Permalink
Browse files

DSP Lecture 17

  • Loading branch information...
kongr45gpen committed Dec 3, 2018
1 parent 9afbe42 commit 04b6e66287cfa82f911ceae6f8abdbe956387d6e
Showing with 102 additions and 0 deletions.
  1. BIN dsp.pdf
  2. +102 −0 dsp.tex
BIN +0 Bytes (100%) dsp.pdf
Binary file not shown.
102 dsp.tex
@@ -4073,5 +4073,107 @@ \subsection{Διγραμμικός Μετασχηματισμός}
H(z) = \left. H_a'(s) \right|_{s\leftarrow \frac{2}{Δt} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}
\]
\lecture{17}{3/12/2018}
\subsection{Συνελικτικά ολοκληρώματα}
Κάποιες διαφορικές εξισώσεις, δεδομένων των γνώσεων που έχουμε για την \emph{κρουστική απόκριση},
λύνονται ως εξής:
\begin{align*}
y(t) &= \int_{-\infty}^{\infty} h(τ)\cdot x(t-τ) \dif τ \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} x(τ)h(t-τ)\dif τ
=\int_{-\infty}^{t} x(τ) h(t-τ)\dif τ \text{ (για αιτιατό σύστημα)}
\end{align*}
Θα μπορούσαμε να σκεφτούμε να μετατρέψουμε σε άθροισμα το ολοκλήρωμα, θέτοντας \( t=nT \), άρα
\( y(nT) = T\sum_{k=-\infty}^{n} x(kT)h(nT-kT) \implies y(n) = T\sum_{k=-\infty}^{n} x(k)h(n-k) = T x(n)*h(n) \). Δηλαδή, γνωρίζοντας την κρουστική απόκριση του αναλογικού συστήματος, και δειγματοληπτώντας
κατάλληλα, μπορούμε να μοντελοποιήσουμε και το ψηφιακό σύστημα.
Έστω ένα φίλτρο \( H_a(s) \):
\[
H_a(s) =\frac{1}{s+a}
\]
με κρουστική απόκριση:
\[
h_a(t) = e^{-at} \mathrm{u}(t)
\]
την οποία μπορούμε να δειγματοληπτήσουμε ως εξής:
\[
\boxed{h[n] = h_a(nT) = e^{-anT}\mathrm{u}(n)}
\]
Αφού το παραπάνω είναι η κρουστική απόκριση του ψηφιακού συστήματος, για να περιγράψουμε το ίδιο το
σύστημα έχουμε:
\begin{align*}
H(z) &= \mathcal{Z}\mathrm{T}\left\lbrace h(n) \right\rbrace = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-anT} z^{-n}
\\&= \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{e^{-aT}}{z}\right)^n
=\frac{1}{1-\frac{e^{-aT}}{z}} \qquad \text{με } \left|\frac{e^{-aT}}{z}\right|<1
\\ &= \frac{z}{z-e^{-aT}}
\end{align*}
Μελετώντας τους πόλους, παρατηρούμε ότι ο πόλος του αναλογικού συστήματος είναι \( (s_0) = -a \),
και ο πόλος του ψηφιακού είναι \( (z_0) = e^{-at} \). Αν \( (s_0) < 0 \), τότε \( (z_0) < 1 \), άρα
η ευστάθεια του αναλογικού συστήματος οδηγεί και στην ευστάθεια του ψηφιακού.
Μελετώντας το σύστημα στη συχνότητα, παρατηρούμε ότι έχουμε αποτελέσματα αντίστοιχα με αυτά του θεωρήματος δειγματοληψίας, καθώς δειγματοληπτούμε την \( h(t) \). Δεν θα υπάρχει καμία στρέβλωση στη
συχνότητα. \todo{Graph 50}
\subsubsection{Ακρίβεια της ψηφιακής προσέγγισης}
Έστω ένα σύστημα, που μετά από την αντικατάσταση \( z \leftarrow e^{j\omega } \), γίνεται:
\begin{align*}
H\left(e^{j\omega }\right) = \frac{Ae^{j\omega }}{e^{j\omega }-e^{-aT}}
\end{align*}
και το ισοδύναμο δειγματοληπτημένο:
\begin{align*}
H_{eq}(j\Omega) &= \left. H\left(e^{j\omega }\right) \right|_{\omega \leftarrow \Omega T}
= \frac{Ae^{j\Omega T}}{e^{j\Omega T}-e^{-aT}} \qquad \text{ με } \Omega < \frac{π}{T}
\\ H_a(j\Omega) &= \frac{A}{j\Omega + a}\\
H_{eq}(j\Omega) &= \frac{A}{1-(1-aT)\cos(\Omega T) + j(1-aT)\sin(\Omega T)}
\\ &= \frac{\sfrac{A}{T} }{1 + j\Omega - jT \Omega } = \frac{A}{T}\frac{1}{a+j\Omega}
\\ &= \frac{A}{1-1 + aT\cos(\Omega T) + j \sin(\Omega T) - jaT\sin(\Omega T)}
\\ &= \frac{1}{aT + j\Omega T - jaT^2 \Omega}
\end{align*}
Παρατηρούμε ότι μειώνοντας το χρόνο δειγματοληψίας \( T \), μειώνεται και η παραμόρφωση που προκαλείται
λόγω της προσέγγισης μειώνεται.
\paragraph{Παράδειγμα}
Έστω ένα σύστημα \( h_a(t) \) με είσοδο \( u(t) \) και έξοδο \( s_a(t) \). Μέσω της παραπάνω διαδιασίας, μετατρέπουμε την \( h_a(t) \) σε \( h(n) \), για να πάρουμε έξοδο
\( s(n) \), και το σύστημα να έχει μετασχηματισμό Z τον \( H(z) \).
\subparagraph{Ερώτημα}
Αν \( H(n) = h_a(nT) \), είναι ή όχι \( s(n) = \sum_{k=-\infty}^{n} h_a(kT) \);
Έχουμε:
\begin{align*}
u(n) &= \sum_{k=-\infty}^{n}δ(k) \xRightarrow{H(z)} s(n) = \sum_{k=-\infty}^{n} h(k) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h_a(kT)
\end{align*}
Άρα είναι.
\subparagraph{Ερώτημα}
Αν \( s(n) = s_a(nT) \), είναι ή όχι \( h(n) = h_a(nT) \);
Έχουμε:
\begin{align*}
δ(n) &= u(n) - u(n-1) \xRightarrow{H(z)} h(n) = s(n) - s(n-1)
\\ &= s_a(nT) - s_a\left( (n-1)T \right)
\end{align*}
όπου:
\begin{align*}
s_a(nT) &= \int_{-\infty}^{nT}h(τ)u(nT-τ)\dif τ = \int_{-a}^{nT}h(τ)\dif τ\\
s_a\left( (n-1)T \right) &= \cdots = \int_{-\infty}^{(n-1)T} h(τ)\dif τ
\end{align*}
άρα:
\[
s_a(nT) - s_a\left((n-1)T\right) = \int_{(n-1)T}^{nT} h(τ)\dif τ \neq h_a(nT)
\]
δηλαδή η δοθείσα σχέση δεν ισχύει.
\begin{questionbox}{Ερώτηση για το σπίτι}
Ποιό είναι το νόημα της παραπάνω άσκησης;
\end{questionbox}
\end{document}

0 comments on commit 04b6e66

Please sign in to comment.