Permalink
Switch branches/tags
Nothing to show
Find file Copy path
Fetching contributors…
Cannot retrieve contributors at this time
7122 lines (6130 sloc) 317 KB
% !TeX program = xelatex
\documentclass[11pt,a4paper,notitlepage,fleqn]{article}
\input{preambles/preamble2018.tex}
\title{ΣΑΕ 2
\\
{
\normalsize Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II
\\
\normalsize Σημειώσεις από τις παραδόσεις\footnote{Όπως διδάσκονται στο τμήμα \textit{Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών} στο \textit{Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης}.}
}}
\date{Φεβρουάριος 2018
\\
{
\small Τελευταία ενημέρωση: \today
}
}
\author{
Για τον κώδικα σε \LaTeX, ενημερώσεις και προτάσεις:
\\
\url{https://github.com/kongr45gpen/ece-notes}}
\setallmainfonts(Digits,Latin,Greek){Asana Math}
\setmainfont{Noto Serif}
\setsansfont{Ubuntu}
\usepackage{polyglossia}
\newfontfamily\greekfont[Script=Greek,Scale=1.00]{Liberation Serif}
\hypersetup{pdftitle = {ΣΑΕ 2}}
\let\mytodo\todo
\renewcommand{\todo}[1]{\par\mytodo[inline,noline]{#1}}
\begin{document}
\maketitle
\hrule
\vspace{50pt}
\begin{infobox}{Λάθη \& Διορθώσεις}
Οι τελευταίες εκδόσεις των σημειώσεων βρίσκονται στο Github
(\url{https://github.com/kongr45gpen/ece-notes/raw/master/sae2.pdf}) ή
στη διεύθυνση \url{http://helit.org/ece-notes/sae2.pdf}.
Περιέχουν διορθώσεις σε λάθη και τυχόν βελτιώσεις.
\tcblower
Μπορείτε να ενημερώνετε για οποιοδήποτε λάθος και πρόταση
μέσω PM στο forum, issue στο Github, ή οποιουδήποτε άλλου τρόπου!
\end{infobox}
Το μάθημα περιλαμβάνει ένα μικρό προαιρετικό εργαστήριο. Η επιλογή γίνεται με βάση
προαιρετικής προόδου (μπαίνουν οι πρώτοι 18, εφ' όσον έχουν γράψει βαθμό \( \geq 6 \)).
Εφ' όσον δοθεί, η πρόοδος συμμετέχει κατά 25\% στον τελικό βαθμό
(και το υπόλοιπο 75\% στις εξετάσεις), για αυτούς που συμμετάσχουν
σε αυτήν. Διαφορετικά, μετράν οι εξετάσεις κατά 100\%. Το εργαστήριο μετράει προσθετικά
με μέγιστο βαθμό \( +3 \), εφ' όσον ο βαθμός της εξέτασης είναι από 4 και πάνω.
Αν δηλωθεί η πρόοδος, ο βαθμός της μετράει απαραίτητα όπως παραπάνω, και δεν υπάρχει δυνατότητα να
ακυρωθεί, ακόμα και αν ο φοιτητής δεν την παραδώσει.
\newpage
{
\hypersetup{linkcolor=black}
\listoflecture
\tableofcontents
}
\newpage
\lecture{1}{21/2/2018}
\section{Εισαγωγή}
Στα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου 2 οι αναλύσεις γίνονται στο πεδίο του \textbf{χρόνου}
και όχι της \textbf{συχνότητας}. Αυτό επιτρέπει να μελετηθούν συστήματα μη γραμμικά,
καθώς και συστήματα με περισσότερες από μία εισόδους και εξόδους.
Γενικότερα, τα ΣΑΕ έχουν εφαρμογές σε πολυάριθμους τομείς, όπως η αυτοκίνηση (φρένα
ABS, σύστημα πρόσφυσης, διατήρηση ευστάθειας σε πλαγιολίσθηση, \textellipsis), έλεγχος
κινητήρων, έλεγχος υπερμεγέθων τηλεσκοπίων, κατανομή πρόσβασης σε δίκτυα internet και
τηλεφωνικά, διαχείριση συστημάτων ενέργειας (για διανομή, ασφάλεια, αξιοπιστία, π.χ.
απόσβεση διαταραχών μετά από κεραυνό)\textellipsis
Θυμόμαστε ότι \textbf{\textit{σύστημα}} είναι οποιαδήποτε λειτουργική μονάδα που διεγείρεται
από κάποιες εισόδους, και επιστρέφει κάποιες εξόδους.
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[rectangle,draw,inner sep=15pt,minimum width=20pt] (r) {$S$};
\draw[<-] (r.west) -- ++(-2,0) node[above right] {είσοδος};
\draw[->] (r.east) -- ++(2,0) node[above left] {έξοδος};
\end{tikzpicture}
Ένα \textbf{ελεγχόμενο σύστημα} είναι τέτοιο ώστε να φροντίζουμε η έξοδος \( y \) να έχει μια
επιθυμητή τιμή \( r \), και το οποίο συχνά περιλαμβάνει και μια είσοδο διαταραχής
\( d \), που δεν μπορούμε να ελέγξουμε.
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[rectangle,draw,inner sep=15pt,minimum width=20pt] (r) {$S$};
\draw[<-] (r.west) ++ (0,-0.3) -- ++(-2,0) node[above right] {$u$};
\draw[<-] (r.west) ++ (0,0.3) -- ++(-2,0) node[above right] {$r$};
\draw[<-] (r.north) -- ++(0,1) node[midway,right] {$d(t)$};
\draw[->] (r.east) -- ++(2,0) node[above left] {$y$};
\end{tikzpicture}
Μια ακόμα χρήσιμη έννοια που μάθαμε είναι αυτή της ανάδρασης, στην οποία η έξοδος του συστήματος ανατροφοδοτείται στο σύστημα ως είσοδος, ίσως αφού περαστεί από έναν
ελεγκτή \( C \). Σε αυτά μπορούμε να προσθέσουμε μια μετρητική διάταξη \( M \) και έναν
ενεργοποιητή (actuator) \( E \) που να μετατρέπει την έξοδο σε μορφή αποδεκτή από το σύστημα. Αυτά
είναι και τα \textbf{συστήματα κλειστού βρόχου}.
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[rectangle,draw,inner sep=15pt,minimum width=20pt] (r) {$S$};
\draw (-3,0) node[rectangle,draw,inner sep=10pt,minimum width=10pt] (c) {$C$};
\draw (-1.5,0) node[rectangle,draw,minimum height=30pt,minimum width=7pt] (e) {$E$};
\draw (-0.5,-1.5) node[rectangle,draw,minimum width=30pt,inner sep=8pt] (d) {$M$};
\draw[->] (e) -- (r) node[midway, above] {$u$};
\draw[->] (c) -- (e);
\draw[<-] (c.west) ++ (0,0.3) -- ++(-2,0) node[above right] {$r$};
\draw[<-] (r.north) -- ++(0,1) node[midway,right] {$d(t)$};
\draw[->] (r.east) -- ++(2,0) node[above left] {$y$} node[midway] (m) {};
\draw[->] (m.center) node[circ] {} |- (d) -- ++(-3.5,0) |- (c);
\end{tikzpicture}
Στόχος των μαθημάτων είναι ο σχεδιασμός του ελεγκτή \( C \) ώστε να ικανοποιούνται
συγκεκριμένες προδιαγραφές. Χρειάζεται βέβαια και μια διαισθητική κατανόηση των εννοιών.
Για παράδειγμα, αν έχουμε προδιαγραφή το σύστημα να έχει έξοδο \( 1 \) στη μόνιμη κατάσταση,
είναι προτιμότερο να φτάσει σε αυτήν με υπεραποσβεννύμενη απόκριση, παρά με ταλαντώσεις.
\begin{tikzpicture}[scale=.7]
\draw[->] (-0.5,0) -- (3,0) node[right] {$t$};
\draw[->] (0,-0.5) -- (0,3) node[left] {$y$};
\draw (0,0) node[below left,scale=.9] {$0$};
\def\h{2}
\draw[thick,timecolour]
plot [variable=\t,domain=0:3,samples=\lowsamples,smooth]
(\t,{\h* (1-e^(-2*\t) )});
\draw[thick,\timecolour!70!blue]
plot [variable=\t,domain=0:3,samples=\hisamples,smooth]
(\t,{\h*(1-1*exp(-3*\t)*cos(20*\t r))});
\draw[dashed] (3,\h) -- (0,\h) node[left] {$1$};
\end{tikzpicture}
Για τη \textbf{μοντελοποίηση} των συστημάτων μπορούμε είτε να υπολογίσουμε και να
αναλύσουμε τη φυσική λειτουργία του συστήματος, είτε να μελετήσουμε σύνολα εισόδων και
εξόδων ώστε να προβλέψουμε τη συμπεριφορά τους.
Στην πραγματικότητα βέβαια δεν θα μας δίνονται οι μαθηματικές προδιαγραφές, αλλά οι
φυσικές προδιαγραφές του συστήματος.
Υπάρχει μάλιστα η περίπτωση τα λειτουργικά κομμάτια των παραπάνω διατάξεων να μην
είναι συνδεδεμένα φυσικά μεταξύ τους, αλλά να βρίσκονται σε απόσταση, εισάγοντας
χρονικές καθυστερήσεις στη μεταφορά των σημάτων (π.χ. drones). Άλλα προβλήματα μπορεί
να είναι ο κβαντισμός των σημάτων (π.χ. για ασύρματη μεταφορά δεδομένων), περιορισμοί του
hardware ή του software.
\paragraph{Παράδειγμα}
Έστω ένα αυτοκίνητο μάζας \( m \) που κινείται σε δρόμο κλίσης \( \phi \) με ταχύτητα
\( y(t) \). Στο αυτοκίνητο ασκείται δύναμη οδήγησης \( u(t) \) και δύναμη του αέρα ανάλογη
με την ταχύτητα, με συντελεστή \( a \) (αεροδυναμικός συντελεστής).
Οι τριβές μεταξύ αυτοκινήτου και οδοστρώματος θεωρούνται αμελητέες.
Επιθυμούμε να σχεδιάσουμε έναν ελεγκτή \( u(t) \) που να ελέγχει τη δύναμη οδήγησης, ώστε
το αυτοκίνητο να κινείται με σταθερή ταχύτητα.
\subparagraph{Λύση}\hspace{0pt}
\begin{tikzpicture}
\def\ang{30}
\draw (0,0) -- (0:3) node [pos=.2] (a1) {};
\draw (0,0) -- (\ang:3.3) node[pos=.2] (a2) {} node [pos=.6] (bb) {};
\draw (bb) node[rectangle,draw,minimum height=5mm,minimum width=10mm,anchor=south,rotate=\ang] (b) {};
\draw[yellow!80!brown!50!black,thick,->] (b.center) -- ++(0,-0.7) node[below right] {$mg$};
\draw[yellow!80!brown!50!black,thick,->] (b.center) -- ++(\ang:1) node[above right] {$u(t)$};
\draw[yellow!10!brown!70!black,thick,->] (b.center) -- ++(180+\ang:1) node[left,scale=.8] {$ay(t)$};
\draw (b.center) node[circle,fill,inner sep=.6pt] {};
\draw[blue!50!green,->] (b.north east) ++ (\ang+90:0.4) --++(\ang:1) node[above,near end] {$y$};
\draw (a1.center) to[bend right] node[midway,yshift=1pt,right,scale=.9] {$\phi$} (a2.center);
\end{tikzpicture}
Από το νόμο του Νεύτωνα \( \sum F = m\dot y \) έχουμε:
\[
m\dot y = u - ay -mg\sin\phi
\]
δηλαδή φτάσαμε σε μία διαφορική εξίσωση που μοντελοποιεί το πρόβλημα.
Παρατηρούμε μάλιστα τον όρο \( \left[-mg\sin\phi\right] \), ο οποίος δεν εξαρτάται από μεταβλητές που
μπορούμε να επηρεάσουμε, αλλά μόνο από την κλίση του δρόμου, που πιθανώς αλλάζει. Δηλαδή
αποτελεί την \textbf{είσοδο διαταραχών}.
Η επιθυμητή έξοδος του συστήματος που δίνεται ως είσοδο είναι \( y(t) = r \), και εδώ
θεωρούμε για παράδειγμα ότι \( r = \SI{25}{\meter/\second} \).
\begin{itemize}
\item Ισχυρίζομαι ότι μπορώ να λύσω το πρόβλημα \textbf{χωρίς κλειστό βρόχο}, δηλαδή
χωρίς να φτάνει στον ελεγκτή \( C \) η έξοδος \( y \):
\[
u(t) = kr(t)
\]
Και για απλότητα στους υπολογισμούς θεωρώ \( \phi = 0 \).
Τότε, από το παραπάνω μοντέλο του συστήματος, προκύπτει η διαφορική εξίσωση:
\[
m\dot y = -ay + k\cdot25
\]
με λύση:
\[
y(t) = 25\frac{k}{a}\left(
1-e^{-\frac{a}{m} t}
\right),\quad t\geq 0
\]
ή, αν επιλέξουμε το κέρδος του ελεγκτή να είναι \( k = a \), η ταχύτητα θα γίνει
όντως \( \SI{25}{\meter/\second} \). Όμως ο χρόνος αποκατάστασης εξαρτάται από τα
\( a \) και \( m \), που είναι παράμετροι του ελεγχόμενου συστήματος, και δεν μπορούν
να επηρεαστούν. Δηλαδή ο ρυθμός με τον οποίο συγκλίνουμε στο 25 εξαρτάται μόνο από τις
παραμέτρους του ελεγχόμενου συστήματος. Συνήθως έχουμε μεγάλη μάζα \( m \) για το
αυτοκίνητο και μικρό αεροδυναμικό συντελεστή. Επομένως το πηλίκο \( \frac{a}{m} \) είναι
μικρό και η απόκριση λογικά αργή.
Ακόμα δεν είναι γνωστή τις περισσότερες φορές η τιμή του συντελεστή \( a \). Αν για
παράδειγμα ανοίξουμε ένα παράθυρο, μεταβάλλεται ανάλογα με το πόσο το έχουμε ανοίξει.
Γενικότερα στη διαδικασία της σχεδίασης \textbf{δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε
μεγέθη που δεν είναι γνωστά}.
Επίσης, στην περίπτωση που θεωρήσουμε ότι \( \phi \neq 0 \), η λύση θα προκύψει μετά
από πράξεις:
\[
y(t) = \underbrace{\left(\frac{25k}{a} - \frac{mg\sin\phi}{a}\right)}_{\text{θέλουμε } = 25}
\left( 1-e^{-\frac{a}{m} t} \right)
\]
επομένως:
\[
k = \frac{25a + mg\sin\phi}{25}
\]
το οποίο πάλι δεν μπορεί να υπολογιστεί εύκολα, αφού η κλίση του δρόμου \( \phi \) κάθε
φορά δεν είναι γνωστή.
\item Χρησιμοποιούμε \textbf{αναλογικό ελεγκτή κλειστού βρόχου}:
\[
u(t) = k \cdot \Big( r(t) - y(t) \Big), \qquad k > 0
\]
Τότε η λύση της διαφορικής εξίσωσης θα προκύψει, μετά από πράξεις:
\[
y(t) = \left(
\frac{25k - mg\sin\phi}{a+k}
\right)\left( 1-e^{-\left(\frac{a+k}{m}\right)t} \right)
\]
Όσο μεγαλώνουμε το \( k \), ο παράγοντας στον εκθέτη αυξάνεται, άρα μεγαλώνει η ταχύτητα
σύγκλισης στη μόνιμη τιμή. Όσον αφορά τον πρώτο όρο, για \( k \) που φτάνει στο
\( \infty \), έχουμε:
\[
\lim_{k \to \infty} \left( \frac{mg\sin\phi}{a+k} \right) = 0
\]
και ο πρώτος όρος γίνεται 25.
Η μικρή διαφορά που υπάρχει για πεπερασμένες τιμές του \( k \) είναι ουσιαστικά το
σφάλμα θέσης, που μπορούμε να εξαλείψουμε με έναν ολοκληρωτή.
\end{itemize}
\lecture{2}{28/2/2018}
\section{Μοντελοποίηση Συστημάτων}
Η μοντελοποίηση συστημάτων, όπως αναφέραμε σε μια παράγραφο παραπάνω, γίνεται είτε με
φυσική μελέτη του συστήματος, είτε μελετώντας μερικές σχέσεις εισόδου-εξόδου, και εξάγοντας
συμπεράσματα από αυτές. Το αντικείμενο της μοντελοποίησης μελετάται εκτενώς σε μάθημα
επόμενου εξαμήνου, και εδώ θα κάνουμε μια εισαγωγή.
Τα πραγματικά συστήματα είναι από τη φύση τους πολύπλοκα, και επομένως ένα μοντέλο θα εισάγει
σχεδόν πάντα ένα \textbf{σφάλμα}. Το \textbf{σφάλμα μοντελοποίησης} \( e \) εκφράζει τη
διαφορά της τιμής \( \hat y \) που εξάγει το μοντέλο, από την τιμή \( y \) που εξάγει το
πραγματικό σύστημα.
\begin{circuitikz}
\tikzstyle{system}=[rectangle,draw,minimum height=9mm,align=center,minimum width=32mm]
\draw (0,0) node[system] (rs) {Πραγματικό\\Σύστημα};
\draw (rs.north) node[system,anchor=south,yshift=10pt] (ms) {Μοντέλο};
\draw[<-] (rs.west) -- ++(-1.5,0) node (sp) {} node[midway] (spm) {};
\draw[->] (spm.center) |- (ms);
\draw[->] (ms.east) node[above right] {$\hat y$} -- ++(2,0) node[midway] (ap1) {};
\draw[->] (rs.east) node[below right] {$y$} -- ++(2,0) node[midway] (ap2) {};
\path (ap1) -- (ap2) node[midway,circle,draw,inner sep=5pt] (sum) {};
\draw[->] (ap1.center) -- (sum.north) node[above right,yshift=-2pt] {$+$};
\draw[->] (ap2.center) -- (sum.south) node[below right,yshift=2pt] {$-$};
\draw[->] (sum) -- ++ (1,0) node[midway,above] {$e$};
\end{circuitikz}
Στόχος της μοντελοποίησης είναι η ελαχιστοποίηση \textit{αυτού} του σφάλματος, το οποίο εκφράζεται
μέσα από την προδιαγραφή της ακρίβειας.
Για παράδειγμα, μπορεί να θέλουμε να προσεγγίσουμε την έξοδο ενός πραγματικού συστήματος
σε μια "επικίνδυνη" είσοδο, την οποία είναι δύσκολο να εφαρμόσουμε στην πραγματικότητα,
αλλά εύκολο να θεωρήσουμε ως είσοδο στο μοντέλο.
Για τη μελέτη των συστημάτων χρησιμοποιούμε τις \textbf{μεταβλητές κατάστασης}, δηλαδή
τις μεταβλητές που είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε για να περιγράψουμε πλήρως τη λειτουργία
του συστήματος. Ο ορισμός αυτός προέκυψε από τη μελέτη της κίνησης των πλανητών, η οποία
μπορεί να περιγραφεί από τη θέση και την ταχύτητα του καθενός. Οι μεταβλητές αυτές μεταβάλλονται
με το χρόνο.
Το σύνολο των τιμών των μεταβλητών κατάστασης ονομάζεται \textbf{σύνολο καταστάσεων}, και
κάθε τιμή (ή διάνυσμα καταστάσεων) ονομάζεται \textbf{κατάσταση}.
\paragraph{Παράδειγμα}
\phantomsection
Θεωρούμε ένα φυσικό σύστημα με ένα ελατήριο \( k \) και έναν αποσβεστήρα \( c \). Ασκούμε και
μία δύναμη \( u \). Σε αυτό θεωρούμε ότι η μεταβλητή \( q \) εκφράζει τη θέση του
σώματος. Τότε η χρονική παράγωγός της, \( \dot q \), εκφράζει την ταχύτητα του σώματος.
\label{sec:physical_ex0}
\begin{circuitikz}
\fill[postaction={decorate},pattern=north east lines] (0,3) rectangle (-0.5,-0.5) rectangle (5,0);
\draw (2,0) rectangle ++(2,2) node[midway] {$m$} node[midway] (m) {};
\draw (2,1.6) to[damper,l_=$c(\dot q)$,invert] ++(-2,0);
\draw (2,0.4) to[spring,invert,l_=\raisebox{-1.5ex}{$k$}] ++(-2,0);
\draw[thick] (0,3) |- (5,0);
\draw[->] (m) ++ (0,1.4) |- ++(2,0.7) node[above,pos=.75,gray] {$q$};
\end{circuitikz}
Από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής (2\textsuperscript{ος} Νόμος Νεύτωνα):
\[
m\ddot q = -c(\dot q) - kq + u
\]
δηλαδή το \textbf{μοντέλο} του συστήματος είναι το:
\[
m\ddot q + c(\dot q) + kq = u
\]
Στην περίπτωση που \( u=0 \), το σύστημα αυτό είναι αυτόνομο. Αν είχαμε κάποια εξωτερική δύναμη, θα ήταν μη αυτόνομο.
\begin{defn}{Αυτόνομα συστήματα}{}
Συστήματα στα οποία \textbf{δεν} ενεργούν \textbf{εξωτερικές δυνάμεις} ονομάζονται
\textbf{αυτόνομα}.
Συστήματα στα οποία ενεργούν \textbf{εξωτερικές δυνάμεις}, οι οποίες λειτουργούν ως
είσοδοι και μπορούμε να τις μεταβάλλουμε ώστε να αλλάξει η δυναμική συμπεριφορά του
συστήματος, ονομάζονται \textbf{μη αυτόνομα}.
\end{defn}
\begin{defn}{Εξισώσεις κατάστασης}{}
Γενικότερα, για τα συστήματά μας θα προκύπτει μία εξίσωση:
\[
F\left(
q^{(n)},\ q^{(n-1)},\ \dots,\ \dot q,\ q,\ u
\right) = 0
\]
Αυτή είναι διαφορική εξίσωση \textbf{τάξης \( n \)}, και μπορεί να αναλυθεί σε
επιμέρους απλούστερες διαφορικές εξισώσεις της μορφής:
\[
\boxed{\begin{aligned}
\dot x &= f(x,u) \\
y &= h(x,u)
\end{aligned}}
\text{ όπου }\begin{aligned}
x \in \mathbb R^n\ &\text{το \textbf{διάνυσμα μεταβλητών κατάστασης}},\\
u \quad&\text\textbf{είσοδος του συστήματος}},\\
y \quad&\text\textbf{έξοδος του συστήματος}},\\
q \quad&\text{μία \textbf{μεταβλητή κατάστασης} ή άλλη παράμετρος του συστήματος}
\end{aligned}
\]
Οι παραπάνω εξισώσεις εκφράζουν για κάθε στιγμή τη σχέση των μεταβλητών κατάστασης,
και ονομάζονται \textbf{εξισώσεις κατάστασης}.
\end{defn}
Η λύση του προβλήματος μπορεί να προκύψει από οποιαδήποτε επιλογή μεταβλητών κατάστασης. Οι
δυνατές επιλογές όμως είναι άπειρες. Στα παρακάτω παραδείγματα προτείνουμε επιλογές που
θα επιστρέφουν σίγουρα αποτέλεσμα, αν και ίσως θα οδηγούμαστε εκεί με πιο αργό τρόπο.
\paragraph{Παράδειγμα}
\label{sec:nontd_system}
Έστω ένα σύστημα του οποίου η περιγραφή εκφράζεται από τον τύπο:
\begin{equation}
y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + a_2y^{(n-2)} + \dots + a_{n-1}\dot y + a_n y = u
\label{eq:nontd_system}
\end{equation}
όπου \( u\in\mathbb R \) η είσοδος και \( y\in\mathbb R \) η έξοδος του συστήματος.
Εδώ παρατηρούμε ότι οι σταθερές \( a_i \) \textbf{δεν εξαρτώνται} από το \textbf{χρόνο}.
\textbf{Επιλέγουμε} να ορίσουμε τις μεταβλητές κατάστασης
\( (x_1,\ x_2,\dots,\ x_n) \) ως τις παραγώγους της εξόδου.
Η συγκεκριμένη επιλογή δουλεύει καλά:
\begin{align*}
x_1 &= y \\
x_2 &= \dot y \\
&\vdots \\
x_n &= y^{(n-1)}
\end{align*}
Η δυσκολία αλλά και ο στόχος που θέλουμε να πετύχουμε είναι η \textbf{εύρεση των \( n \) εξισώσεων κατάστασης} με βάση τις παραπάνω μεταβλητές. Εδώ παρατηρούμε ότι:
\begin{align*}
\dot x_1 &= \dot y = x_2\\
\dot x_2 &= \ddot y = x_3 \\
&\vdots \\
\dot x_{n-1} &= x_n
\end{align*}
και από την αρχική Διαφορική Εξίσωση \eqref{eq:nontd_system} έχουμε:
\[
\dot x_n = -a_1x_n -a_2x_{n-1} - \dots - a_{n-1}x_2 -a_nx_1 + u
\]
δηλαδή το σύνολο των εξισώσεων κατάστασης είναι:
\begin{align*}
\dot x_1 &= x_2\\
\dot x_2 &= x_3 \\
&\vdots \\
\dot x_{n-1} &= x_n\\
\dot x_n &= -a_1x_n -a_2x_{n-1} - \dots - a_{n-1}x_2 -a_nx_1 + u
\end{align*}
Σε \textbf{μορφή πίνακα}, οι \textbf{μεταβλητές κατάστασης} είναι:
\[
\dot X = \left[\begin{matrix}
\dot x_1 \\ \dot x_2 \\ \vdots \\ \dot x_n
\end{matrix}\right] = \left[
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
-a_n & - a_{n-1} & - a_{n-2} & \cdots & -a_1
\end{matrix}
\right] \left[\begin{matrix}
x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_{n-1} \\ x_n
\end{matrix}\right]
+ \left[\begin{matrix}
0\\0\\\vdots\\0\\1
\end{matrix}\right]u
\]
και η \textbf{έξοδος} του συστήματος προκύπτει από:
\[
y= \left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
x_1\\x_2\\\vdots\\x_n
\end{matrix}\right]
\]
\paragraph{Παράδειγμα με μεγαλύτερη τάξη εισόδου-εξόδου}
\phantomsection
\label{sec:nontd_highorder_system}
Έστω το σύστημα:
\[
y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + a_2y^{(n-2)} + \dots + a_{n-1}\dot y + a_n y =
b_0 u^{(n)} + b_1u^{(n-1)} + \dots + b_{n-1}\dot u + b_n u
\label{eq:nontd_highorder_system}
\]
Υπενθυμίζουμε ότι σκοπός είναι να βρούμε ένα σύνολο μεταβλητών κατάστασης που μπορούν
να παράγουν διαφορικές εξισώσεις που μπορούν να λυθούν, ώστε να περιγραφεί η λειτουργία του
συστήματος.
\begin{itemize}
\item Έστω ότι ακολουθούμε την προσέγγιση του προηγούμενου παραδείγματος, δηλαδή οι
μεταβλητές κατάστασης είναι:
\begin{align*}
x_1 &= y \\
x_2 &= \dot y \\
&\vdots \\
x_n &= y^{(n-1)}
\end{align*}
Με λύση:
\begin{align*}
\dot x_1 &= \dot y = x_2\\
\dot x_2 &= \ddot y = x_3 \\
&\vdots \\
\dot x_{n-1} &= x_n\\
\dot x_n &= -a_1x_n -a_2x_{n-1} - \dots - a_{n-1}x_2 -a_nx_1 + b_0 u^{(n)} + b_1u^{(n-1)} + \dots + b_{n-1}\dot u + b_n u
\end{align*}
Η παραπάνω λύση είναι σωστή, όμως απαιτεί τη γνώση \textbf{παραγώγων υψηλής τάξης} της
εισόδου \( u \), κάτι το οποίο ιδιαίτερα στα πραγματικά ΣΑΕ δεν μπορεί να υπολογιστεί,
επειδή απαιτούνται οι μελλοντικές τιμές του συστήματος.
\item Μία άλλη λύση που προτείνουμε είναι να \textbf{επιλέξουμε}:
\begin{alignat*}{2}
x_1 &= y - \beta_0 u && \\
x_2 &= \dot x_1 - \beta_1 u &&= \dot y - \beta_0\dot u - \beta_1u \\
&\vdots && \\
x_n &= \dot{x_{n-1}} - \beta_{n-1}u
&&= y^{(n-1)} - \beta_0u^{(n-1)} - \dots - \beta_{n-2}\dot u - \beta_{n-1}u
\end{alignat*}
Οι όροι \( \beta_i \) δεν είναι ίδιοι με τους \( b_i \), αλλά ορίζονται ως εξής:
\begin{align*}
\beta_0 &= b_0 \\
\beta_1 &= b_1 - a_1\beta_0\\
\beta_2 &= b_2 - a_1\beta_1 - a_2\beta_0\\
&\vdots\\
\beta_n &= b_n - a_1\beta_{n-1}-\dots - a_{n-1}\beta_1 - a_n\beta_0
\end{align*}
Το παραπάνω σύστημα μπορεί να λυθεί, και αποδεικνύεται ότι η κάθε εξίσωση περιέχει
την είσοδο \( u \) χωρίς να είναι σε παράγωγο.
\end{itemize}
\begin{exercise}[Παράδειγμα]
Στο παράδειγμα με το φυσικό σύστημα της προηγούμενης παραγράφου (\autoref{sec:physical_ex0}):
\[
m\ddot q + c\dot q + kq = u
\]
να γραφούν οι εξισώσεις κατάστασης του συστήματος σε μορφή πίνακα.
\tcblower
Η παραπάνω εξίσωση είναι η \textbf{διαφορική εξίσωση του συστήματος}.
Δεν εμφανίζονται ανώτερες παράγωγοι της εισόδου άρα χρησιμοποιούμε την απλή έκφραση
από επάνω (\autoref{sec:nontd_system}).
Η τάξη της εξίσωσης είναι \textbf{2}, άρα έχουμε \textbf{μόνο 2} μεταβλητές κατάστασης.
Σύμφωνα με την παράγραφο \autoref{sec:nontd_system}, επιλέγουμε:
\begin{alignat*}{4}
x_1 &=q \qquad && \dot x_1&&=x_2 \\
x_2&=\dot q \qquad && \dot x_2 &&= -\frac{c}{m}x_2 - \frac{k}{m}x_1
+ \frac{1}{m}u
\end{alignat*}
ή, σε μορφή πίνακα:
\begin{align*}
\dot x &= \left[\begin{matrix}
0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{c}{m}
\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
x_1\\x_2
\end{matrix}
\right]+\left[\begin{matrix}
0\\ \frac{1}{m}
\end{matrix}\right]u\\
y &= \left[\begin{matrix}
1 & 0
\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
x_1 \\ x_2
\end{matrix}\right]
\end{align*}
\end{exercise}
\begin{exercise}[Παράδειγμα]
Να γραφούν οι εξισώσεις κατάστασης του κυκλώματος:
\begin{circuitikz}[american]
\draw (0,2) to[V=$v_s(t)$] (0,0);
\draw (0,2) to[R=$R$,i>^=$i$] (2,2)
to[cute inductor=$L$] (4,2)
to[C=$C$] (4,0)
-- (0,0)
;
\end{circuitikz}
\tcblower
Λύνουμε το σύστημα με βάση τη φυσική του (νόμοι Kirchoff)
\begin{align*}
u_s(t) &=
iR + L\od{i}{t} + \frac{1}{C} \int_{0}^{t} i \dif\tau
\numberthis
\label{eq:ex0ceq}
\\
L\od[2]{i}{t} + R\od{i}{t} + \frac{1}{C} i &= \od{u_s(t)}{t}
\end{align*}
Η είσοδος του συστήματος είναι η ανεξάρτητη τροφοδοσία \( u_s(t) \), και η έξοδος
το ρεύμα \( i \), δηλαδή:
\begin{align*}
u &= u_s(t) \\
y &= i
\end{align*}
άρα η τελευταία διαφορική εξίσωση γράφεται απλούστερα:
\[
\ddot y + \frac{R}{L}\dot y + \frac{1}{CL} y = \frac{1}{L} \dot u
= 0\ddot u + \frac{1}{L}\dot u + 0u
\]
Αφού η είσοδος \( u \) είναι ανώτερης τάξης στη διαφορική αυτή, επιλέγουμε τις μεταβλητές
κατάστασης με βάση τη σελ. \pageref{sec:nontd_highorder_system}:
\begin{alignat*}{2}
x_1 &= y-\beta_0u,\qquad && \beta_0 = 0\\
x_2 &= \dot y-\beta_0 \dot u -\beta_1 u,\qquad && \beta_1 = \frac{1}{L}
\end{alignat*}
και εκτελώντας πράξεις:
\begin{align*}
x_1 = y &\implies \boxed{\dot x_1 = x_2 + \frac{1}{L}u} \\
x_2 = \dot x_1 - \beta_1 u \implies \dot x_2 = \ddot y - \frac{1}{L}\dot u
&\implies \dot x_2 = -\frac{R}{L}\dot y-\frac{1}{LC}y + \frac{1}{L}\dot u
- \frac{1}{L} \dot u \implies \\
&\implies\boxed{\dot x_2 = -\frac{R}{L}x_2 - \frac{R}{L^2}u-\frac{1}{LC}x_1}\\
\boxed{y=x_1}&
\end{align*}
\lecture{3}{2/3/2018}
\paragraph{Με διαφορετική επιλογή μεταβλητών κατάστασης}
Στην παραπάνω λύση διαλέξαμε τις μεταβλητές κατάστασης όπως γνωρίζαμε από τη θεωρία
των ΣΑΕ, οι οποίες οδήγησαν σε ένα αποτέλεσμα, αλλά με αρκετές πράξεις.
Εναλλακτικά, μπορούμε να διαλέξουμε διαφορετικές μεταβλητές κατάστασης. Στο συγκεκριμένο
πρόβλημα, επειδή ασχολούμαστε με ένα ηλεκτρικό κύκλωμα, επιλέγουμε τις \textbf{τυπικές
μεταβλητές} που αντιστοιχούν στην \textbf{τάση του πυκνωτή} \( x_1 \) και στο
\textbf{ρεύμα του πηνίου} \( x_2 \):
\begin{align*}
x_1 &= \frac{1}{C} \int_{0}^{t} i\dif t\\
x_2 &= i \implies \dot x_2 = \od{i}{t}
\end{align*}
και από αυτά προκύπτει ότι:
\begin{align*}
\dot x_1 &= \frac{1}{C} x_2\\
\dot x_2 &= \frac{x_1-x_2 R + u}{L} \qquad \text{λόγω της \eqref{eq:ex0ceq}}
\end{align*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Έστω το μηχανικό σύστημα:
\begin{circuitikz}
\fill[postaction={decorate},pattern=north east lines] (0,3) rectangle (-0.5,-0.5) rectangle (10,0);
\draw (2,0) rectangle ++(2,2) node[midway] {$M_2$} node[midway] (m2) {};
\draw (6,0) rectangle ++(2,2) node[midway] {$M_1$} node[midway] (m1) {};
\draw (2,0.4) to[damper,l_=$c_2$,invert] ++(-2,0);
\draw (2,1.6) to[spring,invert,l_=\raisebox{-1.5ex}{$k_2$}] ++(-2,0);
\draw (6,0.4) to[damper,l_=$c_1$,invert] ++(-2,0);
\draw (6,1.6) to[spring,invert,l_=\raisebox{-1.5ex}{$k_1$}] ++(-2,0);
\draw[thick,->] (8,1) -- ++(1.5,0) node[right] {$u$};
\draw[thick] (0,3) |- (10,0);
\draw[->] (m2) ++ (0,1.4) |- ++(2,0.7) node[above,pos=.75,gray] {$q_2$};
\draw[->] (m1) ++ (0,1.4) |- ++(2,0.7) node[above,pos=.75,gray] {$q_1$};
\end{circuitikz}
Να βρεθούν οι εξισώσεις κατάστασης, θεωρώντας ότι η έξοδος είναι η μετατόπιση του δεξιού
σώματος, δηλαδή:
\[
y= q_1
\]
\tcblower
Εφαρμόζοντας το νόμο του Νεύτωνα για κάθε σώμα, και αθροίζοντας τις δυνάμεις που
ασκούνται στο καθένα, έχουμε:
\begin{align}
M_1\ddot q_1 &= u - k_1(q_1-q_2) - c_1(\dot q_1 - \dot q_2)
\label{eq:ex0eq1}
\\
M_2\ddot q_2 &= -k_1(q_2-q_1) - c_1(\dot q_2 - \dot q_1)-k_2q_2-c_2\dot q_2
\label{eq:ex0eq2}
\end{align}
Το σύστημα αυτό είναι \textbf{4\textsuperscript{ης}} τάξης και 1\textsuperscript{ου}
βαθμού, αφού έχουμε 2 εξισώσεις 2\textsuperscript{ης} τάξης. Επομένως πρέπει να βρούμε
4 μεταβλητές και εξισώσεις κατάστασης.
Λαμβάνουμε τις μεταβλητές κατάστασης με βάση τη θεωρία:
\[
x_1 = q_1, \hfill x_2=\dot q_1, \hfill x_3=q_2,\hfill x_4=\dot q_2
\]
οπότε, πιο καθαρά:
\begin{align*}
\dot x_1 &= x_2 \\
\dot x_2 &= \frac{1}{M_1}u - \frac{k_1}{M_1}x_1 + \frac{k_1}{M_1}x_3
+ \frac{k_1}{M_1}x_2 + \frac{C_1}{M_1}x_4
\quad \text{(όπως προκύπτει από την \eqref{eq:ex0eq1})} \\
\dot x_3 &= x_4\\
\dot x_4 &= -\frac{k_1}{M_2}x_3 + \frac{k_1}{M_2}x_1 - \frac{c_1}{M_2}x_4
+ \frac{c_1}{M_2}x_2 - \frac{k_2}{M_2}x_3 - \frac{c_2}{M_2}x_4
\quad \text{(όπως προκύπτει από την \eqref{eq:ex0eq2})}
\end{align*}
Σε μορφή πίνακα:
\[
\dot x = \left[\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
-\frac{k_1}{M_1} & -\frac{c_1}{M_1} & \frac{k_1}{M_1} & \frac{c_1}{M_1}\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\frac{k_1}{M_2} & \frac{c_1}{M_2} & -\left(\frac{k_1+k_2}{M_2}\right)
& -\left(\frac{c_1+c_2}{M_2}\right)
\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
\end{matrix}\right] + \left[
\begin{matrix}
0 \\ \sfrac{1}{M_1} \\ 0 \\ 0
\end{matrix}
\right]u
\]
\end{exercise}
\subsection{Μετασχηματισμός Laplace}
Θυμόμαστε μια τυπική έκφραση ενός συστήματος συστήματος:
\[
y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + a_2y^{(n-2)} + \dots + a_{n-1}\dot y + a_n y =
b_0 u^{(n)} + b_1u^{(n-1)} + \dots + b_{n-1}\dot u + b_n u
\]
Αυτή μπορεί να μετασχηματιστεί κατά Laplace, όπως γνωρίζουμε:
\[
\left(
s^n + a_1s^{n-1} + \dots + a_{n-1}s + a_n
\right)Y(s) = \left(
b_0s^m = b_1s^{m-1} + \dots + b_{m-1}s+b_m
\right)U(s)
\]
και η \textbf{συνάρτηση μεταφοράς} προκύπτει κατά τα γνωστά:
\[
\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{
b_0s^m = b_1s^{m-1} + \dots + b_{m-1}s+b_m
}{
s^n + a_1s^{n-1} + \dots + a_{n-1}s + a_n
}
\] όπου συνήθως \( n \geq m \).
Προκύπτει το ερώτημα του πώς μπορεί να προκύψει η συνάρτηση μεταφοράς από τις εξισώσεις
κατάστασης, δηλαδή από την περιγραφή (σε μορφή πινάκων):
\begin{align*}
\dot x &= Ax + Bu\\
y &= Cx + Du
\end{align*}
όπου οι συντελεστές \( A,B,C,D \) είναι γνωστοί.
Μετασχηματίζοντας τις παραπάνω σχέσεις κατά Laplace, έχουμε:
\begin{align*}
sX(s) &= AX(s) + BU(s) \\
Y(s) &= CX(s) + DU(s)
\end{align*}
Εκτελούμε πράξεις:
\begin{align*}
(sI-A)X(s) &= BU(s) \implies \\
X(s) &= (sI-A)^{-1} B U(s) \implies \\
Y(s) &= \left[ C(sI-A)^{-1}B+D \right]U(s)
\end{align*}
δηλαδή η συνάρτηση μεταφοράς προκύπτει από τον τύπο:
\[
\boxed{
G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = C(sI-A)^{-1}B+D
}
\]
Ο υπολογισμός της συνάρτησης μεταφοράς μπορεί να φανεί χρήσιμος ανάλογα με τον τρόπο με
τον οποίο θέλουμε να λύσουμε ένα πρόβλημα. Για παράδειγμα, μπορεί να εφαρμοστεί αν θέλουμε
να εκμεταλλευτούμε τεχνικές του προηγούμενου εξαμήνου (π.χ. γεωμετρικός τόπος ριζών).
Υπενθυμίζουμε ότι σε ένα σύστημα αντιστοιχεί μία μοναδική διαφορική εξίσωση και μία μοναδική
συνάρτηση μεταφοράς, αλλά άπειρες διαφορετικές επιλογές μεταβλητών και εξισώσεων κατάστασης.
\subsection{Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων}
Για την αριθμητική επίλυση των διαφορικών εξισώσεων μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια μέθοδο
όπως η \textbf{μέθοδος Euler}, προσομοιώνοντας ουσιαστικά το μοντέλο του συστήματος.
Εκμεταλλευόμαστε τον ορισμό της παραγώγου:
\[
\dot x = \frac{x(t+\Delta t) - x(t)}{\Delta t}
\]
Ορίζουμε μια συνάρτηση που εκφράζει την παράγωγο:
\[
\dot x = f(x)
\]
επομένως:
\[
x(t+\Delta t) = f\left( x(t) \right) \cdot \Delta t + x(t)
\]
όπως προκύπτει από τον ορισμό της παραγώγου.
Για μικρό \( \Delta t \) η μέθοδος αυτή οδηγεί στο επιθυμητό αποτέλεσμα.
\subsection{Μελέτη Ευστάθειας Συστήματος}
Θα μελετήσουμε \textbf{τρόπους εύρεσης της ευστάθειας} ενός συστήματος, οι οποίες όμως δεν απαιτούν
προσομοίωση ή αναλυτική επίλυση.
Ο λόγος που δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε αναλυτική επίλυση, είναι ότι πολλές φορές είναι
δύσκολη η επίλυση των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν τα συστήματα, ιδιαίτερα αν είναι
μη γραμμικές.
Από την άλλη μεριά, η προσομοίωση λειτουργεί μόνο για μία επιλογή αρχικών τιμών. Μπορεί να
δώσει ενδείξεις ευστάθειας, αλλά όχι να την αποδείξει για όλο το εύρος των άπειρων αρχικών
συνθηκών.
Πρέπει επομένως να βρούμε τρόπους να \textit{αποδείξουμε} την ευστάθεια ή μη ενός συστήματος,
η οποία να μην βασίζεται απλώς στην εμπειρία μας.
\paragraph{Παράδειγμα}
Έστω το σύστημα:
\[
\dot x = \left[\begin{matrix}
\dot x_1\\ \dot x_2
\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}
x_2 \\ -\frac{c}{m}x_2 - \frac{k}{m}x_1
\end{matrix}\right] = f(x)
\]
το οποίο αναφέρεται σε ένα σώμα μάζας \( m \) που κινείται με την επίδραση ενός ελατηρίου
\( k \) και ενός αποσβεστήρα \( c \).
Η \textbf{ενέργεια} του συστήματος, όπως προκύπτει από τις γνώσεις μας στη φυσική, είναι:
\[
V(x_1,x_2) =
\underbrace{\frac{1}{2}kx_1^2}_{\mathclap{\text{Δυναμική Εν.}}}
\quad +\quad
\underbrace{\frac{1}{2}mx_2^2}_{\mathclap{\text{Κινητική Εν.}}}
\]
Αν την παραγωγίσουμε, έχουμε:
\begin{align*}
\dot V &=
kx_1\dot x_1 + mx_2\dot x_2 \\
&= kx_1x_2 + mx_2 \left(
-\frac{c}{m}x_2 - \frac{k}{m}x_1
\right)
\\ &= kx_1x_2 - cx_2^2 - kx_1x_2
\\ &= -cx_2^2 \quad \leq 0
\end{align*}
δηλαδή παρατηρούμε ότι η \textbf{παράγωγος} της ενέργειας είναι \textbf{αρνητική}, άρα η ενέργεια του
συστήματος σχεδόν κάθε στιγμή μειώνεται (φθίνουσα)! Αυτό μπορούμε να το αντιληφθούμε αφού στο σύστημα δεν
ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις, και εκτελεί κάποια ταλάντωση με μια απόσβαση που συνεχώς
αφαιρεί ενέργεια.
Δηλαδή κάθε στιγμή η ενέργεια είναι μικρότερη από την αρχική
\( V\left( x_1(0),\ x_2(0) \right) \):
\[
V\left( x_1(0),\ x_2(0) \right) \geq \frac{1}{2}k x_1^2
+ \frac{1}{2}mx_2^2
\]
Αυθαίρετα κρατάμε μόνο τον έναν όρο της παραπάνω σχέσης:
\begin{align*}
V\left( x_1(0),\ x_2(0) \right) &\geq \frac{1}{2}k x_1^2 \implies \\
\frac{1}{2}kx_1^2(0) + \frac{1}{2}mx_2^2(0) &\geq \frac{1}{2}kx_1^2
\implies \boxed{
x_1(t) \leq \sqrt{x_1^2(0) + \frac{m}{k}x_2^2(0)}
}\quad \forall t \geq 0
\end{align*}
ή, αν κρατήσουμε τον άλλον όρο:
\begin{align*}
V\left( x_1(0),\ x_2(0) \right) &\geq \frac{1}{2}m x_x^2 \implies \\
\frac{1}{2}kx_1^2(0) + \frac{1}{2}mx_2^2(0) &\geq \frac{1}{2}mx_2^2
\implies \boxed{
x_2(t) \leq \sqrt{\frac{k}{m}x_1^2(0) + x_2^2(0)}
}\quad \forall t \geq 0
\end{align*}
Παρατηρούμε δηλαδή ότι οι μεταβλητές κατάστασης είναι \textbf{φραγμένες}, δηλαδή δεν ξεπερνούν κάποια τιμή, το οποίο δηλώνει ευστάθεια του συστήματος, αφού δεν φτάνουν μέχρι
το \( \infty \).
\paragraph{}
Παραπάνω είδαμε ένα πρόβλημα στο οποίο \( \dot V(x_1,x_2) \leq 0 \). Η δυνατότητα ισότητας
(\( = \)) με το 0 δηλώνει ότι η συνάρτηση είναι απλά \textit{φθίνουσα}, και όχι
\textit{γνησίως φθίνουσα}, που σημαίνει ότι υπάρχουν διαστήματα στα οποία η παράγωγος
της ενέργειας είναι 0, και η ενέργεια παραμένει σταθερή χωρίς να μειώνεται. Έστω ένα τέτοιο
διάστημα στο παραπάνω σύστημα:
\[
\dot V(x_1,x_2) = 0
\xRightarrow{\dot V = -cx_2^2 \leq 0}
x_2 = 0
\xRightarrow[\dot x_2 = -\frac{c}{m} x_2 - \frac{k}{m} x_1]{\text{εξ. κατάστασης}}
x_1 = 0
\]
\begin{exercise}
Έστω ένα ποδήλατο σε κάτοψη (το κοιτάμε από πάνω):
\begin{circuitikz}
\def\rightsize{0.2}
\def\rang{9}
\draw (0,5) |- (5,0);
\draw[gray,mark position=0.8(d1),mark position=0.3(d1m)] (2,2) ++ (-45:0.1) -- ++(-45:2);
\draw[gray,mark position=0.78(dm)] (3,3) -- ++(-45:1);
\draw[gray,mark position=0.8(d2)] (4,4) ++ (-\rang:0.1) -- ++(-45:2);
\draw[gray,<->] (d1m) -- (dm) node[midway,sloped,fill=white] {$s$};
\draw[gray,<->] (d1) -- (d2) node[midway,sloped,fill=white] {$L$};
\draw (2,2) node[very thick,
rectangle,draw,postaction={decorate},pattern=vertical lines,minimum height=1.2cm,rotate=-45
] (w1) {};
\draw (3,3) node (wm) {};
\draw (4,4) node[very thick,
rectangle,draw,postaction={decorate},pattern=north west lines,minimum height=1.2cm,rotate=-\rang
] (w2) {};
\draw[dashed] (0,0) -- (w1);
\draw (0.5,0) to[bend right] node[right,midway,scale=.9] {$\theta$} (45:0.5);
\path (w1) -- (w2) node[pos=1] (b) {} node[midway] (m) {};
\draw[red!30!orange!70!black,thick,->] (wm.center) -- ++(90:1.2) node[left] {$u$} node[pos=.3] (u) {};
\draw[red!30!orange!30!black] (wm) ++(45:0.3*1.2) to[bend right] node[pos=.3,above,scale=.8] {$\phi$} (u.center);
\draw[very thick] (w1) -- (w2) {};
\path (2,2) ++(90:0.15) node[inner sep=0,outer sep=0] (a) {};
% \path (a) ++(45+90:4) node (O) {};
\begin{scope}[overlay]
\path [name path=(wpa)] (a) -- ++(45+90:8);
\path [name path=(wpb)] (b.center) -- ++(180-\rang:8);
\path [name intersections={of=(wpa) and (wpb),by=O}];
\end{scope}
\draw[brown!50!gray,dashed] (O.center) -- (a.center) node[midway,above,sloped] {$r$};
\draw[brown!50!gray] (a.center) ++(45:\rightsize) -- ++(45+90:\rightsize) node (ram) {} -- ++(45+180:\rightsize);
\path (a) -- (ram.center) node[midway,fill=brown!50!gray,circle,inner sep=0.2pt] {};
\draw[brown!50!gray,dashed] (O.center) -- (b.center);
\draw[brown!50!gray] (b.center) ++(90-\rang:\rightsize) -- ++(180-\rang:\rightsize) node (ram) {} -- ++(-\rang-90:\rightsize);
\path (b.center) -- (ram.center) node[midway,fill=brown!50!gray,circle,inner sep=0.2pt] {};
\draw[brown!50!gray,dashed] (O.center) -- (wm.center);
\draw[dashed] (w2) -- ++(90-\rang:1.5) node[midway] (w2m1) {};
\draw[dashed] (w2.north) -- ++(45:1) node[pos=.4] (w2m2) {}
(w2.north) edge[opacity=.1] ++(180+45:4);
\draw[red!30!orange!30!black] (w2m1.center) to[bend left] (w2m2.center) node[above,xshift=0mm,yshift=1mm,scale=.9] {$\delta$};
\filldraw[bottom color=magenta!80!black,top color=black] (O) circle(2.5pt)
node[above,yshift=2pt] {$O$};
\draw (wm.center) node[circle,fill,inner sep=1.5pt] {};
\end{circuitikz}
Το ποδήλατο έχει κέντρο μάζας και περιστρέφεται γύρω από ένα σημείο \( O \).
\tcblower
Κυνηγούμε γωνίες και τις προσθέτουμε στο σχήμα:\todo{fix the graph}
\begin{circuitikz}
\def\rightsize{0.2}
\def\rang{9}
\draw[<->] (0,6) node[left] {$y$} |- node[below left] {$O'$} (6,0) node[right] {$x$};
\draw[gray,mark position=0.8(d1),mark position=0.3(d1m)] (2,2) ++ (-45:0.1) -- ++(-45:2);
\draw[gray,mark position=0.78(dm)] (3,3) -- ++(-45:1);
\draw[gray,mark position=0.8(d2)] (4,4) ++ (-\rang:0.1) -- ++(-45:2);
\draw[gray,<->] (d1m) -- (dm) node[midway,sloped,fill=white] {$s$};
\draw[gray,<->] (d1) -- (d2) node[midway,sloped,fill=white] {$L$};
\draw (2,2) node[very thick,
rectangle,draw,postaction={decorate},pattern=vertical lines,minimum height=1.2cm,rotate=-45
] (w1) {};
\draw (3,3) node (wm) {};
\draw (4,4) node[very thick,
rectangle,draw,postaction={decorate},pattern=north west lines,minimum height=1.2cm,rotate=-\rang
] (w2) {};
\draw[dashed] (0,0) -- (w1);
\draw (0.5,0) to[bend right] node[right,midway,scale=.9] {$\theta$} (45:0.5);
\path (w1) -- (w2) node[pos=1] (b) {} node[midway] (m) {};
\draw[red!30!orange!70!black,thick,->] (wm.center) -- ++(90:1.2) node[left] {$u$} node[pos=.3] (u) {};
\draw[red!30!orange!30!black] (wm) ++(45:0.3*1.2) to[bend right] node[pos=.3,above,scale=.8] {$\phi$} (u.center);
\draw[very thick] (w1) -- (w2) {};
\path (2,2) ++(90:0.15) node[inner sep=0,outer sep=0] (a) {};
% \path (a) ++(45+90:4) node (O) {};
\begin{scope}[overlay]
\path [name path=(wpa)] (a) -- ++(45+90:8);
\path [name path=(wpb)] (b.center) -- ++(180-\rang:8);
\path [name intersections={of=(wpa) and (wpb),by=O}];
\end{scope}
\draw[brown!50!gray,dashed,mark position=0.2(r1),mark position=0.4(r2)] (O.center) -- (a.center) node[near end,above,sloped] {$r$};
\draw[brown!50!gray] (a.center) ++(45:\rightsize) -- ++(45+90:\rightsize) node (ram) {} -- ++(45+180:\rightsize);
\path (a) -- (ram.center) node[midway,fill=brown!50!gray,circle,inner sep=0.2pt] {};
\draw[brown!50!gray,dashed,mark position=0.35(r3)] (O.center) -- (b.center);
\draw[brown!50!gray] (b.center) ++(90-\rang:\rightsize) -- ++(180-\rang:\rightsize) node (ram) {} -- ++(-\rang-90:\rightsize);
\path (b.center) -- (ram.center) node[midway,fill=brown!50!gray,circle,inner sep=0.2pt] {};
\draw[brown!50!gray,dashed, mark position=0.19(r4)] (O.center) -- (wm.center);
\begin{scope}[thick,orange!50!red,opacity=.8]
\draw (r1) to[bend right] node[midway,right,yshift=-4pt] {$\phi$} (r4) ;
\draw (r2) to[bend right] node[midway,below,xshift=2pt] {$\delta$} (r3) ;
\end{scope}
\draw[very thick,red!30!orange!70!black,->] ([yshift=1pt]w1.center) node[circle,fill,inner sep=1pt] {} -- ++(45:1) node[below right] {$u_0$};
\draw[dashed] (w2) -- ++(90-\rang:1.5) node[midway] (w2m1) {};
\draw[dashed] (w2.north) -- ++(45:1) node[pos=.4] (w2m2) {}
(w2.north) edge[opacity=.1] ++(180+45:4);
\draw[red!30!orange!30!black] (w2m1.center) to[bend left] (w2m2.center) node[above,xshift=0mm,yshift=1mm,scale=.9] {$\delta$};
\filldraw[bottom color=magenta!80!black,top color=black] (O) circle(2.5pt)
node[above,yshift=2pt] {$O$};
\draw (wm.center) node[circle,fill,inner sep=1.5pt] {} node[right,yshift=0mm,xshift=1mm,scale=.7] {$(x,y)$};
\end{circuitikz}
Στα ορθογώνια τρίγωνα που προκύπτουν μεταξύ γωνιών και πλευρών, έχουμε:
\[
\left.
\begin{aligned}
\tan\phi &= \frac{s}{r}\\
\tan\delta &= \frac{L}{r}
\end{aligned}\right\rbrace
\implies \tan\phi = \frac{S}{L}\tan\delta
\]
Θεωρώντας ότι ο κάτω τροχός κινείται με ταχύτητα \( u_0 \), έχουμε:
\[
u\cos\phi = u_0
\]
Τώρα πρέπει να βρούμε μια διαφορική εξίσωση που να περιγράφει την κίνηση του
κέντρου βάρους του ποδηλάτου. Έστω λοιπόν \( (x,y) \) οι συντεταγμένες του κέντρου. Τότε:
\begin{align*}
\Aboxed{\od{x}{t} &=
u \cos (\phi+\theta) = \frac{u_0\cos(\phi+\theta)}{\cos\phi}} \\
\Aboxed{\od{y}{t} &=
u \sin(\phi+\theta) = \frac{u_0\sin(\phi+\theta)}{\cos\phi}}
\end{align*}
Επίσης πρέπει να βρούμε εξισώσεις κατάστασης για τον προσανατολισμό του ποδηλάτου.
Η γωνιακή ταχύτητα δίνεται από τη σχέση:
\[
\omega = \frac{u_0}{r} \qquad \text{ή} \qquad \omega = \od{\phi}{t}
\]
και, επειδή \( \tan\delta = \frac{L}{r} \):
\[
\omega = \frac{u_0}{L}\tan\delta
\]
Για μία μικρή μεταβολή \( \Delta \phi \) του προσανατολισμού του ποδηλάτου:
\begin{tikzpicture}
\def\rightsize{0.15}
\draw (0,0) node[circle,fill,inner sep=1pt] {} node[below right] {$O$};
\draw (0,0) -- ++(90:2) node (a) {} node[pos=.2] (aa) {};
\draw (0,0) -- ++(60:2) node (b) {} node[pos=.2] (ba) {};
\draw[brown!50!gray] (a.center) ++(0:\rightsize) -- ++(-90:\rightsize) node (ram) {} -- ++(180:\rightsize);
\path (a.center) -- (ram.center) node[midway,fill=brown!50!gray,circle,inner sep=0.2pt] {};
\draw[brown!50!gray] (b.center) ++(180-30:\rightsize) -- ++(-30-90:\rightsize) node (ram) {} -- ++(-30:\rightsize);
\path (b.center) -- (ram.center) node[midway,fill=brown!50!gray,circle,inner sep=0.2pt] {};
\draw[green!50!black,dashed] (-0.7,2.07) -- ++(-2:2) node[pos=.4] (ca) {};
\draw[green!50!black,dashed] (50:2.07) -- ++(150:2) node[pos=.7] (da) {};
\draw[very thick,blue!60!black] (0,0) ++ (100:2) arc [start angle=100,end angle=50,radius=2cm];
\draw[opacity=.8] (aa.center) to[bend left] node[midway,above,xshift=1.5pt,fill=white,fill opacity=.4,text opacity=1,scale=.7] {$\Delta\phi$} (ba.center);
\draw[opacity=.8,green!20!black] (ca.center) to[bend left] node[midway,left,yshift=1pt,fill=white,fill opacity=.4,text opacity=1,scale=.6] {$\theta$} (da.center);
\end{tikzpicture}
Οι γωνίες \( \Delta \phi \) και \( \theta \) είναι μεταξύ τους κάθετες, άρα ίσες,
επομένως:
\[
\boxed{\od{\theta}{t} = \frac{u_0}{L} \tan\delta}
\]
\end{exercise}
\lecture{4}{7/3/2018}
\section{Δυναμικά συστήματα}
Με τον όρο \textit{δυναμικά συστήματα} εννοούμε τα συστήματα των οποίων η συμπεριφορά αλλάζει με το χρόνο, δηλαδή όλα τα συστήματα
τα οποία μελετάμε.
Αφού ολοκληρωθεί η διαδικασία της μοντελοποίησης, οδηγούμαστε σε ένα σύστημα της μορφής:
\begin{align*}
\dot x &= f(x,u) \\
y &= h(x,u)
\end{align*}
όπου στόχος μας είναι να έχουμε κατάλληλη είσοδο \( u \) ώστε να
πετύχουμε έξοδο \( y \), όπου \( x \) είναι οι μεταβλητές κατάστασης.
\todo{wrap right graph of closed loop system?}
Αρχικά, επιλέγουμε η είσοδος να \textbf{εξαρτάται μόνο από την κατάσταση του συστήματος}. Αυτή είναι η πιο απλή μορφή ανάδρασης,
όπου δηλαδή η κατάσταση του συστήματος επηρεάζει την είσοδό του. Μαθηματικά:
\[
u = a(x)
\]
τότε:
\[
\dot x = f\left(x,\ a(x)\right)
\]
ή, θέτοντας κατάλληλα:
\[
\dot x = F(x)
\]
οπότε έχουμε να λύσουμε μια διαφορική εξίσωση:
\[
\od{x(t)}{t} = F\left( x(t) \right),\quad \forall \in [t_1,t_2]
\]
Οι ειδικές λύσεις της διαφορικής εξίσωσης, ως γνωστόν, είναι άπειρες. Για
να τις προσδιορίσουμε ακριβώς χρειάζεται να προσδιορίσουμε τις \textbf{αρχικές
συνθήκες}:
\[
x(t_0) = x_0
\]
Επίσης θέλουμε η \( F(x) \) να είναι \textbf{ομαλή}, δηλαδή να έχει συνεχείς
παραγώγους όλων των τάξεων. Παρ' όλα αυτά, ακόμα και με την ομαλότητα δεν μπορούμε να εγγυηθούμε αν το σύστημα
έχει λύση, και αν αυτή η λύση είναι \textbf{μοναδική}. Όταν μία (μη γραμμική)
διαφορική εξίσωση έχει περισσότερες λύσεις, τότε δεν μπορούμε να γνωρίζουμε ποιά
από όλες τις αποκρίσεις είναι αυτή που θα επιστρέψει το σύστημα.
\begin{exercise}[Παράδειγμα]
Έστω το σύστημα:
\[
\dot x = x^2
\]
για \( x\in\mathbb R,\quad x(0) = 1 \)
\tcblower
Το σύστημα αυτό έχει προφανή λύση:
\[
x(t) = \frac{1}{1-t}
\]
Όμως για \( t\to 1 \), το \( x(t) \) τείνει στο \( \infty \), δηλαδή το
σύστημα ουσιαστικά \textit{δεν έχει λύση} στο \( t = 1 \).
Διαπιστώνουμε δηλαδή ότι η παραπάνω συνθήκη της θεωρίας δεν αρκεί για να
διαπιστώσουμε ότι υπάρχει εύλογη λύση του συστήματος.
\end{exercise}
\begin{exercise}[Παράδειγμα]
Έστω το σύστημα:\[
\dot x = 2\sqrt{x}
\]
για \( x \in \mathbb R,\quad x(0) = 0 \)
\tcblower
Μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι η λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι:
\[
x(t) = \begin{cases}
0,\quad & \text{αν } t \in [0,a]\\
(t-a)^2,\quad & \text{αν } t > a
\end{cases}
\] για \( a > 0 \).
Εδώ παρατηρούμε πως εισάγεται στη λύση ένας συντελεστής \( a \), ο οποίος όμως δεν υπάρχει
στην αρχική διαφορική εξίσωση, αλλά εμφανίζεται απλώς στη λύση του συστήματος. Αυτό συμβαίνει
ακόμα και με την ύπαρξη της αρχικής συνθήκης \( x(0) = 0 \).
Δηλαδή το σύστημα αυτό έχει άπειρες λύσεις, που εξαρτώνται από την τιμή του \( a \).
Όμως δεν μπορούμε να γνωρίζουμε εκ των προτέρων πώς θα αποκριθεί αυτό.
\end{exercise}
Παρατηρούμε ότι δηλαδή η ομαλότητα του δεξιού μέλους των διαφορικών εξισώσεων δεν εξασφαλίζει
την ύπαρξη και τη μοναδικότητα των λύσεων.
\begin{theorem}{Συνέχεια κατά Lipschitz}{}
Εισάγουμε την έννοια της τοπικής \textbf{συνέχειας κατά Lipschitz}, που ικανοποιείται ότανν\footnote{όταν και μόνο όταν}:
% Not a typo!
\[
\left|
F(z_1) - F(z_2)
\right|
\leq \kappa |z_1-z_2|\qquad \forall z_1,z_2 \in \Omega \subset \mathbb R^n
\]
Αυτή είναι μια ιδιαίτερα αυστηρή συνθήκη για μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις.
\tcblower
Όταν η συνάρτηση \( F \) είναι \textbf{συνεχής κατά Lipschitz}, τότε η λύση του συστήματος \textbf{υπάρχει} και
είναι \textbf{μοναδική}.
\end{theorem}
Πρακτικά, για να ικανοποιείται η συνθήκη, πρέπει η συνάρτηση να βρίσκεται κάτω από μία ευθεία \( k|z| \), για κάποιο
πεπερασμένο \( k \):
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,-0.5) -- (0,3);
\draw[->] (-0.5,0) -- (3,0);
\draw[red!50!orange!90!blue,very thick] (0,0) -- (45:4) node[midway,above left] {$k|z|$};
\draw[blue!50!cyan,thick]
plot [smooth,samples=8,variable=\x,domain=0:3]
(\x,{\x/2*(rand+2)/2}) (2,0) node[above] {$F(x)$};
\end{tikzpicture}
Διαφορετικά, για κάποιες συναρτήσεις, όπως η εκθετική, δεν υπάρχει ευθεία η οποία να βρίσκεται
επάνω από τη συνάρτηση για οποιαδήποτε κλίση. Υπάρχουν μόνο τιμές του \( k \) που είναι
πιο πάνω από τη συνάρτηση μέχρι \textit{συγκεκριμένα σημεία}:
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,-0.5) -- (0,4.5);
\draw[->] (-0.5,0) -- (4,0);
\draw[red!50!orange!90!blue,very thick] (0,0) -- (45:5) node[midway,sloped,above left] {$k_2|z|$};
\draw[red!30!orange!90!blue,very thick] (0,0) -- (25:5) node[pos=.85,sloped,above left] {$k_1|z|$};
\draw[blue!50!cyan,thick]
plot [smooth,samples=\vlowsamples,variable=\x,domain=0:3]
(\x,{0.06*(exp(1.4*\x)-1)}) node[above] {$F(x)$};
\coordinate (m) at (2.01,0.91);
\coordinate (n) at (2.74,2.70);
\draw[dashed] (m) -- (m |- 0,0) (n) -- (n |- 0,0);
\end{tikzpicture}
\paragraph{}
\textbf{Ικανή συνθήκη} (αλλά όχι και \textit{αναγκαία}) για να ικανοποιείται η συνέχεια
κατά Lipschtz σε κάποιον χώρο \( \Omega \) είναι η \textbf{ιακωβιανή ορίζουσα} \( \od{F}{x} \) να είναι φραγμένη εκεί.
\subsubsection{Σημείο ισορροπίας}
\begin{defn}{Σημείο Ισορροπίας}{}
Για το σύστημα:\[
\dot x = F(x)
\]
ονομάζουμε \textbf{σημείο ισορροπίας} την τιμή του \( x \) που μηδενίζει το δεξί μέλος,
δηλαδή ένα \( x^* \) τέτοιο ώστε:
\[
F(x^*) = 0
\]
Ένα σύστημα μπορεί να έχει μηδέν, ένα, πολλαπλά ή άπειρα σημεία ισορροπίας.
\end{defn}
Τα σημεία ισορροπίας είναι σημαντικά, επειδή δηλώνουν πώς όταν φτάσει σε αυτά τα σημεία, το σύστημα
\( \dot x = F(x) \) που \textit{δεν εξαρτάται από το χρόνο και από εξωτερικές επιρροές},
τότε το σύστημα δεν πρόκειται να μεταβληθεί. Δηλαδή \textit{ισορροπεί} στο \( x^* \).
\begin{exercise}[Παράδειγμα]
\begin{wrapfigure}{r}{0.2\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\draw (-1,0) -- (1,0);
\draw (0,0) node[circle,inner sep=2pt,fill] {};
\draw[very thick] (0,0) -- ++(90:1.5) node[circle,inner sep=2pt,fill=white,draw] {} node[pos=.5] (a) {};
\draw[very thick] (0,0) -- ++(70:1.5) node[circle,inner sep=2pt,fill=white,draw] {} node[pos=.5] (b) {};
\draw[brown,->] (a.center) to[bend left] node[midway,above,xshift=1pt] {$\theta$} (b.center);
\begin{scope}[opacity=.5,dashed]
\draw[thick] (0,0) -- ++(-90:1.5cm-2/2pt) node[circle,inner sep=2pt,fill=white,draw,anchor=north] {} node[pos=.2] (c) {};
\draw[brown,->] (0,0.3) arc [start angle=90,end angle=-90,radius=0.3];
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{wrapfigure}
Ένα απλοποιημένο μοντέλο του αναστρεφόμενου εκκρεμούς, για μικρή γωνία \( \theta \), είναι:
\[
\left[
\begin{matrix}
\dot x_1 \\ \dot x_2
\end{matrix}
\right] = \left[
\begin{matrix}
x_2 \\ \sin x_1 - cx_2 + u\cdot \cos x_1
\end{matrix}
\right]
\]
όπου το \( x_1 \) εκφράζει τη \textbf{γωνία} \( \theta \), το \( x_2 \) εκφράζει
τη \textbf{γωνιακή ταχύτητα} του εκκρεμούς, και το \( u \) εκφράζει την εξωτερική ροπή
που ασκείται σε αυτό.
Να βρεθούν τα σημεία ισορροπίας του.
\tcblower
Για την εύρεση των σημείων ισορροπίας, θεωρούμε
\textbf{μηδενική εξωτερική επιρροή}, δηλαδή \( \underline{u=0} \), οπότε λύνουμε
την εξίσωση \( F(x^*) = 0 \):
\[
\left[
\begin{matrix}
\dot x_1 \\ \dot x_2
\end{matrix}
\right] = \left[\begin{matrix}
x_2 \\ \sin x_1 - cx_2
\end{matrix}
\right] = 0
\implies
\begin{cases}
x_2 &= 0 \\
\sin x_1 &= 0 \implies x_1 = \kappa \pi \quad \kappa \in \mathbb Z
\end{cases}
\]
Μαθηματικά, η παραπάνω εξίσωση έχει άπειρες λύσεις, αφού \( \kappa \in\mathbb Z \).
Όμως πρακτικά, αυτές οι τιμές αντιστοιχούν στις γωνίες \( \ang{0} \) και
\( \ang{180} \), δηλαδή στις δύο απέναντι κατακόρυφες θέσεις του εκκρεμούς.
\end{exercise}
\begin{defn}{Απομονωμένο Σημείο Ισορροπίας}{}
Ένα σημείο ισορροπίας ονομάζεται \textbf{απομονωμένο} αν υπάρχει κύκλος
με κέντρο το σημείο αυτό και ακτίνα μη μηδενική ο οποίος \textit{δεν} περιέχει άλλο
σημείο ισορροπίας.
Πρακτικά δηλαδή όταν δεν υπάρχει άλλο σημείο ισορροπίας δίπλα στο πρώτο.
\end{defn}
\begin{defn}{Οριακός Κύκλος}{}
\textbf{Οριακός Κύκλος} ονομάζεται μια \textbf{κλειστή περιοδική} τροχιά των λύσεων του
συστήματος.
Ο οριακός κύκλος είναι χαρακτηριστικό των μη γραμμικών συστημάτων. Δεν έχει απαραίτητα
κυκλικό σχήμα. Εκφράζει γραμμικές ταλαντώσεις.
\end{defn}
Με τον όρο \textit{κλειστή} τροχιά εννοούμε μια τροχιά η οποία καταλήγει
εκεί απ' όπου ξεκίνησε.
Σε ένα \textit{μη γραμμικό} σύστημα, δεν υπάρχει δεύτερη \textit{κλειστή περιοδική} τροχιά
\textit{γειτονικά} από μια πρώτη \textit{κλειστή περιοδική} τροχιά, κάτι που μπορεί να ισχύει
στα γραμμικά συστήματα. Μπορούν βέβαια να υπάρχουν ανοιχτές τροχιές που να συγκλίνουν ή να
αποκλίνουν από τον οριακό κύκλο.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.8]
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[below] {$x_1$};
\draw[->] (0,-3) -- (0,3) node[right] {$x_2$};
\draw[gray,dashed] (0,0) -- (40:0.6);
\draw[gray,dashed] (0,0) -- (250:2.4);
\draw[very thick,green!70!blue]
(0,0) circle (0.6cm);
\draw[very thick,green!75!blue]
(0,0) circle (1.2cm);
\draw[very thick,green!80!blue]
(0,0) circle (2.4cm);
\draw (current bounding box.south) node[below] {γραμμικό σύστημα};
\begin{scope}[xshift=10cm,local bounding box=scope1]
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[below] {$x_1$};
\draw[->] (0,-3) -- (0,3) node[right] {$x_2$};
\draw[very thick,green!70!blue]
(0,0) circle (0.9cm);
\draw[very thick,green!80!blue]
plot[smooth,samples=\midsamples,variable=\t,domain=0:2*pi]
({(0.9+\t/6.28)*sin(-\t r)},{(0.9+\t/6.28)*cos(\t r)})
;
\draw (scope1.south) node[below] {μη γραμμικό σύστημα};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{exercise}[Παράδειγμα]
\begin{align*}
\dot x_1 &= x_2 + x_1(1-x_1^2-x_2^2) \\
\dot x_2 &= -x_1+x_2(1-x_1^2-x_2^2)
\end{align*}
\tcblower
Μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι το σύστημα έχει λύση:
\[
\left(
x_1(t),\ x_2(t)
\right) = \left(
\sin t,\ \cos t
\right)
\]
Ο οριακός κύκλος εξαρτάται από το δεξί μέλος των εξισώσεων, και στο συγκεκριμένο
παράδειγμα είναι όντως ένας κύκλος.
\end{exercise}
\subsubsection{Ευστάθεια}
\begin{defn}{Ευσταθές σημείο ισορροπίας}{}
Έστω το σύστημα:
\[
\dot x = F(x)
\]
όπου η \( F \) τοπικά συνεχής κατά \( Lipschitz \),
και έστω η μοναδική του λύση για κάθε στιγμή \( t \), με αρχική συνθήκη \( x_0 \):
\[
x(t;\ x_0)
\]
και ένα σημείο ισορροπίας του:
\[
x^*
\]
Το σημείο \( x^* \) ονομάζεται \textbf{ευσταθές σημείο ισορροπίας} ανν:
\[
\forall \epsilon > 0,\quad
\exists \delta(\epsilon) > 0 :
\left|x_0-x^*\right| < \delta
\implies \left| x^*-x(t;\ x_0) \right| < \epsilon,\quad \forall t \geq 0
\]
\end{defn}
Πρακτικά, ξεκινάμε \textit{κοντά} από το σημείο ισορροπίας ( \( \left|x_0-x^*\right| < \delta \) ), και παραμένουμε \textit{κοντά}
σε αυτό. Δηλαδή, για να ικανοποιείται ο ορισμός, θα
πρέπει και το σημείο που φτάνουμε \( x(t; x_0) \) να είναι αρκετά κοντά στο σημείο ισορροπίας
\( x^* \), \textit{όσο προχωράει ο χρόνος}.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[below] {$x_1$};
\draw[->] (0,-3) -- (0,3) node[right] {$x_2$};
\def\xox{-0.5};
\def\xoy{-0.5};
\coordinate (x0) at (\xox,\xoy);
\def\r{ (sqrt( (\xox*\xox + \xoy*\xoy) )) * (1+0.2*\t) }
\def\phi{atan2(\xoy,\xox)}
\draw[ultra thick,green!50!blue,->]
plot[smooth,samples=\midsamples,variable=\t,domain=0:3*pi]
({\r*cos(-\t r + \phi)},{\r*sin(-\t r + \phi)})
node[circle,fill opacity=.5,fill,draw,inner sep=1.5pt,thick,opacity=.1,anchor=north west] {}
;
\path (0,0) node[circle,fill opacity=.5,fill,draw,inner sep=2pt,thick,fill=red!50!black] (O) {};
\path (x0) node[circle,fill opacity=.5,fill,draw,inner sep=1.2pt] {};
\draw (O) node[above right] {$x^*$};
\draw (x0) node[below left] {$x_0$};
\draw[green,thick,dashed] (0,0) circle (1cm);
\draw[green,thick,dashed] (0,0) circle (2.4cm);
\draw[densely dashed,blue!20!green!50!black] (0,0) -- (-50:1) node[above,midway,sloped] {$\delta$};
\draw[densely dashed,blue!20!green!50!black] (0,0) -- (165:2.4) node[above,midway,sloped] {$\varepsilon$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ο παραπάνω ορισμός εκφράζει την έννοια της ευστάθειας μόνο του \textbf{σημείου ισορροπίας}, όχι ολόκληρου του συστήματος.
Το \textbf{σύστημα} ονομάζεται \textbf{ευσταθές} αν όλα τα σημεία ισορροπίας του είναι \textit{ευσταθή}.
\begin{defn}{Ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας}{}
Ένα σημείο ισορροπίας ονομάζεται \textbf{ασυμπτωτικά ευσταθές} ότανν:
\begin{enumerate}
\item Είναι ευσταθές
\item Ισχύει:
\[
\lim_{t \to +\infty}x(t;x_0) = x^*
\]
για \( x_0 \) κοντά στο \( x^* \).
\end{enumerate}
\end{defn}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[below] {$x_1$};
\draw[->] (0,-3) -- (0,3) node[right] {$x_2$};
\def\xox{-1.5};
\def\xoy{-1.5};
\coordinate (x0) at (\xox,\xoy);
\def\rate{0.08}
\def\r{ (sqrt( (\xox*\xox + \xoy*\xoy) )) * (1-\rate*\t) }
\def\phi{atan2(\xoy,\xox)}
\draw[ultra thick,green!50!blue,
%mark position=0.2(c1),mark position=0.2001(c2),
%mark position=0.5(c3),mark position=0.501(c4),
%mark position=0.91009(c5),mark position=0.91015(c6)
]
plot[smooth,samples=\midsamples,variable=\t,domain=0:1/\rate]
({\r*cos(-\t r + \phi)},{\r*sin(-\t r + \phi)})
node[circle,fill opacity=.5,fill,draw,inner sep=1.5pt,thick,opacity=.1,anchor=north west] {}
;
%\draw[green!50!blue,very thick,->] %(c1) -- (c2)
% (c3) -- (c4); %(c5) -- (c6);
\path (0,0) node[circle,fill opacity=.5,fill,draw,inner sep=2pt,thick,fill=red!50!black] (O) {};
\path (x0) node[circle,fill opacity=.5,fill,draw,inner sep=1.2pt] {};
\draw (O) node[below left] {$x^*$};
\draw (x0) node[above right] {$x_0$};
%\draw[green,thick,dashed] (0,0) circle (1cm);
\draw[green,thick,dashed] (0,0) circle (2.4cm);
%\draw[densely dashed,blue!20!green!50!black] (-50:1) node[above] {$\delta$};
\draw[densely dashed,blue!20!green!50!black] (165:2.4) node[below left] {$\varepsilon$};
\end{tikzpicture}
Πρακτικά σημαίνει ότι το σύστημα προσεγγίζει το σημείο ισορροπίας, όσο το \( t\to \infty \).
\begin{defn}{Εκθετικά ευσταθές σημείο ισορροπίας}{}
Ένα σημείο ισορροπίας ονομάζεται \textbf{εκθετικά ευσταθές} ότανν:
\begin{enumerate}
\item Είναι \textbf{ασυμπτωτικά ευσταθές}
\item Η λύση είναι φραγμένη από μια εκθετικά αποσβεννύμενη καμπύλη, δηλαδή:
\[
\left|
x(t;x_0) - x^*
\right| \leq ae^{-\gamma t} \left|x_0\right|
\] για \( a,\gamma >0 \)
\end{enumerate}
\end{defn}
Πρακτικά, σημαίνει ότι το σημείο αυτό συγκλίνει εκθετικά γρήγορα στο σημείο ισορροπίας.
Όταν κάποια από τις παραπάνω ιδιότητες ισχύει για όλα τα σημεία του χώρου, δηλαδή:
\[
\forall x_0 \in \mathbb R^n
\]
τότε μιλάμε για \textbf{ολική} ευστάθεια ή ιδιότητες.
Όταν κάποια από τις παραπάνω ιδιότητες ισχύει μόνο για μερικά σημεία του χώρου, δηλαδή:
\[
\forall x_0 \in \Omega \subset \mathbb R^n
\]
τότε μιλάμε για \textbf{τοπική} ευστάθεια ή ιδιότητες.
\begin{defn}{Ομοιόμορφα τελικώς φραγμένη λύση}{}
Μία λύση \( x(t;x_0) \) με αρχική συνθήκη \( x_0 \) για χρόνο \( t \) ονομάζεται
\textbf{ομοιόμορφα τελικώς φραγμένη} ότανν:
\[
\forall \xi > 0 \quad
\exists M,T(\xi) > 0
\quad : \quad
\left|x_0\right| < \xi \implies \left|
x(t;x_0)\right| < M
, \quad \forall t > T(\xi)
\]
\end{defn}
Πρακτικά ο ορισμός αυτός σημαίνει ότι, από κάποιον χρόνο και μετά (που
εξαρτάται από την αρχική τιμή μέσω του \( \xi \)), η λύση είναι φραγμένη
από κάποια τιμή.
\begin{tikzpicture}[scale=1,xscale=1.4]
\fill[blue!70!green,opacity=.18] (2,0) rectangle (6.09,0.5);
\draw[->] (-0.5,0) -- (6,0) node[right] {$t$};
\draw[->] (0,-0.5) -- (0,2.5);
\draw (0,0) node[below left] {$O$};
\draw[dashed] (0,2) node[left] {$\xi$} -- ++(6,0);
\draw[dashed] (0,0.5) node[left] {$M$} -- ++(6.1,0);
\draw[very thick,blue!50!cyan] plot [smooth] coordinates {(0,1.8) (0.7,1.7) (1,1.25) (1.5,1.1) (2,0.5) (3,0.2) (3.9,0.10) (4.2, 0.2) (4.5, 0.4) (5,0.2) (5.5,0.3) (6,0.32)};
\path (0,1.8) node[circle,fill opacity=.5,fill,draw,inner sep=1.2pt] {} node[below left] {$x_0$};
\end{tikzpicture}
Η έννοια αυτή είναι σημαντική, επειδή μπορούμε να ελέγχουμε την τιμή του \( M \) ώστε να
πετύχουμε αρκετά καλή σύγκλιση στο 0.
\lecture{5}{9/3/2018}
\subsection{Για γραμμικά συστήματα}
\label{sec:linear_stability}
Ένα σύστημα του οποίου οι παράμετροι μπορούν να εκφραστούν με έναν γραμμικό
συντελεστή ονομάζεται \textbf{γραμμικό}:
\[
\dot x = F(x) = Ax
\] όπου ο \( A \) είναι ένας πίνακας \( A \in \mathbb R^{n\times n} \)
Ένα σύστημα έχει τυπικά \textbf{αρχική τιμή}:
\[
x(0) = x_0
\]
Τα \textbf{σημεία ισορροπίας} βρίσκονται από τη σχέση \( F(x) = 0 \), ή:
\[
Ax = 0
\]
και, αν ο \( A \) είναι \textit{αντιστρέψιμος} (ισοδύναμα \( \det(A)\neq 0 \)), τότε ισχύει:\[
x^* = 0
\]
\begin{theorem}{Ευστάθεια Γραμμικού Συστήματος}{linear_stability}
Για να είναι το σύστημα ευσταθές,
πρέπει όλες οι ιδιοτιμές του (λύσεις της εξίσωσης \( \det(sI-A)=0 \)) να έχουν
\textbf{αρνητικό πραγματικό μέρος}. Τότε είναι πάντα \textbf{ασυμπτωτικά ευσταθές}.
Σε περίπτωση που έστω και μία έχει \textbf{θετικό} πραγματικό
μέρος, το σύστημα είναι \textit{ασταθές}. \footnote{Για πραγματικό μέρος
\( =0 \) έχουμε την οριακή ευστάθεια.}
% TODO check
\end{theorem}
Συμπεραίνουμε ότι το σύστημα και η ευστάθειά του περιγράφονται ουσιαστικά πλήρως
από τον πίνακα \( A \).
\subsubsection{Ειδική περίπτωση: Πίνακας \( A \) διαγώνιος}
\begin{defn}{Διαγώνιος πίνακας}{}
Ένας \textbf{διαγώνιος} πίνακας έχει τη μορφή:\[
\dot x = \left[\begin{matrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_\nu
\end{matrix}
\right] x
\]
\end{defn}
Ένα σύστημα με διαγώνιο πίνακα \( A \) έχει προφανή λύση:
\[
x(t) = e^{\lambda_i t} \cdot x_i(0)
\]
Φαίνεται ότι για να έχουμε \textit{ευστάθεια}, πρέπει να ισχύει για όλους τους
συντελεστές \( \lambda \):
\[
\lambda_i < 0
\]
Επομένως είναι εύκολη η ανάλυση ενός συστήματος που μπορεί να περιγραφεί από
έναν διαγώνιο πίνακα, ή να \textit{μετασχηματιστεί} σε διαγώνιο πίνακα
με \textbf{κατάλληλη επιλογή μεταβλητών κατάστασης}.
\subsubsection{Ειδική περίπτωση: Πίνακας \( A \) μπλοκ-διαγώνιος}
\begin{defn}{Μπλοκ-διαγώνιος πίνακας}{}
Ένας \textbf{μπλοκ διαγώνιος} πίνακας έχει ουσιαστικά
επιμέρους διδιάστατους πίνακες στις
διαγωνίους του:
\[
\dot x = \left[
\begin{matrix}
\begin{matrix}
\sigma_1 & \omega_1 \\ -\omega_1 & \sigma_1
\end{matrix} & \mathlarger{\mathlarger{0}} & \cdots & \mathlarger{\mathlarger{0}} \\
\mathlarger{\mathlarger{0}} & \begin{matrix}
\sigma_2 & \omega_2 \\ -\omega_2 & \sigma_2
\end{matrix} & \cdots & \mathlarger{\mathlarger{0}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\mathlarger{\mathlarger{0}} & \mathlarger{\mathlarger{0}} & \cdots & \begin{matrix}
\sigma_\nu & \omega_\nu \\ -\omega_\nu & \sigma_\nu
\end{matrix}
\end{matrix}
\right]x
= \left[\begin{matrix}
\sigma_1 & \omega_1 & \cdots & 0 & 0\\
-\omega_1 & \sigma_1 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \sigma_\nu & \omega_\nu \\
0 & 0 & \cdots & -\omega_\nu & \sigma_\nu
\end{matrix}\right]x
\]
\end{defn}
Τότε λειτουργούμε αντίστοιχα με παραπάνω, με τους συντελεστές \( \lambda \)
να είναι:
\[
\lambda_i = \sigma_i \pm j\omega_i
\]
\begin{exercise}[Παράδειγμα]
Δίνεται το σύστημα:
\begin{align*}
\dot x &= \left[
\begin{matrix}
-k_0-k_1 & k_1 \\
k_2 & -k_2
\end{matrix}
\right]\left[\begin{matrix}
x_1 \\ x_2
\end{matrix}\right] + \left[
\begin{matrix}
b_0 \\ 0
\end{matrix}
\right]u \\
y &= \left[
\begin{matrix}
0 & 1
\end{matrix}
\right]\left[\begin{matrix}
x_1 \\ x_2
\end{matrix}\right]
\end{align*}
όπου \( k_0,k_1,k_2,b_0 > 0 \).
Να επιλεγεί είσοδος ώστε να έχουμε ευστάθεια, και \( y \to 0 \).
\tcblower
Επιλέγουμε αυθαίρετα τον παρακάτω ελεγκτή:
\[
u = -kx_2\qquad k>0
\]
Πρακτικά δηλαδή μετατρέπουμε το σύστημα ανοιχτού βρόχου σε σύστημα κλειστού
βρόχου, αφού μεταφέρουμε μία παράμετρό του στην είσοδο. Μαθηματικά,
αντικαθιστούμε στον δοθέντα τύπο του \( \dot x \):
\begin{align*}
\dot x &= \left[\begin{matrix}
-k_0-k_1 & k_1 \\ k_2 & -k_2
\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
x_1 \\ x_2
\end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}
-b_0kx_2 \\ 0
\end{matrix}\right]
\\ &=
\left[\begin{matrix}
-k_0 - k_1 & k_1-b_0k \\
k_2 & -k_2
\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
x_1 \\ x_2
\end{matrix}\right]
\end{align*}
Ο πίνακας \( A=\left[\begin{matrix}
-k_0 - k_1 & k_1-b_0k \\
k_2 & -k_2
\end{matrix}\right] \) δεν ανήκει σε κάποια από τις ειδικές περιπτώσεις
που αναφέραμε, επομένως πρέπει να βρούμε τις \textbf{ιδιοτιμές} του:
\begin{align*}
\det(sI-A) = 0 \implies \det\left(\left[\begin{matrix}
s+k_0+k_1 & b_0k-k_1 \\ -k_2 & s+k_2 \end{matrix}
\right]\right) &= 0 \implies \\
s^2 + (k_0+k_1+k_2)s + k_2(b_0k + k_0) &= 0
\end{align*}
Αντί να βρούμε αναλυτικά την τιμή των ιδιοτιμών, μπορούμε απλά να
απαιτήσουμε να έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος. Αυτό μπορούμε να το
πετύχουμε με το \textbf{κριτήριο Routh - Hurwitz}, ή, εναλλακτικά, επειδή
εδώ έχουμε 2\textsuperscript{o}βάθμια εξίσωση, να φροντίσουμε ώστε όλοι
οι συντελεστές να είναι ομόσημοι\footnote{Το συμπέρασμα αυτό προκύπτει από εφαρμογή του κριτηρίου Routh}, δηλαδή:
\begin{align*}
k_0+k_1+k_2 &> 0\\
k_2(b_0k+k_0) &> 0
\end{align*}
Επομένως η συνθήκη που πρέπει να ικανοποιεί το \( k \) είναι:
\[
k > -\frac{k_0}{b_0} \impliedby k>0 \text{ που ήδη ισχύει}
\]
Επίσης, ισχύει \( \det(A) = k_2(k_0+k_1)-k_2(k_1-b_0k) = k_2k_0(1+b_0) \neq 0 \), άρα το σημείο ισορροπίας βρίσκεται στη θέση \( x^* = 0 \).
Επειδή το σύστημα είναι \textit{ασυμπτωτικά ευσταθές}, σύμφωνα
με το \autoref{th:linear_stability}, το
\( x \) τείνει στο \( x^* = 0 \). Όμως η έξοδος \( y \) είναι \( y=0x_1 + 1x_2 \), όπως δίνεται από την εκφώνηση.
Άρα και \( y\to 0 \).
Τελικά ικανοποιούνται τα ζητούμενα χρησιμοποιώντας τον ελεγκτή \( u=-kx_2 \).
\end{exercise}
\subsection{Μελέτη ευστάθειας σε μη γραμμικά συστήματα}
Έστω το σύστημα \( \dot x = F(x) \) με σημείο ισορροπίας \( x^* \).
\subsubsection{Με γραμμικοποίηση}
Ένας τρόπος να μελετήσουμε την ευστάθεια ενός σημείου ισορροπίας, είναι να
μελετήσουμε την \textbf{ευστάθεια στη γειτονιά του} (για παράδειγμα, στο
αναστρεφόμενο εκκρεμές, εκτρέπουμε κατά μικρή γωνία \( \theta \), αφήνουμε
το εκκρεμές, και παρατηρούμε τη συμπεριφορά του).
Για αυτήν τη μελέτη, \textbf{"γραμμικοποιούμε"} το σύστημα που μελετάμε,
χρησιμοποιώντας ανάπτυγμα Taylor 1\textsuperscript{ης} τάξης:
\[
\dot x = F(x^*)
+ \underbrace{\left. \pd{F}{x} \right|_{x=x^*} (x-x^*)}_{\mathclap{\text{1\textsuperscript{ος} όρος}}}
+ \underbrace{\cancelto{0}{R\left(\left|x-x^*\right|\right)}}_{\mathclap{\text{υπόλοιποι όροι}}}
\]
Το ανάπτυγμα Taylor επιστρέφει ορθά αποτελέσματα για τιμές κοντά στο \( x^* \),
δηλαδή για μικρά \( \left|x-x^*\right| \), οπότε και μπορούμε να αγνοήσουμε
τους όρους μεγαλύτερους από την πρώτη τάξη, οι οποίοι είναι αμελητέοι:
\begin{align*}
\dot x &= F(x^*) + \left. \pd{F}{x} \right|_{x=x^*}(x-x^*)
\xRightarrow[F(x^*) = 0]{x^* \text{ σημ. ισορροπίας }} \\
\dot x &= \left. \pd{F}{x} \right|_{x=x^*} (x-x^*)
\end{align*}
Εδώ έχουμε φτάσει στο σημείο να μπορούμε να θέσουμε έναν \textbf{σταθερό} πίνακα \( A \):
\[
A = \left. \pd{F}{x} \right|_{x=x^*}
\]
οπότε το \textit{γραμμικοποιημένο} σύστημα έχει τη μορφή:
\[
\dot x = A(x-x^*)
\]
και, θέτοντας \( z=x-x^* \), έχουμε:
\[
\boxed{\dot z = Az}
\]
Το παραπάνω σύστημα μπορεί να μελετηθεί όπως τα υπόλοιπα γραμμικά συστήματα
(\autoref{sec:linear_stability}).
\textbf{Προσοχή!} Η παραπάνω μέθοδος μπορεί να εφαρμοστεί \textbf{μόνο για τοπική} ευστάθεια, και δεν εξάγει βέβαια συμπεράσματα για ολική ευστάθεια. Ένα
σύστημα που είναι \textit{ευσταθές} για \textit{μικρές εκτροπές}, δεν είναι απαραίτητα
ευσταθές για μεγαλύτερες. Αντίθετα, αν είναι \textit{ασταθές} για \textit{μικρές}
εκτροπές, τότε στις περισσότερες περιπτώσεις είναι \textit{ασταθές} και για
μεγαλύτερες.
\begin{exercise}[Παράδειγμα]
Ένα απλοποιημένο μοντέλο του αναστρεφόμενου εκκρεμούς είναι το εξής:
\[
\dot x = \left[\begin{matrix}
x_2 \\ \sin x_1 - γ x_2 \end{matrix}
\right], \qquad γ > 0
\]
Τα σημεία ισορροπίας του συστήματος είναι τα \( (0,0) \) και
\( (π,0) \). Να μελετηθεί
η τοπική ευστάθεια γύρω από αυτά.
\tcbsubtitle{Λύση για \( (0,0) \)}
Το σύστημα είναι μη γραμμικό, λόγω της ύπαρξης του \textit{ημιτόνου}.
Για \( x_1 \) \textit{κοντά} στο 0, ισχύει κατά τα γνωστά:
\[
\sin x_1 \equiv x_1
\]
Αφού θέλουμε να γραμμικοποιήσουμε στη γειτονιά του \( (0,0) \), αρκεί
να αντικαταστήσουμε το ημίτονο με το προσεγγιστικά ισοδύναμό του,
και έχουμε:
\[
\dot x = \left[\begin{matrix}
x_2 \\ x_1-γx_2
\end{matrix}\right] = \underbrace{\left[\begin{matrix}
0 & 1 \\ 1 & -\gamma
\end{matrix}\right]}_A \left[\begin{matrix}
x_1 \\ x_2
\end{matrix}\right]
\]
Μελετάμε τις ιδιοτιμές του \( A \):
\[
\det(sI-A) = 0 \implies \dots \implies s^2 + \gamma s - 1 = 0
\]
το οποίο έχει μία λύση με αρνητικό πραγματικό μέρος, και μία με θετικό.
Συνεπώς, το σύστημα σε εκείνο το σημείο είναι
\textbf{τοπικά ασταθές}. Άλλωστε, αν μετακινήσουμε το εκκρεμές ελαφρά,
αυτό θα αρχίσει να κινείται χωρίς να σταματήσει.
\tcbsubtitle{Λύση για \( (π,0) \)}
Ακολουθούμε τη θεωρία. Από τη σχέση \( z = x-x* \) υπολογίζουμε:
\begin{align*}
z_1 &= x_1 - π \\
x_2 &= x_2 - 0
\end{align*}
άρα: \[
(z_1,z_2) = \left(x_1-π, \ x_2\right)
\]
και το σύστημα είναι:
\[
\dot z = \left[\begin{matrix}
z_2 \\ \sin(z_1 + π) - \gamma z_2
\end{matrix}\right]
\]
Θεωρούμε την προσέγγιση:
\[
\sin(z_1 + π) = -\sin z_1 \overset{z_1 \equiv 0}{\simeq} -z_1
\]
άρα η γραμμικοποίηση είναι:
\[
\dot z = \left[\begin{matrix}
z_2 \\ -z_1-\gamma z_2
\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}
0 & 1 \\ -1 &-\gamma
\end{matrix}
\right]\left[\begin{matrix}
z_1 \\ z_2
\end{matrix}\right]
\]
με ιδιοτιμές:
\[
\det(sI-A) = 0 \implies s^2 + \gamma s + 1 =0 \xRightarrow{\cdots} s_{1,2} = \frac{-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2-4}}{2}
\]
Οι ιδιοτιμές αυτές είναι πάντα αρνητικές, επομένως το σύστημα είναι τοπικά ευσταθές στο \( (π,0) \).
\end{exercise}
\subsubsection{Με το 2\textsuperscript{ο} θεώρημα Lyapunov}
Έστω το σύστημα \( \dot x = F(x) \) με σημείο ισορροπίας \( x^* \).
Η ιδέα της μεθόδου του Lyapunov είναι να βρούμε μια συνάρτηση που συγκλίνει
στο σημείο ισορροπίας, και φθίνει συνεχώς κατά μήκος της διαδρομής του \( x \).
\paragraph{}
Πρώτα θα δώσουμε μερικούς βοηθητικούς ορισμούς.
\begin{defn}{Θετικά ορισμένη συνάρτηση}{}
Μία συνάρτηση \( V(x) \) όπου \( V: \mathbb R^n \to \mathbb R \) ονομάζεται \textbf{θετικά
ορισμένη} όταν:
\begin{enumerate}
\item Είναι συνεχώς παραγωγίσιμη
\item Είναι θετική για \( x\neq 0 \):
\[
V(x) > 0 \quad \forall x\neq 0
\]
\item Είναι μηδενική μόνο για \( x=0 \):
\[
V(x) = 0 \iff x=0
\]
\end{enumerate}
\end{defn}
\begin{defn}{Αρνητικά ορισμένη συνάρτηση}{}
Μία συνάρτηση \( V(x) \) όπου \( V: \mathbb R^n \to \mathbb R \) ονομάζεται \textbf{αρνητικά
ορισμένη} όταν:
\begin{enumerate}
\item Είναι συνεχώς παραγωγίσιμη
\item Είναι {\color{red!70!black}αρνητική} για \( x\neq 0 \):
\[
V(x) ~ {\color{red!70!black}< 0} \quad \forall x\neq 0
\]
\item Είναι μηδενική μόνο για \( x=0 \):
\[
V(x) = 0 \iff x=0
\]
\end{enumerate}
\end{defn}
\begin{defn}{Θετικά ημιορισμένη συνάρτηση}{}
Μία συνάρτηση \( V(x) \) όπου \( V: \mathbb R^n \to \mathbb R \) ονομάζεται \textbf{θετικά
ημιορισμένη} όταν:\footnote{Η απαίτηση \( V(0) = 0 \) για θετικά/αρνητικά \textbf{ημι}ορισμένες συναρτήσεις δεν αναφέρεται στις σημειώσεις του
μαθήματος, αλλά υπάρχει γενικότερα στη βιβλιογραφία.}
\begin{enumerate}
\item Είναι συνεχώς παραγωγίσιμη
\item Είναι {\color{orange!70!black}\textit{μη} αρνητική} για \( x\neq 0 \):
\[
V(x) ~ {\color{orange!70!black}\geq 0} \quad \forall x\neq 0
\]
%\item Είναι μηδενική για \( x=0 \):
%\[
%V(0) = 0
%\]
% Note: The required V(0) = 0 for a positive/negative SEMI-definite function
% is not mentioned in the lecture notes, but it is specified on other
% textbooks.
\end{enumerate}
\end{defn}
Αντίστοιχα ορίζεται η \textit{αρνητικά ημιορισμένη} συνάρτηση.
\begin{exercise}[Παράδειγμα]
Έστω το διάνυσμα:
\[
x = \left[\begin{matrix}
x_1 & x_2
\end{matrix}\right]^T
\]
Να εξεταστούν οι συναρτήσεις ως προς τα παραπάνω:
\begin{align*}
V_1(x) &= x_1^2 + x_2^2 \\
V_2(x) &= x_1^2
\end{align*}
\tcblower
\begin{enumparen}
\item Η \( V_1 \) είναι μηδενική \textit{μόνο} για \( (x_1,x_2) = 0 \),
και στα υπόλοιπα σημεία είναι θετική. Επομένως είναι \textbf{θετικά ορισμένη}.
\item Η \( V_2 \) είναι μηδενική για \( (x_1,x_2) = 0\), όμως είναι μηδενική επιπλέον και για όλα
τα \( x= (0,a), \) \quad \( a \neq 0 \). Επομένως \textit{δεν} είναι θετικά ορισμένη.
Είναι όμως \textbf{θετικά ημιορισμένη}, αφού δεν λαμβάνει
αρνητικές τιμές.
\end{enumparen}
\end{exercise}
\begin{theorem}{Θεώρημα Lyapunov}{}
Έστω ένα σύστημα: \[
\dot x = F(x)
\]
και μία \textbf{μη}-αρνητική συνάρτηση \( V \) επάνω στην τροχιά του \( x \) που ορίζεται ως
εξής:
\[
\dot V = \pd{V^T}{x} \dot x = \pd{V^T}{x} F(x)
\]
Έστω επίσης μία σφαίρα πεπερασμένης ακτίνας \( r \) με
κέντρο το \(0\):
\[
B_r(0) = \left\lbrace x\in \mathbb R^n :\ |x|<r \right\rbrace
\]
Αν υπάρχει \( r > 0 \) τέτοιο ώστε \( V \) \textbf{θετικά ορισμένη}
και \( \dot V \) \textbf{αρνητικά ημιορισμένη} στη σφαίρα, τότε το \( x \) είναι τοπικά
ευσταθές σημείο ισορροπίας.
Αν η \( \dot V \) είναι αρνητικά ορισμένη, τότε το σημείο είναι \textbf{ασυμπτωτικά} ευσταθές.
Η συνάρτηση \( V \) ονομάζεται \textbf{συνάρτηση Lyapunov}.
\end{theorem}
Γεωμετρικά, σχεδιάζουμε \textit{ισοβαρείς καμπύλες}, δηλαδή καμπύλες όπου
οι τιμές της συνάρτησης Lyapunov είναι ίσες:
\todo{Graph 18}
\paragraph{Παρατηρήσεις}
\begin{itemize}
\item Για κάθε ευσταθές σημείο ισορροπίας σε κάθε σύστημα, \textbf{υπάρχει
συνάρτηση Lyapunov}. Επομένως η ύπαρξη τέτοιας συνάρτησης είναι
\textbf{ικανή και αναγκαία} συνθήκη για τη μελέτη της ευστάθειας.
\item Αν και δεν απαιτείται η εύρεση του συστήματος, η συνάρτηση
Lyapunov δεν δίνεται, και πρέπει να \textbf{επιλεγεί} από εμάς. Δεν υπάρχει
αλγοριθμική διαδικασία που να προβλέπει τέτοια συνάρτηση, αλλά πρέπει να
σκεφτούμε εμείς, χρησιμοποιώντας την εμπειρία του σχεδιαστή.
\item Το θεώρημα Lyapunov υπονοεί την απαίτηση να λύνεται
το σύστημα, δηλαδή να είναι συνεχές κατά Lipschitz.
\end{itemize}
\lecture{6}{14/3/2018}
\begin{exercise}
Να μελετηθεί η ευστάθεια των σημείων ισορροπίας του συστήματος:
\[
\dot x = \frac{2}{1+x}-x,\quad x\in\mathbb R
\]
\tcblower
Πρώτα πρέπει να βρούμε τα σημεία ισορροπίας. Έχουμε:
\[
\frac{2}{1+x} - x = 0 \implies \frac{2-x(1+x)}{1+x} = 0
\implies -x^2 -x +2 = 0 \implies x_{1,2} = -2,\ 1
\]
\begin{itemize}
\item Για το \textbf{σημείο ισορροπίας} \( x^* = 1 \), έχουμε τις γνωστές
σχέσεις:
\begin{align*}
z &= x-x^* \\ \implies
z &= x-1
\end{align*}
άρα, παραγωγίζοντας:
\[
\dot z = \dot x \implies \dot z = \frac{2}{z+2} -z -1
\]
\textbf{Επιλέγουμε} ως \textbf{\textit{υποψήφια} συνάρτηση Lyapunov} την:
\[
V(z) = \frac{1}{2} z^2
\]
Πρέπει να επιβεβαιώσουμε ότι ικανοποιεί τις συνθήκες για να είναι όντως
συνάρτηση Lyapunov. Παραγωγίζουμε:
\begin{align*}
\dot V(z) &= z\dot z \\
&= \frac{2z}{z+2} - z(z+1) \\
&= \frac{2z-(z^2+z)(z+2)}{z+2} \numberthis \label{eq:sec1ex0l}
\end{align*}
Πρέπει να μελετήσουμε το πρόσημο της \( \dot V \) για έναν κύκλο
μικρής ακτίνας \( r \) με κέντρο 0, που συμβολίζεται ως \( z \in B_r(0) \).
Λόγω του όρου \( z+2 \) στον παρονομαστή, πρέπει \( z\neq -2 \). Για να υπάρχει
συνέχεια κοντά στο 0, πρέπει \( z+2 > 0 \), άρα ο κύκλος πρέπει να έχει ακτίνα
\( r < 2 \).
Ελέγχουμε το \textit{πρόσημο} του \textbf{αριθμητή} του κλάσματος της \eqref{eq:sec1ex0l}. Ο αριθμητής είναι ίσος με \( -z^3-3z^2 \), άρα θέλουμε:
\[
-z^3 - 3z^2 < 0 \implies -z^2(z+3) < 0, \quad \text{ που ισχύει για $z$ < 2}.
\]
Επομένως, αφού ισχύουν οι ζητούμενες συνθήκες, το σημείο είναι
\textbf{τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές}. Η \textit{τοπική} ευστάθεια εκφράζει πως το
σύστημα είναι ευσταθές μόνο όσο η διαταραχή ανήκει στον κύκλο \( B_r(0) \). Αν
ξεφύγει από αυτόν, τότε το σύστημα ίσως παρουσιάσει αστάθεια.
\item Με αντίστοιχο τρόπο, βρίσκουμε ότι και το \( x_1 = -2 \) είναι σημείο
τοπικά ασυμπτωτικής ευστάθειας. Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση για το σπίτι.
\end{itemize}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Δίνεται ένα απλοποιημένο μοντέλο του εκκρεμούς:
\begin{align*}
\dot x_1 &= x_2 \\
\dot x_2 &= -\sin x_1
\end{align*}
όπου \( x_1 \) η γωνία εκτροπής, και \( x_2 \) η γωνιακή ταχύτητα, με σημείο ισορροπίας το \( (0,0) \). Να μελετήσετε την ευστάθεια αυτού του σημείου
ισορροπίας.
\tcblower
Οι πιο συνηθισμένες και απλές επιλογές συναρτήσεων Lyapunov είναι οι \textit{τετραγωνικές} μορφές. Επίσης, προσέχουμε στην επιλογή μας οι συναρτήσεις
να είναι συναρτήσεις όλων των μεταβλητών του συστήματός μας.
Επομένως, εδώ μπορούμε να \textbf{επιλέξουμε} ως υποψήφια συνάρτηση Lyapunov την εξής:
\[
V(x_1,x_2) = \frac{1}{2}x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2
\]
με χρονική παράγωγο:
\begin{align*}
\dot V &= x_1\dot x_1 + x_2\dot x_2
\\ &= x_1x_2 - x_2\sin x_1
\\ &= x_2(x_1 - \sin x_1)
\end{align*}
Στην περίπτωση που \( x_1 \simeq 0 \) ισχύει \( \sin x_1 \simeq x_1 \), άρα:
\begin{align*}
\dot V &= x_2(x_1-x_1) \\ &= 0
\end{align*}
Η συνάρτηση είναι \textbf{αρνητικά ημι-ορισμένη}. Επίσης, λόγω
του περιορισμού ότι \( x_1 \) \textit{κοντά} στο 0, το σημείο
είναι \textbf{\textit{τοπικά}} ευσταθές.
\paragraph{}
Όμως αυτή η προσέγγιση μας δίνει συμπεράσματα μόνο για την
\textit{τοπική} και όχι την \textit{ολική} ευστάθεια του συστήματος.
Για να μελετήσουμε την ολική, σκεφτόμαστε να χρησιμοποιήσουμε
μια συνάρτηση Lyapunov που προέρχεται από τη φυσική
σημασία του προβλήματος, και πιο συγκεκριμένα την
\textbf{ενέργειά} του.
\todo{Graph 19}
Η ενέργεια είναι το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής
ενέργειας του συστήματος (το οποίο είναι κανονικοποιημένο όσον
αφορά τη μάζα και το μήκος του εκκρεμούς):
\[
V(x_1,x_2)
= \underbrace{1-\cos x_1}_{\mathclap{\text{δυναμική }(mgh)}}
+ \underbrace{\frac{1}{2}x_2^2}_{\mathclap{\text{κινητική}}}
\]
Παραγωγίζουμε:
\begin{align*}
\dot V &= \dot x_1\sin x_1 + x_2\dot x_2 \\
&= x_2\sin x_1 - x_2\sin x_1 \\ &= 0
\end{align*}
και το αποτέλεσμα είναι μηδενικό, δηλαδή η \( \dot V \) είναι αρνητικά ημιορισμένη.
Το αποτέλεσμα αυτό έχει και φυσική σημασία, αφού εκφράζει
μηδενική χρονική παράγωγο ενέργειας, δηλαδή ότι η ενέργεια
παραμένει σταθερή και διατηρείται, κάτι γνωστό. Το παραπάνω
σύστημα, όπως γνωρίζουμε και από τη φυσική μας εμπειρία, επειδή
δεν έχει απόσβεση, θα ταλαντώνεται συνέχεια χωρίς να σταματήσει.
Πολλές φορές βέβαια δεν θα έχουμε την ευχέρεια να υπολογίσουμε
ακριβώς το πρόσημο μιας συνάρτησης, όμως συχνά θα μπορούμε να
το βρούμε \textit{κοντά} στο 0, χρησιμοποιώντας \textbf{ανάπτυγμα
Taylor 2\textsuperscript{ης} τάξης}. Ενδεικτικά, για αυτήν
την άσκηση:
\begin{align*}
\cos x_1 &= \cos(0) +
\cancelto{0}{\left(-\sin x_1\middle|_{x_1\to 0}\right)}
(x_1 - 0)
+ \frac{1}{2}(x_1-0)^2
\cancelto{0}{\left(-\cos x_1\middle|_{x_1\to 0}\right)}
\\ &= 1 - \frac{1}{2}x_1^2
\intertext{άρα:}
1-\cos x_1 &= \frac{1}{2}x_1^2
\end{align*}
\end{exercise}
\subsubsection{Αμετάβλητα Σημεία}
Έστω \( \dot x = F(x) \) ένα \textit{χρονικά αμετάβλητο} σύστημα με λύσεις \( x(t;x_0) \).
\begin{defn}{Αμετάβλητο σύνολο}{}
Έστω ένα σύνολο \( M \in \mathbb R^n \). Το \( M \) ονομάζεται
\textbf{αμετάβλητο σύνολο} ανν\footnote{αν και μόνο αν}:
\[
\forall a \in M \implies x(t;a) \in M
\]
Δηλαδή αν έχουμε αρχική τιμή \( a \), τότε το σύστημα παραμένει
στην ίδια περιοχή και δεν ξεφεύγει από αυτήν.
\end{defn}
Τα αμετάβλητα σύνολα χρησιμεύουν στο ότι αν στείλουμε μέσα σε αυτά
ένα σημείο, αυτό θα παραμείνει μέσα στον κύκλο \( M \), χωρίς να
ξεφεύγει από τις τιμές του.
\begin{theorem}{Θεώρημα LaSalle}{}
Έστω \( V \) μια \textbf{τοπικά θετικά ορισμένη} συνάρτηση,
τέτοια ώστε σε μία σφαίρα \( \Omega_r \) να ισχύει: \[ \dot V(x) \leq 0,
\quad \forall x \in \Omega_r = \left\lbrace
x\in\mathbb R^n : V(x) \leq r, r >0
\right\rbrace \]
Επίσης, έστω το σύνολο των σημείων όπου η \( \dot V \) μηδενίζεται:
\[
S = \left\lbrace x \in \Omega_r : \dot V(x) = 0 \right\rbrace
\]
\todo{Graph 20 wrap right}
Τότε, καθώς \( t\to \infty \), η λύση του συστήματος θα
συγκλίνει στο μεγαλύτερο δυνατό αμετάβλητο υποσύνολο που
περιέχεται στον \( S \).
\end{theorem}
\begin{exercise}[Εφαρμογή]
Να μελετηθεί η ευστάθεια των σημείων ισορροπίας του συστήματος:
\begin{align*}
\dot x_1 &= -x_1+x_2 + x_1x_2^3 \\
\dot x_2 &= -x_1 -x_1^2x_2^2
\end{align*}
\tcblower
Πρώτα βρίσκουμε τα σημεία ισορροπίας. Έχουμε:
\begin{align*}
\dot x_1 = 0 &\implies
-x_1 + x_2(1+x_1x_2^2) = 0
\implies -x_1^2 + x_2(x_1+x_1^2x_2^2) = 0
\xRightarrow{\dot x_2 = 0} -x_1^2 = 0
\\
&\implies x_1 = 0
\xRightarrow{\dot x_1 = 0} x_2 = 0
\end{align*}
Και ως υποψήφια συνάρτηση Lyapunov επιλέγουμε:
\[
V(x) = \frac{1}{2}x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2
\]
με παράγωγο (που προκύπτει από πράξεις \& αντικαταστάσεις):
\begin{align*}
\dot V &= x_1\dot x_1 + x_2\dot x_2 \\ &= -x_1^2 \quad \text{αρνητικά ημιορισμένη}
\end{align*}
Επομένως το σημείο ισορροπίας \( (0,0) \) είναι \textbf{ολικά ευσταθές}.
\paragraph{}
Εναλλακτικά, μπορούμε να εφαρμόσουμε το \textbf{θεώρημα
LaSalle.}
Βρίσκουμε το σύνολο \( S \):
\[
S = \left\lbrace x\in\mathbb R_n : \dot V(x) = 0 \right\rbrace
= \left\lbrace x \in \mathbb R^n : x_1 = 0 \right\rbrace
\]
Εντός του \( S \), το \( x \) παίρνει τη μορφή:
\begin{align*}
\dot x_1 &= x_2 \\ \dot x_2 &= 0
\end{align*}
Δηλαδή τα \textit{αρχικά} σημεία είναι της μορφής \( (x_1,x_2) = (0,a) \). Αν
υποθέσουμε \( a > 0 \implies x_2 > 0 \xRightarrow{\dot x_1 = x_2} \dot x_1 > 0 \implies
x_1 > 0 \neq 0 \), \footnote{Αφού η παράγωγος $\dot x1$ είναι θετική, αυτό σημαίνει ότι όσο περνάει ο χρόνος, η τιμή του $x_1$ αυξάνεται και γίνεται μεγαλύτερη του 0.} που σημαίνει ότι
τα σημεία \( x \), όσο προχωράει ο χρόνος, αποκτούν
\( x_1 \neq 0 \). Δηλαδή τα σημεία δεν ανήκουν στο \( S \), αφού
\( x \notin S \). Άρα το μέγιστο αμετάβλητο σύνολο αποτελείται από
το σημείο
\( (0,0) \).
Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα LaSalle, η λύση του συστήματος στο \( t \to \infty \) θα συγκλίνει στο \( (0,0) \)
\end{exercise}
\lecture{7}{16/3/2018}
\begin{exercise}
\begin{wrapfigure}{r}{0.2\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\draw (-1,0) -- (1,0);
\draw (0,0) node[circle,inner sep=2pt,fill] {};
\draw[very thick] (0,0) -- ++(90:1.5) node[circle,inner sep=2pt,fill=white,draw] {} node[pos=.5] (a) {};
\draw[very thick] (0,0) -- ++(70:1.5) node[circle,inner sep=2pt,fill=white,draw] {} node[pos=.5] (b) {};
\draw[brown,->] (a.center) to[bend left] node[midway,above,xshift=1pt] {$\theta$} (b.center);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{wrapfigure}
Δίνεται το σύστημα που αποτελεί απλοποιημένο μοντέλο αναστρεφόμενου εκκρεμούς:
\begin{align*}
\dot x_1 &= x_2 \\
\dot x_2 &= \sin x_1 + u\cos x_1
\end{align*}
όπου \( u \) η \textbf{ροπή που ασκεί ο κινητήρας} στη βάση του εκκρεμούς,
\( x_1 \) η γωνία και \( x_2 \) η γωνιακή ταχύτητα.
Να σχεδιαστεί ελεγκτής για την είσοδο \( u \) που να επιφέρει ισορροπία στην επάνω
κατακόρυφη θέση του εκκρεμούς.
\tcblower
Έστω \( x = [\begin{matrix}
x_1 & x_2
\end{matrix}] \) το διάνυσμα μεταβλητών κατάστασης.
\textit{Επιλέγουμε} ως υποψήφια συνάρτηση Lyapunov την:
\begin{equation}
V(x) = \left( \cos x_1 -1 \right) + a\left( 1-\cos^2 x_1 \right)
+ \frac{1}{2}x_2^2
\label{eq:sec3ex1lyapunov}
\end{equation}
Φυσικά δεν απαιτείται να γνωρίζουμε από μόνοι μας αυτή τη συνάρτηση, αλλά πρέπει να
την έχουμε δει.
Για τη μελέτη του προσήμου της παραγώγου, επειδή είναι σύνθετο να απαντήσουμε με
ακρίβεια, θα χρησιμοποιήσουμε το ανάπτυγμα Taylor. Αρχικά:
\begin{align*}
\cos x&\simeq
\cos (0) + \cancelto{0}{\left[ 2\cos(-\sin x) \middle|_{x=0} \right]}(x-0)
+ \frac{1}{2} (x-0)(-\cos 0)(x-0)
\\ &= 1 - \frac{1}{2}x^2 \\
\cos^2 x &\simeq 1-x^2
\end{align*}
Επομένως η συνάρτηση Lyapunov μπορεί να γραφεί, για \textit{\( x_1,x_2 \) κοντά στο 0}:
\[
V(x) = \left(a-\frac{1}{2}\right)x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2
\]
με \( a > \sfrac{1}{2} \).
Παραγωγίζοντας την αρχική \( V(x) \) της σχέσης \eqref{eq:sec3ex1lyapunov}, μετά τις πράξεις, προκύπτει:
\begin{align*}
\dot V &= -\dot x_1 \sin x_1 + 2a \dot x_1 \cos x_1\sin x_1 + x_2\dot x_2
\\ &= -x_2\sin x_1 + 2a x_2\cos x_1 \sin x_1 + x_2(\sin x_1 + u\cos x_1)
\\ &= x_2(u+2a\sin x_1)\cos x_1
\end{align*}
Σκοπός μου είναι να επιλέξω το \( u \) ώστε η \( \dot V \) να είναι αρνητικά ημιορισμένη, ή, ακόμα καλύτερα, αρνητικά ορισμένη.
Έτσι, \textit{επιλέγουμε} αυθαίρετα την:
\[
u = -2a\sin x_1 - x_2\cos x_1
\]
οπότε τότε:
\[
\dot V = -x_2^2\cos^2x_1
\]
Η παραπάνω \( \dot V \) μηδενίζεται και σε σημεία εκτός
του \( (0,0) \) (π.χ. \( (1,0) \)). Επομένως είναι αρνητικά
\textbf{ημι}ορισμένη. Άρα
το \( (0,0) \) είναι \textbf{τοπικά} ευσταθές σημείο
ισορροπίας (αφού θεωρήσαμε σημεία κοντά στο 0).
\paragraph{}
Προχωρώντας, θα ψάξουμε αν υπάρχει συνάρτηση \( u \) που να καθιστά το σημείο
\textbf{ασυμπτωτικά} ευσταθές.
Έχουμε το σύνολο των σημείων που μηδενίζουν τη συνάρτηση Lyapunov:
\[
S = \left\lbrace x \in \omega \subset \mathbb R^2 : \dot V = 0 \right\rbrace
= \left\lbrace X \in \Omega \subset \mathbb R^2 : x_2 = 0 \right\rbrace
\footnote{Αγνοούμε τα σημεία όπου \( \cos x_1 = 0 \) επειδή βρίσκονται μακριά από το $(0,0)$.}
\]
και, για \( x_2=0 \), το σύστημα γίνεται:
\begin{align*}
\dot x_1 &= 0 \quad \text{μηδενίζεται για σημεία $(b,0)$ }\\
\dot x_2 &= \sin x_1 - 2a\sin x_1\cos x_1 \quad \text{μηδενίζεται για σημεία $(0,0)$}
\end{align*}
Το μεγαλύτερο δυνατό αμετάβλητο υποσύνολο του \( S \) είναι το \( (0,0) \), επειδή
τα σημεία \( (b,0) \) προκαλούν \( \dot x_2 \neq 0 \implies x_2 \neq 0 \implies
x \notin S \), άρα βγαίνουν εκτός του συνόλου.
Επομένως, από το θεώρημα μεταβλητότητας LaSalle, η λύση του συστήματος μπορεί
μόνο να συγκλίνει στο \( (0,0) \), άρα η συνάρτηση \( u \) που βρήκαμε παραπάνω
οδηγεί σε σημείο ισορροπίας \textbf{τοπικής} και \textbf{ασυμπτωτικής} ευστάθειας.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Δίνεται το σύστημα:
\[
\dot x = -g(x) \qquad g(0) = 0,\quad \forall x \in \mathbb R
\]
όπου
\[
xg(x) > 0,\quad \forall x\neq 0,\quad x\in (-a,a)
\]
Να μελετηθεί η ευστάθεια στα σημεία ισορροπίας του.
\tcblower
Πρώτα πρέπει να βρούμε \textit{όλα τα σημεία ισορροπίας}, δηλαδή τα σημεία
στα οποία \( g(x) = 0 \). Δίνεται ότι \( g(0) = 0 \), άρα ένα σημείο ισορροπίας
είναι το \( (0,0) \). Επίσης δίνεται ότι \( xg(x) > 0 \), άρα \( \forall x \neq 0 \)
θα ισχύει \( g(x) > 0 \) ή \( g(x) <0 \), επομένως \( g(x) \neq 0 \). Τελικά,
το μοναδικό σημείο ισορροπίας είναι το \( (0,0) \).
Ως υποψήφια συνάρτηση Lyapunov \textbf{επιλέγουμε} την παρακάτω:
\[
V(x) = \int_0^x g(y) \dif y
\]
Η συνάρτηση αυτή είναι \textit{θετικά ορισμένη}, επειδή: \begin{inparaenum}[(a)]
\item Για \( x>0 \), \( xg(x) > 0 \implies g(x) > 0 \implies \int_{0}^{x} g(y)\dif y > 0\)
\item Για \( x<0 \), \( xg(x) > 0 \implies g(x) < 0 \implies \int_{0}^{x} g(y)\dif y > 0 \)
\item Για \( x=0 \), \( g(x) = 0 \implies \int_0^x g(y)\dif y = 0 \).
\end{inparaenum}
Για την παράγωγό της ισχύει:
\[
\dot V = g(x)\dot x = -g^2(x) \text{ αρνητικά ορισμένη}
\]
Επομένως, αφού είναι αρνητικά ορισμένη, το σημείο ισορροπίας είναι \textbf{ασυμπτωτικά ευσταθές}.
%Δεν αναφέρουμε πως το σημείο είναι \textit{μόνον τοπικά} ευσταθές, αφού δεν εισάγαμε κάποιον περιορισμό στο πεδίο ορισμού.
Ως παράδειγμα, θα μπορούσαμε να επιλέξουμε μια \( g(x) \) που να ικανοποιεί τα
παραπάνω:
\[
\dot x = -x^2
\]
\end{exercise}
\begin{exercise}
Δίνεται το σύστημα:
\begin{align}
\dot x_1 &= x_2 \label{sec1ex2m1} \\
\dot x_2 &= -a\sin x_1 - bx_2 \label{sec1ex2m2}
\end{align}
όπου \( a,b > 0 \), όπου \( x_1 \in \left(-\frac{π}{2},\frac{π}{2}\right) \) με μοναδικό σημείο ισορροπίας το \( (0,0) \).
Να χαρακτηριστεί η ευστάθεια του σημείου αυτού.
\tcblower
\textit{Επιλέγω} ως συνάρτηση Lyapunov (με βάση θεωρία που θα δούμε αργότερα \textemdash~\autoref{sec:linear_lyapunov}):
\[
V(x) = a\int_{0}^{x_1} \sin z \dif z + \frac{1}{2} x^{\mathrm T} Px
\]
όπου \( P \) ένας \textit{τετραγωνικός συμμετρικός} πίνακας, \textbf{θετικά
ορισμένος}, τέτοιος ώστε:
\[
P^{\mathrm T} = P > 0
\]
\begin{infobox}{Θετικά Ορισμένος Πίνακας}
Ένας πίνακας ονομάζεται \textbf{θετικά ορισμένος} όταν ισχύει οποιαδήποτε
από τις παρακάτω ισοδύναμες ιδιότητες:
\begin{enumerate}
\item \( x^{\mathrm T} P x \) θετικά ορισμένη, δηλαδή: \begin{itemize}
\item \( x^{\mathrm T} P x = 0 \) μόνο για \( x = 0 \)
\item \( x^{\mathrm T} P x > 0 \) για \( x \neq 0 \)
\end{itemize}
\item Όλες οι \textbf{ιδιοτιμές} του είναι \( >0 \).
\item Όλες οι \textbf{κύριες ελάσσονες} ορίζουσές του είναι \( >0 \).
% \item %TODO A=BB^T
\end{enumerate}
\end{infobox}
Πρέπει να επιλέξουμε τα στοιχεία του πίνακα \( P \) έτσι ώστε να είναι θετικά
ορισμένος, αφού αυθαίρετα τον τοποθετήσαμε στη συνάρτηση Lyapunov:
\[
x^{\mathrm T} P x = \left[\begin{matrix}
x_1 & x_2
\end{matrix}\right]\left[
\begin{matrix}
P_{11} & P_{12} \\ P_{12} & P_{22}
\end{matrix}
\right] \left[
\begin{matrix}
x_1 \\ x_2
\end{matrix}
\right]= P_{11} x_1^2 + P_{22}x_2^2 + 2P_{12}x_1x_2
\]
όπου πρέπει, από τη συνθήκη των κύριων ελάσσονων οριζουσών (υπενθυμίζουμε ότι ο πίνακας είναι συμμετρικός):
\begin{align*}
P_{11} &> 0 \text{ και} \\ P_{11}P_{22} - P_{12}^2 &> 0
\end{align*}
Αντικαθιστώντας στη συνάρτηση Lyapunov, παραγωγίζοντας και εκτελώντας πράξεις, έχουμε:
\begin{equation}
\dot V =
\underbrace{ax_2\sin x_1\left( 1-P_{22} \right)}_{???} + \underbrace{(P_{11} - bP_{12})x_1x_2}_{???}
+ \underbrace{(P_{12}-bP_{22})x_2^2}_{<0} -\underbrace{aP_{12}x_1\sin x_1}_{>0}
\label{sec1ex2vdot}
\end{equation}
Για να ικανοποιείται το θεώρημα Lyapunov, πρέπει να ελέγξουμε το πρόσημο της
παραγώγου αυτής. Για αυτό, πρέπει να φροντίσουμε ώστε τα πρόσημα όλων των
όρων στην έκφραση \eqref{sec1ex2vdot} να είναι \textit{αρνητικά}.
Για να το πετύχουμε αυτό, \textit{επιλέγουμε} τις τιμές των σταθερών
\( P_{11},P_{12},P_{22} \)! Φροντίζουμε ώστε οι όροι \( ax_2\sin x_1(1-P_{22}) \)
και \( (P_{11}-bP_{12})x_1x_2 \) να \textit{μηδενιστούν}, επειδή το πρόσημό τους
εναλλάσσεται ανάλογα με τις τιμές των \( x \). Αντίθετα, στους όρους
\( (P_{12}-bP_{22})x_2^2 \) και \( aP_{12}x_1\sin x_1 \) το πρόσημο των όρων
που περιλαμβάνουν το \( x \) παραμένει σταθερό.
Για αυτό, \textbf{επιλέγουμε} για τους μηδενικούς όρους:
\begin{itemize}
\item \( \boxed{P_{22} = 1 }\)
\item \( \boxed{P_{11} = bP_{12}} \)
\end{itemize}
και για τους μη μηδενικούς όρους:
\begin{itemize}
\item \( P_{12} - bP_{22} \xRightarrow{P_{12} > 0} P_{12} < b \)
\item \( P_{12} > 0 \)
\end{itemize}
άρα μία ακόμα συνθήκη είναι:
\[
\boxed{0 < P_{12} < b}
\]
Ταυτόχρονα, πρέπει να ικανοποιούνται οι σχέσεις \eqref{sec1ex2m1} και \eqref{sec1ex2m2}, από τις οποίες προκύπτει η συνθήκη:
\[
\eqref{sec1ex2m2} \implies P_{11} > P_{12}^2
\implies \boxed{bP_{12} > P_{12}^2}
\]
Ανάλογα με την τιμή του \( b \), μπορούμε να επιλέξουμε κατάλληλη τιμή των
σταθερών \( P \) ώστε να ικανοποιούνται οι 4 παραπάνω συνθήκες.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Δίνεται το σύστημα:
\begin{align}
\dot x_1 &= x_2 + x_1\left( 1-x_1^2 - x_2^2 \right)
\label{sec1ex3diff1} \\
\dot x_2 &= -x_1+x_2 \left( 1-x_1^2 - x_2^2 \right)
\label{sec1ex3diff2}
\end{align}
Να μελετηθεί η ευστάθεια των σημείων ισορροπίας.
\tcblower
Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, χρειάζεται να λάβουμε περιπτώσεις για τα σημεία ισορροπίας:
\begin{itemize}
\item Για \( (a,b) \neq (0,0) \), τότε:
\[
\left.
\begin{aligned}
\eqref{sec1ex3diff1} \implies 1-x_1^2-x_2^2 = \frac{-x_2}{x_1} \\
\eqref{sec1ex3diff2} \implies 1-x_1^2-x_2^2 = \frac{x_1}{x_2}
\end{aligned} \right\rbrace \implies
\frac{-x_2}{x_1} = \frac{x_1}{x_2}
\implies -x_2^2=x_1^2 \implies x_1^2 + x_2^2 = 0
\text{ άτοπο}
\]
\item Ομοίως για \( (0,b) \)
\item Ομοίως για \( (a,0) \) \todo{Πράξεις}
\item Για \( (0,0) \), οι συναρτήσεις στα δεξιά μέλη είναι προφανώς 0.
\end{itemize}
Άρα το \( (0,0) \) είναι το μοναδικό σημείο ισορροπίας.
\textbf{Επιλέγουμε} ως συνάρτηση Lyapunov την:
\[
V = \frac{1}{2} x_1^2 + \frac{1}{2} x_2^2
\]
με παράγωγο:
\[
\dot V = x_1\dot x_1 + x_2\dot x_2
= (x_1^2+x_2^2)\left(1-x_1^2-x_2^2\right)
\]
Εδώ επιλέγουμε το μοναδιαίο κυκλικό δίσκο ως πεδίο εφαρμογής του θεωρήματος Lyapunov, αφού
παρατηρήσουμε τον όρο \( 1-x_1^2-x_2^2 \) που επηρεάζει το πρόσημο της συνάρτησης:
\[
B_1(0) = \left\lbrace x\in\mathbb R^2 : x_1^2+x_2^2 \leq 1 \right\rbrace
\]
\todo{Graph 19}
Λαμβάνουμε περιπτώσεις για τις θέσεις των σημείων σε σχέση με τον κυκλικό δίσκο:
\begin{itemize}
\item \( x \notin B_1(0) \implies \dot V < 0 \)
Αυτό σημαίνει ότι, ξεκινώντας εκτός του κύκλου, καταφτάνουμε στον μοναδιαίο
κύκλο
\item \( x \in B_1(0) - \left\lbrace x \in \mathbb R^2: x_1^2+x_2^2 = 1 \right\rbrace \implies \dot V > 0 \)
Ξεκινώντας εντός του δίσκου, παραμένουμε μέσα σε αυτόν, φτάνοντας στον
εξωτερικό
\item \( x \in \left\lbrace x \in \mathbb R^2 : x_1^2+x_2^2 = 1 \right\rbrace
\implies \dot V = 0
\)
Επάνω στον κύκλο, η συνάρτηση Lyapunov είναι μηδέν, άρα η κατάσταση του
συστήματος δεν ξεφεύγει από αυτόν τον οριακό κύκλο.
\end{itemize}
Το σημείο ισορροπίας είναι \textbf{ασταθές}. Σύμφωνα με τον ορισμό της ευστάθειας,
\( \forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\epsilon) :
|x_0-x^*| < \delta \implies |x(t;x_0)-x^*| < \epsilon \). Αν διαλέξουμε ένα
\( \epsilon < 1 \), εντός δηλαδή του κυκλικού δίσκου, δεν μπορούμε να επιλέξουμε
κάποιο
\( \delta \) τέτοιο ώστε να \textbf{παραμείνουμε} εντός ακτίνας \( \epsilon \),
επειδή πάντα τα σημεία εντός του κύκλου θα κατευθύνονται προς τον κύκλο ακτίνας 1.
\end{exercise}
\lecture{8}{23/3/2018}
\subsection{Ειδική περίπτωση: Γραμμικά συστήματα}
\label{sec:linear_lyapunov}
Έστω ότι έχουμε γραμμικά συστήματα, δηλαδή συστήματα της μορφής:
\[
\dot x = Ax
\]
αν θεωρήσουμε ότι για τις μεταβλητές κατάστασης του συστήματος ισχύει γενικότερα
\( \dot x = F(x) \).
Τότε θα χρησιμοποιούμε \textbf{συναρτήσεις Lyapunov} της μορφής:
\[
V(x) = x^{\mathrm T} P x > 0
\]
όπου \( P \) ένας \textbf{συμμετρικός} και \textbf{θετικά ορισμένος} πίνακας:
\[
P = P^{\mathrm{T}}
\]
Για την εφαρμογή του θεωρήματος χρειαζόμαστε την παράγωγο της \( V(x) \), η οποία
με πράξεις προκύπτει:
\begin{align*}
\dot V(x) &= \dot x^{\mathrm T} P x + x^{\mathrm T} P \dot x \\
&= x^{\mathrm T} A^{\mathrm T} P x + x^{\mathrm T} P A x \\
&= x^{\mathrm T}(A^{\mathrm T}P + PA)x
\numberthis
\label{eq:linear_lyapunov_vd}
\end{align*}
Για ευκολία, ορίζουμε έναν επιπλέον πίνακα \( Q \), \textbf{θετικά ορισμένο} και
\textbf{συμμετρικό} \( Q = Q^{\mathrm T} \), ως εξής:
\[
-Q = A^{\mathrm T}P + PA
\]
Επομένως, από την \eqref{eq:linear_lyapunov_vd} προκύπτει:
\[
\dot V = -x^{\mathrm T} Q x \text{ αρνητικά ορισμένος}
\]
Για τη λύση του \textit{γραμμικού} συστήματος εφαρμόζουμε το
παρακάτω θεώρημα.
\begin{theorem}{Θεώρημα Ευστάθειας Lyapunov σε Γραμμικά Συστήματα}{lyapunov_linear}
Το γραμμικό σύστημα \( \dot x = Ax \) είναι
\textit{ασυμπτωτικά ευσταθές} ανν για κάποιον
πίνακα \( Q \) συμμετρικό, και θετικά ορισμένο, η λύση \( P \)
της εξίσωσης:
\begin{equation}
\boxed{-Q = A^{\mathrm T}P + PA}
\label{eq:lyapunov_linear}
\end{equation}
είναι επίσης πραγματική, συμμετρική και θετικά ορισμένη.
\end{theorem}
\begin{exercise}[Παράδειγμα]
Δίνεται ένα γραμμικό σύστημα \( \dot x = Ax \) όπου:
\[
A = \left[\begin{matrix}
0 & 1 \\ -1 & -2
\end{matrix}\right]
\]
Να μελετηθεί η ευστάθειά του.
\tcblower
Πρέπει να βρούμε τον πίνακα \( P = P^{\mathrm T}
= \left[\begin{matrix}
P_{11} & P_{12} \\ P_{12} & P_{22}
\end{matrix}\right]
\). Υποθέτουμε
ότι ο \( Q \) είναι:
\[
Q = I_2
\]
δηλαδή ο μοναδιαίος πίνακας.
Τοποθετούμε τις τιμές των πινάκων στην εξίσωση \eqref{eq:lyapunov_linear} του θεωρήματος \ref{th:lyapunov_linear}:
\[
\left[\begin{matrix}
-2P_{12} & -P_{22} + P_{11} - 2P_{12} \\
-P_{22} + P_{11} - 2P_{12} & 2P_{12} - 4P_{22}
\end{matrix}\right] = \left[
\begin{matrix}
-1 & 0 \\ 0 & -1
\end{matrix}
\right]
\]
Λύνοντας αυτό το (σύστημα) εξισώσεων, μετά από μερικές πράξεις,
προκύπτει:
\[
P = \left[
\begin{matrix}
\sfrac{3}{2} & \sfrac{1}{2} \\
\sfrac{1}{2} & \sfrac{1}{2}
\end{matrix}
\right] \text{ θετικά ορισμένος}
\]
Αφού ο πίνακας \( P \) είναι \textbf{θετικά ορισμένος}, όπως προκύψει
αν τον ελέγξουμε με οποιοδήποτε κριτήριο, το σύστημα είναι
\textbf{ασυμπτωτικά ευσταθές}.
\end{exercise}
\begin{exercise}[Παράδειγμα]
Να ελεγθεί η ευστάθεια του γραμμικού συστήματος:
\[
A = \left[
\begin{matrix}
-1 & 3 \\ 0 & -1
\end{matrix}\right]
\]
\tcblower
Το παραπάνω σύστημα είναι προφανώς ασυμπτωτικά ευσταθές,
αφού εύκολα μπορούμε να βρούμε τις ιδιοτιμές του και να διαπιστώσουμε πως έχουν
αρνητικό πραγματικό μέρος,
αλλά θα το λύσουμε με τη μέθοδο κατά Lyapunov.
\begin{itemize}
\item Θα δοκιμάσουμε να λειτουργήσουμε \textbf{ανάποδα} για ευκολία:
Δηλαδή θα θεωρήσουμε έναν \textit{δεδομένο} \( P=I_2 \), και
θα βρούμε τον \( Q \) από τη σχέση.
Έστω ότι \( P = I_2 \). Από την εξίσωση \eqref{eq:lyapunov_linear}
προκύπτει εύκολα \( Q = \left[\begin{matrix}
2 & -3 \\ -3 & 2
\end{matrix}\right] \).
Ο παραπάνω \( Q \) έχει μία θετική και μία \textit{αρνητική}
ιδιοτιμή, επομένως \textit{δεν} είναι θετικά ορισμένος! Άρα
δεν μπορούμε να εξάγουμε κανένα συμπέρασμα από την εφαρμογή
του Θεωρήματος \ref{th:lyapunov_linear}.
Αναγκαστικά πρέπει \textbf{πρώτα} να επιλέξουμε \textbf{οποιονδήποτε} συμμετρικό και θετικά ορισμένο πίνακα
\( Q \), και μετά, μέσω της \eqref{eq:lyapunov_linear}, να
ελέγξουμε αν το σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές ή όχι.
\end{itemize}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Δίνεται το σύστημα:
\[
\dot x = Ax + Bu
\]
Να επιλεγεί ένας ελεγτής \( u \) έτσι ώστε το σύστημα να είναι
ασυμπτωτικά ευσταθές όταν κλείνει ο βρόχος. Να γίνει το ίδιο και
όταν υπάρχουν διαταραχές.
\tcblower
\textbf{Επιλέγουμε} τον απλό ελεγκτή ανάδρασης:
\[
\underline{u = -kx}
\]
Τότε το σύστημα γίνεται, από τη δοθείσα σχέση:
\[
\dot x = Ax - Bkx \implies
\dot x = \underbrace{(A-Bk)}_{\tilde A} x
\]
όπου ορίσαμε \( \tilde A = A-Bk \), έτσι ώστε να προκύψει η απλή
σχέση:
\[
\dot x = \tilde A x
\]
Από το \autoref{th:lyapunov_linear}, ψάχνουμε έναν πίνακα \( Q \)
για τον οποίο:
\begin{align*}
Q &= Q^{\mathrm T} \text{ θετικά ορισμένος} \\
-Q &= A^{\mathrm T}P + PA
\end{align*}
\tcbsubtitle{\textbf{Λύση} με διαταραχές}
Το σύστημά μας με διαταραχή \( d(t) \) θα γίνει:
\[
\dot x = Ax+Bu+d(t)
\]
όπου οι διαταραχές έχουν ένα μέγιστο πλάτος \( \left|d(t)\right|
\leq \bar d
\)
Τότε η παράγωγος της συνάρτησης Lyapunov θα γίνει:
\begin{align*}
\dot V &=
\od{}{t}\left( x^{\mathrm{T}} P x \right)
\\ &=
\dot x^{\mathrm T} P x + x^{\mathrm T} P\dot x
\\ &=
\left(
Ax + d(t)
\right)^{\mathrm T} P x
+ x^{\mathrm{T}}P\left(Ax+d(t)\right)
\\ &= \left(
x^{\mathrm{T}}A^{\mathrm T} + d^{\mathrm T}(t)
\right)Px + x^{\mathrm{T}} PAx
+x^{\mathrm{T}}P d(t)
\\ &= x^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}} P + PA)x
+ d^{\mathrm{T}}(t) P x + x^{\mathrm{T}}P d(t)
\\ &=
\underbrace{-x^{\mathrm{T}} Q x}_{\leq\ -\lambda_{\min}(Q)|x|^2}
+ \underbrace{d^{\mathrm T}(t)Px}_{\leq\
\left\lvert d^{\mathrm{T}}(t) \right\rvert |x|\left\lVert P \right\rVert}
+ \underbrace{x^{\mathrm{T}} P d(t)}_{\leq\ |x^{\mathrm{T}}|\left\lVert P \right\rVert \left\lvert d(t) \right\rvert}
\\ &\leq
-\lambda_{\min}(Q)|x|^2 +
\left\lvert d^{\mathrm{T}}(t) \right\rvert |x|\left\lVert P \right\rVert + |x^{\mathrm{T}}|\left\lVert P \right\rVert \left\lvert d(t) \right\rvert
\\ &\leq
-\lambda_{\min}(Q)|x|^2 +
\bar d |x|\left\lVert P \right\rVert + |x|\left\lVert P \right\rVert \bar d
\\ &= -|x| \left(
λ_{\min}(Q)|x| - 2\bar d \left\lVert P \right\rVert
\right)
\end{align*}
όπου \( \lambda_{\min}(Q) \) η \textit{ελάχιστη ιδιοτιμή} του
πίνακα \( Q \), και \( \left\lVert P \right\rVert \) η
\textbf{νόρμα} του πίνακα \( P \).
Θέλουμε \( \dot V \) να είναι αρνητικά ορισμένη για την εφαρμογή του θεωρήματος Lyapunov,
δηλαδή:
\[
|x| > \frac{2\left\lVert P \right\rVert \bar d}{\lambda_{\min}(Q)}
\]
Με την πάροδο του χρόνου, η \( |x| \) θα αποκτά τη μορφή
\todo{Graph 21}.\todo{explain better}
Εδώ διαπιστώνουμε ότι το σύστημα με την πάροδο του χρόνου παραμένει στην ευστάθεια, αλλά δεν
είναι απαραίτητα και \textit{ασυμπτωτικά} ευσταθές. Μόλις το
\( |x| \) ξεπεράσει την τιμή \( \frac{\left\lVert P \right\rVert \bar d}{\lambda_{\min}(Q)} \), θα παραμείνει αναγκαστικά εντός του
εύρους της. Για να ρυθμίσουμε ακριβώς το εύρος αυτό, πρέπει να
επιλέξουμε τους όρους του κλάσματος \( 2\frac{\left\lVert P \right\rVert}{\lambda_{\min}(Q)} \), κάτι που είναι δύσκολο, λόγω
της εξάρτησης του \( P \) από το \( Q \).
\todo{add defn reference}
Να σημειωθεί βέβαια πως η ευστάθεια που παρουσιάζει το σύστημα εδώ δεν συμφωνεί με τον ορισμό που έχουμε δώσει παραπάνω (κατά Lyapunov),
αλλά εκφράζει πως θα έχουμε πεπερασμένη είσοδο με
πεπερασμένη έξοδο, αφού η συνάρτηση είναι \textbf{ομοιόμορφα τελικώς φραγμένη}.
\end{exercise}
\section{Γραμμικά Συστήματα}
Αν και τα περισσότερα συστήματα στη φύση είναι \textit{μη} γραμμικά, σε αυτό το κεφάλαιο μελετάμε τα \textit{γραμμικά}, καθώς είναι χρήσιμα
για διδακτικούς σκοπούς, ενώ τα μη γραμμικά συστήματα και ελεγκτές είναι
δύσκολα, περίπλοκα, και δεν είναι εύκολο να επιδιορθωθούν.
Σε αυτό το κεφάλαιο θα μελετήσουμε μεταξύ άλλων γραμμικούς ελεγκτές, αλλά
και γραμμικοποίηση συστημάτων.
\subsection{Ιδιότητες \& Ορισμοί}
Έστω ένα σύστημα της μορφής:
\begin{align*}
\dot x &= f(x,u) \\
y &= h(x,u)
\end{align*}
με μοναδική λύση της μορφής:
\[
y(t;\ x_0,u)
\]
\begin{defn}{Γραμμικό σύστημα}{}
Ένα σύστημα είναι \textbf{γραμμικό} ανν πληροί τις παρακάτω ιδιότητες:
\begin{enumroman}
\item \textbf{Ιδιότητα της επαλληλίας} ως προς τις αρχικές τιμές.
%\begin{itemize}
%\item
\[
y\left(t;\ ax_1(0)+bx_2(0),\ 0\right)
=
ay\left(t; x_1(0),\ 0\right)
+ by\left(t; x_2(0),\ 0\right)
\]
%\end{itemize}
\item \textbf{Ιδιότητα της ομογένειας}%
\[
y\left(τ;\ ax_0,\gamma u\right)
= ay(t;\ x_0,\ 0) + \gamma y(t;\ 0,\ u)
\]
\item \textbf{Ιδιότητα της επαλληλίας} ως προς την είσοδο.
\[
y\left(t;\ 0,\ \zeta u_1+\xi u_2\right)
= \zeta y(t;0,u_1) + \xi y(t; 0,u_2)
\]
\end{enumroman}
\end{defn}
Οι παραπάνω ιδιότητες μπορούν να επαληθευτούν και πειραματικά, έτσι ώστε
να διαπιστωθεί αν ένα φυσικό σύστημα είναι όντως γραμμικό.
Αν ικανοποιούνται οι παραπάνω ιδιότητες, το σύστημα μπορεί να γραφτεί
και στη μορφή:
\[
\dot x = Ax
\]
\begin{defn}{Χρονικά Αμετάβλητο}{}
\todo{Add definition}
Αν μετατοπίσουμε την είσοδο στο χρόνο, πρέπει και η έξοδος
να μετατοπίζεται κατά την ίδια ποσότητα.
\end{defn}
\subsection{Λύση}
\label{sec:linear_solution}
Ένα γραμμικό σύστημα έχει γενικά τη μορφή:
\[
\dot x = Ax,\quad x(0) = x_0 \quad \text{(αρχική συνθήκη)}
\]
Έστω ότι το σύστημα είναι \textbf{μίας μεταβλητής}.
Τότε:
\[
\dot x = ax,\quad x(0) = x_0
\]
και η προφανής λύση είναι:
\[
x(t) = e^{at}x(0)
\]
Για απλοποίηση της εξόδου, θεωρούμε τις σειρές Taylor της εκθετικής συνάρτησης, για τις τιμές ενός πίνακα \( X \in \mathbb R^{n\times n} \):
\begin{align*}
e^{X} &= I + X + \frac{1}{2} X^2 + \frac{1}{3!} X^3 + \dots
\\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}x^k
\\[3em]
e^{At} &= I + At + \frac{1}{2}A^2t^2 + \frac{1}{3!}A^3t^3 + \dots
\\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}A^k t^k\\[3em]
\od{e^{At}}{t} &= A + A^2t + \frac{1}{2}A^3t^2 + \dots
\\ &= A\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}A^kt^k
\\ &= Ae^{At}
\end{align*}
Ορίζουμε τον πίνακα \( e^{At} \in \mathbb R^{n\times n} \) ως
\textbf{πίνακα μετάβασης}, αφού είναι αυτός που μας μεταφέρει από
το \( x(0) \) στο \( x(t) \):
\[
x(t) = e^{At} x(0)
\]
\begin{exercise}[Παράδειγμα]
Έστω το σύστημα \( \ddot q = u, y=q \) με μεταβλητές κατάστασης
\( x_1=q \), \( x_2 = \dot q \). Να βρεθεί η έξοδός του.
\tcblower
Όπως έχει οριστεί το σύστημα, φαίνεται ότι:
\begin{align*}
\dot x_1 &= x_2\\
\dot x_2 &= u\\
y &= x_1
\end{align*}
ή, σε μορφή πίνακα:
\begin{align*}
\dot x &= \left[\begin{matrix}
0 & 1 \\ 0 & 0
\end{matrix}\right]x + \left[\begin{matrix}
0 \\ 1
\end{matrix}\right]u\\
y &= \left[\begin{matrix}
1 & 0
\end{matrix}\right] x
\end{align*}
Για να υπολογίσουμε την έξοδο του συστήματος, θα εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι
\( x(t) = e^{At} x(0) \). Πρώτα επομένως πρέπει να υπολογίσουμε τον πίνακα μετάβασης
\( e^{At} \):
\[
e^{At} = I + At + \frac{1}{2} A^2t^2 + \frac{1}{3!} A^3t^3 + \dots
\]
Ισχύει:
\[
A^2 = AA = \left[\begin{matrix}
0 & 1 \\ 0 & 0
\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
0 & 1 \\ 0 & 0
\end{matrix}\right] = 0
\]
άρα \( A^3 = A^2 A \), \( A^4 = 0,\ \dots \)
Επομένως:
\[
e^{At} = I + At = \left[\begin{matrix}
1 & 0 \\ 0 & 1
\end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}
0 & 1 \\ 0 & 0
\end{matrix}\right] t = \left[\begin{matrix}
1 & t \\ 0 & 1
\end{matrix}\right]
\]
Άρα τελικά:
\[
x(t) = \left[\begin{matrix}
1 & t \\ 0 & 1
\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
x_1(0) \\ x_2(0)
\end{matrix}\right]
\]
που σημαίνει ότι:
\begin{align*}
y = x_1(t) &= x_1(0) + tx_2(0)\\
x_2(t) &= x_2(0)
\end{align*}
\end{exercise}
\subsubsection{Πώς βρίσκουμε πίνακα μετάβασης;}
Στο παραπάνω παράδειγμα η εύρεση του πίνακα μετάβασης ήταν εύκολη υπόθεση, επειδή γλιτώσαμε από τις άπειρες
συνιστώσες, επειδή έτυχε \( A^2 = 0 \). Ο υπολογισμός του πίνακα μετάβασης όμως στη γενική περίπτωση είναι
δύσκολος.
Μπορούμε να τον πραγματοποιήσουμε θεωρώντας \textbf{μετασχηματισμό Laplace}:
\begin{alignat*}{3}
&& \dot x &= Ax &&\implies \\
\implies && sX(s) - x(0) &= AX(s) &&\implies \\
\implies && (sI-A)X(s) &= x(0) &&\implies \\
\implies && X(s) &= (sI-A)^{-1} x(0) &&\implies \\
\implies && x(t) &= \mathscr L^{-1} \left\lbrace (sI-A)^{-1} \right\rbrace x(0)
\end{alignat*}
Επομένως τελικά:
\[
\boxed{e^{At} = \mathscr{L}^{-1} \left\lbrace (sI-A)^{-1} \right\rbrace}
\]
\paragraph{Για διαγώνιους \(A\)}
Ο παραπάνω υπολογισμός είναι δύσκολος, εκτός από την περίπτωση στην οποία έχουμε διαγώνιους \( A \), οπότε ισχύει:
\begin{align*}
A &= \left[\begin{matrix}
\lambda_1 & 0 & \hdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \hdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \hdots & \lambda_k
\end{matrix}\right] \\
e^{At} &= \left[\begin{matrix}
e^{\lambda_1t} & 0 & \hdots & 0 \\
0 & e^{\lambda_2t} & \hdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \hdots & e^{\lambda_kt}
\end{matrix}\right]\\
\dot x_i &= \lambda_i x_i
\end{align*}
Όμως πολύ σπάνια έχουμε διαγώνιους πίνακες \( A \). Μπορεί όμως να είναι χρήσιμο να βρούμε έναν ισοδύναμο διαγώνιο \( \tilde A \)
που να λύνει το σύστημα.
Στην παρακάτω σχέση, υπάρχει \textit{πάντα} ένας αντιστρέψιμος πίνακας \( T \) έτσι ώστε ο \( \tilde A \) να είναι διαγώνιος:
\[
\tilde A = TAT^{-1}
\]
Επομένως μπορούμε να ορίσουμε νέες μεταβλητές κατάστασης \( z \):
\[
\underline{z = Tx} \implies x = T^{-1}z
\]
και τότε:
\[
\dot z = T\dot x = T(Ax) = \left(TAT^{-1}\right)z = \tilde A
\]
όπου ο \( \tilde A \) είναι διαγώνιος, και το σύστημα έχει λύση:
\[
z_i(t) = e^{\lambda i} z_i (0)
\]
\lecture{9}{28/3/2018}
\subsection{Ιδιοτιμές και ρυθμοί}
Έστω τα \textit{ιδιοδιανύσματα} \( v \) που αντιστοιχούν στις
ιδιοτιμές \( λ \) ενός πίνακα \( A \), που ορίζονται από τη σχέση:
\[
Av = λv
\]
και έχουμε το γνωστό σύστημα:
\[
\dot x = Ax + Bu
\]
Θα αναζητήσουμε τη λύση του \textbf{ομογενούς} συστήματος (\( u = 0 \implies \dot x = Ax \)), \textit{συγκεκριμένα}
όταν η αρχική τιμή είναι \( x(0) = v \). Από την Ενότητα \ref{sec:linear_solution}, και αναπτύσσοντας κατά Taylor, η λύση του συστήματος αυτού θα είναι:
\begin{align*}
x(t) &= e^{At} x(0) \\
&= e^{At} v \\
&= (I+At+\frac{1}{2}A^2t^2+\dots)v\\
&= v + (Av)t + \frac{1}{2}A^2v^2t^2 + \dots \\
&= v + λvt + \frac{1}{2}λ^2vt^2 + \dots \\
&= (1+λt + \frac{1}{2}λ^2t^2 + \dots) v \\
&= e^{\lambda t}v \label{eq:linear_eigenvector_solution}
\numberthis
\end{align*}
\begin{defn}{Ρυθμός}{}
Ορίζουμε ως \textbf{ρυθμό} της ιδιοτιμής \( λ \) του πίνακα \( A \)
την ποσότητα:
\[
e^{\lambda t} = 1+λt + \frac{1}{2}λ^2t^2 + \dots
\]
\end{defn}
Για να γενικεύσουμε για \( x(0) \neq \lambda \), θεωρούμε ότι οι
αρχικές συνθήκες του συστήματος προκύπτουν ως \textbf{επαλληλία} των
ιδιοδιανυσμάτων, δηλαδή αποτελούν άθροισμα του κάθε ιδιοδιανύσματος,
πολλαπλασιασμένου με κάποιον συντελεστή:
\[
x(0) = \sum a_i v_i
\]
Τότε, λόγω της \textit{γραμμικότητας} του συστήματος, η \textbf{γενική λύση} θα μοιάζει με ένα άθροισμα ρυθμών:
\[
x(t) = e^{At} \sum_{i=1}^{n} a_iv_i
\]
\paragraph{Σε μιγαδικές ιδιοτιμές}
Αν έχουμε \textbf{μιγαδικές} ιδιοτιμές, αυτές θα έχουν τη μορφή:
\[
λ = σ \pm j\omega
\]
και το ιδιοδιάνυσμα θα έχει τη μορφή:
\[
\vec v = \vec u \pm j\vec w
\]
και η τελική λύση προκύπτει, αφού κάνουμε αρκετές πράξεις στην
\eqref{eq:linear_eigenvector_solution}:
\[
x(t) = e^{σt}
\left[u\cos \omega t -w\sin \omega t
\right]+j\left[
u\sin \omega t + w\cos \omega t
\right]
\]
\subsubsection{Για μη ομογενή συστήματα}
Παραπάνω θεωρήσαμε ότι, στην εξίσωση \( \dot x =Ax+Bu \), είχαμε:
\[
u = 0 \implies \dot x = Ax
\]
δηλαδή είχαμε ομογενές σύστημα.
Στην περίπτωση που \( u\neq 0 \), η λύση που θα προκύψει είναι:
\[
x(t) = e^{At} x(0) + \int_{0}^{t} e^{A(t-τ)}Bu\dif τ
\]
\subsubsection{Απόκριση εισόδου-εξόδου}
Επιπλέον, αν θεωρήσουμε ότι η \textbf{έξοδος} \( y \) του συστήματος
εξαρτάται από την κατάσταση και την είσοδό του, δηλαδή:
\[
y = Cx + Du
\]
τότε αυτή μπορεί να προσδιοριστεί από τη σχέση:
\[
\boxed{
y(t) = ce^{At} x(0)
+ c\int_{0}^{t} e^{A(t-τ)} Bu\dif τ +Du
}
\]
\subsubsection{Αλλαγή στις μεταβλητές κατάστασης}
\label{sec:linear_varmod}
Έστω ένα σύστημα με μεταβλητές κατάστασης \( x \):
\[
\dot x = Ax + Bu
\]
Έχουμε υποστηρίξει ότι μπορούμε κατά βούληση να τις αλλάξουμε, χωρίς
καμία αλλαγή στο σύστημα. Δηλαδή το παραπάνω σύστημα μπορεί να εκφραστεί
και με βάση ένα σετ \textbf{διαφορετικών μεταβλητών κατάστασης}
\( z \), το οποίο βέβαια θα εκφράζεται και από διαφορετικούς πίνακες
\( A \) και \( B \), έστω \( \tilde A \) και \( \tilde B \) αντίστοιχα.
\[
\dot z = \tilde A z + \tilde B u
\]
\textit{Πράγματι}, έστω ότι μετασχηματίζουμε τον πίνακα των \( x \) μέσω
ενός αντιστρέψιμου πίνακα \( T \) (\textbf{ομογενής μετασχηματισμός}):
\[
z = Tx \qquad \implies x=T^{-1} z
\]
Τότε, παραγωγίζοντας την παραπάνω εξίσωση, έχουμε:
\begin{align*}
\dot z &= T\dot x \\
&= T(Ax+Bu) \\
&= TAx + TBu \\
\dot z &= \underbrace{(TAT^{-1})}_{\tilde A}z
+ \underbrace{(TB)}_{\tilde B}u
\\ &= \tilde A z + \tilde B u
\end{align*}
δηλαδή φτάσαμε στην επιθυμητή μορφή \( \dot z = \tilde A z + \tilde B u \).
Ο μετασχηματισμός αυτός είναι χρήσιμος όταν θέλουμε να αλλάξουμε τις
μεταβλητές κατάστασης, έτσι ώστε να φτάσουμε σε ένα πιο απλοποιημένο
αλλά ισοδύναμο σύστημα από ένα αρχικό. Πρέπει όμως να επιλεγεί ένας
οποιοσδήποτε \textit{μη αντιστρέψιμος} πίνακας \( T \) που να οδηγεί
όντως στην ευκολότερη επίλυση του προβλήματος.
\begin{exercise}
Δίνεται το μηχανικό σύστημα:
\begin{circuitikz}
\fill[postaction={decorate},pattern=north east lines] (0,3) rectangle (-0.5,-0.5) rectangle (10,0);
\fill[postaction={decorate},pattern=north east lines] (10,2.5) rectangle (11,1);
\draw (2,0) rectangle ++(2,2) node[midway] {$m$} node[midway] (m2) {};
\draw (6,0) rectangle ++(2,2) node[midway] {$m$} node[midway] (m1) {};
\draw (2,1.6) to[damper,l_=$c$,invert] ++(-2,0);
\draw (2,0.4) to[spring,invert,l_=\raisebox{-1.5ex}{$k$}] ++(-2,0);
\draw (6,1) to[spring,invert,l_=\raisebox{-1.5ex}{$k$}] ++(-2,0);
\draw (8,1.8) to[damper,l^=$c$] ++(2,0);
\draw (8,1.2) to[spring,l_=\raisebox{1.5ex}{$k$}] ++(2,0);
\draw[thick,->] (8,0.4) -- ++(2.5,0) node[right] {$u$};
\draw[thick] (0,3) |- (10,0);
\draw[thick] (10,2.5) -- (10,1);
\draw[->] (m2) ++ (0,1.4) |- ++(2,0.7) node[above,pos=.75,gray] {$q_1$};
\draw[->] (m1) ++ (0,1.4) |- ++(2,0.7) node[above,pos=.75,gray] {$q_2$};
\end{circuitikz}
Να γραφούν οι εξισώσεις κατάστασής του.
\tcblower
Για να βρούμε τις εξισώσεις κατάστασης, πρέπει πρώτα να βρούμε τις
διαφορικές εξισώσεις του συστήματος. Για κάθε μάζα έχουμε:
\begin{align*}
m\ddot q_1 &= -k(q_1-q_2) - kq_1-c\dot q_1\\
m\ddot q_2 &= -k(q_2-q_1) - kq_2 -c\dot q_2 + u
\end{align*}
άρα ισοδύναμα:
\begin{align}
\ddot q_1 &= -\frac{k}{m}(q_1-q_2) - \frac{k}{m}q_1-\frac{c}{m}\dot q_1
\label{eq:sec4ex1a}
\\
\ddot q_2 &= -\frac{k}{m}(q_2-q_1) - \frac{k}{m}q_2 -\frac{c}{m}\dot q_2 + \frac{1}{m}u
\label{eq:sec4ex1b}
\end{align}
Έχουμε σύστημα \( 2+2=4 \)\textsuperscript{ης} τάξης, και επιλέγουμε,
με βάση προηγούμενη θεωρία, τις μεταβλητές κατάστασης ως εξής:
\[
x_1=q_1,\quad x_2=q_2,\quad x_3 = \dot q_1,\quad x_4 = \dot q_2
\]
Μετά από πράξεις, ο πίνακας των μεταβλητών κατάστασης του συστήματος γίνεται:
\[
\dot x = \left[\begin{matrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
-\frac{2k}{m} & \frac{k}{m} & \frac{-c}{m} & 0\\
\frac{k}{m} & \frac{-2k}{m} & 0 & \frac{-c}{m}
\end{matrix}
\right]x + \left[
\begin{matrix}
0\\ 0\\ 0 \\ \frac{1}{m}
\end{matrix}\right]u
\]
Οι \textbf{εξισώσεις εξόδου} του συστήματος πρέπει ουσιαστικά να δηλώνουν τις θέσεις των δύο σωμάτων, δηλαδή τις μεταβλητές κατάστασης
\( x_1 \) και \( x_2 \):
\[
y = \left[\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0
\end{matrix}\right]x
\]
\paragraph{}
Αν μας ζητηθεί να \textbf{λύσουμε} το παραπάνω σύστημα, παρατηρούμε πως,
αν και είναι γραμμικό, είναι 4\textsuperscript{ης} τάξης. Αυτό σημαίνει
πως θα δυσκολευτούμε σημαντικά να το λύσουμε.
Για αυτό, κάνουμε μια διαφορετική επιλογή μεταβλητών κατάστασης, ως
εξής:
\[
z_1=\frac{q_1+q_2}{2},\quad
z_2=\dot z_1,\quad
z_3=\frac{q_1-q_2}{2},\quad
z_4=\dot z_3
\]
με βάση τα παραπάνω, ισχύει:
\[
\dot z_2 = \ddot z_1 = \frac{\ddot q_1+\ddot q_2}{2}
= -\frac{k}{m}z_1 -\frac{c}{m}z_2 + \frac{u}{2m}
\]
και
\[
\dot z_4 = \frac{\ddot q_1-\ddot q_2}{2}
= -\frac{3k}{m}z_3 -\frac{c}{m}z_4 - \frac{u}{2m}
\]
όπως προκύπτει από πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη των
\eqref{eq:sec4ex1a} και \eqref{eq:sec4ex1b}.
Τότε, οι εξισώσεις κατάστασης του συστήματος, όπως προκύπτουν
από τις παραπάνω μεταβλητές, είναι:
\[
\dot z = \left[\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
\sfrac{-k}{m} & \sfrac{-c}{m} & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & \sfrac{-3k}{m} & \sfrac{-c}{m}
\end{matrix}\right]z + \left[\begin{matrix}
0 \\ \sfrac{1}{2m} \\ 0 \\ \sfrac{-1}{2m}
\end{matrix}\right]u
\]
\todo{Matrix what rows/cols}
Το σύστημα αυτό είναι αρκετά πιο απλό από το προηγούμενο. Πράγματι,
αυτό μπορεί να χωριστεί σε δύο ανεξάρτητα (\textbf{αποσυζευγμένα})
συστήματα \( 2\times2 \):
\begin{align*}
\left[\begin{matrix}
\dot z_1\\ \dot z_2
\end{matrix}\right] &= \left[\begin{matrix}
0 & 1 \\ \sfrac{-k}{m} & \sfrac{-c}{m}
\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
z_1\\z_2
\end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}
0 \\ \sfrac{1}{2m}
\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
u_1 \\ u_2
\end{matrix}\right] \\
\left[\begin{matrix}
\dot z_3\\ \dot z_4
\end{matrix}\right] &= \left[\begin{matrix}
0 & 1 \\ \sfrac{-3k}{m} & \sfrac{-c}{m}
\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
z_3\\z_4
\end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}
0 \\ \sfrac{-1}{2m}
\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
u_3 \\ u_4
\end{matrix}\right]
\end{align*}
Βέβαια, αφού βρούμε τις τιμές των \( z \), θα πρέπει να υπολογιστεί
η έξοδος του συστήματος \( q_1 \) και \( q_2 \), ή να βρεθεί
ένας μετασχηματισμός ως προς \( x \). Συγκρίνοντας τις εξισώσεις
των \( z \) και \( x \), έχουμε:
\[
z = \left[\begin{matrix}
\frac{q_1+q_2}{2} \\ \frac{\dot q_1 + \dot q_2}{2}
\\ \frac{q_1 - q_2}{2} \\ \frac{\dot q_1 - \dot q_2}{2}
\end{matrix}\right]
= \left[\begin{matrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0\\
0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0\\
0 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
\end{matrix}\right]
= \underbrace{\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & -1
\end{matrix}\right]}_{T}
\left[\begin{matrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
\end{matrix}\right]
\]
Πρέπει να ελέγξουμε αν ο μετασχηματισμός είναι ομογενής προτού
τον εφαρμόσουμε (\autoref{sec:linear_varmod}). Ο συγκεκριμένος πίνακας \( T \) είναι αντιστρέψιμος,
επομένως ο μετασχηματισμός έχει νόημα.
\end{exercise}
\subsubsection{Απόκριση μόνιμης κατάστασης}
Η έξοδος ενός γραμμικού συστήματος θυμόμαστε ότι είναι:
\[
y(t) = ce^{At} x(0) + \int_{0}^{t}ce^{A(t-τ)}Bu\dif τ +Du
\]
Έστω ότι στην είσοδο του συστήματος τοποθετούμε τη μοναδιαία βηματική συνάρτηση
(\( u=1 \)),
χωρίς αρχικές συνθήκες (\( x(0) = 0 \)). Τότε η \textbf{βηματική απόκριση} (δηλαδή η έξοδος)
του συστήματος είναι:
\[
y(t) = c\int_{0}^{t}e^{A(t-τ)}B\dif τ +D
\]
Πραγματοποιούμε αλλαγή μεταβλητής στο ολοκλήρωμα, θέτοντας \( \omega = t-τ \). Άρα:
\begin{align*}
y(t) &= c\int_{0}^{t}e^{A\omega }B\dif \omega +D \\
&= \left. cA^{-1}e^{A\omega }B\right|_{\omega = 0}^{\omega = t}
+ D
\\ y(t) &=
\underbrace{cA^{-1}e^{At} B} +\underbrace{D-CA^{-1}B},\quad \forall t \geq 0
\end{align*}
Στο αποτέλεσμα αυτό έχουμε δύο όρους, τον \( cA^{-1}e^{At}B \) που
εκφράζει το \textbf{μεταβατικό φαινόμενο} του συστήματος
(είναι ένας εκθετικός αποσβεννύμενος όρος, αν θεωρήσουμε ότι έχουμε ευστάθεια \textemdash~ πίνακας \( A \) ευσταθής, δηλαδή με ιδιοτιμές
στο αριστερό μόνον ημιεπίπεδο), και τον
\( D-CA^{-1}B \), ο οποίος δεν εξαρτάται από το χρόνο, και εκφράζει
τη \textbf{μόνιμη κατάσταση} του συστήματος.
\subsubsection{Απόκριση Συχνότητας}
Ένα σύστημα μπορεί να αναλυθεί στη συχνότητα για ημιτονοειδείς εισόδους
που προστίθενται κατά την αρχή της επαλληλίας, όπως και στα ΣΑΕ 1.
Αποδεικνύεται ότι το \textbf{κέρδος μηδενικής συχνότητας} είναι:
\[
M_0 = -CA^{-1}B + D
\]
\lecture{10}{30/3/2018}
\subsection{Μετατροπή μη γραμμικού συστήματος σε γραμμικό}
Η μετατροπή είναι χρήσιμη έτσι ώστε να απλοποιήσουμε ένα περίπλοκο
σύστημα, και να το μελετήσουμε σύμφωνα με τα παραπάνω.
\subsubsection{Γραμμικοποίηση γύρω από σημείο ισορροπίας}
\label{sec:linear_linearization_point}
Έστω ένα οδηγούμενο μη γραμμικό σύστημα, με τις παρακάτω εξισώσεις
κατάστασης και εξόδου:
\begin{align*}
\dot x &= F(x,u)\\
y &= h(x,u)
\end{align*}
Σκοπός μας είναι να βρούμε το ισοδύναμό του γραμμικό σύστημα κοντά σε
ένα σημείο ισορροπίας.
Για να το πετύχουμε αυτό, σκεφτόμαστε πώς θα δρούσαμε αν θέλαμε να
γραμμικοποιήσουμε μια μη γραμμική συνάρτηση κοντά σε ένα σημείο:
\todo{Graph 23}
Σε ένα σημείο θα λαμβάναμε την \textbf{εφαπτομένη} της καμπύλης, η οποία
θα οδηγούσε στην καλύτερη προσέγγιση. Για μεγάλο εύρος μακριά από το
σημείο αυτό, το σφάλμα της προσέγγισης αυτής θα ήταν μεγάλο, ενώ θα
ελαχιστοποιούνταν όσο φτάναμε σε μικρότερη απόσταση από το σημείο αυτό.
Το εύρος εντός του οποίου έχουμε ανεκτή ποσότητα σφάλματος εξαρτάται
από την \textbf{ομαλότητα} της συνάρτησης.
Για τη μελέτη του συστήματος, πρώτα βρίσκουμε το \textbf{σημείο ισορροπίας} του, δηλαδή το:
\[
\left(x^*,\ u^*\right)
\]
και ορίζουμε τη διαφορά του σημείου ισορροπίας στις μεταβλητές κατάστασης, την είσοδο, και την έξοδο:
\begin{align*}
z &= x - x^* \\
v &= u - u^* \\
w &= y - h(x^*, u^*)
\end{align*}
Έτσι ουσιαστικά έχουμε μετακινήσει το σημείο ισορροπίας στο σημείο
0, δηλαδή \( (z^*, u*) = (0,0) \).
Θέλουμε το σύστημά μας να γίνει \textbf{γραμμικό}, δηλαδή να ισχύουν οι σχέσεις:
\begin{align*}
\dot z &= Az + Bv\\
w &= Cz + Dv
\end{align*}
όπου οι πίνακες \( A,B,C,D \) προέρχονται, όπως και στην περίπτωση της
συνάρτησης, από \textbf{παραγώγιση} (ή, ισοδύναμα, από τον πρώτο όρο
της σειράς Taylor):
\begin{alignat*}{3}
A &= \left. \pd{F}{x} \right|_{x^*,u^*}, \quad&& C &=
\left. \pd{h}{x}\right|_{x^*,u^*} \\
B &= \left. \pd{F}{u} \right|_{x^*,u^*}, \quad&& D &=
\left. \pd{h}{u}\right|_{x^*,u^*}
\end{alignat*}
Βέβαια για να εφαρμοστεί η παραπάνω μέθοδος, πρέπει να \textbf{υπάρχει το
σημείο ισορροπίας} του εξεταζόμενου συστήματος.
\begin{exercise}[Παράδειγμα]
Δίνεται το σύστημα:
\[
\dot x = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + u,\ c_0 \neq 0
\]
Να γραμμικοποιηθεί γύρω από το \( (x,u) = (0,0) \)
\tcblower
Στο παραπάνω σύστημα παρατηρούμε ότι το \( (0,0) \) \textbf{δεν} είναι
σημείο ισορροπίας, αφού \( F(x,u) = \left. \dot x \right|_{{x=0}\atop{u=0}}
= c_0 \neq 0 \). Επομένως δεν μπορεί να εφαρμοστεί η μεθοδολογία
του \ref{sec:linear_linearization_point} (\nameref{sec:linear_linearization_point}).
Μπορούμε όμως, για αρκετά μικρή είσοδο \( u \simeq 0 \) και μεταβλητή
κατάστασης \( x \simeq 0 \), να θεωρήσουμε πως ο όρος του τετραγώνου
γίνεται αρκετά μικρός και φεύγει:
\[
\dot x = c_0 + c_1x + \cancelto{0}{c_2x^2}
\]
και το σύστημα γίνεται:
\[
\dot x = c_0 + c_1 x
\]
Το \( \dot x = c_0 + c_1 x \) όμως \textbf{δεν} είναι γραμμικό σύστημα!
Αυτό συμβαίνει λόγω του σταθερού όρου \( c_0 \neq 0 \), ο οποίος δεν
ικανοποιεί ταυτόχρονα τις ιδιότητες της επαλληλίας και της ομογένειας.
\todo{which one is bad?}
Επομένως το παραπάνω σύστημα δεν μπορεί να γραμμικοποιηθεί γύρω από
το \( (0,0) \) όπως ζητείται.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Δίνεται το σύστημα ενός ηλεκτρομαγνήτη με ρεύμα \( i \) και τάση
\( v \), με αυτεπαγωγή \( L \) και ωμική αντίσταση των τυλιγμάτων
\( R \). Σε απόσταση \( x \) από αυτήν βρίσκεται μια σφαίρα μάζας
\( m \).
\begin{tikzpicture}[american voltages,scale=.7]
% Source: https://tex.stackexchange.com/a/32313
\begin{scope}[rotate=90]
% Define a formula for the coil.
% This is what the numbers mean:
% 0.3 ... how far the rings are apart
% 0.4 ... how much from the side the rings are seen (try 0 and the same as the radius)
% 1.5 ... radius of the rings
\def\coil#1{
{0.55 * (2*#1 + \t) + 0.4*sin(\t * pi r))},
{1.5 * cos(\t * pi r)}
}
% Draw the part of the coil behind the rectangle
\foreach \n in {0,1,...,5} {
\draw[domain={0:1},smooth,variable=\t,samples=15]
plot (\coil{\n});
}
% Draw the rectangle
\filldraw[fill=white] (-0.5,-1) rectangle (7,1);
% Draw the part of the coil in front of the rectangle
\foreach \n in {0,1,...,5} {
\draw[domain={1:2},smooth,variable=\t,samples=15,
preaction={draw,white,line width=3pt} % remove if undesired
]
plot (\coil{\n});
}
\end{scope}
\draw[ postaction={
decorate,
decoration={
post length=1mm, % ??? Magic to fix "Dimension
pre length=1mm, % ??? too large" errors.
markings,
mark=at position 0.5 with {\arrow{<}},
mark=at position 0.5 with {\node[above]{$i$};}
}
}] plot [smooth] coordinates {(-1.5,6.6) (-1.8,7) (-3,7)} (-3,7) node[fill,circle,inner sep=1pt] {};
\draw[ postaction={
decorate,
decoration={
post length=1mm, % ??? Magic to fix "Dimension
pre length=1mm, % ??? too large" errors.
markings,
mark=at position 0.5 with {\arrow{>}}
}
}] plot [smooth] coordinates {(-1.5,0) (-1.8,-0.6) (-3,-0.7)} (-3,-0.7) node[fill,circle,inner sep=1pt] {};
\draw (-3,7) to[open,v=$V$] (-3,-0.7);
\draw (2, 3.5) node[right] {$L,\ R$};
\draw[very thick,gray,->] (4,5) -- (4,2) node[near end,right] {};
\shade[ball color=blue,thick,blue,draw=black] (0,-2.5) circle (0.7cm);
\draw[blue,opacity=.5] (0.7,-2.5) -- ++(0.7,0);
\draw[blue,opacity=.5] (0.7,-0.5) -- ++(0.7,0);
\draw[<->,blue,opacity=.5] (0.7+0.35,-2.4) -- (0.7+0.35,-0.6) node[midway,fill=white,opacity=1] {$x$};
\end{tikzpicture}
Ζητείται να σχεδιαστεί η είσοδος τάσης \( u \) ώστε η σφαίρα να παραμένει σε
σταθερή απόσταση \( x^* \) από τον ηλεκτρομαγνήτη.
Η δύναμη είναι ανάλογη του τετραγώνου του ρεύματος
\( i^2 \), και αντιστρόφως
ανάλογη της απόστασης \( x \).
\tcblower
Οι δυνάμεις που ασκούνται επάνω στη μάζα είναι το βάρος \( mg \) λόγω
της βαρύτητας, και η δύναμη \( F \) που ασκείται από τον ηλεκτρομαγνήτη.
\begin{tikzpicture}[american voltages,scale=.5]
% Source: https://tex.stackexchange.com/a/32313
\begin{scope}[rotate=90]
% Define a formula for the coil.
% This is what the numbers mean:
% 0.3 ... how far the rings are apart
% 0.4 ... how much from the side the rings are seen (try 0 and the same as the radius)
% 1.5 ... radius of the rings
\def\coil#1{
{0.55 * (2*#1 + \t) + 0.4*sin(\t * pi r))},
{1.5 * cos(\t * pi r)}
}
% Draw the part of the coil behind the rectangle
\foreach \n in {0,1,...,5} {
\draw[domain={0:1},smooth,variable=\t,samples=15]
plot (\coil{\n});
}
% Draw the rectangle
\filldraw[fill=white] (-0.5,-1) rectangle (7,1);
% Draw the part of the coil in front of the rectangle
\foreach \n in {0,1,...,5} {
\draw[domain={1:2},smooth,variable=\t,samples=15,
preaction={draw,white,line width=3pt} % remove if undesired
]
plot (\coil{\n});
}
\end{scope}
\draw[ postaction={
decorate,
decoration={
post length=1mm, % ??? Magic to fix "Dimension
pre length=1mm, % ??? too large" errors.
markings,
mark=at position 0.5 with {\arrow{<}},
mark=at position 0.5 with {\node[above]{$i$};}
}
}] plot [smooth] coordinates {(-1.5,6.6) (-1.8,7) (-3,7)} (-3,7) node[fill,circle,inner sep=1pt] {};
\draw[ postaction={
decorate,
decoration={
post length=1mm, % ??? Magic to fix "Dimension
pre length=1mm, % ??? too large" errors.
markings,
mark=at position 0.5 with {\arrow{>}}
}
}] plot [smooth] coordinates {(-1.5,0) (-1.8,-0.6) (-3,-0.7)} (-3,-0.7) node[fill,circle,inner sep=1pt] {};
\draw (-3,7) to[open,v=$V$] (-3,-0.7);
\draw (2, 3.5) node[right] {$L,\ R$};
\draw[->,red!50!brown, opacity=.8, thick] (0,-2.5) -- ++ (0,1.4) node[right] {$F$};
\draw[->,red!30!brown, opacity=.8, thick] (0,-2.5) -- ++ (0,-1.4) node[right] {$mg$};
\draw[very thick,gray,->] (4,5) -- (4,2) node[near end,right] {};
\shade[ball color=blue,thick,blue,draw=black] (0,-2.5) circle (0.7cm);
\draw[blue,opacity=.5] (0.7,-2.5) -- ++(0.7,0);
\draw[blue,opacity=.5] (0.7,-0.5) -- ++(0.7,0);
\draw[<->,blue,opacity=.5] (0.7+0.35,-2.4) -- (0.7+0.35,-0.6) node[midway,fill=white,opacity=1] {$x$};
\end{tikzpicture}
Σύμφωνα με την εκφώνηση, η \( F \) δίνεται από τον τύπο (μαζί με την
σταθερά αναλογίας \( k \)):
\[
F = k\frac{i^2}{x}
\]
Σκοπός είναι ο σχεδιασμός ενός συστήματος που θα διατηρεί το \( x \)
σε σταθερή τιμή, έτσι ώστε να μην φεύγει από το πεδίο του ηλεκτρομαγνήτη
η σφαίρα. Αυτήν τη στιγμή δεν θα λύσουμε πλήρως την άσκηση, αλλά θα
φτάσουμε μέχρι ένα μεσαίο σημείο.
Οι διαφορικές εξισώσεις του συστήματος, όπως προκύπτουν από το
μηχανικό και το ηλεκτρικό κομμάτι του, είναι αντίστοιχα:
\begin{gather*}
\ddot x = g - \frac{k}{m}\frac{i^2}{x} \\
L\od{i}{t} + Ri = v
\end{gather*}
όπου θεωρήσαμε ότι ο πυρήνας του ηλεκτρομαγνήτη δεν εισέρχεται σε
κορεσμό.
Με λίγες πράξεις, οι διαφορικές εξισώσεις του συστήματος γίνονται:
\begin{gather}
\ddot x = g -\frac{k}{m}\frac{i^2}{x}
\label{eq:sec4ex2a} \\
\od{i}{t} + \frac{R}{L}i = \frac{1}{L} v
\label{eq:sec4ex2b}
\end{gather}
Όπως και στα προηγούμενα προβλήματα, πρώτα πρέπει να βρούμε τις
μεταβλητές και τις εξισώσεις κατάστασης. Έχουμε σύστημα \textbf{3\textsuperscript{ης} τάξης} (1 ΔΕ 2\textsuperscript{ης} τάξης, 1 ΔΕ 1\textsuperscript{ης} τάξης, \( 2+1=3 \)), άρα
χρειαζόμαστε \( n=3 \) μεταβλητές κατάστασης. Σύμφωνα με τη θεωρία,
\todo{which theory?} τις επιλέγουμε ως εξής:
\[
x_1=x,\qquad x_2=\dot x,\qquad x_3 = i
\]
Τότε, με μερικές πράξεις από τις \eqref{eq:sec4ex2a}, \eqref{eq:sec4ex2b} , οι μεταβλητές κατάστασης θα αποκτήσουν
τη μορφή:
\begin{align}
\dot x_1 &= x_2 \\
\dot x_2 &= g - \frac{k}{m}\frac{x_3^2}{x_1}
\label{eq:sec4ex2x2d}
\\
\dot x_3 &= -\frac{R}{L} x_3 + \frac{1}{L}u
\end{align}
και η είσοδος είναι η τάση, δηλαδή:
\[
u = v
\]
\todo{g nonlinear?}
Το σύστημα αυτό είναι μη γραμμικό, λόγω του όρου \( x_3^2 \) που
εμφανίζεται στην εξίσωση \( \dot x_2 \). Επομένως, προς
διευκόλυνσή μας, θα γραμμικοποιήσουμε το σύστημα γύρω από το
σημείο ισορροπίας του.
Αν και μπορούμε να βρούμε διάφορα σημεία ισορροπίας για το σύστημα,
\todo{check if many points} θα μελετήσουμε αυτό που αφορά το
\( \dot x = x_2^* = 0 \), δηλαδή θέλουμε η \textbf{ταχύτητα} της
μάζας όταν ισορροπεί να είναι \textbf{μηδενική}.
Θεωρώντας λοιπόν ότι \( x_2^* = 0 \), για τις υπόλοιπες
συνιστώσες του σημείου ισορροπίας έχουμε:
\begin{align*}
x_2^* &= 0 \\
\eqref{eq:sec4ex2x2d} \implies x_3^* &= \sqrt{\frac{mg}{k}x_1^*}\\
x_1^* & \in \mathbb R\\
u^* &= R\sqrt{\frac{mg}{k}x_1^*}
\end{align*}
Εφαρμόζουμε τη διαδικασία του κεφαλαίου \ref{sec:linear_linearization_point}, και αλλάζουμε τις μεταβλητές:
\begin{align*}
z_1 &= x_1 - x_1^* \\
z_2 &= x_2 - x_2^* = x_2 \\
z_3 &= x_3 - x_3^*
= x_3 - \sqrt{\frac{mg}{k}x_1^*}\\
\tilde u &= u - u^* = u-R\sqrt{\frac{mg}{k}x_1^*}
\end{align*}
Επομένως, αντικαθιστώντας τις παραπάνω σχέσεις, έχουμε:
\begin{align*}
\dot z_1 &= z_2\\
\dot z_2 &= g -\frac{k}{m}\frac{\left(z_3+\sqrt{\frac{mg}{k}x_1^*}\right)^2}{z_1+x_1^*} \\
\dot z_3 &= -\frac{R}{L}\left(z_3+\sqrt{\frac{mg}{k}x_1^*}\right)
+ \frac{1}{L}\left(\tilde{u} + R\sqrt{\frac{mg}{k}x_1^*}\right)
\end{align*}
Ήρθε η ώρα να γραμμικοποιήσουμε το σύστημα, έτσι ώστε να φτάσει στην
επιθυμητή μορφή:
\begin{align*}
\dot z &= Az + B\tilde u\\
y &= Cz + \cancelto{0}{D\tilde u}
\end{align*}
και υπολογίζουμε τους πίνακες \( A,B,C,D \):
\begin{alignat*}{2}
A &= \left. \pd{F}{z} \right|_{(0,0)} = \left[\begin{matrix}
0 & 1 & 0 \\
\sfrac{g}{x_1^*} & 0 & -2\sqrt{\frac{kg}{mx_1^*}} \\
0 & 0 & -\frac{R}{L}
\end{matrix}\right],
\qquad
B &= \left. \pd{F}{\tilde u} \right|_{(0,0)} = \left[\begin{matrix}
0 \\ 0 \\ \sfrac{1}{L}
\end{matrix}\right]\\
C &= \left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0
\end{matrix}\right]
\end{alignat*}
\todo{Check A,B,C}
Εφ' όσον \( x_1^* = x^* \) που είναι η συνιστώσα του σημείου ισορροπίας
που δίνεται από την εκφώνηση, την διατηρούμε στις εξισώσεις του
συστήματος.
Μένει μόνο η υλοποίηση του ελεγκτή. Αυτό δεν θα το αναλύσουμε ακόμα,
αλλά σε επόμενο κεφάλαιο.
\end{exercise}
\begin{exercise}[Ποδήλατο]
Σε μια προηγούμενη άσκηση με το ποδήλατο, \todo{Add reference}\todo{Explain u,a,theta} είχαμε
βρει τις παρακάτω σχέσεις: \[
\left[\begin{matrix}
\dot x \\ \dot y \\ \dot \theta
\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}
u\cos\left(a(δ)+\theta\right) \\
u\sin\left(a(δ)+\theta\right) \\
\frac{u_0}{b}\tan δ
\end{matrix}\right]
\]
Αν θεωρήσουμε ότι δεν θέλουμε να στρίβει το ποδήλατο, να γραμμικοποιηθεί
το σύστημα.
\tcblower
Το ότι δεν θέλουμε το ποδήλατο να στρίβει, σημαίνει πως η γωνιακή
του ταχύτητα είναι 0, δηλαδή:
\[
\dot{\theta} = 0 \implies \delta = 0
\]
Για γραμμικοποίηση γύρω από το σημείο ισορροπίας, πρέπει πρώτα
να βρούμε το σημείο ισορροπίας του προβλήματος. Οι εξισώσεις του,
θεωρώντας ότι \( \delta = 0\) και \(\dot{\theta} = 0 \), είναι:
\[
\left[\begin{matrix}
\dot x \\ \dot y
\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}
u\cos\theta \\ u\sin\theta
\end{matrix}\right]
\]
ή, για το σημείο ισορροπίας, θα πρέπει να λύσουμε το σύστημα:
\begin{align*}
u\cos(\theta) = 0\\
u\sin(\theta) = 0
\end{align*}
Υψώνο