Permalink
Browse files

Finished Technische Dynamik

  • Loading branch information...
1 parent 8779074 commit 7c3dde06c5112b2fbe458ef81c4c9a7a6b7bfef7 @fphilipe committed Jan 22, 2011
@@ -215,7 +215,7 @@
\newenvironment{bemerkungen}
{
\textsc{Bemerkungen:}
-
+ \vspace{-2ex}
\begin{tightitemize}
}
{\end{tightitemize}}
@@ -8,6 +8,10 @@
\input{../.includes/extra_packages}
\input{../.includes/macro_setup}
+\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing}
+\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing}
+\usetikzlibrary{decorations.shapes}
+
% \setlength{\parindent}{5pt}
\renewcommand{\vec}{\ensuremath{\mathbold}}
@@ -51,7 +55,7 @@
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{minipage}{0.375\linewidth}
- \vskip 1cm
+ \vskip 4cm
\begin{flushleft}
\HUGE\textsc{Technische Dynamik}
@@ -72,9 +76,9 @@
\begin{flushright}
\emph{Philipe Fatio}
\end{flushright}
- \vspace{1cm}
- \vskip 4cm
+ \vskip 1cm
+ \settocdepth{section}
\tableofcontents*
\end{minipage}
\end{center}
@@ -1,5 +1,257 @@
-%!TEX root = ../Technische Dynamik Zusammenfassung.tex
+%!TEX root = ../Technische Dynamik.tex
\section{Approximation kontinuierlicher Schwinger} % (fold)
+ \subsection{Statik des längselastischen Stabes} % (fold)
+ \subsubsection{Problem} % (fold)
+ Einseitig eingespannter Stab mit gegebener Randverschiebung $u(0) = a$ und gegebener Endlast $F$.
+
+ \resizebox{\columnwidth}{!}{
+ \input{graphics/einseitig_eingespannter_stab.tex}
+ }
+
+ \begin{description}
+ \item[Problem:] Finde $u(x)$ so, dass
+ \begin{equation} \label{eq:stab_bed}
+ \begin{split}
+ EAu''(x) &= 0 \\
+ u(x=0) &= a \\
+ EAu'(l) &= F
+ \end{split}
+ \end{equation}
+
+ \item[Lösung] durch Integration:
+ \[
+ u(x) = \frac{F}{EA} x + a
+ \]
+ \end{description}
+ % subsubsection Problem (end)
+
+ \subsubsection{Behandlung mit virtueller Arbeit} % (fold)
+ Zerlege System in Inneres und Rand:
+
+ \resizebox{\columnwidth}{!}{
+ \input{graphics/stab_zerlegung.tex}
+ }
+
+ \paragraph{Problem I} % (fold)
+ \[
+ \mathcal{U} := \{
+ u(x) \ | \ u(0) = a
+ \} \, , \
+ \mathcal{V} := \{
+ \delta u(x) \ | \ \delta u(0) = 0
+ \}
+ \]
+
+ Finde $u(x) \in \mathcal{U}$ so, dass
+ \[
+ - \int_0^l \delta u(x) EAu''(x) \diff x - \delta u(l) (F - EAu'(l)) = 0 \quad \forall \: \delta u(x) \in \mathcal{V}
+ \]
+ Erfüllt \eqref{eq:stab_bed} $\Rightarrow$ \textbf{\ref{subs:residuen} \nameref{subs:residuen}}
+ % paragraph Problem I (end)
+
+ \paragraph{Problem II} % (fold)
+ \[
+ \mathcal{U} := \{
+ u(x) \ | \ u(0) = a
+ \} \, , \
+ \mathcal{V} := \{
+ \delta u(x) \ | \ \delta u(0) = 0
+ \}
+ \]
+
+ Finde $u(x) \in \mathcal{U}$ so, dass
+ \[
+ \int_0^l \delta u'(x) EAu'(x) \diff x - \delta u(l) F = 0 \quad \forall \: \delta u(x) \in \mathcal{V}
+ \]
+ Erfüllt \eqref{eq:stab_bed} $\Rightarrow$ \textbf{\ref{subs:galerkin} \nameref{subs:galerkin}}
+ % paragraph Problem II (end)
+
+ \paragraph{Problem III} % (fold)
+ \[
+ \mathcal{U} := \{
+ u(x) \ | \ u(0) = a
+ \}
+ \]
+
+ Finde die stationären Punkte $u(x) \in \mathcal{U}$ des Variationsproblems
+ \[
+ I(u) = \half \int_0^l EAu'^{\:2\!}(x) \diff x - u(l) F \longrightarrow \text{stationär + RB}
+ \]
+ Erfüllt \eqref{eq:stab_bed} $\Rightarrow$ \textbf{\ref{subs:ritz} \nameref{subs:ritz}}
+ % paragraph Problem III (end)
+ % subsubsection Behandlung mit virtueller Arbeit (end)
+
+ \subsubsection{Das Ritz-Verfahren} % (fold)
+ \label{subs:ritz}
+ Wähle als Ansatz für Näherung $u_n(x)$ $n$-parametrige Schar
+ \[
+ \mathcal U \supset \mathcal U^n := \left\{
+ u_n(x) = \sum_{i=1}^n q_i v_i(x) + p(x) = \vec q^\transp \vec v(x) + p(x)
+ \right\}
+ \]
+ mit:
+ \begin{itemize}
+ \item[$v_i(x)$:] gewählte Ansatzfunktion mit $v_i(0) = 0$
+ \item[$p(x)$:] gewählte Ansatzfunktion mit $p(0) = a$
+ \item[$q_i$:] zu bestimmende (Gewichtungs-)Koeffizienten
+ \end{itemize}
+ \emphequation{equation*}{
+ \underbrace{
+ \int_0^l EA \vec v'(x) \vec v'^\transp (x) \diff x
+ }_K \vec q =
+ \underbrace{
+ F \vec v(l) - \int_0^l EA \vec v'(x) p'(x) \diff x
+ }_\vec{b}
+ }
+
+ \begin{bemerkung}
+ Wenn Ansatz treffen kann, dann trifft er auch.
+ \end{bemerkung}
+ % subsubsection Das Ritz-Verfahren (end)
+
+ \subsubsection{Das Galerkin-Verfahren} % (fold)
+ \label{subs:galerkin}
+ Wähle für Näherung $u_n(x)$ gleichen Ansatz wie beim Ritz-Verfahren und \emph{zugehöriges} virtuelles Verschiebungsfeld:
+ \[
+ \mathcal V \supset \mathcal V^n = \left\{
+ \delta u_n(x) = \Part{u_n(x)}{\vec q} \delta \vec q = \delta \vec q^\transp \vec v(x)
+ \right\}
+ \]
+ Gleiches Ergebnis wie beim Ritz-Verfahren.
+
+ \begin{bemerkungen}
+ \item Falls zugehöriges Variationsproblem existiert und das virtuelle Verschiebungsfeld wie oben gewählt wird, sind Ritz und Galerkin Verfahren identisch (Ritz-Galerkin-Verfahren).
+
+ \item Finite-Elemente-Methode ist ein Spezialfall des Galerkin-Verfahrens.
+ \end{bemerkungen}
+ % subsubsection Das Galerkin-Verfahren (end)
+
+ \subsubsection{Methode der gewichteten Residuen} % (fold)
+ \label{subs:residuen}
+ Wähle Ansatz wie beim Galerkin-Verfahren. Somit:
+ \emphequation{gather*}{
+ EA\parens{
+ \vec v(l) \vec v'^\transp (l) - \int_0^l \vec v(x) \vec v''^\transp (x) \diff x
+ } \vec q = \\ \hfill \qquad
+ - EA \parens{
+ \vec v(l) p'(l) - \int_0^l \vec v (x) p''(x) \diff x
+ } + \vec v(l) F
+ }
+
+ \begin{bemerkungen}
+ \item Gleiches Ergebnis wie Galerkin-Verfahren, aber höhere Ableitungen von $u_n(x)$ müssen existieren.
+ \item \emph{Klassische} gewichtete Residuen: Ansatz muss \emph{zusätzlich} die \emph{statischen} Randbedingungen
+ \[
+ u_n' (l) = \frac{F}{EA} \quad \forall \: \vec q
+ \]
+ erfüllen. Damit ist nur noch folgendes zu fordern:
+ \[
+ 0 = - \int_0^l \delta u_n(x) EAu_n''(x) \diff x \quad \forall \: \delta u_n \in \mathcal V^n
+ \]
+ \end{bemerkungen}
+ % subsubsection Methode der gewichteten Residuen (end)
+
+ \subsubsection{Zusammenfassung} % (fold)
+ \begin{itemize}
+ \item Ansatzfunktionen $v_i(x)$ müssen bei allen Methoden \emph{linear unabhängig} sein.
+ \item Matrizen der Form $\int \vec v'(x) \vec v'^\transp (x) \diff x$ heissen \emph{Ortsintegralmatrix}.
+ \end{itemize}
+ % subsubsection Zusammenfassung (end)
+ % subsection Statik des längselastischen Stabes (end)
+ \subsection{Biegeschwingungen von Balken} % (fold)
+ \resizebox{\columnwidth}{!}{
+ \input{graphics/balken_schwingung}
+ }
+
+ \paragraph{Freischneiden} % (fold)
+ \begin{align*}
+ M(x,t) &= -EI(x)w_{xx}(x,t) \\
+ Q(x,t) &= M_x(x,t) \\
+ \diff m &= \rho A(x) \diff x
+ \end{align*}
+
+ Sei $A = \const$ und $I = \const$, so ergibt sich die \emph{partielle Dgl. für Euler-Bernoulli-Balken}:
+ \emphequation{equation*}{
+ w_{tt}(x,t) = - \frac{EI}{\rho A} w_{xxxx}(x,t)
+ }
+
+ \begin{center}
+ \input{graphics/balken_freischnitt}
+ \end{center}
+ % paragraph Freischneiden (end)
+
+ \paragraph{Lösung mit Separationsansatz} % (fold)
+ Sei
+ \begin{gather*}
+ w(x,t) = v(x)q(t) \quad \Rightarrow \quad w_{tt} = v \ddot q \, , \ w_{xxxx} = v''''q \\
+ \beta^4 = \frac{\rho A}{EI} \omega^2
+ \end{gather*}
+ \emphequation{gather*}{
+ v(x) = A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x) + C\cosh(\beta x) + D\sinh(\beta x) \\
+ \ q(t) = E\sin(\omega t) + F\cos(\omega t)
+ }
+ Bestimme $A$, $B$, $C$, $D$, $\omega$ aus Einspannung und $E$, $F$ aus Anfangsbedingungen, anschliessend superponieren.
+ % paragraph Lösung mit Separationsansatz (end)
+
+ \paragraph{Einspannfälle} % (fold)
+ \begin{center}
+ % \renewcommand{\arraystretch}{}
+ \begin{tabular}{cllcc}
+ \toprule
+ $x = 0$ & Typ & kinem. RB & kinet. RB \\
+ \midrule
+ \multirow{2}{*}{\resizebox{!}{.75cm}{\input{graphics/gelenkige_lagerung}}} & gelenkige & $w(0,t) = 0$ & \\
+ & Lagerung & & $M(0,t) = 0$ \\
+ \midrule
+ \multirow{2}{*}{\resizebox{!}{.75cm}{\input{graphics/lineare_fuehrung}}} & lineare & & $Q(0,t) = 0$ \\
+ & Führung & $w_x(0,t) = 0$ & \\
+ \midrule
+ \multirow{2}{*}{\resizebox{!}{.75cm}{\input{graphics/feste_einspannung}}} & feste & $w(0,t) = 0$ & \\
+ & Einspannung & $w_x(0,t) = 0$ & \\
+ \midrule
+ \multirow{2}{*}{\resizebox{!}{.4cm}{\input{graphics/freies_ende}}} & freies & & $Q(0,t) = 0$ \\
+ & Ende & & $M(0,t) = 0$ \\
+ \bottomrule
+ \end{tabular}
+ \end{center}
+ % paragraph Einspannfälle (end)
+ % subsection Biegeschwingungen von Balken (end)
+
+ \subsection{Das Ritz-Verfahren für dynamische Probleme} % (fold)
+ Ansatz für Näherung $w_n(x,t)$:
+ \begin{align*}
+ \mathcal W \supset \mathcal W^n = \bigg\{
+ \delta w_n(x,t) &= \sum_{i=1}^n q_i(t) v_i(x) + p(x,t) \\
+ &= \underbrace{\vec v^\transp(x)}_\text{gegeben} \vec q(t) + \underbrace{p(x,t)}_\text{gegeben}
+ \bigg\}
+ \end{align*}
+
+ \begin{bemerkungen}
+ \item Zu bestimmende Koeffizienten $q_i(t)$ sind jetzt \emph{zeitabhängig}.
+ \item Ansatz $w_n(x,t)$ muss kinematische Randbedingungen erfüllen $\forall \: \vec q(t)$
+ \end{bemerkungen}
+ \begin{align*}
+ I(w) &= \int \Big( T(w) - V(w) \Big) \diff t \stackrel{!}{\longrightarrow} \text{stationär} \\
+ T(w) &= \int_0^l F(x,t,w,w_t,\dots) \diff x \\
+ V(w) &= \int_0^l G(x,t,w,w_x,w_{xx}) \diff x
+ \end{align*}
+ Mit Näherungsansatz ins Funktional:
+ \begin{align*}
+ I(w_n) &= \int \Big( T(w_n) - V(w_n) \Big) \diff t \\
+ &= \int \Big( T_n(t, \vec q, \dot{\vec q}) - V_n(t, \vec q) \Big) \diff t \\
+ &= I_n(\vec q) \longrightarrow \text{stationär}
+ \end{align*}
+
+ Notwendige Bedingung: Lagrange II
+ \[
+ \Diff{}{t}\parens{\Part{T_n}{\dot{\vec q}}}^{\!\transp\!} - \parens{\Part{T_n}{\vec q}}^{\!\transp\!} + \parens{\Part{V_n}{\vec q}}^{\!\transp\!} = \vec f^\text{NP}
+ \]
+ führt auf $n$-dimensionales Differentialgleichungssystem
+ \[
+ \mtrx M(t, \vec q) \ddot{\vec q} - \vec h(t, \vec q, \dot{\vec q}) = 0
+ \]
+ Löse System $\Rightarrow$ Näherung $w_n(x,t)$ bestimmt.
+ % subsection Das Ritz-Verfahren für dynamische Probleme (end)
% section approximation_kontinuierlicher_schwinger (end)
@@ -1,4 +1,4 @@
-%!TEX root = ../Technische Dynamik Zusammenfassung.tex
+%!TEX root = ../Technische Dynamik.tex
\section{Lagrange'sche Dynamik} % (fold)
\subsection{Vorbemerkungen} % (fold)
@@ -192,24 +192,24 @@ \section{Lagrange'sche Dynamik} % (fold)
\begin{enumerate}[(i)]
\item Kraft $\vec F$, die im Punkt $Q$ am Körper angreift. Schreibe $\vec v_Q$ in der Form
\[
- {}_B \vec v_Q = {}_B \bar{\mtrx{J}}_Q \: \dot{\vec q} + {}_B \vec \nu_Q
+ {}_B \vec v_Q = {}_B \overline{\mtrx{J}}_Q \: \dot{\vec q} + {}_B \vec \nu_Q
\]
Dann ist
\[
- \vec f^\text{NP} = {}_B \bar{\mtrx{J}}_Q^\transp \: {}_B \vec F
+ \vec f^\text{NP} = {}_B \overline{\mtrx{J}}_Q^\transp \: {}_B \vec F
\]
\item Freies Moment $\vec M$, das am Körper angreift. Schreibe $\vec\Omega$ in der Form
\[
- {}_B \vec\Omega = {}_B \bar{\mtrx{J}}_R \: \dot{\vec q} + {}_B \vec v_R
+ {}_B \vec\Omega = {}_B \overline{\mtrx{J}}_R \: \dot{\vec q} + {}_B \vec \nu_R
\]
Dann ist
\[
- \vec f^\text{NP} = {}_B \bar{\mtrx{J}}_R^\transp \: {}_B \vec M
+ \vec f^\text{NP} = {}_B \overline{\mtrx{J}}_R^\transp \: {}_B \vec M
\]
\end{enumerate}
- $\bar{\mtrx{J}}_Q$ und $\bar{\mtrx{J}}_R$ heissen Jacobi-Matrizen der Translation bzw. der Rotation.
+ $\overline{\mtrx{J}}_Q$ und $\overline{\mtrx{J}}_R$ heissen Jacobi-Matrizen der Translation bzw. der Rotation.
\item[Lagrange II:] Bilde
\[
@@ -261,23 +261,23 @@ \section{Lagrange'sche Dynamik} % (fold)
% subsection Lösung nichtlinearer Bewegungsgleichungen (end)
\subsection{Linearisierung von Lösungen} % (fold)
- Spalte $\vec q$ auf in Lösung $\vec q_0$ und Störung $\bar{\vec q}$. \\
- Annahme: $\bar{\vec q}$, $\dot{\bar{\vec q}}$, $\ddot{\bar{\vec q}}$, $\bar{\vec\tau}$ klein
+ Spalte $\vec q$ auf in Lösung $\vec q_0$ und Störung $\overline{\vec q}$. \\
+ Annahme: $\overline{\vec q}$, $\dot{\overline{\vec q}}$, $\ddot{\overline{\vec q}}$, $\overline{\vec\tau}$ klein
\begin{align*}
- \vec q(t) &= \vec q_0 + \bar{\vec q}(t) \\
- \dot{\vec q}(t) &= \dot{\vec q}_0 + \dot{\bar{\vec q}}(t) \\
- \ddot{\vec q}(t) &= \ddot{\vec q}_0 + \ddot{\bar{\vec q}}(t) \\
- \vec \tau(t) &= \vec \tau_0(t) + \bar{\vec \tau}(t)
+ \vec q(t) &= \vec q_0 + \overline{\vec q}(t) \\
+ \dot{\vec q}(t) &= \dot{\vec q}_0 + \dot{\overline{\vec q}}(t) \\
+ \ddot{\vec q}(t) &= \ddot{\vec q}_0 + \ddot{\overline{\vec q}}(t) \\
+ \vec \tau(t) &= \vec \tau_0(t) + \overline{\vec \tau}(t)
\end{align*}
Taylorentwicklung:
\begin{align*}
- 0 &= \vec a(\ddot{\vec q}_0(t), \dot{\vec q}_0(t), \vec q_0(t), t, \vec\tau_0(t)) \\
- &= \cancel{\vec{a_0}} + \Part{\vec a}{\ddot{\vec q}} \bigg|_0 \cdot \ddot{\bar{\vec q}} + \Part{\vec a}{\dot{\bar{\vec q}}} \bigg|_0 \cdot \dot{\bar{\vec q}} + \Part{\vec a}{\vec q} \bigg|_0 \cdot \bar{\vec q} + \Part{\vec a}{\vec\tau} \bigg|_0 \cdot \vec\tau
+ 0 &= \vec a(\ddot{\vec q}(t), \dot{\vec q}(t), \vec q(t), t, \vec\tau(t)) \\
+ &= \cancelto{0}{\vec{a_0}} \quad + \Part{\vec a}{\ddot{\vec{q}}} \bigg|_{q_0} \cdot \ddot{\vec{\overline q}} + \Part{\vec a}{\dot{\vec q}} \bigg|_{q_0} \cdot \dot{\overline{\vec q}} + \Part{\vec a}{\vec q} \bigg|_{q_0} \cdot \vec{\overline q} + \Part{\vec a}{\vec\tau} \bigg|_{q_0} \cdot \vec{\overline \tau}
\end{align*}
Vereinfacht dargestellt:
\[
- 0 = \mtrx M \ddot{\overline{\vec q}} + \mtrx B \dot{\overline{\vec q}} + \mtrx \overline{\vec q} - \vec b(t)
+ 0 = \mtrx M \ddot{\overline{\vec q}} + \mtrx B \dot{\overline{\vec q}} + \mtrx C \overline{\vec q} - \vec b(t)
\]
Vgl. M-D-G-K-N-System in \emph{Mechanik III 3.2.1}.
% subsection Linearisierung von Lösungen (end)
@@ -1,4 +1,4 @@
-%!TEX root = ../Technische Dynamik Zusammenfassung.tex
+%!TEX root = ../Technische Dynamik.tex
\section{Variationsrechnung} % (fold)
Oops, something went wrong.

0 comments on commit 7c3dde0

Please sign in to comment.