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Lösung zum 1. Übungsblatt #1

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2 participants

@timjb

Hallo,

wie abgemacht die Lösungen zum 1. Übungsblatt. Detailkritik zum Mathesprech und zum LaTeX-Code ist willkommen!

Viele Grüße,
Tim

@iblech iblech merged commit 3cedf58 into iblech:gh-pages
@iblech
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Commits on Mar 7, 2013
  1. @timjb

    Lösung zum 1. Übungsblatt

    timjb authored
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  1. +1 −1  index.html
  2. BIN  loesung01.pdf
  3. +249 −0 loesung01.tex
View
2  index.html
@@ -123,7 +123,7 @@ <h2 class="noskip">Worum geht es?</h2>
<td>Ingo Blechschmidt</td>
<td><a href="was-sollen-kategorien/was-sollen-kategorien.pdf">Was sind
und was sollen Kategorien?</a></td>
- <td><a href="uebung01.pdf">1.&nbsp;Übungsblatt</a> (Lösung folgt)</td>
+ <td><a href="uebung01.pdf">1.&nbsp;Übungsblatt</a> <a href="loesung01.pdf">Lösung</a></td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
View
BIN  loesung01.pdf
Binary file not shown
View
249 loesung01.tex
@@ -0,0 +1,249 @@
+\documentclass[a4paper,ngerman]{scrartcl}
+
+%\usepackage{ucs}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+
+\usepackage[ngerman]{babel}
+
+\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,amscd,color,graphicx}
+
+%\usepackage[small,nohug]{diagrams}
+%\diagramstyle[labelstyle=\scriptstyle]
+
+\usepackage[protrusion=true,expansion=true]{microtype}
+
+\usepackage{lmodern}
+\usepackage{tabto}
+
+\usepackage[natbib=true,style=numeric]{biblatex}
+\usepackage[babel]{csquotes}
+\bibliography{lit}
+
+\usepackage[all]{xy}
+
+%\usepackage{hyperref}
+
+\setlength\parskip{\medskipamount}
+\setlength\parindent{0pt}
+
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{defn}{Definition}
+\newtheorem{bsp}[defn]{Beispiel}
+
+\theoremstyle{plain}
+
+\newtheorem{prop}[defn]{Proposition}
+\newtheorem{ueberlegung}[defn]{Überlegung}
+\newtheorem{lemma}[defn]{Lemma}
+\newtheorem{kor}[defn]{Korollar}
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+
+\theoremstyle{remark}
+\newtheorem{bem}[defn]{Bemerkung}
+
+\clubpenalty=10000
+\widowpenalty=10000
+\displaywidowpenalty=10000
+
+\newcommand{\lra}{\longrightarrow}
+\newcommand{\lhra}{\ensuremath{\lhook\joinrel\relbar\joinrel\rightarrow}}
+\newcommand{\thlra}{\relbar\joinrel\twoheadrightarrow}
+
+\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
+\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
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+\newcommand{\C}{\mathcal{C}}
+\newcommand{\RP}{\mathbb{R}\mathrm{P}}
+\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
+\newcommand{\Set}{\mathrm{Set}}
+\newcommand{\Spur}[1]{\operatorname{Spur}#1}
+\newcommand{\rank}[1]{\operatorname{rank}#1}
+\newcommand{\sgn}[1]{\operatorname{sgn}#1}
+\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
+\newcommand{\Aut}[1]{\operatorname{Aut}(#1)}
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+\newcommand{\freist}{\underline{\ \ }}
+\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
+\DeclareMathOperator{\rk}{rk}
+\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}
+\DeclareMathOperator{\Bild}{im}
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+\newcommand{\Zzwei}{\Z_2}
+
+\newcommand{\XXX}[1]{\textcolor{red}{#1}}
+
+\renewcommand*\theenumi{\alph{enumi}}
+\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi)}
+
+\usepackage{enumerate}
+
+\pagestyle{empty}
+
+%\newarrow{Equals}=====
+
+\usepackage{geometry}
+\geometry{tmargin=2cm,bmargin=3cm,lmargin=3cm,rmargin=3cm}
+
+\begin{document}
+
+\vspace*{-4em}
+\begin{flushright}Universität Augsburg \\ 8. März 2013\end{flushright}
+
+\begin{center}\Large \textbf{Pizzaseminar zur Kategorientheorie} \\
+Lösung zum 1. Übungsblatt
+\end{center}
+\vspace{2em}
+
+\newbox{\mybox}
+\setbox\mybox=\hbox{\textbf{Aufgabe 1:}}
+
+%\begin{list}{}{\labelwidth\wd\mybox \leftmargin\wd\mybox \itemsep 1.3em}
+\begin{list}{}{\labelwidth0em \leftmargin0em \itemindent0.5em \itemsep 1.3em}
+\item[\textbf{Aufgabe 1:}]\mbox{}
+\begin{enumerate}
+\item Eine mögliche Antwort ist die Kategorie \textbf{Grp}, deren Objekte die Klasse aller
+Gruppen ist, und die als Morphismen die Gruppenhomomorphismen mit der üblichen Komposition von Abbildungen besitzt. Initiale und terminale Objekte in \textbf{Grp} sind alle trivialen Gruppen.
+\item Wir nennen die Kategorie~$K$ und geben den Objekten und den Morphismen im Diagramm Namen und können mit diesen die Objekte, Morphismen und die Kompositionsvorschrift direkt angeben:\vspace{-2em}
+
+ ${\xymatrix{
+ & A \ar[d]^f \ar@(ur,ul)_{\id_A} \\
+ B \ar[r]^g \ar@(ul,dl)_{\id_B} & C \ar@(dr,ur)_{\id_C}
+ }}$
+ {\small
+ \setlength{\tabcolsep}{3pt}
+ $\vtop{\begin{tabular}{l l l}
+ \\
+ \\
+ $\Ob(K) = \{A, B, C\}$ & & \\
+ \noalign{\smallskip}
+ $\Hom(A, A) = \{\id_A\}$ & $\Hom(B, A) = \varnothing$ & $\Hom(C, B) = \varnothing$ \\
+ $\Hom(A, B) = \varnothing$ & $\Hom(B, B) = \{\id_B\}$ & $\Hom(C, B) = \varnothing$ \\
+ $\Hom(A, C) = \{f\}$ & $\Hom(B, C) = \{g\}$ & $\Hom(C, C) = \{\id_C\}$ \\
+ \noalign{\smallskip}
+ $\id_A \circ \id_A = \id_A$ & $\id_B \circ \id_B = \id_B$ & $\id_C \circ \id_C = \id_C$ \\
+ $f \circ \id_A = f$ & $g \circ \id_B = g$ & $\id_C \circ f = f$ \\
+ & & $\id_C \circ g = g$
+ \end{tabular}}$
+ }
+
+\item Angenommen $\id_X$ und $\widetilde{\id}_X$ sind beides Identitätsmorphismen für ein Objekt~$X$ einer Kategorie. Dann gilt für alle passende Morphismen $f$ und $g$
+
+ $f \circ \widetilde{\id}_X = f$ und $\id_X \circ g = g$.
+
+ Insbesondere ist $\id_X = \id_X \circ \widetilde{\id}_X = \widetilde{\id}_X$.
+\end{enumerate}
+
+\item[\textbf{Aufgabe 2:}]
+Sei~$f:X \to Y$ eine Abbildung zwischen Mengen.
+\begin{enumerate}
+\item $f$ injektiv $\Rightarrow$ $f$ Monomorphismus:
+
+ \begin{addmargin}{2em}
+ Seien $g, g':W \to X$ zwei Abbildungen mit $f \circ g = f \circ g'$. Zu zeigen: $g = g'$.
+ Sei dazu $w \in W$ beliebig. Dann ist $f(g(w)) = f(g'(w))$ und weil f injektiv ist,
+ $g(w) = g'(w)$ für alle $w \in W$.
+ \end{addmargin}
+
+ $f$ Monomorphismus $\Rightarrow$ $f$ injektiv:
+
+ \begin{addmargin}{2em}
+ Seien $x, x' \in X$ beliebig mit $f(x) = f(x')$. Zu zeigen: $x = x'$. Definiere dazu
+ \begin{align*}
+ g &\colon\{\star\} \to X, \enskip\star \mapsto x \\
+ g' &\colon\{\star\} \to X, \enskip\star \mapsto x'.
+ \end{align*}
+ Es gilt offensichtlicherweise $f \circ g = f \circ g'$ und da $f$ Monomorphismus ist,
+ auch $g = g'$. Also ist $x = g(\star) = g'(\star) = x'$.
+ \end{addmargin}
+
+\item $f$ surjektiv $\Rightarrow$ $f$ Epimorphismus:
+
+ \begin{addmargin}{2em}
+ Seien $g, g':Y \to Z$ zwei Abbildungen mit $g \circ f = g' \circ f$. Zu zeigen: $g = g'$.
+ Sei dazu $y \in Y$ beliebig. Da $f$ surjektiv ist, gibt es ein $x \in X$ mit $f(x) = y$. Rechne:
+ $$g(y) = g(f(x)) = (g \circ f)(x) = (g' \circ f)(x) = g'(f(x)) = g'(y)$$
+ \end{addmargin}
+
+ $f$ Epimorphismus $\Rightarrow$ $f$ surjektiv:
+
+ \begin{addmargin}{2em}
+ Sei $y \in Y$. Zu zeigen: $y \in \Bild(f)$. Definiere dazu
+ \begin{align*}
+ g&:Y \to \mathcal{P}(\{\star\}), \enskip\widetilde{y} \mapsto \{\star\} \\
+ g'&:Y \to \mathcal{P}(\{\star\}), \enskip\widetilde{y} \mapsto \{\star~|~\widetilde{y} \in \Bild(f) \}.
+ \end{align*}
+ Es gilt offensichtlicherweise $g \circ f = g' \circ f$ und da $f$ Epimorphismus ist,
+ auch $g = g'$. Also ist $\{\star\} = g(y) = g'(y) = \{\star~|~y \in \Bild(f)\}$ und damit beide Mengen gleich sind, muss $y \in \Bild(f)$ gelten.
+ \end{addmargin}
+\end{enumerate}
+
+\item[\textbf{Aufgabe 3:}]
+Seien $f:X \to Y$ und~$g:Y \to Z$ Morphismen einer beliebigen Kategorie~$\C$.
+\begin{enumerate}
+\item Zu zeigen: $f$ ist Monomorphismus, wenn $g \circ f$ Monomorphismus ist.
+ Seien dazu $h, h' : W \to X$ mit $f \circ h = f \circ h'$. Dann ist
+ $g \circ f \circ h = g \circ f \circ h'$ und da $g \circ f$ Monomorphismus ist,
+ folgt $h = h'$ wie gewünscht.
+\item Die zu a) duale Aussage ist:
+
+ Seien $f:Y \to X$ und~$g:Z \to Y$ Morphismen einer beliebigen Kategorie. Wenn $f \circ g$ Epimorphismus ist, so ist auch $f$ Epimorphismus.
+\end{enumerate}
+
+
+\item[\textbf{Aufgabe 4:}]\mbox{}
+\begin{enumerate}
+\item $f$ Isomorphismus in \textbf{Grp} $\Rightarrow$ $f$ Gruppenisomorphismus:
+
+ \begin{addmargin}{2em}
+ Wenn $f$ Isomorphismus in \textbf{Grp} ist, so ist $f$ ein Gruppenhomomorphismus und besitzt eine Umkehrabbildung $f^{-1}$, ist also bijektiv. Damit ist $f$ nach Definition Gruppenisomorphismus.
+ \end{addmargin}
+
+ $f$ Gruppenisomorphismus $\Rightarrow$ $f$ Isomorphismus in \textbf{Grp}:
+
+ \begin{addmargin}{2em}
+ Da $f : H \to G$ Gruppenisomorphismus ist, ist $f$ insbesondere bijektiv und besitzt daher eine Umkehrabbildung $f^{-1}$.
+ Diese Umkehrabbildung ist sogar ein Gruppenhomomorphismus:
+ $$f^{-1}(h \circ \widetilde{h}) = f^{-1}(f(g) \circ f(\widetilde{g})) = f^{-1}(f(g \circ \widetilde{g})) = g \circ \widetilde{g} = f^{-1}(h) \circ f^{-1}(\widetilde{h})$$
+ Dabei haben wir verwendet, dass $f$ surjektiv ist, und daher $g, \widetilde{g} \in G$ existieren mit
+ $f(g) = h$ und $f(\widetilde{g}) = \widetilde{h}$. Damit befindet sich $f^{-1}$ auch in \textbf{Grp} und bildet dort das Inverse zu $f$.
+ \end{addmargin}
+\item
+ \emph{Beobachtung}: In jeder beliebigen Kategorie sind die Identitätsmorphismen sowohl Mono- als auch Epimorphismus, denn wenn $\id \circ f = \id \circ \widetilde{f}$ bzw. $g \circ \id = \widetilde{g} \circ \id$ gilt, folgt $f = \widetilde{f}$ bzw. $g = \widetilde{g}$ aus den Kategorienaxiomen.
+
+ Wenn $f$ Isomorphismus ist, so gibt es einen Morphismus $f^{-1}$ mit
+ \begin{enumerate}[(1)]
+ \item $f \circ f^{-1} = id$
+ \item $f^{-1} \circ f = id$
+ \end{enumerate}
+ Aus (1) folgt mit 3b), dass f Epimorphismus ist, und aus (2) folgt mit 3a), dass f Monomorphismus ist.
+
+ Die Umkehrung gilt nicht, wie folgendes Gegenbeispiel zeigt:
+
+ \begin{center}
+ ${\xymatrix{
+ & A \ar@(dl,ul)^{\id_A} \ar[r]^f & B \ar@(dr,ur)_{\id_B} \\
+ }}$
+ \end{center}
+
+ Hier ist $f$ Monomorphismus und Epimorphismus, da wir $f$ nur mit den Identitätsmorphismen $\id_A$ und $\id_B$ verknüpfen können und somit wieder $f$ erhalten. Allerdings ist $f$ kein Isomorphismus, da es keinen Morphismus von $B$ nach $A$ gibt.
+\end{enumerate}
+
+\item[\textbf{Aufgabe 5:}]
+Sei~$G$ eine Gruppe. Wir definieren die Kategorie $BG$ durch
+
+ \begin{enumerate}[(1)]
+ \item $\Ob(BG) = \{A\}$
+ \item $\Hom(A, A) = G$
+ \item Die Komposition in BG entspricht der Komposition der Gruppe.
+ \end{enumerate}
+
+ Diese Definition ergibt tatsächlich eine Kategorie, da die Komposition in jeder Gruppe assoziativ ist, und jede Gruppe ein neutrales Element besitzt, das in $BG$ den Identitätsmorphismus auf $A$ ergibt.
+ Diese Definition ist auch sinnvoll, da sich aus der Komposition von Morphismen wieder die gesamte Struktur der Gruppe ablesen lässt.
+\end{list}
+
+\end{document}
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