Skip to content
Permalink
Branch: master
Find file Copy path
Find file Copy path
Fetching contributors…
Cannot retrieve contributors at this time
6405 lines (5401 sloc) 241 KB
\documentclass[12pt,a4paper,notitlepage,fleqn]{article}
\input{preambles/preamble2016.tex}
\setmainfont{Ubuntu Light}
\setsansfont{Arial}
\setmathfont{TeX Gyre Termes Math}
%\newfontfamily\greekfont[Script=Greek]{Linux Libertine O}
%\newfontfamily\greekfontsf[Script=Greek]{Linux Libertine O}
\usepackage{polyglossia}
\newfontfamily\greekfont[Script=Greek,Scale=0.9]{Ubuntu}
\title{Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Σημειώσεις}
\date{2016}
\author{\url{https://github.com/kongr45gpen/ece-notes}}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\paragraph{}
\hrule
\url{http://users.auth.gr/natreas} \\
Σημειώσεις: Ατρέας Κεφ. 3-4-5 \\
Κεχαγιάς Κεφ. 1-2-6
Βιβλία:
\begin{itemize}
\item Churchill - Brown (για μηχανικούς)
\item Marsden (πιο μαθηματικό)
\end{itemize}
\newpage
\part{Ατρέας}
\section{Μιγαδικοί Αριθμοί}
\textbf{Έστω} \( \mathbb C = \bigg\lbrace z =
\overset{\substack{\mathclap{\text{γεωμετρική παράσταση μιγαδικού}}\\\Big\uparrow}}{(x,y)}
;\ x,y\in\mathbb R \bigg\rbrace \)
Είναι σύνολο εφοδιασμένο με τις πράξεις:
\begin{enumgreekparen}
\item Πρόσθεση μιγαδικών
Αν \( z_1=(x_1,y_1) \) και \( x_2=(x_2,y_2) \), τότε:\[
z_1+z_2 = (x_1+x_2,\ y_1+y_2)
\]
\item Γινόμενο \( \lambda \in \mathbb R \) με μιγαδικό \( z \)
Αν \( z=(x,y) \), τότε ορίζω:
\[
\lambda z = (\lambda x,\lambda y)
\]
\item \attnboxed{\text{Πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών}}
Αν \( z_1=(x_1,y_1),\ z_2=(x_2,y_2) \), τότε ορίζω:
\[
z_1z_2 = \left(x_1x_2-y_1y_2,\ x_1y_2+x_2y_1\right)
\]
\end{enumgreekparen}
Καλείται σύνολο των μιγαδικών αριθμών.
\begin{itemize}
\item Δεν μπορώ να συγκρίνω μιγαδικούς
\item Οι γνωστές ιδιότητες των πράξεων ισχύουν στους μιγαδικούς
\end{itemize}
Η γεωμετρική παράσταση του \( \mathbb C \) είναι το λεγόμενο μιγαδικό επίπεδο.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
\draw[->] (0,-1.3) -- (0,1.5);
\draw[->] (-1.5,0) -- (1.7,0);
\draw[dashed] (0,1) -- (1,1) -- (1,-1);
\filldraw (1,1) circle(0.8pt) node[above right] {$z=(x,y)$} ;
\filldraw (0,1) circle(0.6pt) node[below right] {$(0,1)=i$};
\filldraw (1,0) circle(0.6pt);
\draw[->] (1.4,-0.8) -- (1.4,-0.2) node[midway,right] {πραγματικός άξονας \( \Re(z) \)};
\draw[->] (-1,0.7) -- (-0.2,0.7) node[pos=.1,below] {φανταστικός άξονας \( \Im(z) \)};
\draw[gray,->] (0,0) -- (1,1);
\draw[->] (.3,0) arc (0:45:.3) node[midway,right] {$\theta$};
\draw[gray,->] (0,0) -- (1,-1);
\draw[->] (.3,0) arc (0:-45:.3);
\filldraw (1,-1) circle(0.8pt) node[right] {$\bar z=(x,-y)$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\[
x \in \mathbb R \xleftrightarrow{\text{1-1}} A = \left\lbrace (x,0): x \in \mathbb R \right\rbrace
\]
\begin{itemize}
\item \(
(x,0),(y,0) \in A \implies (x,0)+(y,0)=(x+y,0) \in A
\)
\item \(
(x,0)(y,0) = (xy,0) \in A
\)
\end{itemize}
Στο εξής γράφω: \begin{align*}
1 &= (1,0) \\
x &= (x,0)
\end{align*}
\textbf{Ορίζω}:
\[
\mathlarger{\mathlarger{\mathlarger{i = (0,1)}}}
\]
και καλείται φανταστική μονάδα του μιγαδικού επιπέδου.
\begin{gather*}
i^2 = (0,1)(0,1) = (0\cdot0-1\cdot1,\ 0\cdot1+1\cdot0) = (-1,0) = -1 \\
\boxed{i^2=-1}
\end{gather*}
\textbf{Έτσι}:
\begin{gather*}
z=(x,y) = x(1,0) + y(0,1) \\
\overset{x=(x,0)}{\underset{i=(0,1)}{=}} x \cdot 1 + yi \\
\implies \boxed{z=x+iy}
\end{gather*}
\[
\mathlarger{\mathlarger{\underbrace{z=x+iy}_{\mathclap{\text{άλγεβρα}}}
\iff \underbrace{z=(x,y)}_{\mathclap{\text{γεωμετρία}}}
}}
\]
\paragraph{}
Έστω \( z=x+iy \)
\begin{gather}
\overset{\text{πολικές}}{\underset{\text{του } (x,y)}{=}}
\rho\cos\theta+i\rho\sin\theta = \nonumber
\\ = \mathlarger{\rho(\cos\theta+i\sin\theta)} \label{eq:1}
\end{gather}
Έτσι, η (\ref{eq:1}) γράφεται ως:
\begin{align*}
z &= |z| \underbrace{(\cos\theta+i\sin\theta)} \\
&= |z| \cdot \mathlarger{\mathlarger{e^{i\theta}}}
\end{align*}
όπου στο εξής:
\begin{align*}
\Aboxed{e^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta} \\
\Aboxed{\text{τύπος του Euler}}
\end{align*}
Τελικά: \[
\boxed{\mathlarger{\mathlarger{\mathlarger{\mathlarger{z=|z|e^{i\theta}}}}}}
\text{ (πολική μορφή μιγαδικών)}
\]
\subparagraph{Σημείωση:} \( \cos\theta + i\sin\theta \)
\begin{gather*}
\overset{\text{σειρές}}{\underset{\text{McLaurin}}{=}} \left(
1-\frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} + \dots
\right) + i \left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\dots\right)
\\
\overset{i^2=-1}{=} \left(
1+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^4}{4!}+\dots
\right) + \left(
i\theta+\frac{(i\theta)^3}{3!}+\frac{(i\theta)^5}{5!}+\dots
\right)
\\ =
1 + (i\theta) + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!}
+ \dots + \frac{(i\theta)^n}{n!} + \dots = \mathlarger{e^{i\theta}}
\end{gather*}
\begin{itemize}
\item Ορίζω {\large πρωτεύον όρισμα} \( \mathlarger{\mathlarger{\mathrm{Arg} z}} \) (μη μηδενικού) μιγαδικού \( z \) να είναι η γωνία \( \theta \)
που σχηματίζει ο θετικός πραγματικός ημιάξονας του \( \mathbb C \) με την
ημιευθεία \( OA \), όπου \( A \) το σημείο της γεωμετρικής παράστασης του
\( z=x+iy \).
\end{itemize}
\subparagraph{Έτσι:}
\[
z = |z|e^{i\arg z} \quad \text{πολική μορφή του } z
\]
\begin{align*}
z_1z_2 &= |z_1|e^{i\arg z_1}|z_2|e^{i\arg z_2} \\
\Aboxed{z_1z_2 &= |z_1||z_2|e^{i(\arg z_1 + \arg z_2)}
}
\end{align*}
\begin{align*}
\frac{z_1}{z_2} &= \frac{|z_1|}{|z_2|} \frac{e^{i\theta_1}}{e^{i\theta_2}}
\\ &= \left| \frac{z_1}{z_2} \right| e^{i(\theta_1-\theta_2)}
\end{align*}
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
\draw[gray,->] (0,-0.7) -- (0,2);
\draw[gray,->] (-1.5,0) -- (1.7,0);
\filldraw (0,0) -- ++(35:1.2) circle(0.6pt) node[above right] {$z_1$};
\draw[->] (.3,0) arc (0:35:.3) node[midway,right] {$\theta_1$};
\filldraw (0,0) -- ++(75:1.7) circle(0.6pt) node[above right] {$z_2$};
\draw[->] (.6,0) arc (0:75:.6) node[pos=.8,above right] {$\theta_2$};
\filldraw (0,0) -- ++(110:{1.2*1.7}) circle(0.6pt) node[above right] {$z_1z_2$};
\draw[->] (1,0) arc (0:110:1) node[pos=.6,above right] {$\theta_1+\theta_2$};
\end{tikzpicture}
\textbf{Ιδιότητα:} \( z\bar{z} = |z|^2 \)
\section{Μιγαδικές συναρτήσεις}
Κάθε συνάρτηση \( f: A \subseteq \mathbb C \to \mathbb C \) καλείται μιγαδική
συνάρτηση μιγαδικής μεταβλητής.
\[
f = \underbrace{f(\underbrace{z}_{\text{η μεταβλητή μιγαδικός}})}_{\text{μιγαδική συνάρτηση διότι έχει τιμή μιγαδική}}
\]
\paragraph{π.χ.}
\begin{gather*}
f(z) = z^2 \implies
f(x+iy) = (x+iy)^2 = x^2 + (iy)^2+2x\cdot \underbrace{x^2-y^2}_{\Re(f)}+i\underbrace{(2xy)}_{\Im(f)}
\\
\overset{\text{γεωμετρική}}{\underset{\text{μορφή}}{=}} (x^2-y^2,\ 2xy)
\end{gather*}
\subparagraph{Τελικά:} \(\boxed{f(x,y)=(x^2-y^2,\ 2xy)} \quad \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 \)
\paragraph{π.χ.}
\begin{gather*}
f(z) = \frac{1}{|z|\bar{z}} \overset{z=x+iy}{=}
\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot \frac{z}{\bar{z}z} \\
\overset{z\bar{z}=|z|^2}{=} \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot \frac{z}{|z|^2}
= \frac{x+iy}{(x^2+y^2)^{\sfrac{3}{2}}}
\\ \overset{\text{γεωμ}}{=}
\frac{(x,y)}{(x^2+y^2)^{\sfrac{3}{2}}}
\overset{\vec{r} = (x,y)}{=} \boxed{\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3}}
\end{gather*}
Κεντρικό διαν. πεδίο που θυμίζει το πεδίο Coulomb.
\[
\underbrace{f=f(z)}_{\mathclap{\text{μιγαδική μιγ. μεταβλ.}}} \xleftrightarrow{\quad\text{1-1}\quad}
\begin{array}{l}
\text{διανυσμ. πεδίο του } \mathbb R^2 \\
F(x,y) = \left( u(x,y),\ v(x,y) \right)
\end{array}
\]
όπου \( u,v \) πραγματ. συναρτ. 2 μεταβλητών
\paragraph{Υπάρχουν} \( f:A \subseteq \mathbb R \to \mathbb C \),
μιγαδικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής
π.χ \begin{align*}
f(t) &= e^{it},\ t \in (0,\pi] \\
&= \cos t + i \sin t
\end{align*}
\[
t \to (\cos t, \sin t) \quad \text{καμπύλη } x^2+y^2=\cos^2 t +\sin^2 t = 1
\]
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5);
\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw[thick,
decoration={markings, mark=at position 0.125 with {\arrow{>}}},
postaction={decorate}
] (0,0) circle (1);
\draw (0,1) node[above right] {$f(t)=e^{it}$};
\end{tikzpicture}
Η γραφ. παράσταση της \( f(t)=e^{it},\ t \in (-\pi,\pi) \) είναι ο μοναδιαίος κύκλος
κέντρου \( (0,0) \) με αντιωρολογιακή φορά.
\[
g(t) = 1+it, t\in \mathbb R,\ =(1,t) = (1,0)+t(0,1)
\]
\paragraph{}
Το πεδίο ορισμού μιγαδικών συναρτήσεων μιγαδ. μεταβλητών
υπολογίζεται ως συνήθως (με τις πραγματικές συναρτήσεις)
ΜΕ ΚΑΠΟΙΕΣ Διαφοροποιήσεις
\[
f(z)=\frac{1}{z}
\]
Πρέπει ο παρον. να είναι διάφορος του μηδενός: Έτσι
\( z \neq 0 \) Άρα Π.Ο \( = \mathbb C - \left\lbrace (0,0) \right\rbrace \)
\[
g(z) = \frac{z}{z^2+2}
\]
\subparagraph{Σημείωση} Η \( g \) είναι \textbf{ρητή} συνάρτηση
(δηλ. πηλίκο δύο (μιγαδικών) πολυωνύμων).
Κάθε συνάρτηση της μορφής \(
a_0+a_1z+\dots+a_nz^n,\ a_0,\dots,a_n \in \mathbb Z
\) καλείται (μιγαδικό) πολυώνυμο.
Πρέπει παρον. \( \neq0 \) δηλ:
\begin{gather*}
z^2+2=0\
\left(
\begin{array}{l}
\text{\textbf{ΠΡΟΣΟΧΗ!!} Κάθε μιγαδικό} \\
\text{πολυώνυμο βαθμού $N$ έχει} \\
\text{ΑΚΡΙΒΩΣ $N$ ρίζες στο $\mathbb C$}
\end{array}
\right)
\\
z^2+2 = 0 \xRightarrow{i^2=-1} z^2-2i^2=0 \\
\implies \left( z-\sqrt{2}i \right)\left(z+\sqrt{2}i \right)=0
\\ \implies \boxed{z = \pm \sqrt{2}i}
\end{gather*}
\subparagraph{Τελικά} Π.Ο = \( \mathbb C -
\left\lbrace \pm \sqrt{2}i \right\rbrace
\)
\paragraph{}
\[ \boxed{
h(z) = \arg z,\ \text{Π.Ο} = \mathbb C - \left\lbrace 0 \right\rbrace
} \]
Για \( z=0 \) ΔΕΝ ορίζεται όρισμα, επειδή \( 0 = |0|\cdot e^{i\theta}
\ \forall \theta
\)
\paragraph{Σημείωση}
\( az^2+bz+c = 0 \) \\ \(\qquad a,b,c \in \mathbb C \)
Λύνεται με διακρίνουσα κατά τα γνωστά.
Επίσης μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και σχήμα Horner για πολυώνυμα
(με πραγματικούς συντελεστές) βαθμού \( N \geq 3 \).
\paragraph{}
\begin{align*}
a(z) &=e^z = e^{x+iy} = e^x\cdot e^{iy} \\
&= e^x (\cos y + i \sin y) \\
&= \left( e^x\cos y,\ e^x\sin y \right),\quad x,y\in\mathbb R
\end{align*}
Ως διανυσματικό πεδίο προφανώς Π.Ο = \( \mathbb R ^2 \)
Έτσι Π.Ο = \( \mathbb C \).
\paragraph{}
\begin{gather*}
l(z) = \mathrm{Log}\. z \text{ (αντίστροφη της } e^z \text{)} \\
\underbrace{\mathrm{Log}\. z}_{\mathclap{\text{μιγαδικός λογάριθμος}}}
\overset{\text{ορισμός}}{:=} \ln|z| +i\arg z \\
\text{Π.Ο} = \mathbb C - \left\lbrace 0 \right\rbrace
\end{gather*}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5 ]
\draw (-2,0) -- (2,0);
\draw (0,-1) -- (0,2);
\draw (-1,0) arc (180:0:1);
\filldraw[fill=white] (-1,0) circle(3pt) node[below] {$-3$};
\filldraw[fill=white] (1,0) circle(3pt);
\end{tikzpicture}
\begin{align*}
\mathrm{Log}(3) &= \ln|-3| = i\arg(-3) \\ &= \ln3+i\pi
\end{align*}
\paragraph{}
\[
\lambda(z) = \sin z \overset{\text{ορισμός}}{:=} \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
\]
\[
\left(
\begin{array}{ll}
e^{i\theta} &=\cos\theta+i\sin\theta \quad \theta\in (-\pi,\pi] \\
e^{-i\theta} &= \cos\theta -i\sin\theta \\[0.3pt] \hline
\sin\theta &= \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}
\end{array}
\right)
\]
Π.Ο = \( \mathbb C \)
\begin{gather*}
m(z) = \cos z \overset{\text{ορισμός}}{:=} \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \\
\text{Π.Ο} = \mathbb C
\end{gather*}
Όλες οι γνωστές τριγωνομετρικές ταυτότητες ισχύουν στο \( \mathbb C \)
όπως στο \( \mathbb R \).
\paragraph{}
\begin{align*}
h(z) = \sqrt[n]{z} :=
\sqrt[n]{|z|} e^{i\frac{2k\pi+\arg z}{n}} \quad (k=0,1,\dots,n-1)
\end{align*}
\( \sqrt[n]{a} \) ορίζεται ως το \textbf{σύνολο} όλων των λύσεων
της εξίσωσης \( z^n=a,\quad a\in\mathbb C \) )
\[
\text{Π.Ο} = \mathbb C - \left\lbrace 0 \right\rbrace
\]
\subsection[Όριο \& Συνέχεια μιγαδικών συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής]{%
Όριο/Συνέχεια\\μιγαδικών συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής}
\begin{defn*}{}
Έστω \( f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) \)
μιγ. συνάρτηση ορισμένη σε σύνολο \( A \subset \mathbb C,
\ z_0=x_0+iy_0 \) είναι σ.συσσ. του \( A \) και έστω \( a=a_0+ib_0 \).
Τότε
\begin{gather*}
\lim_{z\to z_0}f(z) = a \in \mathbb C \\
\qquad \Updownarrow \\
\begin{cases}
\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} u(x,y) = a_0 \\ \qquad \text{\textbf{ΚΑΙ}} \\
\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} v(x,y) = b_0
\end{cases}
\end{gather*}
\end{defn*}
\textbf{Επίσης,} αν \( z_0\in A \), τότε
\( f \) συνεχής στο σημείο \( z_0 \)
\[ \Updownarrow \]
οι συναρτήσεις \( u,v:A \subset \mathbb R^2\to\mathbb R \)
είναι ΣΥΝΕΧΕΙΣ στο σημείο \( (x_0,y_0 \) (ως πραγματικές συναρτήσεις
δύο μεταβλητών)
\subparagraph{Έτσι:}
\begin{align*}
\left.
\begin{array}{l}
\text{οι πολυωνυμικές}\\
\text{η εκθετική}\\
\text{οι τριγωνομετρικές }(\sin z,\cos z)\\
\text{οι υπερβολικές }(\mathrm{ch}\.z,\mathrm{sh}\.z)
\end{array}
\right\rbrace &\ \text{συνεχείς στο } \mathbb C
\\
\left.
\begin{array}{l}
\text{οι ρητές}\\
\text{οι τριγωνομετρικές }(\tan z,\cot z)\\
\end{array}
\right\rbrace &\ \text{συνεχείς στο \textbf{πεδίο ορισμού τους}}
\end{align*}
Ορίζω το \( \infty \) του μιγαδικού επιπέδου να είναι το σύνολο
σημείων που απέχουν "άπειρη" απόσταση από την αρχή των αξόνων.
Το επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο ορίζεται ως:
\[
\overline{\mathbb C} = \mathbb C \cup \left\lbrace \infty \right\rbrace,\text{ όπου:}
\]
\begin{align*}
\infty+z &= \infty \quad \forall z \in \mathbb C \\
\infty\cdot z &= \infty \quad \forall z \neq 0 \\
\frac{z}{\infty} &= 0 \quad \forall z \neq \infty
\end{align*}
Όλες οι πράξεις του ορίου που ξέρετε ισχύουν και στους μιγαδικούς
(αρκεί να μην εμφανίζονται οι γνωστές απροσδιόριστες μορφές):
\[
0\cdot\infty,\frac{\infty}{\infty},0^0,1^{\infty},\infty^0
\]
Ο κανόνας De l' Hospital ισχύει στους μιγαδικούς.
\paragraph{Σημείωση:}
\begin{gather*}
\lim_{z\to \infty}f(z) = a \in \mathbb C \iff
\lim_{z\to0}f\left(\frac{1}{z}\right) = a\in\mathbb C \\
\lim_{z\to z_0}f(z) = \infty \iff \lim_{z\to z_0}\frac{1}{f(z)} = 0\\
\lim_{z\to z_0}f(z) = 0 \iff \lim_{z\to z_0} \left|f(z)\right|=0
\end{gather*}
\begin{theorem*}[sidebyside,width=\textwidth]{}
Έστω \( \arg z:\mathbb C - \left\lbrace 0 \right\rbrace
\to (-\pi,\pi]
\)
Τότε η \( \arg z \) \textbf{είναι συνεχής} στο σύνολο:
\[
\mathbb C^* = \mathbb C -
\left\lbrace
x+iy: x \leq 0 \text{ ΚΑΙ } y = 0
\right\rbrace
\]
\tcblower
\begin{tikzpicture}
\fill[inner color=green!50!black,outer color=green!5] (-3,-2) rectangle (3,2);
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-2) -- (0,2) node[above] {$y$};
\draw[line width=1mm, red!80!green] (-3.1,0) -- (0,0);
\filldraw[red!80!green,fill=white] (0,0) circle (4pt);
\end{tikzpicture}
\end{theorem*}
Έστω \( z = x+iy \)
\begin{tikzpicture}
\draw (-2,0) -- (2,0);
\draw (0,-2) -- (0,2);
\draw(0,0) -- (1.5,1.5);
\draw (0.4,0) arc (0:45:.4) node[midway,right] {$\theta$};
\draw[dashed] (0,1.5) node[left] {$y$} -- (1.5,1.5) -- (1.5,0) node[below] {$x$};
\draw (current bounding box.north) node[above left] {(α) {$x>0,\ y>0$}};
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
\draw (-2,0) -- (2,0);
\draw (0,-2) -- (0,2);
\draw(0,0) -- (1.5,1.5) node[above right] {$(-x,y)$};
\draw(0,0) -- (-1.5,1.5);
\draw[dashed] (0,1.5) -- (-1.5,1.5) -- (-1.5,0);
\draw (0.4,0) arc (0:135:.4);
\draw (0.7,0) arc (0:45:.7) node[midway,right] {$\phi$};
\draw[dashed] (0,1.5) -- (1.5,1.5) -- (1.5,0);
\draw (current bounding box.north) node[above left] {(β) {$x<0,\ y>0$}};
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
\draw (-2,0) -- (2,0);
\draw (0,-2) -- (0,2);
\draw(0,0) -- (1.5,1.5) node[above right] {$(-x,-y)$};
\draw[dashed] (0,0) -- (-1.5,0) -- (-1.5,-1.5) -- (0,-1.5);
\draw (0,0) -- (-1.5,-1.5);
\draw (-0.4,0) arc (180:225:.4) node[midway,left,yshift=-1mm] {$\mathsmaller{\theta_a}$};
\draw (0.7,0) arc (0:45:.7) node[midway,right] {$\theta_a$};
\draw (0.5,0) arc(360:225:.5) node[midway,below right] {$-\pi+\theta_a$};
\draw[dashed] (0,1.5) -- (1.5,1.5) -- (1.5,0);
\draw (current bounding box.north) node[above left] {(γ) {$x<0,\ y<0$}};
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
\draw (-2,0) -- (2,0);
\draw (0,-2) -- (0,2);
\draw(0,0) --(1.5,-1.5);
\draw[dashed] (1.5,0) -- (1.5,-1.5) -- (0,-1.5);
\draw[->] (0.7,0) arc (360:315:.7);
\draw (current bounding box.north) node[above left] {(δ) {$x>0,\ y<0$}};
\end{tikzpicture}
\[
\arg z = \begin{cases}
\arctan\left|\frac{y}{x}\right|, \qquad & x,y>0 \\
\pi - \arctan\left|\frac{y}{x}\right|, \qquad & x<0,\ y>0 \\
-\pi + \arctan\left|\frac{y}{x}\right|, \qquad & x<0,\ y<0 \\
-\arctan\left|\frac{y}{x}\right|, \qquad & x>0,\ y<0
\end{cases}
\]
Για \(
\begin{array}{ll}
x=0,\ & \text{τότε } \arg := \frac{\pi}{2} \text{ ή } -\frac{\pi}{2}\\
y=0,\ & \text{τότε } \arg := 0\text{ ή }\pi
\end{array}
\)
\paragraph{Σημεία ασυνέχειας του \( \arg z \)} \hspace{0pt}
Έστω \( z_0 = x_0 < 0 \)
\begin{itemize}
\item Έστω \( z = x_0+it \quad (t>0) \)
Για \( t\to0^+,\ z\to z_0=x_0 \), αλλά:
\[
\lim_{z\to z_0}\arg z \overset{z=x_0+it}{=}
\lim_{t\to0^+} \arg(x_0+it) \overset{\text{2ο τετ.}}{=}
\lim_{t\to0^+}\left(\pi-\arctan\left|\frac{t}{x_0}\right|\right)
=\pi-\arctan0=\pi
\]
\item Για \( z=x_0+it \quad (t<0) \), τότε:
\[
t\to0^-,\quad z\to z_0,\text{ και}
\]
\[
\lim_{z\to z_0}\arg z = \lim_{t\to0^-} \arg(x_0+it)
\overset{\text{3ο τετ.}}{=} -\pi+\arctan0 = -\pi
\]
\end{itemize}
Άρα το όριο στο \( z_0=x_0 \) ΔΕΝ υπάρχει, και έτσι η \( \arg z \)
ασυνεχής στα \( z=x_0 \) με \( x_0\leq 0 \).
Αν \( \arg z \in [0,2\pi) \) πού είναι ασυνεχής;
\subsection{Μιγαδική παράγωγος}
\begin{defn*}{}
Έστω \( f:A \subset \mathbb C \to \mathbb C \), \( A \) ανοικτό,
\( z_0 \in A \). Λέμε ότι η \( f \) είναι μιγαδικά παραγωγίσιμη στο σημείο
\( z_0 \), αν υπάρχει το ΟΡΙΟ:
\[
\lim_{z\to z_0}
\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = a \in \mathbb C
\]
(ή ισοδύναμα \( \lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=a\in\mathbb C \))
Στο εξής το όριο αυτό συμβολίζουμε με \( f'(z_0) \) ή
\( \od{f(z_0)}{z} \)
\end{defn*}
\begin{defn*}{}
Αν \( f:A\in\mathbb C\to\mathbb C \), \( A \) ανοικτό, \( z_0\in A \),
θα λέμε στο εξής ότι η \( f \) είναι ΟΛΟΜΟΡΦΗ (ή ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ -
holomorphic/analytic)
\textbf{στο σημείο \( \mathbf{z_0} \)}, εάν η \( f \) είναι μιγαδικά
παραγωγίσιμη \textbf{ΣΕ ΚΑΘΕ ΣΗΜΕΙΟ} του ανοικτού δίσκου
\begin{tikzpicture}[scale=0.4,baseline]
\filldraw[dashed,fill=green!30] (0,0) circle(1);
\draw (0,0) -- ++(135:1) node[pos=.3,above,sloped] {$\epsilon$};
\filldraw (0,0) circle(1pt) node[below] {$\mathsmaller{z_0}$};
\end{tikzpicture}
\[
D_\epsilon(z_0) = \left\lbrace
z\in\mathbb C: |z-z_0|<\epsilon
\right\rbrace
\]
για κάποιο \( \epsilon>0 \)
\end{defn*}
Αν \( f \) ολόμορφη σε ΚΑΘΕ σημείο του \( A \) λέμε ότι η \( f \) ολόμορφη στο
\( A \).
\begin{defn*}{}
Αν \( A \) μη ανοικτό, λέμε ότι η \( f \) ολόμορφη στο \( A \), αν
υπάρχει \( B \supset A \), \( B \) ανοικτό ώστε η \( f \) να είναι ολόμορφη στο \( B \).
\end{defn*}
\paragraph{}
Όλες οι γνωστές ιδιότητες της παραγώγου που γνωρίζετε ισχύουν και για τη
μιγαδική παράγωγο.
\subparagraph{π.χ.}
Έστω \( f,g \) \textbf{μιγαδικά} παραγωγίσιμες σε σημείο \( z_0 \). Τότε:
\begin{itemize}
\item \( f \) παραγ. στο \( z_0 \implies f \) συνεχής στο \( z_0 \)
\item \( \big(af\pm by\big)'(z_0)=
af'(z_0)+bg'(z_0)\ \forall a,b\in\mathbb C \)
\item \( \big(fg\big)'(z_0) = f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0) \)
\item \( \left(
\frac{f}{g} \right)(z_0)= \frac{f'(z_0)g(z_0)-f(z_0)g'(z_0)}{g^2(z_0)}
\quad \left(g(z_0)\neq0\right)
\)
\item Ο κανόνας αλυσίδας ισχύει στις μιγαδικές συναρτήσεις:
\[
\big( h\circ g \big)'(z_0)=h'\left( g(z_0) \right)g'(z_0)
\]
υπό την προϋπόθεση ότι η σύνθεση καλά ορισμένη
\end{itemize}
\paragraph{Παραγώγιση αντίστροφης συνάρτησης} %TODO toc?
Έστω \( f \) ολόμορφη σε σημείο \( z_0 \) με \( f'(z_0)\neq 0 \).
Αν \( w_0=f(z_0) \), τότε υπάρχουν \( \epsilon,\epsilon' >0 \) ώστε η
αντίστροφη συνάρτηση \( f^{-1}:\mathrm D_\epsilon(w_0)
\to\mathrm D_{\epsilon'}(z_0)
\) καλά ορισμένη, ολόμορφη στο \( w_0 \) και
\[
\mathlarger{
\left( f^{-1} \right)'(w_0) = \frac{1}{f'(z_0)}
}
\]
\paragraph{}
\begin{theorem*}[width=.7\textwidth]{Εξισώσεις Cauchy-Riemann}
\vspace{15pt}
Έστω \( f:A\subseteq\mathbb C \to\mathbb C:f(z)=f(x+iy)
= u(x+y)+iv(x,y)
\). Θεωρώ \( z=x+iy,\ z_0=x_0+iy_0 \) και \( A \) ανοικτό.
Τότε:
\( f \) μιγαδικά παραγωγίσιμη στο \( z_0 \)
\[
\hfill \Updownarrow \hfill
\]
\begin{enumlatin}
\item Η \( \mathbf F(x,y) = \left(
u(x,y),\ v(x,y)
\right) \) είναι \textbf{διαφορίσιμο} διανυσμ. πεδίο στο σημείο
\( (x_0,y_0) \)
\\
\[
\hfill \boxed{\text{ΚΑΙ}} \hfill
\]
\item \[\begin{cases}
u_x(x_0,y_0) = v_y(x_0,y_0) \\
u_y(x_0,y_0) = -v_x(x_0,y_0)
\end{cases} \xleftarrow{ \displaystyle \text{εξισώσεις C-R}}
\]
\end{enumlatin}
\end{theorem*}
\paragraph{Πόρισμα (ΠΡΑΚΤΙΚΟΤΑΤΟ)}
Αν \( f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) \) είναι έτσι ώστε:
\begin{enumgreekparen}
\item \( u,v \) έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους στο \( (x_0,y_0) \)
και "κοντά" στο \( (x_0,y_0) \)
\item \( \begin{cases}
u_x(x_0,y_0) = v_y(x_0,y_0) \\
u_y(x_0,y_0) = -v_x(x_0,y_0)
\end{cases} \xleftarrow{\displaystyle\text{C-R}} \)
\end{enumgreekparen}
Τότε \( (\implies) \) η \( f \) είναι μιγαδικά παραγωγίσιμη στο \( z_0=x_0+iy_0 \)
\subparagraph{Παρ.}
\begin{align*}
z^2 &= (x+iy)^2=x^2+2ixy-y^2 =
\\ &= x^2-y^2+i(2xy),\ \text{άρα}\\
f &= (x^2-y^2,2xy) \quad \left| \begin{array}{l}
u_x=v_y\\ u_y = -v_x
\end{array} \right.
\end{align*}
\paragraph{Παρατηρήσεις}
\begin{enumgreekparen}
\item
Έστω \( f \) μιγαδικά παραγ. συνάρτηση σε σημείο \( z_0=x_0+iy_0 \). Τότε
εξ' ορισμού υπάρχει το όριο
\[
f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}
\]
\begin{tikzpicture}[scale=1.3]
\draw[->] (-1.5,0) -- (2,0) node[below] {$\Re(z)$};
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,2) node[right] {$\Im(z)$};
\draw[very thick,green!40!black] (-0.2,1) node[black, left] {$y_0$} -- (1.5,1);
\draw[very thick,cyan!40!black] (1,-0.2) node[black, below left] {$x_0$} -- (1,1.5);
\draw (1,1) node[above right] {$z_0=x_0+iy_0$};
\end{tikzpicture}
\begin{itemize}
\item Έστω \( z=x+iy_0\quad (x\in\mathbb R ) \) είναι τυχαίο σημείο της
"οριζόντιας" ευθείας που διέρχεται από το \( z_0 \)
\item Για \( x\to x_0 \), τότε \( z=x+iy_0 \to x_0+iy_0=z_0 \)
(δηλ. \( z\to z_0 \) όταν \( x\to x_0 \) πάνω στην οριζόντια ευθεία)
\end{itemize}
Τότε για \( z=x+iy_0 \) έχω:
\begin{align*}
f'(z_0) &= \lim_{x\to x_0}
\frac{u(x,y_0)+iv(x,y_0)-\left(
u(x_0,y_0)+iv(x_0,y_0)
\right)}{x+iy_0-(x_0+iy_0)}
\\ &= \lim_{x\to x_0}\frac{
u(x,y_0)-u(x_0,y_0)
}{x-x_0}+i\lim_{x\to x_0}\frac{v(x,y_0)-v(x_0,y_0)}{x-x_0}
\\ &= \mathlarger{u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0)}
\\ &\implies \boxed{
\mathlarger{
f'(z_0) = u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0)
}
} := \pd{f(x_0,y_0)}{x}
\end{align*}
Με όμοιο τρόπο, αν εργαστούμε κατά μήκος της "κάθετης" ευθείας που διέρχεται
από το \( z_0 \), έχουμε:
\[
\boxed{\mathlarger{
f'(z_0) = v_y(x_0,y_0)-iu_y(x_0,y_0)
}} := -i\pd{f(x_0,y_0)}{y}
\]
\item Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου
\begin{align*}
& f'(z_0)=\frac{\dif f(z_0)}{\dif z}
\\ \implies & \boxed{\dif f(z_0)=f'(z_0)\dif z}
\end{align*}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,2) node[right] {$y$};
\draw[->] (-1.5,0) -- (2,0) node[below] {$x$};
\fill[fill=green!40,postaction={pattern=north west lines,opacity=.5}]
(0.5,0.7) rectangle (1.2,1.7);
\draw[thick] (0.5,0) node[below] {$x_0$} -- (0.5,1.7);
\draw[thick] (1.2,0) node[below] {$\dif x$} -- (1.2,1.7);
\draw[thick] (0,0.7) node[left] {$y_0$} -- (1.2,0.7);
\draw[thick] (0,1.7) node[left] {$\dif y$} -- (1.2,1.7);
\draw[thick,->] (2,1) to[bend left=20] node[above] {$f=u+iv$} (4,1);
\begin{scope}[xshift=5cm]
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,2) node[left] {$y$};
\draw[->] (-1.5,0) -- (2,0) node[right] {$x$};
\def\a{plot[smooth,tension=1.5]
coordinates {(-0.2,0.6) (0.7,1.2) (1.5,1.5)}}
\def\b{plot[smooth,tension=1.3]
coordinates {(0.3,0.3) (1.2,0.6) (2,1.7)}}
\def\c{plot[smooth,tension=1.5]
coordinates { (0.3,2) (1.3,1) (1.7,-0.3) }}
\def\d{plot[smooth,tension=1.5]
coordinates {(0.2,1.5) (0.8,1) (1.2,0.2)}}
\begin{scope}
\clip \a --(2,0) -- (1,0);
\clip \b --(2,2) -- (0,2);
\clip \c --(0,0) -- (0,2);
\clip \d --(2,0) -- (2,2);
\fill[fill=green!40,postaction={pattern=north west lines,opacity=.5}]
(0,0) rectangle (2,2);
\end{scope}
\draw[thick] \a;
\draw[thick,name path=b] \b;
\draw[thick] \c;
\draw[thick,name path=d] \d;
\path[name intersections={of=b and d,by=m}];
\draw[dashed,gray] (m -| 0,0) -- (m) -- (m |- 0,0);
\filldraw (m) circle (1pt)
node[below right,yshift=1pt,xshift=2pt,scale=0.5] {$f(z_0)$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\[
\dif z := \begin{array}{l}
\text{στοιχειώδης όγκος} \\
\text{στο επίπεδο } xy
\end{array}
\]
\[
\dif f(z_0):= \begin{array}{l}
\text{στοιχειώδες χωρίο στο επίπεδο } uv \\
\text{στο οποίο μετασχηματίζεται το } \dif z\\
\text{μέσω της απεικόνισης } f
\end{array}
\]
\begin{gather*}
\dif f(z_0) = \left|
f'(z_0)\right|e^{i\arg f'(z_0)}\dif z\quad
\mathsmaller{\left( f'(z_0)\neq 0 \right)}
\end{gather*}
\end{enumgreekparen}
\paragraph{}
Για τις παραγώγους στοιχειωδών συναρτήσεων ισχύουν τα συνήθη από την πραγματική
ανάλυση.
\subparagraph{π.χ}
Αν \( f(z)=e^z \), τότε \( (e^z)'=e^z\ \forall z\in\mathbb C \)
\begin{align*}
f(z)= e^z &=e^{x+iy} = e^xe^{iy} = e^x(\cos y+\sin y)
\\ &= \underbrace{e^x\cos y}_{\mathclap{u(x,y)}}
+ i \underbrace{(e^x\sin y)}_{\mathclap{v(x,y)}}
\end{align*}
Ορίζω \( \begin{cases}
u(x,y) = \Re(e^z) = e^x\cos y \\
v(x,y) = \Im(e^z) = e^x\sin y
\end{cases} \)
\begin{itemize}
\item \( u,v \) καλά ορισμένες \( \forall (x,y)\in\mathbb R^2 \), και επιπλέον
\( u,v \) είναι \textbf{ΣΥΝΕΧΕΙΣ} \( \forall (x,y)\in\mathbb R ^2 \)
\item \(\begin{matrix}
u_x=e^x\cos y& u_y=-e^x\sin y\\
v_x=e^x\sin y& v_y=e^x\cos y
\end{matrix}\), έτσι παρατηρώ ότι \(
\begin{cases}
& u_x = v_y \\ \text{ΚΑΙ } & u_y=-v_x
\end{cases} \forall (x,y)\in\mathbb R ^2
\)
\end{itemize}
\( \xRightarrow{\text{πόρισμα}} f(z)=e^z \) μιγαδικά παραγωγίσιμη \( \forall z\in\mathbb C \)
\begin{itemize}
\item Γνωρίζω ότι αν η \( f=u+iv \) είναι μιγ. παραγ., τότε \( f'(z)=u_x+iv_x \).
\textbf{Έτσι} στην προκειμένη περίπτωση:
\begin{align*}
f'(z)=\left( e^z \right)'=u_x+iv_x=e^x\cos y+ie^x\sin y =
e^x(\cos y+i\sin y)=e^xe^{iy}=e^z
\end{align*}
\end{itemize}
\subparagraph{π.χ}
\( \mathrm{Log}z=\frac{1}{z}\ \forall z \in \mathbb C^* = \mathbb C -
\left\lbrace x+iy: x\leq0 \text{ και } y=0 \right\rbrace
\Big(
\text{υπό την προϋπόθεση ότι } \arg z \in (-\pi,\pi]\
\Big)
\) \\ διότι
\( \mathrm{Log} z = w \xLeftrightarrow{\text{ορ.}} z=e^w \),
άρα \( \forall z \in\mathbb C ^* \), από το θεώρ. παραγώγισης αντίστροφης
συνάρτησης έχουμε: \( (\mathrm{Log}z)' = \frac{1}{e^w}=\frac{1}{z} \)
Με την ίδια λογική (και με χρήση των ιδιοτήτων παραγώγου) αποδεικνύεται ότι:
\begin{itemize}
\item \( (z^n)' =nz^{n-1}\quad \forall n\in\mathbb N \quad \forall z\in\mathbb C \)
\item \(
(z^{-n})' = -nz^{-n-1}\quad\forall n\in\mathbb N \quad\forall z\in
\mathbb C - \left\lbrace 0 \right\rbrace
\)
\item \(
(z^a)'=az^{a-1}\quad\forall a\in\mathbb Q \text{
ή $a$ άρρητος ή $a$ έχει μη μηδενικό φανταστικό μέρος
}
\)
\( \quad \forall z\in\mathbb C^* (\mathbb C^* \text{
όπως στο λογάριθμο πριν
}) \)
\item \( (\sin z)'=\cos z\quad\forall z\in\mathbb C \)
\item \( (\cos z)'=-\sin z \quad\forall z\in\mathbb C \)
\item \( (\sinh z)' = \cosh z\quad\forall z\in\mathbb C \)
\item \( (\cosh z)' = \sinh z\quad\forall z\in\mathbb C \)
\item \( (a^z)'=a^z\mathrm{Log}a\quad\forall z\in\mathbb C \)
\end{itemize}
κλπ.
\subsection{Ασκήσεις}
\paragraph{} ΝΔΟ
η \( f(z)=\bar z \) ΔΕΝ είναι μιγαδικά παραγωγίσιμη \textbf{σε κανένα}
σημείο του \( \mathbb C \).
\begin{itemize}
\item \( \bar z = \overline{x+iy}=x-iy \), ορίζω
\( \left| \begin{array}{l}
u(x,y) = x \\ v(x,y) = -y
\end{array} \right. \)
\item Προφανώς \( u \) και \( v \) καλά ορισμένες και συνεχείς
\( \forall (x,y)\in\mathbb R^2 \), αλλά:
\[
u_x=1\neq -1 = v_y
\]
\( \forall(x,y)\in \mathbb R \), άρα αφού η μία από τις δύο εξισ.
C-R δεν ισχύει \underline{\( \forall(x,y)\in\mathbb R^2 \)},
η \( f(z)=\bar z \) \textbf{ΔΕΝ} είναι μιγαδικά παραγ.
\( \forall z\in\mathbb C \).
\end{itemize}
\paragraph{}\hspace{0pt}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw[->] (0,-1) -- (0,2) node[left] {$y$};
\draw[->] (-0.5,0) -- (2,0) node[below] {$x$};
\filldraw[green!50,
path fading=north,postaction={pattern=north east lines,opacity=.5}]
(0.5,1) rectangle ++(0.9,0.4);
\draw (0.5,1) rectangle ++(0.9,0.4);
\draw[->] (0.9,1.4) to[bend left] ++(0.3,0.4) node[above right] {$\dif z$};
\filldraw (0.5,1) circle (1.5pt) node[below,xshift=5pt] {$z=x+iy$};
\draw[thick,->] plot [smooth]
coordinates {(2.1,0.7) (2.2,1) (3.3,0.9)};
\begin{scope}[xshift=4cm]
\draw[->] (0,-1) -- (0,2) node[left] {$v$};
\draw[->] (-0.5,0) -- (2,0) node[below] {$u$};
\filldraw[green!50,
path fading=south,postaction={pattern=north west lines,opacity=.5}]
(0.5,-1) rectangle ++(0.9,-0.4);
\draw (0.5,-1) rectangle ++(0.9,-0.4) ;
\draw (0.95,-1.4) node[below] {$\dif f(z)$};
\filldraw (0.5,-1) circle (1.5pt);
\end{scope}
\draw (current bounding box.south) node[below]
{$\dif f(z) = f'(z)\dif z =
\underbrace{\left|f'(z)\right|}_{\mathclap{\raisebox{-1ex}{\scriptsize μεγέθυνση}}}
\underbrace{e^{i\arg f'(z)}}_{\mathclap{\text{περιστροφή}}}
\dif z
$};
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[scale=1.3]
\foreach \y in {-0.8,-0.4,...,2}
\draw[gray] (-0.2,\y) -- (2,\y);
\foreach \x in {0,0.4,...,1.8}
\draw[gray] (\x,-1) -- (\x,2);
\draw[thick,->] (0,-1) -- (0,2) node[left] {$y$};
\draw[thick,->] (-0.5,0) -- (2,0) node[below] {$x$};
\draw[very thick,->] (2.1,1) to[bend left=15]
node[midway,above] {παραγωγίσιμη $f(z)$} (4.8,1);
\begin{scope}[xshift=5.5cm]
\begin{scope}[xshift=15pt,rotate=45,yshift=-15pt]
\foreach \y in {-0.8,-0.4,...,2}
\draw[gray] (-0.2,\y) -- (2,\y);
\foreach \x in {0,0.4,...,1.8}
\draw[gray] (\x,-1) -- (\x,2);
\end{scope}
\draw[thick,->] (0,-1) -- (0,2) node[left] {$y$};
\draw[thick,->] (-0.5,0) -- (2,0) node[below] {$x$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\paragraph{}
\begin{gather*}
f(z)=e^z=e^x\cos y+ie^x\sin y \\
\left|
\begin{array}{l}
u = e^x\cos y_0 \\ v=e^x\sin y_0
\end{array}
\right.
\end{gather*}
\begin{tikzpicture}[scale=1.3]
\draw (-0.5,0) -- (2,0);
\draw (0,-0.5) -- (0,2);
\foreach \x in {0.2,0.5,...,1.8}
\draw[green!50!black] (\x,-0.3) -- (\x,1.7);
\foreach \y in {0.3,0.6,...,1.8}
\draw[red!50!black] (-0.3,\y) -- (2,\y);
\draw (1.7,0) node[below right] {$x=x_0$};
\draw (0,1.5) node[above left] {$y=y_0$};
\draw (current bounding box.south)
node[below,yshift=-5pt] {$\frac{v}{u}=\tan y \implies \boxed{v=u\tan y}$};
\draw[thick,->] (2.5,1) to[bend left=20] node[midway,above] {$f$} (4,1);
\begin{scope}[xshift=6cm]
\draw (-2,0) -- (2,0);
\draw (0,-2) -- (0,2);
\foreach \x in {0.2,0.5,...,1.8}
\draw[green!50!black] (0,0) circle (\x);
\foreach \y in {0,29,...,360}
\draw[red!50!black] (0,0) -- (\y:2);
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\paragraph{Άσκ. 2}
Η συνάρτηση \( f(z)=|z| \) \textbf{ΔΕΝ} είναι μιγαδικά παραγωγίσιμη σε
\textbf{ΚΑΝΕΝΑ} σημείο του \( \mathbb C \).
\begin{infobox}{}
Οι εξισώσεις C-R σε πολικές συντ/νες είναι οι εξής:
\[
\begin{cases}
u_\rho = \frac{1}{\rho}v_\theta \quad \forall \rho>0,
\theta\in(-\pi,\pi]\\
u_\theta=-\rho v_\rho
\end{cases}
\]
\tcblower
\begin{align*}
f(z) &= f(x+iy) \\
&= f\left( |z|e^{i\arg z} \right) = f\left(\rho e^{i\theta}\right)
= u(\rho,\theta)+iv(\rho,\theta)
\end{align*}
\end{infobox}
\( f(z)=|z|=\rho \), άρα \( \begin{cases}
u(\rho,\theta)=\rho \\ v(\rho,\theta)=0
\end{cases} \)
Οι \( u,v \) καλά ορισμένες και συνεχείς \( \forall \rho>0,
\theta\in (-\pi,\pi]
\) αλλά \[
u_\rho = 1 \neq \frac{1}{\rho}\cdot 0 =\frac{1}{\rho}v_\theta
\quad \forall \rho>0,\theta\in(-\pi,\pi]
\]
και αφού μία από τις εξισώσεις C-R δεν ισχύει \( \forall \rho>0,
\theta\in(-\pi,\pi]
\) αναγκαστικά η \( f(z)=|z| \) δεν είναι μιγαδικά παραγ. σε κανένα
σημείο του \( \mathbb C \).
\subparagraph{π.χ}
\begin{align*}
f(z) &= \frac{\bar z}{|z|^2} \quad z\neq0
\\ &\overset{|z|^2=z\bar z}{=} \frac{\bar z}{z\bar z}=\frac{1}{z}
\end{align*}
άρα η \( f \) είναι παραγωγίσιμη.
\paragraph{Άσκ. 3} Υπολογίστε τα όρια:
\begin{enumgreekparen}
\item \(
\displaystyle \lim_{z\to0} \frac{e^{z^2}-1}{z^2}
\)
\item \(
\displaystyle \lim_{z\to1} \frac{z^2-1}{\bar z^2-1}
\)
\item \(
\displaystyle \lim_{z\to \infty} e^z
\)
\end{enumgreekparen}
\begin{infobox}{}
Στα όρια ισχύει ο De L' Hospital
\end{infobox}
\subparagraph{}\begin{enumgreekparen}
\item
\begin{align*}
\lim_{z\to0} \frac{e^{z^2}-1}{z^2}
&\underbrace{\overset{\left(\frac{0}{0}\right)}
{\underset{\text{L'Hospital}}{=}}}_{
\mathclap{\text{διότι $e^{z^2}-1$ και $z^2$ μιγ. παραγ.}}}
\lim_{z\to 0} \frac{2ze^{z^2}-0}{2z} = \lim_{z\to0}e^{z^2}=e^0=1
\end{align*}
\item
Θα προσπαθήσω να αποδείξω ότι το όριο δεν υπάρχει, κάτι που φαντάζομαι
επειδή μέσα στο όριο υπάρχει ο \( \bar z \).
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (3,1) node {$\mathbb C$};
\draw[thick,orange!40!brown] (1,2) -- (1,-2);
\draw[thick,green!40!teal,yshift=1pt] (-1.5,0) -- (1.95,0);
\draw[->] (-1.5,0) -- (2,0);
\draw[->] (0,-2) -- (0,2);
\filldraw (1,0) circle (1pt) node[below right] {$1$};
\draw[->,yshift=2pt,xshift=-2pt] (1,0.5) -- (1,0);
\draw[->,yshift=-2pt,xshift=-2pt] (1,-0.5) -- (1,0);
\draw[->,yshift=3pt,xshift=-4pt] (0.5,0) -- (1,0);
\draw[->,yshift=3pt,xshift=4pt] (1.5,0) -- (1,0);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{itemize}
\item Θεωρώ την "κίνηση κατά μήκος του οριζόντιου άξονα" που διέρχεται
από το \( z_0 =1 \).
\\
\textbf{Δηλ. } θεωρώ σημεία \( z \) της μορφής \[ z=x+i0 \quad
(x\in\mathbb R )
\]
Προφανώς για \( x\to 1 \), έχω: \( z\to z_0=1 \).\\
Τότε \( \forall z=x \) έχω:
\begin{align*}
\lim_{z\to 1}\frac{z^2-1}{\bar z^2-1}
\overset{\text{κατα μήκος}}{\underset{\text{του οριζ. άξονα}}{=}}
\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x^2-1}=1
\end{align*}
\item Θεωρώ την "κίνηση κατά μήκος του κάθετου άξονα" που διέρχεται
από το \( z_0=1 \), δηλαδή σημεία:
\[
z=1+ix\quad (x\in\mathbb R )
\]
Προφανώς για \( x\to0 \), έχω \( z\to z_0=1 \), και
\begin{align*}
\lim_{z\to1} \frac{z^2-1}{\bar z^2-1}
&\overset{\text{κατα μήκος}}{%
\underset{\text{του κατακόρυφου άξονα}}{=}}
\lim_{x\to 0}\frac{(1+ix)^2-1}{(1-ix)^2-1}
=\lim_{x\to0}
\frac{\cancel{1}+2ix-x^2-\cancel{1}}{\cancel{1}-2ix-x^2-\cancel{1}}
\\ &= \lim_{x\to0} \frac{2ix-x^2}{-2ix-x^2}
=\lim_{x\to 0}\frac{2i-x}{-2i-x}=\frac{2i}{-2i}=-1
\end{align*}
\end{itemize}
Εφόσον \( 1\neq -1 \) το όριο ΔΕΝ υπάρχει.
\item \( \lim\limits_{x\to\infty}e^x=? \)
\begin{itemize}
\item Έστω \( z=x \quad (x<0) \), για \( x\to -\infty \), τότε
\( z\to \infty \) και \( \lim\limits_{z\to \infty} e^z
=\lim\limits_{x\to-\infty}e^x=0
\)
\item Έστω \( z=x \quad (x>0) \), για \( x\to +\infty \), τότε
\( z\to \infty \), αλλά: \( \lim\limits_{z\to \infty} e^z
=\lim\limits_{x\to+\infty}e^x=+\infty
\), συνεπώς το \( \lim\limits_{z\to \infty}e^z \) ΔΕΝ υπάρχει.
\end{itemize}
\end{enumgreekparen}
\paragraph{Άσκ. 4}
Αν \( f(z)=u+iv \) είναι ακεραία (ολόμορφη στο \( \mathbb C \)) και αν
\[
au+bv =c
\] όπου \( a,b,c\in\mathbb R \) σταθερές όχι όλες ίσες με μηδέν, ΝΔΟ
\( f(z)=A, \ A\in\mathbb C \) σταθερά.
\begin{itemize}
\item Έστω \underline{\( c=0 \)}, εξ' υποθέσεως \( a^2+b^2\neq 0 \)
\item Έστω \( c\neq 0 \), πάλι πρέπει \( a^2+b^2\neq 0 \)
(διότι αλλιώς \( 0=c \), άτοπο)
\item Τελικά \( a^2+b^2\neq 0 \) σε κάθε περίπτωση.
\end{itemize}
\begin{align*}
\begin{cases}
au_x+bv_x = 0 \\
au_y+bv_y = 0
\end{cases} &\implies \left[
\begin{matrix}
u_x & v_x \\ u_y & v_y
\end{matrix}
\right]\left[\begin{matrix}
a \\ b
\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}
0 \\ 0
\end{matrix}\right]
\\ &\xRightarrow[u_y=-v_x\text{ αφού $f$ ακεραία}]{u_x=v_y}
\left[\begin{matrix}
u_x&-u_y\\ u_y& u_x
\end{matrix}\right]\left[
\begin{matrix}
a\\b
\end{matrix}
\right]=\left[\begin{matrix}
0 \\ 0
\end{matrix}\right]
\end{align*}
\begin{gather*}
\left|\begin{matrix}
u_x & -u_y \\ u_y & u_y
\end{matrix}\right| = u_x^2+u_y^2
\end{gather*}
και επειδή \( a^2+b^2\neq 0 \), πρέπει \( u_x^2+u_y^2=0 \) για να έχει λύση
το σύστημα \( \implies u_x=0 \) και \( u_y=0
\xRightarrow{\text{C-R}} u_x=u_y=v_x=v_y=0 \ \forall (x,y)\in\mathbb R ^2
\implies f(z) = A\in\mathbb C
\) σταθερά.
\paragraph{Άσκ.}
Βρείτε τα σημεία ολομορφίας των συναρτήσεων:
\begin{enumgreekparen}
\item \( f(z)=\mathrm{Log}(z-i) \)
\item \( g(z)=\tan z \)
\end{enumgreekparen}
\begin{enumgreekparen}
\item
Έστω ότι \( \arg{z}\in(-\pi,\pi] \). Τότε είναι γνωστό ότι η \( \mathrm{Log} z \)
είναι μιγαδικά παραγ. στο \( \mathbb C ^*=\mathbb C-
\left\lbrace x+iy\quad x\leq 0 \text{ και } y = 0 \right\rbrace
\).
Έτσι η \( \mathrm{Log}(z-i) \) είναι μιγ. παραγ. στο σύνολο
\begin{align*}
&\mathbb C-\left\lbrace x+iy: \Re(z-i)\leq 0\text{ και }\Im(z-i)=1\right\rbrace
\\ &\overset{\mathclap{z=x+iy}}{=}
\mathbb C -\left\lbrace x+iy: x\leq 0 \text{ και }y-1=0 \right\rbrace
\\ &= \mathbb C - \left\lbrace
x+iy: x\leq 0 \text{ και } y = 1
\right\rbrace
\end{align*}
\begin{tikzpicture}
\fill[white,inner color=green!70!red,outer color=white]
(0,0) circle (2);
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[right] {$\Im(z)$};
\draw[->] (-2,0) -- (2,0) node[below] {$\Re(z)$};
\draw[ultra thick,red,decorate,decoration={snake,amplitude=.6mm}]
(-2,0.5) -- (0,0.5);
\draw[red] (-2,0.5) -- (0,0.5);
\filldraw[fill opacity=.1] (0,0.5)
node[opacity=1,right,xshift=3pt] {$i$} circle (3pt);
\end{tikzpicture}
\item \( \tan z = \frac{\sin z}{\cos z} \), η \( g \) είναι ολόμορφη στο
\( \mathbb C \) εκτός των σημείων που μηδενίζουν τον παρονομαστή.
\begin{itemize}
\item \(
\cos z = 0 \iff \cos(x+iy) = 0 \iff \cos x\cos(iy)-\sin x\sin(iy)=0
\xLeftrightarrow{\text{ορ. } \sin \text{ \& } \cos}
\cos x \cdot \frac{e^{-y}+e^y}{2}-\sin x\cdot\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=0
\iff \cos x\cdot\cosh y -i\sin x\cdot\sinh y = 0
\iff \left|
\begin{array}{l}
\cos x \cdot \cosh y = 0 \\ \qquad \text{και} \\
\sin x \cdot \sinh y = 0
\end{array}\right. \iff \left|
\begin{array}{l}
\cos x = 0 \\ \qquad \text{και} \\ \sin x = 0 \\ \ \text{(Αδύνατο)}
\end{array}\right. \text{ ή } \left|
\begin{array}{l}
\cos x = 0 \\ \qquad \text{και} \\ \sinh y = 0
\end{array}
\right. \iff \left|
\begin{array}{l}
x=k\pi + \frac{\pi}{2} \\ y=0
\end{array}
\right., k\in\mathbb Z
\).
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,2);
\draw[->] (-2,0) -- (2,0);
\draw[very thick,blue,mark position=0.7(c)]
plot[variable=\x,samples=200,domain=-2:2] (\x,{ cosh(\x)*0.5 });
\draw (c) node[below right] {$\cosh y$};
\draw (0,0.5) node[below right] {$1$};
\begin{scope}[xshift=5cm]
\draw[->] (0,-2) -- (0,2);
\draw[->] (-2,0) -- (2,0);
\draw[very thick,blue,mark position=0.7(c)]
plot[variable=\x,samples=200,domain=-2:2] (\x,{ sinh(\x)*0.5 });
\draw (c) node[below right] {$\sinh y$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\textbf{Τελικά} \( \cos z \iff \boxed{z=k\pi+\frac{\pi}{2},\ k
\in\mathbb Z
} \) και έτσι \( g \) είναι ολόμορφη στο
\[
\mathbb C - \left\lbrace k\pi+\frac{\pi}{2}:k\in\mathbb Z \right\rbrace
\]
\end{itemize}
\end{enumgreekparen}
\paragraph{Άσκ.}
Έστω \( f(x+iy) = (x^2+2y)+i(x^2+y^2) \)
\begin{enumroman}
\item Να γραφεί η \( f \) συναρτήσει του \( z=x+iy \)
\item Να βρείτε όλα τα σημεία, όπου η \( f \) είναι μιγαδικά παραγωγίσιμη
\item Να βρείτε όλα τα σημεία στα οποία η \( f \) είναι ολόμορφη
\end{enumroman}
\begin{enumroman}
\item \( x=\frac{z+\bar z}{2},\ y=\frac{z-\bar z }{2i} \) \\
\( \big(z=x+iy\big) \)
\begin{align*}
f(z) &= \left(\frac{z+\bar z}{2}\right)^2+2\left(\frac{z-\bar z}{2i}\right)
+i\left(\left(\frac{z+\bar z}{2}\right)^2+\left(\frac{z-\bar z}{2i}\right)^2\right)
\\ &= \frac{z^2+2z\bar z+\bar z^2}{4}-
i\left(z-\bar z\right)+i\left(\frac{z^2+2z\bar z+\bar z^2}{4}
-\frac{z^2-2z\bar z+z^2}{4}\right)
\\ &= \frac{z^2+2|z|^2+\bar z^2}{4}-i\left(
z-\bar z-|z|^2
\right)
\end{align*}
\item Προφανώς
\(
\left|
\begin{array}{l}
\Re(f) := u(x,y) = x^2+2y \\
\Im(f) := v(x,y) = x^2+y^2
\end{array}
\right.
\)
\begin{itemize}
\item Οι \( u \) και \( v \) είναι συνεχείς (ως πολυωνυμικές) \( \forall
(x,y)\in\mathbb R^2
\)
\item
\(
\begin{cases}
u_x=v_y \\ \quad\text{ΚΑΙ} \\ u_y=-v_x
\end{cases} \implies \begin{cases}
2x=2y\\ \quad\text{ΚΑΙ} \\ 2=-2x
\end{cases} \implies \begin{cases}
x=y \\ \quad \text{ΚΑΙ} \\ x = -1
\end{cases} \iff \begin{cases}
x=-1 \\ \quad\text{ΚΑΙ} \\ y=-1
\end{cases}
\)
\end{itemize}
Άρα η \( f \) είναι μιγαδ. παραγ. \textbf{μόνον} στο \( \boxed{z=-1-i} \),
και μάλιστα, εφ' όσον \( f(z)=f'(x+iy)=u_x+iv_x \):
\[
f'(-1-i) = 2(-1)+i2(-1) = \underline{-2-i2}
\]
\item ΔΕΝ υπάρχουν σημεία όπου η \( f \) είναι ολόμορφη.
\end{enumroman}
\section{Μιγαδική ολοκλήρωση}
\paragraph{Εισαγωγή} \hspace{0pt}\\
\begin{defn*}{}
Καλούμε \textbf{καμπύλη} στο μιγαδικό επίπεδο κάθε \underline{συνεχή} συνάρτηση
\[
\gamma:[a,b]\to\mathbb C :\gamma(t)=x(t)+iy(t)
\]
όπου \( x,y:[a,b]\to\mathbb R \) συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις.
\end{defn*}
\subparagraph{Έτσι:} \( \gamma(t) \) καλείται
\begin{invitemize}
\item \textbf{ΑΠΛΗ} αν είναι 1-1 (δεν αυτοτέμνεται)
\item \textbf{ΚΛΕΙΣΤΗ} αν έχει ίδια αρχή και πέρας
\item \textbf{ΛΕΙΑ} αν είναι παραγωγίσιμη στο \( [a,b] \) με συνεχή παράγωγο
\[
\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)
\]
και μη μηδενική παράγωγο \( \forall t \)
\end{invitemize}
\begin{itemize}
\item Κάθε τέτοια καμπύλη έχει ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟ (φορά διαγραφής) προς την
κατεύθυνση αύξησης του \( t \)
\subparagraph{π.χ.} \( \gamma(t)=e^{it},\ t\in(-\pi,\pi] \)
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw (0,-2) -- (0,2);
\draw (-2,0) -- (2,0);
\draw[very thick,postaction={decorate},decoration={
markings,mark=at position 0.2 with {\arrow[ultra thick]{>}}}]
(0,0) circle (1.3);
\draw (current bounding box.south) node[below,align=center]
{μοναδιαίος κύκλος\\κέντρου $(0,0)$};
\end{tikzpicture}
\( \gamma(t)=e^{-it},\ t\in(-\pi,\pi] \)
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw (0,-2) -- (0,2);
\draw (-2,0) -- (2,0);
\draw[very thick,postaction={decorate},decoration={
markings,mark=at position -0.4 with {\arrow[ultra thick]{<}}}]
(0,0) circle (1.5);
\end{tikzpicture}
\item Αν \( \gamma \) κλειστή λέω ότι είναι \underline{θετικά}
προσανατολισμένη αν η φορά διαγραφής είναι η αντιωρολογιακή
\item \( -\gamma \): ίδιο ίχνος με τη \( \gamma \), αλλά
αντίθετη φορά διαγραφής
\item \( \gamma_1+\gamma_2 \): \hspace{2pt} \begin{tikzpicture}[baseline]
\draw[very thick,draw=blue
,postaction={decorate}
,decoration={markings,
mark=at position 0.2 with {\arrow[very thick,black]{>}},
mark=at position 0.7 with {\arrow[very thick,black]{>}}
}
] (0,0) to[bend left=10] node[midway,above left] {$\gamma_1$} (1.5,1)
plot [smooth,tension=1.6] coordinates {(1.5,1) (3,0.6) (4,1)}
;
\draw (3,0.6) node[above] {$\gamma_2$};
\filldraw (0,0) circle (1pt) + (1.5,1) circle (1pt) + (4,1) circle (1pt);
\draw (current bounding box.south west)
-- ++(0,-0.2) -- (current bounding box.south east)
node[midway,below] {$:=\gamma_1+\gamma_2$}
-- ++(0,0.2);
\end{tikzpicture}
\end{itemize}
\begin{defn*}{}
Έστω \( f=f(z) \) ΣΥΝΕΧΗΣ μιγαδική συνάρτηση μιγαδικής μεταβλητής και
\( \gamma:[a,b]\to\mathbb C \) λεία καμπύλη. Καλώ επικαμπύλιο ολοκλήρωμα
της \( f \) ΠΑΝΩ στη \( \gamma \) να είναι ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ
\[
\int_\gamma f(z)\dif z = \int_a^b f\left(\gamma(t)\right)
\underbrace{\gamma'(t)\dif t}_{\dif\gamma(t)}
\]
\end{defn*}
\paragraph{ΣΗΜΕΙΩΣΗ}
\begin{align*}
\dif\gamma(t) &=\dif\left(x(t)+iy(t)\right) = \\
&=\dif x(t)+i\dif y(t) = \left( x'(t)+iy'(t) \right)\dif t \\
\Aboxed{\dif\gamma(t) &= \gamma'(t)\dif t}
\end{align*}
Οι κλασικές ιδιότητες των επικαμπυλίων ολοκληρωμάτων έργου ισχύουν στους μιγαδικούς.
Ενδεικτικά:
\begin{itemize}
\item \( \displaystyle\int_{-\gamma} f(z)\dif z = - \int_{\gamma} f(z)\dif z \)
\item \( \displaystyle\int_{\gamma} (af+bg)(z)\dif z =
a\int_{\gamma} f(z)\dif z + b\int_{\gamma} g(z)\dif z \ \forall a,b\in
\mathbb C
\)
\item \( \displaystyle
\int_{\gamma_1+\gamma_2}f(z)\dif z = \int_{\gamma_1}f(z)\dif z
+\int_{\gamma_2} f(z)\dif z
\)
\item \( \displaystyle \left|
\int_\gamma f(z)\dif z
\right| \leq \int_\gamma \left|f(z)\right|\dif z \leq
M \cdot (\text{μήκος της } \gamma)
\) όπου \( M \) μέγιστο της \( |f| \) επί της \( \gamma \)
\item \( \displaystyle \int_\gamma |\dif z| =
\int_a^b \sqrt{\left(x'(t)\right)^2+\left(y'(t)\right)^2}\dif t
:= \text{ μήκος της καμπ. } \gamma
\)
\end{itemize}
\paragraph{Πρόταση:}
Έστω \( f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) \) συνεχής επί καμπύλης λείας
\( \gamma(t)=x(t)+iy(t) \).
\textbf{Τότε:}
\[
\int_\gamma f(z)\dif z =
\underbrace{\left(\int_\gamma u\dif x-v\dif y\right)}%
_{\mathclap{\begin{array}{l}
\text{επικαμπύλιο ολοκλ.}\\
\text{διαν. πεδίου στον } \mathbb R^2
\end{array}}}\quad %
+\quad i
\underbrace{\left(\int_\gamma u\dif y+v\dif x\right)}%
_{\mathclap{\begin{array}{l}
\text{επικαμπύλιο ολοκλ.}\\
\text{διαν. πεδίου στον } \mathbb R^2
\end{array}}}
\]
\subparagraph{Απόδ.}
\begin{align*}
&\int_\gamma (u+iv)\dif(x+iy)\\
=& \int_a^b \left[ u\left(x(t),y(t)\right)+iv\left(x(t),y(t)\right)\right]
\left( x'(t)+iy'(t) \right)\dif t
\\ =& \int_a^b \left(
u\left(x(t),y(t)\right)x'(t)-v\left(x(t),y(t)\right)y'(t)
\right)\dif t+i
\int_a^b \left(
u\left(x(t),y(t)\right)y'(t)+v\left(x(t),y(t)\right)x'(t)
\right)\dif t
\\ \overset{\text{ορ.}}{=}&
\left(\int_{\gamma} u\dif x-v\dif y \right)
+i\left( \int_\gamma u\dif y+v\dif x\right)
\end{align*}
Ορίζω \( \bar f(z) = u(x,y)-iv(x,y) \)
\textbf{Τότε}
\begin{align*}
\int_\gamma u\dif x-v\dif y &\overset{\text{Λογ. II}}{:=}
\text{έργο του πεδίου $\bar f$ επί της καμπύλης } \gamma
\\
\int_\gamma u\dif y+v\dif x &\overset{\text{Λογ. II}}{:=}
\text{\underline{ροή} του $\bar f$ διά μέσου της } \gamma
\\
\end{align*}
\subsection{Αντιπαράγωγος και ανεξαρτησία δρόμου}
\begin{defn*}{}
Έστω \( f=f(z) \) είναι μια συνεχής μιγαδική συνάρτηση (μιγαδικής μεταβλητής)
σε τόπο GCC (τόπος := ανοικτό και συνεκτικό σύνολο). Αν υπάρχει
\underline{ολόμορφη} συνάρτηση \( F=F(z) \), έτσι ώστε:
\[
F'(z) = f(z) \ \forall z\in \mathbf G, \text{
τότε η $F$ καλείται αντιπαράγωγος της $f$.
}
\]
\end{defn*}
\begin{theorem*}[width=.9\textwidth]{}
Έστω \( f = f(z) \) είναι συνεχής μιγαδική συνάρτηση σε τόπο \( \mathbf G \).
Οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες:
\begin{itemize}
\item Η \( f \) έχει ΜΟΝΑΔΙΚΗ αντιπαράγωγο \( F \) (με προσέγγιση σταθεράς)
\item \(
\displaystyle \oint_\gamma f(z)\dif z = 0,\) για ΚΑΘΕ κλειστή λεία
καμπύλη εντός του \(G\)
\item \(
\displaystyle \int_\gamma f(z)\dif z\)
είναι ανεξάρτητο του δρόμου (δηλαδή εξαρτάται μόνον από το αρχικό
και τελικό σημείο της \(\gamma\) και όχι από τον τύπο της \(\gamma\))
\end{itemize}
\end{theorem*}
Οι συνήθεις αντιπαράγωγοι εξακολουθούν να ισχύουν, π.χ.:
\begin{gather*}
\int z^n\dif z = \frac{z^{n+1}}{n+1}+c, \forall z\in\mathbb C,n\in\mathbb N\\
\int \frac{1}{z}\dif z= \mathrm{Log} z +c, \forall z \in \mathbb C^{*} \\
\int z^{-n}\dif z = \frac{z^{-n+1}}{-n+1}+c,\forall n\in\mathbb N-
\left\lbrace 1 \right\rbrace,c\in\mathbb C \text{ σταθερά} \\
\int \sin z \dif z = -\cos z+c \\
\int \cos z \dif z = \sin z +c \\
\qquad \text{ κλπ. }
\end{gather*}
\paragraph{π.χ.}
Υπολογίστε το \( \displaystyle \int_\gamma ze^z \dif z \) επί της καμπύλης \( \gamma \)
με τύπο \( \gamma = \gamma(t) \) και αρχή \( \gamma(a) = 1+i \) και πέρας \( \gamma(b)
= 1 -i \)
\[
\int ze^z\dif z = ze^z - \int e^z \dif z = \underline{ze^z-e^z}
\]
οπότε: \begin{align*}
\int_\gamma ze^z \dif z &= \big[ ze^z-e^z \big]_{z_0=1+i}^{z_1=1-i}
\\ &= e^{1-i} (1+i-1) - e^{1+i}(1+i-1)
\end{align*}
\subsection{Θεώρημα Cauchy}
\begin{theorem*}[colbacktitle=red!35!black]{Cauchy}
Έστω \( f=f(z) \) είναι \textbf{ολόμορφη} συνάρτηση \textbf{πάνω} και στο
\textbf{εσωτερικό} \textbf{απλής}, κλειστής και λείας καμπύλης \( \gamma \).
Τότε: \[
\oint_\gamma f(z)\dif z = 0
\]
\end{theorem*}
\paragraph{Απόδ.}
Έστω \( f = u+iv \), όπου \( u=u(x,y) \) και \( v=v(x,y) \) έχουν συνεχείς
μερικές παραγώγους πάνω και στο εσωτερικό της \( \gamma \). Τότε:
\begin{align*}
\oint_\gamma f(z)\dif z &= \left(
\oint_\gamma u\dif x-v\dif y
\right) + i\left( \oint u\dif y+v\dif x \right)
\\ &\overset{\mathllap{\text{Θεώρ.}}}{\underset{\mathllap{\text{Green}}}{=}}
\iint_R (-v_x-u_y)\dif x \dif y + i\iint_R (u_x-v_y)\dif x\dif y
\end{align*}
και επειδή η \( f \) ολόμορφη ικανοποιούνται οι συνθήκες Cauchy-Riemann
\( \forall (x,y) \) στο εσωτερικό της \( \gamma \), δηλαδή το \( R \), άρα:
\[
\oint_\gamma f(z)\dif z
\overset{u_x=v_y}{\underset{u_y=v_x}{=}}
\iint_R 0\dif x\dif y+i\iint_\gamma 0\dif x \dif y = 0
\]
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\filldraw[very thick,fill=green!30,postaction=decorate,
postaction={pattern=north east lines,opacity=.3},
decoration={markings,mark=at position 0 with \arrow{<}}
] plot[smooth cycle] coordinates
{(0,1) (1,1.1) (2.5,0.8) (3,0.7) (2.9,-0.9) (2,-0.7) (0.5,-1.1) (-1,-1) (-2,-0.7) (-3,-0.3)
(-2.8,0.4) (-1.5,1) };
\draw (0,0) node {$R$};
\draw (0,1) node[above] {$\gamma$};
\end{tikzpicture}
\paragraph{}
\[
\int_\gamma f(z)\dif z =
\underbrace{a}_{\mathclap{%
\raisebox{-1ex}{\scriptsize έργο του πεδίου $f$ κατά μήκος $ \gamma $}}}
+ i\overbrace{b}^{\mathclap{\text{ροή του πεδίου $\bar f$ διά μέσου της $\gamma$}}}
\]
(
\( \vec f \to \) ασυμπίεστο, αστρόβιλο \quad ικανοποιούν εξίσωση Laplace \( u_{xx}+v_{yy}=0\)
)
\paragraph{ΣΗΜΕΙΩΣΗ:}
Αν υπάρχει έστω και ένα σημείο όπου η \( f \) δεν είναι μιγαδικά
παραγωγίσιμη στο εσωτερικό της \( \gamma \), τότε το \textbf{θεώρ. Cauchy
δεν ισχύει εν γένει}.
\subparagraph{π.χ} \( \displaystyle \oint_{|z|=1\text{ με θετική φορά}}
\frac{\dif z}{z} \)
\begin{tikzpicture}
\draw (-3,0) -- (3,0);
\draw (0,-2) -- (0,2.2);
\draw[very thick,postaction={decorate},decoration={markings,
mark=at position 0.1 with {\arrow[very thick]{>}}}]
(0,0) circle (1.5);
\filldraw (1.5,0) circle (1pt) node[below right] {$1$};
\filldraw (-1.5,0) circle (1pt) node[below left] {$-1$};
\filldraw (0,1.5) circle (1pt) node[above right] {$i$};
\filldraw (0,-1.5) circle (1pt) node[below right] {$-i$};
\filldraw (0,0) circle (1pt) node[below left] {$0$};
\draw (0,0) node[below left] {$0$};
\end{tikzpicture}
\begin{align*}
\oint_{|z|=1} \frac{\dif z}{z} & \overset{\gamma(t)=e^{it}}{\underset{t\in[0,2\pi)}{=}}
\\ &\overset{\text{ορ.}}{=}\int_{0}^{2\pi}\frac{\dif\, \left(e^{it}\right)}{e^{it}}
=\int_{0}^{2\pi} \frac{(e^{it})^2}{e^{it}}\dif t
\\ &= \int_0^{2\pi} \frac{ie^{it}}{e^{it}} = \underline{2\pi i}
\end{align*}
\begin{theorem*}[width=\textwidth]{Παραμόρφωση δρόμων}
Έστω \( f=f(z) \) είναι ολόμορφη σε τόπο \( G \) με σύνορο
\( \partial G = \gamma_1 \cup \gamma_2 \) όπου \( \gamma_1,\gamma_2 \)
απλές λειστές καμπύλες, λείες, με κοινό προσανατολισμό π.χ. όπως στο σχήμα.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\def\c{plot[smooth cycle] coordinates
{
(0,0.7) (2.5,0.7) (2.9,0.2) (3,-0.3) (0.5,-1) (-3,0)
}
plot[smooth cycle] coordinates
{
(0,0.3) (1,-0.1) (0.5,-0.5) (-1,-0.2) (-1.7,-0.3) (-2,0.1) (-0.9,0.4)
}}
\begin{scope}
\clip (-3,0) rectangle (3.5,1.2);
\fill[red,opacity=.3,even odd rule] \c;
\end{scope}
\filldraw[very thick,fill=green,fill opacity=.3,postaction=decorate,name path=C,
postaction={pattern=north east lines,opacity=.3},
decoration={markings,
mark=at position 0.45 with \arrow{<},
mark=at position 0.9 with \arrow{<}
},
even odd rule
] \c;
\draw (0,0.7) node[above] {$\gamma_1$};
\draw (0.6,-0.32) node {$\gamma_2$};
\path[name path=axis] (-3.1,0) -- (3.5,0);
\draw[thick,name intersections={of=C and axis},orange!50!black]
(intersection-3) -- (intersection-2) node[midway,below right] {$L_1$}
(intersection-4) -- (intersection-1) node[midway,below] {$L_2$}
;
\draw (1.6,-0.6) node {$G$};
\draw(-1,-0.5) node {$\mathsmaller{G_2}$};
\draw(0.4,0.5) node {$\mathsmaller{G_1}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Τότε \( \displaystyle \oint_{\gamma_1}f(z)\dif z
= \oint_{\gamma_2} f(z)\dif z
\)
\end{theorem*}
\subparagraph{Απόδ.}
Φέρνω δύο ευθ. τμήματα \( L_1 \) και \( L_2 \) που διαμερίζουν το \( G \) σε
δύο χωρία έστω \( G_1,G_2 \). Τότε το θ. Cauchy ισχύει και στο \( G_1 \)
και στο \( G_2 \).
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
%TODO: Add γ_1 + and - direction labels and γ_1^- node
\def\c{plot[smooth cycle] coordinates
{
(0,0.7) (2.5,0.7) (3,-0.3) (0.5,-1) (-3,0)
}
plot[smooth cycle,xshift=0.5cm] coordinates
{
(0,0.3) (1,-0.1) (-1,-0.3) (-1.7,-0.3) (-2,0.1) (-0.9,0.4)
}}
\begin{scope}
\clip (-3,0) rectangle (3.5,1.2);
\fill[red,opacity=.2,even odd rule] \c;
\end{scope}
\filldraw[very thick,fill=green,fill opacity=.3,postaction=decorate,name path=C,
postaction={pattern=north east lines,opacity=.3},
decoration={markings,
mark=at position 0.75 with \arrow{<},
mark=at position 0.9 with \arrow{>}
},
even odd rule
] \c;
\draw (-1.5,0.7) node {$\gamma_1^+$};
\draw (0.6,-0.4) node {$\gamma_2$};
\draw (-0.5,0.2) node {$-\gamma_2$};
\path[name path=axis] (-3.1,0) -- (3.5,0);
\draw[thick,name intersections={of=C and axis},orange!50!black,
postaction={decorate},
decoration={markings,
mark=at position 0.25 with \arrow{>},
mark=at position 0.75 with \arrow{>}
}]
(intersection-2) -- (intersection-3) node[midway,below right] {$L_1$}
(intersection-4) -- (intersection-1) node[midway,below] {$L_2$}
;
\draw(0.4,0.5) node {$\mathsmaller{G_1}$};
\draw(0,-0.6) node {$\mathsmaller{G_2}$};
\draw[->] (2.5,-0.35) -- ++(-0.5,0);
\end{tikzpicture}
\begin{itemize}
\item \( \displaystyle
\int_{\gamma_1^+ + L_1 + \gamma_2^+ + L_2} f(z)\dif z = 0 \)
\quad (θ. Cauchy για το χωρίο \( G_1 \))
\item \( \displaystyle
\int_{\gamma_2^- - L_1 - \gamma_2^- - L_2} f(z)\dif z = 0
\) \quad (θ. Cauchy για το χωρίο \( G_2\))
\end{itemize}
\[
\implies \left| \begin{array}{l}
\left( \int_{\gamma_1^+} + \int_{L_1} + \int_{\gamma_2^+} + \int_{L_2} \right)
f(z)\dif z = 0 \\
\left( \int_{\gamma_1^-} - \int_{L_1} - \int_{\gamma_2^-} - \int_{L_2} \right)
f(z)\dif z = 0
\end{array}
\right. \implies \oint_{\gamma_1}f(z)\dif z - \oint_{\gamma_2}f(z)\dif z = 0
\]
\paragraph{Πόρισμα (Γενικευμένο θεώρ. Cauchy)}
Έστω \( f=f(z) \) ολόμορφη σε τόπο \( G \) με σύνορο \( \partial G =
\Gamma \cup \left( \gamma_1 \cup \cdots \cup \gamma_2 \right)
\), όπου:
\begin{itemize}
\item \( \Gamma, \gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n \) απλές, κλειστές, λείες
και ΘΕΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΕΝΕΣ καμπύλες
\item Οι \( \gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n \) βρίσκονται εντός της
\( \Gamma \) και
\item Κάθε καμπύλη \( \gamma_j \quad j=1,\dots,n \) βρίσκεται εκτός των
υπόλοιπων
\( \gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_{i-1},\gamma_{i+1},\dots,\gamma_n \)
\begin{tikzpicture}[scale=1.3]
\def\c{plot[smooth cycle,yscale=1.1] coordinates
{
(0,0.7) (2.5,0.7) (3.2,0.2) (3,-0.3) (2,-0.5) (0.5,-0.7) (-3,0) (-2,0.5)
}
plot [smooth cycle,xshift=2mm] coordinates
{
(-2+0.02*rand,0.2+0.02*rand) (-1.5+0.02*rand,0.3+0.02*rand)
(-1.5+0.02*rand,-0.2+0.02*rand) (-2,-0.1) (-2.5,0) (-2.5,0.3)
}
plot [smooth cycle,xshift=-3mm] coordinates
{
(0.1*rand,0.4+0.1*rand) (0.5+0.02*rand,0.3+0.02*rand)
(0.5+0.05*rand,-0.2+0.02*rand) (0.1*rand,-0.1) (-0.5,0) (-0.5,0.3)
}
plot [smooth cycle,xshift=2cm] coordinates
{
(0.1*rand,0.2+0.1*rand) (0.5+0.02*rand,0.3+0.02*rand)
(0.5+0.05*rand,-0.2+0.02*rand) (0.1*rand,-0.1) (-0.5,0) (-0.5,0.3)
}
}
\filldraw[very thick,fill=green,fill opacity=.3,postaction=decorate,name path=C,
postaction={pattern=north east lines,opacity=.3},
decoration={markings,
mark=at position 0.45 with \arrow{<},
mark=at position 0.65 with \arrow{<},
mark=at position 0.85 with \arrow{<},
mark=at position 0.9 with \arrow{<}
},
even odd rule
] \c;
\draw (0.9,0.1) node[scale=2] {$\cdots$};
\draw (-1.7,0.22) node[above] {$\gamma_1$};
\draw (0.2,0.52) node {$\gamma_2$};
\draw (2.2,0.5) node {$\gamma_n$};
\draw (-2.5,0.7) node[above] {$\Gamma$};
\end{tikzpicture}
Τότε: \(
\displaystyle \oint_\Gamma f(z)\dif z= \sum_{j=1}^k \oint_{\gamma_1}f(z)
\dif z
\)
\end{itemize}
\begin{theorem*}[width=.8\textwidth]{Ολοκληρωτικός τύπος Cauchy}
\vspace{25pt}
Έστω \( f=f(z) \) είναι ολόμορφη πάνω και στο εσωτερικό απλής, κλειστής,
τμημ. λείας και { \large ΘΕΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΕΝΗΣ } καμπύλης \( \gamma \).
Τότε { \large ΓΙΑ ΚΑΘΕ } σημείο \( z_0 \) ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ της \( \gamma \)
ισχύει:
\[
\boxed{
f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma
\frac{f(z)}{z-z_0}\dif z
}
\]
\end{theorem*}
\subparagraph{Απόδειξη} \hspace{0pt}
\begin{tikzpicture}
\draw[very thick,draw=black,postaction={decorate}
,decoration={markings,mark=at position -0.1 with {\arrow[ultra thick,black]{<}}}] plot[smooth cycle]
coordinates {(0,1) (1.7,0.4) (2,-0.5) (0.1,-0.3) (-1.5,-1) (-2,-0.7) (-1.3,0.7) (-1,0.6)};
\draw (0,1) node[above] {$\gamma$};
\filldraw[fill=green!40] (1,0.2) circle (0.35);
\filldraw (1,0.2) circle (1pt) node[below,xshift=-1pt] {$\mathsmaller{z_0}$};
\draw (1,0.2) -- ++(30:0.35)
node[above,midway,sloped,yshift=-2pt] {$\mathsmaller{r}$};
\end{tikzpicture}
Έστω \( \left|z-z_0\right| =r \) κύκλος ακτίνας \( r \) κατάλληλης ώστε ο δίσκος
\( \left|z-z_0\right| \leq r \) να βρίσκεται εξ' ολοκλήρου στο εσωτερικό της
\( \gamma \).
Τότε από το θεώρημα παραμόρφ. δρόμων, εφ' όσον \( \frac{f(z)}{z-z_0} \) ολόμορφη
στο γραμμοσκιασμένο χωρίο, έχουμε:
\[
\oint_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0} \dif z =
\oint_{\left|z-z_0\right|=r} \frac{f(z)}{z-z_0}\dif z
= \underbrace{\oint_{\left|z-z_0\right|=r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\dif z}_{I_2}
+\underbrace{\oint_{\left|z-z_0\right|=r} \frac{f(z_0)}{z-z_0}\dif z}_{I_1}
\]
Για το \( I_2 \) έχω:
\begin{align*}
I_2 &= \oint_{\left|z-z_0\right|=r} \frac{f(z_0)}{z-z_0}\dif z
\overset{z=z_0+re^{i\theta}}{\underset{\theta\in[0,2\pi]}{=}}
f(z_0)\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{re^{i\theta}}rie^{i\theta}\dif\theta
\\ &= 2\pi i f(z_0)
\end{align*}
\begin{infobox}{}
\vspace{-10pt}\[
\left(
\begin{array}{lcl}
l = l' & \iff & \left| l-l' \right|<\epsilon\ \forall \epsilon>0 \\
& "\implies" & \text{προφ. ισχύει} \\
& "\impliedby" & \text{Έστω } l \neq l' \implies \left| l-l' \right| \geq
\epsilon_0 > 0 \text{ άτοπο } \implies l=l'
\end{array}
\right)
\]
\end{infobox}
\textbf{Έτσι:} \[
\boxed{
\oint_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0}\dif z -2\pi i f(z_0) = I_1
}
\]
\begin{align*}
\left|I_1\right| &\leq
\oint_{\left|z-z_0\right|=r} \frac{\left|f(z)-f(z_0)\right|}{\left|z-z_0\right|}
\dif z \leq
M \cdot \oint_{\left|z-z_0\right|=r} \frac{1}{\left|z-z_0\right|}\dif z,
\\ \intertext{όπου $
M=\max\left\lbrace \left|f(z)-f(z_0)\right|\ \forall
z:\left|z-z_0\right|=1
\right\rbrace
$}
&= M\oint_{\left|z-z_0\right|=r} \frac{1}{r}|\dif z|
\\ &= \frac{M}{r}
\underbrace{\oint_{\left|z-z_0\right|=r} |\dif z|}_{%
\mathclap{\text{μήκος καμπύλης}}}
=\frac{2\pi M r}{r} = \underline{2\pi M}
\end{align*}
Αλλά \( f \) ολόμορφη στο \( z_0 \), άρα \( f \) συνεχής στο \( z_0 \).
Εξ' ορισμού λοιπόν: \( \forall \epsilon>0\ \exists r_1>r>0:\
\forall z: 0<\left|z-z_0\right|<r<r_1 \implies \left|f(z)-f(z_0)\right|<\epsilon
\)
Έτσι \( \forall \epsilon > 0 \) μπορώ να βρω ακτίνα
\( r: \left|f(z)-f(z_0)\right|\ \forall z:\left|z-z_0\right|=r \), δηλ.
\( M \leq \epsilon \) και τελικά \( \left|I_1\right| \leq 2\pi M \leq
2\pi\epsilon\ \forall \epsilon>0 \implies I_1 = 0 \)
\begin{theorem*}{Ολοκληρ. τύπος Cauchy για παραγώγους}
\vspace{20pt}
Έστω \( f \) είναι ολόμορφη πάνω και στο εσωτερικό απλής, κλειστής, λείας
και θετικά προσανατολισμένης καμπύλης \( \gamma \).
Αν \( z_0 \) σημείο στο ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ της \( \gamma \), τότε η \( f \)
ΕΧΕΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ \underline{ΚΑΘΕ ΤΑΞΗΣ} στο σημείο \( z_0 \) και μάλιστα:
\[
f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma
\frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^{n+1}}\dif z
\]
\end{theorem*}
\begin{attnbox}{}
Ο Ατρέας θα δίνει τύπους σε τυπολόγιο:
\url{http://users.auth.gr/natreas/Efarmosmena/ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ.pdf}
\end{attnbox}
\subsection{Εφαρμογές}
\begin{enumparen}
\item \textbf{Θεώρ. μέσης τιμής Gauss}
Αν \( f \) ολόμορφη πάνω και στο εσωτερικό θετικά προσανατολισμένου κύκλου
\( \left|z-z_0\right| = R \), τότε:
\[
f(z_0) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}
\mathlarger{f}\!\left( z_0+Re^{i\theta} \right)\dif \theta
\]
\subparagraph{Απόδειξη}
Εφαρμόζω τον ολοκλ. τύπο του Cauchy με τα δεδομένα μου και έχω:
\begin{align*}
f(z_0) &= \frac{1}{2\pi i}
\oint_{\left|z-z_0\right|=R} \frac{f(z)}{z-z_0}\dif z \\
&\overset{z=z_0+Re^{i\theta}}{\underset{\text{ορισμός}}{=}}
\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi}
\frac{f\left(z_0+Re^{i\theta}\right)}{Re^{i\theta}}\dif\left(
z_0+Re^{i\theta}
\right) \\ &=
\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi}
\frac{f\left(z_0+Re^{i\theta}\right)}{\cancel{Re^{i\theta}}}
i\cancel{Re^{i\theta}}\dif\theta
\\ &= \text{ ζητούμενο}
\end{align*}
\item \textbf{Ανισότητα Cauchy}
Έστω \( f \) ολόμορφη πάνω και στο εσωτερικό θετικά προσανατολισμένου κύκλου
\( \left|z-z_0\right| = R \) και \( M_R = \max \left\lbrace
\left|f(z)\right|,\ \forall z:\left|z-z_0\right|=R
\right\rbrace \)
\textbf{Τότε:} \[
\left| f^{(n)}(z_0) \right| \leq \frac{n!M_R}{R^n},\
n=1,2,3,\dots
\]
\subparagraph{Απόδ.}
Εφαρμόζουμε τον ολοκλ. τύπο Cauchy για παραγώγους προσαρμοσμένο στα δεδομένα:
\begin{align*}
\left|f^{(n)}(z_0)\right| &= \left|
\frac{n!}{2\pi i}\oint_{|z-z_0|=R} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\dif z
\right|
\\ &\leq \frac{n!}{2\pi}
\oint_{|z-z_0|=R} \frac{\left|f(z)\right|}{\left|z-z_0\right|^{n+1}}|\dif z|
\\ &\leq \frac{n!}{2\pi} M_R \oint_{|z-z_0|=R}
\frac{1}{|z-z_0|^{n+1}}|\dif z|
\\ &= \frac{n!}{2\pi} M_R \oint_{|z-z_0|=R} \frac{1}{R^{n+1}}|\dif z|
\\ &= \frac{n!}{2\pi} M_R \frac{1}{R^{n+1}}
\underbrace{\oint_{|z-z_0|=R} |\dif z|}_{\mathclap{\text{μήκος κύκλου } z-z_0=R}}
\\ &= \frac{n!}{2\pi} M_R \frac{1}{R^{n+1}}\cdot 2\pi R
= \frac{n!M_R}{R^n}
\end{align*}
\item \textbf{Θεώρ. Liouville}
Κάθε \textbf{ακεραία} συνάρτηση (δηλ. ολόμορφη στο \( \mathbb C \)) και φραγμένη
\( \boxed{\text{στο } \mathbb C} \) είναι η σταθερή συνάρτηση.
\subparagraph{Απόδ.}
Έστω \( z \in \mathbb C \) τυχαίο. Χρησιμοποιώ ανισότητα Cauchy για \( n=1 \):
\[
\left|f'(z)\right| \leq \frac{1!\ M_R}{R},\quad M_R = \max
\left\lbrace \left|f(z)\right|: |z-z_0|=R \right\rbrace
\]
Αφού \( f \) εξ' υποθέσεως είναι φραγμένη, άρα \( \exists \underline{M > 0}:
\left|f(z)\right| \leq M \quad \forall z \in \mathbb C
\)
\textbf{Δηλ.} \( \displaystyle
\left|f'(z)\right| \leq \frac{M_R}{R} \leq \frac{M}{R}
\xrightarrow[R\to \infty] 0
\)
Τότε \( \left|f'(z)\right| = 0 \iff f'(z)=0 \forall z\in
\iff f(z) = c\in\mathbb C
\)
\item \textbf{Αρχή μεγίστου/ελαχίστου}
Έστω \( f \) ολόμορφη σε ανοικτό και συνεκτικό σύνολο \( G \) και μη σταθερή στο
\( G \). Τότε η \( |f| \) \textbf{ΔΕΝ έχει μέγιστη τιμή} στο \( G \).
Αν μάλιστα \( f(z) \neq 0 \quad \forall z \in G \), τότε η \( |f| \)
\textbf{ΔΕΝ έχει ελάχιστη τιμή στο \( \mathbf G \)}.
Ειδικά αν \( G \) είναι και \textbf{ΦΡΑΓΜΕΝΟ} και η \( f \) είναι συνεχής στο
σύνορο του \( G \) (το οποίο είναι απλή, λεία καμπύλη), τότε η \( |f| \)
\textbf{παίρνει ΜΕΓΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΠΑΝΩ στο σύνορο του \( \mathbf G \)}.
Ομοίως αν \( f(z) \neq 0 \quad \forall z \in G \), τότε η \( |f| \)
παίρνει ελάχιστη τιμή ΠΑΝΩ στο σύνορο του \( G \).
\end{enumparen}
\paragraph{Άσκ.} Υπολογίστε το \( \int_\gamma \left( i\bar z - z \right)\dif z \)
\\ όπου \( \gamma \) είναι η παραβολή \( y=2t^2+1 \) με αρχή το σημείο \( (1,3) \)
και πέρας το σημείο \( (2,9) \).
\subparagraph{}
Γενικά, μπορώ να κινηθώ μέσω ορισμού, αντιπαραγώγου ή θεωρημάτων. Η \( \bar z \)
δεν έχει παράγωγο, άρα δεν έχει αντιπαράγωγο (διαφορετικά από προηγούμενη εφαρμογή
θα είχε άπειρες παραγώγους).
\subparagraph{Έχουμε:}
\begin{align*}
\int_\gamma (i\bar z - z)\dif z &=
i\int_\gamma \bar z\dif z - \int_\gamma z\dif z = I_1+I_2
\end{align*}
\begin{itemize}
\item όσον αφορά το \( I_2 \), εφ' όσον η \( f(z)=z \) είναι ολόμορφη στο
\( \mathbb C \) ως πολυώνυμο, έχει μοναδική αντιπαράγωγο (με προσέγγιση σταθεράς),
άρα:
\begin{align*}
\int_\gamma z\dif z &= \left. \frac{z^2}{2} \right|_{z_0=1+3i}^{z_1=2+9i}
\intertext{(αντιπαράγωγος \( \xRightarrow{\text{θεωρία}} \) ανεξαρτησία δρόμου)}
\\ &= \frac{(2+9i)^2}{2} - \frac{(1+3i)^2}{2}
\\ &= \frac{69}{2} - 15i \\ &= B
\end{align*}
\item Για το \( I_1 \):
\begin{align*}
I_1 &= i\int_\gamma \bar z \dif z
\overset{\text{ορισμός}}{\underset{\text{διότι η $\bar z$ ΔΕΝ
είναι παραγωγίσιμη σε κανένα σημείο}}{=}}
\\ &
\overset{(t,2t^2+1)}{\underset{t+i(2t^2+1)=\gamma(t)}{=}}
i\int_1^2 \overline{\gamma(t)} \dif\left(\gamma(t)\right)
\\ &= i\int_1^2 \left[
t-i\left(2t^2+1\right)
\right]\underbrace{\left[
1+4ti
\right]\dif t}_{\mathclap{
\gamma'(t)\dif t := \dif\gamma(t)
}}
\\ &= i\int_1^2 \left[
t+4t\left(2t^2+1\right)
\right]+i\left[ 1+2t^2+4t^2 \right]\dif t
\\ &= i\int_1^2 \left( 5t+8t^3 \right) + i\left( 6t^2+1 \right)\dif t
\\ &= i \left[ \frac{5t^2}{2} + 2t^4 \right]_1^2 - \left(2t^3+t\right)_1^2
\\ &= A + B
\end{align*}
\textbf{Τελικά}\[
Ι = Ι_1 + Ι_2
\]
\end{itemize}
\paragraph{Άσκ.}
Υπολογίστε τα επικαμπύλια ολοκληρώματα
\begin{enumgreekparen}
\item \( \displaystyle
\oint_{\left|z-\frac{1}{2}\right|=\frac{3}{2}}
\frac{z\cos z}{2z+1}\dif z
\)
\item \( \displaystyle
\oint_{|z|=3} \frac{z^3+2}{(z-2)^3}\dif z
\)
\item \( \displaystyle
\oint_{|z|=2} \frac{e^z}{z^2-1} \dif z
\)
\end{enumgreekparen}
Όλες οι καμπύλες θεωρούνται προσανατολισμένες με τη θετική φορά.
\paragraph{}
\begin{enumgreekparen}
\item \begin{tikzpicture}[baseline]
\draw (-3,0) -- (3,0);
\draw (0,-2) -- (0,2.2);
\draw[very thick,postaction={decorate},decoration={markings,
mark=at position 0.1 with {\arrow[very thick]{>}}}]
(0.5,0) circle (1.5);
\filldraw (2,0) circle (1pt) node[below right] {$2$};
\filldraw (0.5,0) circle (1pt) node[below] {$\frac{1}{2}$};
\filldraw[fill=red] (-0.5,0) circle (1.5pt) node[below] {$\mathllap{-}\frac{1}{2}$};
\filldraw (-1,0) circle (1pt) node[below left] {$-1$};
\end{tikzpicture}
Θα χρησιμοποιήσω ολοκλ. τύπο Cauchy.
Έστω \( f(z)=z\cos z \), ολόμορφη στο \( \mathbb C \) άρα και πάνω και στο
εσωτερικό του κύκλου \[ \left| z-\frac{1}{2} \right| =\frac{3}{2} \]
\textbf{Προφανώς:} \begin{align*}
&\ \oint_{\left| z-\frac{1}{2} \right|=\frac{3}{2}}
\frac{z\cos z}{2z+1}\dif z \\
=&\ \frac{1}{2} \oint_{\left| z-\frac{1}{2} \right|=\frac{3}{2}}
\frac{z\cos z}{z-\left(-\frac{1}{2}\right)} \dif z,
\end{align*}
όπου \( z_0 = -\frac{1}{2} \ \in \) \underline{εσωτερικό} του κύκλου
\( \left|z-\frac{1}{2}\right| = \frac{3}{2} \), ο οποίος είναι
\underline{θετικά προσανατολισμένος}.
Τότε ικανοποιούνται όλες οι συνθήκες ώστε να έχω
\begin{align*}
&\ \frac{1}{2\pi i}\oint_{\left| z-\frac{1}{2} \right|=\frac{3}{2}}
\frac{z\cos z}{z-\left(-\frac{1}{z}\right)}\dif z
\\ =&\ \big|z\cos z\big|_{z_0=-\frac{1}{2}} \implies
\oint_{\left| z-\frac{1}{2} \right|=\frac{3}{2}} \frac{z\cos z}{z+\frac{1}{2}}
\dif z = 2\pi \left(-\frac{i}{2}\right) \cos \left(-\frac{1}{2}\right)
\end{align*}
\textbf{Τελικά:} \(
\displaystyle \boxed{
\oint_\gamma \frac{z\cos z}{2z+1}\dif z = \frac{-\pi i}{2}
\cos\left(-\frac{1}{2}\right)
}
\)
\item
\begin{tikzpicture}[baseline]
\draw (-3,0) -- (3,0);
\draw (0,-2) -- (0,2.2);
\draw[very thick,postaction={decorate},decoration={markings,
mark=at position 0.1 with {\arrow[very thick]{>}}}]
(0,0) circle (1.5);
\filldraw (1.5,0) circle (1pt) node[below right] {$3$};
\filldraw (-1.5,0) circle (1pt) node[below left] {$-3$};
\filldraw (0,1.5) circle (1pt) node[above right] {$3i$};
\filldraw (0,-1.5) circle (1pt) node[below right] {$-3i$};
\filldraw[fill=red] (1.5/3*2,0) circle (1.5pt) node[below] {$2$};
\draw (0,0) node[below left] {$0$};
\end{tikzpicture}
Θα χρησιμοποιήσω τύπο Cauchy για παραγώγους με \( \mathbf{n=2} \).
Έστω \( g(z) = z^3+2 \), προφανώς ακεραία (ολόμορφη σε όλο το \( \mathbb C \)),
άρα ολόμορφη πάνω και στο εσωτερικό του κύκλου μας.
Επίσης, \( z_0 = 2 \ \in \ \) εσωτερικό του θετικά προσανατολισμένου κύκλου
μας, άρα από τύπο Cauchy για παραγώγους έχουμε:
\begin{align*}
g''(2) &= \frac{2!}{2\pi i} \oint_{|z|=3} \frac{g(z)}{(z-2)^3} \dif z
\qquad \left(g(z) = z^3+2 \right) \\
\implies \oint_{|z|=3} \frac{z^3+2}{(z-2)^3} \dif z &= \pi i \cdot g''(2)
\end{align*}
\begin{align*}
g'(z) &= 3z^2 \\
g''(z) &= 6z \\
g''(2) &= 12
\end{align*}
\textbf{Τελικά} \(
\displaystyle \oint_{|z|=3} \frac{z^3+2}{(z-2)^3} \dif z = 12\pi i
\)
\item
\begin{tikzpicture}[baseline]
\filldraw[fill=green!30,postaction=decorate,
decoration={markings,mark=at position 0.7 with \arrow[thick]{>}}
] (1.5/3,0) circle (10pt);
\draw (1.5/3,-10pt) node[below] {$\mathsmaller{\gamma_1}$};
\filldraw[fill=green!30,postaction=decorate,
decoration={markings,mark=at position 0.1 with \arrow[thick]{>}}
] (-1.5/3,0) circle (10pt);
\draw (-1.5/3,10pt) node[above] {$\mathsmaller{\gamma_2}$};
\draw (-3,0) -- (3,0);
\draw (0,-2) -- (0,2.2);
\draw[very thick] (0,0) circle (1.5);
\filldraw (1.5,0) circle (1pt) node[below right] {$2$};
\filldraw (-1.5,0) circle (1pt) node[below left] {$-2$};
\filldraw (0,1.5) circle (1pt) node[above right] {$2i$};
\filldraw (0,-1.5) circle (1pt) node[below right] {$-2i$};
\filldraw[fill=red] (1.5/3,0) circle (1.5pt) node[below] {$\mathsmaller{1}$};
\filldraw[fill=red] (-1.5/3,0) circle (1.5pt) node[below] {$\mathsmaller{-1}$};
\end{tikzpicture}
Χρησιμοποιώ κατ' αρχήν γενικευμένο θεώρημα Cauchy, και έχω:
\begin{align*}
I_{\text{ζητούμενο}} &= \oint_{\gamma_1} \frac{e^z \dif z}{(z-1)(z+1)}
+ \oint_{\gamma_2} \frac{e^z\dif z}{(z-1)(z+1)}
\\ &= \oint_{\gamma_1} \frac{\sfrac{e^z}{(z+1)} }{z-1} \dif z
+ \oint_{\gamma_2} \frac{\sfrac{e^z}{(z-1)} }{z+1}\dif z
\\ &\overset{\text{τύπος}}{\underset{\text{Cauchy}}{=}}
\left. 2\pi i \frac{e^z}{z+1} \right|_{z=1}
+ \left. 2\pi i \frac{e^z}{z-1} \right|_{z=-1}
\\ &= \pi i e - \pi i e^{-1}
\end{align*}
(διότι οι αριθμητές \(
\left|
\begin{array}{l}
a(z) = \frac{e^z}{z+1} \\ b(z)=\frac{e^z}{z-1}
\end{array}
\right.
\) είναι ολόμορφες συναρτήσεις πάνω και στο εσωτερικό των καμπύλων \( \gamma_1 \)
και \( \gamma_2 \) αντιστοίχως και \( z_0 = 1 \in \) εσωτερικό της \( \gamma_1 \)
ενώ \( z_1 = -1 \in \) εσωτερικό \( \gamma_2 \))
\end{enumgreekparen}
\paragraph{Θέμα:}
Υπολογίστε το \( \displaystyle \oint_{|z|=R} \frac{1}{(z-i)^2} \dif z \)
για όλες τις τιμές του \( R \), όπου \( R > 0 \) και \( R \neq 1 \)
\subparagraph{} \hspace{0pt}
\begin{tikzpicture}
\draw (-2,0) -- (2,0);
\draw (0,-2) -- (0,2.2);
\draw[thick,dashed,red] (0,0) circle (1.5);
\foreach \r in {0.25,0.7,...,1.49}
\draw[thick] (0,0) circle (\r);
\filldraw (1.5,0) circle (1pt) node[below right] {$1$};
\filldraw (0,1.5) circle (1pt) node[above right] {$i$};
\filldraw (0,0) circle (1pt);
\end{tikzpicture}
\begin{enumgreekparen}
\item \( \underline{R < 1} \)
Τότε \( I = 0 \) από θεώρ Cauchy αφού ανωμαλία \( z_0 = i \) εκτός κύκλου
\( |z| = R \)
\item \( \underline{R>1} \)
Τότε \( z_0 = i \ \in \ \) εσωτερικό κύκλου \( |z| = R \) οπότε χρησιμοποιώ τύπο
Cauchy για παραγώγους και βρίσκω \[ I = 0. \]
\end{enumgreekparen}
\paragraph{Άσκ. }
Έστω \( f \) ολόμορφη πάνω και στο εσωτερικό κύκλου \( |z| = R \), με
\( f(z) \neq 0\ \forall z \) στο εσωτερικό του κύκλου και \( f(z) = c \) για κάθε
\( z \) πάνω στον κύκλο \( |z| = R \).
ΝΔΟ \( \left|f(z)\right| = A \geq 0 \ \forall z \) στο εσωτερικό του κύκλου.
\subparagraph{}
Θα χρησιμοποιήσω αρχή μεγίστου/ελαχίστου, η οποία λέει ότι η \( \left|f(z)\right| \)
παίρνει τόσο τη μέγιστη, όσο και την ελάχιστη τιμή της ΠΑΝΩ στον κύκλο \( |z|=R \).
Εφ' όσον όμως \( f(z) = c\ \forall z: |z| = R \) τότε \( \left|f(z)\right| = |c| = \)
σταθερό \( \forall z \) πάνω στον κύκλο, όπου όμως η \( |f| \) παίρνει και μέγιστη και
ελάχιστη τιμή. Άρα η \( \max |f| = \min |f| \ \forall z:|z| = R \), συνεπώς
\( |f| = \) σταθερά \( \forall z \) στο εσωτερικό του κύκλου.
\paragraph{Άσκ.}
Έστω \( f \) ακεραία και \( \left|f(z)\right| \leq A|z| \forall z\in\mathbb C \).
ΝΔΟ \( f(z) = cz \), όπου \( c \in \mathbb C \) σταθερά.
\subparagraph{}
Θα χρησιμοποιήσω ανισότητα Cauchy για \( n=2 \), προσπαθώντας να δείξω ότι:
\[
\left|f''(z)\right| = 0 \quad \forall z \in \mathbb C
\]
τότε \( f'(z) = c \implies f(z) = cz+d \quad c,d\in\mathbb C \). Από υπόθεση,
για \( z=0 \) έχω \( \left|f(0)\right| \leq A \cdot 0 \implies f(0) = 0 \) άρα \(d = 0\).
Ανισότητα Cauchy
\[
\left|f^{(n)} (z_0)\right| \leq \frac{n! \cdot M_R}{R^n}
\qquad n=1,2,3,\dots
\]
όπου \( M_R = \max\left\lbrace \left|f(z)\right| : |z-z_0|=R \right\rbrace \)
Έτσι για \( n=2 \) έχω για \( z_0 \in \mathbb C \)
\[
f''(z_0) \leq \frac{2! \cdot M_R}{R^2} = \frac{2M_R}{R^2}
\]
Για \( |z-z_0| = R \) δηλ. για \( z = z_0 + Re^{i\theta} \) έχω
\( \left|f(z)\right|
\overset{\mathclap{\text{εξ' υποθέσεως}}}{\leq}
A|z| = A \left|z_0+Re^{i\theta}\right| \leq A|z_0| + AR
\)
\textbf{Τότε:}
\[
\left| f''(z_0) \right| \leq
\frac{2\left(|z_0+R|\right)}{R^2}
\xrightarrow[R\to \infty]{} 0
\]
άρα \( \left|f''(z_0)\right| = 0\ \forall z_0\in\mathbb C \), άρα
\( f''(z_0) = 0\ \forall z_0 \in \mathbb C \).
\section{Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρμογές}
\begin{defn*}{}
Έστω \( f = f(z) \) μιγαδική συνάρτηση. Ένα σημείο \( z_0 \in \mathbb C \)
καλείται \textbf{ΑΝΩΜΑΛΟ σημείο} της \( f \), εάν είτε η \( f \) ΔΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ στο
\( z_0 \), είτε ορίζεται στο \( z_0 \) αλλά δεν έχει "καλή συμπεριφορά" στο
\( z_0 \), π.χ. δεν είναι ολόμορφη στο \( z_0 \)
\end{defn*}
\begin{itemize}
\item
Αν \( z_0 \) είναι ανώμαλο σημείο της \( f \), τότε το \( z_0 \) καλείται
\textbf{ΑΠΟΜΟΝΩΜΕΝΟ ανώμαλο σημείο} της \( f \), εάν η \( f \) είναι ολόμορφη στον
Ανοικτό δακτύλιο \[
0 < |z-z_0| < R
\]
για κάποιο \( R > 0 \), διαφορετικά το \( z_0 \) καλείται ΜΗ απομονωμένο
ανώμαλο σημείο.
\end{itemize}
π.χ. \begin{itemize}
\item \( \displaystyle f(z) =
\frac{z^2+1}{z^2-1}
\) \qquad (\( z_0=1,z_0=-1 \)) απομονωμένα ανώμαλα σημεία της \( f \)
\begin{tikzpicture}[scale=1.3]
\draw (-2,0) -- (2,0);
\draw (0,-1) -- (0,1);
\filldraw[fill=red!70,fill opacity=.5] (-1,0) circle(0.3);
\filldraw[fill=red!70,fill opacity=.5] (1,0) circle(0.3);
\draw (-1,-0.3) node[below] {$z=-1$};
\draw (1,-0.3) node[below] {$z=1$};
\end{tikzpicture}
\item \( \displaystyle g(z) = \mathrm{Log} z
\) (\( z_0 = 0 \) μη απομονωμένη ανωμαλία. Επίσης τα σημεία του αρνητικού
ημιάξονα των πραγματικών είναι μη απομονωμένα ανώμαλα σημεία του λογάριθμου)
\begin{tikzpicture}[scale=1.3]
\draw (-2,0) -- (1.5,0);
\draw (0,-1) -- (0,1);
\filldraw[fill=red!70,fill opacity=.5] (0,0) circle(0.35);
\draw[ultra thick, red!90, decorate,
decoration={snake,amplitude=.3mm}
] (-2,0) -- (0,0);
\end{tikzpicture}
\item \( \displaystyle h(z) =
\cos\left( \frac{1}{z} \right)
\) (\( z_0 = 0 \) το μοναδικό μεμονωμένο σημείο)
\end{itemize}
Έστω \( z_0 \) είναι \textbf{ΑΠΟΜΟΝΩΜΕΝΟ} ανώμαλο σημείο μιας συνάρτησης \( f \).
Τότε υπάρχει κάποιος δακτύλιος \[ 0 < |z-z_0| < R \] όπου η \( f \) είναι ολόμορφη
και η \( f \) αναπτύσσεται σε σειρά Laurent
\[
f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-z_0)^k,\quad \forall 0<|z-z_0|<R
\]
\textbf{Δηλ.}
\[
f(z) = \dots + \frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n} + \dots + \frac{a_{-1}}{z-z_0}
+ a_0 + a_1(z-z_0) + \dots + a_n(z-z_0)^k + \dots
\]
Θα λέμε ότι:
\begin{itemize}
\item Το \( z_0 \) είναι \textbf{ΑΠΑΛΕΙΨΙΜΗ ανωμαλία}, εάν:
\[
a_n = 0 \quad \forall n < 0
\]
όπου \( a_n \in \mathbb C \) οι συντελεστές του αναπτύγματος Laurent της \( f \)
"γύρω" από το \( z_0 \).
\subparagraph{π.χ.}
\( \displaystyle f(z) = \frac{\sin z}{z^2} \quad z_0 = 0 \text{ (ανώμαλο σημείο)} \)
\begin{align*}
\sin z &= z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \dots
\\ \frac{\sin z}{z} &= 1 - \frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} - \frac{z^6}{7!}
+ \dots
\\ \frac{\sin z}{z^2} &= \frac{1}{z} - \frac{z}{3!} + \frac{z^3}{5!}
- \frac{z^5}{7!} + \dots \quad \text{δεν είναι απαλείψιμη ανωμαλία στο \( 0 \)}
\end{align*}
\item Το \( z_0 \) καλείται \textbf{ΠΟΛΟΣ} της \( f \) τάξης \( k\in\mathbb{N} \),
εάν \[
\boxed{a_n = 0 \quad \forall n < -k}
\]
Τότε το ανάπτυγμα Laurent της \( f \) γίνεται:
\[
f(z) = \frac{a_{-k}}{(z-z_0)^k} + \frac{a_{-k+1}}{(z-z_0)^{k-1}}
+ \dots + a_0 + a_1(z-z_0) + \dots
\]
Έτσι έχουμε:
\begin{align*}
f(z) &= \frac{1}{(z-z_0)^k} \underbrace{
\left(
a_{-k}+a_{-k+1}(z-z_0)+\dots + a_0(z-z_0)^k+\dots
\right)
}_{= g(z)} \\
f(z) &= \frac{g(z)}{(z-z_0)^k} \quad \forall 0 < |z-z_0| < R
\end{align*}
όπου \( g=g(z) \) είναι ολόμορφη συνάρτηση στο \( z_0 \) με \( g(z_0) \neq 0 \).
\textbf{Τελικά:} (εναλλακτικός ορισμός)
\begin{gather*}
z_0 \text{ πόλος της } f \text{ τάξης } k \in \mathbb{N} \\
\qquad \Updownarrow \\
f(z) = \frac{g(z)}{(z-z_0)^k} \text{ με $g$ κάποια ολόμορφη συνάρτηση στο $z_0$
για την οποία } \boxed{g(z_0) \neq 0}
\end{gather*}
\item Το \( z_0 \) καλείται \textbf{ΟΥΣΙΩΔΗΣ ΑΝΩΜΑΛΙΑ} της \( f \), εάν υπάρχει
ΑΠΕΙΡΟ ΠΛΗΘΟΣ \underline{ΜΗ ΜΗΔΕΝΙΚΩΝ} όρων \( a_n \) στο ανάπτυγμα Laurent της
\( f \) ΜΕ ΔΕΙΚΤΕΣ \( n \) να είναι \underline{ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ}.
\end{itemize}
\paragraph{π.χ.}
Τι είδους ανωμαλία είναι το σημείο \( z_0=1 \) για τη συνάρτηση
\( f(z) = \displaystyle \frac{1}{z^2-1} \);
\subparagraph{}
\begin{align*}
\frac{1}{z^2-1} &= \frac{1}{(z-1)(z+1)}
\overset{\text{απλά}}{\underset{\text{κλάσματα}}{=}}
\frac{1}{2} \left( \frac{1}{z-1} - \frac{1}{z+1} \right)
\\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{z-1} - \frac{1}{2} \frac{1}{(z-1)+2}
\\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{z-1} - \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}
\cdot \frac{1}{1+\frac{z-1}{2}}
\\ &= \frac{1}{2}\frac{1}{z-1} - \frac{1}{4}\cdot \sum_{n=0}^\infty\left(
-\frac{z-1}{2}
\right)^k, \quad \left|\frac{z-1}{2}\right|<1
\qquad \qquad \left( \frac{1}{1-z} = \sum z^n \quad |z|<1 \right)
\\ \frac{1}{z^2-1} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{z-1} - \frac{1}{4}
+ \frac{1}{8} (z-1) - \frac{1}{16}(z-1)^2 + \dots \quad 0<\left|\frac{z-1}{2}\right|<1
\end{align*}
Το \( z_0 = 1 \) είναι πόλος 1\textsuperscript{ης} τάξης εξ' ορισμού.
\subsubsection*{}
ΠΡΑΚΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ για ταξινόμηση ΑΠΟΜΕΝΩΜΕΝΩΝ ανώμαλων σημείων:
Έστω \( z_0 \) είναι απομονωμένο ανώμαλο σημείο της \( f \). Τότε:
\begin{itemize}
\item \( z_0 \) είναι απαλείψιμη ανωμαλία \( \iff \) υπάρχει το
\( \displaystyle \lim_{z\to z_0} f(z) = \lambda \in \mathbb C \)
(όχι το \( \infty \))
\item \( z_0 \) πόλος τάξης \( k \iff \) Ο \( k \in \mathbb N \) ο μοναδικός φυσικός
ώστε \[
\lim_{z\to z_0} (z-z_0)^k f(z) = \lambda \in \mathbb C -
\underbrace{\left\lbrace 0 \right\rbrace}_{%
\mathclap{\text{ΠΡΟΣΟΧΗ εδώ! Το όριο θέλω μη μηδενικό
(επειδή μηδενίζεται για όλα τα επόμενα $n>k$)}}}
\]
\item \( z_0 \) ουσιώδης ανωμαλία της \( f \iff \) Το \( \lim_{z \to z_0} f(z) \)
\underline{ΔΕΝ} υπάρχει
\end{itemize}
\textbf{Τελικά:}
\[
\lim_{z\to z_0} f(z) = \begin{cases}
= \lambda \in \mathbb C &\implies z_0 \text{ απαλείψιμη ανωμαλία} \\
\infty &\implies z_0 \text{ πόλος} \\
\text{ΔΕΝ υπάρχει} &\implies z_0 \text{ ουσιώδης ανωμαλία}
\end{cases}
\]
\subsubsection{Πώς βρίσκουμε (κάποιες φορές) την τάξη ενός πόλου \( z_0 \)}
\begin{theorem*}[title=Λήμμα]{Λήμμα}
Έστω \( f = f(z) \) ολόμορφη σε σημείο \( z_0 \). Τότε:
\[
z_0 \text{ ρίζα της } f \text{ πολ/τας } \kappa
\iff f(z_0) = f'(z_0) = \dots = f^{(\kappa-1)}(z_0) = 0
\text{ και } f^{(\kappa)}(z_0) \neq 0
\]
\end{theorem*}
\paragraph{Απόδειξη}
\subparagraph{"\( \impliedby \)"}
Αφού \( f \) ολόμορφη στο \( z_0 \) \textbf{αναπτύσσεται ΠΑΝΤΑ} σε σειρά Taylor "γύρω"
από το \( z_0 \) ως εξής:
\begin{align*}
f(z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)(z_0)}}{n!}(z-z_0)^n
\\ &= \cancel{f(z_0)} + \cancel{f'(z_0)}(z-z_0)
+ \dots + \frac{\cancel{f^{(k-1)}(z_0)}}{(k-1)!}(z-z_0)^{k-1}
+ \frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}(z-z_0)^k + \dots
\\ &= (z-z_0)^k \underbrace{\left(
\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!} + \frac{f^{(k+1)}(z_0)}{(k+1)!} + \dots
\right)}_{=h(z)} \\
f(z) &= (z-z_0)^k h(z), \text{ όπου $h(z)$ ολόμορφη στο $z_0$ με } h(z_0) \neq 0
\end{align*}
\subparagraph{"\( \implies \)"}
Τότε \( f(z) = (z-z_0)^k h(z) \), όπου \( h \) ολόμορφη στο \( z_0 \) με
\( h(z_0) \neq 0 \). Παραγωγίζοτας \( k-1 \) φορές παίρνουμε \( f^{(j)}(z_0)=0
\ \forall j=0,1,\dots,k-1
\), ενώ \( f^{(k)}(z_0) \neq 0 \).
\paragraph{}
\begin{itemize}
\item Έστω τώρα \( f(z) = \frac{a(z)}{b(z)} \), όπου \( a,b \) είναι ολόμορφες στο
\( z_0 \). Υποθέτουμε ότι το \( z_0 \) είναι ρίζα αριθμητή πολ/τας \( K \)
(\( K=\mathbf 0,1,2,\dots \)) και ρίζα παρονομαστή πολ/τας
\( \varLambda \) (\( \varLambda = \mathbf 1,2,3,\dots \)). Τότε:
\[
z_0 \text{ είναι: } \begin{cases}
\text{απαλείψιμη ανωμαλία για την $f$} & \quad \text{εάν: } \ K \geq \varLambda
\\
\text{πόλος τάξης } \varLambda - K & \quad \text{εάν: } \ K < \varLambda
\end{cases}
\]
\end{itemize}
\subsubsection{%
Υπολογισμός ολοκληρωτικού υπολοίπου σε απομονωμένο ανώμαλο σημείο \( z_0 \)}
\begin{defn*}{Ολοκληρωτικό υπόλοιπο}
Σειρά Laurent της \( f \) στο \( z_0 \):
\[
f(z) = \cdots + \frac{a_{-k}}{(z-z_0)^k} + \dots + \frac{a_{-1}}{z-z_0} + a_0
+ a_1(z-z_0) + \cdots
\]
Ο όρος \( \displaystyle a_{-1} = \oint_\gamma f(z)\dif z \) καλείται ολοκληρωτικό
υπόλοιπο της \( f \) στο \( z_0 \), συμβολικά \( \Res(f,z_0) \).
\end{defn*}
Έστω \( z_0 \) είναι απομονωμένο ανώμαλο σημείο συνάρτησης \( f \).
\begin{itemize}
\item Αν \( \mathbf{z_0} \) \textbf{απαλείψιμη ανωμαλία},
τότε το ολοκληρωτικό υπόλοιπο της \( f \) στο \( z_0 \)
\[
\Res(f,z_0) = 0
\]
\textbf{Τελικά:}
\[
\boxed{z_0 \text{ απαλείψιμο } \implies \Res (f,z_0) = 0}
\]
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item Αν \( z_0 \) είναι πόλος τάξης \( N \), τότε το \( \Res(f,z_0) \) βρίσκεται
ως εξής:
Εφόσον \( z_0 \) πόλος τάξης \( N \) έχουμε:
\[
f(z) = \frac{a_{-k}}{(z-z_0)^k} + \frac{a_{-k+1}}{(z-z_0)^{k-1}}
+ \dots + \frac{a_{-1}}{z-z_0} + a_0 + a_1(z-z_0) + \cdots
\]
\begin{align*}
& (z-z_0)^k f(z) = a_{-k}+a_{-k+1}(z-z_0) + \dots + a_{-1}(z-z_0)^{k-1}
+ a_0(z-z_0)^k + \dots
\\ \implies & \left(
(z-z_0)^k f(z)
\right)^{\underbrace{ \mathsmaller{(k-1)}}_{\mathclap{\text{παράγωγος}}}}
= (k-1)!a_{-1} + a_0(k\cdots 2)(z-z_0) + \dots
\\ \implies & \lim_{z\to z_0} \left[
\left( (z-z_0)^k f(z) \right)^{(k-1)}
\right] = (k-1)!a_{-1}
\\ \implies & \boxed{a_{-1} \overset{\text{ορ.}}{=} \Res (f,z_0)
= \frac{1}{(k-1)!} \lim_{z\to z_0} \left[
\left( (z-z_0)^k f(z) \right)^{(k-1)}
\right]}
\end{align*}
\begin{attnbox}{} {
\large \textbf{Προσοχή!}
Το \( ^{(k-1)} \) είναι \textbf{ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ}!
}
\end{attnbox}
\item \( z_0 \) \textbf{ουσιώδης ανωμαλία}:
Τότε \textbf{αναγκαστικά} θα πρέπει να βρείτε το ανάπτυγμα Laurent της \( f \)
στο \( z_0 \) και μέσω αυτού να υπολογίσετε τον όρο \( a_{-1} = \Res(f,z_0) \)
\end{itemize}
\paragraph{}
\begin{theorem*}[colbacktitle=red!35!black]{Ολοκληρωτικών υπολοίπων}
Έστω \( f = f(z) \) είναι ολόμορφη πάνω και στο εσωτερικό απλής, κλειστής, τμημ.
λείας και θετικά προσανατολισμένης καμπύλης \( \gamma \), εκτός
\textbf{ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΠΛΗΘΟΥΣ ΑΠΟΜΟΝΩΜΕΝΩΝ ΑΝΩΜΑΛΩΝ} σημείων \( z_1,\dots,z_n \)
στο ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ της \( \gamma \). Τότε:
\[
\mathlarger{\oint_\gamma f(z) \dif z = 2\pi i \sum_{j=1}^n \Res(f,z_j)}
\]
\end{theorem*}
\begin{theorem*}[colbacktitle=red!35!black]{Αρχή ταυτισμού}
Έστω \( f = f(z) \) είναι ολόμορφη πάνω και στο εσωτερικό απλής, κλειστής, τμηματικά
λείας και θετικά προσανατολισμένης καμπύλης \( \gamma \).
Αν \( \left\lbrace z_\kappa \right\rbrace_{\kappa \in \mathbb Z} \) ακολουθία
σημείων στο εσωτερικό της \( \gamma \), με \( z_\kappa \neq z_\lambda \
\forall \kappa \neq \lambda \) και είναι τέτοια ώστε
\( \displaystyle
\lim_{\kappa \to \infty} z_\kappa = z_0\) ανήκει στο εσωτερικό της \( \gamma \).
Τότε, εάν \( f(z_\kappa) = 0 \ \forall \kappa \), ισχύει:
\[
f(z) = 0 \quad \forall z \text{ στο εσωτερικό της } \gamma
\]
\end{theorem*}
\paragraph{Άσκηση}
Να ταξινομηθούν όλα τα ανώμαλα σημεία των συναρτήσεων
\begin{enumlatin}
\item \( \displaystyle f(z) = \frac{1-\cos(z)}{z^2} \)
\item \( \displaystyle g(z) = \frac{e^{z^2}}{z^3} \)
\item \( \displaystyle h(z) =
\frac{\cos\left(\sfrac{1}{z} \right)}{z} \)
\item \( \displaystyle k(z) = \frac{z}{e^z-1} \)
\end{enumlatin}
και να υπολογιστούν τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα στα σημεία αυτά.
\begin{enumlatin}
\item
Ανώμαλα σημεία της \( f \) (σημεία όπου η \( f \)) "πιθανώς" δεν ορίζεται ή
αν ορίζεται δεν είναι μιγαδικά παραγωγίσιμη):
"Το μοναδικό ανώμαλο σημείο είναι αυτό που μηδενίζει τον παρονομαστή, δηλαδή
το \( \boxed{z_0=0} \)."
Προφανώς το \( z_0 = 0 \) μηδενίζει τον παρονομαστή της \( f \) δύο φορές, δηλαδή
το \( z_0 = 0 \) είναι διπλή ρίζα του παρονομαστή.
\textbf{Έστω}
\begin{align*}
a(z) &= \text{"αριθμητής"} = 1-\cos(z),\quad a(0) = 1-\cos(0)=0 \\
a'(z) &= \sin(z),\quad a'(0) = 0 \\
a''(z) &= \cos(z),\quad a''(0) = 1 \neq 0
\end{align*}
Άρα το \( z_0 = 0 \) είναι \textbf{διπλή} ρίζα του αριθμητή.
Επομένως, το \( z_0 = 0 \) είναι "απαλείψιμη ανωμαλία", διότι:
\[
\text{πολλαπλότητα ρίζας $z_0=0$ του αριθμητή $=2$ } \geq
\text{ πολλαπλότητα ρίζας $z_0=0$ του παρονομαστή $=2$}
\]
Αφού το \( z_0 = 0 \) είναι απαλείψιμη ανωμαλία:
\[
\boxed{\Res(f,0) = 0}
\]
\item
Το \( z_0 = 0 \) είναι το μοναδικό ανώμαλο σημείο της \( g \). Προφανώς η ρίζα
του παρονομαστή είναι πολλαπλότητας 3. Το \( z_0 = 0 \) δεν μηδενίζει τον αριθμητή,
διότι \( e^{0^2} = 1 \neq 0 \), άρα η πολλαπλότητα του \( z_0 = 0 \) για τον
αριθμητή είναι ίση με 0 και έτσι το \( z_0 = 0 \) είναι \textbf{πόλος}, τάξης:
\[
\left.
\begin{array}{l}
\text{πολλαπλότητα ρίζας $z_0=0$ του παρονομαστή} \\
\qquad \mathlarger{-} \\
\text{πολλαπλότητα ρίζας $z_0=0$ του αριθμητή}
\end{array} \right\rbrace 3 - 0 = 3
\]
Τότε:
\begin{align*}
\Res(g,0) &= \frac{1}{2!} \lim_{z\to 0}
\left([z-0]^3\frac{e^{z^2}}{z^3}\right)''
\\ &= \frac{1}{2} \lim_{z\to 0} \lim_{z\to 0}\left[\left(e^{z^2}\right)''\right]
\\ &= \frac{1}{2} \lim_{z\to 0} \left(2ze^{z^2}\right)'
\\ &= \frac{1}{2} \lim_{z\to 0} \left(2e^{z^2}+4z^2e^{z^2}\right)
\\ &= \frac{1}{2} \cdot 2 = 1
\end{align*}
\item Το μοναδικό ανώμαλο σημείο είναι το \( z_0 = 0 \)
\begin{attnbox}{Σημείωση}
Αν \( z_0 \) είναι \textbf{πόλος} για συνάρτηση \( f \) και αν η \( g \)
είναι ακεραία, τότε το \( z_0 \) είναι ουσιώδης ανωμαλία για την \( g\cdot f \).
\end{attnbox}
Έτσι, με βάση τη σημείωση αυτή το \( z_0 \) είναι ουσιώδης ανωμαλία.
\textbf{Άρα}:
\[
\Res(h,0) \overset{\text{ορισμός}}{=} a_1
\ %
\begin{array}{l}
\text{ (ο οποίος είναι συντελεστής του
$\frac{1}{z-z_0} \overset{z_0=0}{=} \frac{1}{2}$
),}\\\text{στο ανάπτυγμα Laurent της $h$ με κέντρο το $z_0 = 0$.}
\end{array}
\]
\textbf{Επομένως}:
\begin{align*}
\cos(z) &\overset{\mathclap{\raisebox{1ex}{\scriptsize McLaurin}}}{=}
1 - \frac{z^2}{2} + \frac{z^4}{4!} - \dots \quad z \in \mathbb C \\
\cos\left(\frac{1}{z}\right) &= 1-\frac{1}{2z^2} + \frac{1}{24z^4} - \dots
\quad z \ in \mathbb C - \left\lbrace 0 \right\rbrace \\
\frac{1}{z} \cdot \cos \left(\frac{1}{z}\right) &=
\frac{1}{z} - \frac{1}{2z^3} + \frac{1}{24z^3} - \dots \quad
z \in \mathbb C - \left\lbrace 0 \right\rbrace
\end{align*}
\textbf{Έτσι}:
\[
\Res(h,0) = \text{"συντελεστής του $\frac{1}{z}$ στο ανάπτυγμα Laurent
της $h$"} = 1.
\]
\item \( \displaystyle k(z) = \frac{z}{e^z-1} \)
Σημεία που μηδενίζουν παρονομαστή
\[
e^z = 1 \iff z = \log 1 = \ln 1 + i(0+2k\pi) = 2k\pi i\quad
(k \in \mathbb Z)
\]
Άρα τα σημεία \( z_k = 2k\pi i \quad (k \in \mathbb Z) \) ανώμαλα σημεία
της \( k(z) \).
\paragraph{}
Για \( n = 0 \) έχουμε \( z_0 = 0 \) ανώμαλο σημείο της \( k(z) \) που
μηδενίζει τον παρονομαστή και αριθμητή 1 φορά άρα απαλείψιμο.
\[
\Res(k,0) = 0
\]
Για \underline{\( n \neq 0 \)} έχουμε \( z_n = 2n\pi i \) μηδενίζουν μια
φορά παρονομαστή, καμία αριθμητή, άρα πόλοι 1\textsuperscript{ης} τάξης.
Έτσι:
\begin{align*}
\Res(k,z_n) &= \frac{1}{1} \lim_{z\to z_n} (z-z_n)k(z)
\\ &= \lim_{z\to z_n} (z-z_n)\frac{z}{e^z-1} \overset{\text{L' Hosp.}}{=}
\\ &= \lim_{z\to z_n} \frac{z+z-z_n}{e^z} = \frac{z_n}{e^{z_n}}
= \frac{2n \pi i}{e^{2n\pi i}} = 2n\pi i
\end{align*}
\end{enumlatin}
\paragraph{(2)}
Υπολογίστε το \( \displaystyle \oint_{|z| = 3} \frac{e^z}{\cosh z} \dif z \)
% \begin{wrapfigure}{h}{.5\textwidth}
\begin{infobox}{}
\begin{enumgreekparen}
\item τύπος (θεώρ. ολοκλ. υπολοίπων)
\item ανώμαλα σημεία, θέλεις ΕΝΤΟΣ καμπύλης
\item ταξινόμηση ανώμαλων
\item υπολ. \( \Res(f,z_j),\ z_j \) ανώμαλα
\end{enumgreekparen}
\end{infobox}
%\end{wrapfigure}
\begin{enumgreekparen}
\item Από θεωρία έχω:
\[
I = 2\pi i \sum_{j=1}^n \Res\left(
\frac{e^z}{\cosh h}, z_j
\right)
\]
όπου \( z_j \) ανώμαλα σημεία εντός κύκλου: \( |z|=3 \)
\item Ανώμαλα σημεία της \( \sfrac{e^z}{\cosh z} \):
\begin{align*}
\cosh z &= 0 \xLeftrightarrow{\text{ορ.}} \frac{e^z+e^{-z}}{2} = 0
\iff e^z + e^{-z} = 0 \\
e^z + \frac{1}{e^z} &= 0 \xLeftrightarrow[\forall z]{z \neq 0} e^{2z} + 1 = 0
\iff e^{2z} = -1 \iff 2z = \log(-1) = \ln(-1) + i(\pi + 2i\pi) \\
\implies \Aboxed{z &= \left(k\pi + \frac{\pi}{2}\right)i,\quad k\in\mathbb Z}
\end{align*}
\( \displaystyle z =
\frac{\pm \pi i}{2}, \frac{\pm 3\pi i}{2},\frac{\pm 5\pi i}{2}\) ανώμαλα σημεία
Άρα μένουν οι \( z_1 = \frac{\pi i}{2} \) και \( z_2 = \frac{-\pi i}{2} \)
βρίσκονται ΕΝΤΟΣ κύκλου \( |z| = 3 \).
Έτσι από θεώρημα ολοκλ. υπολοίπων έχουμε:
\[
I = 2\pi i \left(
\Res \left(\frac{e^z}{\cosh z},\frac{\pi i}{2}\right)
+\Res \left( \frac{e^z}{\cosh z}, \frac{-\pi i}{2} \right)
\right)
\]
\item Αλλά το \( z_1 = \frac{\pi i}{2} \) είναι πόλος 1\textsuperscript{ης} τάξης,
διότι
\begin{itemize}
\item μηδενίζει μια φορά τον παρονομαστή, αφού
\begin{align*}
A(z) = \cosh z, &\quad \cosh\left(\frac{\pi i}{2}\right) = 0
\\
A'(z) = \sinh z, &\quad \sinh\left(\frac{\pi i}{2}\right) \neq 0
\end{align*}
(τα μηδενικά του \( \sinh z \) είναι στα \( k\pi i \))
και προφανώς δε μηδενίζει καθόλου τον αριθμητή, αφού
\[
e^z \neq 0 \quad \forall z
\] άρα και \[
e^{\sfrac{\pi i}{2} } \neq 0
\]
\end{itemize}
\item Ακριβώς με την ίδια λογική, το \( z_1 = -\frac{\pi i}{2} \) είναι πόλος
1\textsuperscript{ης} τάξης.
\item \begin{align*}
\Res\left(\frac{e^z}{\cosh z},\frac{\pi}{2}\right)
&= \lim_{z\to\frac{\pi i}{2}} \left(
\left(z-\frac{\pi i}{2}\right)\frac{e^z}{\cosh z}
\right) \overset{\text{L' Hospital}}{=}
\\ &=
\lim_{z\to \frac{\pi i}{2}}
\frac{e^z\left(z-\frac{\pi i}{2}\right)+e^z}{\sinh z}
\\ &= \frac{e^{z}}{\sinh\left(\frac{\pi i}{2}\right)}
\end{align*}
\begin{itemize}
\item \begin{align*}
\Res\left(\frac{e^z}{\cosh z},\frac{-\pi i}{2}\right)
&= \lim_{z\to \frac{-\pi i}{2}} \left(z+\frac{\pi i }{2}\right)
\frac{e^z}{\cosh z}
\\ &= \frac{e^{\sfrac{-\pi i}{2} }}{\sinh\left(\sfrac{\pi i}{2} \right)}
\end{align*}
\end{itemize}
\item Τελικά
\[
I = 2\pi i \left(
\frac{e^{\sfrac{\pi i}{2} }}{\sinh\left(\frac{\pi i}{2}\right)} +
\frac{e^{\sfrac{-\pi i}{2} }}{\sinh\left(\frac{-\pi i}{2}\right)}
\right)
\]
\end{enumgreekparen}
\subsection{Εφαρμογές ολοκλ. υπολοίπων}
\subsubsection[Λήμμα Jordan]{\attnboxed{\text{Λήμμα Jordan}}}
Έστω \( f=f(z) \) είναι ολόμορφη στο διάτρητο δίσκο
\[
0 < |z-z_0| < R,
\]
το \( z_0 \) είναι \textbf{ΑΠΛΟΣ ΠΟΛΟΣ} της \( f \)
(δηλ. πόλος 1\textsuperscript{ης} τάξης), και έστω \( \gamma_\rho \) είναι
το τόξο \( \gamma_\rho := \left\lbrace z:z=z_0+\rho e^{i\theta} \right\rbrace \)
και \( \rho < R \). Τότε:
\[
\lim_{\rho\to 0^+} \int_{\gamma_\rho} f(z) \dif z
= i\left(\theta_1 - \theta_0\right)\Res(f,z_0)
\]
\paragraph{Απόδ.}
\[
\int_{\gamma_\rho} f(z)\dif z =
\int_{\gamma_\rho} \left(\frac{a_{-1}}{z-z_0} + h(z)\right) \dif z,\text{ όπου}
\]
\( h=h(z) \) ολόμορφη στο \( z_0 \), διότι το \( z_0 \) είναι \underline{απλός πόλος}
της \( f \).
\begin{align*}
I_0 &= a_{-1} \int_{\gamma_\rho} \frac{1}{z-z_0}\dif z + \int_{\gamma_\rho}
h(z)\dif z \\ &= a_{-1} \int_{\theta_0}^{\theta_1} \frac{1}{\rho e^{i\theta}}
i\rho e^{i\theta}\dif \theta + \int_{\gamma_\rho} h(z) \dif z \\
I_0(\rho) &= \Res(f,z_0) \cdot i (\theta_1 - \theta_0) + \int_{\gamma_\rho} h(z)
\dif z
\end{align*}
Παίρνοντας όριο, \( \rho\to 0^+ \), έχουμε:
\[
\lim_{\rho\to 0^+} \int_{\gamma_rho} f(z)\dif z = i(\theta_1-\theta_0)\Res(f,z_0)
+ \lim_{\rho\to 0^+} \int_{\gamma_\rho} h(z)\dif z
\]
Αρκεί ΝΔΟ \( \displaystyle \lim_{\rho\to 0^+} \int_{\gamma_\rho} h(z)\dif z = 0 \).
Αλλά \( h \) ολόμορφη στο \( z_0 \implies h \) συνεχής στο \( z_0 \implies h \)
φραγμένη σε μία περιοχή του \( z_0 \). Έτσι:
\begin{align*}
\left| \int_{\gamma_\rho} \right|
&\leq \int_{\gamma_\rho} \left|h(z)\right|\left|\dif z\right|
\leq M \cdot \int_{\gamma_\rho} \left|\dif z\right|
\\ &= (\theta_1 - \theta_0) \rho M \to 0,
\end{align*}
όπου \( M \) είναι άνω φράγμα της \( h \) σε μια περιοχή του \( z_0 \).
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (2,0);
\draw (0,0) -- (0,2);
\filldraw[fill=white,fill opacity=0.9] (0,0) circle (2pt) node[below left] {$z_0$};
\draw[dashed] (0,0) -- (15:2);
\draw (1,0) arc (0:15:1) node[yshift=-3pt,right]
{$\mathsmaller{\theta_0}$};
\draw[dashed] (0,0) -- (105:2);
\draw[thick,blue!20!black] (15:1.7) arc (15:105:1.7)
node[above,midway] {$\gamma_\rho$};
\draw[thick,blue!20!black] (0:0.7) arc (0:105:0.7)
node[above,midway] {$\theta_1$};
\end{tikzpicture}
\subsubsection[Υπολογισμός περίπλοκων ολοκληρωμάτων της μορφής f(x) από -άπειρο -> +άπειρο%
]{Υπολογισμός περίπλοκων ολοκληρωμάτων της μορφής \( \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{R} f(x)\dif x \)}
\begin{theorem*}{}
Έστω \( f=f(z) \) ολόμορφη στο \( \mathbb C \) εκτός από πεπερασμένου πλήθους
απομονωμένα ανώμαλα σημεία, και η \( f \) τέτοια ώστε \[
\lim_{z\to \infty} zf(z) = 0.
\]
Υποθέτουμε ότι η \( f \) έχει:
\begin{itemize}
\item ανώμαλα σημεία \( z_1,\dots,z_n \) ΣΤΟ ΑΝΩ ΗΜΙΕΠΙΠΕΔΟ \( \Im(z)>0 \)
\item ανώμαλα σημεία \( w_1,\dots,w_k \) ΣΤΟ ΚΑΤΩ ΗΜΙΕΠΙΠΕΔΟ \( \Im(z)<0 \)
\item \underline{ΠΟΛΟΥΣ 1\textsuperscript{ης} τάξης μόνον}
\( \zeta_1,\dots,\zeta_r \) πάνω στον ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΞΟΝΑ.
\end{itemize}
Τότε:
\[
\lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{R} f(x) \dif x = 2\pi i
\sum_{j=1}^n \overbrace{\Res(f,z_j)}^{\mathclap{\text{άνω ημιεπίπεδο}}} + \pi i
\sum_{\lambda=1}^r
\overbrace{\Res(f,z_\lambda)}^{%
\mathclap{\text{απλοί πόλοι πάνω σε πραγμ. άξονα}}}
\]
ή \textbf{ισοδύναμα}:
\[
\lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{R} f(x)\dif x =
-2\pi i \sum_{\mu = 1}^k
\overbrace{\Res(f,w_\mu)}^{\mathclap{\text{κάτω ημιεπίπεδο}}}
-\pi i \sum_{\lambda = 1}^{r}
\overbrace{\Res(f,\zeta_\lambda)}^{%
\mathclap{\text{απλοί πόλοι πάνω σε πραγμ. άξονα}}}
\]
\end{theorem*}
\subsubsection{Ασκήσεις}
\paragraph{Άσκ.} Υπολογίστε το \(
\displaystyle
\underbrace{\lim_{R\to + \infty} \int_{-R}^{R}}_{%
\mathclap{\text{τέτοια ολοκληρώματα καλούνται καταχρηστικά ή κατά Cauchy}}}
\frac{\dif x}{(x+1)(x^2+4x+5)^2}
\)
\subparagraph{}
\begin{attnbox}{}
Το \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x\dif x \) δεν υπάρχει, επειδή
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} x\dif x = \lim_{N,M\to 0} \int_{N}^{M} x\dif x
\] που εξαρτάται από την διαδρομή που ακολουθούν τα \( M,N \).
\begin{tikzpicture}
\fill[green!30] (-2,0) -- (-2,-2) -- (2,2) -- (2,0);
\draw (-2,0) -- (2,0);
\draw (0,-2) -- (0,2);
\draw[very thick,blue] (-2,-2) -- (2,2);
\end{tikzpicture}
\end{attnbox}
\begin{enumgreekparen}
\item Θεωρώ \( f(z) = \frac{1}{(z+1)(z^2+4z+5)^2} \)
\item Ελέγχω αν ισχύει η συνθήκη
\[
\lim_{z\to \infty} zf(z) = 0
\]
\begin{align*}
\lim_{z\to \infty} \frac{z}{(z+1)(z^2+4z+5)^2} &=
\lim_{z\to \infty} \frac{z}{z^5} \cdot \frac{1}{\left(1+\frac{1}{z}\right)
\left(1+\frac{4}{z}+\frac{5}{z^2}\right)^2
} \\ &=
\lim_{z\to \infty} \frac{1}{z^4} \cdot \lim_{z\to \infty}
\frac{1}{\left(1+\frac{1}{z}\right)\left(1+\frac{4}{z}+\frac{5}{z^2}\right)^2}
= 0 \cdot 1 = 0
\end{align*}
\item Υπολογίζω \textbf{όλα} τα ανώμαλα σημεία της \( f \) και τα ταξινομώ:
\begin{align*}
& (z+1)(z^2+4z+5)^2 = 0 \iff \\
\iff & z_0 = -1 \text{ (απλή ρίζα) \quad και } z_{1,2} = \frac{-4\pm 2i}{2}
\\ \iff &
z_0 = -1 \text{ (απλή) \quad και } z_{1,2} = -2 \pm i \text{ (διπλές ρίζες)}
\end{align*}
\textbf{Έτσι:}
\begin{align*}
z_0 = -1 \quad& \text{(απλός πόλος στον πραγματικό άξονα)} \\
z_1 = -2+i \quad& \text{(διπλός πόλος στο άνω ημιεπίπεδο)} \\
z_2 = -2-i \quad& \text{(διπλός πόλος στο κάτω ημιεπίπεδο)}
\end{align*}
\item Τύπος:
\begin{align*}
\lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{R} f(x) \dif x &=
+\overbrace{2\pi i \cdot \Res (f,-2\!+\!i) }^{%
\mathclap{\text{ανώμαλο στο άνω ημιεπίπεδο}}}
+ \pi i \Res(f,-1)
\end{align*}
\item Υπολογισμός ολοκλ. υπολοίπου
\begin{itemize}
\item \( \displaystyle \Res(f,\ -1) = \lim_{z\to -1}(z+1)
\frac{1}{(z+1)(z^2+4z+5)^2} = \frac{1}{4}.
\)
\item \( \displaystyle \Res(f,z_1) =
\lim_{z\to z_1} \left((z-z_1)^2 \frac{1}{(z+1)(z-z_1^2)(z-z_2)^2}\right)'
\) \\
όπου \( z_1 =-2+i,\ z_2=-2-i \)
\begin{align*}
&= \lim_{z\to z_1} \left(\frac{1}{(z+1)(z-z_2)^2}\right)'
= - \lim_{z\to z_1} \frac{(z-z_2)^2+2(z+1)(z-z_2)}{(z+1)^2(z-z_2)^4}
\\ &= -\frac{(z_1-z_2)+2(z_1+1)}{(z_1+1)^2(z_1-z_2)^3}
\intertext{$\mathsmaller{z_1-z_2=\cancel{-2}+i+\cancel{2}+i}$}
&= -\frac{2i+2(i-1)}{(i-1)^2(2i)^3} = \frac{4i-2}{+2\cdot 8}
\\ &= \boxed{\frac{2i-1}{8}}
\end{align*}
\end{itemize}
\item Τελικό αποτέλεσμα
\begin{align*}
\lim_{R\to+\infty} \int_{-R}^{R} \frac{\dif x}{(x+1)(x^2+4x+5)^2}
&= 2\pi i \cdot \frac{2i-1}{8} + \pi i \cdot \frac{1}{4}
\\ &= -\frac{\pi}{2} - \cancel{\frac{\pi i}{4}} + \cancel{\frac{\pi i}{4}}
= - \frac{\pi}{2}
\end{align*}
\end{enumgreekparen}
\paragraph{Άσκ.}
Υπολογίστε το \( \displaystyle \oint_\gamma \frac{1}{z\left(z-z_1\right)^2}
\dif z \), όπου \( \gamma \) είναι το τετράγωνο:
\begin{tikzpicture}[baseline,scale=1.2]
\draw (-1,0) -- (1.2,0);
\draw (0,-0.7) -- (0,1.2);
\draw[thick,postaction={decorate},decoration={markings,
mark=between positions 0.15 and 1 step 0.25 with {\arrow[very thick]{>}}
}]
(0,0) -- (1,0) -- (1,1) -- (0,1) -- cycle;
\filldraw (0,0) circle (1pt) node[below left] {$0$};
\filldraw (1,0) circle (1pt) node[below] {$1$};
\filldraw (1,1) circle (1pt) node[right] {$1+i$};
\filldraw (0,1) circle (1pt) node[left] {$i$};
\draw[dashed] (0.5,0) --(0.5,0.5) -- (0,0.5);
\filldraw (0.5,0.5) circle (1pt) node[above,scale=0.6]
{$z_1\mathsmaller{=\frac{1}{2}+\frac{i}{2}}$};
\end{tikzpicture}
με θετική φορά.
\subparagraph{}
Εφαρμόζω θεώρ. ολοκλ. υπολοίπων
\begin{align*}
I &= 2\pi i \cdot \Res\left(f,\begin{array}{l}
\text{στα ανώμαλα σημεία} \\ \text{\textbf{ΕΝΤΟΣ} τετραγώνου}
\end{array}\right) \mathlarger{\mathlarger{\mathlarger{\mathlarger{+}}}
i\frac{\pi}{2}
\Res(f,\!\overbrace{0}^{\mathclap{\text{πάνω στην καμπύλη}}})
}
\end{align*}
\begin{itemize}
\item \( \displaystyle
\Res(f,0) \overset{z=0 \text{ απλός}}{\underset{\text{πόλος}}{=}}
\lim_{z\to 0} z\frac{1}{z(z-z_1)^2} = \frac{1}{z_1^2}
\)
\item \( \displaystyle
\Res(f,z_1) \overset{\text{δεύτερης}}{\underset{\text{πόλος}}{=}}
\lim_{z\to z_1} \left(
(z-z_1)^2\frac{1}{z(z-z_1)^2} = \lim_{z\to z_1} -\frac{1}{z^2}
= -\frac{1}{\left(\frac{1}{2}+i\frac{1}{2}\right)}
\right)
\)
\end{itemize}
Αντικαθιστώντας παραπάνω προκύπτει το ζητούμενο αποτέλεσμα.
\subsubsection[Υπολογισμός ολοκληρωμάτων της μορφής]{Υπολογισμός ολοκληρωμάτων της μορφής \( \displaystyle
\int_{0}^{2\pi} R(\sin\theta, \cos\theta) \dif\theta
\)}
όπου \( R \) είναι μια ρητή συνάρτηση των \( \sin\theta \) και \( \cos\theta \)
\paragraph{Μεθοδολογία:}
Θέτουμε \( z = e^{i\theta},\quad \theta \in [0,2\pi) \)
Τότε: \begin{align*}
\dif z &= \dif \left(e^{i\theta}\right) = ie^{i\theta}\dif\theta =
iz \dif\theta
\\ \text{άρα } \Aboxed{\dif z &= iz\dif\theta}
\end{align*}
Επίσης: \(
\begin{cases}
\cos\theta &= \frac{e^{i\theta+e^{-i\theta}}}{2} = \frac{z+z^{-1}}{2}
= \frac{z^2+1}{2z} \\
\sin\theta &= \frac{e^{i\theta-e^{-i\theta}}}{2i} = \frac{z-z^{-1}}{2i}
= \frac{z^2-1}{2iz}
\end{cases}
\)
Αντικαθιστούμε τα παραπάνω και παίρνουμε:
\[
\int_{0}^{2\pi} R(\sin\theta, \cos\theta) \dif\theta
= \oint_{|z|=1} R\left( \frac{z^2-1}{2iz},\frac{z^2+1}{2z} \right) \frac{\dif z}{iz}
= \oint_{|z|=1} K(z)\dif z,
\]
όπου \( K \) είναι μια ρητή συνάρτηση του \( z \). Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε το θ.
ολοκλ. υπολοίπων, και έχουμε:
\[
\int_{0}^{2\pi} R(\sin\theta, \cos\theta)\dif\theta = 2\pi \sum_{j=1}^n
\Res(K,z_j),
\] όπου \( z_j, \mathsmaller{j=1,\dots,n} \) ανώμαλα σημεία της \( K \) εντός του
μοναδιαίου κύκλου \( |z| = 1 \).
\paragraph{Παράδειγμα:}
Υπολογίστε το
\( \displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{\cos 2\theta}{2+\sin\theta} \dif\theta \)
\subparagraph{}
\begin{enumgreekparen}
\item
Θέτω \( z=e^{i\theta}, \theta \in [0,2\pi) \)
Τότε \begin{align*}
\dif z &= \dif \left(e^{i\theta}\right) = ie^{i\theta}\dif\theta = iz\dif z \\
\text{άρα } \Aboxed{\dif z &= iz\dif\theta}
\end{align*}
\begin{itemize}
\item \( \displaystyle
\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} = \frac{z-z^{-1}}{2i}
= \frac{z^2-1}{2iz}
\)
\item \( \displaystyle \cos(2\theta) =
\frac{e^{i2\theta}+e^{-i2\theta}}{2} \overset{\mathclap{z=e^{i\theta}}}{=}
\frac{z^2+z^{-2}}{2} = \frac{z^4+1}{2z^2}
\)
\end{itemize}
\textbf{Τότε}
\begin{align*}
I &= \oint_{|z| = 1} \frac{\frac{z^4+1}{2z^2}}{2+\frac{z^2-1}{2iz}}
\frac{\dif z}{iz}
\\ &= \oint_{|z|=1} \frac{z^4+1}{z^2(z^2+4iz-1)} \dif z
\end{align*}
\item Ανώμαλα σημεία:
Εκείνα που μηδενίζουν τον παρονομαστή. Άρα
\begin{gather*}
z^2(z^2+4iz-1) = 0 \iff \\
z = 0 \text{ (διπλή)} \quad \text{ή} \quad z_{1,2} =
\frac{-4i \pm \sqrt{16i^2+4}}{2} = -2i \pm i\sqrt{3} = i\left(-2\pm\sqrt{3}\right)
\end{gather*}
Από αυτά με ενδιαφέρουν μόνον τα ανώμαλα σημεία ΕΝΤΟΣ του μοναδιαίου κύκλου, δηλ.:
\begin{align*}
z_0 &= 0 \text{ (διπλή)} \\
z_1 &= i\left(-2+\sqrt{3}\right)
\end{align*}
\item Ταξινόμηση ανώμαλων σημείων και υπολογισμός ολοκληρωτικών υπολοίπων
\begin{align*}
z_0 &= 0 \text{ είναι πόλος 2\textsuperscript{ης} τάξης
(μηδενίζει δύο φορές τον παρονομαστή, καμία τον αριθμητή)}
\\ z_1 &= i\left(-2+\sqrt{3}\right) \text{ πόλος 1\textsuperscript{ης} τάξης}
\end{align*}
\begin{attnbox}{}
Ο τύπος \( \displaystyle \Res(f,z_0) = \frac{1}{(N-1)!}
\lim_{z\to z_0} \left( (z-z_0)^N f(z) \right)^{(N-1)}
\) θα δίνεται
\end{attnbox}
\textbf{και έτσι} αν \( f(z) = \sfrac{(z^4+1)}{z^2(z^2+4iz-1)} \), τότε
\begin{align*}
\Res(f,0) &= \lim_{z\to 0} \left(
\cancel{z^2} \frac{z^4+1}{\cancel{z^2}(z^2+4iz-1)}
\right) \\ &= \lim_{z\to 0}
\frac{4z^3(z^2+4iz-1) - (2z+4i)(z^4+1) }{(z^2+4iz-1)^2}
\\ &= -4i
\end{align*}
Έστω \( z_1 = i\left(-2+\sqrt{3}\right) \) και \( z_2 = i\left(-2-\sqrt{3}\right) \).
Τότε
\begin{align*}
\Res(f,z_1) &= \lim_{z\to z_1}
\cancel{(z-z_1)}\frac{z^4+1}{z^2\cancel{(z-z_1)}(z-z_2)}
\\ &= \frac{z_1^4 + 1}{z_1^2(z_1-z_2)}
\\ &= \frac{\left(\sqrt{3}-2\right)^4 + 1}{-\left(\sqrt{3} - 2\right)^2
\cdot i 2\sqrt{3}}
= i\frac{\left(\sqrt{3}-2\right)^4+1}{2\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-2\right)^2}
\end{align*}
\item Τελικά από θεώρημα ολοκλ. υπολοίπων έχω:
\begin{align*}
I &= 2\pi i \left( -4i +i
\frac{(\sqrt{3}-2)^4+1}{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-2)^2}
\right) \\ &=
8\pi - \pi \cdot \frac{(\sqrt{3}-2)^4 + 1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}-2)^2}
\end{align*}
\end{enumgreekparen}
\subsubsection[Υπολογισμός μετασχηματισμού Fourier τοπικά
ολοκληρώσιμης συνάρτησης f]{Υπολογισμός
μετασχηματισμού Fourier τοπικά ολοκληρώσιμης συνάρτησης \( f \)}
\[
\hat f(\omega) = \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{R} f(x) e^{-i\omega x}\dif x
\]
όπου \( x \in \mathbb R,\ \omega \in \mathbb R \)
\begin{theorem*}{}
Έστω \( f = f(z) \) είναι ολόμορφη στο \( \mathbb C \) εκτός πεπερασμένου πλήθους
απομονωμένων ανώμαλων σημείων και η \( f \) έτσι ώστε:
\[
\lim_{z\to \infty} f(z) = 0
\]
Υποθέτουμε ότι:
\begin{enumgreekparen}
\item Η \( f \) έχει ανώμαλα σημεία \( z_1,\dots,z_n \) στο ΑΝΩ ΗΜΙΕΠΙΠΕΔΟ
\( \Im(z) > 0 \)
\item Η \( f \) έχει ανώμαλα σημεία \( w_1,\dots,w_m \) στο ΚΑΤΩ ΗΜΙΕΠΙΠΕΔΟ
\( \Im(z) < 0 \)
\item Η \( f \) έχει \textbf{ΑΠΛΟΥΣ ΠΟΛΟΥΣ} \( \zeta_1,\dots,\zeta_r \) πάνω
στον \textbf{πραγματικό άξονα}.
\end{enumgreekparen}
\textbf{Τότε}
\begin{enumlatin}
\item Αν \( \boxed{\omega < 0} \), έχουμε:
\[
\hat f (\omega) = 2\pi i
\sum_{j=1}^n \Res\left( f(z) e^{-i\omega z}, z_j \right)
+ \pi i \sum_{\mu=1}^{r} \Res\left( f(z)e^{-i\omega z},\zeta_\mu \right)
\]
\item Αν \( \boxed{\omega > 0} \), έχουμε:
\[
\hat f(\omega) = -2\pi i
\sum_{\lambda=1}^{m} \Res\Big(f(z)e^{-i\omega z},
\underset{\mathclap{\text{ημιεπ.}}}{\underset{\mathclap{\text{κάτω}}}{w_\lambda}}
\Big)
-\pi i \sum_{\mu=1}^{r} \Res\left(f(z) e^{-i\omega z},\zeta_\mu\right).
\]
\end{enumlatin}
\end{theorem*}
\paragraph{Άσκ.}
Υπολογίστε το \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(kx)}{x^2+1} \dif x
\quad (k \in \mathbb Z^*)\)
\subparagraph{}
Σκέφτομαι να χρησιμοποιήσω \( e^{-ikx} \) και μετασχηματισμό Fourier.
\begin{itemize}
\item Ορίζω \( \displaystyle f(z) = \frac{1}{z^2+1} \)
\item Προφανώς: \(
\displaystyle
\lim_{z\to \infty} \frac{1}{z^2+1} = \lim_{z\to \infty}\frac{1}{z^2}
\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{z^2}} = 0\cdot 1 = 0
\)
\item Ανώμαλα σημεία της \( f \): αυτά που μηδενίζουν παρονομαστή, άρα:
\[
z^2+1 = 0 \iff \boxed{z = \pm i},
\]
τα οποία είναι προφανώς απλοί πόλοι.
\item Χωρίς περιορισμό γενικότητας, εργάζομαι μόνον για \( k>0 \) (διότι λόγω
\( \cos \) που είναι άρτια συνάρτηση ισχύει \( I_{-k} = I_k \quad (k>0) \)).
\subparagraph{}
Τότε, από θεωρία:
\begin{align*}
\lim_{R\to \infty} \int_{-R}^{R} f(x) e^{-ikx} \dif x &=
-2\pi i \cdot Res\left(
f(z)e^{-ikz}
, -i \right)
\end{align*}
\item Αλλά:
\begin{align*}
\Res \left(
f(z)e^{-ikz},-i
\right) &= \lim_{z\to -i} (z+i)\frac{e^{-ikz}}{z^2+1}
\\ &= \lim_{z\to -i} \frac{e^{-ikz}}{z-i} = \frac{e^{-k}}{-2i} = i\frac{e^{-k}}{2}
\end{align*}
\end{itemize}
\textbf{Τελικά}:
\begin{align*}
& \lim_{R\to \infty} \int_{-R}^{R} f(x)e^{-ikx} \dif x = -2\pi i\cdot i\frac{e^{-k}}{2}
= \underline{\pi e^{-k}}
\\ \implies & \lim_{R\to + \infty} \int_{_R}^{R} f(x) \cos(kx)\dif x
- i \lim_{R\to +\infty} \int_{_R}^{R} f(x)\sin(kx)\dif x
= \pi e^{-k} - 0
\\ \implies & \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{R} f(x)\cos(kx)\dif x = \pi e^{-k}
\quad (k > 0)
\end{align*}
Εφόσον \( I_{-k} = I_k \), τελικά:
\[
\int_{\mathbb{R}} f(x)\cos(kx)\dif x = \pi e^{-k} \ \forall k\in\mathbb{Z}^*
\]
Αν ήθελα να υπολογίσω το \( \int_{\mathbb R} \left(\frac{\cos(kx)}{x^2+1}\right) \), με
\( f(z) = \frac{\cos(kz)}{z^2+1} \), παρατηρώ ότι \( \displaystyle \lim_{z\to \infty}
zf(z) \neq 0
\).
\subsubsection{Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace}
Είναι γνωστό ότι αν \( f:[0,+\infty) \to \mathbb C \) είναι
τμηματικά συνεχής στο \( [0,b] \ \forall b>0 \) και εκθετικής
τάξης \( a \in \mathbb R \), δηλ.
\[
\left| f(t) \right| \leq Ce^{at} \quad \forall t>b,
\]
όπου \( b,c > 0 \), τότε ορίζεται ο μετασχηματισμός Laplace ως εξής:
\[
L\big(f\big)(z) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-zt}\dif t
\qquad \forall z: |z|>a
\]
\textbf{Τότε}:
\( \displaystyle \lim_{z\to \infty} F(z) = 0 \)
\begin{theorem*}{Αντιστροφή Laplace}
Έστω \( F = F(z) \) είναι ο μετασχ. Laplace συνάρτησης \( f \), και έστω ότι η
\( F \) είναι ολόμορφη στο \( \mathbb C \), εκτός πεπερασμένου πλήθους απομονωμένων
ανώμαλων σημείων \( z_1,\dots,z_n \) (και φυσικά \( \lim_{z\to \infty} F(z) = 0 \)).
Τότε για οποιοδήποτε \( \gamma \in \mathbb R \), τέτοιο ώστε όλα τα ανώμαλα σημεία
της \( F \) βρίσκονται στα αριστερά της κατακόρυφης ευθείας \( \gamma+it, \ t
\in \mathbb R
\), έχουμε:
\begin{align*}
f(t) &= \frac{1}{2\pi i} \lim_{R\to \infty} \int_{\gamma-iR}^{\gamma+iR}
F(z) e^{zt}\dif z \qquad \mathsmaller{\mathsmaller{(t \geq 0)}} \\
&= \sum_{j=1}^{n} \Res\left( F(z)e^{zt}, z_j \right)
\end{align*}
\end{theorem*}
\paragraph{π.χ.}
Βρείτε τον αντίστροφο μετασχ. Laplace της \( \displaystyle F(z)= \frac{z}{(z+4)(z-1)}
\quad \left(|z|>1\right)
\)
\begin{itemize}
\item Προφανώς \( \displaystyle \lim_{z\to \infty} = 0 \)
\item Έχω δύο ανώμαλα σημεία \( z=-4,\ z=1 \) που είναι απλοί πόλοι
Τότε:
\[
f(t) = \Res\left(F(z)e^{zt},-4\right) + \Res\left(F(z)e^{zt},1\right)
\]
\item \textbf{Αλλά}:
\begin{itemize}
\item \(
\displaystyle
\Res\left(F(z)e^{zt},4\right) =
\lim_{z\to -4} \frac{\cancel{(z-4)}e^{zt}\cdot z}{\cancel{(z+4)}(z-1)}
= \frac{4e^{-4t}}{5}
\)
\item \(
\displaystyle
\Res\left(F(z)e^{zt},1\right) =
\lim_{z\to 1} \cancel{(z-1)} \frac{e^{zt}\cdot z}{(z+4)\cancel{(z-1)}}
= \frac{e^t}{5}
\)
\end{itemize}
\item \textbf{Τελικά:}
\[
f(t) = \frac{e^t}{5} + \frac{4e^{-4t}}{5}
\]
\end{itemize}
\paragraph{Άσκ.}
Αν \underline{\( z_0 \) πόλος} της \( f=f(z) \) τάξης \( N \),
ΝΔΟ \underline{\( z_0 \) πόλος} της \( f' \) τάξης \( N+1 \)
\subparagraph{}
\begin{attnbox}{}
Θα χρειαστούμε τον ορισμό του πόλου.
\end{attnbox}
Αφού \( z_0 \) πόλος της \( f \) τάξης \( N \), τότε,
εξ' ορισμού:
\begin{align*}
f(z) &= \frac{h(z)}{(z-z_0)^N}, \ \text{όπου $h(z)$ ολόμορφη στο $z_0$
με $h(z_0) \neq 0$} \\
f'(z) &= \frac{h'(z)(z-z_0)^N-N(z-z_0)^{N-1}h(z)}{(z-z_0)^{2N}}
\\ &= \frac{h'(z)(z-z_0) - Nh(z)}{(z-z_0)^{N+1}},
\end{align*}
άρα \( z_0 \) πόλος τάξης \( N+1 \) της \( f' \), διότι μηδενίζει \( N+1 \) φορές
παρονομαστή (το \( z_0 \)) ενώ δε μηδενίζει αριθμητή, εφόσον
\[
h'(z_0)\, (z_0-z_0) - Nh(z_0) = -Nh(z_0) \neq 0
\]
(αφού \( h(z_0) \neq 0 \))
\paragraph{Άσκ.}
Υπολογίστε το \( \displaystyle \mathsmaller{I=}
\int_{|z+2|=1} (z-3)\sin\left( \frac{1}{z+2} \right)\dif z
\)
\subparagraph{}
\begin{attnbox}{}
Επειδή το ολοκλήρωμα δεν είναι στο \( \infty \), δεν χρησιμοποιώ Fourier/Laplace,
απλώς το θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων.
\end{attnbox}
\begin{itemize}
\item Από θεωρ. υπολοίπων:
\begin{align*}
I &= 2\pi i \sum_{j=1}^{n} \Res\left(
f, z_j \text{όλα τα ανώμαλα εντός κύκλου}
\right)
\\ &= 2\pi i \Res\left(f,-2\right),
\end{align*}
διότι \( -2 \) ανήκει στον κύκλο \( |z+2|=1 \).
\item Ταξινόμηση του \( z_0 = -2 \).
Το \( z_0 = -2 \) ουσιώσης ανωμαλία (σύνθεση ολόμορφης - της \( \sin z \) - με την
\(\frac{1}{z+2}\) που έχει απλό πόλο. Εμπειρικά τότε η
\( \sin\left(\frac{1}{z+2}\right) \)