# 数学真题错题收集处理
## 高等数学

## 线性代数



## 概率论



# 整理归纳
## 线性代数中的定义区分

1. 特征根与特征向量  
$$A\xi=\lambda\xi$$
> 性质
>> 特征根的和为迹的和$\sum \lambda_i=\sum a_{ii}$  
>> 特征根的积为矩阵的行列式  $\prod\lambda_i=\vert A\vert$ 


2. 矩阵相似
$$P^{-1}AP=B\qquad A\sim B$$
> 具有以下性质  
>> 1. $r(A)=r(B)$  
>> 2. $\vert A\vert=\vert B\vert$  
>> 4. $\lambda_A=\lambda_B$
>> 3. $\mathrm{tr}[A]=\mathrm{tr}[B]$

> 相似对角化的方法  
>> 1. 有$n$个特征值直接对角化
>> 2. 特征值有$r$重根对应$r$个向量  
>>> 注意：$3$阶矩阵的处理中$2$重根一定可以对角化  


3. 矩阵合同
$$C^TAC=B\qquad A\simeq B$$ 

> 合同的充要条件
>> **具有相同的正负惯性指数**

> 二次型的正定  
>> 二次型的正定有以下几个充要条件  
>> 1. $x^TAx>0$  
>> 2. 正惯性指数为$n$  
>> 3. $A\sim E$  
>> 4. $A=D^TD$
>> 5. 顺序主子式都大于$0$


4. 向量组秩的等式与不等式  
> $r(A+B)\le r(A\vert B)\le r(A)+r(B)\le r(AB)+n$

5. 向量空间几个公式
> 坐标的表示
>> $\begin{bmatrix}\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_1\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{bmatrix}$

> 坐标变换
>> $C$是过渡矩阵  
>> $\begin{bmatrix}\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\end{bmatrix}C$  
>> $x=Cy$

> 施密特正交化  
> 在此直接处理为单位正交
>> $$\begin{cases}\beta_1=\alpha_1&\eta_1=\frac{\beta_1}{\Vert\beta_1\Vert}\\\beta_2=\alpha_2-(\alpha_2,\eta_1)\eta_1&\eta_1=\frac{\beta_2}{\Vert\beta_2\Vert}\\\beta_3=\alpha_3-(\alpha_3,\eta_1)\eta_1-(\alpha_3,\eta_2)\eta_2&\eta_1=\frac{\beta_3}{\Vert\beta_3\Vert}\end{cases}$$


## 微分方程
1. 特征根型$y''+py'+qy=P_n(x)\exp(\alpha x)$  
    实根：  
    $$
    \begin{cases}
        \begin{cases}
            y=C_1\exp(\lambda_1 x)+C_2\exp(\lambda_2 x)&
            \lambda_1\neq \lambda_2\\
            y=(C_1x+C_2)\exp(\lambda x)&
            \lambda_1=\lambda_2
        \end{cases}\\
            y^*=Q_n(x)\exp(\alpha x)x^\lambda
            \begin{cases}
                0&
                \alpha\neq\lambda_1\ and\ \alpha\neq\lambda_2\\
                1&
                \alpha=\lambda_1\ or\ \alpha=\lambda_2\\
                2&
                \alpha=\lambda_1=\lambda_2
            \end{cases}
    \end{cases}
    $$
    虚根：  
    $$
    \begin{cases}
        y=\exp(\alpha x)(C_1\cos\beta x+C_1\sin\beta x)\\
        y^*=Q_n(x)\exp(\alpha x)x^\lambda
        \begin{cases}
            0&
            \alpha+\beta i\neq\lambda\\
            1&
            \alpha+\beta i=\lambda
        \end{cases}
    \end{cases}
    $$
2. 公式型  
    1. $y'+p(x)y=q(x)$  
        两边同乘$\exp(\int p(x)\mathrm{d}x)$可得  
        $\exp(\int p(x)\mathrm{d}x)\cdot y=\int\exp(\int p(x)\mathrm{d}x)q(x)\mathrm{d}x$

    2. $y'+p(x)y=q(x)y^n$  
        两边同除$y^n$ 令 $z=y^{1-n}$可得  
        $\frac{1}{1-n}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+p(x)z=q(x)$  
        化为第一种情况
    3. $x^2y''+pxy'+qy=f(x)$
        令 $t=\ln x$ 可得
        $\frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}t^2}+(p-1)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+qy=f(\exp(t))$

3. 降解法
    1. 方程不含 $x$  
        $y'=p\ y''=p'$
    2. 方程不含 $y$  
        $y'=p(x)\ y''=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$ 

## 概率
### 基本公式  
|名称|公式|$\mathrm{E}$|$\mathrm{D}$|
|-|:-:|:-:|:-:|
|二项分布$B(n,p)$|$p_k=P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$|$np$|$np(1-p)$|
|几何分布$G(p)$|$p_k=P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$|$\frac{1}{p}$|$\frac{1-p}{p^2}$|
|超几何分布$H(N,M,n)$|$p_k=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$|$n\frac{M}{n}$|$\frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$|
|泊松分布$P(\lambda)$|$p_k=\frac{\lambda^k}{k!}\exp(-\lambda)$|$\lambda$|$\lambda$|
|
|均匀分布$U(a,b)$|$F(x)=\frac{x-a}{b-a}$|$\frac{b-a}{2}$|$\frac{(b-a)^2}{12}$|
|指数分布$E(\lambda)$|$F(x)=1-\exp(-\lambda x)$|$\frac{1}{\lambda}$|$\frac{1}{\lambda^2}$|
|正态分布$N(\mu,\sigma)$|$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp(-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2)$|$\mu$|$\sigma^2$|
|卡方分布$\chi^2(n)$|略|$n$|$2n$|

### 基本概念  
#### 协方差与相关系数
$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E[(X-\mathrm{E}X)(Y-\mathrm{E}Y)]=\mathrm{E}(XY)-\mathrm{E}X\mathrm{E}Y$$
$$\rho_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}$$
#### 切比雪夫不等式
$P\{\vert X-\mathrm{E}X\vert\ge\epsilon\}\le\frac{\mathrm{D}X}{\epsilon^2}$
> 偏离均值$\epsilon$的概率一定小于等于方差比$\epsilon^2$
#### $\chi^2$分布、$t$分布、$F$分布
1. $\chi^2$分布  
$X=\sum X_i^2$ 其中$X_i^2$遵循$N(0,1)$  
$X\sim\chi(n)$  
>$X_i^2\sim\chi(1)$

2. $t$分布  
$t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$ 其中$Y\sim\chi(n),X\sim N(0,1)$
> 使用采样代替正态分布  

3. $F$分布  
$F=\frac{X/n_1}{Y/n_2}$ 其中$X\sim\chi(n_1),Y\sim\chi(n_2)$

## 概率密度求法
1. 一到一
设$X,Y$是连续性分布变量
定义法：  
$F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P(g(X)\le y)=\int_{g(x)\le y}f(x)\mathrm{d}x$  
公式法：
$f_Y(y)=f_X(h(y))\vert h'(y)\vert$

2. 二到一
设$X,Y,Z$是连续性分布变量

3. 从$f(x,y)$求$f_X(x),f_X(x)$
划线积分法：
> 找到所需要求的面，对概率密度进行求面积分

公式法
> P96 记忆




## 距估计法和极大似然法


## 无偏、有效、一致
1. 无偏  
即判断$E(X)=Y$  
其中$X$是从样本得到估计，$Y$是从分布得到
> 样本方差$\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\overline{X})$和样本期望$\frac{1}{n}\sum X_i$是无偏的，但是标准差不是

2. 有效  
即判断$D(X_1),D(X_2)$，$X_1,X_2$是两个不同的估计

3. 相合
$n\rightarrow\infty$时，$\mathrm{E}X=Y$  
其中$X$是从样本得到估计，$Y$是从分布得到
> 首先求证无偏，然后求方差，根据切比雪夫不等式取极限求得

## 平方、立方求和公式


## 立体几何特殊公式
1. 曲面$F(x,y,z)=0$ 的法向量 $(F'_x,F'_y,F'_z)$
2. 曲线


## 傅立叶级数


## 曲率公式
$k=\frac{y''}{(1+y{'}^2)^\frac{3}{2}}$
$R=\frac{1}{k}$


## 条件收敛与绝对收敛的判断
加绝对值后发散->条件收敛

## 线性代数易混淆的概念
向量组&矩阵的等价


## 特殊积分公式
$\int\exp(-x^2)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mathrm{Erf}(x)$

## 极值问题
拉格朗日乘数法

## 高次方程求导公式