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commit c5dbf606be545de2ff1b06bd8a8b6ed3238369b0 1 parent 61fe2c7
@fphilipe authored
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7 Thermodynamik II (LTNT)/content/1_mechanismen_der_waermeuebertragung.tex
@@ -13,8 +13,11 @@ \section{Mechanismen der Wärmeübertragung} % (fold)
Kann man auch als \emph{Diffusion von thermischer Energie} auffassen.
\paragraph{Das Gesetz von Fourier (Fourier's Law)} % (fold)
- \emphequation{equation*}{
- \dot q'' = - \lambda \Diff T x
+ \emphequation{align*}{
+ \dot q'' &= - \lambda \Diff T x \\
+ \dot q'' &= \frac{\dot q'}{2\pi r} = - \lambda \parens{
+ \Diff T r + \frac{1}{r} \Diff T \phi + \Diff T z
+ }
}
Wärmestromdichte ist proportional zum Temperaturgradienten.
\begin{itemize}
View
41 Thermodynamik II (LTNT)/content/3_stationaere_eindimensionale_waermeleitung.tex
@@ -1,6 +1,9 @@
%!TEX root = ../Thermodynamik II (LTNT).tex
-
\section{Stationäre eindimensionale Wärmeleitung} % (fold)
+ Mittlere Temperaturdifferenz bei gegebener Anfangs- und Endtemperaturdifferenz:
+ \emphequation{equation*}{
+ \overline{ \Delta T } = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln (\Delta T_1 / \Delta T_2)}
+ }
\subsection{Der Begriff des Wärmeleitwiderstandes} % (fold)
Analogie zwischen elektrischem Strom und Wärmestrom: $T \ \Rightarrow$ Potential, $\dot Q \ \Rightarrow$ Strom, $R \ \Rightarrow$ Widerstand, wobei
\emphequation{equation*}{
@@ -156,8 +159,8 @@ \section{Stationäre eindimensionale Wärmeleitung} % (fold)
\begin{tightitemize}
\item Bewegung in Längsrichtung mit Geschwindigkeit $u$
\item In Querrichtung durch Fluid angeströmt (konvektiver Wärmeübergang mit $\alpha$)
- \item Querschnittsfläche $S(x)$, welche von $x$ abhängen kann
- \item Umfang $P$
+ \item \textbf{Querschnittsfläche} $S(x)$, welche von $x$ abhängen kann
+ \item \textbf{Umfang} $P$
\item Temperaturverläufe innerhalb der Querschnittsfläche können vernachlässigt werden
\end{tightitemize}
@@ -184,9 +187,13 @@ \section{Stationäre eindimensionale Wärmeleitung} % (fold)
\emphequation{equation*}{
\frac{\diff^2 \theta}{\diff x^2} - m^2 \cdot \theta = 0
}
- mit \textbf{Rippenparameter} $m$ und \textbf{Übertemperatur} $\Theta$:
+ mit \textbf{Rippenparameter} $m$ und \textbf{Übertemperatur} $\theta$:
\[
- m^2 = \frac{\alpha \cdot P}{\lambda \cdot S}
+ m = \sqrt{
+ \frac{\alpha P}{\lambda S}
+ } = \sqrt{
+ \frac{4 \alpha}{\lambda D}
+ }
\,,\qquad
\theta = T - T_\infty
\]
@@ -196,16 +203,22 @@ \section{Stationäre eindimensionale Wärmeleitung} % (fold)
\theta(x) = C_1 \cdot \eu^{mx} + C_2 \cdot \eu^{-mx}
}
+ Wärmefluss durch den Fuss der Rippe:
+ \[
+ \dot Q_F = - \lambda S \Diff \theta x \Big|_{x = 0}
+ \]
+
\begin{description}
\item[1. Randbedingung:] Temperatur des Rippenfusses bekannt:
\[
- T(0) = T_\text{F} \quad \Rightarrow \quad \theta(0) = T_\text{F} - T_\infty = \theta_\text{F} = C_1 + C_2
+ T(0) = T_\text{F} \quad \Rightarrow \ \theta(0) = T_\text{F} - T_\infty = \theta_\text{F} = C_1 + C_2
\]
\item[2. Randbedingung:] mehrere Möglichkeiten:
\begin{description}
\item[Rippe bei $\boldsymbol{x = L}$ isoliert:] (gute Näherung zur Realität)
- \emphequation{equation*}{
- \theta(x) = \theta_\text{F} \cdot \frac{\cosh(m \cdot (L-x))}{\cosh (m\cdot L)}
+ \emphequation{align*}{
+ \theta(x) &= \theta_\text{F} \cdot \frac{\cosh(m \cdot (L-x))}{\cosh (m\cdot L)} \\
+ \dot Q_\text{F} &= \lambda \cdot S \cdot \theta_\text{F} \cdot m \cdot \tanh(m\cdot L)
}
\item[Konvektiver Wärmeübergang am Rippenende:]
\[
@@ -217,17 +230,13 @@ \section{Stationäre eindimensionale Wärmeleitung} % (fold)
&= \theta_\text{K} = C_1 \cdot \eu^{mL} + C_2 \cdot \eu^{-mL}
\end{align*}
\item[Rippe ist sehr lang (kein Wärmefluss bis zum Kopf):]
- \[
- C_1 = 0
- \]
+ \begin{align*}
+ C_1 &= 0 \\
+ \dot Q_F &= \lambda \cdot S \cdot \theta_F \cdot m
+ \end{align*}
\end{description}
\end{description}
- \textbf{Wärmeübertragungsleistung} (Wärmefluss, der am Fuss in die Rippe hineinfliesst bei adiabatem Kopf):
- \emphequation{equation*}{
- \dot Q_\text{F} = \lambda \cdot S \cdot \theta_\text{F} \cdot m \cdot \tanh(m\cdot L)
- }
-
Eine Rippe erreicht ihre \textbf{maximale Übertragungsleistung} bei $m\cdot L = 2$. Eine weitere Verlängerung erhöht die Wärme\-über\-tragung kaum.
Ein \textbf{effizienter Materialeinsatz} ist für $m\cdot L = 1$ gewähr\-leistet.
View
21 Thermodynamik II (LTNT)/content/6_erzwungene_konvektion.tex
@@ -42,10 +42,16 @@ \section{Erzwungene Konvektion an um\-ström\-ten Kör\-pern} % (fold)
Dimensionslose Zahlen:
\begin{description}
\item[Reynolds-Zahl:] $\mathrm{Re} = \frac{U_\infty \, L}{\nu} = \frac{\rho\, U_\infty \, L}{\mu} = \frac{\text{Massenträgheit}}{\text{Zähigkeit}}$
- \item[Prandtl-Zahl:] $\mathrm{Pr} = \frac{\nu}{a} = \frac{\text{Zähigkeit}}{\text{Wärmetransport}}$
+ \item[Prandtl-Zahl:] $\mathrm{Pr} = \frac{\nu}{a} = \frac{\mu c}{\lambda}
+ = \frac{\text{Zähigkeit}}{\text{Wärmetransport}}$
\item[Peclet-Zahl:] $\mathrm{Pe} = \mathrm{Re} \cdot \mathrm{Pr} = \frac{U_\infty \, L}{a} = \frac{\text{Massenträgheit}}{\text{Wärmetransport}}$
\item[Nusselt-Zahl:] $\mathrm{Nu} = \frac{\overline\alpha \, L}{\lambda}$
\end{description}
+ wobei
+ \begin{align*}
+ \nu &= \frac{\mu}{\rho} \\
+ a &= \frac{\lambda}{\rho c}
+ \end{align*}
\subsubsection{Strömungswiderstand} % (fold)
Abschätzung der Dicke der Grenzschicht:
@@ -136,7 +142,9 @@ \section{Erzwungene Konvektion an um\-ström\-ten Kör\-pern} % (fold)
Entwicklung der Temperaturgrenzschicht:
\[
- \frac{\delta_T}{x} = \frac{\delta_u}{x} \cdot \mathrm{Pr}^{-\nicefrac 1 3} = 3.464 \cdot \mathrm{Re}_x^{-\nicehalf} \cdot \mathrm{Pr}^{-\nicehalf 1 3}
+ \frac{\delta_T}{x} = \frac{\delta_u}{x} \cdot
+ \mathrm{Pr}^{-\nicefrac 1 3} = 3.464 \cdot \mathrm{Re}_x^{-\nicehalf}
+ \cdot \mathrm{Pr}^{-\nicefrac 1 3}
\]
Wärmeübergangskoeffizient:
@@ -169,9 +177,12 @@ \section{Erzwungene Konvektion an um\-ström\-ten Kör\-pern} % (fold)
}^{\nicefrac 2 3}
\right]^{\nicefrac 1 4}} & \mathrm{Pe}_x = \mathrm{Re}_x \cdot \mathrm{Pr} > 100
\end{align*}
- \[
- \alpha(x) \approx \frac{\mathrm{Re}_x^{\nicehalf}}{x} \approx x^{-\nicehalf} \quad \Rightarrow \quad \overline\alpha = 2 \cdot \alpha(L)\,,\quad \overline{\mathrm{Nu}} = 2 \cdot \mathrm{Nu}_L
- \]
+
+ \emphequation{equation*}{
+ \overline{\mathrm{Nu}} = 2 \cdot \mathrm{Nu}_L \quad \Rightarrow \quad
+ \overline \alpha(L)
+ }
+
% paragraph die_temperaturgrenzschicht (end)
% subsection exakte_lösung (end)
View
4 Thermodynamik II (LTNT)/content/titelseite.tex
@@ -3,7 +3,7 @@
\frontmatter
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
- \begin{minipage}{0.35\linewidth}
+ \begin{minipage}{0.37\linewidth}
\vskip 1cm
\begin{flushleft}
@@ -36,4 +36,4 @@
\end{center}
\thispagestyle{empty}
\clearpage
-\mainmatter
+\mainmatter
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