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=== Ideelle Injektive

Idee: Wie Marc ideelle Oberkörper definiert hat, sind vielleicht auch ideelle
Injektive nützlich.

* Ein dynamisches Injektives I mit X ^--> I konstruiert man wie folgt:

  Setze zunächst I := X. Wenn dann eine Liftung nicht klappt -- also kein F mit

      0 ---> A -i-> B
             |     /
            f|    /F
             |   /
             v  /
             I <

  existiert --, ersetze I durch I' := cok ((f,i) : A --> I oplus B).

  Habe dann einen Morphismus I --> I', der injektiv ist;
  und ein F : B --> I' existiert trivialerweise (Einbettung in zweiten
  Summanden).

* Ist 0 --> I --> Y --> Z --> 0 eine kurze exakte Sequenz mit I ideelles
  Injektives, so ist das durch die Forderung, dass I --> Y ein Koschnitt
  besitzen soll, erhaltene I' leider isomorph zu Y und passt daher nicht mehr
  in eine kurze exakte Sequenz der Form

      0 --> I' --> Y --> Z --> 0.

* Ideelle Injektive können nur funktionieren, wenn man nicht *immer*
  eine Ersetzung vornehmen muss. Aber auch dann sind unendliche Regresse leider
  wohl grundsätzlich möglich.

* Ich hatte gedacht, dass sich ein ideelles Injektives und all seine
  Ersetzungen in ein bestimmtes wirklich Injektives einbetten lässt. Dann
  könnte man über Noetherianität vielleicht irgendwie argumentieren. Aber das
  klappt nicht.

* Bei ideellen Oberkörpern der Form K[X]/(f) können nur endlich viele
  Ersetzungen passieren, da der Polynomgrad in jedem Schritt abnimmt. Das ist
  also viel besser.

* Idee: Möchte Disjunktion "es existiert ein Lift oder eine Klasse in Ext^1"
  haben.


=== Baer gut und konstruktiv?

* Erfülle M die Baer-Bedingung (lineare Abbildungen lassen sich längs
  Idealinklusionen fortsetzen). Dann ist M injektiv für alle Injektionen A → B
  mit endlich erzeugtem Quotient, wie eine einfache Induktion zeigt.

  Gelernt natürlich von Martin Brandenburg,
  https://math.stackexchange.com/questions/586169/zorns-lemma-and-injective-modules.

  Dabei wird die Baer-Bedingung auf ein Ideal der Form (A' : y) angewendet,
  wobei y (ein Repräsentant eines) Erzeugers von B/A und A' eine
  Zwischenerweiterung von B|A der Form A + span(...) ist.

  Wenn die Baer-Bedingung funktional erfüllt ist, geht das auch für B/A
  abzählbar erzeugt.

  Idee also, in der Kategorie der abzählbaren Gruppen zu arbeiten. In der ist
  die Existenz von Kernen nicht klar. Also Gruppen mit partieller Surjektion
  aus ℕ heraus. Die Potenzmengenkonstruktionen für die Herstellung der
  Baer-Bedingung führt aber aus dieser Klasse heraus:

  * Es gibt keine partielle Surjektion f : X → P(X).

    Betrachte M = { x ∈ X | falls f(x) definiert ist und x ∈ f(x), dann ⊥ }.
    Wegen Surjektivität existiert x₀ mit f(x₀) = M.
    Insbesondere ist f(x₀) definiert. Es gilt also:

        x₀ ∈ M  ↔  ¬(x₀ ∈ M).

* Kann ich maximale Fortsetzung konstruieren wie im Papier mit Peter?

  B_0 := A, B_{n+1} := B_n + (x_n | B_n + (x_n) → M ist wohldef. und linear)

* In welcher Kategorie von Moduln habe ich beide folgenden Dinge?

  1. Injektionen haben endlich erzeugte Quotienten.
  2. Es gibt Moduln, die die Baer-Bedingung erfüllen.


=== Ideelle Oberkörper als Kolimes?

Sei f ein Polynom aus K[X] mit Grad >= 1. Dann ist L := K[X]/(f) ein ideeller
Oberkörper von f, in dem f mindestens eine Nullstelle besitzt. Dieses L kann
aber nicht realisiert werden als

    colim K[X]/(g), über alle g | f, deg g >= 1.

Dieses Diagramm hat nämlich (mit klassischer Logik) mehrere Konvergenzpunkte.


=== Ideelle Oberkörper als tatsächliche Körper in einem neuen Topos

Sei f aus K[X]. Sei I die durch Teilbarkeit partiell geordnete Menge aller
Teiler von f. Die so induzierte Kategorie können wir mit einer
Grothendiecktopologie versehen, wenn wir definieren:

    Eine Überdeckung eines Polynoms g ist eine Familie g_i von Teilern von g
    derart, dass ihr kgV ein Vielfaches von g ist.

Ziemlich sicher erfüllt diese Definition die richtigen Axiome. Insbesondere ist
(d,d') eine Überdeckung von g, falls g = d d'.

Der Topos der Garben auf I enthält dann den Ring L,

    L(g) := K[X]/(g),

welcher aus Sicht der internen Sprache sogar ein Körper ist.

Vermutlich stimmt also folgendes allgemeines Prinzip: Ist K ein Körper eines
Topos E und f ein Polynom aus K[X], so gibt es einen Topos E[f] --> E, der eine
Körpererweiterung pi^* K --> L enthält, in der f mindestens eine Nullstelle
besitzt. (Führe dazu obige Konstruktion intern in E aus und nutze das
Idempotenzlemma.)

* Siehe auch: http://arxiv.org/abs/1404.4549 von Mannaa und Coquand.

* http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022404980901267
  Kennison: Galois theory and theaters of action in a topos

* Nun sollte E[f] --> E surjektiv sein, damit es erlaubt ist,
  geometrische Implikationen in E "oBdA in E[f] zu beweisen".


=== Zerfällungsalgebra

"Besser" als Zerfällungskörper: Die Zerfällungsalgebra A eines Polynoms

    f = X^n - a_1 X^(n-1) +- ... \in K[X]

ist K[X_1, ..., X_n]/(sigma_1 - a_1, ..., sigma_n - a_n) mit den
elementarsymmetrischen Funktionen sigma_i. Man kann zeigen, dass K --> A
injektiv ist. Morphismen A --> R über K entsprechen 1:1 (und S_n-äquivariant)
Linearfaktorzerlegungen von f in R (unter Beachtung der Reihenfolge).

Literatur:
* Richman. Van der Waerden's construction of a splitting field.
* Cohen, Coquand. A constructive version of Laplace's proof on the existence of complex roots.

Inwieweit gibt das dasselbe, wie mehrmals die Kronecker-Konstruktion zu
verwenden? Die gibt jedenfalls auch einen injektiven Morphismus. Der Grundring K
muss kein Körper sein, beliebiger Ring genügt.

Es stimmt jedenfalls im Fall, dass deg(f) = 2, und ich glaube eigentlich, dass
es auch im Allgemeinen stimmt. Denn ich glaube, Ringhomos in beide Richtungen
zu sehen.

Ich glaube sogar, dass beide Konstruktionen folgende universelle Eigenschaft
haben: Sie sind initial unter allen Ringhomos K --> R zusammen mit Tupeln
(x1,...,xn) in R, sodass f in R in das Produt der xi zerfällt. Morphismen von
solchen Dingen müssen die Nullstellen erhalten.

Habe noch mal drüber nachgedacht und bin immer noch der Meinung, dass das
stimmt. :-)


=== Beispiel: Diskreter Körper, der nicht als faktoriell erkannt werden kann

Sei phi eine beliebige Aussage.
Sei K = { z \in Q[i] | z \in Q oder phi }.
Dann ist (X^2+1) reduzibel in K genau dann, wenn phi.


=== Ideelle welke Moduln

* Sollten gut möglich sein. Aber helfen sie was? Sie sind vermutlich nicht
  endlich präsentiert oder so.


=== Nächste Schritte

* Coquand "Algebraically closed fields" verstehen, insb. die Anwendung
  zur Berechnung von Zweigen algebraischer Kurven.

* Zeigt Marc, dass es nicht nicht Zerfällungskörper gibt?
  Wenn ja, wie genau funktioniert der Beweis "K funktoriell ==> K(y)
  funktoriell"?

* "Wissen im Grenzwert". Hat das was mit ideellen Oberkörpern zu tun?
  Schließlich wird der ideelle Zerfällungskörper schlussendlich mit dem
  richtigen übereinstimmen, wenn man lange genug hinreichend geeignete
  Operationen mit ihm ausführt.