Permalink
Browse files

A few more DSP fixes

  • Loading branch information...
kongr45gpen committed Feb 4, 2019
1 parent e296c7c commit 1fdd2349af50982121b0291f38e894089b9f3dd7
Showing with 11 additions and 10 deletions.
  1. BIN dsp.pdf
  2. +11 −10 dsp.tex
BIN +0 Bytes (100%) dsp.pdf
Binary file not shown.
21 dsp.tex
@@ -51,7 +51,7 @@
Μπορείτε να ενημερώνετε για οποιοδήποτε λάθος και πρόταση
μέσω PM στο forum, issue στο Github, ή οποιουδήποτε άλλου τρόπου.

Μέχρι τώρα, \emph{10} άτομα έχουν γράψει έστω και λίγο κώδικα για τις σημειώσεις όλων των μαθημάτων, \emph{24} άτομα έχουν προτείνει διορθώσεις, και έχουν γίνει συνολικά \textbf{99} αλλαγές χάρη σε δικές σας προτάσεις!
Μέχρι τώρα, \emph{10} άτομα έχουν γράψει έστω και λίγο κώδικα για τις σημειώσεις όλων των μαθημάτων, \emph{24} άτομα έχουν προτείνει διορθώσεις, και έχουν γίνει συνολικά \textbf{106} αλλαγές χάρη σε δικές σας προτάσεις!
\end{infobox}

\todo{Add PDF links}
@@ -5062,6 +5062,7 @@ \subsection{Διγραμμικός Μετασχηματισμός}

Επομένως υπάρχει απεικόνιση του \( j\Omega \to e^{j\omega} \), η οποία είναι η \( \Omega = \frac{2}{T}\tan\left(\frac{\omega}{2}\right) \), ή αντιστρόφως \( \omega = 2\tan^{-1}\frac{\Omega T}{2} \).

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (-2,0) -- (2,0);
\draw (0,-2) -- (0,2);
@@ -5080,6 +5081,7 @@ \subsection{Διγραμμικός Μετασχηματισμός}
\end{scope}

\end{tikzpicture}
\end{center}

Μερικά παραδείγματα της συχνότητας \( \omega_{\mathrm{bl}} \) που προκύπτει από το διγραμμικό μετασχηματισμό
(σε σύγκριση με τη συχνότητα \( \omega_{\mathrm{ST}} = \Omega T \) που προκύπτει από το θεώρημα
@@ -5138,7 +5140,7 @@ \subsection{Διγραμμικός Μετασχηματισμός}
\draw[->] (0,0) -- (2.2,0);

\draw[red!50!orange,very thick]
plot[smooth] coordinates {(0,1.5) (0.5,1.4) (1.2,0.5) (2,0.4)};
plot[smooth] coordinates {(0,1.5) (0.5,1.4) (1.2,0.5) (2,0.35)};

\draw[dashed] (0,1.3) node[left] {$-3$} -| (0.56,0) node[below] {$\Omega_c$};
\draw[dashed] (0,0.6) node[left] {$-15$} -| (1.08,0) node[below] {$\Omega_2$};
@@ -5147,8 +5149,7 @@ \subsection{Διγραμμικός Μετασχηματισμός}
\end{minipage}

\tcblower
Θα υλοποιήσουμε ένα φίλτρο Butterworth, με χρόνο δειγματοληψίας \( Δt = 0.5 \cdot 10^{-3}\ \si{\second} \),
όπως προκύπτει από την \( \Omega_c \).
Θα υλοποιήσουμε ένα φίλτρο Butterworth, με χρόνο δειγματοληψίας \( Δt = 0.5 \cdot 10^{-3}\ \si{\second} \). Αυτός ο χρόνος οδηγεί σε συχνότητα δειγματοληψίας μεγαλύτερη της συχνότητας Nyquist.

Έχουμε:
\begin{align*}
@@ -5181,22 +5182,22 @@ \subsection{Διγραμμικός Μετασχηματισμός}
Για να μετασχηματίσουμε στη συχνότητα και να βρούμε το \( H(z) \), αρκεί να θέσουμε \( s \leftarrow \frac{2}{Δt}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}} \) στο παραπάνω.

\subparagraph{}
Η σχεδίασή μας όμως αυτή μπορεί να οδηγήσει σε \textbf{λάθος} αποτέλεσμα, καθώς δεν λαμβάνει υπ' όψιν το
Η σχεδίασή μας όμως αυτή οδηγεί σε \textbf{λάθος} αποτέλεσμα, καθώς δεν λαμβάνει υπ' όψιν το
μετασχηματισμό που προκύπτει από το διγραμμικό μετασχηματισμό για τη ψηφιοποίηση του
συστήματος.
Πρώτα, υπολογίζουμε τις ψηφιακές συχνότητες \( \omega_1 = \Omega_1 \Delta t = 0.5\pi \), \( \omega_2 = \Omega_2 \Delta t = 0.75\pi \).
Πρώτα, υπολογίζουμε τις \textbf{ψηφιακές συχνότητες} \( \omega_1 = \Omega_1 \Delta t = 0.5\pi \), \( \omega_2 = \Omega_2 \Delta t = 0.75\pi \).
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό \( \Omega = \frac{2}{Δt}\tan\left(\frac{\omega}{2}\right) \)
έχουμε:
\begin{align*}
\Omega_1' &= \frac{2}{Δt} \tan\left(\frac{\omega_1}{2}\right) = \SI{400}{\radian/\second}
\\ \Omega_2' &= \frac{2}{Δt} \tan\left(\frac{\omega_2}{2}\right) = \SI{965.7}{\radian/\second}
\Omega_1' &= \frac{2}{Δt} \tan\left(\frac{\omega_1}{2}\right) = \SI{4000}{\radian/\second}
\\ \Omega_2' &= \frac{2}{Δt} \tan\left(\frac{\omega_2}{2}\right) = \SI{9657}{\radian/\second}
\end{align*}
και η σχεδίαση μπορεί να γίνει:
\[
n = \left\lceil \frac{\log\left( 10^{-\frac{k_1}{10}} -1 \right)/\left(10^{-\frac{k_2}{10}}-1\right)}{2\log\left(\frac{\Omega_1'}{\Omega_2'}\right)} \right\rceil
= \lceil 1.9438 \rceil = 2
\]
με συνάρτηση μεταφοράς (από τυπολόγιο):
με συνάρτηση μεταφοράς (από τυπολόγιο, σελ. 484 βιβλίου Hayes):
\[
H_2(s) = \frac{1}{s^2+1.4142s+1}
\]
@@ -5518,7 +5519,7 @@ \subsubsection{Ακρίβεια της ψηφιακής προσέγγισης}
\]
γιατί δεν ισχύει και το \( Y(z) = H(z)X(z) \).

Γράφουμε την αρχική εξίσωση:
Γράφουμε την αρχική εξίσωση και εφαρμόζουμε "\emph{μονόπλευρο}" μετασχηματισμό Laplace:
\begin{align*}
y(n)-\frac{1}{2}y(n-1) &= x(n)-\frac{1}{4}x(n-1) \qquad n \geq 0\\
\sum_{n=0}^\infty y(n)z^{-n}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty y(n-1)z^{-n} &= \sum_{n=0}^{\infty}x(n)z^{-n} - \frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty} x(n-1)z^{-n}

0 comments on commit 1fdd234

Please sign in to comment.