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Improve Physik II

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1 parent 28951b5 commit 9e6524377fcc8b61500175d932ac84dcee0d47a0 @fphilipe committed Aug 14, 2011
@@ -32,6 +32,7 @@
\DeclareMathOperator{\grad}{\nabla\!}
\DeclareMathOperator{\rot}{\nabla\times}
\DeclareMathOperator{\Div}{\nabla\cdot}
+\DeclareMathOperator{\sinc}{sinc}
% complex and real operators
\renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}}
@@ -13,7 +13,8 @@ \section{Konstanten} % (fold)
\text{Avogadrozahl:} & N_A & \SI{6.02e23}{\per\mole} \\
\text{Gaskonstante:} & R & k_B N_A = \SI{8.31}{\joule\per\kelvin\per\mole} \\
\text{Erdbeschleunigung:} & g & \SI{9.81}{\metre\per\Square\second} \\
- \text{Plank'sches Wirkungsquantum:} & h & \SI{6.62e-34}{\joule\sec}
+ \text{Plank'sches Wirkungsquantum:} & h & \SI{6.62e-34}{\joule\sec} \\
+ \text{Masse eines Elektrons:} & m_e & \SI{9.11e-31}{\kilo\gram}
\end{array}
\end{equation*}
}
@@ -74,10 +75,10 @@ \section{Mathematische Grundlagen} % (fold)
\]
\paragraph{Beziehungen} % (fold)
- \begin{gather*}
- \rotation(\gradient T) = \rot (\grad T) = 0 \\
- \divergenz(\rotation \vec{h}) = \Div (\rot \vec{h}) = 0
- \end{gather*}
+ \begin{align*}
+ \rotation(\gradient T) &= \rot (\grad T) = 0 \\
+ \divergenz(\rotation \vec{h}) &= \Div (\rot \vec{h}) = 0
+ \end{align*}
\begin{theorem}
Wenn die Rotation eines Vektorfeldes $\vec{A}$ verschwindet ($\rot \vec{A} = 0$), dann ist $\vec{A}$ immer der Gradient eines skalaren Feldes $\phi$, so dass $\vec{A} = \grad \phi$.
@@ -160,7 +161,7 @@ \section{Mathematische Grundlagen} % (fold)
\subsection{Fourier-Transformation} % (fold)
\paragraph{Orts- $\rightarrow$ Impulsraum} % (fold)
\[
- A(k_y) = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(y) \, \eu^{-\iu k_y y} \diff y
+ A(\omega) = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(y) \, \eu^{-\iu \omega y} \diff y
\]
% paragraph orts_rightarrow_impulsraum (end)
\paragraph{Impuls- $\rightarrow$ Ortsraum} % (fold)
@@ -169,5 +170,46 @@ \section{Mathematische Grundlagen} % (fold)
\]
% paragraph impuls_rightarrow_ortsraum (end)
% subsection fourier_transformation (end)
+
+ \subsubsection{Mathematische Identitäten und Näherungen} % (fold)
+ \begin{align*}
+ \sin x &= \frac{1}{2\iu} \parens{\eu^{\iu x} - \eu^{-\iu x}} \\
+ \cos x &= \frac{1}{2} \parens{\eu^{\iu x} + \eu^{-\iu x}} \\
+ \sin^2 x &= \half \parens{1 - \cos 2x} \\
+ \cos^2 x &= \half \parens{1 + \cos 2x} \\
+ \sinc x &= \frac{\sin x}{x} \\
+ \sqrt{1 + x} &= 1 + \half x + \mathcal O (x^2) \\
+ \eu^x &= 1 + x + \mathcal O (x^2) \\
+ \sum_{n=0}^{N-1} x^n &= \begin{dcases}
+ \frac{1-x^N}{1-x} & \text{falls } x \neq 1 \\
+ N & \text{falls } x = 1
+ \end{dcases}
+ \end{align*}
+ % subsubsection Identitäten und Näherungen (end)
+
+ \subsubsection{Lagrange} % (fold)
+ \[
+ \Diff{}{t} \parens{\Part{T}{\dot{\vec q}}}^\transp
+ - \parens{\Part{T}{\vec q}}^\transp + \parens{\Part{V}{\vec q}}^\transp
+ = 0
+ \]
+
+ Wobei
+ \begin{align*}
+ V &= mgz \\
+ V_\text{Feder} &= \half c (z - z_0)^2 \\
+ T &= \half m \dot{\vec r}^2 + \half \Theta \dot \phi^2 \\
+ T_\text{Masse an Seil} &= \half m l^2 \dot \phi^2
+ \end{align*}
+ % subsubsection Lagrange (end)
+
+ \subsubsection{Elektrotechnik} % (fold)
+ \begin{alignat*}{2}
+ v_C &= \frac{1}{C} \int i_C \diff t & \qquad
+ i_C &= C \Diff{v_C}{t} \\
+ v_L &= L \Diff{i_L}{t} &
+ i_L &= \frac{1}{L} \int v_L \diff t
+ \end{alignat*}
+ % subsubsection Elektrotechnik (end)
-% section: Mathematische Grundlagen (end)
+% section: Mathematische Grundlagen (end)
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