Skip to content

HTTPS clone URL

Subversion checkout URL

You can clone with
or
.
Download ZIP
Browse files

Finished writing one of the main theorems.

  • Loading branch information...
commit 3ff03fe432e322e64b2e1f66f6cb0314227a672d 1 parent 3161f0d
@jacquerie authored
Showing with 16 additions and 8 deletions.
  1. +16 −8 capitolo2.tex
  2. BIN  tesi.pdf
View
24 capitolo2.tex
@@ -96,7 +96,7 @@ \section{Entropia e grafi perfetti}
Come corollario del precedente teorema otteniamo che \(G\) è perfetto se e soltanto se \(\overline{G}\) è perfetto. Questo enunciato, un tempo noto come congettura debole dei grafi perfetti, è noto anche come Teorema di Lovász \cite{Lovasz1972}.
% ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ %
-\section{Grafi associati ad ordini parziali}
+\section{Grafi associati a ordini parziali}
\begin{definition}
Chiamiamo \emph{ordine parziale} una relazione binaria \(\le\) che sia riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Inoltre chiamiamo \emph{insieme parzialmente ordinato} la coppia di un insieme e un ordine parziale su di esso.
@@ -106,7 +106,7 @@ \section{Grafi associati ad ordini parziali}
Associamo a \(P\) un grafo di vertici gli elementi di \(P\) e un arco fra \(a\text{,}\,b\in P\) se e soltanto se \(a\) e \(b\) sono confrontabili, che denotiamo \(G(P)\). Nel seguito faremo uso anche del grafo complementare, che denoteremo invece \(\overline{G}(P)\).
-I grafi associati agli ordini parziali godono di interessanti proprietà. Il seguente teorema fornisce condizioni sufficienti perchè un tale grafo sia partizionabile in insiemi indipendenti \cite{Mirsky1971}.
+I grafi associati agli ordini parziali godono di interessanti proprietà. Ad esempio il seguente teorema fornisce condizioni sufficienti perchè un tale grafo sia partizionabile in insiemi indipendenti \cite{Mirsky1971}.
\begin{theorem}
[Mirsky] \label{mirskytheorem} Siano \(P\) un insieme parzialmente ordinato ed \(m\) un intero positivo. Se \(P\) non possiede alcuna catena di lunghezza \(m+1\) allora può essere scritto come unione disgiunta di \(m\) anticatene.
\end{theorem}
@@ -161,8 +161,16 @@ \section{Entropia approssimata}
\[
\text{STAB}(\overline{G}) = \left\{x\in \mathbb{R}_{+}^V\;:\;\sum_{v\in K}{x_v}\le 1\quad \forall K\;\text{insieme indipendente e massimale di}\;G\right\}\text{.}
\]
-
- TODO
+ L'insieme indipendente \(S\) è ricoperto da \(l\) insiemi fra gli \(S_1,\dots,S_k\). Senza perdita di generalità possiamo assumere che questi siano i primi \(l\). Scriviamo allora \(S=T_1\cup T_2\cup\dots\cup T_l\), dove \(T_i\) è l'intersezione fra \(S_i\) ed \(S\). Per ogni \(v\in T_1\) abbiamo \(S_{m(v)}=S_1\), dunque \(|S_{m(v)}|>|S|\), altrimenti l'algoritmo goloso avrebbe selezionato \(S\) al posto di \(S_{m(v)}\). Analogamente otteniamo che per \(1\le i\le l\) e \(v\in T_i\) abbiamo \(|S_{m(v)}|\ge |S|-\sum_{j=1}^{i-1}{|T_j|}\). In particolare, poiché i \(T_i\) sono non vuoti, possiamo numerare i punti di \(S\) in modo che
+ \[
+ |S_{m(v_i)}| \ge |S| - i + 1\qquad\forall i\in\left\{1,2,\dots,s\right\}\text{.}
+ \]
+ Ma allora abbiamo
+ \begin{align}
+ \sum_{v\in S}{z_v} &\le \frac{\delta}{n^{\delta}}\left(\left(\frac{1}{|S|}\right)^{1-\delta}+\left(\frac{1}{|S|-1}\right)^{1-\delta}+\dots+1\right) \nonumber \\
+ &\le \frac{\delta}{n^{\delta}}\left(\int_{0}^{|S|}{\frac{1}{x^{1-\delta}}\,\mathrm{d}x}\right) \nonumber \\
+ &\le 1\text{.} \nonumber
+ \end{align}
Possiamo ora concludere. Poiché \(G\) è perfetto possiamo applicare il Teorema \ref{lovasztheorem}; inoltre, essendo \(z\in\text{STAB}(G)\), possiamo scrivere la disuguaglianza
\begin{align}
@@ -171,11 +179,11 @@ \section{Entropia approssimata}
\end{align}
Con semplici passaggi algebrici otteniamo
\begin{align}
- \log(n) + \frac{1}{n}\sum_{v\in V}{\log{z_v}} &= \log(n) + \frac{1}{n}\sum_{v\in V}{\log\left(\frac{\delta}{n}\left(\frac{1}{x_v}\right)^{1-\delta}\right)} \nonumber \\
- &= - \frac{1-\delta}{n}\sum_{v\in V}{\log(x_v)}-\log{\frac{1}{\delta}} \nonumber \\
- &= (1-\delta)H(x)-\log{\frac{1}{\delta}} \nonumber,
+ \log(n) + \frac{1}{n}\sum_{v\in V}{\log{z_v}} &= \log(n) + \frac{1}{n}\sum_{v\in V}{\log\left(\frac{\delta}{n}\left(\frac{1}{\tilde{x}_v}\right)^{1-\delta}\right)} \nonumber \\
+ &= - \frac{1-\delta}{n}\sum_{v\in V}{\log(\tilde{x}_v)}-\log{\frac{1}{\delta}} \nonumber \\
+ &= (1-\delta)H(\tilde{x})-\log{\frac{1}{\delta}} \nonumber,
\end{align}
da cui deduciamo
- \[H(x)\le\frac{1}{1-\delta}H(G)+\frac{1}{1-\delta}\log{\frac{1}{\delta}}.\]
+ \[H(\tilde{x})\le\frac{1}{1-\delta}H(G)+\frac{1}{1-\delta}\log{\frac{1}{\delta}}.\]
Basta ora porre \(\delta=\frac{\varepsilon}{\varepsilon+1}\) e ricaviamo la tesi.\qed
\end{proof}
View
BIN  tesi.pdf
Binary file not shown
Please sign in to comment.
Something went wrong with that request. Please try again.