Skip to content
Permalink
Browse files
Merge pull request #72 from akkoumis/sae2
Sae2
  • Loading branch information
kongr45gpen committed Feb 26, 2021
2 parents 24a3cab + d54e573 commit e0a988fdbb38702e72eed12bc7a923d913f64b0a
Showing with 17 additions and 15 deletions.
  1. +17 −15 sae2.tex
@@ -333,6 +333,8 @@ \section{Μοντελοποίηση Συστημάτων}
\draw (2,1.6) to[damper,l_=$c(\dot q)$,invert] ++(-2,0);
\draw (2,0.4) to[spring,invert,l_=\raisebox{-1.5ex}{$k$}] ++(-2,0);

\draw[thick,->] (4,1) -- ++(1.5,0) node[right] {$u$};

\draw[thick] (0,3) |- (5,0);

\draw[->] (m) ++ (0,1.4) |- ++(2,0.7) node[above,pos=.75,gray] {$q$};
@@ -825,7 +827,7 @@ \subsection{Μελέτη Ευστάθειας Συστήματος}
\end{align*}
δηλαδή παρατηρούμε ότι η \textbf{παράγωγος} της ενέργειας είναι \textbf{αρνητική}, άρα η ενέργεια του
συστήματος σχεδόν κάθε στιγμή μειώνεται (φθίνουσα)! Αυτό μπορούμε να το αντιληφθούμε αφού στο σύστημα δεν
ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις, και εκτελεί κάποια ταλάντωση με μια απόσβαση που συνεχώς
ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις, και εκτελεί κάποια ταλάντωση με μια απόσβεση που συνεχώς
αφαιρεί ενέργεια.

Δηλαδή κάθε στιγμή η ενέργεια είναι μικρότερη από την αρχική
@@ -2115,7 +2117,7 @@ \subsubsection{Με το 2\textsuperscript{ο} θεώρημα Lyapunov}
\cancelto{0}{\left(-\sin x_1\middle|_{x_1\to 0}\right)}
(x_1 - 0)
+ \frac{1}{2}(x_1-0)^2
\cancelto{0}{\left(-\cos x_1\middle|_{x_1\to 0}\right)}
\cancelto{-1}{\left(-\cos x_1\middle|_{x_1\to 0}\right)}
\\ &= 1 - \frac{1}{2}x_1^2
\intertext{άρα:}
1-\cos x_1 &= \frac{1}{2}x_1^2
@@ -2261,8 +2263,8 @@ \subsubsection{Αμετάβλητα Σημεία}
ακρίβεια, θα χρησιμοποιήσουμε το ανάπτυγμα Taylor. Αρχικά:
\begin{align*}
\cos x&\simeq
\cos (0) + \cancelto{0}{\left[ 2\cos(-\sin x) \middle|_{x=0} \right]}(x-0)
+ \frac{1}{2} (x-0)(-\cos 0)(x-0)
\cos (0) + \cancelto{0}{\left[ (-\sin x) \middle|_{x=0} \right]}(x-0)
+ \frac{1}{2}\cancelto{-1}{ \left[(-\cos x) \middle|_{x=0} \right]}(x-0)^2
\\ &= 1 - \frac{1}{2}x^2 \\
\cos^2 x &\simeq 1-x^2
\end{align*}
@@ -2339,7 +2341,7 @@ \subsubsection{Αμετάβλητα Σημεία}
στα οποία \( g(x) = 0 \). Δίνεται ότι \( g(0) = 0 \), άρα ένα σημείο ισορροπίας
είναι το \( (0,0) \). Επίσης δίνεται ότι \( xg(x) > 0 \), άρα \( \forall x \neq 0 \)
θα ισχύει \( g(x) > 0 \) ή \( g(x) <0 \), επομένως \( g(x) \neq 0 \). Τελικά,
το μοναδικό σημείο ισορροπίας είναι το \( (0,0) \).
το μοναδικό σημείο ισορροπίας είναι το \( x^*=0 \).

Ως υποψήφια συνάρτηση Lyapunov \textbf{επιλέγουμε} την παρακάτω:
\[
@@ -2425,8 +2427,8 @@ \subsubsection{Αμετάβλητα Σημεία}
Αντικαθιστώντας στη συνάρτηση Lyapunov, παραγωγίζοντας και εκτελώντας πράξεις, έχουμε:
\begin{equation}
\dot V =
\underbrace{ax_2\sin x_1\left( 1-P_{22} \right)}_{???} + \underbrace{(P_{11} - bP_{12})x_1x_2}_{???}
+ \underbrace{(P_{12}-bP_{22})x_2^2}_{<0} -\underbrace{aP_{12}x_1\sin x_1}_{>0}
\underbrace{ax_2\sin x_1}_{???}\left( 1-P_{22} \right) + (P_{11} - bP_{12})\underbrace{x_1x_2}_{???}
+ (P_{12}-bP_{22})\underbrace{x_2^2}_{>0} -aP_{12}\underbrace{x_1\sin x_1}_{>0}
\label{sec1ex2vdot}
\end{equation}

@@ -2448,8 +2450,8 @@ \subsubsection{Αμετάβλητα Σημεία}
\end{itemize}
και για τους μη μηδενικούς όρους:
\begin{itemize}
\item \( P_{12} - bP_{22} \xRightarrow{P_{12} > 0} P_{12} < b \)
\item \( P_{12} > 0 \)
\item \( P_{12} - bP_{22} < 0 \xRightarrow{P_{12} > 0} P_{12} < b \)
\end{itemize}
άρα μία ακόμα συνθήκη είναι:
\[
@@ -2712,13 +2714,13 @@ \subsection{Ειδική περίπτωση: Γραμμικά συστήματα
για τον οποίο:
\begin{align*}
Q &= Q^{\mathrm T} \text{ θετικά ορισμένος} \\
-Q &= A^{\mathrm T}P + PA
-Q &= \tilde A^{\mathrm T}P + P\tilde A \text{ όπου P θετικά ορισμένος}
\end{align*}

\tcbsubtitle{\textbf{Λύση} με διαταραχές}
Το σύστημά μας με διαταραχή \( d(t) \) θα γίνει:
\[
\dot x = Ax+Bu+d(t)
\dot x = \tilde Ax+Bu+d(t)
\]
όπου οι διαταραχές έχουν ένα μέγιστο πλάτος \( \left|d(t)\right|
\leq \bar d
@@ -2732,14 +2734,14 @@ \subsection{Ειδική περίπτωση: Γραμμικά συστήματα
\dot x^{\mathrm T} P x + x^{\mathrm T} P\dot x
\\ &=
\left(
Ax + d(t)
\tilde Ax + d(t)
\right)^{\mathrm T} P x
+ x^{\mathrm{T}}P\left(Ax+d(t)\right)
+ x^{\mathrm{T}}P\left(\tilde Ax+d(t)\right)
\\ &= \left(
x^{\mathrm{T}}A^{\mathrm T} + d^{\mathrm T}(t)
\right)Px + x^{\mathrm{T}} PAx
x^{\mathrm{T}}\tilde A^{\mathrm T} + d^{\mathrm T}(t)
\right)Px + x^{\mathrm{T}} P\tilde Ax
+x^{\mathrm{T}}P d(t)
\\ &= x^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}} P + PA)x
\\ &= x^{\mathrm{T}}(\tilde A^{\mathrm{T}} P + P\tilde A)x
+ d^{\mathrm{T}}(t) P x + x^{\mathrm{T}}P d(t)
\\ &=
\underbrace{-x^{\mathrm{T}} Q x}_{\leq\ -\lambda_{\min}(Q)|x|^2}

0 comments on commit e0a988f

Please sign in to comment.