). + Bạn đọc hãy đưa ra một tổng quát (không cần chứng minh) cho hai công thức trên (cho nhiều tập hợp thay vì hai, hay ba tập hợp). \end{exercise} \begin{exercise}\label{set-operations:exercise2} - Cho ba tập hợp $A, B, C$. Chứng minh rằng - \begin{equation*} - \begin{split} - A \setminus (B\cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C), \\ - A \setminus (B\cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). - \end{split} - \end{equation*} + Cho ba tập hợp $A, B, C$. Chứng minh rằng + \begin{equation*} + \begin{split} + A \setminus (B\cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C), \\ + A \setminus (B\cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). + \end{split} + \end{equation*} \end{exercise} \begin{exercise}\label{set-operations:exercise3} - Hãy đưa ra một chứng minh trực tiếp cho công thức thứ hai trong Định lý~\ref{theorem:de-morgan-formula}. + Hãy đưa ra một chứng minh trực tiếp cho công thức thứ hai trong Định lý~\ref{theorem:de-morgan-formula}. \end{exercise} \begin{exercise}\label{set-operations:exercise4} - Công thức De Morgan có thể được viết dưới dạng khác, sử dụng phép toán hiệu hai tập hợp thay vì lấy phần bù. Cụ thể là - \begin{equation*} - \begin{split} - A \setminus \bigcup_{i\in I}A_{i} = \bigcap_{i\in I}{(A \setminus A_{i})}, \\ - A \setminus \bigcap_{i\in I}A_{i} = \bigcup_{i\in I}{(A \setminus A_{i})}. - \end{split} - \end{equation*} - - Chứng minh hai công thức trên. [Gợi ý: Tham khảo cách chứng minh của công thức De Morgan ban đầu và Bài tập~\ref{set-operations:exercise2}] + Công thức De Morgan\index{Công thức De Morgan} có thể được viết dưới dạng khác, sử dụng phép toán hiệu hai tập hợp thay vì lấy phần bù. Cụ thể là + \begin{equation*} + \begin{split} + A \setminus \bigcup_{i\in I}A_{i} = \bigcap_{i\in I}{(A \setminus A_{i})}, \\ + A \setminus \bigcap_{i\in I}A_{i} = \bigcup_{i\in I}{(A \setminus A_{i})}. + \end{split} + \end{equation*} + + Chứng minh hai công thức trên. [Gợi ý: Tham khảo cách chứng minh của công thức De Morgan ban đầu và Bài tập~\ref{set-operations:exercise2}] \end{exercise} \begin{exercise}\label{set-operations:exercise5} - Trong ví dụ, chúng ta đã phân hoạch tập hợp các số nguyên thành một họ gồm tập hợp các số nguyên lẻ và tập hợp gồm các số nguyên chẵn. Hãy đưa ra một phân hoạch là một họ 3 tập hợp cho tập hợp số nguyên. Tương tự, hãy phân hoạch tập hợp số nguyên thành một họ $n$ tập hợp với $n\geq 2$. + Trong ví dụ, chúng ta đã phân hoạch tập hợp các số nguyên thành một họ gồm tập hợp các số nguyên lẻ và tập hợp gồm các số nguyên chẵn. Hãy đưa ra một phân hoạch là một họ 3 tập hợp cho tập hợp số nguyên. Tương tự, hãy phân hoạch tập hợp số nguyên thành một họ $n$ tập hợp với $n\geq 2$. \end{exercise} \begin{exercise}\label{set-operations:exercise6} - Chứng minh rằng mọi tập hợp khác rỗng đều có thể được phân hoạch bởi một họ các tập hợp mà mỗi tập hợp trong họ đó gồm đúng một phần tử. [Gợi ý: Lưu ý rằng tập hợp đã cho có thể có vô hạn phần tử. Hãy chọn tập hợp chỉ số là chính tập hợp khác rỗng được cho ban đầu.] + Chứng minh rằng mọi tập hợp khác rỗng đều có thể được phân hoạch bởi một họ các tập hợp mà mỗi tập hợp trong họ đó gồm đúng một phần tử. [Gợi ý: Lưu ý rằng tập hợp đã cho có thể có vô hạn phần tử. Hãy chọn tập hợp chỉ số là chính tập hợp khác rỗng được cho ban đầu.] \end{exercise} Kết quả từ Bài tập~\ref{set-operations:exercise6} khá đơn giản, thậm chí có thể xem là hiển nhiên, nhưng lại tỏ ra hữu ích trong một số bài toán. Bản thân tác giả đã dùng đến kết quả này khi học topology điểm và lý thuyết nhóm. \begin{exercise}\label{set-operations:exercise7} - Cho tập hợp $S$ khác rỗng được phân hoạch thành họ các tập hợp $A_{i}$ với $i\in I$ (tập hợp $I$ khác rỗng). Chứng minh rằng với mỗi phần tử thuộc $S$, tồn tại duy nhất $i\in I$ sao cho phần tử đó thuộc $A_{i}$. [Gợi ý: Chứng minh bằng phản chứng.] + Cho tập hợp $S$ khác rỗng được phân hoạch thành họ các tập hợp $A_{i}$ với $i\in I$ (tập hợp $I$ khác rỗng). Chứng minh rằng với mỗi phần tử thuộc $S$, tồn tại duy nhất $i\in I$ sao cho phần tử đó thuộc $A_{i}$. [Gợi ý: Chứng minh bằng phản chứng.] \end{exercise} diff --git a/set-theory/chapter3.tex b/set-theory/chapter3.tex index 68d215c..fd67824 100644 --- a/set-theory/chapter3.tex +++ b/set-theory/chapter3.tex @@ -329,7 +329,7 @@ \subsection{Các phép toán và quan hệ thứ tự trên tập hợp số ngu \end{itemize} \end{definition} -Trong định nghĩa trên, chúng ta lấy định nghĩa phép nhân hai số nguyên không âm làm cơ sở để định nghĩa phép nhân hai số nguyên trong các trường hợp khác. Có một câu hỏi muôn thuở mà nhiều người học toán luôn đặt ra: ``Tại sao tích của hai số nguyên âm lại là một số nguyên dương?'' Đó là bởi định nghĩa như vậy giúp phép cộng và phép nhân số nguyên có được các tính chất mong muốn --- chẳng hạn tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng số nguyên. +Trong định nghĩa trên, chúng ta lấy định nghĩa phép nhân hai số nguyên không âm làm cơ sở để định nghĩa phép nhân hai số nguyên trong các trường hợp khác. Có một câu hỏi muôn thuở mà nhiều người học toán luôn đặt ra: ``Tại sao tích của hai số nguyên âm lại là một số nguyên dương?\@'' Đó là bởi định nghĩa như vậy giúp phép cộng và phép nhân số nguyên có được các tính chất mong muốn --- chẳng hạn tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng số nguyên. Định lý ngay dưới đây là hệ quả trực tiếp từ định nghĩa phép nhân số nguyên. \begin{theorem} @@ -542,7 +542,7 @@ \subsection{Nguyên lý thứ tự tốt} Chúng ta kí hiệu $S$ là một tập hợp được sắp thứ tự toàn phần và có $(k+1)$ phần tử. Chúng ta chọn ra một phần tử $x$ bất kì của $S$ thì $S \setminus \{x\}$ có $k$ phần tử. Theo giả thiết quy nạp, $S \setminus \{x\}$ có phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất. \begin{itemize} \item Nếu $x$ nhỏ hơn phần tử nhỏ nhất của $S \setminus \{x\}$ thì $x$ là phần tử nhỏ nhất của $S$. Ngược lại, phần tử nhỏ nhất của $S \setminus \{x\}$ cũng là phần tử nhỏ nhất của $S$. - \item Nếu $x$ lớn hơn phần tử lớn nhất của $S \setminus\{x\}$ thì $x$ là phần tử lớn nhất của $S$. Ngược lại, phần tử lớn nhất của $S \setminus \{x\}$ cũng là phần tử lớn nhất của $S$. + \item Nếu $x$ lớn hơn phần tử lớn nhất của $S \setminus \{x\}$ thì $x$ là phần tử lớn nhất của $S$. Ngược lại, phần tử lớn nhất của $S \setminus \{x\}$ cũng là phần tử lớn nhất của $S$. \end{itemize} Theo nguyên lý quy nạp toán học, tập hợp khác rỗng được sắp thứ tự toàn phần và có hữu hạn phần tử thì tập hợp đó có phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất. @@ -590,7 +590,7 @@ \subsection{Bài tập} \end{exercise} \begin{exercise}\label{exercise:well-ordered-set} - Một tập hợp được sắp thứ tự toàn phần được gọi là \textit{tập hợp được sắp thứ tự tốt} khi và chỉ khi mỗi tập hợp con khác rỗng của tập hợp đó đều có phần tử nhỏ nhất. Chứng minh rằng + Một tập hợp được sắp thứ tự toàn phần được gọi là \textit{tập hợp được sắp thứ tự tốt\index{Tập hợp được sắp thứ tự tốt}} khi và chỉ khi mỗi tập hợp con khác rỗng của tập hợp đó đều có phần tử nhỏ nhất. Chứng minh rằng \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] \item Tập hợp số tự nhiên (với quan hệ thứ tự thông thường) được sắp thứ tự tốt. \item Tập hợp số nguyên (với quan hệ thứ tự thông thường) không phải tập hợp được sắp thứ tự tốt. diff --git a/set-theory/chapter4.tex b/set-theory/chapter4.tex index 2b17b3f..3b8e44b 100644 --- a/set-theory/chapter4.tex +++ b/set-theory/chapter4.tex @@ -575,7 +575,7 @@ \subsection{Thuộc tính Archimedes} \begin{proof} Theo thuộc tính Archimedes, tồn tại số nguyên $n$ sao cho $1 < n(y - x)$. Do đó $1 + nx < ny$. Theo định nghĩa phần nguyên của số thực, chúng ta có $nx < \floor{nx} + 1 \leq nx + 1 < ny$. - Do đó, với số nguyên $m = \floor{nx} + 1$, chúng ta có $nx < m < ny$. Bên cạnh đó, vì $y - x > 0$ và $n > 0$ nên $1 < n(y - x)$ kéo theo $n > 0$. Do đó $x < \frac{m}{n} < y$. + Do đó, với số nguyên $m = \floor{nx} + 1$, chúng ta có $nx < m < ny$. Bên cạnh đó, vì $y - x > 0$ và $n(y - x) > 1 > 0$ nên $n > 0$. Do đó $x < \frac{m}{n} < y$. Vậy, với mọi số thực $x, y$ sao cho $x < y$, tồn tại số hữu tỉ $q$ sao cho $x < q < y$. \end{proof} @@ -658,7 +658,7 @@ \subsection{Bài tập} \end{exercise} \begin{exercise}[Nguyên lý Cantor về các khoảng đóng lồng nhau] - Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$. Giả sử với mỗi số nguyên dương $n$, có $I_{n} \supseteq I_{n+1}$. + Với mỗi số nguyên dương $n$, chúng ta định nghĩa $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$. Giả sử với mỗi số nguyên dương $n$, có $I_{n} \supseteq I_{n+1}$. \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] \item Chứng minh rằng tập hợp các số thực $a_{n}$ có cận trên nhỏ nhất (chúng ta sẽ kí hiệu là $a$), và tập hợp các số thực $b_{n}$ có cận dưới lớn nhất (chúng ta sẽ kí hiệu là $b$). \item Chứng minh rằng giao của tất cả các khoảng đóng $I_{n}$ khác rỗng. @@ -666,18 +666,10 @@ \subsection{Bài tập} \end{enumerate} \end{exercise} -Thực tế, trong nguyên lý Cantor, điều kiện $a = b$ được thay bởi điều kiện tương đương là $\lim (a_{n} - b_{n}) = 0$. Nguyên lý Cantor cho thấy giao của dãy các khoảng đóng lồng nhau khác rỗng, tuy nhiên điều này không còn đúng nếu chúng ta thay khoảng đóng bởi khoảng mở. Hai bài tập dưới đây cung cấp ví dụ và phản ví dụ cho nhận định này. +Thực tế, trong phát biểu của nguyên lý Cantor, điều kiện $a = b$ được thay bởi điều kiện tương đương là $\lim (a_{n} - b_{n}) = 0$. Nguyên lý Cantor cho thấy giao của dãy các khoảng đóng lồng nhau khác rỗng. Tuy nhiên điều này không còn đúng nếu chúng ta thay khoảng đóng bởi khoảng mở. Hai bài tập dưới đây làm rõ nhận định này. \begin{exercise} - Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n} = (0, \frac{1}{n})$. Chứng minh rằng - \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] - \item Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n}\supset I_{n+1}$. - \item Giao của tất cả các khoảng mở $I_{n}$ là tập hợp rỗng. - \end{enumerate} -\end{exercise} - -\begin{exercise} - Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n} = (0, \frac{1}{n})$. Chứng minh rằng + Với mỗi số nguyên dương $n$, chúng ta định nghĩa $I_{n} = (0, \frac{1}{n})$. Chứng minh rằng \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] \item Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n}\supset I_{n+1}$. \item Giao của tất cả các khoảng mở $I_{n}$ là tập hợp rỗng. @@ -706,7 +698,7 @@ \section{Số phức} \subsection{Xây dựng tập hợp số phức} -Không tồn tại số thực nào có bình phương bằng $-1$. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã được giới thiệu khái niệm đơn vị ảo $\imath$ (thỏa mãn $\imath^{2} = -1$) và tập hợp số phức. Tuy nhiên cách tiếp cận đó không thỏa đáng. Bởi nếu tiếp cận như vậy. $\imath$ có nguồn gốc không rõ ràng, hay chúng ta không trả lời được $\imath$ với cách tiếp cận đó. Để khắc phục điều này, số phức và tập hợp số phức được định nghĩa như sau. +Không tồn tại số thực nào có bình phương bằng $-1$. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã được giới thiệu khái niệm đơn vị ảo $\imath$ (thỏa mãn $\imath^{2} = -1$) và tập hợp số phức. Tuy nhiên cách tiếp cận đó không thỏa đáng. Bởi với cách tiếp cận như vậy, $\imath$ có nguồn gốc không rõ ràng, hay chúng ta không trả lời được $\imath$ là gì, hay số phức là gì với cách tiếp cận đó. Để khắc phục điều này, số phức và tập hợp số phức được định nghĩa như sau. \begin{definition} Tập hợp số phức\index{Số phức} là tập hợp gồm tất cả các cặp (có thứ tự) số thực. Tập hợp số phức được kí hiệu là $\mathbb{C}$. \end{definition} @@ -726,19 +718,18 @@ \subsection{Xây dựng tập hợp số phức} Ánh xạ $\iota: \mathbb{R}\to \mathbb{C}$, với $\iota(x) = (x, 0)$ là một đơn ánh. Đơn ánh này bảo toàn phép cộng và phép nhân, nói cách khác, $\iota(x, y) = \iota(x) + \iota(y)$ và $\iota(xy) = \iota(x)\iota(y)$. \end{proposition} -Phép nhân số phức được định nghĩa như trên sẽ đảm bảo\footnote{Có thể đây không phải cách duy nhất, nhưng chúng ta chỉ quan tâm đến phép nhân số phức theo định nghĩa này.} rằng phép nhân số phức có tính chất phân phối với phép cộng số phức. Thay cho kí hiệu $(a, b)$, chúng ta viết $a + b\imath$ hoặc $a + \imath b$ và \textit{đồng nhất} số thực $a$ với $(a, 0)$ (Mệnh đề trên là cơ sở cho việc đồng nhất này). Áp dụng kí hiệu này và định nghĩa phép nhân số phức, chúng ta thu được +Phép nhân số phức được định nghĩa như trên sẽ đảm bảo\footnote{Có thể đây không phải cách duy nhất, nhưng chúng ta chỉ quan tâm đến phép nhân số phức theo định nghĩa này.} rằng phép nhân số phức có tính chất phân phối với phép cộng số phức. Chúng ta \textit{đồng nhất} số thực $a$ với $(a, 0)$ (Mệnh đề trên là cơ sở cho việc đồng nhất này). Áp dụng kí hiệu này và định nghĩa phép nhân số phức, chúng ta thu được \[ \begin{split} - a + b\imath & = (a, b) \\ - & = (a, 0) + (0, b), \\ - {(0 + 1\imath)}^{2} & = {(0, 1)}^{2} \\ - & = (0\cdot 0 - 1\cdot 1, 1\cdot 0 + 1\cdot 0) \\ + (a, b) & = (a, 0) + (0, b), \\ + a(b, c) & = (a, 0)(b, c) = (ab, ac), \\ + {(0, 1)}^{2} & = (0\cdot 0 - 1\cdot 1, 1\cdot 0 + 1\cdot 0) \\ & = (-1, 0) \\ & = -1. \end{split} \] -Bên cạnh đó, thay cho cách viết $0 + b\imath$, chúng ta viết $b\imath$. Cùng với các đẳng thức trên, chúng ta suy ra $\imath^{2} = -1$. +trong đó $a$, $b$, $c$ là các số thực. Các kết quả trên đây là cơ sở để chúng ta định nghĩa $\imath = (0, 1)$. Cũng từ các kết quả này, thay cho cách viết $(a, b)$, chúng ta viết $a + b\imath$ hoặc $a + \imath b$. Nói riêng, khi $a = 0$, chúng ta viết $b\imath$ hoặc $\imath b$ thay vì $0 + b\imath$. \begin{theorem} Hai số phức $a + b\imath$ và $c + d\imath$ bằng nhau khi và chỉ khi $a = c$, $b = d$. @@ -751,9 +742,9 @@ \subsection{Xây dựng tập hợp số phức} \item Việc mở rộng tập hợp số hữu tỉ thành tập hợp số thực là một quá trình đầy đủ hóa, để cho mọi tập hợp con khác rỗng và bị chặn trên đều có cận trên nhỏ nhất. \end{itemize} -Song hành với mỗi tập hợp số là các phép toán và quan hệ. Những hạn chế của các phép toán hay quan hệ là động lực để mở rộng tập hợp số đã có thành tập hợp số rộng hơn, khắc phục hạn chế của tập hợp số trước. Qua định nghĩa của các tập hợp số, cũng như các phép toán, quan hệ trên chúng, có thể đưa ra nhận định rằng: Chính các phép toán, quan hệ và các tính chất của chúng là những điều quyết định chúng ta nên định nghĩa các tập hợp số như thế nào. +Song hành với mỗi tập hợp số là các phép toán và quan hệ. Những hạn chế của các phép toán hay quan hệ là động lực để mở rộng tập hợp số đã có thành tập hợp số rộng hơn, khắc phục hạn chế của tập hợp số trước. Trong tài liệu này, bạn đọc có thể thấy việc định nghĩa các tập hợp số, cũng như các phép toán và quan hệ trên chúng có thể không được tự nhiên. Đó là bởi chúng ta đang sử dụng phương pháp tiên đề nhằm tổ chức lại một cách chặt chẽ cho hệ thống lý thuyết với các định nghĩa và định lý, và phương pháp tiên đề được thực hiện sau cùng --- Khi mà hệ thống lý thuyết được xem là đã chín muồi. Bên cạnh đó, với các tập hợp số, điều mà những người học và làm toán quan tâm là các số đó (cùng các phép toán, quan hệ) có những tính chất gì. Qua định nghĩa của các tập hợp số, cũng như các phép toán, quan hệ trên chúng, có thể đưa ra nhận định rằng: Chính các phép toán, quan hệ và các tính chất của chúng là những điều quyết định chúng ta nên định nghĩa các tập hợp số như thế nào. -\begin{theorem}[Trường số phức] +\begin{theorem}[Trường số phức]\label{theorem:field-of-complex-numbers} Tập hợp số phức với phép toán cộng và nhân là một trường. Nói cách khác \begin{enumerate}[label={(F\arabic*)}] \item Phép cộng có tính chất kết hợp. Nói cách khác, với mọi số phức $z_{1}, z_{2}, z_{3}$, chúng ta có @@ -883,7 +874,7 @@ \subsection{Phần thực, phần ảo, liên hợp và dạng lượng giác c hay nói cách khác là bất cứ số thực nào đồng dư modulo $2\pi$ với $\arg{(z)}$. -Với dạng lượng giác của số phức, việc thực hiện phép nhân, và lũy thừa trở nên dễ dàng bằng định lý sau. +Với dạng lượng giác của số phức, việc thực hiện phép nhân, và lũy thừa trở nên dễ dàng. \begin{theorem} \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] \item Với mỗi số phức $z_{1} = \abs{z_{1}}(\cos(\phi_{1}) + \imath\sin(\phi_{1}))$ và $z_{2} = \abs{z_{2}}(\cos(\phi_{2}) + \imath\sin(\phi_{2}))$, chúng ta có @@ -943,7 +934,7 @@ \subsection{Biểu diễn hình học của số phức} \begin{figure}[htp] \centering - \begin{tikzpicture}[>=Stealth,scale=2.0] + \begin{tikzpicture}[>=Stealth,scale=1.5] \draw[help lines, color=gray!30, dashed,step=0.5cm] (-1.9,-1.9) grid (1.9,1.9); \node[label={[label distance=-2mm]135:$O$}] at (0,0) {}; @@ -977,12 +968,12 @@ \subsection{Biểu diễn hình học của số phức} trong đó $\phi = \arg{(z)}$. -Với mặt phẳng phức, các thuộc tính của số phức $z$ mang các ý nghĩa hình học. Độ lớn của số phức $z$ chính là khoảng cách từ điểm $z$ đến gốc tọa độ $O$. Phần thực của $z$ là hoành độ của điểm $z$, phần ảo của $z$ là tung độ của điểm $z$. Điểm $\overline{z}$ biểu diễn cho số phức liên hợp của $z$ là điểm đối xứng với $z$ qua trục thực. Argument của $z$ là số đo của góc định hướng $(Ox, Oz)$ với tia đầu là tia $Ox$, tia cuối là tia $Oz$. +Thông qua mặt phẳng phức, các thuộc tính của số phức $z$ được gán cho các ý nghĩa hình học. Độ lớn của số phức $z$ chính là khoảng cách từ điểm $z$ đến gốc tọa độ $O$. Phần thực của $z$ là hoành độ của điểm $z$, phần ảo của $z$ là tung độ của điểm $z$. Điểm $\overline{z}$ biểu diễn cho số phức liên hợp của $z$ là điểm đối xứng với $z$ qua trục thực. Argument của $z$ là số đo của góc định hướng $(Ox, Oz)$ với tia đầu là tia $Ox$, tia cuối là tia $Oz$. Phép cộng hai số phức tương ứng với phép cộng vector (Xem Hình~\ref{fig:complex-addition}.) \begin{figure}[htp] \centering - \begin{tikzpicture}[>=Stealth,scale=2.0] + \begin{tikzpicture}[>=Stealth,scale=1.5] \draw[help lines, color=gray!30, dashed,step=0.5cm] (-1.4,-1.4) grid (1.4,1.4); \coordinate (Z1) at (1,0.8); @@ -1006,12 +997,18 @@ \subsection{Biểu diễn hình học của số phức} \caption{Phép cộng hai số phức.}\label{fig:complex-addition} \end{figure} -Phép nhân một số phức $z_{0}$ với số phức $z\ne 0$ tương ứng với một phép vị tự-quay (Xem Hình~\ref{fig:complex-multiplication}) +Phép nhân một số phức $z_{0}$ với số phức $z\ne 0$ tương ứng với một phép vị tự-quay $f$. Bằng kí hiệu ánh xạ, chúng ta viết +\begin{align*} + f:\quad & \mathbb{C} \to \mathbb{C} \\ + & z \mapsto z_{0}z +\end{align*} + +Bạn đọc xem Hình~\ref{fig:complex-multiplication}. Phép vị tự-quay này là hợp thành của phép quay tâm $O$ góc $\theta\equiv \arg{(z_{0})} \pmod{2\pi}$ và phép vị tự tâm $O$ tỉ số $\abs{z_{0}}$. \begin{figure}[htp] \centering - \begin{tikzpicture}[>=Stealth,scale=2.0] - \draw[help lines, color=gray!30, dashed,step=0.5cm] (-1.5,-1.5) grid (2.0,2.0); + \begin{tikzpicture}[>=Stealth,scale=1.5] + \draw[help lines, color=gray!30, dashed,step=0.5cm] (-2.0,-2.0) grid (2.0,2.0); \coordinate (X) at (1,0); \coordinate (Z1) at ({1.2*cos(50)},{1.2*sin(50)}); @@ -1037,7 +1034,7 @@ \subsection{Biểu diễn hình học của số phức} \caption{Phép nhân hai số phức.}\label{fig:complex-multiplication} \end{figure} -Biểu diễn hình học của các căn bậc $n$ của một số phức khác không cho trước là $n$ điểm. $n$ điểm này thuộc đường tròn đơn vị và là $n$ đỉnh của một $n$-giác đều với tâm là gốc tọa độ (Xem Hình~\ref{fig:5throot-of-unity}.) +Biểu diễn hình học của các căn bậc $n$ của một số phức $z$ khác không cho trước là $n$ điểm. $n$ điểm này thuộc đường tròn với tâm là gốc tọa độ, bán kính $\abs{z}$. Khi $n\geq 3$, $n$ điểm này còn là $n$ đỉnh của một $n$-giác đều với tâm là gốc tọa độ (Xem Hình~\ref{fig:5throot-of-unity}.) \begin{figure}[htp] \centering @@ -1062,6 +1059,10 @@ \subsection{Biểu diễn hình học của số phức} \subsection{Bài tập} +\begin{exercise} + Chứng minh Định lý~\ref{theorem:field-of-complex-numbers}. +\end{exercise} + \begin{exercise} Cho $z$ là một số phức nhưng không phải số thực. Chứng minh rằng $\mathbb{C} = \{ a + bz \mid a\in\mathbb{R}, b\in\mathbb{R} \}$. \end{exercise} @@ -1101,7 +1102,7 @@ \subsection{Bài tập} \begin{exercise}[Căn nguyên thủy] $n$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng trong $U_{n}$, tồn tại phần tử mà mọi phần tử khác đều là lũy thừa của phần tử đó. - Phần tử như vậy được gọi là căn bậc $n$ nguyên thủy. Chứng minh rằng $\zeta_{k}$ là một căn bậc $n$ nguyên thủy khi và chỉ khi $n$ và $k$ nguyên tố cùng nhau. + Phần tử như vậy được gọi là căn bậc $n$ nguyên thủy của đơn vị\index{Căn bậc $n$ nguyên thủy của đơn vị}. Chứng minh rằng $\zeta_{k}$ là một căn bậc $n$ nguyên thủy khi và chỉ khi $n$ và $k$ nguyên tố cùng nhau. \end{exercise} \begin{exercise} @@ -1144,4 +1145,4 @@ \subsection{Bài tập} \end{enumerate} \end{exercise} -Trong chương này, cách định nghĩa số phức như một cặp số thực, và định nghĩa quaternion như một cặp số phức là một phần của \textbf{phép dựng Cayley-Dickson}. Phép dựng này được sử dụng để tạo ra các tập hợp số rộng hơn, chẳng hạn như octonion (số bộ 8), sedenion (số bộ 16), trigintaduonion (số bộ 32), \ldots Nói chung, càng tiếp tục mở rộng với phép dựng Cayley-Dickson, tập hợp số mới sẽ mất đi tính chất nào đó: tập hợp số phức không được sắp thứ tự hoàn toàn (xem Bài tập~\ref{example:lost-of-total-ordering-on-C}), phép nhân quaternion không có tính chất giao hoán, phép nhân octonion không có tính chất kết hợp, \ldots +Trong chương này, cách định nghĩa số phức như một cặp số thực, cách định nghĩa quaternion như một cặp số phức là một phần của \textbf{phép dựng Cayley-Dickson}. Phép dựng này tiếp tục được sử dụng để tạo ra các tập hợp số rộng hơn, chẳng hạn như octonion (số bộ 8), sedenion (số bộ 16), trigintaduonion (số bộ 32), \ldots Nói chung, càng tiếp tục mở rộng với phép dựng Cayley-Dickson, tập hợp số mới sẽ mất đi tính chất nào đó: tập hợp số phức không được sắp thứ tự hoàn toàn (xem Bài tập~\ref{example:lost-of-total-ordering-on-C}), phép nhân quaternion không có tính chất giao hoán, phép nhân octonion không có tính chất kết hợp, \ldots From ac9a2f6b0df2fa20d6a47752165ef8b294f9718a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: duong755 Date: Mon, 30 Oct 2023 23:49:47 +0700 Subject: [PATCH 9/9] fix(set-theory): chapter 1, remove an example --- set-theory/chapter1.tex | 60 +++++++++++++++-------------------------- 1 file changed, 22 insertions(+), 38 deletions(-) diff --git a/set-theory/chapter1.tex b/set-theory/chapter1.tex index 6edfa12..53e041b 100644 --- a/set-theory/chapter1.tex +++ b/set-theory/chapter1.tex @@ -172,13 +172,13 @@ \subsection{Tập hợp} Một tập hợp có thể không có phần tử nào (tập hợp rỗng), khác rỗng và có hữu hạn phần tử, hoặc có vô hạn phần tử. Để xác định một tập hợp, chúng ta có thể liệt kê tất cả các phần tử nếu tập hợp đó có hữu hạn phần tử hoặc các phần tử đó tuân theo một quy luật dễ đoán nào đó, chẳng hạn \begin{itemize} \item Tập hợp $S$ gồm các nghiệm thực của phương trình $x^{2} - 4x + 3 = 0$ - \[ - S = \{ 1, 3 \}. - \] + \[ + S = \{ 1, 3 \}. + \] \item Tập hợp $E$ gồm các số nguyên chia hết cho $3$ - \[ - E = \{ \ldots, -6, -3, 0, 3, 6, \ldots \}. - \] + \[ + E = \{ \ldots, -6, -3, 0, 3, 6, \ldots \}. + \] \end{itemize} Trong toán học, chúng ta thường xuyên làm việc với các tập hợp số. Những tập hợp này được kí hiệu bằng các chữ cái rỗng: $\mathbb{N}$ (tập hợp các số tự nhiên), $\mathbb{Z}$ (tập hợp các số nguyên), $\mathbb{Z}_{\geq 0}$ (tập hợp các số nguyên không âm), $\mathbb{Q}$ (tập hợp các số hữu tỉ), $\mathbb{R}$ (tập hợp các số thực). Trong các chương sau, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết hơn về các tập hợp này. @@ -296,20 +296,20 @@ \subsection{Lượng hóa} Tình huống tương tự cũng xảy ra khi chúng ta cần đưa ra lớp các mệnh đề về một tập hợp các đối tượng: Cho trước tập hợp $S$ và một vị từ $p$ (áp dụng lên các phần tử của $x$), chúng ta muốn biết liệu $p(x)$ đúng hay sai, với $x$ là phần tử của $S$. Khi trả lời câu hỏi đó, chúng ta thường gặp các trường hợp sau đây: \begin{enumerate}[label={(\roman*)}] \item Có ít nhất một phần tử $x$ của $S$ sao cho có $p(x)$. Khi đó chúng ta kí hiệu - \[ - \exists x\in S\; p(x)\qquad\text{hay}\qquad \exists x\in S\; (p(x))\qquad\text{hay}\qquad \exists x\in S: p(x) - \] - - hoặc chỉ ngắn gọn là $\exists x (p(x))$ nếu ngữ cảnh đã nêu rõ $x$ thuộc tập hợp nào. Thay vì kí hiệu trên, chúng ta nói \textbf{tồn tại $x$ thuộc $S$ sao cho có $p(x)$}. Nói riêng, khi tồn tại $x\in S$ thỏa mãn $p(x)$, chúng ta thường đặt ra thêm câu hỏi về tính duy nhất của phần tử như vậy. Nếu đó là phần tử duy nhất thỏa mãn điều kiện đó, chúng ta kí hiệu - \[ - \exists! x\in S\; p(x)\qquad\text{hay}\qquad \exists! x\in S\; (p(x))\qquad\text{hay}\qquad \exists! x\in S: p(x) - \] + \[ + \exists x\in S\; p(x)\qquad\text{hay}\qquad \exists x\in S\; (p(x))\qquad\text{hay}\qquad \exists x\in S: p(x) + \] + + hoặc chỉ ngắn gọn là $\exists x (p(x))$ nếu ngữ cảnh đã nêu rõ $x$ thuộc tập hợp nào. Thay vì kí hiệu trên, chúng ta nói \textbf{tồn tại $x$ thuộc $S$ sao cho có $p(x)$}. Nói riêng, khi tồn tại $x\in S$ thỏa mãn $p(x)$, chúng ta thường đặt ra thêm câu hỏi về tính duy nhất của phần tử như vậy. Nếu đó là phần tử duy nhất thỏa mãn điều kiện đó, chúng ta kí hiệu + \[ + \exists! x\in S\; p(x)\qquad\text{hay}\qquad \exists! x\in S\; (p(x))\qquad\text{hay}\qquad \exists! x\in S: p(x) + \] \item Mọi phần tử $x$ của $S$ đều làm cho $p(x)$ đúng. Khi đó chúng ta kí hiệu - \[ - \forall x\in S\; p(x)\qquad\text{hay}\qquad \forall x\in S\; (p(x))\qquad\text{hay}\qquad \forall x\in S: p(x) - \] + \[ + \forall x\in S\; p(x)\qquad\text{hay}\qquad \forall x\in S\; (p(x))\qquad\text{hay}\qquad \forall x\in S: p(x) + \] - hoặc chỉ ngắn gọn là $\forall x (p(x))$ nếu ngữ cảnh đã nêu rõ $x$ thuộc tập hợp nào. Thay cho kí hiệu, chúng ta còn nói \textbf{với mọi $x$ thuộc $S$, có $p(x)$}, hay \textbf{với mỗi $x$ thuộc $S$, có $p(x)$}. + hoặc chỉ ngắn gọn là $\forall x (p(x))$ nếu ngữ cảnh đã nêu rõ $x$ thuộc tập hợp nào. Thay cho kí hiệu, chúng ta còn nói \textbf{với mọi $x$ thuộc $S$, có $p(x)$}, hay \textbf{với mỗi $x$ thuộc $S$, có $p(x)$}. \end{enumerate} Hành động đưa ra các mệnh đề như trên được gọi là \textbf{lượng hóa\index{Lượng hóa}}. $\exists, \forall$ được gọi là những lượng hóa, hay lượng từ. $\exists$ được gọi là lượng hóa tồn tại\index{Lượng hóa tồn tại}, $\forall$ được gọi là lượng hóa phổ cập\index{Lượng hóa phổ cập}. Về mặt kí hiệu, chúng ta sẽ linh hoạt kí hiệu lượng hóa theo một trong các lối viết là $\exists x\in S\; p(x)$, $\exists x\in S (p(x))$ và $\exists x\in S: p(x)$. Lối viết thứ ba đơn giản nhưng phù hợp hơn với mệnh đề chỉ gồm một lượng từ. Trong khi đó, lối viết thứ hai tuy phức tạp hơn nhưng giúp kí hiệu không nhập nhằng khi mệnh đề có nhiều lượng từ. Trong tài liệu này, trừ chương hiện tại, khi áp dụng lượng hóa, chúng ta ưu tiên dùng các câu văn hoàn chỉnh. @@ -326,11 +326,11 @@ \subsection{Lượng hóa} Thay cho câu ``với mọi $x$, với mọi $y$, có $p(x, y)$'', chúng ta kí hiệu $\forall x\forall y : p(x, y)$. Thay cho câu ``với mọi $x$, tồn tại $y$ sao cho có $p(x, y)$'', chúng ta kí hiệu $\forall x \exists y : p(x,y)$. Thay cho câu ``tồn tại $x$ sao cho với mọi $y$, có $p(x, y)$'', chúng ta kí hiệu $\exists x \forall y : p(x, y)$. Bây giờ, chúng ta quan tâm tới việc phát biểu mệnh đề phủ định ở ba ví dụ trên. Bằng cách áp dụng liên tiếp hai nguyên lý nêu trên hai lần, chúng ta thu được \begin{align*} \neg(\forall x \forall y (p(x, y))) & \Leftrightarrow \exists x (\neg(\forall y (p(x, y)))) \\ - & \Leftrightarrow \exists x (\exists y (\neg p(x, y))), \\ + & \Leftrightarrow \exists x (\exists y (\neg p(x, y))), \\ \neg(\forall x\exists y (p(x, y))) & \Leftrightarrow \exists x (\neg(\exists y (p(x, y)))) \\ - & \Leftrightarrow \exists x (\forall y (\neg p(x, y))), \\ + & \Leftrightarrow \exists x (\forall y (\neg p(x, y))), \\ \neg(\exists x\forall y (p(x, y))) & \Leftrightarrow \forall x (\neg(\forall y( p(x, y)))) \\ - & \Leftrightarrow \forall x (\exists y (\neg (p(x, y)))) + & \Leftrightarrow \forall x (\exists y (\neg (p(x, y)))) \end{align*} Qua ba ví dụ trên đây, chúng ta rút ra quy tắc khi viết phủ định của một mệnh đề gồm nhiều lượng hóa: đổi lượng hóa phổ cập sang lượng hóa tồn tại và ngược lại, rồi phủ định điều kiện giữa các biến. @@ -361,7 +361,7 @@ \subsection{Phương pháp quy nạp toán học} Từ tổng kết trên của phương pháp chứng minh bằng quy nạp toán học, bạn đọc có thể kiểm tra nhận xét sau: phương pháp trên vẫn áp dụng được cho trường hợp $n$ là số nguyên lớn hơn hoặc bằng một số nguyên $n_{0}$ cho trước, hoặc trường hợp $n$ là số nguyên lớn hơn hoặc bằng một số nguyên cho trước bằng cách thay đổi một chút ở Bước cơ sở. -Chúng ta đưa ra hai ví dụ về chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. +Chúng ta đưa ra ví dụ về chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. \begin{example} Chứng minh rằng tổng của các số tự nhiên lẻ liên tiếp bắt đầu từ $1$ là bình phương của một số tự nhiên. @@ -399,22 +399,6 @@ \subsection{Phương pháp quy nạp toán học} Theo nguyên lý quy nạp toán học, với mọi số nguyên dương $n$, có $\sum^{n}_{i=1}(2i - 1) = n^{2}$. Do đó, tổng của các số tự nhiên lẻ liên tiếp bắt đầu từ $1$ là bình phương của một số tự nhiên. \end{proof} -\begin{example} - Chứng minh rằng mỗi đa thức bậc $n$ với hệ số thực có không quá $n$ nghiệm. -\end{example} - -\begin{proof} - Với trường hợp $n = 1$, chúng ta xét đa thức $aX + b$ (trong đó $a\ne 0$). Phương trình $aX + b = 0$ chỉ có một nghiệm là $X = \frac{-b}{a}$. Do đó, mệnh đề đúng với $n = 1$. - - Giả sử rằng đa thức bậc $k$ có không quá $k$ nghiệm ($k\geq 1$). Chúng ta xét đa thức $f(X)$ có bậc $(k + 1)$. - - Nếu $f(X)$ không có nghiệm, chúng ta kết luận $f(X)$ có không quá $(k + 1)$ nghiệm (vì $0 \leq k + 1$). - - Nếu $f(X)$ có ít nhất một nghiệm là $X = a$, chúng ta thực hiện phép chia đa thức và lấy dư. Sau khi thực hiện phép chia, chúng ta thu được một đa thức $g(X)$ bậc $k$ (bậc của $g(X)$ = bậc của $f(X)$ trừ $1$) nào đó và số dư là một số thực $r$, chúng ta viết $f(X) = (X - a)g(x) + r$. Vì $f(a) = 0$ nên $r = 0$, dẫn đến $f(X) = (X - a)g(X)$. Theo giả thiết quy nạp, $g(X)$ có không quá $k$ nghiệm. Cùng với đẳng thức vừa thu được, chúng ta kết luận $f(X)$ có không quá $(k + 1)$ nghiệm. - - Theo nguyên lý quy nạp, mỗi đa thức bậc $n$ với hệ số thực có không quá $n$ nghiệm. -\end{proof} - Khi chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học, bước cơ sở và bước quy nạp đều là bắt buộc. Khi thiếu một trong hai bước, chúng ta gọi đó là \textit{quy nạp không hoàn toàn}. Việc bỏ qua một trong hai bước có thể dẫn đến một kết luận sai. Nhà toán học Fermat khi xem xét các số tự nhiên có dạng $2^{2^{n}} + 1$ đã nhận thấy rằng khi $n = 0, 1, 2, 3, 4$ thì số có dạng như vậy là số nguyên tố, và đi thẳng tới kết luận rằng mọi số tự nhiên có dạng đó là số nguyên tố. Về sau, nhà toán học Euler đã bác bỏ kết luận này sau khi chỉ ra $2^{2^{5}} + 1$ là hợp số với ước số là $641$. Cũng có khi việc sử dụng giả thiết quy nạp mà chỉ gồm đúng mệnh đề ``liền trước'' là không đủ. Khi đó, người ta có thể áp dụng một dạng khác của phương pháp quy nạp toán học, gọi là phương pháp quy nạp mạnh\index{Phương pháp quy nạp mạnh}. Với phương pháp này, giả thuyết quy nạp bao gồm toàn bộ các mệnh đề đi trước.