Permalink
Browse files

DSP Lecture 10

  • Loading branch information...
kongr45gpen committed Nov 5, 2018
1 parent e90c221 commit 40b928dc337f5b32cc8163ec40621904ceb2fc45
Showing with 294 additions and 0 deletions.
  1. BIN dsp.pdf
  2. +294 −0 dsp.tex
View
BIN +0 Bytes (100%) dsp.pdf
Binary file not shown.
View
294 dsp.tex
@@ -3006,4 +3006,298 @@ \subsubsection{Σύνδεση συστημάτων}
\end{exercise}
\todo{finish}
\lecture{10}{5/11/2018}
\todo{Add sampling PDF link}
\section{Δειγματοληψία}
Στο παρόν θα εξετάσουμε το μετασχηματισμό \textbf{Fourier} που δίνει ένα
\textbf{διακριτό δειγματοληπτημένο} σήμα, και θα τον συγκρίνουμε με το
μετασχηματισμό Fourier του αρχικού \textbf{αναλογικού} σήματος.
Πρακτικά, μέσα από το μετασχηματισμό Fourier που δίνει ένας υπολογιστής
θέλουμε να δούμε τις πληροφορίες που μπορούμε να εξάγουμε για το διακριτό
σήμα.
\paragraph{Συνεχής μετασχηματισμός Fourier διακριτού σήματος}
Υπενθυμίζουμε πως ο συνεχής ΜF μιας ακολουθίας ορίζεται ως εξής:
\[
x(n) \to X\left(e^{j\omega }\right) = X(\omega )
\overset{\triangle}{=} \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n}
\]
όπου η \( \omega \) είναι \textbf{συνεχής}, με εύρος π.χ.
\( (-π,π) \) ή \( (0,2π) \).
Ο αντίστροφος ορίζεται ως \( x(n) = \frac{1}{2π}\int_{-π}^{π} X\left(e^{j\omega }\right)e^{j\omega n}\dif\omega \).
Αυτός είναι ο \textbf{συνεχής μετασχηματισμός Fourier} ενός \textbf{διακριτού σήματος}.
\subparagraph{Σε περιοδικά σήματα}
Έστω ότι έχουμε ένα \textbf{περιοδικό} σήμα \( \tilde x(n) \) με περίοδο \( N \) δείγματα.
Το περιοδικό σήμα αυτό περιέχει στην πραγματικότητα μόνο \textbf{\( N \) αριθμούς πληροφορίας}. Αφού τα
\( N \) δείγματα επαναλαμβάνονται συνεχώς, είναι το μόνο δεδομένο που περιγράφει το σήμα. Επομένως, και
ο μετασχηματισμός Fourier του δεν μπορεί να περιέχει παραπάνω ή λιγότερη πληροφορία, άρα θα πρέπει και
αυτός να περιέχει \( N \) αριθμούς.
Τότε αποδεικνύεται ότι: \todo{Why?}
\begin{align*}
\tilde x(n) &= \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \tilde X(k) e^{j\left( \frac{2π}{N} \right)nk}
\qquad \forall n\\
\tilde X(k) &= \sum_{n=0}^{N-1} \tilde x(n) e^{-j\left(\frac{2π}{N}\right)nk}
\end{align*}
Οι παραπάνω σχέσεις προκύπτουν από τον ορισμό του συνεχή μετασχηματισμού Fourier, στον οποίο όμως
το \( n \) κινείται μόνο από \( 0 \) μέχρι \( N-1 \) και αυτό επαναλαμβάνεται, όπου θέσαμε \( \omega = \frac{2π}{N}k \). Το \( X(k) \) είναι η \textbf{διακριτή σειρά Fourier}.
Ακόμα, αν έχουμε δύο περιοδικά σήματα \( \tilde x_1 \), \( \tilde x_2 \) με ίδια περίοδο \( N \), τότε
για το σήμα \( \tilde x_3(n) = \tilde x_1(n) \tilde x_2(n) \) ισχύει:
\[
\tilde X_3(k) = \frac{1}{N} \sum_{l=0}^{N-1} \tilde X_1(l) \tilde X_2(k-l) = X_1(k) * X_2(k)
\]
\todo{Fix above}
\todo{Explain better}
\paragraph{Σε σήματα πεπερασμένης διάρκειας}
Έστω ότι ένα σήμα έχει πεπερασμένη διάρκεια:
\[
x(n) \quad n = 0,1,\dots, N-1
\]
Τότε ο μετασχηματισμός Fourier του θα είναι:
\[
X(k) \overset{\triangle}{=} \sum_{n=0}^{N-1}
x(n) e^{-j\frac{2π}{N} kn}
\] για \( k=0,1,\dots,N-1 \)
Αυτός ορίζεται ως \textbf{Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform)}.
\todo{Inverse DFT?}
%Ο αντίστροφός του θα είναι:
%\[
%x(n) = \frac{1}{N}
%\]
Ο \textbf{DFT} ενός σήματος με \( N \) δείγματα θα έχει, όπως είδαμε παραπάνω, αναγκαστικά και αυτός
\( N \) αριθμούς πληροφορίας.
Συγκρίνοντάς τον με τον CFTD (συνεχή μετασχηματισμό Fourier σε διακριτό σήμα):
\[
X\left(e^{j\omega }\right) \overset{\triangle}{=} \sum_{n=0}^{N-1} x(n)e^{-j\omega n}
\]
δηλαδή:
\[
\underbrace{X(k)}_{\text{DFT}} = \left. \underbrace{X\left(e^{j\omega }\right)}_{CFT} \right|_{\omega = \frac{2π}{N}k},\quad k=0,\dots,N-1
\]
\todo{Graph 35}
Όπως παρατηρούμε, ο \textbf{DFT είναι στην πραγματικότητα ο δειγματοληπτημένος συνεχής μετασχηματισμός
Fourier}.
\subsection{Χρήσιμα Σήματα}
\paragraph{Παλμοσειρά δειγματοληψίας}
Το αναλογικό σήμα που χρησιμοποιούμε για δειγματοληψία είναι το γνωστό τραίνο ώσεων:
\[
s_{Δt} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} δ(t-nΔt)
\]
\todo{Graph 36 minipage}
Αυτό, στο συνεχή κόσμο, έχει μετασχηματισμό Fourier όπως έχουμε αποδείξει:
\[
s_{Δt} \xrightarrow{\text{CFT-C}} \frac{1}{Δt} \sum_{n=-\infty}^{\infty} δ\left(f-n\frac{1}{Δt}\right)
\]
ή, πιο συνοπτικά, το παραπάνω μπορεί να γραφτεί:
\[
\boxed{
s_{Δt} \xrightarrow{\text{CFT-C}} F_s S_{F_s}(f)
}
\]
όπου ορίσαμε τη \textbf{συχνότητα δειγματοληψίας}:\[
\boxed{F_s = \frac{1}{Δt}}
\]
\paragraph{Παράθυρο}
\[
W_T(t) = \begin{cases}
1 &\quad |t| < \frac{T}{2} \\
0 &\quad |t| > \frac{T}{2}
\end{cases}
\]
\todo{Graph 37 minipage}
Και από το αναλογικό σήμα γνωρίζουμε ότι:
\[
\boxed{W_T(t) \xrightarrow{\text{CFT-C}} T\sinc(Tf)}
\]
όπου \( \sinc(x)=\frac{\sin(πx)}{πx} \), και μάλιστα αν \( x\in\mathbb Z^* \implies \sinc(x) = 0 \), και \( x=0 \implies \sinc(x) = 1 \).
\paragraph{Μετατοπισμένο Παράθυρο}
Για να έχουμε ακολουθίες που ξεκινούν από \( n=0 \), χρησιμοποιούμε ένα παράθυρο που βρίσκεται λίγο
πιο μπροστά:
\[
W_{0,T} = W_T\left(t-\frac{T}{2}\right)
= \begin{cases}
1 &\quad 0\leq t < T\\
0 &\quad αλλού
\end{cases}
\]
\todo{Graph me in a way}
Χρησιμοποιώντας ξανά ιδιότητες του αναλογικού σήματος, θα ισχύει:
\[
\boxed{
W_{0,T} (t) \xrightarrow{\text{CFT-C}} T\sinc(Tf) e^{-j2πf\sfrac{T}{2}}
}
\]
\subsection{Η διαδικασία της δειγματοληψίας}
Ο υπολογιστής μας μπορεί να αποθηκεύσει μόνον έναν πεπερασμένο αριθμό δειγμάτων. Επομένως, πρέπει:
\begin{enumerate}
\item Να \textit{παραθυρώσουμε} με ένα \( W_{0,T} \) το σήμα, ώστε να μην εκτείνεται στο άπειρο.
\item Να \textit{δειγματοληπτήσουμε} το σήμα, ώστε να γίνει διακριτό.
\end{enumerate}
\todo{Graph 39 (important!)}
Το παραθυροποιημένο και δειγματοληπτημένο σήμα (\textbf{sampled \& windowed}) ονομάζεται \( x_{\text{SW}}(t) \). Να σημειωθεί ότι αυτό το σήμα είναι ακόμα αναλογικό, καθώς αποτελείται από
συναρτήσεις \( δ \). Για να γίνει ψηφιακό, αρκεί να πάρουμε τις τιμές αυτών των \( δ \).
\todo{capital S}
\paragraph{}
Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να περιγραφεί μαθηματικά. Δεδομένου ότι \( W_{0,T} \) είναι το παράθυρο
και \( s_{Δt} \) η παλμοσειρά της δειγματοληψίας, έχουμε:
\begin{align*}
x_{SW}(t) &= x_W(t)\cdot s_{Δt}(t) =
%\left[
% x(t) \cdot W_{0,T}
% \right] \cdot s_{Δt}
\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} δ(t-nΔt)
\end{align*}
\todo{add math}
Στο πεδίο των συχνοτήτων, λαμβάνοντας το \textit{συνεχή} μετασχματισμό Fourier του \( x_{SW}(t) \), έχουμε:
\begin{align*}
X_{SW}(f) &= \mathscr{F}\left\lbrace x_{SW}(t) \right\rbrace
= \mathscr{F} \left\lbrace x(t) W_{0,N\ Δt}(t) S_{Δt} \right\rbrace
\\ &= \mathscr{F} \left\lbrace x(t) \right\rbrace
* \mathscr{F} \left\lbrace W_{0,N\ Δt}(t) \cdot S_{Δt}(τ) \right\rbrace
\\ &= X(f) * \left[
NΔt \sinc(NΔt f) e^{-j2πf\frac{NΔt}{2}}
\right] * \left[ F_S S_{F_S}(f) \right]
\end{align*}
Εδώ παρατηρούμε ότι ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος που έχει δειγματοληπτηθεί αποτελείται από:
\begin{itemize}
\item Το μετασχηματισμό Fourier \( X(f) \) του \textbf{αρχικού σήματος}
\item Την επίδραση της παραθυροποίησης με το \( \sinc \)
\item Την επίδραση της παλμοσειράς \( S_{F_S} \)
\end{itemize}
Με μερικές παραπάνω πράξεις, προκύπτει τελικά:
\[
X_{SW}(f) = X(f) * \left[
N\sinc(NΔtf)e^{-j2πfN\sfrac{Δt}{2} }
\right] * S_{F_S}(f)
\]
\todo{Graph 41}
Παρατηρούμε ότι, αφού το σήμα είναι χρονοπερατό μετά την παραθύρωση, το φάσμα του θα είναι άπειρο. Επομένως,
μετά από την εφαρμογή της παλμοσειράς, θα είναι βέβαιο ότι θα υπάρχει επικάλυψη. Για να μειωθεί,
αυξ
\paragraph{}
Έχοντας τώρα ένα ψηφιακό σήμα, μπορούμε να υπολογίσουμε:
\begin{align*}
X_{SW}(f) &= \mathscr{F} \left\lbrace x_{SW}(t) \right\rbrace
= \mathscr{F} \left\lbrace \sum_{n=0}^{N-1} x(n) δ(t-nΔt) \right\rbrace
\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=0}^{N-1} x(n) δ(t-nΔt) e^{-j2πft}\dif t
= \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-j2πfΔt n}
\end{align*}
Θέτοντας \( f=kΔf \), θα ισχύει:
\begin{align*}
X_{SW}(kΔf) &= \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-j2πΔt n Δf k}
\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-j\frac{2π}{N} (NΔfΔt) kn}
\end{align*}
Στην παραπάνω σχέση, μπορούμε \textbf{αυθαίρετα να θέσουμε} τους χρόνους δειγματοληψίας και παραθύρωσης
ώστε:
\[
\boxed{NΔfΔt = 1}
\]
οπότε θα προκύψει:
\[
\boxed{X_{SW}(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-j\frac{2π}{N}kn}}
\]
που είναι ο \textbf{ορισμός του DFT} που είχαμε ορίσει και παραπάνω.
\paragraph{}
Για ένα παράθυρο \( N \) δειγμάτων, προκύπτει μια ακολουθία \( x(n)\ n=0,\dots,N-1 \). Εφαρμόζοντας
DFT, θα λάβουμε μια ακολουθία \( Χ(κ) \), η οποία αποτελείται από \textit{δείγματα του φάσματος} του
\( X_{SW}(f) \) σε θέσεις και συχνότητες \( 0, \ Δf,\ 2Δf,\ \dots,\ (N-1)Δf \).
Ισχύει:
\[
Δf = \frac{1}{NΔt}
\]
Αυτό που επιθυμούμε είναι:
\begin{itemize}
\item \textbf{Μικρό } \( Δf \) για να έχουμε αρκετά μεγάλη ανάλυση στη συχνότητα, και μια πιο
ακριβή αναπαράσταση του πραγματικού μετασχηματισμού Fourier του αρχικού σήματος.
\item \textbf{Μεγάλο } \( N \), για να περιορίζεται η \textbf{φασματική διαρροή (spectral leakage)} που
προκύπτει από το πλάτος του παλμού \( \sinc \) λόγω της παραθύρωσης.
\item \textbf{Μεγάλο } \( Δt \) ώστε να περιορίζεται το \textbf{aliasing}. \todo{or other way around?}
\end{itemize}
Η τελική μορφή του DFT είναι:
\[
X[k] = \left\lbrace
X(f) *
\underbrace{\left[N\sinc(NΔtf)e^{-jπfNΔt}\right]}_{L(f)}
* \underbrace{S_{F_S}(f)}_{A(f)}
\right\rbrace
\]
όπου ο όρος \( L(f) \) αναφέρεται στη φασματική διαρροή, και ο όρος \( A(f) \) αναφέρεται στο aliasing.
\todo{Graph 42}
Ο DFT κινείται μεταξύ των τιμών \( 0 \) και \( N-1 \), οι οποίες αντιστοιχούν άμεσα στις "ψηφιακές"
συχνότητες από \( 0 \) ως \(\). Για να τις αντιστοιχήσουμε στις πραγματικές αναλογικές συχνότητες,
πρέπει να γνωρίζουμε τη συχνότητα δειγματοληψίας. \todo{Add maths}
\paragraph{Παράδειγμα}
Δίνεται ένα σήμα:
\[
x(t) = e^{j2πf_0t} \rightarrow X(f) = δ(f-f_0)
\]
δειγματοληπτείται με συχνότητα δειγματοληψίας \( F_s \). Παίρνουμε \( N \) δείγματα \( 0,Δt,\dots,(N-1)Δt \), όπου \( Δt = \frac{1}{F_s} \).
Τότε:
\begin{align*}
X[k] &= \left[
N\sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}
X(f-f'-nF_s)\sinc(NΔtf')e^{-jnf'ΝΔt}
\dif f'
\right]_{f=kΔf}
\\ &= N\sum_{n=-\infty}^{\infty} \sinc\left( ΝΔt (kΔf - f_0 - nFs) \right)
e^{-jn (kΔf-f_0-nF_s)NΔt}
\end{align*}
Ο όρος \( kΔf - f_0 -nFs \) εκφράζει τη διαφορά της πραγματικής συχνότητας που υπάρχει στο σήμα, από
τη συχνότητα επάνω στην οποία κάνουμε δειγματοληψία του Fourier εμείς. Αν τύχει και πέσουμε ακριβώς
επάνω στη σωστή συχνότητα, η \( \sinc \) δε θα επιδράσει και θα έχουμε ένα καθαρό φάσμα. Όμως αν έχουμε
μια μικρή διαφορά, θα "γεμίσουν" κι άλλες συχνότητες στο φάσμα, οι οποίες όμως στο αρχικό σήμα δεν είχαν
πληροφορία.
\todo{Graphs, examples and explanation}
\end{document}

0 comments on commit 40b928d

Please sign in to comment.