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Improve Physik II

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commit 9e6524377fcc8b61500175d932ac84dcee0d47a0 1 parent 28951b5
@fphilipe authored
View
1  .includes/macro_setup.tex
@@ -32,6 +32,7 @@
\DeclareMathOperator{\grad}{\nabla\!}
\DeclareMathOperator{\rot}{\nabla\times}
\DeclareMathOperator{\Div}{\nabla\cdot}
+\DeclareMathOperator{\sinc}{sinc}
% complex and real operators
\renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}}
View
56 Physik II/content/anhang.tex
@@ -13,7 +13,8 @@ \section{Konstanten} % (fold)
\text{Avogadrozahl:} & N_A & \SI{6.02e23}{\per\mole} \\
\text{Gaskonstante:} & R & k_B N_A = \SI{8.31}{\joule\per\kelvin\per\mole} \\
\text{Erdbeschleunigung:} & g & \SI{9.81}{\metre\per\Square\second} \\
- \text{Plank'sches Wirkungsquantum:} & h & \SI{6.62e-34}{\joule\sec}
+ \text{Plank'sches Wirkungsquantum:} & h & \SI{6.62e-34}{\joule\sec} \\
+ \text{Masse eines Elektrons:} & m_e & \SI{9.11e-31}{\kilo\gram}
\end{array}
\end{equation*}
}
@@ -74,10 +75,10 @@ \section{Mathematische Grundlagen} % (fold)
\]
\paragraph{Beziehungen} % (fold)
- \begin{gather*}
- \rotation(\gradient T) = \rot (\grad T) = 0 \\
- \divergenz(\rotation \vec{h}) = \Div (\rot \vec{h}) = 0
- \end{gather*}
+ \begin{align*}
+ \rotation(\gradient T) &= \rot (\grad T) = 0 \\
+ \divergenz(\rotation \vec{h}) &= \Div (\rot \vec{h}) = 0
+ \end{align*}
\begin{theorem}
Wenn die Rotation eines Vektorfeldes $\vec{A}$ verschwindet ($\rot \vec{A} = 0$), dann ist $\vec{A}$ immer der Gradient eines skalaren Feldes $\phi$, so dass $\vec{A} = \grad \phi$.
@@ -160,7 +161,7 @@ \section{Mathematische Grundlagen} % (fold)
\subsection{Fourier-Transformation} % (fold)
\paragraph{Orts- $\rightarrow$ Impulsraum} % (fold)
\[
- A(k_y) = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(y) \, \eu^{-\iu k_y y} \diff y
+ A(\omega) = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(y) \, \eu^{-\iu \omega y} \diff y
\]
% paragraph orts_rightarrow_impulsraum (end)
\paragraph{Impuls- $\rightarrow$ Ortsraum} % (fold)
@@ -169,5 +170,46 @@ \section{Mathematische Grundlagen} % (fold)
\]
% paragraph impuls_rightarrow_ortsraum (end)
% subsection fourier_transformation (end)
+
+ \subsubsection{Mathematische Identitäten und Näherungen} % (fold)
+ \begin{align*}
+ \sin x &= \frac{1}{2\iu} \parens{\eu^{\iu x} - \eu^{-\iu x}} \\
+ \cos x &= \frac{1}{2} \parens{\eu^{\iu x} + \eu^{-\iu x}} \\
+ \sin^2 x &= \half \parens{1 - \cos 2x} \\
+ \cos^2 x &= \half \parens{1 + \cos 2x} \\
+ \sinc x &= \frac{\sin x}{x} \\
+ \sqrt{1 + x} &= 1 + \half x + \mathcal O (x^2) \\
+ \eu^x &= 1 + x + \mathcal O (x^2) \\
+ \sum_{n=0}^{N-1} x^n &= \begin{dcases}
+ \frac{1-x^N}{1-x} & \text{falls } x \neq 1 \\
+ N & \text{falls } x = 1
+ \end{dcases}
+ \end{align*}
+ % subsubsection Identitäten und Näherungen (end)
+
+ \subsubsection{Lagrange} % (fold)
+ \[
+ \Diff{}{t} \parens{\Part{T}{\dot{\vec q}}}^\transp
+ - \parens{\Part{T}{\vec q}}^\transp + \parens{\Part{V}{\vec q}}^\transp
+ = 0
+ \]
+
+ Wobei
+ \begin{align*}
+ V &= mgz \\
+ V_\text{Feder} &= \half c (z - z_0)^2 \\
+ T &= \half m \dot{\vec r}^2 + \half \Theta \dot \phi^2 \\
+ T_\text{Masse an Seil} &= \half m l^2 \dot \phi^2
+ \end{align*}
+ % subsubsection Lagrange (end)
+
+ \subsubsection{Elektrotechnik} % (fold)
+ \begin{alignat*}{2}
+ v_C &= \frac{1}{C} \int i_C \diff t & \qquad
+ i_C &= C \Diff{v_C}{t} \\
+ v_L &= L \Diff{i_L}{t} &
+ i_L &= \frac{1}{L} \int v_L \diff t
+ \end{alignat*}
+ % subsubsection Elektrotechnik (end)
-% section: Mathematische Grundlagen (end)
+% section: Mathematische Grundlagen (end)
View
342 Physik II/content/schwingungen_und_wellen.tex
@@ -15,7 +15,8 @@ \section{Freie Schwingungen einfacher Systeme} % (fold)
Folge zweier entgegengesetzter Ursachen:
\begin{itemize}
\item \textbf{Rückstellkraft} proportional zur Auslenkung $\psi$
- \item \textbf{Trägheit}, die einer Änderung von $\diff \psi/\!\diff t$ entgegenwirkt
+ \item \textbf{Trägheit}, die einer Änderung von $\diff \psi/\!\diff t$
+ entgegenwirkt
\end{itemize}
\emphequation{equation*}{
\omega^2 = \text{Rückstellkraft pro Einheitsauslenkung und -masse}
@@ -30,7 +31,8 @@ \section{Freie Schwingungen einfacher Systeme} % (fold)
Approximation von $l - a_0$ bei Transversalen Wellen:
\begin{description}
\item[Weit dehnbare Federn:] \[
- a_0/a \ll 1 \quad \Rightarrow \quad a_0/l \ll 1 \quad \Rightarrow \text{\emph{vernachlässigbar}}
+ a_0/a \ll 1 \quad \Rightarrow \quad a_0/l \ll 1 \quad
+ \Rightarrow \text{\emph{vernachlässigbar}}
\]
\item[Kleine Auslenkungen:] \begin{gather*}
l^2 = a^2 + x^2 = a^2(1+\epsilon)\ ,\quad \epsilon = \nicefrac{x^2}{a^2} \\
@@ -41,31 +43,41 @@ \section{Freie Schwingungen einfacher Systeme} % (fold)
\emph{Longitudinale Schwingungen sind schneller als transversale.}
\end{description}
\[
- \frac{\omega_\text{long}}{\omega_\text{trans}} = \frac{1}{\parens{1-\frac{a_0}{a}}^\half}
+ \frac{\omega_\text{long}}{\omega_\text{trans}} =
+ \frac{1}{\parens{1-\frac{a_0}{a}}^\half}
\]
% subsection systeme_mit_einem_freiheitsgrad (end)
\subsection{Systeme mit zwei Freiheitsgraden} % (fold)
- \emph{Superposition} zweier linear unabhängiger, harmonischer Bewegungen (\textbf{Normalschwingungen}, \textbf{Eigenschwingungen} oder \textbf{modes})
+ \emph{Superposition} zweier linear unabhängiger, harmonischer Bewegungen
+ (\textbf{Normalschwingungen}, \textbf{Eigenschwingungen} oder \textbf{modes})
\emphequation{align*}{
- \psi_a(t) &= A_1\eu^{\iu(\omega_1 t + \phi_1)} + A_2\eu^{\iu(\omega_2 t + \phi_2)} \\
- \psi_b(t) &= B_1\eu^{\iu(\omega_1 t + \phi_1)} + B_2\eu^{\iu(\omega_2 t + \phi_2)}
+ \psi_a(t) &= A_1\eu^{\iu(\omega_1 t + \phi_1)} +
+ A_2\eu^{\iu(\omega_2 t + \phi_2)} \\
+ \psi_b(t) &= B_1\eu^{\iu(\omega_1 t + \phi_1)} +
+ B_2\eu^{\iu(\omega_2 t + \phi_2)}
}
\paragraph{Eigenschaften von Normalschwingungen} % (fold)
~
- Wenn nur eine Normalschwingung angeregt ist, vollführt jedes Teil des Systems eine einfache harmonische Bewegung mit \textbf{gleicher Frequenz} und \textbf{gleicher Phase}.
+ Wenn nur eine Normalschwingung angeregt ist, vollführt jedes Teil des
+ Systems eine einfache harmonische Bewegung mit \textbf{gleicher Frequenz}
+ und \textbf{gleicher Phase}.
- Jede Normalschwingung hat eine \emph{charakteristische Frequenz} ($\omega_1, \omega_2$) und eine \emph{charakteristische Form}, die gegeben ist durch das Verhältnis der Amplituden ($A_1/B_1, A_2/B_2$).
+ Jede Normalschwingung hat eine \emph{charakteristische Frequenz}
+ ($\omega_1, \omega_2$) und eine \emph{charakteristische Form}, die gegeben
+ ist durch das Verhältnis der Amplituden ($A_1/B_1, A_2/B_2$).
- Wenn zwei Normalschwingungen dieselbe Frequenz haben, nennt man sie \textbf{entartet}.
+ Wenn zwei Normalschwingungen dieselbe Frequenz haben, nennt man sie
+ \textbf{entartet}.
% paragraph eigenschaften_von_normalschwingungen (end)
\paragraph{Normalkoordinaten} % (fold)
~
- Spezielle Koordinaten in denen die Differentialgleichungen ungekoppelt erscheinen, heissen \textbf{Normalkoordinaten}.
+ Spezielle Koordinaten in denen die Differentialgleichungen ungekoppelt
+ erscheinen, heissen \textbf{Normalkoordinaten}.
% paragraph (end)
% subsection systeme_mit_zwei_freiheitsgraden (end)
\subsection{Systematische Herleitung der Normalschwingungen} % (fold)
@@ -82,9 +94,11 @@ \section{Freie Schwingungen einfacher Systeme} % (fold)
a_{21} & a_{22} - \omega^2
\end{bmatrix} \overset{!}= 0 \\
\omega_{1,2}^2 = \half \bigg{(}a_{11} + a_{22} \\
- \qquad\ \pm \sqrt{(a_{11} + a_{22})^2 - 4(a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21})}\bigg{)}
+ \qquad\ \pm \sqrt{(a_{11} + a_{22})^2 - 4(a_{11} a_{22} -
+ a_{12} a_{21})}\bigg{)}
\end{gather*}
- \item Für Normalkoordinaten Wähle die Eigenvektoren als Basis eines neuen Koordinatensystems. Die Matrix $A$ ist in diesem System diagonal:
+ \item Für Normalkoordinaten Wähle die Eigenvektoren als Basis eines neuen
+ Koordinatensystems. Die Matrix $A$ ist in diesem System diagonal:
\[
A = \diag{(\omega_1^2, \omega_2^2)}
\]
@@ -97,18 +111,24 @@ \section{Freie Schwingungen einfacher Systeme} % (fold)
\end{enumerate}
% subsection systematische_herleitung_der_normalschwingungen (end)
\subsection{Schwebungen} % (fold)
- Superposition zweier harmonischer Schwingungen mit gleicher Amplitude und Phase:
+ Superposition zweier harmonischer Schwingungen mit gleicher Amplitude und
+ Phase:
\[
\psi = \psi_1 + \psi_2 = A\eu^{\iu\omega_1 t} + A\eu^{\iu\omega_2 t}
\]
- \emph{Mittlere Frequenz} $\overline\omega$ und \emph{Modulationsfrequenz} $\omega_\text{mod}$:
+ \emph{Mittlere Frequenz} $\overline\omega$ und \emph{Modulationsfrequenz}
+ $\omega_\text{mod}$:
\begin{gather*}
- \overline\omega \equiv \half (\omega_1 + \omega_2) \ ,\quad \omega_\text{mod} \equiv \half (\omega_1 - \omega_2) \\
- \omega_1 = \overline\omega + \omega_\text{mod} \ , \quad \omega_2 = \overline\omega - \omega_\text{mod}
+ \overline\omega \equiv \half (\omega_1 + \omega_2) \ ,\quad
+ \omega_\text{mod} \equiv \half (\omega_1 - \omega_2) \\
+ \omega_1 = \overline\omega + \omega_\text{mod} \ , \quad \omega_2 =
+ \overline\omega - \omega_\text{mod}
\end{gather*}
Damit wird $\psi$ zu:
\emphequation{equation*}{
- \psi = A\eu^{\iu(\overline\omega + \omega_\text{mod}) t} + A\eu^{\iu(\overline\omega - \omega_\text{mod}) t} = 2 A\eu^{\iu\overline\omega t}\cos(\omega_\text{mod}t)
+ \psi = A\eu^{\iu(\overline\omega + \omega_\text{mod}) t} +
+ A\eu^{\iu(\overline\omega - \omega_\text{mod}) t} =
+ 2 A\eu^{\iu\overline\omega t}\cos(\omega_\text{mod}t)
}
In reeler Schreibweise:
\emphequation{equation*}{
@@ -116,7 +136,8 @@ \section{Freie Schwingungen einfacher Systeme} % (fold)
A_\text{mod}(t) = 2A\cos(\omega_\text{mod}t)
}
- Die \textbf{Schwebungsfrequenz} ist die Wiederholungsrate von $A_\text{mod}^2$:
+ Die \textbf{Schwebungsfrequenz} ist die Wiederholungsrate von
+ $A_\text{mod}^2$:
\[
\omega_\text{beat} = 2\omega_\text{mod} = \omega_1 - \omega_2
\]
@@ -126,13 +147,16 @@ \section{Systeme mit vielen Freiheitsgraden} % (fold)
\subsection{Transversale Seil- oder Saitenschwinungen} % (fold)
In der Gleichgewichtslage sei die Saite längs der $z$-Richtung ausgestreckt.
- Schwingungen längs der $z$-Richtung nennt man \textbf{longitudinal}, solche längs $x$ oder $y$ \textbf{transversal}.
+ Schwingungen längs der $z$-Richtung nennt man \textbf{longitudinal}, solche
+ längs $x$ oder $y$ \textbf{transversal}.
- Wir nehmen an, die Welle sei \textbf{linear polarisiert}, d.h.~die Auslenkungen seien auf eine Richtung ($x$) beschränkt.
+ Wir nehmen an, die Welle sei \textbf{linear polarisiert}, d.h.~die
+ Auslenkungen seien auf eine Richtung ($x$) beschränkt.
\textbf{Wellengleichung:}
\emphequation{equation*}{
- \frac{\partial^2 \psi(z,t)}{\partial t^2} = \frac{T_0}{\rho_0} \frac{\partial^2\psi(z,t)}{\partial z^2}
+ \frac{\partial^2 \psi(z,t)}{\partial t^2} =
+ \frac{T_0}{\rho_0} \frac{\partial^2\psi(z,t)}{\partial z^2}
}
Wellenzahl:
@@ -144,25 +168,30 @@ \section{Systeme mit vielen Freiheitsgraden} % (fold)
~
Allgemeine Form der stehenden Welle:
- \[
- \psi(z,t) = A(z) \eu^{\iu(\omega t + \phi)} \qquad \text{mit} \quad A(z) = A\eu^{\iu(kz+\delta)}
- \]
+ \begin{gather*}
+ \psi(z,t) = A(z) \eu^{\iu(\omega t + \phi)} \\
+ \text{mit} \quad A(z) = A\eu^{\iu(kz+\delta)}
+ = B \cos(kz) + C \sin(kz)
+ \end{gather*}
Eingesetzt in die Wellengleichung:
\begin{equation}
\label{eq:wellengleichung_saite}
-\omega^2 A(z) = \frac{T_0}{\rho_0} \frac{\diff^2 A(z)}{\diff z^2}
\end{equation}
- Beziehung zwischen Wellenzahl und Frequenz ist die \textbf{Dispersionsrelation} für Saitenschwingungen:
+ Beziehung zwischen Wellenzahl und Frequenz ist die
+ \textbf{Dispersionsrelation} für Saitenschwingungen:
\[
\omega = \sqrt{\frac{T_0}{\rho_0}}k
\]
- Verhält sich eine Welle so, wird sie \textbf{dispersionslos} genannt.
+ Ist diese Beziehung linear, so wird die Welle \textbf{dispersionslos}
+ genannt.
\textbf{Phasengeschwindigkeit:}
- \[
- \nu \cdot \lambda = \sqrt{\frac{T_0}{\rho_0}} \equiv v_0 = \const
- \]
+ \emphequation{equation*}{
+ v_\phi = \frac{\omega}{k} = \nu \cdot \lambda = \sqrt{\frac{T_0}{\rho_0}}
+ \equiv v_0 = \const
+ }
% paragraph stehende_wellen (end)
\paragraph{Eigenschwingungen der Saite} % (fold)
\emphequation{equation*}{
@@ -170,7 +199,8 @@ \section{Systeme mit vielen Freiheitsgraden} % (fold)
}
Da $\sin(kL) \overset{!}= 0$, muss für $k$ gelten:
\[
- k_n = \frac{2\pi}{\lambda_n} = n \frac \pi L \qquad \text{mit } n = 1,2,3,\dots
+ k_n = \frac{2\pi}{\lambda_n} = n \frac \pi L \qquad
+ \text{mit } n = 1,2,3,\dots
\]
Wellenlängen der Eigenschwingungen:
@@ -193,41 +223,31 @@ \section{Systeme mit vielen Freiheitsgraden} % (fold)
% subsection transversale_seil_oder_saitenschwinungen (end)
\subsection{Elektron in einem eindimensionalen Quantentopf} % (fold)
\paragraph{Eigenschaften von Materialwellen} % (fold)
- ~
-
- Ein Teilchen mit dem Impuls $p = mv$ kann sich wie eine Welle verhalten, deren Wellenlänge gegeben ist durch die Beziehung von \textbf{de Broglie}:
\[
- p = \frac h \lambda
+ \Delta \vec E - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} = 0
\]
- mit dem \textbf{Planck'schem Wirkungsquantum}:
- \[
- h = 6.62\cdot 10^{-34} \si{\joule\sec}
- \]
- Mit $k = 2 \pi / \lambda$ kann man schreiben:
+
+ Ein Teilchen mit dem Impuls $p = mv$ kann sich wie eine Welle verhalten, deren Wellenlänge gegeben ist durch die Beziehung von \textbf{de Broglie}:
\[
- p = \frac h {2\pi} \frac {2\pi}{\lambda} = \hbar k \quad \text{mit } \hbar = \frac h {2\pi}
+ p = \frac h \lambda = \hbar k \quad
+ \text{wobei } \hbar = \frac h {2\pi}
\]
Energie eines Teilchens:
\[
- E = h \frac c \lambda = h \nu = \hbar \omega = p c
+ E = \half mv^2 = \frac{p^2}{2m}
+ = \overbrace{\frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \hbar \omega}^{
+ \mathclap{\text{Dispersionsrelation für freie Elektronen}}
+ }
+ = h\nu = \underbrace{eU}_{\mathclap{\text{Elektron in Potentialfeld}}}
\]
- \textbf{Dispersionsrelation für freie Elektronen:}
- \[
- E = \hbar \omega = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}
- \]
- Die Welle eines freien Elektrons weist Dispersion auf.
-
\textbf{Schrödinger-Gleichung:}
\[
\left[
\frac{p^2}{2m} + V(x)
\right] \psi(x) = E \psi(x)
\]
- Mit dem \textbf{Impulsoperator}
- \[
- p = p_x = \frac \hbar \iu \Diff{} x
- \]
+ Mit dem \textbf{Impulsoperator} $p = p_x = \frac \hbar \iu \frac{\diff}{\diff x}$
und $V(x) = 0$ kann die Gleichung in folgende Form gebracht werden:
\[
\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\diff^2\psi(x)}{\diff x^2} + E\psi(x) = 0
@@ -237,6 +257,7 @@ \section{Systeme mit vielen Freiheitsgraden} % (fold)
Für die Energieeigenwerte findet man:
\[
E_n = \frac{\hbar^2 k_n^2}{2m} = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2m L^2}n^2
+ = \frac{h^2}{8mL^2} n^2
\]
% paragraph eigenschaften_von_materialwellen (end)
% subsection elektron_in_einem_eindimensionalen_quantentopf (end)
@@ -284,11 +305,11 @@ \section{Erzwungene Schwingungen} % (fold)
\[
\ddot \psi_n = -\omega_0^2 \psi_n + \frac{f}{m}(\psi_{n+1} - 2\psi_n + \psi_{n-1})
\]
- wobei $\omega_0^2 = \nicefrac gl$.
+ mit der \emph{unteren Abschnittfrequenz} $\omega_0 = \sqrt{\nicefrac gl}$.
Ansatz:
\begin{align*}
- \psi_n(t) &= A_n \eu^{\iu\omega t}
+ \psi_n(t) &= A_n \eu^{\iu\omega t} \\
A_n &= A \eu^{\iu k n a}
\end{align*}
@@ -296,16 +317,17 @@ \section{Erzwungene Schwingungen} % (fold)
\[
\omega^2 = \omega_0^2 + \frac{4f}{m} \sin^2 \frac{ka}{2}
\]
- Für \textbf{imaginäres $k$} ($k = \iu\kappa$) lautet diese:
+ Für \textbf{imaginäres $k$} ($k = \iu\kappa$, $k^2 = -\kappa^2 < 0$) lautet diese:
\[
\omega^2 = \omega_0^2 - \frac{4f}{m} \sinh^2 \frac{\kappa a}{2}
\]
und gilt nur für Frequenzen unterhalb $\omega_\text{min}$. Für solch tiefe Frequenzen haben die Auslenkungen aller Pendel das gleiche Vorzeichen. Dasselbe gilt für $\omega = \omega_\text{min} = \omega_0$, bei der alle Pendel mit gleicher Amplitude schwingen, bzw. $k = 0$ und $\lambda = \infty$.
Für Anregungen oberhalb der Grenzfrequenz $\omega_\text{max}$ gilt die Dispersionsrelation für exponentiell gedämpfte Zickzackwellen:
- \[
+ \begin{gather*}
+ A_n = (-1)^n A \eu^{-\kappa n a} \\
\omega^2 = \omega_0^2 + \frac{4f}{m}\cosh^2 \frac{\kappa a}{2}
- \]
+ \end{gather*}
\textbf{Zusammenfassend:}
\begin{itemize}
@@ -361,29 +383,30 @@ \section{Laufende Wellen} % (fold)
\]
Allgemeine Dispersionsbeziehung für propagierende transversale Wellen:
- \[
- \omega^2 = \frac{4 T_0}{ma} \sin^2 \frac{ka}{2}
- \]
- \[
- \omega_\text{max} = 2 \sqrt{\frac{T_0}{ma}}
- \]
- \[
- \frac{\omega_\text{max}^l}{\omega_\text{max}^t} = \sqrt{\frac{fa}{T_0}} = \frac{1}{\parens{1-\frac{a_0}{a}}^\half}
- \]
+ \begin{gather*}
+ \omega^2 = \frac{4 T_0}{ma} \sin^2 \frac{ka}{2} \\
+ \omega_\text{max} = 2 \sqrt{\frac{T_0}{ma}} \\
+ \frac{\omega_\text{max}^l}{\omega_\text{max}^t} =
+ \sqrt{\frac{fa}{T_0}} = \frac{1}{\parens{1-\frac{a_0}{a}}^\half}
+ \end{gather*}
% subsection die_lineare_federkette (end)
% section laufende_wellen (end)
+
\section{Die spezifische Wärme von Festkörpern} % (fold)
\subsection{Klassische statistische Mechanik} % (fold)
- Innere Energie eines Festkörpers bestehend aus $N$ Atomen:
+ \textbf{Innere Energie} eines Festkörpers bestehend aus $N$ Atomen:
\[
- U = 3NkT
+ U = 3 N k_B T
\]
- Mittlere kinetische Energie eines Teilchen mit drei translatorischen Freiheitsgraden:
+
+ Mittlere kinetische Energie eines Teilchen mit drei translatorischen
+ Freiheitsgraden:
\[
- \langle E \rangle = -\frac{\partial}{\partial \beta} \left[-\frac 3 2 \ln \beta \right] = \frac 3 2 \frac 1 \beta = \frac 3 2 kT
+ \langle E \rangle = -\frac{\partial}{\partial \beta}
+ \left[-\frac 3 2 \ln \beta \right] = \frac 3 2 \frac 1 \beta = \frac 3 2 k_B T
\]
- $\Rightarrow$ Temperaturunabhängige spezifische Wärme
+ Temperaturunabhängige spezifische Wärme = 3R
% subsection klassische_statistische_mechanik (end)
\subsection{Das Einstein-Modell der spezifischen Wärme} % (fold)
\paragraph{Der quantenmechanische Oszillator} % (fold)
@@ -396,7 +419,7 @@ \section{Die spezifische Wärme von Festkörpern} % (fold)
Wahrscheinlichkeit, dass ein Zustand $n$ besetzt ist:
\[
- P_n = \eu^{-\frac{n\hbar\omega}{kT}}\parens{1 - \eu^{-\frac{\hbar\omega}{kT}}}
+ P_n = \eu^{-\frac{n\hbar\omega}{k_B T}}\parens{1 - \eu^{-\frac{\hbar\omega}{k_B T}}}
\]
Mittlere Energie eines Oszillators:
@@ -404,26 +427,35 @@ \section{Die spezifische Wärme von Festkörpern} % (fold)
\langle E \rangle = \parens{\langle n \rangle + \half} \hbar \omega
\]
- Die mittlere Besetzungszahl (\textbf{Bose-Einstein Verteilungsfunktion}):
+ Die mittlere Besetzungszahl (\textbf{Bose-Einstein Verteilungsfunktion})
+ von ``Bosonen'':
\[
- \langle n \rangle = \frac{1}{\eu^{\frac{\hbar\omega}{kT}} - 1}
+ \langle n \rangle = \frac{1}{\eu^{\frac{\hbar\omega}{k_B T}} - 1}
\]
Kann als Zahl der angeregten Phononen bei der Temperatur $T$ aufgefasst werden.
% paragraph \textsc{der_quantenmechanische_oszillator} (end)
\paragraph{Spezifische Wärme} % (fold)
~
- Vereinfachtes Modell von Einstein, wobei alle Oszillatoren mit derselben Frequenz $\omega$ schwingen.
- Führt zu nicht quantitative Resultate, zeigt aber, dass die spezifische Wärme mit fallender Temperatur abnimmt.
+ Vereinfachtes Modell von Einstein, wobei alle Oszillatoren mit derselben
+ Frequenz $\omega$ schwingen. Führt zu nicht quantitativen Resultaten,
+ zeigt aber, dass die spezifische Wärme mit fallender Temperatur abnimmt.
- $N$ Oszillatoren derselben Resonanzfrequenz $\omega$ besitzen die mittlere Energie:
+ $N$ Oszillatoren der selben Resonanzfrequenz $\omega$ besitzen die
+ mittlere Energie:
\[
- U = N \langle n \rangle \hbar \omega = \frac{N \hbar \omega}{\eu^{\frac{\hbar\omega}{kT}} - 1}
+ U = N \langle n \rangle \hbar \omega =
+ \frac{N \hbar \omega}{\eu^{\frac{\hbar\omega}{k_B T}} - 1}
+ \]
+
+ Einstein-Temperatur:
+ \[
+ \Theta_E = \frac{\hbar \omega_E}{k_B} = \frac{E}{k_B}
\]
Spezifische Wärme:
\[
- c_V = \parens{\frac{\partial U}{\partial T}}_V = N k \parens{\frac{\hbar\omega}{kt}}^2 \frac{\eu^{\frac{\hbar\omega}{kT}}}{\parens{\eu^{\frac{\hbar\omega}{kT}} - 1}^2}
+ c_V = \parens{\frac{\partial U}{\partial T}}_V = N k_B \parens{\frac{\hbar\omega}{k_B T}}^2 \frac{\eu^{\frac{\hbar\omega}{k_B T}}}{\parens{\eu^{\frac{\hbar\omega}{k_B T}} - 1}^2}
\]
% paragraph spezifische_wärme (end)
% subsection das_einstein_modell_der_spezifischen_wärme (end)
@@ -437,7 +469,7 @@ \section{Die spezifische Wärme von Festkörpern} % (fold)
\]
\[
- U = \int \rho(k) \langle n_k \rangle \hbar \omega_k \diff k
+ U = \sum_k \langle n_k \rangle \hbar \omega_k = \int \rho(k) \langle n_k \rangle \hbar \omega_k \diff k
\]
Für laufende Wellen:
@@ -447,29 +479,33 @@ \section{Die spezifische Wärme von Festkörpern} % (fold)
Energie bleibt die selbe.
Zustandsdichte im Frequenzraum:
- \[
- \rho(\omega) = 2 \cdot \frac L {\pi a} (\omega_\text{max}^2 - \omega^2)^{-\nicehalf} \neq \const
- \]
+ \begin{align*}
+ \rho(\omega) \diff \omega &= \rho(k) \diff k \\
+ \Rightarrow \rho(\omega) &= 2 \cdot \frac L {\pi a} (\omega_\text{max}^2 - \omega^2)^{-\nicehalf} \neq \const
+ \end{align*}
+
Der Faktor $2$ kommt daher, dass die negativen und positiven $k$-Werte gleich viel zur Zustandsdichte im Frequenzraum beitragen.
% paragraph die_zustandsdichte_für_phononen (end)
\paragraph{Die Debye'sche Näherung der Zustandsdichte} % (fold)
~
\[
- U = \frac{9N}{\omega_D^3} \int_0^{\omega_D} \frac{\hbar\omega^3}{\eu^{\frac{\hbar\omega}{kT}} - 1} \diff \omega
+ U = \frac{9N}{\omega_D^3} \int_0^{\omega_D}
+ \frac{\hbar\omega^3}{\eu^{\frac{\hbar\omega}{k_B T}} - 1} \diff \omega
\]
\[
- c_v = \frac{9N}{\omega_D^3} \frac{\hbar^2}{kT^2} \int_0^{\omega_D} \frac{\omega^4 \eu^{\frac{\hbar\omega}{kT}}}{\parens{\eu^{\frac{\hbar\omega}{kT}} - 1}^2} \diff \omega
+ c_v = \frac{9N}{\omega_D^3} \frac{\hbar^2}{k_B T^2} \int_0^{\omega_D}
+ \frac{\omega^4 \eu^{\frac{\hbar\omega}{k_B T}}}{\parens{\eu^{\frac{\hbar\omega}{k_B T}} - 1}^2} \diff \omega
\]
Durch Substitutionen
\begin{align*}
- \Theta_D &= \frac{\hbar \omega_D}{k} \\
- x &= \frac{\hbar\omega}{kT} \\
- c_v^\infty &= 3Nk
+ \Theta_D &= \frac{\hbar \omega_D}{k_B } \tag{Debye-Temperatur} \\
+ x &= \frac{\hbar\omega}{k_B T} \\
+ c_v^\infty &= 3Nk_B \tag{klassischer Hochtemperaturwert}
\end{align*}
- findet man die Vereinfachung
+ ergibt sich:
\[
\frac{c_v}{c_v^\infty} = 3 \parens{\frac{T}{\Theta_D}}^3 \int_0^{\theta_D/T} \frac{x^4 \ \eu^x}{(e^x - 1)^2} \diff x
\]
@@ -480,9 +516,19 @@ \section{Die spezifische Wärme von Festkörpern} % (fold)
% section die_spezifische_wärme_von_festkörpern (end)
\section{Wellenausbreitung in periodischen Strukturen} % (fold)
\subsection{Optische und akustische Gitterschwingungen} % (fold)
- Die kleinst mögliche Einheitszelle einer \emph{einatomigen} Federkette hat die Länge $a$ und bei der \emph{zweiatomigen} die Länge $2a$.
-
- Bei einem einzigen Atom schauen alle Dispersionsrelationen qualitativ gleich aus, welche nur \textbf{akustische Äste} aufweisen, d.h.~insgesamt drei für drei Polarisationsrichtungen. Bei mehreren Atomen in der Einheitszelle treten für jedes zusätzliche Atom drei zusätzlich sogenannte \textbf{optische Äste} auf.
+ Gitterschwingungen in einem Kristall mit $3N$ Atomen:
+ \begin{tightitemize}
+ \item $3$ akustische (1 longitudinale, 2 transversale) und
+ \item $3N - 3$ optische Moden.
+ \item[$\Rightarrow$] optische Moden treten nur bei $N > 1$
+ \end{tightitemize}
+
+ Damit ein Kristall optisch aktiv sein kann, braucht es eine
+ \emph{(elektrische) Polarisation}. Phononen können dann durch Photonen
+ angeregt werden. Polarisation tritt bei \emph{mehratomigen} Kristallen auf
+ und entspricht den optischen Moden wobei die verschiedenen Atomarten
+ gegeneinander schwingen während in den akustischen Moden die Atome
+ miteinander schwingen.
% subsection optische_und_akustische_gitterschwingungen (end)
\subsection{Die zweiatomige Federkette} % (fold)
Federkette mit leichterer Masse $m$, schwererer Masse $M$ und Federkonstante $f$.
@@ -522,10 +568,9 @@ \section{Modulation und Wellenpakete} % (fold)
\[
\Diff z t = v_\text{mod} = \frac{\omega_\text{mod}}{k_\text{mod}}
\]
- $\omega$ und $k$ sind über die Dispersionsrelation $\omega(k)$ miteinander verknüpft. Die Modulationsgeschwindigkeit kann deshalb in eine Taylor-Reihe entwickelt werden. Ist zusätzlich die Differenz $\omega_1 - \omega_2$ sehr klein im Vergleich zum Mittelwert beider Frequenzen, kommt man zur \textbf{Gruppengeschwindigkeit}:
- \[
+ \emphequation{equation*}{
v_g = \Diff \omega k
- \]
+ }
Die Wellenberge pflanzen sich nicht mit der Phasengeschwindigkeit $\overline v_0 = \overline \omega/\overline k$ fort, sondern mit $v_g$.
@@ -563,9 +608,10 @@ \section{Modulation und Wellenpakete} % (fold)
\Delta k \Delta z = 2\pi
\end{equation}
- Im Falle einer dispersiven Welle hat jede harmonische Komponente ihre eigene Phasengeschwindigkeit $v_\phi = \omega/k(\omega)$. Ein Band der Breite $\Delta k$ enthält ein Band von Gruppengeschwindigkeiten $\Delta v_g$:
+ Im Falle einer dispersiven Welle hat jede harmonische Komponente ihre eigene Phasengeschwindigkeit $v_\phi(\omega) = \omega/k(\omega)$. Ein Band der Breite $\Delta k$ enthält ein Band von Gruppengeschwindigkeiten $\Delta v_g$:
\[
\Delta v_g = \parens{\frac{\diff^2 \omega}{\diff k^2}}_0 \Delta k
+ = \parens{\Diff{v_g}{k}}_0 \Delta k
\]
$\dots_0$ bedeutet, dass der Wert der Ableitung im Zentrum des Frequenzbandes zu nehmen ist.
@@ -579,6 +625,14 @@ \section{Modulation und Wellenpakete} % (fold)
\subsection{Anwendungen in der Quantenmechanik} % (fold)
\paragraph{Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung} % (fold)
~
+
+ Wellenfunktionen beschreiben eine Wahrscheinlichkeitsdichte
+ \[
+ \int_{-\infty}^\infty \abs{\psi(z)}^2 \diff z = 1
+ \]
+ wobei $\abs{\psi(z)}^2 \diff z$ der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass
+ ein Elektron sich innerhalb eines um $z$ zentrierten Intervalls $\diff z$
+ befindet.
Zustände $E_n$ (Energieeigenwert) werden \textbf{stationäre Zustände} genannt, da ein Elektron in solch einem Zustand ohne äusseren Einfluss ewig in diesem Zustand bleibt.
\[
@@ -591,7 +645,8 @@ \section{Modulation und Wellenpakete} % (fold)
Wird ein Atom in einem stationären Zustand durch einen Zusammenstoss oder durch elektromagnetischer Strahlung gestört, so wird dieses vom Eigenzustand $\psi_1$ in den Eigenzustand $\psi_2$ übergehen und dabei elektromagnetische Strahlung aussenden.
- Der Übergang wird beschrieben durch
+ Der Übergang wird beschrieben durch eine Linearkombination der beiden
+ Zustände:
\[
\psi = c_1 \psi_1 \eu^{\iu E_1 t / \hbar} + c_2 \psi_2 \eu^{\iu E_2 t / \hbar}
\]
@@ -600,7 +655,11 @@ \section{Modulation und Wellenpakete} % (fold)
\[
\omega = \frac{E_2 - E_1}{\hbar}
\]
- Diese sinusförmige Schwingung erzeugt elektromagnetische Dipolstrahlung.
+ Die Wahrscheinlichkeitsdichte eines kohährenten Zustandes variiert
+ sinusförmig mit der Zeit und damit auch die mittlere Lage $\overline z$
+ eines Elektrons. Diese Schwingung erzeugt elektromagnetische
+ Dipolstrahlung die beim Übergang zwischen zwei Zuständen absorbiert oder
+ emitiert wird.
% paragraph elektromagnetische_strahlung_eines_atoms (end)
% subsection anwendungen_in_der_quantenmechanik (end)
\subsection{Klassische Analyse der Linienform} % (fold)
@@ -618,7 +677,8 @@ \section{Modulation und Wellenpakete} % (fold)
}
\]
- Die Amplitude der Welle wird exponentiall mit der Distanz $z$ gedämpft:
+ Die Amplitude der Welle wird exponentiall mit der Distanz $z$ gedämpft, d.h.
+ das Medium absorbiert Energie aus der Welle.
\[
\vec E = \vec E_0 \ \eu^{-\alpha z} \ \eu^{\iu(\omega t - kz)}
\]
@@ -665,16 +725,18 @@ \section{Modulation und Wellenpakete} % (fold)
Für genügend kleine Dämpfungen kann man die Form der Absorptionskonstante $\alpha$ oder des Extinktionskoeffizienten $\kappa$ sehr gut durch die \textbf{Lorentz-Kurve} $L(\omega)$ annähern:
\[
- L(\omega) = \frac{(\nicefrac \Gamma 2)^2}{(\omega_0 - \omega)^2 + (\nicefrac \omega 2)^2}
+ L(\omega) = \frac{(\nicefrac \Gamma 2)^2}{(\omega_0 - \omega)^2 + (\nicefrac \Gamma 2)^2}
\]
\paragraph{Natürliche Linienbreite und Unschärfe Relation} % (fold)
~
- Es gibt eine minimale Breite der Breite $\Gamma$ einer Spektrallinie, die sog.~\emph{natürliche Linientbreite}, die nicht unterschritten werden kann. Diese wird bestimmt durch die Lebensdauer $\tau_0$ eines angeregten Zustandes.
+ Es gibt eine minimale Breite $\Gamma$ einer Spektrallinie, die sog.
+ \emph{natürliche Linienbreite}, die nicht unterschritten werden kann. Diese wird bestimmt durch die Lebensdauer $\tau_0$ eines angeregten Zustandes.
\textbf{Unschärfe-Relation von Heisenberg:}
\[
- \hbar\Gamma \cdot \tau_0 = \hbar\Delta\omega \cdot \Delta t = \Delta E \cdot \Delta t \approx h
+ \hbar\Gamma \cdot \tau_0 = \hbar\Delta\omega \cdot \Delta t
+ = \Delta E \cdot \Delta t = \Delta p_y \cdot \Delta y \approx h
\]
% paragraph natürliche_linienbreite (end)
% subsection klassische_analyse_der_linienform (end)
@@ -693,10 +755,15 @@ \section{Interferenz und Beugung} % (fold)
\begin{align*}
I(\vec r) &= |\vec E|^2 \\
&= |\vec E_1|^2 + |\vec E_2|^2 + 2 \vec E_1 \cdot \vec E_2 \cos \Delta \Phi \\
- &= I_1 + I_2 + \underbrace{2 \vec E_1 \cdot \vec E_2 \cos \Delta \Phi}_{\mathclap{\text{\textbf{Interferenzterm}}}}
+ &= I_1 + I_2 + \underbrace{
+ 2 \vec E_1 \cdot \vec E_2 \cos \Delta \Phi
+ }_{\mathclap{\text{\textbf{Interferenzterm}}}} \\
+ \Delta \Phi &= \vec k_1 \cdot \vec r - \vec k_2 \cdot \vec r + \phi_1 - \phi_2
\end{align*}
- Es gibt keine Interferenz bei inkohärenten Wellen oder bei orthogonaler Polarisation, da $\vec E_1 \cdot \vec E_2 = 0$.
+ Es gibt keine Interferenz bei inkohärenten Wellen da der Mittelwert von
+ $\cos \Delta \Phi = 0$ ist sowie bei orthogonaler Polarisation, da
+ $\vec E_1 \cdot \vec E_2 = 0$.
% subsection prinzip_der_linearen_superposition (end)
\subsection{Das Young'sche Doppelspalt-Experiment} % (fold)
\begin{center}
@@ -705,19 +772,21 @@ \section{Interferenz und Beugung} % (fold)
% }
\end{center}
- Bei $P$ haben die Strahlen die Phasendifferenz
+ Bei $P$ gilt:
\[
- \Delta \Phi = k\cdot d \sin \theta
+ \Delta \Phi = k\cdot d \sin \theta\,, \qquad y = a \cdot \tan \Theta
\]
- Intensitätsmaxima erwartet man, wenn die Phasendifferenz ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi$ beträgt ($\Delta \Phi = \pm 2n\pi$) bzw.~wenn
- \[
- \underbrace{|d \sin \theta|}_{\mathclap{\text{\textbf{Gangunterschied}}}} = n\lambda
- \]
+ Für die Intensität gilt
+ \begin{align*}
+ d \sin \theta &= n\lambda \tag{maxima} \\
+ \underbrace{d \sin \theta}_{\mathclap{\text{\textbf{Gangunterschied}}}} &= (n - \half) \lambda \tag{minima}
+ \end{align*}
+
+ Bei einem breiten Einfachspalt ist dies analog, ausser dass $d = \frac B 2$
+ ist (halbe Spaltbreite).
% subsection das_young_sche_doppelspalt_experiment (end)
\subsection{Das Prinzip von Huygens} % (fold)
- \emph{Von jedem infinitesimalen Raumelement eines Wellenfeldes geht eine Kugelwelle aus. Die Flächen gleicher Auslenkungen, also die sog.~Wellenflächen, ergeben sich aus der Umhüllenden dieser Kugelwellenflächen.}
-
\paragraph{Reflexions- und Brechungsgesetz} % (fold)
\begin{center}
\input{graphics/reflexion}
@@ -726,20 +795,30 @@ \section{Interferenz und Beugung} % (fold)
Zur Zeit $t=0$ trifft die Wellenfront bei $O$ ein. Eine Kugelwelle wird erzeugt, die
sich mit $c_1 = c/n_1$ im Medium 1 und mit $c_2 = c/n_2$ im Medium 2 ausbreitet.
Zur Zeit $\tau$ trifft die Wellenfront in $P$ ein. Die Kugelwelle im Medium 1 hat den Radius $c_1 \tau$ und im Medium 2 $c_2 \tau$.
+
\[
- \Rightarrow \quad \Theta_i = \Theta_R \,,\quad \frac{\sin\Theta_i}{\sin\Theta_T} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{n_2}{n_1}
+ \Rightarrow \quad \Theta_i = \Theta_R \,,\quad
+ \frac{\sin\Theta_i}{\sin\Theta_T} = \frac{c_1}{c_2}
+ = \frac{n_2}{n_1} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}
\]
Kritischer Winkel (vollständige Reflexion):
\[
\Theta_c = \arcsin \frac{n_2}{n_1}
\]
+
+ Bei \emph{Reflexion an dichterem Medium} erfährt die Welle einen
+ \textbf{Phasensprung} um $\pi$ bzw. um $\lambda/2$.
% paragraph reflexions_und_brechungsgesetz (end)
\paragraph{Linsen} % (fold)
\begin{center}
\vspace{-1cm}
\input{graphics/linse}
\end{center}
+
+ \begin{center}
+ \input{graphics/linse2}
+ \end{center}
\textbf{Linsenmacherformel:}
\[
@@ -764,7 +843,8 @@ \section{Interferenz und Beugung} % (fold)
Die Intensität variiert mit dem Beobachtungswinkel gemäss
\[
- I \propto \frac{\sin^2 X}{X^2} \,,\qquad \text{wobei} \quad X = \half k s \sin \phi
+ I \propto \frac{\sin^2 X}{X^2} = \sinc^2 X \,,\qquad
+ \text{wobei} \quad X = \half k s \sin \phi
\]
\begin{center}
@@ -796,7 +876,8 @@ \section{Interferenz und Beugung} % (fold)
\textbf{Impulsoperator:}
\[
- \vec{\tilde{p}} = (\tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z) = \parens{
+ \vec{\tilde{\boldsymbol p}} = (\tilde{\boldsymbol p}_x,
+ \tilde{\boldsymbol p}_y, \tilde{\boldsymbol p}_z) = \parens{
\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x},
\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial y},
\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial z}
@@ -814,7 +895,7 @@ \section{Interferenz und Beugung} % (fold)
Die Wellenfunktion $\psi(z) = C\cdot \eu^{\iu kz}$ ist ein Eigenzustand des Impulsoperators:
\[
- \tilde p_z \psi(z) = \hbar k \psi(z) = p_z \psi(z)
+ \tilde{\boldsymbol p}_z \psi(z) = \hbar k \psi(z) = p_z \psi(z)
\]
Der Impuls kann exakt bestimmt werden (Impuls ist \textbf{scharf}). Das Teilchen kann aber nicht exakt lokalisiert werden (sein Ort ist \textbf{unscharf}).
@@ -825,7 +906,10 @@ \section{Interferenz und Beugung} % (fold)
0 & \text{sonst}
\end{array}\right.
\]
- Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen den Spalt passiert, ist $1$.
+ Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen den Spalt passiert:
+ \[
+ \int_{-\nicefrac s 2}^{\nicefrac s 2} \abs{\psi}^2 \diff y = 1
+ \]
Impulsverteilung der Teilchen nach dem sie den Spalt passiert haben (Fourier-Transformation von $\psi(y)$):
\[
@@ -841,12 +925,15 @@ \section{Interferenz und Beugung} % (fold)
~
Spalt bei $y=y_1$.
- \[
- \phi(p_y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \,\eu^{- \iu \frac{p_y}{\hbar} y_1}
- \]
- \[
- P(p_y) = |\phi(p_y)|^2 = \const
- \]
+
+ \begin{align*}
+ \psi(y) &= \delta(y - y_1) \\
+ \phi(p_y) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty}
+ \psi(y) \,\eu^{- \iu \frac{p_y}{\hbar} y_1}
+ = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \,\eu^{- \iu \frac{p_y}{\hbar} y_1} \\
+ P(p_y) &= |\phi(p_y)|^2 = \const
+ \end{align*}
+
Teilchen werden mit gleicher Wahrscheinlichkeit unter jedem Winkel gestreut (vgl.~Kugelwellen nach Spalt).
% subparagraph spalt_infinitesimaler_breite (end)
\subsection{Spalt endlicher Breite} % (fold)
@@ -875,7 +962,8 @@ \section{Interferenz und Beugung} % (fold)
\]
Beugungsmaxima treten nur auf bei
\[
- k_y = n \cdot \frac{2\pi}{a}
+ k_y = n \cdot \frac{2\pi}{a} \,\qquad
+ \sin \phi_n = n \frac{\lambda}{a}
\]
und werden mit zunehmenden $N$ immer schärfer.
% subsection die_beugung_an_einem_strichgitter (end)
@@ -889,6 +977,14 @@ \section{Interferenz und Beugung} % (fold)
\item[$m$:] Masse des Elektrons
\end{tightitemize}
% subsection compton_streuung (end)
+
+ \subsubsection{Bragg-Reflexion} % (fold)
+ Bragg'sche Gleichung erlaubt es, bei bekannter Wellenlänge $\lambda$ der
+ Röntgenstrahlung die Gitterkonstante $a$ zu bestimmen:
+ \[
+ 2 a \sin \Theta = n \lambda
+ \]
+ % subsubsection Bragg-Reflexion (end)
% section interferenz_und_beugung (end)
View
7 Physik II/graphics/doppelspalt.tex
@@ -41,18 +41,19 @@
% x-scale
\draw[thin,->] (0,0) -- (4,0) node[right] {$x$};
+ \draw[thin,|-|] (-.05,2) -- (5,2) node[above,pos=.5] {$a$};
% y-scale
- \draw[thin,->,xshift=-1] (0,2) -- (0,3) node[above] {$y$};
+ \draw[thin,|->] (5,0) -- (5,1.35) node[right,pos=.5] {$y$};
+ \draw[fill=black] (5,1.4) circle (.5mm) node[right]{$P$};
\foreach \i in {0,1,2} {
\draw[->,yshift=(\i-1)*-.75cm] (0,0) -- (3.25+0.2756*\i*.75,1);
};
\draw[rotate=16,xshift=.215cm,yshift=-.725cm] (0,0) -- (0,1.45);
- \draw (3.457,1) node[above right] {zum Punkt $P$};
\draw[->] (2,0) arc (0:16:2) node[below right] {$\theta$};
\draw[|-|,rotate=16,yshift=-.95cm] (-0.215,0) -- (0.215,0) node[rotate=-74,pos=.55,right,xshift=.1cm,fill=white] {$d\sin\theta$};
\end{scope}
-\end{tikzpicture}
+\end{tikzpicture}
View
10 Physik II/graphics/intensitaet.tex
@@ -1,14 +1,14 @@
%!TEX root = /Users/philipe/Documents/ETH/4. Semester/Physik/Zusammenfassung/Physik II - Zusammenfassung.tex
-\begin{tikzpicture}[>=latex,domain=-9.425:9.425,samples=100,xscale=.39,yscale=4]
+\begin{tikzpicture}[>=latex,domain=-9.425:9.425,samples=100,xscale=.39,yscale=2]
\draw[->] (-10,0) -- (10,0) node[right] {$X$};
- \draw[->] (-10,-.15) -- (10,-.15) node[right] {$\sin \phi$};
- \draw[->] (0,-.165) node[below] {$0 \vphantom{\frac \lambda s}$} -- (0,1.1) node[left] {$I$};
+ \draw[->] (-10,-.3) -- (10,-.3) node[right] {$\sin \phi$};
+ \draw[->] (0,-.33) node[below] {$0 \vphantom{\frac \lambda s}$} -- (0,1.1) node[left] {$I$};
\foreach \i in {-3,-2,-1,1,2,3} {
- \draw (\i*3.1416,.015) -- (\i*3.1416,-.015) node[below] {$\i\pi$};
+ \draw (\i*3.1416,.03) -- (\i*3.1416,-.03) node[below] {$\i\pi$};
};
\foreach \i in {-3,-2,-1,1,2,3} {
- \draw[yshift=-.15cm] (\i*3.1416,.015) -- (\i*3.1416,-.015) node[below] {$\i\frac{\lambda}{s}$};
+ \draw[yshift=-.3cm] (\i*3.1416,.03) -- (\i*3.1416,-.03) node[below] {$\i\frac{\lambda}{s}$};
};
\draw plot[id=intensitaet,smooth] function{sin(x)**2/x**2};
\end{tikzpicture}
View
18 Physik II/graphics/linse2.tex
@@ -0,0 +1,18 @@
+\begin{tikzpicture}[>=latex]
+ \draw[thick] (-2.5,0) -- (-2.5,0.8) node[left,pos=.5]{$y$};
+ \draw[thick] (3.5,0) -- (3.5,-1.07) node[right,pos=.5]{$y'$};
+ \draw (0,-1.2) -- (0,1.2);
+
+ \draw (-2.5,0.8) node[above]{$P$}
+ -- (0,0.8)
+ -- (3.5,-1.07) node[below]{$S$}
+ -- (0,-1.07)
+ -- (-2.5,0.8);
+
+ \draw[<->] (-2.5,0) -- (-1.5,0) node[pos=.5,fill=white]{$x$};
+ \draw[<->] (-1.5,0) -- (0,0) node[pos=.5,fill=white]{$f$};
+ \draw[<->] (3.5,0) -- (1.5,0) node[pos=.5,fill=white]{$x'$};
+ \draw[<->] (1.5,0) -- (0,0) node[pos=.5,fill=white]{$f$};
+
+ \draw[dashed] (-2.5,0.8) -- (3.5,-1.07);
+\end{tikzpicture}
View
24 Physik II/graphics/reflexion.tex
@@ -1,29 +1,29 @@
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\begin{scope}
- \clip (-1.5,0) rectangle (6,5);
+ \clip (-1.5,0) rectangle (5,3.1);
\foreach \i in {-1,1} {
\begin{scope}[rotate=\i*20,yshift=-2cm-\i*.75cm]
\foreach \i in {0,1,2}
- \draw (\i*2,0) -- (\i*2,7);
- \foreach \i in {0,1,...,5}
+ \draw (\i*2,0) -- (\i*2,4.5);
+ \foreach \i in {0,1}
\draw (0,\i*.5+4) -- (4,\i*.5+4);
\end{scope}
}
\end{scope}
\begin{scope}
- \clip (-.01,0) rectangle (5,-5);
+ \clip (-.01,0) rectangle (5,-2);
\begin{scope}[rotate=190,yshift=-2.5cm,xshift=-4.19cm,xscale=1.0475]
\foreach \i in {0,1,2}
- \draw (\i*2,0) -- (\i*2,7);
- \foreach \i in {0,1,...,5}
+ \draw (\i*2,0) -- (\i*2,4.5);
+ \foreach \i in {0,1}
\draw (0,\i*.5+4) -- (4,\i*.5+4);
\end{scope}
\end{scope}
\begin{scope}
\draw[thick] (-2,0) node[above]{Medium 1} node[below]{Medium 2} -- (5,0)
- (0,-4) -- (0,4);
+ (0,-2) -- (0,1.75);
\draw[thick,rotate=-20,yshift=1.45588cm] (4,0) -- (0,0);
\draw[rotate=20,yshift=0cm] (4,0) -- (0,0);
@@ -48,16 +48,16 @@
\draw[fill=black] (4.2567,0) circle (.5mm) node[below right]{$P$};
\end{scope}
- \draw[rotate=20,yshift=4.5cm,color=white] (0,0) -- (4,0) node[pos=.5,rotate=20,color=black]{einfallende Welle};
- \draw[rotate=-20,yshift=6cm,color=white] (0,0) -- (4,0) node[pos=.5,rotate=-20,color=black]{reflektierte Welle};
- \draw[rotate=10,yshift=-4.75cm,color=white,xscale=1.0475] (0,0) -- (4,0) node[pos=.5,rotate=10,color=black]{transmitierte Welle};
+ \draw[rotate=20,yshift=2cm,color=white] (0,0) -- (4,0) node[pos=.2,rotate=20,color=black]{einfallend};
+ \draw[rotate=-20,yshift=3.5cm,color=white] (0,0) -- (4,0) node[pos=.8,rotate=-20,color=black]{reflektiert};
+ \draw[rotate=10,yshift=-2.25cm,color=white,xscale=1.0475] (0,0) -- (4,0) node[pos=.5,rotate=10,color=black]{transmitiert};
\draw[->] (0,1) arc (90:110:1cm) node[xshift=-2mm,yshift=-1mm]{$\Theta_i$};
\draw[->] (0,1) arc (90:70:1cm) node[xshift=2.5mm,yshift=-1mm]{$\Theta_R$};
- \draw[->] (0,-2.25) arc (270:280:2.25cm) node[left,xshift=-3mm]{$\Theta_T$};
+ \draw[->] (0,-1.75) arc (270:280:1.75cm) node[left,xshift=-3mm]{$\Theta_T$};
\draw[->,rotate=-20] (0,0) -- (0,1.45588cm) node[pos=.3,fill=white,xshift=2mm,yshift=.5mm]{$c_1 \tau$};
- \draw[->,rotate=20,yshift=-1.45588cm] (4,0) -- (4,1.45588cm) node[pos=.5,fill=white]{$c_1 \tau$};
+ \draw[<-,rotate=20,yshift=-1.45588cm] (4,0) -- (4,1.45588cm) node[pos=.5,fill=white]{$c_1 \tau$};
\draw[->,rotate=10] (0,0) -- (0,-1.45588cm/2) node[pos=.5,xshift=3mm,yshift=.5mm]{$c_1 \tau$};
\end{tikzpicture}
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