Permalink
Cannot retrieve contributors at this time
| \documentclass[11pt,a4paper,notitlepage,fleqn,final]{article} | |
| \input{preamble.tex} | |
| \title{Αναλογικές Τηλεπικοινωνίες | |
| \\ | |
| { | |
| \normalsize Σημειώσεις από τις παραδόσεις | |
| }} | |
| \date{Οκτώβριος-Ιανουάριος 2017-2018 | |
| \\ | |
| { | |
| \small Τελευταία ενημέρωση: \today | |
| } | |
| } | |
| \author{ | |
| Για τον κώδικα σε \LaTeX, ενημερώσεις και προτάσεις: | |
| \\ | |
| \url{https://github.com/kongr45gpen/ece-notes}} | |
| \setallmainfonts(Digits,Latin,Greek){Asana Math} | |
| \setmainfont{Noto Serif} | |
| \setsansfont{Ubuntu} | |
| %\usepackage{unicode-math} | |
| \usepackage{polyglossia} | |
| \newfontfamily\greekfont[Script=Greek,Scale=0.95]{Noto Serif} | |
| \setmathfont{XITS Math} | |
| \hypersetup{pdftitle = {Αναλογικές Τηλεπικοινωνίες}} | |
| \newacronym{am}{AM}{Amplitude Modulation} | |
| \newacronym{dsb}{DSB}{Double Side-Band} | |
| \newacronym{qam}{QAM}{Quadrature Amplitude Modulation} | |
| \newacronym{dsbsc}{DSB-SC}{Double Side-Band \textendash\ Suppressed Carrier} | |
| \newacronym{ssb}{SSB}{Single Side-Band} | |
| \newacronym{lsb}{LSB}{Lower Side-Band} | |
| \newacronym{usb}{USB}{Upper Side-Band} | |
| \newacronym{vsb}{VSB}{Vestigial Side-Band} | |
| \newacronym{pm}{PM}{Phase Modulation} | |
| \newacronym{fm}{FM}{Frequency Modulation} | |
| \newacronym{nbfm}{NBFM}{Narrow-Band Frequency Modulation} | |
| \newacronym{pll}{PLL}{Phase-Locked Loop} | |
| \newacronym{mf}{ΜF}{Μετασχηματισμός Fourier} | |
| \newacronym{fdma}{FDMA}{Frequency-Division Multiple Access} | |
| \newacronym{tdma}{TDMA}{Time-Division Multiple Access} | |
| \newacronym{cdma}{CDMA}{Code-Division Multiple Access} | |
| \makeglossaries | |
| \begin{document} | |
| \maketitle | |
| \hrule | |
| \vspace{50pt} | |
| \begin{infobox}{Λάθη \& Διορθώσεις} | |
| Οι τελευταίες εκδόσεις των σημειώσεων βρίσκονται στο Github | |
| (\url{https://github.com/kongr45gpen/ece-notes/raw/master/atelecom.pdf}) ή | |
| στη διεύθυνση \url{http://helit.org/ece-notes/atelecom.pdf}. | |
| Περιέχουν διορθώσεις σε λάθη και τυχόν βελτιώσεις. | |
| \tcblower | |
| Μπορείτε να ενημερώνετε για οποιοδήποτε λάθος και πρόταση | |
| μέσω PM στο forum, issue στο Github, ή οποιουδήποτε άλλου τρόπου! | |
| \end{infobox} | |
| \begin{attnbox}{Εγγραφή στη λίστα} | |
| Μήνυμα στο \href{mailto:dimakis@auth.gr}{\texttt{dimakis@auth.gr}} με θέμα | |
| \textit{\textbf{Αναλογικές Τηλεπικοινωνίες}}. | |
| \tcblower | |
| Στη λίστα θα στέλνονται ασκήσεις χρήσιμες για τις εξετάσεις και λοιπές ανακοινώσεις. | |
| \end{attnbox} | |
| Εξετάσεις: Όλα ανοιχτά. | |
| Το μάθημα γίνεται με βάση το βιβλίο του Haykin. | |
| Ιστοσελίδα Ασκήσεων: | |
| \url{http://genesis.ee.auth.gr/dimakis/greek/courses/telesysI} | |
| \begin{attnbox}{Προσοχή στο συμβολισμό!} | |
| Σε \textbf{αντίθεση} με τα ΣΑΕ, τα διαγράμματα των Αναλογικών Τηλεπικοινωνιών περιέχουν \textbf{αθροιστές} | |
| και \textbf{πολλαπλασιαστές} που εκφράζονται ως εξής: | |
| \begin{itemize} | |
| \item | |
| \textbf{Αθροιστής:} | |
| \begin{circuitikz}[baseline] | |
| \draw (0,0) node[circle,thick,draw] (s) {$\sum$}; | |
| \draw[<-] (s) -- (-1,0) node[left] {$i_2$}; | |
| \draw[<-] (s.north west) -- (-0.5,0.5) -- (-1,0.5) node[left] {$i_1$}; | |
| \draw[<-] (s.south west) -- (-0.5,-0.5) -- (-1,-0.5) node[left] {$i_3$}; | |
| \draw[gray,->] (s) -- ++(1,0) node[right] {$o$}; | |
| \end{circuitikz} | |
| ή \begin{circuitikz}[baseline,scale=1.05] | |
| \draw (0,0) node[circle,thick,draw] (s) {$+$}; | |
| \draw[<-] (s) -- (-1,0) node[left] {$i_2$}; | |
| \draw[<-] (s.north west) -- (-0.5,0.5) -- (-1,0.5) node[left] {$i_1$}; | |
| \draw[<-] (s.south west) -- (-0.5,-0.5) -- (-1,-0.5) node[left] {$i_3$}; | |
| \draw[gray,->] (s) -- ++(1,0) node[right] {$o$}; | |
| \end{circuitikz} \quad | |
| \( o = i_1 + i_2 + i_3 \) | |
| \item | |
| \textbf{Πολλαπλασιαστής:} | |
| \begin{circuitikz}[baseline,scale=.9] | |
| \draw (0,0) node[mixer] (s) {}; | |
| \draw[<-] (s.west) -- (-1,0) node[left] {$i_2$}; | |
| \draw[<-] (s.north) |- (-1,0.8) node[left] {$i_1$}; | |
| \draw[<-] (s.south) |- (-1,-0.8) node[left] {$i_3$}; | |
| \draw[gray,->] (s.east) -- (1,0) node[right] {$o$}; | |
| \end{circuitikz} | |
| \quad \( o = i_1\cdot i_2\cdot i_3 \) | |
| \end{itemize} | |
| \end{attnbox} | |
| \newpage | |
| \tableofcontents | |
| \newpage | |
| \section{Εισαγωγή} | |
| Επικοινωνία είναι η μεταφορά μηνυμάτων, που μπορεί να έχουν τη μορφή απλών συμβόλων / φθόγγων | |
| ή πιο περίπλοκων μηνυμάτων. | |
| Για τον μηχανικό, επικοινωνία είναι η μετάδοση ή μεταφορά πληροφορίας από ένα σημείο \( A \) σε ένα σημείο \( B \) του χώρου. | |
| \begin{center} | |
| \begin{tikzpicture} | |
| \draw[thin,gray,dashed] (0,0) -- (2,0); | |
| \filldraw (0,0) circle (2pt) node[left] {$A$}; | |
| \filldraw (2,0) circle (2pt) node[right] {$B$}; | |
| \end{tikzpicture} | |
| \end{center} | |
| Την πληροφορία μπορούμε να την ορίσουμε ως ένα σύνολο ταξινομημένων συμβόλων, που μαζί ίσως | |
| σχηματίζουν μια λέξη, μια πρόταση, ή ένα νόημα. Ένας καλύτερος ορισμός έχει δοθεί από τον | |
| Shannon στη Θεωρία Πληροφοριών. | |
| Μία ακόμα παράμετρος είναι ο χρόνος μεταφοράς της πληροφορίας, αν και συνήθως δεν μας | |
| ενδιαφέρει στις αναλογικές τηλεπικοινωνίες (δεδομένης της ταχύτητας του φωτός), εκτός | |
| αν προσπαθούμε να επικοινωνήσουμε με κάτι εκτός του πλανήτη. | |
| Τα σήματα αυτά μπορούν να μεταφέρουν αριθμούς, κείμενο, εικόνα, ήχο, βίντεο, αρχεία κ.ά, και | |
| βρίσκονται σε σχετικά χαμηλές συχνότητες (\textbf{baseband}). Για παράδειγμα, το εύρος της ανθρώπινης φωνής που | |
| απαιτείται για να είναι καταληπτή είναι \( 300 \ \mathrm{Hz} \)-\( 3300\ \mathrm{Hz} \), ενώ | |
| τα τηλεοπτικά σήματα κωδικοποιούνται σε συχνότητες έως \( 6 \ \mathrm{MHz} \). Τέτοιες | |
| συχνότητες όμως είναι δύσκολο να μεταδοθούν (αν π.χ. σκεφτούμε ότι οι συχνότητες αρκετών | |
| ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων ή του ορατού φωτός είναι της τάξης των \( \mathrm{GHz} \) και | |
| \( \mathrm{THz} \)). Επομένως, για να επιτύχει η επικοινωνία απαιτείται η αύξηση της | |
| συχνότητας του σήματος, μέσω μιας διαδικασίας που λέγεται \textbf{διαμόρφωση}. | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \def\h{0.6} | |
| \filldraw (-0.5,0) circle(1.5pt) node[left] {$A$}; | |
| \draw (0,-\h/2) rectangle ++(1.5,\h) node[midway] {Πηγή}; | |
| \draw (1.5,0) -- (1.95,0); | |
| \node[cloud, cloud puffs=15.7, cloud ignores aspect, | |
| rotate=90,minimum width=3cm, minimum height=1.2cm, align=center, draw] | |
| (cloud) at (2.63cm, 0cm) {Διαμόρφωση}; | |
| \draw (3.3,0) -- (3.7,0); | |
| \draw (3.7,-\h/2) rectangle ++(1.5,\h) node[midway] {Πομπός}; | |
| \draw[->] (5.2,0) -- ++ (0.2,0) -- ++(0,-1) -- ++(0.3,0); | |
| \draw | |
| (5.7,-1-2*\h/2) rectangle ++(3,2*\h) node[midway,align=center,rectangle] {Κανάλι\\Μέσο διάδοσης}; | |
| \draw (8.7,-1) -- ++(0.3,0) -- ++(0,1) -- ++(0.2,0); | |
| \draw (9.2,-\h/2) rectangle ++(1.5,\h) node[midway] {Δέκτης}; | |
| \draw (10.7,0) -- ++(0.35,0); | |
| \node[cloud, cloud puffs=15.7, cloud ignores aspect, | |
| rotate=90,minimum width=3cm, minimum height=1.6cm, align=center, draw] | |
| (cloud) at (11.85cm, 0cm) {Αποδιαμόρφωση}; | |
| \draw (12.6,0) -- (13,0); | |
| \draw (13,-\h/2) rectangle ++(1.8,\h) node[midway,scale=.9] {Αποδέκτης}; | |
| \filldraw (14.8+0.5,0) circle(1.5pt) node[right] {$B$}; | |
| \end{tikzpicture} | |
| Η επιλογή της κατάλληλης συχνότητας του σήματος που θα στείλουμε από την κεραία, εξαρτάται | |
| από τα χαρακτηριστικά του ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Για παράδειγμα, πιο χαμηλές συχνότητες | |
| (π.χ. AM) μπορούν να περάσουν μέσα από βουνά και εμπόδια, φτάνοντας σε μεγάλες αποστάσεις | |
| στον πλανήτη, και ακολουθώντας την καμπύλη της γης. Τα βραχέα μπορούν να χτυπήσουν στην | |
| ιονόσφαιρα και να ανακλαστούν για ακόμα μεγαλύτερη κάλυψη. Αντιθέτως, οι υψηλές συχνότητες | |
| (π.χ. FM) επιτρέπουν υψηλότερη ποιότητα μετάδοσης. | |
| \begin{wrapfigure}{r}{0.3\textwidth}\centering | |
| \begin{tikzpicture}[scale=.5,every node/.style={scale=.7}] | |
| \def\l{1} | |
| \def\h{3.5} | |
| \def\N{7} | |
| \begin{scope}[every node/.style={midway,above,scale=.4}] | |
| \draw[->] (0,1) -- (0,0) node[midway,right] {user}; | |
| \draw (-\l,0) rectangle (\l,-\h); | |
| \draw(-\l,-1*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Application}; | |
| \draw(-\l,-2*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Presentation}; | |
| \draw(-\l,-3*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Session}; | |
| \draw(-\l,-4*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Transport}; | |
| \draw(-\l,-5*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Network}; | |
| \draw(-\l,-6*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Data Link}; | |
| \draw(-\l,-7*\h/7) -- ++(2*\l,0) node[scale=1.3,yshift=-1mm] {Physical}; | |
| \end{scope} | |
| \begin{scope}[every node/.style={midway,above,scale=.4,baseline},xshift=5cm] | |
| \draw[<-] (0,1) -- (0,0) node[midway,right] {user}; | |
| \draw (-\l,0) rectangle (\l,-\h); | |
| \draw(-\l,-1*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Application}; | |
| \draw(-\l,-2*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Presentation}; | |
| \draw(-\l,-3*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Session}; | |
| \draw(-\l,-4*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Transport}; | |
| \draw(-\l,-5*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Network}; | |
| \draw(-\l,-6*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Data Link}; | |
| \draw(-\l,-7*\h/7) -- ++(2*\l,0) node[scale=1.3,yshift=-1mm] {Physical}; | |
| \end{scope} | |
| \draw (0,-\h) -- ++(0,-1) -- ++(1.5,0); | |
| \draw (1.5,-\h-1+0.4) rectangle ++(2,-0.8) node[midway] {Κανάλι}; | |
| \draw (3.5,-\h-1) -- ++(1.5,0) -- ++(0,1); | |
| \draw[<->,thick,gray] (1.5,-1.7) to[bend left] node[midway,above] {Peer} ++(2,0); | |
| \draw (current bounding box.north) node[rectangle,align=center] | |
| {OSI\\7 επιπέδων}; | |
| \end{tikzpicture} | |
| \end{wrapfigure} | |
| Για την κωδικοποίηση και αποκωδικοποίηση των δεδομένων, πρέπει ο πομπός και ο δέκτης να | |
| συμφωνήσουν σε ένα κοινό πρότυπο, για παράδειγμα στο TCP/IP ή το OSI 7 επιπέδων. | |
| Σε αυτό το μάθημα μας ενδιαφέρει το φυσικό επίπεδο μόνο. | |
| Οι ψηφιακές επικοινωνίες αναφέρονται σε ψηφιακά δεδομένα, αλλά πρακτικά η μετάδοση | |
| του σήματος μέσω των καναλιών (π.χ ηλεκτρομαγνητικά κύματα) είναι αναλογική, αφού δεν γίνεται | |
| να έχουμε άμεση μετάβαση της κατάστασης από 0 ως 1: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \draw (0,-2) -- (0,2); | |
| \draw (0,0) -- (6,0); | |
| \draw[very thick,black!70!blue] plot[const plot] | |
| coordinates {(0,1) (1,-1) (3,1) (4,-1) (5.5,1) (6,1)}; | |
| \draw[very thick,black!20!cyan!80!blue] plot[const plot,smooth,tension=0.8] | |
| coordinates {(0,0.8) (0.8,0.7) (1.5,-1.4) (2.7,-0.8) (3.5,1) (4.9,-1.2) (5.5,1) (6,1.2)}; | |
| \filldraw[fill=black!70!blue] (7,-0.3) rectangle ++(0.2,0.2) node[midway,right,xshift=1mm] {ψηφιακό σήμα}; | |
| \filldraw[fill=black!20!cyan!80!blue] (7,-0.8) rectangle ++(0.2,0.2) node[midway,right,xshift=1mm] {πραγματικό σήμα}; | |
| \end{tikzpicture} | |
| Πρακτικά οι αναλογικές τηλεπικοινωνίες χρησιμοποιούνται πλέον μόνο στους ραδιοφωνικούς | |
| σταθμούς FM (που αρχίζουν και αυτοί να καταργούνται), αλλά συνεχίζουμε να τις μελετάμε για | |
| λόγους ιστορικούς, διδακτικούς, και επειδή το σήμα όπως αναφέρθηκε παραπάνω είναι εν γένει | |
| αναλογικό. Στο νέο πρόγραμμα σπουδών δεν υπάρχει ακριβώς αυτό το μάθημα. | |
| \subsection{Βασικές έννοιες} | |
| \paragraph{Σήμα βασικής συχνότητας (baseband)} | |
| Τα σήματα βασικής συχνότητας (\textbf{baseband}) προέρχονται από το αρχικό σήμα σε | |
| "χαμηλές" συχνότητες όπως αναφέρθηκε παραπάνω (συνήθως από 0 μέχρι π.χ. 20 \( \mathrm{kHz} \) | |
| ή 6 \( \mathrm{MHz} \)): | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \def\s{ (0,0) (0.5,1) (0.7,1.2+0.1*rand) (1,1.5) (1.2,1.2+0.1*rand) (1.4,1+0.1*rand) | |
| (1.6, 0.7+0.2*rand) (1.8,0.4+0.15*rand) (2,0)} | |
| \pgfmathsetseed{15} | |
| \draw[very thick, orange] plot [smooth] coordinates \s; | |
| \pgfmathsetseed{15} | |
| \draw (2,0) node[below] {$w$}; | |
| \draw (0,0) node[below left] {$0$}; | |
| \draw (-3,0) -- (3,0) node[below right] {$\mathrm{Hz}$}; | |
| \draw (0,-0.2) -- (0,2); | |
| \end{tikzpicture} | |
| Ή, επειδή χρησιμοποιούμε \textit{δίπλευρα} φάσματα: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \def\s{ (0,0) (0.5,1) (0.7,1.2+0.1*rand) (1,1.5) (1.2,1.2+0.1*rand) (1.4,1+0.1*rand) | |
| (1.6, 0.7+0.2*rand) (1.8,0.4+0.15*rand) (2,0)} | |
| \pgfmathsetseed{15} | |
| \draw[very thick, orange] plot [smooth] coordinates \s; | |
| \pgfmathsetseed{15} | |
| \draw[very thick, orange!90!brown, xscale=-1] plot [smooth] coordinates \s; | |
| \draw (2,0) node[below] {$w$}; | |
| \draw (-2,0) node[below] {$-w$}; | |
| \draw (0,0) node[below left] {$0$}; | |
| \draw (-3,0) -- (3,0) node[below right] {$\mathrm{Hz}$}; | |
| \draw (0,-0.2) -- (0,2); | |
| \end{tikzpicture} | |
| Η μέγιστη θετική συχνότητα \( w \) ορίζει το \textbf{εύρος ζώνης (bandwidth)} του σήματος. | |
| Η διαδικασία που θα χρησιμοποιήσουμε για να αυξήσουμε τη συχνότητα του σήματος ονομάζεται | |
| \textbf{διαμόρφωση (modulation)}. | |
| Συνήθως έχουμε μια \textbf{φέρουσα συχνότητα}: | |
| \[ | |
| c(t) = A_c\cos(2\pi f_c t) | |
| \] | |
| και πρέπει να βρούμε έναν τρόπο να προσθέσουμε σε αυτήν τις πληροφορίες του αρχικού σήματος. | |
| Στην παραπάνω εξίσωση έχουμε τρεις παραμέτρους που μπορούμε να επηρεάσουμε: το πλάτος, | |
| τη συχνότητα και τη φάση: | |
| \[ | |
| c(t) = | |
| \underset{\substack{\downarrow\\\mathclap{A_c(t)}}}{A_c} | |
| \cos(2\pi | |
| \underset{\substack{\downarrow\\\mathclap{f_c(t)}}}{f_c} | |
| t | |
| + | |
| \underset{\substack{\downarrow\\\mathclap{\phi(t)}}}{\phi} | |
| ) | |
| \] | |
| Έτσι έχουμε τρία είδη διαμόρφωσης: | |
| \begin{description} | |
| \item[AM] Διαμόρφωση Πλάτους (Amplitude Modulation) | |
| \item[FM] Διαμόρφωση Συχνότητας (Frequency Modulation) | |
| \item[PM] Διαμόρφωση Φάσης (Phase Modulation) | |
| \end{description} | |
| \newpage | |
| \section{Διαμόρφωση Πλάτους} | |
| \subsection{AM} | |
| Έστω το \emph{φέρον}: | |
| \[ | |
| c(t) = A_c\cos(2\pi f_c t) | |
| \] | |
| και θέλουμε να μεταφέρουμε ένα σήμα: | |
| \[ | |
| m(t) \qquad \text{στη βασική ζώνη} | |
| \] | |
| Θεωρούμε, για λόγους που θα δούμε παρακάτω, ότι το φέρον έχει συχνότητα πολύ μεγαλύτερη | |
| από το εύρος ζώνης της πληροφορίας: | |
| \[ | |
| f_c \gg w | |
| \] | |
| Το σήμα που εκπέμπουμε κατά AM είναι το εξής: | |
| \[ | |
| \mathlarger{ | |
| \mathlarger{ | |
| \mathlarger{ | |
| s(t) = A_c\left[ 1 + k_a \cdot m(t) \right]\cos(2\pi f_c t) | |
| } | |
| } | |
| } | |
| \] | |
| το οποίο μπορεί να εκφράζεται σε Volt ή Ampere και ίσως εκπέμπεται από κάποια κεραία. | |
| Γραφικά: \\* {\centering | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1.2,xscale=1.3] | |
| \def\f{1.3+0.30362*\x-6.94276*\x^2+5.23511*\x^3-0.0466465*\x^4-0.696833*\x^5+0.128634*\x^6} | |
| %coordinates {(0,1.5) (0.7,0) (1.2,-0.5) (1.5,0) (2,1.5) (3,1.5) (3.2,1.5)} | |
| \draw (0,-1.5) -- (0,2); | |
| \draw (0,0) -- (3,0); | |
| \draw[very thick,black!70!blue,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:3] | |
| plot ({\x},{\f}) (0,1.3) node[left] {$m(t)$}; | |
| \begin{scope}[yshift=-4cm] | |
| \draw (0,-2) -- (0,2); | |
| \draw (0,0) -- (3,0); | |
| \draw[thick,blue!70!black,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:3,smooth] plot ({\x},{(1.5*sin(\x r*40))}) (0,1.5) node[above right] {$c(t)$}; | |
| \draw (0,-1.5) node[left] {$-A_c$}; | |
| \draw (0,1.5) node[left] {$A_c$}; | |
| \end{scope} | |
| \begin{scope}[xshift=5cm] | |
| \draw (0,-0.5) -- (0,3); | |
| \draw (0,0) -- (3,0); | |
| \draw[very thick,black!70!blue,variable=\x,samples={\gsamples/2},domain=0:3,opacity=.05] | |
| plot ({\x},{\f}) (0,1.3); | |
| \draw[very thick,black!70!blue,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:3,smooth] | |
| plot ({\x},{\f+1}) (0,1.3+1) node[left] {$\left[1+k_am(t)\right]$}; | |
| \end{scope} | |
| \begin{scope}[xshift=5cm,yshift=-4cm] | |
| \draw[thin,dashed,cyan!70!blue,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:3] | |
| plot ({\x},{\f+1}) (0,1.3+1); | |
| \draw[very thick,green!70!blue,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:3] | |
| plot ({\x},{(\f+1)*sin(\x r*40)}) (1.3+1,0); | |
| \draw[->,cyan!70!blue] (2.65,3) to[bend left] ++(1,1) node[above right] {Περιβάλλουσα}; | |
| \draw (0,-3) -- (0,3); | |
| \draw (0,0) -- (3,0); | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| } | |
| Η περιβάλλουσα του διαμορφωμένου σήματος περιέχει την πληροφορία που θέλουμε. | |
| Η σταθερά \( k_a \) ονομάζεται \textbf{ευαισθησία πλάτους} του διαμορφωτή, και θέλουμε | |
| να είναι τέτοια ώστε \( \left[1 + k_a m(t)\right] > 0 \), διότι σε διαφορετική περίπτωση: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1,xscale=1.3] | |
| \def\f{1.3+0.30362*\x-6.94276*\x^2+5.23511*\x^3-0.0466465*\x^4-0.696833*\x^5+0.128634*\x^6} | |
| %coordinates {(0,1.5) (0.7,0) (1.2,-0.5) (1.5,0) (2,1.5) (3,1.5) (3.2,1.5)} | |
| \draw (0,-2) -- (0,2); | |
| \draw (0,0) -- (3,0); | |
| \draw[very thick,black!70!blue,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:3] | |
| plot ({\x},{\f}) (0,1.3); | |
| \begin{scope}[xshift=5cm] | |
| \draw[very thick,green!70!blue,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:3] | |
| plot ({\x},{(\f)*sin(\x r*40)}) (1.3+1,0); | |
| \draw[very thick,black!70!blue,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:3] | |
| plot ({\x},{abs(\f)}) (0,1.3); | |
| \draw (0,-2) -- (0,2); | |
| \draw (0,0) -- (3,0); | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| Επειδή ο αποδιαμορφωτής βλέπει μόνο τις θετικές κορυφές του σήματος, εδώ δεν έχει μεταφέρει | |
| σωστά την πληροφορία στα σημεία όπου \( \left[1 + k_a m(t)\right] < 0 \), αλλά την έχει | |
| μεταφέρει ανεστραμμένη. Αυτό ονομάζεται \textbf{υπερδιαμόρφωση}. | |
| Επομένως, θέλουμε: | |
| \begin{align*} | |
| 1+ k_a m(t) &\geq 0 \implies \\ | |
| \Aboxed{\left\lvert k_a m(t) \right\rvert &\leq 1} \implies \\ | |
| -1 \leq k_a m(t) &\leq 1 | |
| \end{align*} | |
| Παρατηρούμε ότι για να μην έχουμε υπερδιαμόρφωση, το σήμα μας δεν μπορεί να αποκτά πολύ | |
| μεγάλο πλάτος. | |
| \begin{defn}{Ποσοστό διαμόρφωσης}{} | |
| Ως \textbf{ποσοστό διαμόρφωσης} ορίζουμε: | |
| \[ | |
| \left\lvert | |
| \max k_a m(t) | |
| \right\rvert \cdot 100 | |
| \] | |
| \end{defn} | |
| \paragraph{} | |
| Ξαναγράφουμε το σήμα και παίρνουμε το μετασχηματισμό Fourier: | |
| \begin{align*} | |
| s(t) &= A_c \cos 2\pi f_c t + Ak_a m(t) \cos 2\pi f_c (t) \\ | |
| S(f) &= | |
| \frac{A_c}{2}\left[ δ(f-f_c)+δ(f+f_c) \right] | |
| + \frac{k_aA_c}{2}\left[ M(f-f_c) + M(f+f_c) \right] | |
| \end{align*} | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \draw[draw=orange!50!brown,very thick] | |
| (-1.2,0) node[below] {$-w$} | |
| -- (0,1.8) node[right] {$M(0)$} | |
| -- (1.2,0) node[below] {$w$} | |
| ; | |
| \draw (-2,0) -- (2,0); | |
| \draw (0,-0.5) -- (0,3) node[right] {$M(f)$}; | |
| \begin{scope}[yshift=-4.5cm] | |
| \draw[xshift=-2cm,draw=black!50!orange,dashed,very thick,every node/.style={scale=.9}] | |
| (-1.2,0) node[below] {$-f_c-w$} | |
| -- (0,1.8) | |
| -- (1.2,0) node[below] {$-f_c+w$} | |
| (0,0) node[below] {$-f_c$} | |
| ; | |
| \draw[xshift=2cm,draw=black!50!orange,dashed,very thick,every node/.style={scale=.9}] | |
| (-1.2,0) node[below] {$f_c-w$} | |
| -- (0,1.8) | |
| -- (1.2,0) node[below] {$f_c+w$} | |
| (0,0) node[below] {$f_c$} | |
| ; | |
| \draw[ultra thick,->] (-2,0) -- ++(0,2.5) | |
| node[above] {$\sfrac{A_c}{2}$}; | |
| \draw[ultra thick,->] (2,0) -- ++(0,2.5); | |
| \draw (-4,0) -- (4,0); | |
| \draw[->] (0,-0.5) -- (0,3) node[right] {$S(f)$}; | |
| \draw[dashed] (-2.1,2.5) --++(4.2,0); | |
| \draw[dashed] (-2.1,1.8) --++(4.2,0); | |
| \draw (0,1.8) node[above right,scale=.7] {$\sfrac{1}{2}k_aA_cM(0)$}; | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| Βλέπουμε ότι το φάσμα του σήματος μετακινήθηκε στη συχνότητα. | |
| Παρατηρούμε επίσης ότι το φάσμα είναι δίπλευρο, και θυμόμαστε από το αναλογικό σήμα ότι | |
| η αρνητική συχνότητα δεν έχει φυσική σημασία, αλλά εκφράζει τον αρνητικό εκθέτη στην | |
| έκφραση του συνημιτόνου \( | |
| \mathrm{Re}\left[ | |
| \frac{e^{jωt}+e^{-jωt}}{2} | |
| \right] | |
| \). | |
| Αν έχουμε \textbf{μικρή συχνότητα} \( f_c \), τότε το φάσμα του σήματος περνάει το 0: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \draw[dashed] (0.7,0) -- ++(0,1.8); | |
| \draw[xshift=-0.7cm,draw=orange!50!brown,,very thick,every node/.style={scale=.9}] | |
| (-1.2,0) | |
| -- (0,1.8) | |
| -- (1.2,0) | |
| (0,0) | |
| ; | |
| \draw[xshift=0.7cm,draw=blue!50!brown,very thick,every node/.style={scale=.9}] | |
| (-1.2,0) node[below] {$f_c-w$} | |
| -- (0,1.8) | |
| -- (1.2,0) node[below] {$f_c+w$} | |
| (0,0) node[below] {$f_c$} | |
| ; | |
| \draw[draw=gray!70!black,thin] (-3,0) -- (3,0); | |
| \draw[->,draw=gray!70!black,thin] (0,-0.5) -- (0,3) node[right] {$S(f)$}; | |
| \draw[very thick,black!70!gray,->] (0,-0.75) -- ++(0,-0.5); | |
| \begin{scope}[yshift=-4.5cm] | |
| \draw[->,draw=gray!70!black,thin] (0,-0.5) -- (0,3) node[right] {$S(f)$}; | |
| \draw[very thick,orange!50!brown] (-1.9,0) -- (-0.7,1.8) -- (-0.5,1.5) -- (-0.49,1.5); | |
| \draw[very thick,blue!50!brown] | |
| (-0.5,1.5) -- (0.5,1.5); | |
| \draw[very thick,path fading=east,orange!50!brown] | |
| (-0.5,1.5) -- (0.5,1.5); | |
| \draw[very thick,blue!50!brown] (0.49,1.5) -- (0.5,1.5) -- (0.7,1.8) -- (1.9,0); | |
| \draw[draw=gray!70!black,thin] (-3,0) -- (3,0); | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| και το αποτέλεσμα είναι παραμορφωμένο και μακριά από το επιθυμητό. | |
| Το εύρος φάσματος του σήματος είναι \( 2w \) (από \( f_c-w \) μέχρι \( f_c+w \)), το οποίο | |
| είναι περισσότερο απ' όσο χρειάζεται (αφού το αριστερό του μέρος είναι ίδιο με το δεξί), | |
| ενώ το σήμα είναι και ενεργειοβόρο, αφού τα \( \sfrac{2}{3} \) της ενέργειας καταναλώνονται | |
| στον όρο \( δ \) και όχι στην πληροφορία. | |
| \begin{tikzpicture}[scale=0.8] | |
| \draw[xshift=-3cm,fill=gray,fill opacity=0.04] | |
| (-1.6,0) -- ++(0,3) -- ++(1.6*2,0) -- ++(0,-3); | |
| \draw[xshift=3cm,fill=gray,fill opacity=0.04] | |
| (-1.6,0) -- ++(0,3) -- ++(1.6*2,0) -- ++(0,-3); | |
| \draw[xshift=-3cm,draw=black!50!orange,very thick,every node/.style={scale=.8}] | |
| (-1.2,0) node[below] {$-f_c-w$} | |
| -- (0,1.8) | |
| -- (1.2,0) node[below] {$-f_c+w$} | |
| (0,0) node[below] {$-f_c$} | |
| ; | |
| \draw[xshift=3cm,draw=black!50!orange,very thick,every node/.style={scale=.8,opacity=1}, | |
| fill=lime!60!green,fill opacity=.5] | |
| (-1.2,0) node[below] {$f_c-w$} | |
| -- (0,1.8) | |
| -- (1.2,0) node[below] {$f_c+w$} | |
| (0,0) node[below] {$f_c$} | |
| ; | |
| \draw[ultra thick,->] (-3,0) -- ++(0,2.5); | |
| \draw[ultra thick,->] (3,0) -- ++(0,2.5); | |
| \draw (-5.5,0) -- (5.5,0); | |
| \draw[->] (0,-0.5) -- (0,4) node[right] {$S(f)$}; | |
| \draw[xshift=-3cm] | |
| (-1.6,0) -- ++(0,3) -- ++(1.6*2,0) -- ++(0,-3); | |
| \end{tikzpicture} | |
| \subsubsection{Για ημιτονοειδή είσοδο} | |
| Έστω ένα αρχικά ημιτονοειδές σήμα: | |
| \[ | |
| m(t) = A_m\cos(2\pi f_mt) | |
| \] | |
| Τότε το διαμορφωμένο σήμα AM γίνεται: | |
| \begin{align*} | |
| s(t) &= A_c \left[ | |
| 1 + \overbrace{μ}^{\mathclap{μ = k_aA_m}} | |
| \cdot \cos(2\pi \cdot f_m t) | |
| \right]\cos(2\pi f_c t) | |
| \hspace{200pt} | |
| \boxed{ | |
| μ \leq 1 | |
| } | |
| \\ | |
| &= A_c\cos(2\pi f_c t) + A_c μ\cos(2\pi f_c t)\cos(2\pi f_mt) | |
| \\ &= | |
| A_c\cos2πf_ct + \frac{1}{2}μA_c \cos\left[2π(f_c+f_m)t\right] | |
| +\frac{1}{2} μA_c\cos\left[ | |
| 2π(f_c-f_m)t | |
| \right] | |
| \\ | |
| \updownarrow &\quad \text{Μ. F} | |
| \\ | |
| S(f) &= \mathsmaller{\mathsmaller{\frac{1}{2} A_c \left[ | |
| δ(f-f_c)+δ(f+f_c) \right] | |
| + \frac{1}{4}μA_c \left[ | |
| δ(f-f_c-f_m)+δ(f-f_c+f_m) | |
| \right] | |
| + \frac{1}{4} μA_c\left[ | |
| δ(f+f_c+f_m)+δ(f+f_c-f_m) | |
| \right]}} | |
| \end{align*} | |
| όπου \( \mu \) είναι ουσιαστικά το \textbf{ποσοστό διαμόρφωσης} του σήματος. | |
| Γραφικά:\nopagebreak | |
| \begin{center} | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \draw (0,-1.8) -- (0,2); | |
| \draw (0,0) -- (6,0); | |
| \draw[very thick,black!70!blue,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:6] | |
| plot ({\x},{1.4*cos(1.5*\x r)}) (1.1,1) node[] {$m(t)$}; | |
| \draw (0,1.4) node[left] {$A_m$}; | |
| \draw (0,-1.4) node[left] {$-A_m$}; | |
| \draw[dashed] (2/1.5*pi,0) node[below] {$T_m=\frac{1}{f_m}$} -- ++(0,1.4); | |
| \begin{scope}[yshift=-5cm] | |
| \draw (0,-1.8) -- (0,2); | |
| \draw (0,0) -- (6,0); | |
| \draw[very thick,blue!70!cyan,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:6,smooth] | |
| plot ({\x},{1.2*sin(26*\x r)}) (1,1.2) node[above] {$c(t)$}; | |
| \draw (0,1.2) node[left] {$A_c$}; | |
| \draw (0,-1.2) node[left] {$-A_c$}; | |
| \draw[dashed] (0,1.2) -- ++(6,0); | |
| \end{scope} | |
| \begin{scope}[yshift=-10cm] | |
| \draw (0,-2.5) -- (0,2.5); | |
| \draw (0,0) -- (6,0); | |
| \draw[dashed,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:6] | |
| plot ({\x},{1+0.7*cos(1.5*\x r)}); | |
| \draw[dashed,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:6] | |
| plot ({\x},{-1-0.7*cos(1.5*\x r)}); | |
| \draw[very thick,green!70!blue,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:6,smooth] | |
| plot ({\x},{(1+0.7*cos(1.5*\x r))*sin(26*\x r)}) (1.2,1.2) node[above] {$s(t)$}; | |
| \end{scope} | |
| \begin{scope}[xshift=10cm] | |
| \draw (-3,0) -- (3,0); | |
| \draw[->] (0,-1) -- (0,2) node[right] {$M(f)$}; | |
| \draw[black!70!blue,ultra thick,->] (-0.7,0) node[below] {$-f_m$}-- ++(0,1.5); | |
| \draw[black!70!blue,ultra thick,->] (0.7,0) node[below] {$f_m$}-- ++(0,1.5); | |
| \begin{scope}[yshift=-5cm] | |
| \draw (-3,0) -- (3,0); | |
| \draw[->] (0,-1) -- (0,2) node[right] {$C(f)$}; | |
| \draw[blue!70!cyan,ultra thick,->] (-2.5,0) node[below] {$-f_c$}-- ++(0,1.5); | |
| \draw[blue!70!cyan,ultra thick,->] (2.5,0) node[below] {$f_c$}-- ++(0,1.5); | |
| \end{scope} | |
| \begin{scope}[yshift=-10cm] | |
| \draw (-3,0) -- (4,0); | |
| \draw[->] (0,-1) -- (0,2) node[right] {$S(f)$}; | |
| \draw[blue!70!cyan,ultra thick,->] (-2.5,0) node[below] {$-f_c$}-- ++(0,1.5); | |
| \draw[black!70!blue,very thick,->] (-2.8,0) -- ++(0,0.7); | |
| \draw[black!70!blue,very thick,->] (-2.2,0) -- ++(0,0.7); | |
| \draw[blue!70!cyan,ultra thick,->] (2.5,0) node[below,scale=1] {$f_c$}-- ++(0,1.5); | |
| \draw[black!70!blue,very thick,->] (2.2,0) node[below left,scale=.9] {$f_c-f_m$}-- ++(0,0.7); | |
| \draw[black!70!blue,very thick,->] (2.8,0) node[below right,scale=.9] {$f_c+f_m$}-- ++(0,0.7); | |
| \end{scope} | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| \end{center} | |
| \[ | |
| \underset{\substack{\downarrow\\\mathclap{\text{Bandwidth}}}}{\mathrm{B_T}} | |
| =2f_m = 2w | |
| \] | |
| Επίσης προκύπτει ότι: | |
| \begin{align*} | |
| \frac{A_{\max}}{A_{\min}} &= \frac{A_c(1+μ)}{A_c(1-μ)} \implies \\ | |
| μ &= \frac{A_{\max} -A_{\min} }{A_{\max} + A_{\min}} | |
| \end{align*} | |
| \subsubsection{Ισχύς} | |
| \label{am.power} | |
| Αν μας ζητούνταν η ισχύς του σήματος, θα απαντούσαμε \( \frac{1}{2}A_c^2R \), αν θεωρήσουμε | |
| ότι το σήμα είναι μια ένταση ρεύματος που διαρρέει κάποια αντίσταση \( R \). Στα σήματα | |
| όμως θεωρούμε ότι η αντίσταση αυτή είναι 1, άρα παίρνουμε ίδιο αποτέλεσμα, είτε θεωρούμε ότι | |
| το σήμα αναπαριστά ρεύμα, είτε τάση. | |
| Επομένως η ισχύς π.χ. του φέροντος είναι: | |
| \[ | |
| \boxed{ | |
| \frac{1}{2}A_c^2 | |
| } | |
| \] | |
| Το πλευρικό σήμα για ημιτονοειδή είσοδο έχει ενέργεια: | |
| \[ | |
| 2\times \frac{1}{8}μ^2A_c^2 | |
| \] | |
| και ο λόγος του με τη συνολική ενέργεια είναι: | |
| \[ | |
| \frac{2\cdot \frac{1}{8} μ^2A_c^2}{\frac{1}{2}A_c^2+2\cdot\frac{1}{8}μ^2A_c^2} | |
| = \frac{μ^2}{2+μ^2} | |
| \] | |
| Γραφικά: | |
| \begin{tikzpicture} | |
| \def\c{gray!50!black} | |
| \draw (0,0) -- (4,0) node[below] {$μ$}; | |
| \draw (0,-0.5) -- (0,4) node[left] {Ισχύς \%}; | |
| \draw[\c,thin] (3,-0.5) -- (3,4); | |
| \draw (0,0) node [below left] {$0$}; | |
| \draw (3,0) node [below left] {$1$}; | |
| \draw[\c,thin] (0,1) node[left] {$\sfrac{1}{3}$} -- (4,1); | |
| \draw[\c,thin] (0,2) node[left] {$\sfrac{2}{3}$} -- (4,2); | |
| \draw[\c,thin] (0,3) node[left] {$\sfrac{3}{3}$} -- (4,3); | |
| \draw[gray,dashed] (0.2*3,-0.4) node[right,scale=.8] {$0.2=20\%$} -- (0.2*3,4); | |
| \draw[gray,dashed] (0.2*3,{3*0.2^2/(2+0.2^2)}) -- ++(-0.2*3,0) | |
| node[scale=0.6,left] {$2\%$}; | |
| \draw[->,black!80!brown] (1.51,2.67) to[bend left=20] ++(0.5,1.5) node[above right] {Ισχύς φέροντος}; | |
| \draw[->,black!80!brown] (2.61,0.82) to[bend right=20] ++(0.8,-0.5) node[right] { | |
| Ισχύς πλευρικών συνιστωσών}; | |
| \draw[very thick,black!50!brown,variable=\m,domain=0:3,samples=\gsamples] | |
| plot ({\m}, {3*(\m/3)^2/(2+(\m/3)^2)}); | |
| \draw[very thick,black!50!brown,variable=\m,domain=0:3,samples=\gsamples] | |
| plot ({\m}, {3-3*(\m/3)^2/(2+(\m/3)^2)}); | |
| \end{tikzpicture} | |
| Όσο αυξάνουμε το \( μ \), αυξάνεται το ποσοστό της ισχύος που καταναλώνεται για τη μετάδοση | |
| του σήματος και όχι του φέροντος, αλλά η ισχύς του φέροντος συνεχίζει να είναι μεγάλη. | |
| \subsubsection{Διαμορφωτής AM} | |
| Ένα ερώτημα που προκύπτει είναι ποιό κύκλωμα θα πραγματοποιήσει τον πολλαπλασιασμό του | |
| σήματος με το φέρον. Για αυτό παρουσιάζεται το παρακάτω κύκλωμα, που λειτουργεί | |
| ως \textbf{διαμορφωτής AM (διακοπτικός - switching modulator)}: | |
| \begin{circuitikz}[american,scale=1.3] | |
| \draw (0,0) to[esource,label=$m(t)$] (0,2) | |
| to[sV,label={$c(t)\equals A_c\cos(2πf_ct)$}] (2,2) | |
| to[D] (4,2) | |
| to[R=$R_L$] (4,0) | |
| -- (0,0); | |
| \draw (2,2) to[open,v=$u_1(t)$,*-*] (2,0); | |
| \draw (4,2) -- (5,2) to[open,v^=$u_2(t)$,o-o] (5,0) -- (4,0); | |
| \end{circuitikz} | |
| Επίσης απαιτούμε το σήμα \( m(t) \) να έχει \textbf{αρκετά μικρότερο πλάτος} από το φέρον: | |
| \[ | |
| \left\lvert m(t) \right\rvert \ll A_c | |
| \] | |
| Τότε, η τάση \( v_1 \) \textit{πριν τη δίοδο} γίνεται: | |
| \[ | |
| v_1(t) = m(t)+A_c \cos(2πf_ct) | |
| \] | |
| \begin{tikzpicture} | |
| \draw (0,0) -- (6,0); | |
| \draw[->] (0,-2) -- (0,3) node[left] {$u_1(t)$}; | |
| \draw[very thick,blue!50!black] plot | |
| [variable=\t,domain=0:5,samples=\gsamples,smooth] | |
| (\t,{2*cos(2*\t r)+0.2*cos(43.7*\t r)}) | |
| ; | |
| \draw[dashed] (2*pi/2,0) node[below] {$\sfrac{1}{f_c}$} -- ++(0,2); | |
| \end{tikzpicture} | |
| Και, αφού θυμηθούμε την καμπύλη λειτουργίας της διόδου, \begin{tikzpicture}[baseline,scale=0.4,every node/.style={scale=.7}] | |
| \draw (-2,0) -- (2,0) node[below] {$u_1(t)$}; | |
| \draw[->] (0,-1) -- (0,2) node[above] {$u_2(t)$}; | |
| \draw[very thick,blue!50!black] (-2,0) -- (0,0) -- (2,2); | |
| \end{tikzpicture}, ισχύει: | |
| \[ | |
| u_2(t) \simeq \begin{cases} | |
| u_1(t), &\quad \text{όταν } c(t) > 0 \\ | |
| 0,&\quad \text{όταν } c(t) < 0 | |
| \end{cases} | |
| \] | |
| Εναλλακτικά, μπορούμε να εκφράσουμε την \( u_2(t) \) στο χρόνο ως γινόμενο της | |
| εισόδου \( u_1(t) \) και μιας συνάρτησης \( g_{T_0} \) που μηδενίζεται για \( c(t) <0 \) και | |
| είναι μονάδα για \( c(t) > 0 \), δηλαδή μιας παλμοσειράς: | |
| \begin{center} | |
| \begin{tikzpicture} | |
| \draw (-4.2,0) node[left] {$\cdots$} -- (4.2,0) node[right] {$\cdots$}; | |
| \draw[->] (0,-1.5) -- (0,2) node[right] {$g_{T_0}(t)$}; | |
| \draw[blue!70!cyan,ultra thick,opacity=.1] | |
| plot[variable=\t,domain=-4.2:4.2,samples=\gsamples] | |
| (\t,{cos(2*pi/3*\t r}) (0,1) node[above left] {$u_1(t)$}; | |
| \draw[very thick,draw=teal] (-0.75,0) node[below] {$-\sfrac{T_0}{4}$} -- ++(0,0.8) -- ++(1.5,0) -- ++(0,-0.8) node[below] {$\sfrac{T_0}{4}$} ; | |
| \draw[very thick,draw=teal] (2+0.25,0) node[below] {$\sfrac{3T_0}{4}$} -- ++(0,0.8) -- ++(1.5,0) -- ++(0,-0.8) node[below] {$\sfrac{5T_0}{4}$}; | |
| \draw[very thick,draw=teal] (-4+0.25,0) -- ++(0,0.8) -- ++(1.5,0) -- ++(0,-0.8); | |
| \draw (0,0) node[below right] {$0$}; | |
| \draw[dashed] (3,0) node[below] {$T_0$} -- ++(0,0.8); | |
| \draw[dashed] (-3,0) node[below] {$-T_0$} -- ++(0,0.8); | |
| \draw (0,0.8) node[above right] {$1$}; | |
| \draw (current bounding box.east) node[above right] {$T_0 = \frac{1}{f_c}$}; | |
| \end{tikzpicture} | |
| \end{center} | |
| \begin{align*} | |
| u_2(t) &\simeq | |
| \left[ | |
| A_c\cos 2π f_c t + m(t) | |
| \right] \cdot g_{T_0}(t) \\ | |
| g_{T_0(t)} &= \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi} | |
| \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2n+1}\cos[2πf_ct(2n-1)] | |
| \intertext{Άρα} | |
| u_2(t) &\simeq | |
| \left( | |
| A_c\cos 2πf_ct +m(t | |
| \right) \cdot \left[ | |
| \frac{1}{2} + \frac{2}{π} \cos\left( | |
| 2πf_ct | |
| \right)-\frac{2}{π}\frac{1}{3}\cos(2π3f_ct) | |
| + \frac{2}{π}\frac{1}{5}\cos(5f_ct)+\dots | |
| \right] | |
| \\ | |
| &= | |
| \frac{A_c}{2}\cos 2 π f_ct | |
| + \frac{1}{2}m(t) | |
| \\ &\hphantom{=} | |
| + \frac{2}{π}A_c\cos 2πf_ct + \infoboxed{\frac{2}{π}m(t)\cos 2πf_c t} | |
| \\ &\hphantom{=} | |
| -\frac{2}{3π}A_c\cos 2π (3f_c) \cos 2πf_ct - \frac{2}{3π} | |
| m(t)\cos 2π(3f_ct)+\dots | |
| \end{align*} | |
| Αν σχεδιάσουμε τις συχνότητες που δίνει ο τύπος σε ένα διάγραμμα φάσματος: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1.2] | |
| \draw[->] (0,-2) -- (0,2) node[above] {$U_2(f)$}; % y axis | |
| \draw[orange!40!brown] (-0.5,0) -- (0,0.8) -- (0.5,0); | |
| \draw[orange!20!brown!90!black,very thick,->] (0,0) -- ++(0,1); | |
| \draw[blue!50!green,fill opacity=0.9,fill=green!5!white,blur shadow,shadow xshift=0cm,shadow yshift=0.3mm] | |
| (0.8,0) -- ++(0,1.2) -- ++(1+2*0.2,0) -- ++(0,-1.2); | |
| \begin{scope}[xshift=1.5cm] | |
| \draw[draw=orange!50!brown,thick,every node/.style={scale=.7}] | |
| (-0.5,0) node[below] {$f_c-w$} -- (0,0.8) -- (0.5,0) node[below] {$f_c+w$} ; | |
| \draw[orange!20!brown!90!black,very thick,->] (0,0) node[below,black] {$f_c$} -- ++(0,1); | |
| \end{scope} | |
| \foreach \i in {3,5} | |
| { | |
| \begin{scope}[xshift={\i*1.5cm}] | |
| \draw[orange!50!brown,thick] (-0.5,0) -- (0,0.8) -- (0.5,0); | |
| \end{scope} | |
| } | |
| \foreach \i in {2,3,...,5} | |
| { | |
| \begin{scope}[xshift={\i*1.5cm}] | |
| \draw[orange!20!brown!90!black,very thick,->] (0,0) node[below,black] {$\i f_c$} -- ++(0,1); | |
| \end{scope} | |
| } | |
| \draw (-1,0) -- (9,0); % x axis | |
| \draw (8.2,0.4) node[right] {$\cdots$}; | |
| \draw[gray,->,thick] (-1.75,0) to[bend right=20] ++(0.5,0); | |
| \begin{scope}[xshift=-3.5cm] | |
| \draw (-1.5,0) -- (1.5,0); | |
| \draw (0,-2) -- (0,2) node[above] {$M(f)$}; | |
| \draw[draw=orange!50!brown,thick,scale=1.7] | |
| (-0.5,0) node[below] {$-w$} -- (0,0.8) -- (0.5,0) node[below] {$w$}; | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| Παρατηρούμε ότι στο φάσμα υπάρχει το επιθυμητό διαμορφωμένο AM σήμα, όπως και ο | |
| πολλαπλασιασμός του \( m(t) \) με το φέρον. Επομένως, με ένα ζωνοπερατό φίλτρο, μπορούμε | |
| να πάρουμε από τις άπειρες συχνότητες μόνο το τελικό φάσμα: | |
| \begin{align*} | |
| u(t) = &\frac{A_c}{2}\left[ 1+\frac{4}{πA_c}m(t) \right]\cos 2π f_c t | |
| \intertext{που αντιστοιχεί στον τύπο:} | |
| A_c\left[ 1+k_am(t) \right] \cos 2πf_c | |
| \end{align*} | |
| δηλαδή το κύκλωμα γίνεται: | |
| \begin{circuitikz}[american,scale=1.3] | |
| \draw (0,0) to[esource,label=$m(t)$] (0,2) | |
| to[sV,label={$c(t)\equals A_c\cos(2πf_ct)$}] (2,2) | |
| to[D] (4,2) | |
| to[R=$R_L$] (4,0) | |
| -- (0,0); | |
| \draw (2,2) to[open,v=$v_1(t)$,*-*] (2,0); | |
| \draw (4,2) -- (5,2) to[open] (5,0) -- (4,0); | |
| % Rectangle | |
| \draw (5,2.5) rectangle (7,-0.5) node[align=center] (A) at (6,1) {BPF\\{% | |
| \footnotesize Band Pass Filter}}; | |
| \draw (7,2) -- (8,2) to[open,v^=$s(t)$,o-o] (8,0) -- (7,0); | |
| \end{circuitikz} | |
| όπου το Band Pass Filter πρέπει να έχει κέντρο τη συχνότητα \( f_c \) και εύρος ζώνης | |
| από \( f_c - w \) μέχρι \( f_c + w \). | |
| Αυτό ήταν ένα παράδειγμα χρήσης \textit{μη γραμμικών στοιχείων} (δίοδος) για spectral | |
| spread. | |
| \subsubsection{Φωρατής περιβάλλουσας / Αποδιαμορφωτής AM} | |
| Ο φωρατής περιβάλλουσας είναι η συσκευή που μαζεύει τις κορυφές του διαμορφωμένου σήματος | |
| AM ώστε να παράγει το αρχικό σήμα (θυμόμαστε ότι \( s(t) = A_c\left[ | |
| 1+k_a m(t) | |
| \right] \cos(2π f_c t) \)). Η διαδικασία ονομάζεται κορυφοφώραση, και το κύκλωμα του φωρατή | |
| δεν είναι πολύ διαφορετικό από αυτό του διαμορφωτή: | |
| \begin{circuitikz}[american,scale=1.3,yscale=0.8] | |
| \draw (0,0) to[esource,l_={$s(t)$},n=sig] | |
| (0,2) to[R=$R_j$] (0,4) | |
| to [D={$z_f$},l_=$r_f$] (2,4) | |
| to [C=$C$] (2,0) | |
| -- (0,0) | |
| (2,4) to[short] (4,4) | |
| to[R=$R_l$] (4,0) | |
| -- (2,0) | |
| (4,4) to[short,-o] (6,4) | |
| (4,0) to[short,-o] (6,0) | |
| ; | |
| \draw (-1,1) node[rxantenna,xscale=-1] (antenna) {}; | |
| \draw(antenna.1) -- (sig.n); | |
| \draw (6,4) to[open,v=$s(t)$] (6,0); | |
| \end{circuitikz} | |
| \textbf{Πώς λειτουργεί αυτό το κύκλωμα}; | |
| Θυμόμαστε ότι η συχνότητα του φέροντος είναι πολύ μεγάλη σε σχέση με τη συχνότητα του | |
| αρχικού σήματος (π.χ. 100 ή παραπάνω φορές μεγαλύτερη). | |
| Η δίοδος αφήνει να περάσει ρεύμα μόνο όταν το σήμα είναι θετικό. Όταν φτάσουμε σε μία | |
| κορυφή της διαμορφωμένης κυματομορφής, ο πυκνωτής φορτίζεται άμεσα, και ξεφορτίζεται πολύ | |
| αργά με μία εκθετική καμπύλη, μέχρι να φτάσει στην επόμενη κορυφή: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1.6] | |
| \draw (0,-2) -- (0,2) node[right] {$s(t)$}; | |
| \draw (0,0) -- (6,0); | |
| \def\f{2*3.14*0.22}; | |
| \def\fc{2*3.14*3}; | |
| \def\sc{1.4} | |
| \draw[thick,green!50!cyan] plot[smooth,domain=0:6,variable=\t,samples=\gsamples,yscale=\sc] | |
| (\t,{sin(\fc*(\t r))*(0.7+0.3*cos(\f*(\t r)))}); | |
| \draw[green!50!blue,dashed] plot[smooth,domain=0:6,variable=\t,yscale=\sc,yshift=0.5mm] | |
| (\t,{(0.7+0.3*cos(\f*(\t r)))}) | |
| plot[smooth,domain=0:6,variable=\t,yscale=\sc,yshift=-0.5mm] | |
| (\t,{-(0.7+0.3*cos(\f*(\t r)))}); | |
| \draw[very thick,blue!75!magenta,yscale=\sc] plot[smooth] | |
| file{data/AM_capacitor.data}; | |
| \end{tikzpicture} | |
| Πρακτικά το κύκλωμα χωρίζεται σε δύο κομμάτια. Το αριστερό που περιλαμβάνει τη δίοδο | |
| έχει μικρή σταθερά χρόνου και επηρεάζεται άμεσα από τις κορυφές. Το δεξί έχει μεγάλη σταθερά | |
| χρόνου ώστε να διατηρείται η χαμηλής συχνότητας έξοδος. Ο πυκνωτής που βρίσκεται στη | |
| μέση ανήκει και στα δύο τμήματα. Πρακτικά: | |
| \begin{gather*} | |
| (R_s+r_f)C \ll \frac{1}{f_C} \\ | |
| \intertext{και} | |
| \frac{1}{f_C} \ll R_l C \ll \frac{1}{w} | |
| \end{gather*} | |
| Για να μην υπάρχουν οι συχνότητες που προκύπτουν από την εκθετική πτώση της τάσης του | |
| πυκνωτή ανάμεσα στις κορυφές, μπορούμε να τοποθετήσουμε στο τέλος του κυκλώματος ένα | |
| χαμηλοπερατό φίλτρο. | |
| \begin{circuitikz}[american,scale=1.3,yscale=0.8] | |
| \draw (0,0) to[esource,l_={$s(t)$},n=sig] | |
| (0,2) to[R=$R_j$] (0,4) | |
| to [D={$z_f$},l_=$r_f$] (2,4) | |
| to [C=$C$] (2,0) | |
| -- (0,0) | |
| (2,4) to[short] (4,4) | |
| to[R=$R_l$] (4,0) | |
| -- (2,0) | |
| (4,4) to[short] (5,4) | |
| (4,0) to[short] (5,0) | |
| (7,4) to[short,-o] (8,4) | |
| (7,0) to[short,-o] (8,0) | |
| ; | |
| \draw (-2,1) node[rxantenna,xscale=-1] (antenna) {}; | |
| \draw(antenna.1) -- (sig.n); | |
| \draw (5,4.5) rectangle (7,-0.5) node[align=center] (A) at (6,2) {LPF\\{% | |
| \footnotesize Low Pass Filter}}; | |
| \end{circuitikz} | |
| Επίσης, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα φίλτρο που κόβει τον DC όρο, | |
| ώστε από την τιμή \( 1+k_am(t) \) του αρχικού σήματος να καταλήξουμε στην επιθυμητή | |
| \( k_a m(t) \). Για παράδειγμα, σε μια κυματομορφή που παριστάνει ήχο, μπορούμε να | |
| κόψουμε τις συχνότητες κάτω από 20 Hz, μαζί με το χαμηλοπερατό φίλτρο που | |
| τοποθετήσαμε παραπάνω: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1.2] | |
| \draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[below right] {Hz}; % x axis | |
| \draw (0,0) -- (0,2); | |
| \draw[orange!50!brown,very thick] plot[smooth,tension=1] coordinates {(-0.8,0) (-0.425,0.7) (-0.05,0)}; | |
| \draw[orange!50!brown,very thick] plot[smooth,tension=1] coordinates {(0.8,0) (0.425,0.7) (0.05,0)}; | |
| \draw (0.05,0) node[below,scale=0.5] {20}; | |
| \draw (0.8,0) node[below,scale=0.5] {20k}; | |
| \draw[orange!20!brown!90!black,very thick,->] (2,0) node[below,black] {$f_c$} -- ++(0,1.5); | |
| \draw[orange!20!brown!90!black,very thick,->] (-2,0) node[below,black] {$-f_c$} -- ++(0,1.5); | |
| \draw[thick,black!80!green] (-1,0) -- ++(0,1) -- (1,1) -- (1,0); | |
| \draw[thick,black!70!green] (0.03,0) -- ++(0.3,1.3) -- ++(0.5,0) edge[path fading=east] ++(0.8,0); | |
| \draw[thick,black!70!green,xscale=-1] (0.03,0) -- ++(0.3,1.3) -- ++(0.5,0) edge[path fading=west] ++(0.8,0); | |
| \end{tikzpicture} | |
| \paragraph{Πρόβλημα 1: Αργός πυκνωτής} | |
| Αν ο πυκνωτής είναι πολύ αργός, μπορεί να μην προλάβει να έχει κατέβει αρκετά μέχρι την | |
| επόμενη κορυφή, και έτσι να χαθεί κάποια πληροφορία του σήματος: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1.2] | |
| \draw (0,-2) -- (0,2) node[right] {$s(t)$}; | |
| \draw (0,0) -- (6,0); | |
| \def\f{2*3.14*0.22}; | |
| \def\fc{2*3.14*3}; | |
| \def\sc{1.4} | |
| \draw[thick,green!80!cyan] plot[smooth,domain=0:6,variable=\t,samples=\gsamples,yscale=\sc] | |
| (\t,{sin(\fc*(\t r))*(0.5+0.45*cos(\f*(\t r)))}); | |
| \draw[green!50!blue,dashed] plot[smooth,domain=0:6,variable=\t,yscale=\sc,yshift=0.5mm] | |
| (\t,{(0.5+0.45*cos(\f*(\t r)))}) | |
| plot[smooth,domain=0:6,variable=\t,yscale=\sc,yshift=-0.5mm] | |
| (\t,{-(0.5+0.45*cos(\f*(\t r)))}); | |
| \draw[very thick,blue!75!magenta,yscale=\sc] plot[smooth] | |
| file{data/AM_capacitor_2.data}; | |
| \end{tikzpicture} | |
| Αυτό μπορεί να διορθωθεί βλέποντας ποιά είναι η μέγιστη ταχύτητα μεταβολή του σήματος, και | |
| ρυθμίζοντας ανάλογα τις σταθερές της διαμόρφωσης και του αποδιαμορφωτή, ώστε να μην υπάρχει | |
| περίπτωση κάποια κορυφή του AM να είναι κάτω από την τάση του πυκνωτή κάθε στιγμή. | |
| \paragraph{Πρόβλημα 2: Υπερδιαμόρφωση} | |
| Αν το αρχικό σήμα έχει πολύ μεγάλο πλάτος, δηλαδή | |
| αν \( \left| k_a m(t) \right| > 1 \), τότε η αποδιαμόρφωση δεν θα δώσει το επιθυμητό | |
| αποτέλεσμα, όπως είχαμε αναφέρει και παραπάνω: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1.1] | |
| \draw (0,-2) -- (0,2) node[right] {$s(t)$}; | |
| \draw (0,0) -- (6,0); | |
| \def\f{2*3.14*0.22}; | |
| \def\fc{2*3.14*5}; | |
| \def\sc{1.4} | |
| \draw[very thick,green!50!cyan] plot[smooth,domain=0:6,variable=\t,samples=\gsamples,yscale=\sc] | |
| (\t,{sin(\fc*(\t r))*(0.2+0.8*cos(\f*(\t r)))}); | |
| \draw[thick,green!50!blue,dashed] plot[smooth,domain=0:6,variable=\t,yscale=\sc] | |
| (\t,{(0.2+0.8*cos(\f*(\t r)))}) | |
| plot[smooth,domain=0:6,variable=\t,yscale=\sc] | |
| (\t,{-(0.2+0.8*cos(\f*(\t r)))}); | |
| \end{tikzpicture} | |
| Αυτό μπορεί να διορθωθεί με διαφορετική επιλογή της σταθεράς \( k_a \), έτσι ώστε \( 1 + k_am(t) \geq 0 \). | |
| \subsubsection{Και άλλοι αποδιαμορφωτές} | |
| Ο παραπάνω αποδιαμορφωτής, όπως και ο διαμορφωτής, λειτουργεί με χρήση ενός μη γραμμικού | |
| στοιχείου, της διόδου. | |
| \begin{tikzpicture}[baseline,scale=0.7,every node/.style={scale=.7}] | |
| \draw (-2,0) -- (2,0) node[below] {$u_1(t)$}; | |
| \draw[->] (0,-1) -- (0,2) node[above] {$u_2(t)$}; | |
| \draw[very thick,blue!50!black] (-2,0) -- (0,0) -- (2,2); | |
| \draw[very thick,blue!70!black] plot[variable=\x,domain=0:2,samples=\gsamples] | |
| (\x,{\x*\x/1.7}); | |
| \end{tikzpicture} | |
| Η συμπεριφορά της διόδου μπορεί να προσεγγιστεί με μια σχέση της μορφής \( y= ax^2+b \). | |
| Οπότε, ας εξετάσουμε ένα σύστημα που εξάγει το τετράγωνο μιας κυματομορφής, που είναι ένα | |
| από τα πιο απλά παραδείγματα μη γραμμικών στοιχείων: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \draw (0,0) node[rectangle,draw,inner sep=5pt] (DM) {αποδιαμορφωτής τετραγωνικού νόμου}; | |
| \draw (DM.west) -- ++(-1,0) node[above right] {$u_1$}; | |
| \draw (DM.east) -- ++(1,0) node[above left] {$u_2$}; | |
| \draw (DM.south) | |
| node[below] {$u_2(t) = a_1u_1(t) + a_2u_1^2(t)$}; | |
| \end{tikzpicture} | |
| Γενικά, τέτοια μη γραμμικά συστήματα παράγουν πολλές συχνότητες, και μία από αυτές ίσως είναι | |
| αυτή που επιθυμούμε. | |
| Θα πραγματοποιήσουμε μια ανάλυση παρόμοια με τον διαμορφωτή, μελετώντας την έξοδο | |
| του παραπάνω συστήματος στο πεδίο συχνότητας: | |
| \begin{align*} | |
| u_1(t) &= s(t) = A_c\left[ 1+k_am(t) \right]\cos(2π f_c t) \\ | |
| u_2(t) &= a_1A_c\left[1+k_am(t)^2\right]\cos 2πf_c t | |
| + a_2A_c^2\left[ 1+k_a m(t) \right]^2 \cos^2 2πf_c t \\ | |
| &= {\color{orange!20!brown!70!black} a_1A_c \cos 2πf_ct} \\ | |
| &\hphantom{=} +{\color{cyan!80!black} a_1A_ck_am(t)\cos 2πf_c t} \\ | |
| &\hphantom{=} +{\color{orange!20!brown!70!black} a_2\frac{A_c^2}{2}} \\ | |
| &\hphantom{=} +{\color{blue!80!black} 2a_2\frac{A_c^2}{2}k_a m(t)} \\ | |
| &\hphantom{=} +{\color{magenta!80!black} a_2\frac{A_c^2}{2}k_a^2 m^2(t)} \\ | |
| &\hphantom{=} +{\color{cyan!80!black} a_2\frac{A_c^2}{2}\cos 2π2f_c t} \\ | |
| &\hphantom{=} +{\color{cyan!80!black} a_2\frac{A_c^2}{2} k_a m(t) \cos 2π2f_ct} \\ | |
| &\hphantom{=} +{\color{magenta!80!black} a_2\frac{A_c^2}{2}k_a^2 m^2(t) \cos 2π2f_ct} | |
| \end{align*} | |
| Από μία ύψωση στο τετράγωνο δηλαδή προκύπτουν πολλές καινούριες συχνότητες: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1.1,yscale=1.4] | |
| \draw[->] (-2.5,0) -- (12.5,0) node[below right] {f}; | |
| \draw[->] (0,-1) -- (0,2) node[right] {$Y_2(f)$}; | |
| \draw (0,0) node[below right] {$0$}; | |
| \draw (1,0) node[below] {$\vphantom{2}w$}; | |
| \draw (2,0) node[below] {$2w$}; | |
| \draw (-1,0) node[below] {$-\vphantom{2}w$}; | |
| \draw (-2,0) node[below] {$-2w$}; | |
| \begin{scope} | |
| \clip (-1,0) -- (0,1) -- (1,0); | |
| \fill[red!50!green, opacity=.4, postaction={pattern=north east lines}] plot[smooth] | |
| coordinates {(-2,0) (-1,0.4) (1,0.4) (2,0)}; | |
| \end{scope} | |
| \begin{scope} | |
| \clip plot[smooth] | |
| coordinates {(-2,0) (-1,0.4) (1,0.4) (2,0)}; | |
| \fill[even odd rule,orange!90!green, opacity=.2, postaction={pattern=north west lines}] plot[smooth] | |
| coordinates {(-2,0) (-1,0.4) (1,0.4) (2,0)} (-1,0) -- (0,1) -- (1,0); | |
| \end{scope} | |
| \draw[orange!20!brown!90!black,very thick,->] (0,0) -- ++(0,1.5); | |
| \draw[blue!80!black,very thick] (-1,0) -- (0,1) node[right] {$m(f)$} -- (1,0); | |
| \draw[magenta!90!blue, very thick] plot[smooth] | |
| coordinates {(-2,0) (-1,0.4) (1,0.4) (2,0)} (1,0.3) node[above right] {$m^2(f)=m*m$}; | |
| \begin{scope}[xshift=5cm] | |
| \draw[orange!20!brown!90!black,very thick,->] (0,0) node[below,black] {$f_c$} -- ++(0,1.5); | |
| \draw[cyan!80!black,very thick] (-1,0) -- (0,1) -- (1,0); | |
| \end{scope} | |
| \begin{scope}[xshift=10cm] | |
| \draw[orange!20!brown!90!black,very thick,->] (0,0) node[below,black] {$2f_c$} -- ++(0,1.5); | |
| \draw[cyan!80!black,very thick] (-1,0) -- (0,1) -- (1,0); | |
| \draw[magenta!90!blue, very thick] plot[smooth] | |
| coordinates {(-2,0) (-1,0.4) (1,0.4) (2,0)} (1,0.3); | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| Φαίνεται, όπως είδαμε και στο προηγούμενο κύκλωμα, ο DC όρος στο \( f=0 \), τα ripples στις | |
| υψηλότερες συχνότητες, αλλά και μία παραμόρφωση που οφείλεται στον όρο \( m^2(t) \), η | |
| οποία, αφού προκύπτει από συνέλιξη του \( m(t) \) (εύρος ζώνης \( w \)) με τον εαυτό του, | |
| έχει εύρος ζώνης: | |
| \[ | |
| a_2\frac{A_c^2}{2}k_a^2 m^2(t) | |
| \] | |
| Για να μειωθεί η παραμόρφωση αυτή, πρέπει να μειώσουμε τον όρο \( k_a^2m^2(t) \), ή ισοδύναμα | |
| τον \( k_a m(t) \): | |
| \[ | |
| k_a^2m^2(t) \ll k_am(t) \ll 1 | |
| \] | |
| \subsection{DSB-SC} | |
| \label{dsb-sc} | |
| \subsubsection{Στο δρόμο για την κατανάλωση λιγότερης ισχύος} | |
| Θυμόμαστε το σήμα: | |
| \begin{align*} | |
| s(t) &= | |
| A_c\left[1+k_a m(t)\right]\cos 2πf_c t | |
| \\ | |
| &= \underbrace{A_c \cos 2π f_c t} + A_c k_a m(t) \cos 2π f_c t | |
| \end{align*} | |
| Τι γίνεται αν αφαιρέσουμε τον όρο \( A_c \cos 2πf_c t \), ο οποίος | |
| δεν περιέχει πληροφορία, αλλά καταναλώνει μόνο παραπάνω ισχύ (θυμόμαστε | |
| ότι ο όρος αυτός υπάρχει για την αποδιαμόρφωση); | |
| Τότε θα πάρουμε ένα άλλο σήμα: | |
| \[ | |
| \boxed{s(t) = A_c m(t) \cos 2π f_c t} | |
| \] | |
| το οποίο ονομάζουμε διαμορφωμένο κατά \textbf{DSB-SC} (Double Side Band - Supressed Carrier). | |
| Μετασχηματισμένο κατά Fourier: | |
| \[ | |
| S(f) = | |
| \frac{1}{2} A_c \left[ | |
| M(f-f_c) + M(f+f_c) | |
| \right] | |
| \] | |
| Δηλαδή το σήμα εξόδου αποτελείται από το αρχικό σήμα, μετατοπισμένο | |
| μόνο κατά τη συχνότητα: | |
| \begin{center} | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \draw[draw=orange!50!brown,very thick] | |
| (-0.8,0) node[below] {$-w$} | |
| -- (0,1.4) node[right] {$M(0)$} | |
| -- (0.8,0) node[below] {$w$} | |
| ; | |
| \draw (-2,0) -- (2,0); | |
| \draw (0,-0.5) -- (0,2.5) node[right] {$M(f)$}; | |
| \draw[->,very thick, blue!60!black] | |
| (2.5,1.25) -- ++(2,0); | |
| \begin{scope}[xshift=9cm] | |
| \draw[xshift=-2cm,draw=brown!50!orange,very thick,every node/.style={scale=.9}] | |
| (-0.8,0) | |
| -- (0,1.4) | |
| -- (0.8,0) | |
| (0,0) node[below] {$-f_c$} | |
| ; | |
| \draw[xshift=2cm,draw=brown!50!orange,very thick] | |
| (-0.8,0) | |
| -- (0,1.4) | |
| -- (0.8,0) | |
| (0,0) node[below] {$f_c$} | |
| ; | |
| \draw (-4,0) -- (4,0); | |
| \draw[->] (0,-0.5) -- (0,2.5) node[right] {$S(f)$}; | |
| \draw[dashed] (-2.1,1.4) --++(4.2,0); | |
| \draw (0,1.4) node[above right] {$\sfrac{1}{2}A_cM(0)$}; | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| \end{center} | |
| Στο πεδίο του χρόνου, το σήμα φαίνεται κάπως έτσι: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1.1] | |
| \draw (0,-2) -- (0,2); | |
| \draw (0,0) -- (6,0); | |
| \def\f{2*3.14*0.22}; | |
| \def\fc{2*3.14*5}; | |
| \def\sc{1.4} | |
| \draw[very thick,blue!50!black] plot[smooth,domain=0:6,variable=\t,samples=\gsamples,yscale=\sc] | |
| (\t,{(1-0.1*\t)*sin(\fc*(\t r))*(0.2+0.8*cos(\f*(\t r)))}); | |
| \draw[thick,green!50!blue] plot[smooth,domain=0:6,variable=\t,yscale=\sc*1.1] | |
| (\t,{(1-0.1*\t)*(0.2+0.8*cos(\f*(\t r)))}); | |
| \draw[thick,green!80!cyan] plot[smooth,domain=0:6,variable=\t,yscale=\sc*1.1] | |
| (\t,{-(1-0.1*\t)*(0.2+0.8*cos(\f*(\t r)))}); | |
| \end{tikzpicture} | |
| Παρατηρούμε την αρχική κυματομορφή, η οποία αποκτά και αρνητικές τιμές, | |
| με αποτέλεσμα η χρήση του αποδιαμορφωτή AM που χρησιμοποιήσαμε και | |
| προηγουμένως να μην είναι εφικτή. | |
| Στην πραγματικότητα, ο σχεδιασμός ενός αποδιαμορφωτή AM είναι | |
| πιο δύσκολος. | |
| \subsubsection{Αποδιαμορφωτής} | |
| \label{dsbsc.demodulator} | |
| Σχεδιάζουμε το κύκλωμα του αποδιαμορφωτή ως έναν πολλαπλασιαστή | |
| του φέροντος με το διαμορφωμένο σήμα, φροντίζοντας να μην ξεχάσουμε | |
| το δικό μας φέρον να έχει την \textbf{κατάλληλη φάση} \( φ \) που να αντιστοιχεί | |
| στη φάση του φέροντος του λαμβανόμενου σήματος: | |
| \begin{circuitikz}[scale=2] | |
| \draw (0,0) node[xshift=4.9mm,oscillator] (osc) {} | |
| node[above right,xshift=5mm] {$A_c' \cos(2πf_c t + φ)$}; | |
| \draw (0,1) node[rectangle,draw,minimum width=15mm,minimum height=10mm] (mult) {} | |
| node[scale=1.5] {$\times$}; | |
| \draw[<-] (mult.west) -- ++(-1,0) node[above,midway] {$s(t)$}; | |
| \draw[->] (mult.east) -- ++(1,0) node[above,midway] {$u(t)$}; | |
| \draw[->] (osc.north) -- (mult.south); | |
| \end{circuitikz} | |
| Τότε, με λίγα μαθηματικά έχουμε: | |
| \begin{align*} | |
| u(t) &= | |
| s(t)\cdot c(t) = | |
| A_c \cos(2π f_c t + φ)A_C m(t)\cos(2πf_c t) | |
| \\ &= | |
| \frac{1}{2} A_c A_c' | |
| m(t) \cos(2π2f_ct + φ) + \frac{1}{2}A_cA_c' m(t)\cos φ | |
| \end{align*} | |
| Και, εφαρμόζοντας ένα φίλτρο LPF που κόβει τις υψηλές συχνότητες \( 2π2f_c \): | |
| \begin{tikzpicture}[scale=0.3,baseline] | |
| \filldraw[fill=green!80!black,fill opacity=.1] (-1.2,0) -- (-1,1.8) -- (1,1.8) -- (1.2,0); | |
| \draw[draw=blue!50!brown,very thick] | |
| (-0.8,0) | |
| -- (0,1.4) | |
| -- (0.8,0) | |
| ; | |
| \draw[draw=red,opacity=.8,xshift=3cm,thick] | |
| (-0.8,0) | |
| -- (0,1.4) | |
| -- (0.8,0) | |
| ; | |
| \draw[draw=red,opacity=.8,xshift=-3cm,thick] | |
| (-0.8,0) | |
| -- (0,1.4) | |
| -- (0.8,0) | |
| ; | |
| \draw (-5,0) -- (5,0); | |
| \draw (0,-0.5) -- (0,2.5); | |
| \end{tikzpicture}% | |
| \begin{align*} | |
| \left. u(t) \right\lvert_{\mathrm{LPF}} | |
| &= \frac{1}{2} A_c A_c' m(t) \cos φ | |
| \end{align*} | |
| Στο τελικό αποτέλεσμα έχουμε το επιθυμητό \( m(t) \), και έναν | |
| όρο \( \boxed{\cos φ} \). Όταν η γωνία \( φ \) (που εκφράζει τη διαφορά | |
| φάσης μεταξύ του φέροντος του δέκτη και του πομπού) είναι 0, τότε | |
| \( \cos φ = 1 \), και το σήμα έχει πλήρες πλάτος. Όταν έχουμε | |
| \( φ = \pm \frac{π}{2} \) όμως, ο διαμορφωτής και ο | |
| αποδιαμορφωτής δεν είναι συγχρονισμένοι, και δεν παίρνουμε καθόλου | |
| σήμα. | |
| Ο λόγος που ήταν δύσκολο να υλοποιηθούν τέτοια κυκλώματα ήταν | |
| η έλλειψη φθηνών κυκλωμάτων συγχρονισμού τα οποία μπορούν να παρακολουθήσουν | |
| τη φάση \( φ \). Η φάση του φέροντος μπορεί να επηρεαστεί από | |
| εμπόδια που υπάρχουν στη διαδρομή του κύματος, κάτι που οδηγούσε και | |
| στα φαινόμενα των \textit{διαλείψεων} στα παλιότερα ραδιόφωνα. | |
| Για συγχρονισμό της φάσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα σύστημα | |
| αυτομάτου ελέγχου PLL (Phase-Locked Loop). | |
| Τελικά, το κύκλωμα προκύπτει: | |
| \begin{circuitikz}[scale=2] | |
| \draw (0,0) node[xshift=4.9mm,oscillator] (osc) {} | |
| node[above right,xshift=5mm] {$A_c' \cos(2πf_c t + φ)$}; | |
| \draw (0,1) node[rectangle,draw,minimum width=15mm,minimum height=10mm] (mult) {} | |
| node[scale=1.5] {$\times$}; | |
| \draw (1.3,1) node[rectangle,draw,minimum width=15mm,minimum height=10mm] (lpf) {} | |
| node[] {LPF}; | |
| \draw[<-] (mult.west) -- ++(-1,0) node[above,midway] {$s(t)$}; | |
| \draw(mult.east) -- (lpf.west); | |
| \draw[->] (lpf.east) -- ++(0.5,0); | |
| \draw[->] (osc.north) -- (mult.south); | |
| \end{circuitikz} | |
| \subsubsection{Δακτυλιοειδής διαμορφωτής (ring modulator)} | |
| Προκύπτει το ερώτημα πώς μπορούμε να υλοποιήσουμε κυκλωματικά | |
| έναν πολλαπλασιαστή. Έστω λοιπόν ότι θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε | |
| ένα σήμα \( m(t) \) με ένα φέρον \( A_c\cos2π f_ct \). | |
| Για αυτόν τον λόγο υπάρχει ένα κύκλωμα που ονομάζεται | |
| \textbf{δακτυλιοειδής διαμορφωτής (ring modulator)}, με είσοδο | |
| το \( m(t) \) και μια τετραγωνική κυματομορφή \( c(t) \) συχνότητας | |
| \( f_c \): | |
| \begin{circuitikz}[scale=1,american] | |
| \draw (0,0) node[transformer core] (t1) {}; | |
| \draw (6,0) node[transformer core] (t2) {}; | |
| \draw (t1.A1) to[open,v=$m(t)$] (t1.A2); | |
| \draw (t2.B1) to[open,v^=$s(t)$] (t2.B2); | |
| \draw (t1.B1) node[above] {$a$} to[diode,*-*] (t2.A1); | |
| \draw (t2.A1) node[above] {$b$} to[diode] ($(t2.A1)!0.6!(t1.B2)$) -- (t1.B2); | |
| \draw (t1.B2) node[below] {$c$} to[diode,*-*] (t2.A2); | |
| \draw (t2.A2) node[below] {$d$} -- | |
| ($(t2.A2)!0.48!(t1.B1)$) to[bend left=90] ($(t2.A2)!0.525!(t1.B1)$) | |
| to[diode] ($(t2.A2)!0.9!(t1.B1)$) | |
| -- (t1.B1); | |
| \coordinate (C1) at ($(t1.B1)!0.5!(t1.B2) - (0.4,0)$); | |
| \coordinate (C2) at ($(t2.A1)!0.5!(t2.A2) + (0.4,0)$); | |
| \def\m{0.2} | |
| \def\h{2.5} | |
| \def\l{1.7} | |
| \draw (C1) to[short,*-] ++(\m,0) -- ++(0,-\h) to[short,-*] ++(\l,0) node (l1) {}; | |
| \draw (C2) to[short,*-] ++(-\m,0) -- ++(0,-\h) to[short,-*] ++(-\l,0) node (l2) {}; | |
| \draw (l1) to[open,v=$c(t)$] (l2); | |
| \end{circuitikz} | |
| Αυτό το κύκλωμα ουσιαστικά εναλλάσει την αλλαγή ή όχι του προσήμου | |
| της κυματομορφής εισόδου: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=0.7] | |
| \pgfmathdeclarefunction{mysquare}{1}{% | |
| \pgfmathparse{int(mod(4*#1,2))}% | |
| \ifnum\pgfmathresult>0 \pgfmathparse{-1}\else\pgfmathparse{1}\fi% | |
| } | |
| \draw (0,0) -- (5,0); | |
| \draw (0,-2) -- (0,2) node[above right] {$c(t)$}; | |
| \def\step{0.25} | |
| \def\ampl{1.8} | |
| \foreach \x in {0,0.5,...,4.5} { | |
| \draw[thick,blue] (\x,\ampl) -- ++(\step,0) -- ++(0,-2*\ampl) -- ++(\step,0) -- ++(0,2*\ampl); | |
| } | |
| \draw[orange!50!brown!50!black,<->,yshift=-2mm] (0,0) -- (2*\step,0) node[midway,below,scale=.8] {$\sfrac{1}{f_c}$}; | |
| \begin{scope}[xshift=6cm] | |
| \draw (0,0) -- (5,0); | |
| \draw (0,-2) -- (0,2) node[above right] {$m(t)$}; | |
| \draw[very thick,blue!50!black] plot [variable=\x,domain=0:5,samples=\gsamples] (\x,{1.5*cos(\x r)}); | |
| \end{scope} | |
| \begin{scope}[xshift=12cm] | |
| \draw (0,0) -- (5,0); | |
| \draw (0,-2) -- (0,2) node[above right] {$s(t)$}; | |
| \draw[blue!50!black,densely dashed,opacity=.9] | |
| plot [variable=\x,domain=0:5,samples=\gsamples] (\x,{1.5*cos(\x r)}) | |
| plot [variable=\x,domain=0:5,samples=\gsamples] (\x,{-1.5*cos(\x r)}); | |
| \draw[very thick,orange!50!red] plot [variable=\x,domain=0:5,samples=\gsamples] | |
| (\x,{mysquare(\x)*1.5*cos(\x r)}); | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| Πρακτικά, πολλαπλασιάζει το \( c(t) \) με το \( m(t) \). Μαθηματικά, | |
| παίρνουμε τη σειρά Fourier του \( c \) και βλέπουμε: | |
| \begin{align*} | |
| c(t) &= \frac{4}{π} | |
| \sum_{n=1}^{\infty} | |
| \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}\cos\left[ | |
| 2πf_c(2n-1)t | |
| \right] \implies \\ | |
| m(t)c(t) &= \frac{4}{π}m(t) | |
| \sum_{n=1}^{\infty} | |
| \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}\cos\left[ | |
| 2πf_c(2n-1)t | |
| \right] | |
| \end{align*} | |
| Ακριβώς όπως μελετήσαμε τον διαμορφωτή και τον αποδιαμορφωτή AM, | |
| ίσως μέσα στις συχνότητες της παραπάνω συνάρτησης υπάρχει και το | |
| σήμα που θέλουμε: | |
| \begin{align*} | |
| n=1\qquad & \infoboxed{m(t)\frac{4}{π}\cos2πf_c t} \qquad \leftarrow \text{το επιθυμητό σήμα} \\ | |
| n=2\qquad & m(t)\frac{4}{π}\cos2π3f_c t\\ | |
| n=3\qquad & m(t)\frac{4}{π}\cos2π5f_c t | |
| \end{align*} | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \filldraw[fill=blue!80!black,fill opacity=.1] | |
| (1.5-0.8,0) -- (1.5-0.7,1.8) | |
| to node[midway,above,opacity=1,black] {BPF} (1.5+0.7,1.8) -- (1.5+0.8,0); | |
| \draw[dashed] (1.5,0) node[below] {$f_c$}-- ++(0,1.4); | |
| \draw[draw=orange!90!brown!80!black,opacity=.8,xshift=1.5cm,very thick] (-0.6,0) -- (0,1.4) -- (0.6,0); | |
| \draw[dashed] (3.5,0) node[below] {$3f_c$}-- ++(0,1.4); | |
| \draw[draw=orange!70!brown!70!black,opacity=.8,xshift=3.5cm,thick] (-0.6,0) -- (0,1.4) -- (0.6,0); | |
| \draw[dashed] (5.5,0) node[below] {$5f_c$}-- ++(0,1.4); | |
| \draw[draw=orange!70!brown!70!black,opacity=.8,xshift=5.5cm,thick] (-0.6,0) -- (0,1.4) -- (0.6,0); | |
| \draw (6.3,0.7) node[right] {$\cdots$}; | |
| \begin{scope}[xscale=-1] | |
| \filldraw[fill=blue!80!black,fill opacity=.1] | |
| (1.5-0.8,0) -- (1.5-0.7,1.8) | |
| to (1.5+0.7,1.8) -- (1.5+0.8,0); | |
| \draw[dashed] (1.5,0) node[below] {$-f_c$}-- ++(0,1.4); | |
| \draw[draw=orange!70!brown!70!black,opacity=.8,xshift=1.5cm,thick] (-0.6,0) -- (0,1.4) -- (0.6,0); | |
| \draw[dashed] (3.5,0) node[below] {$-3f_c$}-- ++(0,1.4); | |
| \draw[draw=orange!70!brown!70!black,opacity=.8,xshift=3.5cm,thick] (-0.6,0) -- (0,1.4) -- (0.6,0); | |
| \draw[dashed] (5.5,0) node[below] {$-5f_c$}-- ++(0,1.4); | |
| \draw[draw=orange!70!brown!70!black,opacity=.8,xshift=5.5cm,thick] (-0.6,0) -- (0,1.4) -- (0.6,0); | |
| \draw (6.3,0.7) node[left] {$\cdots$}; | |
| \end{scope} | |
| \draw (-6.3,0) -- (6.3,0); | |
| \draw (0,-0.5) -- (0,2.5); | |
| \end{tikzpicture} | |
| Επομένως, παίρνουμε ένα band pass φίλτρο μόνο για τις συχνότητες | |
| του \( n=1 \) και προκύπτει η ζητούμενη έξοδος \( m(t)\frac{4}{π} | |
| \cos2πf_c t \). | |
| Τέτοιου είδους κυκλώματα, σε συνδυασμό με το Band Pass Filter, είναι | |
| διαθέσιμα στο εμπόριο και ονομάζονται \textbf{μίκτες (mixers)}. | |
| Να σημειωθεί βέβαια πως για να λειτουργήσει σωστά αυτή η διάταξη, | |
| πρέπει το κύκλωμα και τα χαρακτηριστικά των στοιχείων του | |
| (δίοδοι, μετασχηματιστές) να είναι συμμετρικά. | |
| Εναλλακτικά, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για το ίδιο αποτέλεσμα | |
| ένα κύκλωμα που ονομάζεται double-balanced modulator και λειτουργεί | |
| με δύο όμοιους διαμορφωτές AM: | |
| \begin{circuitikz}[scale=0.7] | |
| \draw(-1,0) node[oscillator,xshift=4.9mm] (osc) {}; | |
| \draw (2,2) node[draw,rectangle,align=left,inner sep=5pt,scale=.7] (am1) {AM\\διαμορφωτής}; | |
| \draw (2,-2) node[draw,rectangle,align=left,inner sep=5pt,scale=.7] (am2) {AM\\διαμορφωτής}; | |
| \draw (5,0) node[draw,circle,scale=1.4,thick] (add) {$+$}; | |
| \draw (-1,-2.2) node[draw,rectangle] (o1) {$-1$}; | |
| \draw (0,-1) node[draw,rectangle] (o2) {$-1$}; | |
| \draw[->] (-3,2.2) -- (am1.west |- 0,2.2); | |
| \draw[<-] (o1.west) -- ++(-1,0) -- ++(0,2.2+2.2) node[circ] {}; | |
| \draw[->] (o1.east) -- (am2.west |- 0,-2.2); | |
| \draw[->] (osc.east) -| (o2.north); | |
| \draw[->] (o2.south) |- (am2.west |- 0,-1.8); | |
| \draw[->] (osc.north) |- (am1.west |- 0,1.8); | |
| \draw[->] (am1.east) -| (add.north); | |
| \draw[->] (am2.east) -| (add.south); | |
| \draw[->] (add.east) -- ++(1,0); | |
| \end{circuitikz} | |
| \subsubsection{Δέκτης Costas} | |
| Θυμόμαστε ότι για ένα σήμα: | |
| \[ | |
| s(t) = A_cm(t) \cdot \cos(2πf_ct + φ) | |
| \] | |
| μπορούμε εύκολα να βρούμε τον όρο \( A_c' \cos (2πf_ct) \), αλλά όχι | |
| τον όρο \( A_c'\cos(2πf_c t + φ) \) (εκτός ίσως αν τον επανεκπέμψουμε μόνο του από την πλευρά του πομπού με διαφορετική, π.χ διπλάσια συχνότητα, κάτι που δεν εφαρμόζεται επειδή καταναλώνονται κι άλλες | |
| συχνότητες). | |
| Σχεδιάζουμε έναν νέο δέκτη, ο οποίος αποτελείται από δύο απλούς | |
| αποδιαμορφωτές της ενότητας \ref{dsbsc.demodulator}: | |
| \begin{circuitikz}[scale=1.1] | |
| \draw (0,-0.75) node[draw,rectangle] (ps) {$-90\degree$}; | |
| \draw (0,2) node[draw,rectangle,scale=2,outer sep=0] (m1) {$\times$}; | |
| \draw (0,-2) node[draw,rectangle,scale=2, outer sep=0] (m2) {$\times$}; | |
| \draw (3,0) node[draw,rectangle,inner sep=5pt] (osc) {Ταλαντωτής} | |
| node[below,yshift=-3.5mm,scale=.7] {ελεγχόμενος από τάση}; | |
| \draw (2,2) node[draw,rectangle,inner sep=5pt] (lpf1) {LPF}; | |
| \draw (2,-2) node[draw,rectangle,inner sep=5pt] (lpf2) {LPF}; | |
| \draw (6.5,0) node[draw,rectangle,inner sep=5pt,align=center] (pd) {Διευκρινιστής\\φάσης}; | |
| \coordinate (M) at (-2,0); | |
| \draw (M) -- ++(-3,0) node[midway,above] {$A_m(t)\cos(2πft)$}; | |
| \draw[->] (M) |- node[above right,blue!50!black] {\textbf{I}} (m1.west); | |
| \draw[->] (M) |- node[below right,blue!50!black] {\textbf{Q}} (m2.west); | |
| \draw[->] (osc) -| (m1); | |
| \draw[->] (osc) -| (ps) -- (m2); | |
| \draw[->] (m1) -- (lpf1); | |
| \draw[->] (lpf1) -| (pd); | |
| \draw[->] (m2) -- (lpf2); | |
| \draw[->] (lpf2) -| (pd); | |
| \draw[->] (pd) -- (osc); | |
| \draw (osc.north east) node[right,xshift=-1mm,yshift=2mm,orange!50!brown!50!black] | |
| {$\overbrace{-\phi}^{\mathclap{\text{αρνητική ανάδραση}}}$}; | |
| \draw[blue!80!cyan,<-] ($(pd.south)!0.5!(pd.south east)$) to[bend right] ++(0.7,-0.5) node[right,scale=.9,align=center] | |
| {Διαιρεί τα σήματα\\$\frac{\sin\phi}{\cos\phi}=\tan\phi$}; | |
| \draw[->] (pd.north |- lpf1.east) -- ++(1.5,0); | |
| \draw[->] (pd.south |- lpf2.east) -- ++(1.5,0); | |
| \path (lpf1) -- (pd |- lpf1) node[midway,above] {$\sfrac{1}{2}A_c\cos\phi\; m(t)$}; | |
| \path (lpf2) -- (pd |- lpf2) node[midway,below] {$\sfrac{1}{2}A_c\sin\phi\; m(t)$}; | |
| \path (osc -| ps) -- (m1.south) node[midway,right] {$\cos(2πf_ct)$}; | |
| \path (ps.south) -- (m2.north) node[midway,right] {$\sin(2πf_ct)$}; | |
| \end{circuitikz} | |
| Ο δέκτης αυτός ονομάζεται \textbf{δέκτης Costas}, και αποτελείται | |
| από έναν ταλαντωτή \( \cos(2π f_c t + φ) \), και δύο κλάδους | |
| αποδιαμορφωτών, από τους οποίους ο ένας πολλαπλασιάζεται με φέρον | |
| φάσης \( φ \), και ο δεύτερος με φέρον φάσης \( φ-90\degree \). | |
| Στη συνέχεια, τα δύο σήματα διαιρούνται ώστε να βρούμε τη γωνία | |
| \( φ \approx \tan φ = \frac{\sin φ}{\cos φ} | |
| = \frac{\sfrac{1}{2}A_c \sin φ\ m(t) }{\sfrac{1}{2} A_c \cos φ\ m(t) } \). Η γωνία αυτή πηγαίνει ως είσοδος στον ταλαντωτή, έτσι ώστε να | |
| διορθωθεί η φάση του σήματος που δίνει ως έξοδο μέσω μιας διαδικασίας | |
| αρνητικής ανάδρασης. | |
| \subsubsection{Ισχύς} | |
| Έστω ένα σήμα διαμορφωμένο κατά DSB-SC: | |
| \[ | |
| u(t) = A_c m(t) \cos (2πf_c t) | |
| \] | |
| Για την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήματος ισχύει: | |
| \begin{align*} | |
| \mathcal R_{u(τ)} | |
| &= \lim_{T\to \infty} \frac{1}{T} \int_{-\sfrac{T}{2} }^{\sfrac{T}{2} } | |
| u(t)u(t-τ)\dif t \\ | |
| &= \lim_{Τ\to \infty}\frac{1}{T} \int_{\sfrac{-T}{2} }^{\sfrac{T}{2} } | |
| A_c^2 m(t) m(t-τ) \cos(2πf_c t)\cos(2πf_c(t-τ)) \dif t | |
| \\ &= \frac{A_c^2}{2} \lim_{T\to \infty}\frac{1}{T} | |
| \int_{\sfrac{-T}{2} }^{\sfrac{T}{2} } m(t)m(t-τ) | |
| \left[ \cos(4πf_ct-2πf_cτ) + \cos(2πf_cτ) \right]\dif t | |
| \end{align*} | |
| Θα αναλύσουμε ξεχωριστά τον όρο \( \int_{-\infty}^{\infty} m(t)m(t-τ) \cos( | |
| 4πf_ct - 2πf_c τ | |
| ) \dif t \). | |
| Από το θεώρημα του Parseval ισχύει: | |
| \[ | |
| \int_{-\infty}^{\infty} x(t) y^*(t)\dif t | |
| = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) Y^*(f)\dif f | |
| \] | |
| άρα έχουμε: | |
| \begin{align*} | |
| &\hphantom{=}\int_{-\infty}^{\infty} m(t)m(t-τ) \cos (4πf_c t - 2πf_c τ)\dif τ\\ &= | |
| \int_{-\infty}^{\infty} F\left[m(t-τ)\right] \left\lbrace | |
| F\left[m(t)\cos(4πf_ct-2πf_cτ)\right] | |
| \right\rbrace^* \dif t | |
| \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2πf_c t}M(f) | |
| \left[ | |
| -\frac{M(f-2f_c)e^{-j2πf_ct}}{2} | |
| +\frac{M(f+2f_c)e^{-j2πf_ct}}{2} | |
| \right]^* \dif t | |
| \end{align*} | |
| Επειδή θεωρούμε το \( f_c \) πολύ μεγάλο, δεν υπάρχει περίπτωση ο πολλαπλασιασμός των δύο | |
| παραπάνω όρων να δώσει τιμή διαφορετική του 0 (αφού τα φάσματα βρίσκονται σε διαφορετικό | |
| σημείο \begin{tikzpicture}[baseline,scale=.4,every node/.style={scale=.5}] | |
| \draw (-4,0) -- (4,0); | |
| \draw [blue!50!cyan!90!orange,very thick] | |
| (-0.7,0) -- (0,1) node[above] {$M(f)$} -- (0.7,0); | |
| \draw [blue!90!cyan!80!orange,very thick] | |
| [xshift=-3cm] (-0.7,0) -- (0,1) -- (0.7,0) | |
| [xshift=6cm] (-0.7,0) -- (0,1) -- (0.7,0) | |
| ; | |
| \foreach \x in {-3,0,...,3} | |
| \draw[dashed] (\x,0) -- ++(0,1); | |
| \draw (-3,0) node[below] {$-2f_c$}; | |
| \draw (3,0) node[below] {$+2f_c$}; | |
| \end{tikzpicture} άρα το παραπάνω ολοκλήρωμα είναι 0). | |
| Επομένως: | |
| \begin{align*} | |
| \mathcal R_{u}(τ) &= \frac{Ac^2}{2} \cos 2π f_c τ \lim_{T\to \infty}\frac{1}{T} | |
| \int_{\sfrac{-T}{2} }^{\sfrac{T}{2} } m(t) m (t-τ)\dif t | |
| \\ &= \frac{A_c^2}{2} \mathcal{R}_m(τ)\cos 2πf_c τ | |
| \end{align*} | |
| Άρα για την \textbf{ισχύ} του σήματος ισχύει: | |
| \[ | |
| P_u = \mathcal{R}_u(0) = \frac{A_c^2}{2}\mathcal{R}_m(0) = \frac{1}{2}A_c^2P_m | |
| \] | |
| όπου \( P_m \) η ισχύς του \( m(t) \). | |
| Εναλλακτικά, θυμόμαστε τον ορισμό της ισχύος: | |
| \begin{align*} | |
| P_u &= \lim_{T\to \infty} \frac{1}{T} | |
| \int_{\sfrac{-T}{2} }^{\sfrac{T}{2} } A_c^2m^2(t) \cancelto{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos2π2f_ct}{cos^2 2πf_c t}\dif t | |
| \\ &= \frac{A_c^2}{2} \cancelto{P_m}{\lim_{T\to \infty}\int_{\sfrac{-T}{2} }^{\sfrac{T}{2} } m^2(t)\dif t} | |
| + \frac{A_c^2}{2} \lim_{T\to \infty}\frac{1}{T} | |
| \cancelto{0}{\int_{\sfrac{-T}{2} }^{\sfrac{T}{2} } m^2(t)\cos(2π2f_ct) \dif t} | |
| \\ &= \frac{A_c^2}{2}P_m | |
| \end{align*} | |
| Το δεύτερο ολοκλήρωμα ήταν 0, αφού ήταν ολοκλήρωμα στο άπειρο με μία συμμετρική συνάρτηση | |
| (\( \cos \)) πολλαπλασιασμένη με μια πολύ αργή (άρα πρακτικά σταθερή). | |
| \subsection{QAM} | |
| Έστω ότι έχουμε δύο σήματα, \( m_1(t) \) και \( m_2(t) \), καθώς και το γνωστό φέρον | |
| \( c(t) = A_c\cos2πf_c t \). Διαμορφώνουμε τα σήματα κατά \hyperref[dsbsc.demodulator]{DSB-SC}, όπως | |
| παρουσιάσαμε στην προηγούμενη ενότητα. Το ένα το διαμορφώνουμε | |
| με φέρον \( A_c\cos 2π f_c t \), και το άλλο με φέρον | |
| \( A_c\sin 2πf_c t \), δηλαδή φάση μικρότερη κατά \( 90\degree \). | |
| Στο τέλος, προσθέτουμε τα δύο διαμορφωμένα σήματα: | |
| \begin{circuitikz}[scale=1.2] | |
| \draw (0,-0.75) node[draw,rectangle] (ps) {$-90\degree$}; | |
| \draw (0,2) node[draw,rectangle,scale=2,outer sep=0] (m1) {$\times$}; | |
| \draw (0,-2) node[draw,rectangle,scale=2, outer sep=0] (m2) {$\times$}; | |
| \draw (2,0) node[oscillator,xshift=4.9mm] (osc) {}; | |
| \draw (3,2) node[draw,circle,scale=1.2,thick] (sum) {$\sum$}; | |
| \draw[->] (osc.west) -| (m1); | |
| \draw[->] (osc.west) -| (ps) -- (m2); | |
| \draw[->] (m1) -- (sum) node[above,midway] {$s(t)$}; | |
| \draw[->] (m2) -| (sum); | |
| \draw[->] (sum) -- ++(2,0) node[above right,pos=.2] | |
| {$s(t)=A_cm(t)\cos 2πf_c t + A_cm(t)\sin2πf_ct$}; | |
| \draw[<-] (m1) -- ++(-2,0) node[above,midway] {$m_1(t)$}; | |
| \draw[<-] (m2) -- ++(-2,0) node[below,midway] {$m_2(t)$}; | |
| \path (m2) -- (m2 -| sum) node[pos=0,below right] {$s'(t) = A_cm(t)\sin2πf_ct$}; | |
| \path (osc -| ps) -- (m1.south) node[midway,right,scale=.8] {$\cos(2πf_ct+\phi)$}; | |
| \path (ps.south) -- (m2.north) node[midway,right,scale=.8] {$\sin(2πf_ct+\phi)$}; | |
| \draw (m1.north) node[above,blue!50!black,scale=1.2] (I) {I}; | |
| \draw (I) node[above,blue!50!black,scale=.7,yshift=2mm] {in phase}; | |
| \draw (m2.south) node[below,blue!50!black,scale=1.2] (Q) {Q}; | |
| \draw (Q) node[below,blue!50!black,scale=.7,yshift=-2mm] {quadrature}; | |
| \draw[<-,green!50!gray] (m1.north east) to[bend left] ++(0.7,0.5) | |
| node[right,scale=.9] {διαμορφωτής (πολλαπλασιασμού)}; | |
| \end{circuitikz} | |
| Δηλαδή η έξοδος είναι: | |
| \[ | |
| s(t) = A_c m(t)\cos 2π f_c t | |
| + A_c m(t) \sin 2π f_c t | |
| \] | |
| Για να τη μελετήσουμε στο πεδίο της συχνότητας, πρώτα θυμόμαστε τους | |
| Μ/Σ Fourier των \( \cos \) και \( \sin \): | |
| \[ | |
| \infoboxed{ | |
| \begin{aligned} | |
| \cos 2πf_c t &\leftrightarrow | |
| \frac{1}{2} δ(f-f_c) + \frac{1}{2}δ(f+f_c) | |
| \\ | |
| \sin 2πf_ct &\leftrightarrow | |
| -\frac{1}{2} jδ(f-f_c) + \frac{1}{2}jδ(f+f_c) | |
| \end{aligned} | |
| } | |
| \] | |
| Δηλαδή το πεδίο της συχνότητας περιέχει τιμές στο μιγαδικό επίπεδο, | |
| οι οποίες μπορούν να παρουσιαστούν ως εξής: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \draw[brown!50!orange!50!blue,ultra thick,->] | |
| (2,0) node[below,black,xshift=1mm] {$f_c$} -- ++(0,1.4) node[right] {$\cos t$}; | |
| \draw[brown!30!orange!30!blue,ultra thick,->] | |
| (2,0) -- ++(0,0,2.5) node[below right] {$\sin t$}; | |
| \draw[brown!50!orange!50!blue,ultra thick,->] | |
| (-2,0) node[below,black,xshift=2mm] {$-f_c$} -- ++(0,1.4); | |
| \draw[brown!30!orange!30!blue,ultra thick,->] | |
| (-2,0) -- ++(0,0,2.5); | |
| \draw[->] (-4,0) -- (4,0) node[right] {$f$}; | |
| \draw[->] (0,-2) -- (0,2.5) node[right] {Re}; | |
| \draw[->] (0,0,0) -- (0,0,5) node[below right] {Im}; | |
| \draw[path fading=east] (0,0,0) -- (0,0,-5); | |
| \end{tikzpicture} | |
| Άρα το σήμα έχει μορφή: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \draw[draw=orange!50!brown,very thick] | |
| (-0.8,0) node[below] {$-w$} | |
| -- (0,1.4) | |
| -- (0.8,0) node[below] {$w$} | |
| ; | |
| \draw (-2,0) -- (2,0); | |
| \draw (0,-2.5) -- (0,2.5) node[right] {$M(f)$}; | |
| \draw[->,very thick, black] | |
| (2.5,0) -- ++(2,0); | |
| \begin{scope}[xshift=9cm] | |
| \draw[opacity=.5,dashed] (-2,0) -- ++(0,1.4); | |
| \draw[opacity=.5,dashed] (2,0) -- ++(0,1.4); | |
| \draw[orange!50!black,opacity=.5] (2-1,0) |- (2,0.6) -| node[above right,scale=.8] {$2w$} (2+1,0); | |
| \draw[xshift=-2cm,draw=brown!50!orange,very thick,every node/.style={scale=.9}] | |
| (-0.8,0) -- (0,1.4) -- (0.8,0) | |
| (0,0) node[below] {$-f_c$}; | |
| \draw[xshift=-2cm,draw=brown!50!orange,very thick,fill=red,fill opacity=.1,postaction={pattern=north east lines,opacity=.3}] | |
| (-0.8,0,0) -- (0,0,3) -- (0.8,0,0); | |
| \draw[xshift=2cm,draw=brown!50!orange,very thick,fill=red,fill opacity=.1,postaction={pattern=north east lines,opacity=.3}] | |
| (-0.8,0,0) -- (0,0,3) -- (0.8,0,0); | |
| \draw[xshift=2cm,draw=brown!50!orange,very thick] | |
| (-0.8,0) node[below,scale=.7] {$f_c-w$} | |
| -- (0,1.4) | |
| -- (0.8,0) node[below,scale=.7] {$f_c+w$} | |
| (0,0) node[below] {$f_c$} | |
| ; | |
| \draw (-4,0) -- (4,0); | |
| \draw[->] (0,-1.5) -- (0,2.5) node[right] {Re}; | |
| \draw[->] (0,0,0) -- (0,0,5) node[below right] {Im}; | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| Να σημειωθεί πως το γεγονός ότι υπάρχουν και τιμές στον φανταστικό | |
| άξονα, δεν σημαίνει ότι το σήμα δεν υφίσταται στην πραγματικότητα, | |
| αλλά ότι περιέχει και δεδομένα στην φάση του! | |
| Η διαδικασία της αποδιαμόρφωσης μπορεί να μας επιστρέψει και τα | |
| δύο σήματα, όπως και στον αποδιαμορφωτή DSB-SC, πολλαπλασιάζοντας | |
| την είσοδο αρχικά με \( \cos2π f_c t \), και μετά με \( \sin 2π f_c t \): | |
| \begin{circuitikz}[scale=1.2,yscale=0.7] | |
| \draw (0,-0.75) node[draw,rectangle] (ps) {$-90\degree$}; | |
| \draw (0,2) node[draw,rectangle,scale=2,outer sep=0] (m1) {$\times$}; | |
| \draw (0,-2) node[draw,rectangle,scale=2, outer sep=0] (m2) {$\times$}; | |
| \draw (2,0) node[oscillator,xshift=4.9mm] (osc) {}; | |
| \draw (2,2) node[draw,rectangle,inner sep=5pt] (lpf1) {LPF}; | |
| \draw (2,-2) node[draw,rectangle,inner sep=5pt] (lpf2) {LPF}; | |
| \coordinate (M) at (-1.5,0); | |
| \draw[<-] (M) -- ++(-1,0) node[midway,above] {$s(t)$}; | |
| \draw[->] (M) |- (m1.west); | |
| \draw[->] (M) |- (m2.west); | |
| \draw[->] (osc.west) -| (m1); | |
| \draw[->] (osc.west) -| (ps) -- (m2); | |
| \draw[->] (m1) -- (lpf1); | |
| \draw[->] (m2) -- (lpf2); | |
| \draw[->] (lpf1) -- ++(2,0) node[above] {$A_c m_1(t)$}; | |
| \draw[->] (lpf2) -- ++(2,0) node[below] {$A_c m_2(t)$}; | |
| \path (ps.south) -- (m2.north) node[midway,right,scale=.7] {$\sin(2πf_ct)$}; | |
| \end{circuitikz} | |
| Οπότε, π.χ η πρώτη έξοδος είναι: | |
| \begin{align*} | |
| s(t) \cos 2π f_c t | |
| &= 2 A_c m_1(t) \cos^2 2π f_c t + 2A_c m_2(t)\cos2π f_c t | |
| \sin2πf_c t \\ | |
| &= A_c m_1(t) | |
| \end{align*} | |
| Αυτή η τεχνική εκμεταλλεύεται την ορθογωνικότητα του ημιτόνου και του | |
| συνημιτόνου ώστε να μεταδώσει διπλάσιο σήμα στο ίδιο εύρος ζώνης. | |
| Είναι μία τεχνική \textbf{πολυπλεξίας}, και ονομάζεται | |
| \textbf{QAM (Quadrature Amplitude Modulation - Διαμόρφωση ορθογωνικών | |
| φερόντων)}. Δεν χρησιμοποιούνταν σε εμπορικές εφαρμογές λόγω | |
| του κόστους των πολλών διαμορφωτών και του κυκλώματος συγχρονισμού. | |
| \subsection{SSB} | |
| Αφού τα αρχικά σήματα που χρησιμοποιούμε έχουν δίπλευρο φάσμα, όταν | |
| διαμορφωθούν, ξοδεύουν εύρος ζώνης \( 2w \), και το σήμα εμφανίζεται | |
| δύο φορές γύρω από τη συχνότητα \( f_c \). | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \draw[draw=orange!50!brown,very thick] | |
| (-0.8,0) node[below] {$-w$} | |
| -- (0,1.4) | |
| -- (0.8,0) node[below] {$w$} | |
| ; | |
| \draw (-2,0) -- (2,0); | |
| \draw (0,-0.5) -- (0,2.5); | |
| \draw[->,very thick, black] | |
| (2.5,1) -- ++(2,0); | |
| \begin{scope}[xshift=9cm] | |
| \fill[opacity=.5,path fading=east,green!30!gray] (2,0) -- ++(0,1.6) -- ++(25:1.5) -- ++(0,-3.1) -- (2,-0.2); | |
| \draw[opacity=.5] (2,0) -- ++(0,1.6) edge[path fading=north] ++(25:1.5) | |
| (2,0) -- ++(0,-0.2) edge[path fading=south] ++(-25:1.5); | |
| \draw[opacity=.5,dashed] (-2,0) -- ++(0,1.4); | |
| \draw[opacity=.5,dashed] (2,0) -- ++(0,1.4); | |
| \draw[orange!50!black,opacity=.8] (2-1,0) |- (2,-0.6) -| node[below right,scale=.8] {$2w$} (2+1,0); | |
| \draw[orange!70!black,opacity=.8] (2,0) |- (2,-0.3) -| (2+0.8,0) node[midway,below,scale=.7] {$w$}; | |
| \draw[xshift=-2cm,draw=brown!50!orange,very thick,every node/.style={scale=.9}] | |
| (-0.8,0) -- (0,1.4) -- (0.8,0) | |
| (0,0); | |
| \draw[xshift=2cm,draw=brown!50!orange,very thick] | |
| (-0.8,0) | |
| -- (0,1.4) | |
| -- (0.8,0) | |
| (0,0) node[above right] {$f_c$} | |
| ; | |
| \draw (-4,0) -- (4,0); | |
| \draw[->] (0,-0.5) -- (0,2.5); | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| Αν μπορούσαμε να "κόψουμε" το ένα (π.χ. το αριστερό) κομμάτι του | |
| διαμορφωμένου σήματος, θα είχαμε την ίδια πληροφορία, αλλά θα | |
| καταναλώναμε μισό εύρος ζώνης. Για αυτό παρουσιάζουμε παρακάτω | |
| τη διαμόρφωση \textbf{SSB (Single Side Band)}. | |
| Η διαμόρφωση αυτή λειτουργεί καλύτερα σε ακουστικά και όχι | |
| οπτικά/σήματα δεδομένων, επειδή τα ακουστικά σήματα ξεκινούν από | |
| συχνότητες 20-600 Hz, και δεν έχουν DC κομμάτι: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1.2] | |
| \draw (-3,0) -- (3,0); | |
| \draw[->] (0,-1.5) -- (0,2.5); | |
| \def\s{1.4} | |
| \begin{scope} | |
| \clip (-3,0) rectangle (3,2); % clip below 0 | |
| \draw[xshift=-\s cm,draw=brown!70!orange,very thick] plot[smooth] | |
| coordinates {(-0.8,0) (-0.5,0.2) (0,1.4) (0.5,0.2) (0.8,0)} | |
| ; | |
| \draw[xshift=\s cm,draw=brown!70!orange,very thick] plot[smooth] | |
| coordinates {(-0.8,0) (-0.5,0.2) (0,1.4) (0.5,0.2) (0.8,0)} | |
| ; | |
| \end{scope} | |
| \draw (-0.8+\s,0) node[below] {$f_a$}; | |
| \draw (0.8+\s,0) node[below] {$f_b$}; | |
| \draw (0.8-\s,0) node[below] {$-f_a$}; | |
| \draw (-0.8-\s,0) node[below] {$-f_b$}; | |
| \draw[dashed,opacity=.5,path fading=north] (\s-0.8,0) -- ++(0,2); | |
| \draw[dashed,opacity=.5,path fading=north] (-\s+0.8,0) -- ++(0,2); | |
| \draw (current bounding box.east) node[right] {ακουστικό σήμα}; | |
| \end{tikzpicture} | |
| Αρχικά, διαμορφώνουμε το σήμα κατά τα γνωστά, με | |
| \hyperref[dsb-sc]{DSB-SC}:\\*% | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \draw (-7,0) -- (7,0); | |
| \draw[->] (0,-1.5) -- (0,2.5) node[right] {DSB-SC}; | |
| \def\s{3.5} | |
| \def\four{(-0.6,0) (-0.4,0.2) (0,1) (0.4,0.2) (0.6,0)} | |
| \begin{scope} | |
| \clip (-6,0) rectangle (6,2); % clip below 0 | |
| \draw[xshift=-\s cm,draw=brown!70!orange,very thick] plot[smooth] | |
| coordinates \four | |
| ; | |
| \draw[xshift=-\s cm-1.6 cm,draw=brown!70!orange,very thick] plot[smooth] | |
| coordinates \four | |
| ; | |
| \draw[xshift=\s cm,draw=brown!70!orange,very thick] plot[smooth] | |
| coordinates \four | |
| ; | |
| \draw[xshift=\s cm+1.6 cm,draw=brown!70!orange,very thick] plot[smooth] | |
| coordinates \four | |
| ; | |
| \end{scope} | |
| \draw (\s+0.8,0) node[below] {$f_c$}; | |
| \draw (-\s-0.8,0) node[below] {$-f_c$}; | |
| \end{tikzpicture} | |
| και χρησιμοποιούμε ένα Band Pass φίλτρο για να πάρουμε μόνο το δεξί | |
| μέρος του διαμορφωμένου φάσματος. Το γεγονός ότι χρησιμοποιούμε | |
| το δεξί κομμάτι οφείλεται στην ονομασία | |
| \textbf{USB (Upper Side Band)} της διαδικασίας | |
| (δεν έχει σχέση με το USB του υπολογιστή!): | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \filldraw[fill=blue!40!cyan!80!black,fill opacity=.3] | |
| (5-0.6,0) -- ++(0.1,1.2) -- ++(1.2,0) -- ++(0.1,-1.2); | |
| \filldraw[fill=blue!40!cyan!80!black,fill opacity=.3,xscale=-1] | |
| (5-0.6,0) -- ++(0.1,1.2) -- ++(1.2,0) -- ++(0.1,-1.2); | |
| \draw (-7,0) -- (7,0); | |
| \draw[->] (0,-1.5) -- (0,2.5) node[right] {DSB-SC}; | |
| \def\s{3.5} | |
| \def\four{(-0.6,0) (-0.4,0.2) (0,1) (0.4,0.2) (0.6,0)} | |
| \begin{scope} | |
| \clip (-6,0) rectangle (6,2); % clip below 0 | |
| \draw[xshift=-\s cm,draw=brown!70!orange,very thick] plot[smooth] | |
| coordinates \four | |
| ; | |
| \draw[xshift=-\s cm-1.6 cm,draw=brown!70!orange,very thick] plot[smooth] | |
| coordinates \four | |
| ; | |
| \draw[xshift=\s cm,draw=brown!70!orange,very thick] plot[smooth] | |
| coordinates \four | |
| ; | |
| \draw[xshift=\s cm+1.6 cm,draw=brown!70!orange,very thick] plot[smooth] | |
| coordinates \four | |
| ; | |
| \end{scope} | |
| \draw (\s+0.8,0) node[below] {$f_c$}; | |
| \draw (-\s-0.8,0) node[below] {$-f_c$}; | |
| \begin{scope}[yshift=-5cm] | |
| \draw (-7,0) -- (7,0); | |
| \draw[->] (0,-1.5) -- (0,2.5); | |
| \begin{scope} | |
| \clip (-6,0) rectangle (6,2); % clip below 0 | |
| \draw[xshift=-\s cm-1.6 cm,draw=brown!70!orange,very thick] plot[smooth] | |
| coordinates \four | |
| ; | |
| \draw[xshift=\s cm+1.6 cm,draw=brown!70!orange,very thick] plot[smooth] | |
| coordinates \four | |
| ; | |
| \end{scope} | |
| \draw (\s+0.8,0) node[below] {$f_c$}; | |
| \draw (-\s-0.8,0) node[below] {$-f_c$}; | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| Έτσι πήραμε το τελικό διαμορφωμένο σήμα. Για την αποδιαμόρφωση, | |
| πολλαπλασιάζουμε ως γνωστόν με το φέρον \( \cos 2πf_c t \), και | |
| παίρνουμε γραφικά τις συνελίξεις: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \filldraw[fill=blue!40!cyan!80!black,fill opacity=.15] | |
| (-1.6,0) -- ++(0.1,1.2) -- ++(3,0) -- ++(0.1,-1.2); | |
| \draw (-7,0) -- (7,0); | |
| \draw[->] (0,-1) -- (0,2.5); | |
| \def\s{2.5} | |
| \def\four{(-0.6,0) (-0.4,0.2) (0,1) (0.4,0.2) (0.6,0)} | |
| \begin{scope} | |
| \clip (-6,0) rectangle (6,2); % clip below 0 | |
| \draw[xshift=-0.8 cm,draw=brown!70!orange,very thick] plot[smooth] | |
| coordinates \four | |
| ; | |
| \draw[xshift=0.8 cm,draw=brown!70!orange,very thick] plot[smooth] | |
| coordinates \four | |
| ; | |
| \draw[xshift=-2*\s cm,draw=brown!50!orange!80!cyan,very thick] plot[smooth] | |
| coordinates \four | |
| ; | |
| \draw[xshift=2*\s cm,draw=brown!50!orange!80!cyan,very thick] plot[smooth] | |
| coordinates \four | |
| ; | |
| \end{scope} | |
| \draw[ultra thick,->] (\s+0.4,0) node[below] {$f_c$} node[circle,fill,inner sep=2pt] {} -- ++(0,1.5); | |
| \draw[ultra thick,->] (-\s-0.4,0) node[below] {$-f_c$} node[circle,fill,inner sep=2pt] {} -- ++(0,1.5); | |
| \end{tikzpicture} | |
| που με ένα απλό Low Pass Filter μάς δίνουν το αρχικό ακουστικό σήμα. | |
| \vbox{ | |
| Αν και παραστήσαμε αυτές τις αλλαγές στο πεδίο της συχνότητας, τώρα | |
| πρέπει να τις υλοποιήσουμε. Η δυσκολία της υλοποίησης έγκειται στο | |
| ότι το φίλτρο που αποκόπτει το επάνω μέρος πρέπει να έχει πολύ | |
| μικρή ζώνη μετάβασης. Αν μελετήσουμε την τυπική απόκριση συχνότητας | |
| ενός band pass filter: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1.9] | |
| \draw[->] (0,-0.5) -- (0,2); | |
| \draw[->] (-0.5,0) -- (6,0); | |
| \def\four{(-0.6,0) (-0.4,0.2) (0,1) (0.4,0.2) (0.6,0)} | |
| \begin{scope} | |
| \clip (0,0) rectangle (6,2); % clip below 0 | |
| \draw[xshift=2 cm,draw=brown!70!orange,very thick] plot[smooth] | |
| coordinates \four; | |
| \draw[xshift=4 cm,draw=brown!70!orange,very thick] plot[smooth] | |
| coordinates \four; | |
| \end{scope} | |
| \draw[dashed] (2+0.6,-0.1) node[below,xshift=-3mm,scale=.9] {$f_c-f_a$} -- ++(0,3); | |
| \draw[dashed,opacity=.5] (3,-0.1) -- ++(0,0.3); | |
| \draw (3,-0.1) node[below] {$f_c$}; | |
| \draw[dashed] (4-0.6,-0.1) node[below,xshift=3mm,scale=.9] {$f_c+f_a$} -- ++(0,3); | |
| \draw[very thick,blue!50!cyan] | |
| (1,0) -- plot[smooth,tension=0.5] | |
| coordinates {(2+0.6,0) (2+0.6+0.3,0.2) (4-0.6,1.2) (4,1.34) (4+0.6,1.2) ({-0.3+4+0.6+(4-0.6)-(2+0.6))},0.2) ({4+0.6+(4-0.6)-(2+0.6))},0)} | |
| -- (5.9,0) | |
| (4,1.3) node[above,scale=.9] {BPF}; | |
| ; | |
| \draw[<->] (2+0.6,2) -- (4-0.6,2) node[above,midway,scale=.9] {600 Hz}; | |
| \draw (3,2.5) node[above,scale=.77,green!40!black,align=center] {ζώνη\\μετάβασης}; | |
| \end{tikzpicture} | |
| } | |
| Βλέπουμε ότι η ζώνη μετάβασης είναι αρκετά στενή, και η υλοποίηση | |
| ενός τέτοιου φίλτρου γίνεται όλο και δυσκολότερη όσο αυξάνεται | |
| η συχνότητα \( f_c \). Να σημειωθεί ότι το πλάτος της ζώνης μετάβασης | |
| χαρακτηρίζεται από τη σχέση \( \frac{2f_a}{f_c} \), η οποία | |
| έχει τιμή 5\% για απλά αναλογικά κυκλωματικά φίλτρα. | |
| Για παράδειγμα, αν ο ήχος μας ξεκινάει από 300 Hz και θέλουμε να | |
| μεταδώσουμε σε μια συχνότητα 1 Mhz, τότε η ζώνη μετάβασης έχει | |
| πλάτος \( \frac{2\cdot 300}{10^6} | |
| = 6\cdot10^{-4} = 0.06\% \), που είναι κάτι πολύ μικρό για τις δυνατότητες των φίλτρων. | |
| \subsubsection{Μία τεχνική αποκοπής συχνότητας} | |
| Για να λύσουμε το παραπάνω πρόβλημα, σκεφτόμαστε αν μπορούμε να | |
| μετακινήσουμε ελαφρά το σήμα μας στη συχνότητα, ουσιαστικά | |
| αυξάνοντας τη συχνότητα \( f_a \). Πράγματι, αυτό μπορεί να γίνει | |
| εφαρμόζοντας την προηγούμενη διαδικασία (διαμόρφωση DSB-SC + BPF), | |
| αλλά αυξάνοντας τη | |
| συχνότητα μόνο κατά κάποια μικρή τιμή, π.χ. 10 kHz, και όχι αμέσως | |
| 1 Mhz: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=.7] | |
| \def\bw{0.6} | |
| \def\A{1} | |
| \def\fa{3+\bw} | |
| \def\fb{5.8} | |
| \def\tz{0.2} | |
| \draw[dashed,brown] (3+\bw,0) -- ++(0,3); | |
| \draw[dashed,brown] (4.6-\bw,0) -- ++(0,3); | |
| \draw[brown,<->] (3+\bw,2.5) -- (4.6-\bw,2.5) | |
| node[right,brown!60!black,scale=.7] {600 Hz}; | |
| \filldraw[fill=blue!40!cyan!80!black,fill opacity=.15] plot[smooth,tension=0.1] coordinates { | |
| (\fa,0) (\fa+\tz,1.2) (\fb-\tz,1.2) (\fb,0) | |
| }; | |
| \draw ({(\fa+\fb)/2},1.2) node[above,scale=.9,yshift=1mm] {BPF1}; | |
| \draw[->] (-6,0) -- (6,0) node[below] {$f$}; | |
| \draw (0,-1) -- (0,3); | |
| \def\spectrum{plot[smooth,tension=1] coordinates {(-\bw,0) (0,\A) (+\bw,0)}} | |
| \draw[very thick,blue!50!cyan,xshift=-4.6cm] \spectrum; | |
| \draw[very thick,blue!50!cyan,xshift=-3cm] \spectrum; | |
| \draw[very thick,blue!50!cyan,xshift=3cm] \spectrum; | |
| \draw[very thick,blue!50!cyan,xshift=4.6cm] \spectrum; | |
| \draw (3.8,0) node[below,scale=.9] {10 kHz} ++ (45+90:0.1) -- ++(-45:0.2); | |
| \draw[very thick, brown!50!gray!20!black,>->] (6.5,0.5) -- ++(1,0); | |
| \begin{scope}[xshift=12cm] | |
| \draw[->] (-4,0) -- (4,0) node[below] {$f$}; | |
| \draw (0,-1) -- (0,3) node[right] {(1)}; | |
| \draw[very thick,blue!50!cyan,xshift=-3cm] \spectrum; | |
| \draw[very thick,blue!50!cyan,xshift=3cm] \spectrum; | |
| \draw (-2.25,0) node[below,scale=.8] {-10 kHz} ++ (90+45:0.1) -- ++(-45:0.2); | |
| \draw (2.25,0) node[below,scale=.8] {10 kHz} ++ (45+90:0.1) -- ++(-45:0.2); | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| Πράγματι, το νέο αυτό φίλτρο έχει ζώνη μετάβασης \( | |
| \frac{2\cdot300}{10k} = 6\% \) που είναι όντως υλοποιήσιμο! | |
| Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία, διαμορφώνοντας και | |
| μετακινώντας το σήμα μας αυτήν τη | |
| φορά από τα 10 kHz μέχρι τα 100 kHz: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=.7] | |
| \def\bw{0.55} | |
| \def\A{1} | |
| \def\fa{3+\bw} | |
| \def\fb{5.8} | |
| \def\tz{0.2} | |
| \draw[dashed,brown] (3+\bw,0) -- ++(0,3); | |
| \draw[dashed,brown] (4.6-\bw,0) -- ++(0,3); | |
| \draw[brown,<->] (3+\bw,2.5) -- (4.6-\bw,2.5) | |
| node[right,brown!60!black,scale=.7] {$2\cdot10300$ Hz}; | |
| \filldraw[fill=blue!60!cyan!80!black,fill opacity=.15] plot[smooth,tension=0.1] coordinates { | |
| (\fa,0) (\fa+\tz,1.2) (\fb-\tz,1.2) (\fb,0) | |
| }; | |
| \draw ({(\fa+\fb)/2},1.2) node[above,scale=.9,yshift=1mm] {BPF2}; | |
| \draw[->] (-6,0) -- (6,0) node[below] {$f$}; | |
| \draw (0,-1) -- (0,3); | |
| \def\spectrum{plot[smooth,tension=1] coordinates {(-\bw,0) (0,\A) (+\bw,0)}} | |
| \draw[very thick,blue!70!cyan,xshift=-4.6cm] \spectrum; | |
| \draw[very thick,blue!70!cyan,xshift=-3cm] \spectrum; | |
| \draw[very thick,blue!70!cyan,xshift=3cm] \spectrum; | |
| \draw[very thick,blue!70!cyan,xshift=4.6cm] \spectrum; | |
| \draw (3.8,0) node[below,scale=.9] {100 kHz} ++ (45+90:0.1) -- ++(-45:0.2); | |
| \draw[very thick, brown!50!gray!20!black,>->] (6.5,0.5) -- ++(1,0); | |
| \begin{scope}[xshift=12cm] | |
| \draw[->] (-4,0) -- (4,0) node[below] {$f$}; | |
| \draw (0,-1) -- (0,3) node[right] {(2)}; | |
| \draw[very thick,blue!70!cyan,xshift=-3cm] \spectrum; | |
| \draw[very thick,blue!70!cyan,xshift=3cm] \spectrum; | |
| \draw (2.3,0) node[below,scale=.8] {100 kHz} ++ (45+90:0.1) -- ++(-45:0.2); | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| Με ζώνη μετάβασης \( \frac{2\cdot 10600}{100\cdot 10^3} | |
| = 21.2 \% \), που είναι απόλυτα υλοποιήσιμη. | |
| Και ξανά για 100 kHz σε 1 Mhz: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=.7] | |
| \def\bw{0.55} | |
| \def\A{1} | |
| \def\fa{3+\bw} | |
| \def\fb{5.8} | |
| \def\tz{0.2} | |
| \draw[dashed,brown] (3+\bw,0) -- ++(0,3); | |
| \draw[dashed,brown] (4.6-\bw,0) -- ++(0,3); | |
| \draw[brown,<->] (3+\bw,2.5) -- (4.6-\bw,2.5) | |
| node[right,brown!60!black,scale=.7] {$2\cdot110300$ Hz}; | |
| \filldraw[fill=blue!80!cyan!80!black,fill opacity=.15] plot[smooth,tension=0.1] coordinates { | |
| (\fa,0) (\fa+\tz,1.2) (\fb-\tz,1.2) (\fb,0) | |
| }; | |
| \draw ({(\fa+\fb)/2},1.2) node[above,scale=.9,yshift=1mm] {BPF3}; | |
| \draw[->] (-6,0) -- (6,0) node[below] {$f$}; | |
| \draw (0,-1) -- (0,3); | |
| \def\spectrum{plot[smooth,tension=1] coordinates {(-\bw,0) (0,\A) (+\bw,0)}} | |
| \draw[very thick,blue!90!cyan,xshift=-4.6cm] \spectrum; | |
| \draw[very thick,blue!90!cyan,xshift=-3cm] \spectrum; | |
| \draw[very thick,blue!90!cyan,xshift=3cm] \spectrum; | |
| \draw[very thick,blue!90!cyan,xshift=4.6cm] \spectrum; | |
| \draw (3.8,0) node[below,scale=.9] {1000 kHz} ++ (45+90:0.1) -- ++(-45:0.2); | |
| \draw[very thick, brown!50!gray!20!black,>->] (6.5,0.5) -- ++(1,0); | |
| \begin{scope}[xshift=12cm] | |
| \draw[->] (-4,0) -- (4,0) node[below] {$f$}; | |
| \draw (0,-1) -- (0,3) node[right] {(3)}; | |
| \draw[very thick,blue!90!cyan,xshift=-3cm] \spectrum; | |
| \draw[very thick,blue!90!cyan,xshift=3cm] \spectrum; | |
| \draw (-2.25,0) node[below,scale=.8] {-1 MHz} ++ (90+45:0.1) -- ++(-45:0.2); | |
| \draw (2.25,0) node[below,scale=.8] {1 MHz} ++ (45+90:0.1) -- ++(-45:0.2); | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| Με ζώνη μετάβασης \( \frac{2\cdot 110600}{10^6} | |
| = 22.12\%\), που είναι και αυτό υλοποιήσιμο φίλτρο, και έχουμε φτάσει | |
| στο ζητούμενο, διαμορφωμένο κατά USB, σήμα. | |
| Συνοπτικά, το κύκλωμα αποτελείται από μια σειρά | |
| πολλαπλαστικών διαμορφωτών και φίλτρων: | |
| \begin{circuitikz} | |
| \draw (1,0) node[rectangle,draw,minimum width=8mm,minimum height=8mm] (mult1) {} | |
| node[scale=1.5] {$\times$}; | |
| \draw (3,0) node[rectangle,draw,minimum width=15mm,minimum height=10mm] (bpf1) {} | |
| node[scale=1] {BPF\textsubscript{1}}; | |
| \draw (6.5,0) node[rectangle,draw,minimum width=8mm,minimum height=8mm] (mult2) {} | |
| node[scale=1.5] {$\times$}; | |
| \draw (8.5,0) node[rectangle,draw,minimum width=15mm,minimum height=10mm] (bpf2) {} | |
| node[scale=1] {BPF\textsubscript{2}}; | |
| \draw (12,0) node[rectangle,draw,minimum width=8mm,minimum height=8mm] (mult3) {} | |
| node[scale=1.5] {$\times$}; | |
| \draw (14,0) node[rectangle,draw,minimum width=15mm,minimum height=10mm] (bpf3) {} | |
| node[scale=1] {BPF\textsubscript{3}}; | |
| \draw (mult1) ++(0,-2) node[xshift=4.9mm,oscillator] (osc1) {} node[right,xshift=4.9mm] {10 kHz}; | |
| \draw (mult2) ++(0,-2) node[xshift=4.9mm,oscillator] (osc2) {} node[right,xshift=4.9mm] {100 kHz}; | |
| \draw (mult3) ++(0,-2) node[xshift=4.9mm,oscillator] (osc3) {} node[right,xshift=4.9mm] {1 MHz}; | |
| \draw[<-] (mult1) -- ++(-2,0) node[above,midway] {$m(t)$}; | |
| \draw[->] (osc1.north) -- (mult1); | |
| \draw[->] (osc2.north) -- (mult2); | |
| \draw[->] (osc3.north) -- (mult3); | |
| \draw[->] (mult1) -- (bpf1); | |
| \draw[->] (bpf1.east) node[above right] {(1)} -- (mult2); | |
| \draw[->] (mult2) -- (bpf2); | |
| \draw[->] (bpf2.east) node[above right] {(2)} -- (mult3); | |
| \draw[->] (mult3) -- (bpf3); | |
| \draw[->] (bpf3.east) -- ++ (1,0); | |
| \end{circuitikz} | |
| Και, αν θέλουμε, μειώνουμε τη συχνότητα του τελευταίου ταλαντωτή | |
| ώστε το σήμα να πέσει ακριβώς επάνω στην \( f_c \) του φέροντος. | |
| \subsubsection{Μελέτη στο πεδίο του χρόνου} | |
| Ας μελετήσουμε και τις χρονικές εξισώσεις του LSB. | |
| Για ευκολία, θεωρούμε ότι το σήμα μας είναι ένα ημίτονο: | |
| \[ | |
| m(t) = A_m \cos 2π f_m(t) % ωχ! ένα συνημίτονο αντί για ημίτονο! | |
| \] | |
| και έχουμε και το φέρον: | |
| \[ | |
| A_c\cos 2πf_c t | |
| \] | |
| με \( f_c\gg f_m \). | |
| Από τη διαμόρφωση \hyperref[dsb-sc]{DSB-SC} θυμόμαστε ότι η έξοδος του διαμορφωτή είναι | |
| το σήμα πολλαπλασιασμένο με το φέρον: | |
| \[ | |
| s_{\mathrm{DSB-SC}} = \frac{1}{2} | |
| A_cA_m\cos\left[ 2π(f_c+f_m)t \right] + \frac{1}{2}A_cA_m\cos[2π(f_c-f_m)t] | |
| \] | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \draw (-6,0) -- (6,0); | |
| \draw (0,-1) -- (0,3); | |
| \def\a{1.4} | |
| \def\fa{-4} | |
| \def\fb{4} | |
| \def\tz{0.2} | |
| \filldraw[fill=blue!80!cyan!80!black,fill opacity=.12] | |
| (\fa,0) -- (\fa+\tz,1.8) -- (\fb-\tz,1.8) node[above left,opacity=1] {LSB} -- (\fb,0); | |
| \def\fa{4} | |
| \def\fb{\fa+2} | |
| \filldraw[fill=brown!80!orange!80!black,fill opacity=.25,path fading=east] | |
| (\fa,0) -- (\fa+\tz,1.8) -- ++(2,0) -- ++(0,-1.8); | |
| \draw (\fa+\tz,1.8) node[above right,opacity=1] {USB}; | |
| \filldraw[fill=brown!80!orange!80!black,fill opacity=.25,xscale=-1,path fading=west] | |
| (\fa,0) -- (\fa+\tz,1.8) -- ++(2,0) -- ++(0,-1.8); | |
| \draw[->,ultra thick,blue!80!brown] (-5,0) node[below] {$-f_c-f_m$} -- ++(0,\a); | |
| \draw[->,ultra thick,blue!80!brown] (-3,0) node[below] {$-f_c+f_m$} -- ++(0,\a); | |
| \draw[->,ultra thick,blue!80!brown] (3,0) node[below] {$-f_c-f_m$} -- ++(0,\a); | |
| \draw[->,ultra thick,blue!80!brown] (5,0) node[below] {$-f_c+f_m$} -- ++(0,\a); | |
| \draw[dashed] (-6,\a) -- (6,\a) node[midway,below right,scale=.8] {$\sfrac{1}{2}A_cA_m$}; | |
| \end{tikzpicture} | |
| και για να εφαρμόσουμε USB παίρνουμε ένα υψιπερατό/ζωνοπερατό φίλτρο, | |
| όπως φαίνεται στο διάγραμμα: | |
| \begin{align*} | |
| s_{\mathrm{USSB}}(t) &= \frac{1}{2} A_cA_m\cos[2π(f_c+f_m)t] | |
| \\ &= \frac{1}{2}A_cA_m\cos 2πf_ct\cos 2πf_mt - \frac{1}{2}A_cA_m\sin2πf_ct \sin 2πf_m t | |
| \end{align*} | |
| και αντίστοιχα για LSB, παίρνουμε ένα χαμηλοπερατό φίλτρο για την κάτω πλευρική ζώνη: | |
| \[ | |
| s_{\mathrm{LSSB}} = | |
| \frac{1}{2}A_cA_m\cos 2πf_ct\cos 2πf_mt + \frac{1}{2}A_cA_m\sin2πf_ct \sin 2πf_m t | |
| \] | |
| Επομένως, μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν διαμορφωτή, ο οποίος αφαιρεί ουσιαστικά την | |
| κάτω πλευρική ζώνη, με βάση τους παραπάνω τύπους: | |
| \begin{circuitikz}[scale=1] | |
| \draw (0,-0.75) node[draw,rectangle] (ps1) {$-90\degree$}; | |
| \draw (0,2) node[draw,rectangle,scale=2,outer sep=0] (m1) {$\times$}; | |
| \draw (0,-2) node[draw,rectangle,scale=2, outer sep=0] (m2) {$\times$}; | |
| \draw (2,0) node[oscillator,xshift=4.9mm] (osc) {}; | |
| \draw (4,0) node[draw,circle,scale=1.2,thick] (sum) {$\sum$}; | |
| \draw[->] (osc.west) -| (m1); | |
| \draw[->] (osc.west) -| (ps1) -- (m2); | |
| \draw[->] (m1) -| node[above right] {(1)} (sum); | |
| \draw[->] (m2) -| node[below right] {(2)} (sum.south) node[yshift=-2mm,right] {$\pm$}; | |
| \draw[->] (sum) -- ++(1.5,0) node[right] | |
| {$s_{\mathrm{USSB}}(t)\Big/s_{\mathrm{LSSB}}(t)$}; | |
| \draw[<-] (m1) -- ++(-5,0) node[above,midway] {$m(t)=A\cos2πf_m(t)$} node[pos=.5] (p) {}; | |
| \draw (p |- 0,-2) node[draw,rectangle] (ps2) {$-90\degree$}; | |
| \draw[->] (p.center) node[circ] {} -- (ps2) |- (m2); | |
| \path (ps1.south) -- (m2.north) node[midway,right,scale=.8] {$\sfrac{1}{2}A_c\sin2πf_ct$}; | |
| \end{circuitikz} | |
| Αυτός ο υπολογισμός πραγματοποιήθηκε για έναν απλό τόνο. Ας τον εφαρμόσουμε ξανά για μια | |
| περιοδική κυματομορφή (δηλαδή ένα άθροισμα ημιτόνων): | |
| \[ | |
| m(t) = A_m\sum_{n} a_n \cos(2πfnt) | |
| \] | |
| και τότε θα προκύψει π.χ. | |
| \[ | |
| s_{\mathrm{USSB}}(t) | |
| = \frac{1}{2} A_cA_m \cos 2π f_c t \sum_n a_n\cos(2πfnt) | |
| -\frac{1}{2}A_cA_m \sin 2πf_ct\sum_n a_n\sin(2πfnt) | |
| \] | |
| και το κύκλωμα διαμόρφωσης θα λειτουργεί ακριβώς με τον ίδιο τρόπο. Ακόμα και η περιστροφή | |
| φάσης κατά \( 90\degree \), είναι ουσιαστικά ένα κύκλωμα καθυστέρησης στο χρόνο, που | |
| ονομάζεται \textit{μετατροπέας φάσης (phase shifter)}. | |
| Στη γενική περίπτωση, ορίζουμε ως \textbf{μετασχηματισμό Hilbert} τη στροφή της φάσης του | |
| σήματός μας κατά \( 90\degree \), που μπορεί να πραγματοποιηθεί ακόμα και για μη περιοδικά | |
| σήματα. | |
| \begin{circuitikz}[scale=0.7,every node/.style={scale=.7}] | |
| \draw (0,-0.75) node[draw,rectangle] (ps1) {$-90\degree$}; | |
| \draw (0,2) node[draw,rectangle,scale=2,outer sep=0] (m1) {$\times$}; | |
| \draw (0,-2) node[draw,rectangle,scale=2, outer sep=0] (m2) {$\times$}; | |
| \draw (2,0) node[oscillator,xshift=4.9mm] (osc) {}; | |
| \draw (4,0) node[draw,circle,scale=1.2,thick] (sum) {$\sum$}; | |
| \draw[->] (osc.west) -| (m1); | |
| \draw[->] (osc.west) -| (ps1) -- (m2); | |
| \draw[->] (m1) -| (sum); | |
| \draw[->] (m2) -| (sum.south) node[yshift=-2mm,right] {$\pm$}; | |
| \draw[->] (sum) -- ++(1.5,0) node[right] | |
| {$s_{\mathrm{USSB}}(t)\Big/s_{\mathrm{LSSB}}(t)$}; | |
| \draw[<-] (m1) -- ++(-5,0) node[above,midway] {$m(t)=A\cos2πf_m(t)$} node[pos=.5] (p) {}; | |
| \draw (p |- 0,-2) node[draw,rectangle] (ps2) {$-90\degree$}; | |
| \draw[->] (p.center) node[circ] {} -- (ps2) -- (m2); | |
| \draw (ps2.north) node[above,fill=white,draw=white!90!black,scale=1.4,fill opacity=.8,text opacity=1,outer sep=2pt] {Hilbert}; | |
| \path (ps1.south) -- (m2.north) node[midway,right,scale=.8] {$\sfrac{1}{2}A_c\sin2πf_ct$}; | |
| \end{circuitikz} | |
| \subsubsection{Μετασχηματισμός Hilbert} | |
| \begin{defn}{Μετασχηματισμός Hilbert}{} | |
| Ο \textbf{μετασχηματισμός Hilbert} είναι ένα \textbf{φίλτρο} με συνάρτηση μεταφοράς: | |
| \[ | |
| \mathlarger{H(f) = -j \sgn f} | |
| \] | |
| \end{defn} | |
| Θυμόμαστε τη συνάρτηση \( \sgn \): \begin{tikzpicture}[scale=.5,baseline] | |
| \draw (-2,0) -- (2,0); | |
| \draw (0,-2) -- (0,2); | |
| \draw[red!60!orange!90!blue,ultra thick] (-2,-1) -- (0,-1) (0,1) -- (2,1) node[above] {$\sgn(f)$}; | |
| \filldraw[red!50!black,fill=white] (0,-1) circle (3pt) (0,1) circle(3pt); | |
| %\filldraw[] (0,0) circle (2pt); | |
| \end{tikzpicture} | |
| Ο Μ/Σ Hilbert έχει κρουστική απόκριση: | |
| \[ | |
| h(t) = \frac{1}{πt} | |
| \] | |
| Ο μετασχηματισμός βάζει ένα j και αλλάζει το πρόσημο της συνάρτησης. | |
| Πιο συγκεκριμένα, μεταβάλλει το σήμα κατά \( -90\degree \) στις θετικές συχνότητες, και | |
| \( 90\degree \) στις αρνητικές συχνότητες. | |
| Για παράδειγμα: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \draw[draw=blue!50!cyan,very thick] | |
| (-0.8,0)-- (0,1.4)-- (0.8,0); | |
| \draw (0,1.4) node[above right] {$M(0)$}; | |
| \draw[->] (-2,0) -- (2,0) node[below] {$f$}; | |
| \draw (0,-2.5) -- (0,2.5) node[right] {$M(f)$} node[left] {Re}; | |
| \draw[>->,very thick, black] | |
| (2.5,0) -- ++(1.5,0) node[above,midway] {Μ.H.}; | |
| \begin{scope}[xshift=7.5cm] | |
| \draw[shading=color wheel,opacity=.2] (1.2,0,0) -- (0,0,-3) -- (0,0,0); | |
| \draw[shading=color wheel,opacity=.2] (-1.2,0,0) -- (0,0,3) -- (0,0,0); | |
| \draw[draw=blue!50!cyan,very thick,fill=red,fill opacity=.1,postaction={pattern=north east lines,opacity=.2}] | |
| (-1.2,0,0) -- (0,0,3) -- (0,0,0); | |
| \draw[draw=blue!50!cyan,very thick,fill=red,fill opacity=.1,postaction={pattern=north east lines,opacity=.2}] | |
| (1.2,0,0) -- (0,0,-3) -- (0,0,0); | |
| \draw (-1.2,0) node[above] {$-w$}; | |
| \draw (1.2,0) node[below] {$w$}; | |
| \draw (0,0) node[above left] {$0$}; | |
| \draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[below] {$f$}; | |
| \draw[->] (0,-1.5) -- (0,2.5) node[right] {Re}; | |
| \draw[->] (0,0,0) -- (0,0,5) node[below right] {Im}; | |
| \draw[path fading=east] (0,0,0) -- (0,0,-5); | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| Ο μετασχηματισμός Hilbert είναι ένας Wide-Band Phase Shifter (WBPS). Και εδώ βρίσκεται το | |
| πρόβλημα. Ο μετασχηματισμός Hilbert είναι ένα ιδανικό φίλτρο που δεν μπορεί να εφαρμοστεί | |
| στην πραγματικότητα: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \draw[ultra thick,blue!70!green] (-3,0,2) -- (0,0,2); | |
| \draw[ultra thick,blue!70!green] (0,0,-2) -- (3,0,-2) node[pos=.5] (p1) {}; | |
| \fill[blue!70!green] (0,0,-2) circle(2pt) (0,0,2) circle(2pt); | |
| \def\act{red!80!yellow} | |
| \begin{scope} | |
| \clip (0,0,2) rectangle (0,0,-2); | |
| \draw[very thick,\act,mark position=0.38(p2)] plot[smooth,tension=1] coordinates | |
| {(-3,0,2) (0,0,1.8) (0,0,-1.8) (3,0,-2)}; | |
| \end{scope} | |
| \draw[very thick,\act] (3,0,-1.8) -- (0,0,-1.8); | |
| \draw[very thick,\act] (0,0,1.8) -- (-3,0,1.8); | |
| \draw[blue!70!green,<-] (p1.center) to[bend left] ++(0.5,1) node[right] {ιδανική απόκριση}; | |
| \draw[\act!80!black,<-] (p2) to[bend right] ++(0.5,-1) node[right] {πραγματική απόκριση}; | |
| \draw (0,0) node[above left] {$0$}; | |
| \draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[below] {$f$}; | |
| \draw[->] (0,-1.5) -- (0,2.5) node[right] {Re}; | |
| \draw[->] (0,0,0) -- (0,0,5) node[below right] {Im}; | |
| \draw[path fading=east] (0,0,0) -- (0,0,-5); | |
| \end{tikzpicture} | |
| Σε ακουστικά σήματα οι ατέλειες αυτές μπορούν να παραβλεφθούν, αλλά σε άλλα σήματα μπορεί να | |
| υπάρχει αισθητή παραμόρφωση. | |
| Επομένως, και οι δύο διαμορφωτές παρουσιάζουν προβλήματα, ο πρώτος στην υλοποίηση του | |
| φίλτρου, και ο δεύτερος στην υλοποίηση του phase shifter. | |
| \subsubsection{Επιστροφή στο πεδίο των συχνοτήτων} | |
| Θα αναλύσουμε το παραπάνω κύκλωμα στη συχνότητα: | |
| \begin{circuitikz}[scale=0.9,every node/.style={scale=.9}] | |
| \draw (0,-0.75) node[draw,rectangle] (ps1) {$-90\degree$}; | |
| \draw (0,2) node[draw,rectangle,scale=2,outer sep=0] (m1) {$\times$}; | |
| \draw (0,-2) node[draw,rectangle,scale=2, outer sep=0] (m2) {$\times$}; | |
| \draw (2,0) node[oscillator,xshift=4.9mm] (osc) {}; | |
| \draw (4,0) node[draw,circle,scale=1.2,thick] (sum) {$\sum$}; | |
| \draw[->] (osc.west) -| (m1); | |
| \draw[] (osc.west) -| (ps1); | |
| \draw[->,orange] (ps1) -- (m2); | |
| \draw[->,orange] (m1) -| node[above right] {(1)} (sum); | |
| \draw[->,magenta!70!cyan] (m2) -| node[below right] {(2)} (sum.south) node[yshift=-2mm,right] {$\pm$}; | |
| \draw[->,black!80!brown] (sum) -- ++(1.5,0) node[right] | |
| {$s_{\mathrm{USSB}}(t)\Big/s_{\mathrm{LSSB}}(t)$}; | |
| \draw[<-,draw=blue!70!cyan] (m1) -- ++(-5,0) node[above,midway] {$m(t)=A\cos2πf_m(t)$} node[pos=.5] (p) {}; | |
| \draw[blue!70!green] (p |- 0,-2) node[draw,rectangle] (ps2) {$-90\degree$}; | |
| \draw[blue!70!cyan] (p.center) node[circ] {} -- (ps2); | |
| \draw[->,orange!50!green] (ps2) -- (m2); | |
| \path (ps1.south) -- (m2.north) node[midway,right,scale=.8] {$\sfrac{1}{2}A_c\sin2πf_ct$}; | |
| \end{circuitikz} | |
| Θυμόμαστε το σήμα κατά SSB: | |
| \[ | |
| s_{\mathrm{USSB}}(t) = \frac{1}{2}A_c m(t) \cos 2πf_c t - \frac{1}{2}A_c \hat m(t) | |
| \sin 2πf_c t | |
| \] | |
| και βλέπουμε στο πεδίο των συχνοτήτων: | |
| \\* | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \draw[ultra thick,blue!70!cyan] (-1,0) -- (0,1.6) -- (1,0); | |
| \draw (-1.2,0) node[below] {$-w$}; | |
| \draw (1.2,0) node[below] {$w$}; | |
| \draw (0,0) node[above left] {$0$}; | |
| \draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[below] {$f$}; | |
| \draw[->] (0,-1.5) -- (0,2.5) node[right] {Re} node[below left,blue!70!cyan] {$M(f)$}; | |
| \begin{scope}[xshift=8cm] | |
| \draw[ultra thick,blue!70!green] (-3,0,2) -- (0,0,2); | |
| \draw[ultra thick,blue!70!green] (0,0,-2) -- (3,0,-2); | |
| \fill[blue!70!green] (0,0,-2) circle(2pt) (0,0,2) circle(2pt); | |
| \draw (0,0) node[above left] {$0$}; | |
| \draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[below] {$f$}; | |
| \draw[->] (0,-1.5) -- (0,2.5) node[right] {Re} node[below left,blue!70!green] {$H(f)$}; | |
| \draw[->] (0,0,0) -- (0,0,5) node[below right] {Im}; | |
| \draw[path fading=east] (0,0,0) -- (0,0,-5); | |
| \end{scope} | |
| \begin{scope}[yshift=-6cm] | |
| \draw[ultra thick,orange!50!green] (-1,0,0) -- (0,0,2); | |
| \draw[ultra thick,orange!50!green] (0,0,-2) -- (1,0,0); | |
| \fill[orange!50!green] (0,0,-2) circle(2pt) (0,0,2) circle(2pt); | |
| \draw (-1,0) node[above] {$-w$}; | |
| \draw (1,0) node[below] {$w$}; | |
| \draw (0,0) node[above left] {$0$}; | |
| \draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[below] {$f$}; | |
| \draw[->] (0,-1.5) -- (0,2.5) node[right] {Re} node[below left,orange!50!green] {$H(f)M(f)$}; | |
| \draw[->] (0,0,0) -- (0,0,5) node[below right] {Im}; | |
| \draw[path fading=east] (0,0,0) -- (0,0,-5); | |
| \begin{scope}[xshift=8cm] | |
| \draw[ultra thick,orange!50!red,->] (1.6,0,0) -- ++(0,0,-3); | |
| \draw[ultra thick,orange!50!red,->] (-1.6,0,0) -- ++(0,0,3); | |
| \fill[orange!50!red] (1.6,0,0) circle(2pt) (-1.6,0,0) circle(2pt); | |
| \draw (-1.6,0) node[above] {$-f_c$}; | |
| \draw (1.6,0) node[below] {$f_c$}; | |
| \draw (0,0) node[above left] {$0$}; | |
| \draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[below] {$f$}; | |
| \draw[->] (0,-1.5) -- (0,2.5) node[right] {Re} node[below left,orange!50!red] | |
| {$\mathrm{MF}\left[\sin(2πf_ct)\right]$}; | |
| \draw[->] (0,0,0) -- (0,0,5) node[below right] {Im}; | |
| \draw[path fading=east] (0,0,0) -- (0,0,-5); | |
| \end{scope} | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| Μετά από τη συνέλιξη του \( H(f)M(f) \) με το μετασχηματισμό του \( \sin(2πf_ct) \), | |
| πολλαπλασιάζονται τα φανταστικά μέρη, \( j\cdot j = -1 \), επομένως | |
| τα σήματα που πηγαίνουν στον αθροιστή επιστρέφουν στο πραγματικό επίπεδο και μοιάζουν | |
| κάπως έτσι: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=0.8] | |
| \draw[ultra thick,magenta!70!cyan,xshift=-3cm] (-1,0) -- (0,1.6) -- (0,-1.6) -- (1,0); | |
| \draw[ultra thick,magenta!70!cyan,xshift=+3cm] (-1,0) -- (0,1.6) -- (0,-1.6) -- (1,0) node[midway,below right] {(1)}; | |
| \draw[ultra thick,orange,xshift=-3cm,scale=1.09] (-1,0) -- (0,1.6) -- (1,0); | |
| \draw[ultra thick,orange,xshift=3cm,scale=1.09] (-1,0) -- (0,1.6) -- (1,0) node[midway,above right] {(2)}; | |
| \draw (-3,0) node[below] {$-f_c$}; | |
| \draw ( 3,0) node[below] {$f_c$}; | |
| \draw[->] (-6,0) -- (6,0) node[below] {$f$}; | |
| \draw[->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[right] {Re} node[below left] | |
| {$\mathrm{MF}\left(m(t)\sin(2πf_ct)\right)$}; | |
| \end{tikzpicture} | |
| Και τελικά, καθώς προστίθενται, ουσιαστικά αφαιρείται η κάτω πλευρική ζώνη, και παραμένει | |
| μόνο η επάνω πλευρική ζώνη: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=0.8] | |
| \draw[ultra thick,black!80!brown,xshift=-3cm] (-1,0) -- (-0.5,1.6) -- (0,0); | |
| \draw[ultra thick,black!80!brown,xshift=+3cm] (1,0) -- (0.5,1.6) -- (0,0); | |
| \draw (-3,0) node[below] {$-f_c$}; | |
| \draw ( 3,0) node[below] {$f_c$}; | |
| \draw[->] (-6,0) -- (6,0) node[below] {$f$}; | |
| \draw[->] (0,-1.5) -- (0,2.5) node[right] {Re} node[below left] | |
| {$S_{\mathrm{USSB}}(f)$}; | |
| \end{tikzpicture} | |
| \subsubsection{Αποδιαμόρφωση} | |
| Το διάγραμμα του αποδιαμορφωτή είναι το εξής: | |
| \begin{circuitikz}[scale=1.6] | |
| \draw (0,0) node[xshift=4.9mm,oscillator] (osc) {} | |
| node[above right,xshift=5mm] {$A_c' \cos(2πf_c t + φ)$}; | |
| \draw (0,1) node[rectangle,draw,minimum width=15mm,minimum height=10mm] (mult) {} | |
| node[scale=1.5] {$\times$}; | |
| \draw (2,1) node[rectangle,draw,minimum width=15mm,minimum height=10mm] (lpf) {} | |
| node[] {LPF}; | |
| \draw[<-] (mult.west) node[above left] {$s(t)$} -- ++(-2,0) node[above right] {SSB}; | |
| \draw[->] (mult.east) -- (lpf.west) node[above,midway,orange!20!black] {$v(t)$}; | |
| \draw[->] (lpf.east) -- ++(0.5,0) node[right] {$u_o(t)$}; | |
| \draw[->] (osc.north) -- (mult.south); | |
| \end{circuitikz} | |
| Κάνουμε τις πράξεις: | |
| \begin{align*} | |
| \left. s(t)\cdot A_c' \cos(2πf_ct+φ) \right|_{\mathrm{LPF}} | |
| &= \frac{A_cA_c'}{4}m(t)\sin φ\cos φ | |
| \mp \frac{A_cA_c'}{4}\hat m(t) \sin φ | |
| \end{align*} | |
| Αν πετύχουμε ακριβώς τη φέρουσα συχνότητα, δηλαδή αν βρούμε τη φάση του φέροντος και | |
| \( φ = 0 \) (που απαιτεί κύκλωμα συγχρονισμού - άρα έχουμε \textbf{ομόδυνο ή σύγχρονο} | |
| αποδιαμορφωτή, που είναι δυσκολότερος και πιο παλιά ακριβότερος), τότε: | |
| \[ | |
| u_o(t) = \frac{A_cA_c'}{4}m(t) | |
| \] | |
| Σε διαφορετική περίπτωση όμως, προστίθεται ο όρος \( \frac{A_cA_c'}{4}\hat m(t) \sin φ \), | |
| ο οποίος είναι μια παραμόρφωση που είναι ουσιαστικά το σήμα μετασχηματισμένο κατά | |
| Hilbert. Αυτός ο όρος εισάγει μια διαφορά φάσης, η οποία παραμορφώνει ιδιαίτερα τη | |
| φωνή, προκαλώντας το \textbf{φαινόμενο Donald Duck}. | |
| Αυτό απέτρεψε τη χρησιμοποίηση αυτού του είδους διαμόρφωσης στην κλασική ραδιοφωνία, παρά | |
| μόνον συνήθως για εσωτερική χρήση στη βιομηχανία, όταν απαιτείται εξοικονόμηση φάσματος. | |
| \subsection{VSB} | |
| Η παραπάνω ανάλυση έχει νόημα όταν μιλάμε για ακουστικά σήματα, τα οποία δεν ξεκινάνε από | |
| τα 0 Hz, αλλά π.χ από τα 300 Hz, επιτρέποντας την ευκολότερη υλοποίηση του φίλτρου ή του | |
| μεταφορέα φάσης. Σε υπόλοιπα (π.χ. τηλεοπτικά) σήματα όμως δεν ισχύει αυτό: | |
| \begin{center} | |
| \begin{tikzpicture} | |
| \draw (-2,0) -- (2,0); | |
| \draw (0,-1) -- (0,2); | |
| \draw[dashed] plot[smooth,tension=1] | |
| coordinates {(-1.8,0) (0,1.7) (1.8,0)}; | |
| \draw[xshift=1cm,blue!50!cyan,ultra thick] plot [smooth] | |
| coordinates {(-0.5,0) (-0.4,0.1) (0,0.6) (0.4,0.1) (0.5,0)}; | |
| \draw[xshift=-1cm,blue!50!cyan,ultra thick] plot [smooth] | |
| coordinates {(-0.5,0) (-0.4,0.1) (0,0.6) (0.4,0.1) (0.5,0)}; | |
| \draw[green!50!yellow!50!black,<->,yshift=2mm] (-1+0.5,0) -- (+1-0.5,0) node[above,midway,scale=.7] {600 Hz}; | |
| \draw (0,-1) node[below] {ακουστικό σήμα}; | |
| \begin{scope}[xshift=5cm] | |
| \draw (-2,0) -- (2,0); | |
| \draw (0,-1) -- (0,2); | |
| \draw[red!50!yellow,ultra thick,scale=.8] plot[smooth,tension=1] | |
| coordinates {(-1.8,0) (0,1.7) (1.8,0)}; | |
| \draw (0,-1) node[below] {τηλεοπτικό σήμα}; | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| \end{center} | |
| Για αυτό το λόγο, σκεφτόμαστε ένα άλλο είδος διαμόρφωσης, στο οποίο δεν κόβουμε ολόκληρη την | |
| π.χ. κάτω πλευρική ζώνη της πληροφορίας, αλλά επιτρέπουμε να περάσει και ένα κομμάτι από | |
| αυτήν: | |
| \todo{Improvise a graph} | |
| Αυτή η διαμόρφωση ονομάζεται \textbf{VSB (Vestigial Side Band)} και έχει απόκριση της μορφής: | |
| \begin{tikzpicture} | |
| \draw (-6,0) -- (6,0); | |
| \draw (0,-1) -- (0,3) node[right] {$H(f)$}; | |
| \def\fa{2+\tz/2} | |
| \def\fb{5.8} | |
| \def\tz{1} | |
| \def\A{2} | |
| \filldraw[fill=blue!80!cyan!80!black,fill opacity=.15,path fading=east,thick] | |
| plot[smooth,tension=1] coordinates { | |
| (\fa-\tz,0) (\fa-\tz+\tz/4,\A/8) (\fa-\tz/2,\A/2) (\fa-\tz/4,7*\A/8) (\fa,\A) | |
| } | |
| -- | |
| plot[smooth,tension=1] coordinates { | |
| (\fb,\A) (\fb+\tz/4,7*\A/8) (\fb+\tz/2,\A/2) (\fb+3*\tz/4,\A/8) (\fb+\tz,0) | |
| } | |
| ; | |
| \draw[xshift=2cm,blue!70!black] (-1.5,0) -- (0,2) -- (1.5,0); | |
| \draw[dashed] (2,0) node[below,xshift=1mm] {$f_c$} -- ++(0,2); | |
| \draw[dashed,path fading=north] (\fa-\tz,0) -- ++(0,2); | |
| \draw (\fa-\tz,0) node[below,scale=.8,xshift=-2mm] {$f_c-f_v$}; | |
| \draw (2+1.5,0) node[below,scale=.8] {$f_c+w$}; | |
| \filldraw[top color=red,bottom color=blue,fill opacity=.25] (2,\A/2) circle (2.5pt); | |
| \begin{scope}[xscale=-1] | |
| \filldraw[fill=blue!80!cyan!80!black,fill opacity=.15,path fading=west] | |
| plot[smooth,tension=1] coordinates { | |
| (\fa-\tz,0) (\fa-\tz+\tz/4,\A/8) (\fa-\tz/2,\A/2) (\fa-\tz/4,7*\A/8) (\fa,\A) | |
| } | |
| -- | |
| plot[smooth,tension=1] coordinates { | |
| (\fb,\A) (\fb+\tz/4,7*\A/8) (\fb+\tz/2,\A/2) (\fb+3*\tz/4,\A/8) (\fb+\tz,0) | |
| } | |
| ; | |
| \draw[dashed] (2,0) node[below] {$-f_c$} -- ++(0,1) edge[path fading=north] ++(0,1); | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| Βέβαια παρατηρούμε ένα πρόβλημα, το οποίο θα προσπαθήσουμε να διορθώσουμε αργότερα. | |
| Συγκεκριμένα ότι το σήμα εξόδου μετά το φίλτρο δεν θα | |
| περιέχει μόνο την πάνω πλευρική ζώνη, αλλά και ένα μέρος της κάτω, οδηγώντας σε κάποια | |
| παραμόρφωση: | |
| \\* | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1.2] | |
| \draw (-1,0) -- (5,0); | |
| \draw (0,-0.5) -- (0,3); | |
| \def\fa{2+0.15} | |
| \def\fb{5.8} | |
| \def\tz{1} | |
| \def\A{2} | |
| \fill[red!70!blue,opacity=.2,postaction={pattern=north east lines},xshift=2cm] | |
| plot[smooth,tension=0.5] coordinates {(0.15-1,0) (0.15-1+2.2/4,3/8) (0,2) } -- ++(0,-2); | |
| \draw[very thick,xshift=2cm,blue!70!black] | |
| plot[smooth,tension=0.5] coordinates {(0.15-1,0) (0.15-1+2.2/4,3/8) (0,2) } -- (1.5,0); | |
| \draw[dashed] (2,0) node[below] {$f_c$} -- ++(0,2); | |
| \draw[dashed,path fading=north] (\fa-\tz,0) -- ++(0,2); | |
| \draw (\fa-\tz,0) node[below,scale=.8] {$f_c-f_v$}; | |
| \draw (2+1.5,0) node[below,scale=.8] {$f_c+w$}; | |
| \end{tikzpicture} | |
| Ο διαμορφωτής μοιάζει κάπως έτσι: | |
| \begin{circuitikz}[scale=1.6] | |
| \draw (0,-0.5) node[xshift=4.9mm,oscillator] (osc) {} | |
| node[above right,xshift=5mm] {$A_c' \cos(2πf_c t + φ)$}; | |
| \draw (0,1) node[rectangle,draw,minimum width=15mm,minimum height=10mm] (mult) {} | |
| node[scale=1.5] {$\times$}; | |
| \draw (2.5,1) node[rectangle,draw,minimum width=15mm,minimum height=10mm] (bpf) {} | |
| node[] {$H(f)$}; | |
| \draw[<-] (mult.west) -- ++(-1,0) node[midway,below] {$m(t)$}; | |
| \draw[->] (mult.east) -- (bpf.west) node[above,midway,orange!20!black] {$u(t)$} node[below,midway] {DSB-SC}; | |
| \draw[->] (bpf.east) -- ++(1,0) node[above,midway] {$s(t)$} node[below,midway] {VSB}; | |
| \draw[->] (osc.north) -- (mult.south); | |
| \draw (bpf.north) node[above,scale=.9] {BPF}; | |
| \end{circuitikz} | |
| και πολύ απλά εφαρμόζει το παραπάνω φίλτρο στην εκπεμπόμενη συχνότητα: | |
| \begin{align*} | |
| S(f) &= U(f)H(f) = \frac{A_c}{2}\left[ M(f-f_c)+M(f+f_c) \right] | |
| \end{align*} | |
| Ο \textbf{αποδιαμορφωτής} είναι ομόδυνος: | |
| \begin{circuitikz}[scale=1.6] | |
| \draw (0,0) node[xshift=4.9mm,oscillator] (osc) {} | |
| node[above right,xshift=5mm] {$A_c' \cos2πf_c t$}; | |
| \draw (0,1) node[rectangle,draw,minimum width=15mm,minimum height=10mm] (mult) {} | |
| node[scale=1.5] {$\times$}; | |
| \draw (1.6,1) node[rectangle,draw,minimum width=15mm,minimum height=10mm] (lpf) {} | |
| node[] {LPF}; | |
| \draw[<-] (mult.west) -- ++(-0.5,0) node[left] {$s(t)$}; | |
| \draw[->] (mult.east) -- (lpf.west) node[above,midway,orange!20!black] {$v(t)$}; | |
| \draw[->] (lpf.east) -- ++(0.5,0) node[right] {$u_o(t)$}; | |
| \draw[->] (osc.north) -- (mult.south); | |
| \end{circuitikz} | |
| Για αυτόν ισχύει: | |
| \begin{align*} | |
| v(t) &= A_c' \cos 2πf_c t s(t) \\ | |
| V(f) &= \frac{A_c'}{2} \left[ S(f-f_c)+S(f+f_c) \right] | |
| \\ &= \frac{A_c'A_c}{4}\left[ M(f-2f_c)+M(f) \right]H(f-f_c) | |
| +\frac{A_c'A_c}{4}\left[ M(f)+M(f+2f_c) \right]H(f+f_c) | |
| \\ &= \frac{A_c'A_c}{4}M(f)\left[H(f-f_c)+H(f+f_c)\right] | |
| + \frac{A_c'A_c}{4}\left[M(f-2f_c)H(f-f_c)+M(f+2f_c)H(f+f_c)\right] | |
| \end{align*} | |
| Ας δούμε έναν-έναν τους όρους: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=.85] | |
| \draw[->] (-9,0) -- (9,0) node[below right] {$f$}; | |
| \draw[->] (0,-1) -- (0,3); | |
| \draw[blue!70!black,ultra thick] (-1.5,0) -- (0,2.5) -- (1.5,0); | |
| \def\fa{-1} | |
| \def\fb{1} | |
| \def\tz{1.2} | |
| \def\A{2} | |
| \foreach \xs in {-1.6,1.6} { | |
| \filldraw[top color=blue!80!cyan!80!black,fill opacity=.15,thick,bottom color=white,xshift=\xs cm] | |
| plot[smooth,tension=1] coordinates { | |
| (\fa-\tz,0) (\fa-\tz+\tz/4,\A/8) (\fa-\tz/2,\A/2) (\fa-\tz/4,7*\A/8) (\fa,\A) | |
| } | |
| -- | |
| plot[smooth,tension=1] coordinates { | |
| (\fb,\A) (\fb+\tz/4,7*\A/8) (\fb+\tz/2,\A/2) (\fb+3*\tz/4,\A/8) (\fb+\tz,0) | |
| } | |
| ; | |
| } | |
| \filldraw[top color=blue!80!cyan!80!black,fill opacity=.15,thick,bottom color=white,xshift=7 cm,path fading=east] | |
| plot[smooth,tension=1] coordinates { | |
| (\fa-\tz,0) (\fa-\tz+\tz/4,\A/8) (\fa-\tz/2,\A/2) (\fa-\tz/4,7*\A/8) (\fa,\A) | |
| } | |
| -- ++(2,0) -- ++(0,-\A) | |
| ; | |
| \filldraw[top color=blue!80!cyan!80!black,fill opacity=.15,thick,bottom color=white,xscale=-1,xshift=7 cm,path fading=west] | |
| plot[smooth,tension=1] coordinates { | |
| (\fa-\tz,0) (\fa-\tz+\tz/4,\A/8) (\fa-\tz/2,\A/2) (\fa-\tz/4,7*\A/8) (\fa,\A) | |
| } | |
| -- ++(2,0) -- ++(0,-\A) | |
| ; | |
| \draw[xshift=5.4cm,blue!70!black,very thick] (-1.5,0) -- (0,2.5) -- (1.5,0); | |
| \draw[dashed] (5.4,0) node[below,scale=1] {$2f_c$} -- ++(0,2.5); | |
| \draw[xscale=-1,xshift=5.4cm,blue!70!black,very thick] (-1.5,0) -- (0,2.5) -- (1.5,0); | |
| \draw[dashed] (-5.4,0) node[below,scale=1] {$-2f_c$} -- ++(0,2.5); | |
| \draw[dashed,green!50!black] (3.4,0) -- ++(0,2.5); | |
| \draw[dashed] (\fb,\A) -- (0,\A); | |
| \foreach \x in {\fa-\tz/2+1.6,-5.4,5.4} { | |
| \filldraw[top color=red,bottom color=blue,fill opacity=.25] ({\x},\A/2) circle (2.5pt); | |
| } | |
| \end{tikzpicture} | |
| Παρατηρούμε ότι στο κέντρο υπάρχει η επίδραση και των δύο φίλτρων επάνω στο σήμα. Για | |
| να πάρουμε το αρχικό, θα πρέπει η πρόσθεσή τους να μην επηρεάζει την έξοδο, δηλαδή: | |
| \[ | |
| H(f-f_c)+H(f+f_c) = 1 | |
| \] | |
| Σε διαφορετική περίπτωση, η έξοδος θα είναι παραμορφωμένη: | |
| \begin{tikzpicture} | |
| \draw (0,-1) -- (0,2); | |
| \draw (-1,0) -- (3.5,0); | |
| \draw[dashed,draw=gray] (2,0.5) -- (2,0) node[below] {$f$}; | |
| \draw[dashed,draw=gray] (2.7,1) -- (2.7,0) node[below] {$f_c$}; | |
| \draw[very thick,blue!80!black] | |
| (1.7,0) -- (2,0.5) -- plot[smooth] coordinates{ (2,1) (2.35,1.04) (2.7,1) } -- (3.2,0); | |
| \end{tikzpicture} | |
| Ενώ, αν έχουμε σωστά ρυθμισμένα φίλτρα σύμφωνα με παραπάνω, θα προστίθενται τα δύο σήματα | |
| για να πάρουμε το τέλειο αρχικό: | |
| \begin{tikzpicture} | |
| \draw (0,-0.2) -- (0,1.5); | |
| \draw (-2,0) -- (2,0); | |
| \draw[very thick,blue,dashed,opacity=.4] | |
| (-1,0) -- plot[smooth] coordinates {(-0.5,0.7) (0,1.3) (0.5,0.7)} -- (1,0); | |
| \draw[very thick,blue!80!black] | |
| (-1,0) -- plot[smooth,tension=0.4] coordinates {(-0.5,0.7) (0,0.8) (0.5,0.7)} -- (1,0); | |
| \draw[very thick,blue!75!black!70!magenta] | |
| plot[smooth,tension=0.3] coordinates {(-0.5,0) (0,0.3) (0.5,0)}; | |
| \end{tikzpicture} | |
| Δηλαδή, το χαρακτηριστικό που απαιτούμε είναι η απλώς η περιττή συμμετρία (γύρω από το | |
| \( f_c \)) του φίλτρου, και τέτοια φίλτρα μπορούν να κατασκευαστούν: | |
| \begin{tikzpicture} | |
| \draw (-0.5,0) -- (9,0); | |
| \draw (0,-1) -- (0,3); | |
| \def\fa{3+0.15} | |
| \def\fb{5.8} | |
| \def\tz{2} | |
| \def\A{2} | |
| \filldraw[fill=blue!80!cyan!80!black,fill opacity=.15,path fading=east,thick] | |
| plot[smooth,tension=0.75] coordinates { | |
| (\fa-\tz,0) (\fa-\tz+\tz/4,\A/8) (\fa-\tz/2,\A/2) (\fa-\tz/4,7*\A/8) (\fa,\A) | |
| } | |
| -- | |
| plot[smooth,tension=1] coordinates { | |
| (\fb,\A) (\fb+\tz/4,7*\A/8) (\fb+\tz/2,\A/2) (\fb+3*\tz/4,\A/8) (\fb+\tz,0) | |
| } | |
| ; | |
| \draw[dashed] ({\fa-\tz/2},0) node[below] {$f_c$} -- ++(0,\A/2); | |
| \draw[dashed] ({\fa-\tz/2},\A/2) -- (0,\A/2) node[left] {$\sfrac{1}{2}$}; | |
| \draw[dashed] (0,\A) node[left] {$1$} -- (\fa,\A); | |
| \draw[dashed,path fading=north] (\fa-\tz,0) -- ++(0,2); | |
| \draw (\fa-\tz,0) node[below,scale=.8] {$f_c-f_v$}; | |
| \draw[dashed] (\fa,0) node[below,scale=.8] {$f_c+f_v$} -- ++(0,2); | |
| \draw[dashed,path fading=north] ({(\fa+\fb)/2},0) -- ++(0,2); | |
| \draw ({(\fa+\fb)/2},0) node[below,scale=.9] {$f_c+w$}; | |
| \end{tikzpicture} | |
| Ως \underline{άσκηση για το σπίτι} αφήνεται η γεωμετρική απόδειξη του ότι η απλή συμμετρία | |
| του φίλτρου σημαίνει ότι και το ύψος του αθροίσματος θα παραμένει σταθερό (βλ. \textbf{\hyperref[sec:interesting-question]{Κεφάλαιο | |
| \ref*{sec:interesting-question}}}). | |
| Με βάση αυτήν τη διαμόρφωση λειτουργεί η αναλογική τηλεόραση. | |
| \subsubsection{Λίγα λόγια για την τηλεόραση} | |
| Το εύρος ζώνης ενός τηλεοπτικού καναλιού είναι τυπικά \textit{6 MHz}, και εκπέμπεται σε | |
| κάποια συχνότητα μεταξύ 54-216 MHz (VHF, με ένα κενό για τα FM) ή 470-890 MHz (UHF). | |
| Ας ασχοληθούμε με ένα κανάλι μεταξύ 54-60 MHz. Αρχικά, στέλνουμε έναν κλασικό AM τόνο | |
| στα 55.25 MHz, ο οποίος θα βοηθήσει στην αποδιαμόρφωση (ώστε να γίνει φθηνότερη): | |
| \begin{tikzpicture} | |
| \draw[->] (-0.2,0) -- (7,0) node[below] {MHz}; | |
| \draw (0,-0.2) -- (0,3); | |
| \draw [draw=red!50!orange!80!gray,ultra thick,->] | |
| (3.5,0) node[below,scale=.8] {$55.25$} -- ++(0,2); | |
| \draw (3,0) node[above,scale=.8] {$54$} node[inner sep=2pt] (m) {}; | |
| \draw (m.north) -- (m.south); | |
| \draw (4.8,0) node[below,scale=.6,yshift=-1mm,xshift=-2mm] {$59.75$} node[inner sep=2pt] (m) {}; | |
| \draw (m.north) -- (m.south); | |
| \draw (5,0) node[above,scale=.8] {$60$} node[inner sep=2pt] (m) {}; | |
| \draw (m.north) -- (m.south); | |
| \end{tikzpicture} | |
| Στη συνέχεια, απλώνουμε το φάσμα μεταξύ 54 ως 59.75 MHz (αφήνοντας 0.25 MHz στα δεξιά | |
| για τον ήχο διαμορφωμένο κατά FM). Τα 1.25 MHz στα αριστερά του δέλτα είναι η κάτω πλευρική | |
| ζώνη, και τα 4.5 στα δεξιά είναι η άνω πλευρική ζώνη. | |
| \begin{tikzpicture} | |
| \draw[draw=blue!50!cyan!70!black,very thick,fill=blue!50!cyan,fill opacity=.09] | |
| plot[smooth,tension=.4] coordinates {(3,0) (3.2,1.4) (4.6,1.4) (4.8,0)}; | |
| \draw[->] (-0.2,0) -- (7,0) node[below] {MHz}; | |
| \draw (0,-0.2) -- (0,3); | |
| \draw[dashed,draw=cyan!80!blue] (5,0) -- ++(0,1.5); | |
| \draw [draw=red!50!orange!80!gray,ultra thick,->] | |
| (3.5,0) node[below,scale=.8] {$55.25$} -- ++(0,2); | |
| \draw (3,0) node[above,scale=.8] {$54$} node[inner sep=2pt] (m) {}; | |
| \draw (m.north) -- (m.south); | |
| \draw (4.8,0) node[below,scale=.6,yshift=-1mm,xshift=-2mm] {$59.75$} node[inner sep=2pt] (m) {}; | |
| \draw (m.north) -- (m.south); | |
| \draw (5,0) node[above,scale=.8] {$60$} node[inner sep=2pt] (m) {}; | |
| \draw (m.north) -- (m.south); | |
| \draw[blue!50!cyan,<->] (5,1) node[right,scale=.7] {$0.25$} -- ++(-0.27,0); | |
| \draw[blue!50!cyan,<->] (3.53,0.5) -- ++(4.8-3.57,0) node[midway,above,scale=.8] {$4.5$}; | |
| \draw[blue!50!cyan,<->] (3.06,0.7) -- (3.48,0.7) node[midway,above,scale=.6] {$1.25$}; | |
| \end{tikzpicture} | |
| Η μορφή του σήματος που στέλνουμε οφείλεται στον τρόπο που λειτουργούσαν οι τηλεοράσεις | |
| CRT: Ένα κανόνι ηλεκτρονίων σκανάρει την οθόνη κατά γραμμές και στήλες - σκανάρει πρώτα | |
| τα κελιά μιας γραμμής, μετά της επόμενης, κ.ό.κ. Επομένως, το σήμα αποτελείται από τις | |
| φωτεινότητες των κελιών της πρώτης γραμμής, μετά ένα κενό (που γίνεται παλμός στο σήμα) | |
| μέχρι το κανόνι να μεταφερθεί στην επόμενη γραμμή, στη συνέχεια τις φωτεινότητες | |
| της επόμενης γραμμής κ.ό.κ. | |
| Με τους παραπάνω παλμούς μπορεί τα επιτευχθεί και συγχρονισμός, ενώ κάποιες τεχνικές | |
| πολυπλεξίας χρησιμοποιήθηκαν και για τη μεταφορά πληροφοριών χρώματος. | |
| Από τη μεριά του δέκτη, η αποδιαμόρφωση μπορεί να γίνει χωρίς να δίνουμε πολλή σημασία | |
| στην κάτω πλευρική ζώνη: | |
| \begin{tikzpicture} | |
| \draw[draw=blue!50!cyan!30!gray,very thick,fill=blue!50!cyan!10!gray,fill opacity=.15] | |
| plot[smooth,tension=.2] coordinates {(3,0) (3.5,1.4) (4.6,1.4) (4.8,0)}; | |
| \draw[->] (-0.2,0) -- (7,0) node[below] {MHz}; | |
| \draw (0,-0.2) -- (0,3); | |
| \draw[dashed] | |
| (3.5,0) node[below,scale=.8] {$55.25$} -- ++(0,1.4); | |
| \draw (3,0) node[below left,scale=.8] {$54$} node[inner sep=2pt] (m) {}; | |
| \draw (m.north) -- (m.south); | |
| \draw (4.8,0) node[below,scale=.6,yshift=-1mm,xshift=-2mm] {$59.75$} node[inner sep=2pt] (m) {}; | |
| \draw (m.north) -- (m.south); | |
| \draw (5,0) node[below right,scale=.8] {$60$} node[inner sep=2pt] (m) {}; | |
| \draw (m.north) -- (m.south); | |
| \end{tikzpicture} | |
| Αντίστοιχα, ένα ψηφιακό τηλεοπτικό σήμα (π.χ. με ρυθμό 20 Mbit/s) μπορεί να χωρέσει | |
| με παρόμοιο τρόπο στα 6 MHz: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=0.7] | |
| \draw[draw=blue!50!cyan!70!black,very thick,fill=green!70!cyan,fill opacity=.19] | |
| plot[smooth,tension=.2] coordinates {(3,0) (3.2,1.4) (4.8,1.4) (5,0)}; | |
| \draw[->] (-0.2,0) -- (7,0) node[below] {MHz}; | |
| \draw (0,-0.2) -- (0,3); | |
| \draw [draw=red!50!orange!80!gray,ultra thick,->] | |
| (3.2,0) node[below,scale=.7] {$54.115$} -- ++(0,2); | |
| \draw (3,0) node[above left,scale=.8] {$54$} node[inner sep=2pt] (m) {}; | |
| \draw (m.north) -- (m.south); | |
| \draw (5,0) node[below,scale=.8] {$60$} node[inner sep=2pt] (m) {}; | |
| \draw (m.north) -- (m.south); | |
| \end{tikzpicture} | |
| \subsection{Εφαρμογές} | |
| \paragraph{1.} | |
| \label{application.am-phase} | |
| Μερικές διαμορφώσεις: | |
| \begin{alignat*}{2} | |
| \text{AM} \quad && s(t) &= A_c \left(1+k_am(t)\right)\cos 2πf_c t \\ | |
| \text{DSB-SC} \quad && s(t) &= A_c m(t)\cos 2πf_c t\\ | |
| \text{SSB} \quad && s(t) &= \frac{1}{2} A_cm(t)\cos 2πf_c t \mp \frac{1}{2}A_c\hat m(t)\sin2π | |
| f_c t | |
| \\ && &= \frac{1}{2}A_c\sqrt{m^2(t)+\hat m^2(t)}\cos\left(2πf_c t +\phi(t)\right) | |
| \end{alignat*} | |
| όπου \( \displaystyle φ(τ) = \tan^{-1}\frac{\hat m(t)}{m(t)} \). | |
| Οι πρώτες δύο διαμορφώσεις έχουν την πληροφορία μόνο στο πλάτος, αλλά η τελευταία την | |
| περιλαμβάνει και στην φάση \( \phi(t) \). | |
| Αν φανταστούμε όμως ότι η πληροφορία αποτελείται από δύο ψηφιακά σήματα, στα οποία το πλάτος | |
| 1 αναπαριστά το 1 και το -1 αναπαριστά το ψευδές, τότε το μέτρο θα είναι πάντα \( \sqrt{2} \), | |
| αλλά μόνο η φάση θα μεταβάλλεται. Αυτή η διαμόρφωση χρησιμεύει για τη μετάδοση ψηφιακών δεδομένων | |
| και ονομάζεται QPSK (Quadrature Phase-Shift Keying). | |
| \begin{tikzpicture}[scale=.8] | |
| \draw (0,0) -- (6,0); | |
| \draw[dashed,gray!50!black] (3,0) -- (3,.7); | |
| \draw[yscale=.7,very thick,blue] plot[const plot] coordinates {(0,1) (1,-1) (2,1) (3,1) (4,-1) (5,-1)}; | |
| \foreach \x in {1,2,...,5} | |
| \filldraw[blue!20!black] (\x,0) circle (1.5pt); | |
| \draw (4,1) node[above] {$1$}; | |
| \draw (5,-1) node[below] {$-1$}; | |
| \begin{scope}[xshift=8cm] | |
| \draw (0,0) -- (6,0); | |
| \draw[dashed,gray!50!black] (3,0) -- (3,.7); | |
| \draw[very thick,cyan,opacity=.8] | |
| plot[variable=\x,domain=0:1,samples=\gsamples] | |
| (\x,{ 0.7* cos(20*\x r) }); | |
| \draw[very thick,cyan!80!blue,opacity=.9] | |
| plot[variable=\x,domain=1:2,samples=\gsamples] | |
| (\x,{ 0.7* cos(20*\x r+170) }); | |
| \draw[very thick,cyan,opacity=.8] | |
| plot[variable=\x,domain=2:4,samples=\gsamples] | |
| (\x,{ 0.7* cos(20*\x r) }); | |
| \draw[very thick,cyan!80!blue,opacity=.9] | |
| plot[variable=\x,domain=4:5,samples=\gsamples] | |
| (\x,{ 0.7* cos(20*\x r+170) }); | |
| \draw[yscale=.7,very thick,blue] plot[const plot] coordinates {(0,1) (1,-1) (2,1) (3,1) (4,-1) (5,-1)}; | |
| \foreach \x in {1,2,...,5} | |
| \filldraw[blue!20!black] (\x,0) circle (1.5pt); | |
| \draw (4,1) node[above] {$1$}; | |
| \draw (5,-1) node[below] {$-1$}; | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| \paragraph{2.} | |
| Έστω τα σήματα πληροφορίας και φέροντος: | |
| \begin{align*} | |
| m(t) &= A_m\cos(2πf_m t) \\ | |
| c(t) &= A_c\cos(2πf_c t) | |
| \end{align*} | |
| Έστω ότι θέλουμε να διαμορφώσουμε την πληροφορία κατά SSB. Πρώτα τη διαμορφώνουμε κατά DSB, και μετά | |
| εφαρμόζουμε ένα φίλτρο: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1,yscale=1.4] | |
| \draw[top color=blue!30!cyan!60!black,bottom color=blue!20!white,fill opacity=.3] | |
| (2-0.8,0.8) -- (2+0.8,0) -- (2-0.8,0) -- cycle; | |
| \draw[top color=blue!30!cyan!60!black,bottom color=blue!20!white,fill opacity=.3,xscale=-1] | |
| (2-0.8,0.8) -- (2+0.8,0) -- (2-0.8,0) -- cycle; | |
| \draw (-4,0) -- (4,0); | |
| \draw[->] (0,-1) -- (0,2); | |
| \draw[gray!50!brown,dashed] (-4,1) -- (4,1) node[pos=.7,above] {$A$}; | |
| \draw[black!80!orange,very thick] | |
| (2-0.5,0) edge[->] ++(0,1) | |
| (2+0.5,0) edge[->] ++(0,1) | |
| ; | |
| \draw[blue!50!cyan,ultra thick] | |
| (2-0.5,0) edge[->] node[above right,pos=1,scale=.6] {$(1-k)A$} ++(0,0.65) | |
| (2+0.5,0) edge[->] node[above right,pos=1,scale=.7] {$kA$} ++(0,0.15) | |
| ; | |
| \draw (2-0.5,0) node[below,scale=.5,xshift=-3mm] {$f_c-f_m$}; | |
| \draw (2,0) node[below,scale=.5] {$f_c$}; | |
| \draw (2+0.5,0) node[below,scale=.5,xshift=3mm] {$f_c+f_m$}; | |
| \begin{scope}[xscale=-1] | |
| \draw[black!80!orange,very thick] | |
| (2-0.5,0) edge[->] ++(0,1) | |
| (2+0.5,0) edge[->] ++(0,1) | |
| ; | |
| \draw[blue!50!cyan,ultra thick] | |
| (2-0.5,0) edge[->] ++(0,0.65) | |
| (2+0.5,0) edge[->] ++(0,0.15) | |
| ; | |
| \draw (2-0.5,0) node[below,scale=.45,xshift=3mm] {$-f_c-f_m$}; | |
| \draw (2,0) node[below,scale=.5] {$-f_c$}; | |
| \draw (2+0.5,0) node[below,scale=.45,xshift=-3mm] {$-f_c+f_m$}; | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| Το φίλτρο αυτό κόβει την κάτω πλευρική ζώνη και αφήνει να περάσει ένα ίχνος της, και κόβει | |
| και την πάνω πλευρική ζώνη, αφήνοντας να περάσει ένα ακόμα μικρότερο ίχνος της. | |
| Δηλαδή κόβει ένα ποσοστό \( k \) (π.χ 2\%) από την επάνω (άρα αφήνει να περάσει το \( (1-k) | |
| \) ή π.χ. το 98\%), και αφήνει να περάσει ένα ποσοστό \( k \) από την κάτω (αν θεωρήσουμε | |
| ότι το φίλτρο είναι συμμετρικό). | |
| Το αποδιαμορφωμένο σήμα θα μοιάζει κάπως έτσι: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1,yscale=1.4] | |
| \draw (-4,0) -- (4,0); | |
| \draw[->] (0,-1) -- (0,1.5); | |
| \draw[blue!50!cyan,ultra thick] | |
| (1-0.5,0) edge[->] ++(0,0.65) | |
| (1,0) edge[->] ++(0,0.15) | |
| ; | |
| \draw (1-0.25,0) node[below] {$f_m$}; | |
| \begin{scope}[xscale=-1] | |
| \draw[blue!50!cyan,ultra thick] | |
| (1-0.5,0) edge[->] ++(0,0.65) | |
| (1,0) edge[->] ++(0,0.15) | |
| ; | |
| \draw (1-0.25,0) node[below] {$-f_m$}; | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| Το διαμορφωμένο σήμα, όπως παρατηρούμε από το πεδίο των συχνοτήτων, θα έχει τη μορφή: | |
| \begin{align*} | |
| s_{\mathrm{USB}}(t) &= \frac{1}{2}kA_cA_m\cos 2π(f_c+f_m)t | |
| + \frac{1}{2}(1-k)A_cA_m\cos 2π (f_c-f_m)t \\ | |
| &= \frac{1}{2}kA_cA_m\left( | |
| \cos2πf_ct\cos2πf_mt-\sin2πf_ct\sin2πf_mt | |
| \right) | |
| \\ &\hphantom{=} + \frac{1}{2}(1-k)A_cA_m\left( | |
| \cos2πf_ct\cos2πf_mt+\sin2πf_ct\sin2πf_mt | |
| \right) | |
| \\ &= | |
| \underbrace{\frac{1}{2}A_cA_m\cos2πf_m t\cos2πf_c t}_{\text{DSB-SC}} | |
| + \underbrace{\frac{1}{2}A_cA_m(1-2k)\sin2πf_mt\sin2πf_ct}_{\text{DSB-SC στον | |
| μετασχηματισμό Hilbert}} | |
| \end{align*} | |
| Δηλαδή μπορούμε να φτάσουμε στην έξοδο διαμορφώνοντας δύο φορές κατά DSB-SC (τη | |
| δεύτερη την εφαρμόζουμε στο phase-shifted κατά \( 90\degree \) σήμα). | |
| Η σταθερά \( k \) εξαρτάται από την κλίση του φίλτρου που χρησιμοποιήσαμε παραπάνω. | |
| Πιο συγκεκριμένα, έχουμε διαφορετικές περιπτώσεις: | |
| \begin{enumpar} | |
| \item Για \( k=\frac{1}{2} \), έχουμε \emph{DSB-SC} | |
| \item Για \( k=0 \), έχουμε \emph{LSSB} \\ | |
| Για \( k=1 \), έχουμε \emph{USSB} | |
| \item Για \( 0\leq k \leq \frac{1}{2} \), έχουμε \emph{VSB} (πάνω πλευρική ζώνη) | |
| \\ | |
| Για \( \frac{1}{2} \leq k \leq 1 \), έχουμε \emph{VSB} (κάτω πλευρική ζώνη) | |
| \end{enumpar} | |
| Δηλαδή μπορούμε να πάρουμε όλες τις διαμορφώσεις που παρουσιάσαμε με κατάλληλη επιλογή | |
| του \( k \), εκτός από το ΑΜ. | |
| \subparagraph{} | |
| Για την \textbf{αποδιαμόρφωση}, θα χρειαστεί σίγουρα να έχουμε \textit{σύμφωνο / σύγχρονο / ομόδυνο / coherent} | |
| αποδιαμορφωτή (που μπορεί να βρει τη φάση του φέροντος), ο οποίος πρέπει να γνωρίζει | |
| τη φάση του φέροντος η οποία: | |
| \begin{itemize} | |
| \item Προκύπτει στον ταλαντωτή και δεν είναι γνωστή στο δέκτη | |
| \item Μπορεί να μεταβάλλεται αργά στον ταλαντωτή και δεν έχει σταθερή τιμή | |
| \item Αλλάζει ανάλογα με το μέσο διάδοσης του κύματος και τυχόν εμπόδια | |
| \end{itemize} | |
| Τυπικά για την υλοποίηση του αποδιαμορφωτή, αν θεωρήσουμε ότι κάπως έχουμε βρει τη | |
| φάση του φέροντος, πολλαπλασιάζουμε το λαμβανόμενο σήμα | |
| με τη συχνότητα του φέροντος: | |
| \begin{align*} | |
| v(t) &= s_{\mathrm{USB}}(t) A_c' \cos 2πf_c t | |
| \\ &= \left[\frac{1}{2}A_cA_c' A_m\cos2πf_mt\right] | |
| \cancelto{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos2π2f_ct}{\cos^22πf_ct} | |
| \\ &\hphantom{=} | |
| + \left[\frac{1}{2}A_cA_c'A_m(1-2k)\sin2πf_mt\right] | |
| \cancelto{\frac{1}{2}\sin2π2f_ct }{\sin2πf_ct\cos2πf_ct} | |
| \\ | |
| \left.v(t)\right|_{\mathrm{LPF}} &= \frac{1}{4} A_cA_c' A_m\cos2πf_m t \quad | |
| \to m(t) | |
| \end{align*} | |
| Έστω όμως ότι στέλνω ένα σήμα \( s_{\mathrm{VSB}+C}(t) = A_c\cos2πf_ct + | |
| k_as_{\mathrm{VSB}}(t) \), δηλαδή VSB μαζί όμως με το φέρον. | |
| Τότε το σήμα που στέλνω είναι: | |
| \begin{align*} | |
| s_{\mathrm{USB}+C} (t) &= | |
| A_c\cos2πf_c t + k_a s_{\mathrm{USB}}(t) | |
| \\ &= \dots = | |
| A_c\left[ 1+\frac{k_a}{2}A_m\cos(2πf_mt) \right]\cos2πf_c t | |
| + \left[\frac{k_a}{2} A_c A_m (1-2k) \sin(2πf_mt) \right]\sin2πf_ct | |
| \\ &= A(t) \cdot \cos\left(2πf_ct + φ(τ)\right) | |
| \end{align*} | |
| όπου: | |
| \begin{align*} | |
| A(t) &= | |
| \sqrt{A_c^2\left[ 1+\frac{k_a}{2}A_m \cos(2πf_mt) \right]^2 | |
| +A_c^2\left[ \frac{k_a}{2}A_m(1-2k)\sin(2πf_mt) \right]^2 | |
| } \\ &= A_c\left[ 1+\frac{k_a}{2}A_m\cos(2πf_mt) \right] | |
| \sqrt{1+\left(\frac{\frac{k_a}{2}A_m(1-2k)\sin2πf_ct}{ | |
| 1+\frac{k_a}{2}A_m\cos2πf_mt}\right)^2} | |
| \end{align*} | |
| Δηλαδή έχουμε μία διαμόρφωση AM \( 1+\frac{k_a}{2}A_m\cos(2πf_m t) \) μαζί με μία | |
| παραμόρφωση \( \sqrt{1+(\cdots)^2} \), την οποία θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε όσο | |
| περισσότερο γίνεται. Αυτό δικαιολογεί και το ότι για την αποδιαμόρφωση του τηλεοπτικού | |
| σήματος αρκεί μόνο ένας αποδιαμορφωτής FM. | |
| Στόχος μας είναι να ελαχιστοποιήσουμε την παραμόρφωση, άρα τον όρο: | |
| \[ | |
| \left[\frac{μ(1-2k)\sin2πf_ct}{1+μA_m\cos2πf_mt}\right]^2 | |
| \] | |
| (όπου \( μ = \frac{1}{2}k_aA_m \) ), τον οποίο μπορούμε να ρυθμίσουμε επιλέγοντας τις | |
| σταθερές της διαμόρφωσης \( A_m \), το συντελεστή του φέροντος \( k_a \), ή την κλίση \( k \) | |
| του φίλτρου. | |
| \paragraph{3.} | |
| Θυμόμαστε τη βασική λειτουργία του πολλαπλασιαστικού διαμορφωτή | |
| (όπου \( f_1 \) η συχνότητα φέροντος του εισερχόμενου σήματος, και \(f_l\) η συχνότητα του τοπικού ταλαντωτή): | |
| \\* | |
| \begin{circuitikz}[scale=1] | |
| \draw (0,0) node[rectangle,draw,scale=2] (mult) {$\times$}; | |
| \draw (2,0) node[rectangle,draw] (bpf) {BPF}; | |
| \draw (0,-3) node[oscillator,scale=1,xshift=4.91mm] (osc) {}; | |
| \draw (osc.east) node[right] {$A_c\cos2πf_lt$}; | |
| \draw[<-] (mult) -- ++(-5,0) node[midway,above] (ml) {$m(t)\cdot \cos2πf_1 t$} node[midway,below] {$s_1(t)$}; | |
| \draw (ml) node[above,yshift=5pt] {DSB}; | |
| \draw (mult) -- (bpf) node[above,midway] {$s'(t)$}; | |
| \draw[->] (bpf) -- ++(3,0) node[below] {$s_2(t)$}; | |
| \draw[->] (osc.north) -- (mult.south); | |
| \draw[thick,blue!30!black] (-1,1) rectangle (3,-2) | |
| (3,1) node[above] {Μίκτης}; | |
| \end{circuitikz} | |
| με έξοδο: | |
| \begin{align*} | |
| s'(t) &= s_1(t)A_c\cos(2πf_l t) \\ | |
| &= \frac{1}{2}A_l m(t) \left[ | |
| \cos2π(f_1+f_l)t + \cos 2π(f1-f_l)t | |
| \right] | |
| \end{align*} | |
| όπου μπορούμε να επιλέξουμε ποιός μόνον από τους δύο όρους (\( f_1+f_l \) ή \( f_1-f_l \), και | |
| ονομάζουμε τη διαδικασία up conversion ή down conversion αντίστοιχα) θα βγει στην έξοδο | |
| από το Band Pass φίλτρο. Με κατάλληλη επιλογή της \( f_l \) και του φίλτρου, μπορούμε να | |
| ελέγξουμε ποιά συχνότητα εξόδου θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε με το σήμα, ώστε να έχουμε | |
| όποια μετατόπιση θέλουμε στην έξοδο: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=1] | |
| \draw (-2,0) -- (7,0); | |
| \draw (0,-0.5) -- (0,1); | |
| \draw[very thick,blue!50!cyan] | |
| (-0.6,0) .. controls (-0.4,0.8) and (-0.7,0.8) .. (0,0.8) .. controls (0.7,0.8) and (0.4,0.8) .. (0.6,0); | |
| \draw[very thick,blue!50!cyan,xshift=2cm] | |
| (-0.6,0) .. controls (-0.4,0.8) and (-0.7,0.8) .. (0,0.8) .. controls (0.7,0.8) and (0.4,0.8) .. (0.6,0); | |
| \draw[very thick,blue!50!cyan,xshift=4cm] | |
| (-0.6,0) .. controls (-0.4,0.8) and (-0.7,0.8) .. (0,0.8) .. controls (0.7,0.8) and (0.4,0.8) .. (0.6,0); | |
| \draw[very thick,blue!50!cyan,xshift=6cm] | |
| (-0.6,0) .. controls (-0.4,0.8) and (-0.7,0.8) .. (0,0.8) .. controls (0.7,0.8) and (0.4,0.8) .. (0.6,0); | |
| \draw[dashed] | |
| (0,0) node[below] {$f_1-f_l$} | |
| (2,0) node[below] {$f_1-f_l$} -- ++(0,0.8) | |
| (4,0) node[below] {$f_1$} -- ++(0,0.8) | |
| (6,0) node[below] {$f_1+f_l$} -- ++(0,0.8) | |
| ; | |
| \draw[green!50!black,<-] (0.8,0.4) -- ++(0.4,0); | |
| \draw[green!50!black,<-] (2+0.8,0.4) -- ++(0.4,0); | |
| \draw[red!50!black,->] (4+0.8,0.4) -- ++(0.4,0); | |
| \end{tikzpicture} | |
| \paragraph{4. Πολυπλεξία (multiplexing)} | |
| Είναι γνωστό πως στον αέρα σήμερα υπάρχει μεγάλος αριθμός διαμορφωμένων τηλεοπτικών, | |
| ραδιοφωνικών, κλπ. σημάτων. Ας εξετάσουμε πώς είναι δυνατό να στέλνονται όλα αυτά ταυτόχρονα. | |
| \subparagraph{FDMA} | |
| Προφανώς αν στείλουμε δύο διαμορφωμένα σήματα στην ίδια συχνότητα ταυτόχρονα χωρίς παραπάνω | |
| επεξεργασία, ο δέκτης θα αποδιαμορφώσει το άθροισμα τους, και δεν μπορούμε να | |
| πάρουμε το καθένα ξεχωριστά. | |
| \begin{tikzpicture}[scale=.9] | |
| \draw (-2,0) -- (9,0); | |
| \draw (0,2) node[right] {$m(t)$} -- (0,-3); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!black,xshift=2mm] | |
| (0,0) .. controls (0.255,1) .. (0.5,1) .. controls (1-0.255,1) .. (1,0) node[below] {$w$}; | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!black,xscale=-1,xshift=2mm] | |
| (0,0) .. controls (0.255,1) .. (0.5,1) .. controls (1-0.255,1) .. (1,0) node[below] {$-w$}; | |
| \begin{scope}[yshift=-2cm] | |
| \draw (-2,0) -- (9,0); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!cyan!80!black,xshift=2mm] | |
| (0,0) -- (0.5,1.1) -- (1,0) node[below] {$w$}; | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!cyan!80!black,xscale=-1,xshift=2mm] | |
| (0,0) -- (0.5,1.1) -- (1,0) node[below] {$-w$}; | |
| \end{scope} | |
| \begin{scope}[xshift=5cm] | |
| \draw (0,2) node[right] {$s(t)$} -- (0,-3); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!black,xshift=2mm] | |
| (0,0) .. controls (0.255,1) .. (0.5,1) .. controls (1-0.255,1) .. (1,0); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!black,xshift=1cm+4mm] | |
| (0,0) .. controls (0.255,1) .. (0.5,1) .. controls (1-0.255,1) .. (1,0); | |
| \draw[] (1.3,0) node[below] {$f_1$}; | |
| \begin{scope}[yshift=-2cm] | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!cyan!80!black,xshift=2mm] | |
| (0,0) -- (0.5,1.1) -- (1,0); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!cyan!80!black,xshift=1cm+4mm] | |
| (0,0) -- (0.5,1.1) -- (1,0); | |
| \draw[] (1.3,0) node[below] {$f_1$}; | |
| \end{scope} | |
| \end{scope} | |
| \draw[thick,>->] (9.1,-0.5) -- ++(0.8,0); | |
| \begin{scope}[xshift=12cm] | |
| \draw (-2,0) -- (2,0); | |
| \draw (0,2) node[right,align=left] {αποδιαμορφωμένο\\$m(t)$} -- (0,-3); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!black,xshift=2mm] | |
| (0,0) .. controls (0.255,1) .. (0.5,1) .. controls (1-0.255,1) .. (1,0); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!black,xscale=-1,xshift=2mm] | |
| (0,0) .. controls (0.255,1) .. (0.5,1) .. controls (1-0.255,1) .. (1,0); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!cyan!80!black,xshift=2mm] | |
| (0,0) -- (0.5,1.1) -- (1,0); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!cyan!80!black,xscale=-1,xshift=2mm] | |
| (0,0) -- (0.5,1.1) -- (1,0); | |
| \begin{scope}[yshift=-2cm] | |
| \draw (-2,0) -- (2,0); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!black,xshift=2mm] | |
| (0,0) .. controls (0.255,1) .. (0.5,1) .. controls (1-0.255,1) .. (1,0); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!black,xscale=-1,xshift=2mm] | |
| (0,0) .. controls (0.255,1) .. (0.5,1) .. controls (1-0.255,1) .. (1,0); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!cyan!80!black,xshift=2mm] | |
| (0,0) -- (0.5,1.1) -- (1,0); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!cyan!80!black,xscale=-1,xshift=2mm] | |
| (0,0) -- (0.5,1.1) -- (1,0); | |
| \end{scope} | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| Αν όμως δώσουμε στο κάθε σήμα τη δική του συχνότητα, τότε ο κάθε δέκτης μπορεί να | |
| συντονιστεί στο επιθυμητό σημείο και να δώσει κάθε σήμα ξεχωριστά, όπως επιθυμούμε: | |
| \begin{tikzpicture}[scale=.9] | |
| \draw (-2,0) -- (11,0); | |
| \draw (0,2) node[right] {$m(t)$} -- (0,-3); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!black,xshift=2mm] | |
| (0,0) .. controls (0.255,1) .. (0.5,1) .. controls (1-0.255,1) .. (1,0) node[below] {$w$}; | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!black,xscale=-1,xshift=2mm] | |
| (0,0) .. controls (0.255,1) .. (0.5,1) .. controls (1-0.255,1) .. (1,0) node[below] {$-w$}; | |
| \begin{scope}[yshift=-2cm] | |
| \draw (-2,0) -- (11,0); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!cyan!80!black,xshift=2mm] | |
| (0,0) -- (0.5,1.1) -- (1,0) node[below] {$w$}; | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!cyan!80!black,xscale=-1,xshift=2mm] | |
| (0,0) -- (0.5,1.1) -- (1,0) node[below] {$-w$}; | |
| \end{scope} | |
| \begin{scope}[xshift=5cm] | |
| \draw (0,2) node[right] {$s(t)$} -- (0,-3); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!black,xshift=2mm] | |
| (0,0) .. controls (0.255,1) .. (0.5,1) .. controls (1-0.255,1) .. (1,0); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!black,xshift=1cm+4mm] | |
| (0,0) .. controls (0.255,1) .. (0.5,1) .. controls (1-0.255,1) .. (1,0); | |
| \draw[] (1.3,0) node[below] {$f_1$}; | |
| \begin{scope}[yshift=-2cm,xshift=3cm] | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!cyan!80!black,xshift=2mm] | |
| (0,0) -- (0.5,1.1) -- (1,0); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!cyan!80!black,xshift=1cm+4mm] | |
| (0,0) -- (0.5,1.1) -- (1,0); | |
| \draw[] (1.3,0) node[below] {$f_2$}; | |
| \end{scope} | |
| \end{scope} | |
| \draw[thick,>->] (9.1+2,-0.5) -- ++(0.8,0); | |
| \begin{scope}[xshift=14cm] | |
| \draw (-2,0) -- (2,0); | |
| \draw (0,2) node[right,align=left] {αποδ.\\$m(t)$} -- (0,-3); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!black,xshift=2mm] | |
| (0,0) .. controls (0.255,1) .. (0.5,1) .. controls (1-0.255,1) .. (1,0); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!black,xscale=-1,xshift=2mm] | |
| (0,0) .. controls (0.255,1) .. (0.5,1) .. controls (1-0.255,1) .. (1,0); | |
| \begin{scope}[yshift=-2cm] | |
| \draw (-2,0) -- (2,0); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!cyan!80!black,xshift=2mm] | |
| (0,0) -- (0.5,1.1) -- (1,0); | |
| \draw[very thick,draw=blue!50!cyan!80!black,xscale=-1,xshift=2mm] | |
| (0,0) -- (0.5,1.1) -- (1,0); | |
| \end{scope} | |
| \end{scope} | |
| \end{tikzpicture} | |
| Αυτή η τεχνική ονομάζεται \textbf{Frequency-Division Multiple Access (FDMA)}, δηλαδή | |
| πολυπλεξία στη συχνότητα. | |
| Για παράδειγμα, ένας τηλεπικοινωνιακός οργανισμός που θέλει να στείλει πολλά σήματα | |
| φωνής μέσω ενός καναλιού (π.χ. καλωδίου), μπορεί να διαμορφώνει κάθε σήμα και να του | |