From 5852f46689cb9437120b0b9cc39790d66f643340 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Diogo Gaspar Date: Mon, 13 Nov 2023 11:59:03 +0100 Subject: [PATCH] [PE] Add missing examples and properties; general cleanup (#823) --- content/pe/0001-nocoes-basicas.md | 6 +- content/pe/0002-variaveis-aleatorias.md | 23 +++-- content/pe/0003-va-discretas.md | 72 +++++++++------ content/pe/0004-va-continuas.md | 6 +- content/pe/0006-comb-lineares-de-va.md | 7 ++ content/pe/0007-estimacao-pontual.md | 72 ++++++++++++++- content/pe/0008-estimacao-por-intervalos.md | 82 +++++++++++++++++- content/pe/0009-teste-de-hipoteses.md | 72 ++++++++++++++- .../pe/assets/0002-continuous-fd-graph.svg | 4 + content/pe/assets/0002-discrete-fd-graph.svg | 4 + .../0004/table.png => assets/0004-table.png} | Bin .../0007-populacao-amostra.svg} | 0 content/pe/imgs/0002/continuous_fd_graph.png | Bin 4983 -> 0 bytes content/pe/imgs/0002/discrete_fd_graph.png | Bin 5193 -> 0 bytes 14 files changed, 304 insertions(+), 44 deletions(-) create mode 100644 content/pe/assets/0002-continuous-fd-graph.svg create mode 100644 content/pe/assets/0002-discrete-fd-graph.svg rename content/pe/{imgs/0004/table.png => assets/0004-table.png} (100%) rename content/pe/{imgs/0007/populacao-amostra.svg => assets/0007-populacao-amostra.svg} (100%) delete mode 100644 content/pe/imgs/0002/continuous_fd_graph.png delete mode 100644 content/pe/imgs/0002/discrete_fd_graph.png diff --git a/content/pe/0001-nocoes-basicas.md b/content/pe/0001-nocoes-basicas.md index 55e7f875a..835f631c7 100644 --- a/content/pe/0001-nocoes-basicas.md +++ b/content/pe/0001-nocoes-basicas.md @@ -18,7 +18,7 @@ type: content ``` -Começamos por introduzir umas definições essenciais para formalizar o trabalho com probabilidade. +Começamos por introduzir algumas definições essenciais para formalizar o trabalho com probabilidade. Primeiro, é essencial definir exatamente em que consiste uma [**experiência aleatória**](color:red): :::tip[Experiência Aleatória (EA)] @@ -35,8 +35,8 @@ Damos o nome de [**espaço de resultados**](color:green) ao conjunto de todos os Costumamos designar o espaço de resultados pela letra grega $\Omega$ (Omega). Dizemos que o espaço de resultados é: -- **discreto** se $\Omega$ for contável; -- **contínuo** se $\Omega$ não for contável. +- **discreto**, se $\Omega$ for contável; +- **contínuo**, se $\Omega$ não for contável. ::: diff --git a/content/pe/0002-variaveis-aleatorias.md b/content/pe/0002-variaveis-aleatorias.md index 56c920e15..7bc61342c 100644 --- a/content/pe/0002-variaveis-aleatorias.md +++ b/content/pe/0002-variaveis-aleatorias.md @@ -88,8 +88,8 @@ Em todos os exemplos, podíamos ter definido qualquer outra VA que nos apetecess Nos primeiros dois exemplos, não fazia sentido definir qualquer VA que não as que foram definidas - estas são as que nos fazem mais sentido. De facto, nesses casos, as variáveis aleatórias são tão pouco "originais" que é fácil confundir o input (o evento) com o output (um valor numérico). No entanto, no terceiro exemplo já é mais notável qual o objetivo da VA. -Na verdade, a VA não passa exatamente de um formalismo que transforma eventos em valores numéricos. -Desta forma, podemos definir qualquer VA desde que consigamos trabalhar com ela. +Na verdade, a VA não passa exatamente de um [**formalismo que transforma eventos em valores numéricos**](color:orange). +Desta forma, podemos definir qualquer VA, desde que consigamos trabalhar com ela. ::: @@ -147,7 +147,7 @@ As VA's discretas satisfazem as seguintes propriedades: - $F_X$ é monótona crescente, contínua à direita e tem $\#\R_X$ pontos de descontinuidade. Consequentemente, o gráfico da fd de uma VA discreta é algo parecido a: -![Gráfico da fd de um VA discreta](./imgs/0002/discrete_fd_graph.png#dark=3) +![Gráfico da fd de uma VA discreta](./assets/0002-discrete-fd-graph.svg#dark=3) - $F_X(-\infty) = \lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$; - $F_X(+\infty) = \lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1$; @@ -175,13 +175,13 @@ Dizemos, então, que uma VA $X$ é contínua se e só se: $$ F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) \, dt $$ - A esta função dá-se o nome de [**função de densidade de probabilidade (fdp)**](color:pink). + A esta função, $f$, dá-se o nome de [**função de densidade de probabilidade (fdp)**](color:pink). As VA's contínuas têm as seguintes propriedades: - Um gráfico vagamente semelhante ao representado abaixo, devido à continuidade e monotonia lata: -![Gráfico da fd de um VA contínua](./imgs/0002/continuous_fd_graph.png#dark=3) +![Gráfico da fd de um VA contínua](./assets/0002-continuous-fd-graph.svg#dark=3) - $f_X(x) = \frac{\delta F_X(x)}{\delta x}$ - $F_X(-\infty) = 0$, $F_X(+\infty) = 1$ e, consequentemente, $0 \leq F_X(x) \leq 1$ para qualquer $x \in \R$; @@ -200,7 +200,7 @@ As funções mais que relevantes que nos dão informações sobre VA's são: $$ \begin{matrix} - \text{Para VA's discretas} & & \text{Para VA's contínuas} \\ + \smartcolor{pink}{\text{Para VA's discretas}} & & \smartcolor{green}{\text{Para VA's contínuas}} \\ E(X) = \sum_{x \in \R_X} x P(X = x) & & E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) \, dx \\ \text{se esta série convergir} & & \text{se este integral convergir} \end{matrix} @@ -211,7 +211,7 @@ As funções mais que relevantes que nos dão informações sobre VA's são: $$ \begin{matrix} E(h(X)) = \sum_{x \in \R_X} h(x) P(X = x) & & E(h(X)) = \int_{-\infty}^\infty h(x) P(X = x) \\ - \text{para } X \text{ discreta} & & \text{Para } X \text{ contínua} + \smartcolor{pink}{\text{para } X \text{ discreta}} & & \smartcolor{green}{\text{Para } X \text{ contínua}} \end{matrix} $$ @@ -221,6 +221,12 @@ As funções mais que relevantes que nos dão informações sobre VA's são: E(aX+b) = aE(X) + b $$ + Verifica-se ainda que + + $$ + E(X + Y) = E(X) + E(Y) + $$ + Esta função é a medida de centralidade principal de uma VA. - [**Variância**](color:orange): [**$Var(X)$**](color:orange), [**$V(X)$**](color:orange), [**$\sigma^2$**](color:orange) ou [**$\sigma^2_x$**](color:orange) @@ -234,7 +240,8 @@ As funções mais que relevantes que nos dão informações sobre VA's são: - $V(X) \geq 0$; - $V(X) = 0 \Leftrightarrow X$ constante; - - $V(aX+b) = a^2V(x)$, para $a,b \in \R$. + - $V(aX+b) = a^2V(x)$, para $a,b \in \R$; + - $V(X^2) = E([X^2]^2) - [E^2(X)]^2 = E(X^4) - E(X)^4$. Esta função dá-nos uma medida de divergência em relação ao valor esperado (ao centro). diff --git a/content/pe/0003-va-discretas.md b/content/pe/0003-va-discretas.md index df1ced258..3c55a9aab 100644 --- a/content/pe/0003-va-discretas.md +++ b/content/pe/0003-va-discretas.md @@ -13,6 +13,23 @@ type: content ``` +Vamos, inicialmente, olhar para duas noções que nos vão ser muito importantes aquando do estudo de probabilidades. + +:::tip[Prova de Bernoulli] + +Damos o nome de **prova de Bernoulli** a qualquer experiência aleatória cujo espaço de resultados tem apenas dois eventos elementares: um evento a que damos o nome de **sucesso**, com probabilidade $p$, e um a que damos nome de **insucesso**, com probabilidade $1-p$. + +::: + +:::warning[Sucesso pode ser mau!] + +Enquanto que estamos habituados a associar sucesso a coisas boas e insucesso a coisas más, neste caso, o sucesso deve ser entendido apenas como **aquilo que queremos modelar**. +Sendo assim, por exemplo, se considerarmos a Experiência $A$ que verifica se o ecrã de um telemóvel se parte no primeiro ano de uso, o sucesso será "o ecrã partiu-se". +Claro que dada uma Prova de Bernoulli $A$, podemos sempre considerar a experiência aleatória contrária $B$, e, nesse caso, o sucesso de $B$ será o insucesso de $A$ e vice-versa. +Podemos aproveitar-nos disto à vontade, desde que tenhamos em atenção que o sucesso da prova de Bernoulli e o que queremos medir com a VA sejam coerentes. + +::: + ## Distribuição Uniforme Discreta :::danger[] @@ -21,9 +38,9 @@ Esta distribuição não é lecionada no programa de 2021/22, mas pode ser impor ::: -:::tip[] +:::tip[Motivação] -Esta distribuição é normalmente usada em situações em que todos os eventos são equiprováveis. +Esta distribuição é normalmente usada em situações em que [**todos os eventos são equiprováveis**](color:green). ::: @@ -84,9 +101,9 @@ $$ ## Distribuição Binomial -:::tip[] +:::tip[Motivação] -Esta distribuição é usada para, dada uma prova de Bernoulli que é executada $n$ vezes (independentemente), medir a probabilidade de haver exatamente $x$ sucessos. +Esta distribuição é usada para, dada uma [**prova de Bernoulli**](color:green) que é [**executada $n$ vezes**](color:green) (independentemente), [**medir a probabilidade de haver exatamente $x$ sucessos**](color:green). ::: @@ -143,7 +160,7 @@ $$ **Propriedades da [distribuição binomial](color:yellow)**: -- A distribuição binomial **não tem uma função de distribuição** que possa ser escrita em forma fechada (isto é, sem um somatório); +- A distribuição binomial [**não tem uma função de distribuição**](color:red) que possa ser escrita em forma fechada (isto é, sem um somatório); - Se $X~\sim~\op{binomial}(n,p)$ e $Y$ for a VA que mede o número de insucessos associados a $X$, isto é $$ Y = n-X~\sim~\op{binomial}(n, 1-p) @@ -155,9 +172,9 @@ $$ ## Distribuição Geométrica -:::tip[] +:::tip[Motivação] -Esta distribuição é usada para, dada uma prova de Bernoulli, medir a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer ao fim de exatamente $x$ tentativas. +Esta distribuição é usada para, dada uma prova de Bernoulli, medir a probabilidade de o [**primeiro sucesso ocorrer ao fim de exatamente $x$ tentativas**](color:green). ::: @@ -213,6 +230,7 @@ $$ **Propriedades da [distribuição geométrica](color:orange)**: - A distribuição geométrica tem função de distribuição dada por + $$ F_X(x) = \begin{cases} @@ -220,18 +238,35 @@ $$ 1-(1-p)^{\lfloor x \rfloor}, &x>1 \end{cases} $$ + + Isto, claro, dado que + + $$ + \begin{aligned} + &\sum_{n=1}^{x}{p(1 - p)^{n - 1}}\\ + &= p \cdot \frac{1 - (1 - p)^x}{1 - (1 - p)}\\ + &= p \cdot \frac{1 - (1 - p)^x}{p}\\ + &= 1 - (1 - p)^x + \end{aligned} + $$ + - **Propriedade da Falta de Memória**: Dada uma VA com distribuição geométrica $X$, temos que, $\forall_{k, x \in \Z^+}$: + $$ P(X > k+x | X > k) = P(X > x) $$ + Por outras palavras, a VA $Y = X-k | X>k$ é tal que + $$ Y \sim \op{geométrica}(p) $$ + A falta de memória é uma propriedade extremamente útil de algumas distribuições, que nos permite encurtar bastante alguns cálculos. + ## Distribuição de Poisson -:::tip[] +:::tip[Motivação] A [distribuição de Poisson](color:purple) mede o número de ocorrências de uma EA num dado intervalo. Para que isto seja possível, é necessário assumirmos que: @@ -305,27 +340,12 @@ $$ ## Distribuição de Bernoulli -:::tip[] +:::tip[Motivação] Este tipo de distribuição é usado para modular situações em que apenas há dois resultados possíveis. ::: -:::tip[Prova de Bernoulli] - -Damos o nome de **prova de Bernoulli** a qualquer experiência aleatória cujo espaço de resultados tem apenas dois eventos elementares: um evento a que damos o nome de **sucesso**, com probabilidade $p$, e um a que damos nome de **insucesso**, com probabilidade $1-p$. - -::: - -:::warning[Sucesso pode ser mau!] - -Enquanto que estamos habituados a associar sucesso a coisas boas e insucesso a coisas más, neste caso, o sucesso deve ser entendido apenas como **aquilo que queremos modelar**. -Sendo assim, por exemplo, se considerarmos a EA que verifica se o ecrã de um telemóvel se parte no primeiro ano de uso, o sucesso será "o ecrã partiu-se". -Claro que dada uma Prova de Bernoulli $A$, podemos sempre considerar a experiência aleatória contrária $B$, e, nesse caso, o sucesso de $B$ será o insucesso de $A$ e vice-versa. -Podemos aproveitar-nos disto à vontade, desde que tenhamos em atenção que o sucesso da prova de Bernoulli e o que queremos medir com a VA sejam coerentes. - -::: - Dizemos que uma VA discreta $X$ tem uma [**distribuição de Bernoulli**](color:blue) e representamos $X~\sim~\op{Bernoulli}(p)$ se, dados os **parâmetros**: - $p = P(\op{Sucesso})$, $p \in [0,1]$ @@ -383,13 +403,13 @@ $$ ## Distribuição Hipergeométrica -:::warning[] +:::danger[] Esta distribuição não faz parte da matéria lecionada no programa de 2021/22. ::: -:::tip[] +:::tip[Motivação] Tal como a distribuição binomial, esta distribuição tem a ver com o número de sucessos em $n$ provas de Bernoulli. No entanto, desta vez, as provas não são independentes entre si e podem ser pensadas como seguindo um processo de extração sem repetição. diff --git a/content/pe/0004-va-continuas.md b/content/pe/0004-va-continuas.md index 61f08b7c7..32477212a 100644 --- a/content/pe/0004-va-continuas.md +++ b/content/pe/0004-va-continuas.md @@ -93,7 +93,7 @@ $$ :::tip[] -Esta distribuição é normalmente usada para atribuir uma probabilidade ao tempo que um evento demora a acontecer. +Esta distribuição é normalmente usada para atribuir uma probabilidade ao [**tempo que um evento demora a acontecer**](color:yellow). ::: @@ -235,7 +235,7 @@ e o seu valor esperado e variância são 1.75m e 0.3m. - $X \sim \op{normal}(\mu, \sigma^2) \Leftrightarrow aX+b \sim \op{normal}(aX + b, a^2 \sigma^2)$ Consequentemente, $X \sim \op{normal}(\mu, \sigma^2) \Leftrightarrow \frac{X-\mu}{\sigma} \sim \op{normal}(0,1)$. Desta forma, para qualquer VA $X$ com distribuição normal, é sempre possível fazer uma transformação linear de forma a obter uma VA com distribuição normal centrada em $0$ e com variância $1$. - À distribuição normal centrada em $0$ com variância $1$ dá-se o nome de **distribuição normal padrão**. A sua função de distribuição representa-se por $\Phi(x)$ e é dada por + À distribuição normal centrada em $0$ com variância $1$ dá-se o nome de [**distribuição normal padrão**](color:green). A sua função de distribuição representa-se por $\Phi(x)$ e é dada por $$ \Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt $$ @@ -257,7 +257,7 @@ Temos que $P(X \leq 23.045) = P (\frac{X - 23}{{0.1}} \equiv \frac{X-\mu}{\sigma Indo ver à tabela, concluímos que $\Phi(0.45) = 0.6736$, pelo que $P(X \leq 23.045) = 0.6736$. -![table](./imgs/0004/table.png#dark=1) +![table](./assets/0004-table.png#dark=1) Observe-se que a tabela não permite consultar a função $\Phi$ em valores negativos. Nesse caso, basta aproveitarmo-nos do facto que $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ e depois consultar a tabela. diff --git a/content/pe/0006-comb-lineares-de-va.md b/content/pe/0006-comb-lineares-de-va.md index a69b04a92..79fb18110 100644 --- a/content/pe/0006-comb-lineares-de-va.md +++ b/content/pe/0006-comb-lineares-de-va.md @@ -48,6 +48,13 @@ V \left( \sum_{i=1}^n c_i X_i \right) = \sum_{i=1}^n c_i^2 V(X_i) $$ +Podemos ainda realçar as duas relações mais simples, e afirmar que + +$$ +V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 \cdot cov(X, Y)\\ +V(X - Y) = V(X) + V(Y) - 2 \cdot cov(X, Y) +$$ + ::: Dizemos que duas variáveis $X$ e $Y$ são [**independentes e identicamente distribuídas**](color:green) se $X \indep Y$ e tiverem a mesma distribuição (_com os mesmos parâmetros_). diff --git a/content/pe/0007-estimacao-pontual.md b/content/pe/0007-estimacao-pontual.md index 90e11b04f..ec4da845e 100644 --- a/content/pe/0007-estimacao-pontual.md +++ b/content/pe/0007-estimacao-pontual.md @@ -46,7 +46,7 @@ Em relação à amostra, já é possível fazer observações (e a partir destas A partir das observações, é agora importante ser capaz de obter informação sobre a população em geral. Isto é feito através de uma [inferência estatística](color:pink). -![Amostragem e Inferência Estatística](./imgs/0007/populacao-amostra.svg#dark=2) +![Amostragem e Inferência Estatística](./assets/0007-populacao-amostra.svg#dark=2) :::details[Exemplo] @@ -286,7 +286,7 @@ i.e $x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = 0.5$ ou também ser dito "_observaram-se 10 eventos em 20 intervalos de tempo unitários_." Para este tipo de exercícios variam os valores amostrais e as funções de probabilidade/densidade de probabilidade, logo, convém estar familiarizado com -propriedades de produtórios e logaritmos e saber interpertar as $v.a$ dadas +propriedades de produtórios e logaritmos e saber interpretar as $v.a$ dadas (caso sejam de Poisson, Binomiais, etc). ::: @@ -300,6 +300,74 @@ Os estimadores de MV satisfazem as seguintes propriedades: - **Suficiência** - As estimativas de MV condensam toda a informação relevante, contida na amostra, sobre o parâmetro; - **Consistência** - À medida que o tamanho da AA aumenta, o $EMV(\theta)$ dispersa-se cada vez menos do verdadeiro valor de $\theta$. +:::details[Exemplo] + +(Exemplo retirado do [Teste 2C de 2016/2017 de PE](https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/homepage/ist13114/2o-semestre-2016-17)) + +Admita que a proporção de zinco no corpo de um jogador da NBA é representada pela +variável aleatória $X$ com função de densidade de probabilidade + +$$ +f_X(x) = \begin{cases} + \theta x^{\theta - 1}, & 0 < x < 1 \\ + 0, & \text{caso contrário} +\end{cases} +$$ + +onde $\theta$ é um parâmetro positivo desconhecido. + +Caso queiramos chegar ao estimador de máxima verosimilhança de $\theta$, tendo em conta uma amostra qualquer +amostra aleatória $(X_1, ..., X_n)$ proveniente da população $X$, devemos: + +1. [**Chegar ao valor da função de verosimilhança**](color:green). + +$$ +\begin{aligned} + L(\theta | \underline{x}) &= f_{\underline{x}}(\underline{x})\\ + &= \prod_{i=1}^n f_{X_i}(x_i) \\ + &= \prod_{i=1}^n f_{X}(x_i) \\ + &= \prod_{i=1}^n \biggl[ \theta x_i^{\theta - 1} \biggr] \\ + &= \theta^n \biggl[\prod_{i=1}^n x_i \biggr]^{\theta - 1} +\end{aligned} +$$ + +2. [**Chegar ao valor da função de log-verosimilhança**](color:red). + +$$ +\ln L(\theta | \underline{x})= n \ln(\theta) + (\theta - 1) \sum_{i=1}^n \ln x_i +$$ + +(Note-se que é muito mais simpático derivar esta função) + +3. [**Maximização**](color:orange). + +A estimativa de MV de $\theta$, $\hat{\theta}$, será tal que: + +$$ +\begin{aligned} +\hat{\theta}: &\begin{cases} + \frac{d}{d\theta} \ln L(\theta | \underline{x}) &= 0 \qquad \text{(ponto de estacioneridade)} \\ + \frac{d^2}{d\theta^2} \ln L(\theta | \underline{x}) &< 0 \qquad \text{(ponto de máximo)} \\ +\end{cases} \\ +&\begin{cases} + \frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^n \ln(x_i) = 0 \\ + -\frac{n}{\theta^2} < 0 \\ +\end{cases} \\ +&\begin{cases} + \hat{\theta} = - \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln(x_i)} \\ + - \frac{[\sum_{i=1}^n \ln(x_i)]^2}{n} < 0 \qquad \text{(sempre verdade)}\\ +\end{cases} +\end{aligned} +$$ + +Temos, por fim, que: + +$$ +EMV(\theta) = \hat{\theta} = - \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln(x_i)} +$$ + +::: + ## Distribuições Amostrais :::tip[Distribuição Amostral] diff --git a/content/pe/0008-estimacao-por-intervalos.md b/content/pe/0008-estimacao-por-intervalos.md index 58b1a5827..5f3bd20ff 100644 --- a/content/pe/0008-estimacao-por-intervalos.md +++ b/content/pe/0008-estimacao-por-intervalos.md @@ -232,6 +232,12 @@ com grau de confiança **exatamente** $1-\alpha$. ### Determinação de $p$ numa Prova de Bernoulli +:::warning[] + +A expressão relativa a este cenário não se encontra no formulário: é preciso decorá-la! + +::: + **Parâmetro desconhecido**: $p$ **VA de interesse**: Uma VA com distribuição de Bernoulli $X$ @@ -289,7 +295,81 @@ Num exercício é importante perceber se procuramos o IC **exato** ou **aproxima ::: -:::details[Exemplo] +:::details[Exemplo 1] + +(Exemplo retirado do [Teste 2C de 2016/2017 de PE](https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/homepage/ist13114/2o-semestre-2016-17)) + +A quantidade de minutos ($X$ , em centenas de minutos) de um jogador _two-way_ na NBA +possui **distribuição normal**, sendo os respetivos valor +esperado e variância desconhecidos. Sabendo que a concretização $(x_1, ..., x_n)$ de uma amostra +proveniente da população $X$ conduziu a $\sum_{i=1}^{10} x_i = 293$ e $\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 8745$. + +Caso queiramos construir um intervalo de confiança a $90\%$ para o desvio padrão +de um jogador do tipo referido, devemos: + +1. [**Selecionar a VA Fulcral**](color:green) + +$\mu$ e $\sigma^2$ são desconhecidos. Querendo um intervalo de confiança para $\sigma$, +faz sentido escolher a VA: + +$$ +Z = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi_{(n-1)}^2 +$$ + +2. [**Obter os quantis de probabilidade**](color:orange) + +Temos que $n=10$ e $(1 - \alpha) = 0.9$, pelo que: + +$$ +\begin{aligned} + (a_\alpha, b_\alpha): &\begin{cases} + P(a_\alpha \leq Z \leq b_\alpha) = 1 - \alpha \\ + P(Z < a_\alpha) = P(Z > b_\alpha) = \frac{\alpha}{2} + \end{cases}\\ + &\begin{cases} + a_\alpha = F_{\chi_{(n-1)}^2}^{-1} (\frac{\alpha}{2}) = F^{-1}_{\chi_{(n-1)}^2} (0.05) \overset{\text{tabela}}{=} 3.325 \\ + b_\alpha = F_{\chi_{(n-1)}^2}^{-1} (1 - \frac{\alpha}{2}) = F^{-1}_{\chi_{(n-1)}^2} (0.95) \overset{\text{tabela}}{=} 16.92 + \end{cases} +\end{aligned} +$$ + +3. [**Inverter a desigualdade $a_\alpha \leq Z \leq b_\alpha$**](color:yellow) + +$$ +\begin{aligned} + & P(a_\alpha \leq Z \leq b_\alpha) = 1 - \alpha \\ + & P\biggl[a_\alpha \leq \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \leq b_\alpha \biggr] = 1 - \alpha \\ + & P\biggl[\frac{1}{b_\alpha} \leq \frac{\sigma^2}{(n-1)S^2} \leq \frac{1}{a_\alpha} \biggr] = 1 - \alpha \\ + & P\biggl[\frac{(n-1)S^2}{b_\alpha} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1)S^2}{a_\alpha} \biggr] = 1 - \alpha \\ + & P\biggl[\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{b_\alpha}} \leq \sigma \leq \sqrt{\frac{(n-1)S^2}{a_\alpha}} \biggr] = 1 - \alpha \\ +\end{aligned} +$$ + +4. [**Concretizar**](color:red) + +Vamos ter, para os dados do enunciado, que: + +$$ +\begin{aligned} + s^2 &= \frac{1}{n - 1}\biggl[\sum_{i=1}^{n}{x_i}^2 - n (\overline{x})^2 \biggr] \\ + &= \frac{1}{10 - 1}(8745 - 10 \cdot 29.3^2) \\ + &= 17.7(8) +\end{aligned} +$$ + +Fazendo as devidas substituições, vamos ter um intervalo de confiança para o desvio padrão tal que: + +$$ +\begin{aligned} +IC_{90\%}(\sigma) &= \biggl[\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{b_\alpha}}, \sqrt{\frac{(n-1)S^2}{a_\alpha}} \biggr] \\ +&= \biggl[\sqrt{\frac{(10 - 1)\cdot 17.7(8)}{16.92}}, \sqrt{\frac{(10 - 1)\cdot 17.7(8)}{3.325}} \biggr] \\ +&= [3.0762, 6.9389] \\ +\end{aligned} +$$ + +::: + +:::details[Exemplo 2] A quantidade de açúcar (em grama) na calda de pêssegos em lata tem distribuição normal. É extraída uma amostra de $n = 10$ latas que resulta num desvio padrão amostral $s = 4.8$. Determine o intervalo de confiança diff --git a/content/pe/0009-teste-de-hipoteses.md b/content/pe/0009-teste-de-hipoteses.md index 96ad330a8..aed127390 100644 --- a/content/pe/0009-teste-de-hipoteses.md +++ b/content/pe/0009-teste-de-hipoteses.md @@ -322,6 +322,76 @@ Sendo assim, a região de rejeição é aproximadamente :::details[Exemplo] -// TODO +(Exemplo retirado do [Teste 2B de 2017/2018 de PE](https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/homepage/ist13114/1o-semestre-2017-18)) + +O diâmetro ($X$ , em cm) dos tapetes de rato produzidos por determinada fábrica possui +distribuição normal com parâmetros desconhecidos $\mu$ e $\sigma^2$ . A concretização de uma amostra aleatória +de dimensão 10 conduziu aos seguintes resultados: $\sum_{i=1}^{10} x_i = 846$ e $\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 71607$. + +Caso queiramos testar as seguintes hipóteses (decidindo com base no valor-p) + +$$ +\begin{aligned} + H_0&: \sigma^2 = \sigma_0^2 = 4\\ + H_1&: \sigma^2 > 4 +\end{aligned} +$$ + +Devemos, em primeiro lugar, escolher a nossa estatística de teste: sendo que estamos +a testar $\sigma^2$ de uma população normal, com $\mu$ desconhecido, faz sentido escolher: + +$$ +T = \frac{(n - 1)S^2}{\sigma_0^2} \sim_{H_0} \chi_{(n - 1)}^2 +$$ + +Devemos, ainda, definir inicialmente a região de rejeição de $H_0$: tratando-se +de um teste unilateral superior (com $H_1: \sigma^2 > 4$), dizemos que a região +de rejeição de $H_0$ é dada por $W = (c, +\infty)$. + +Note-se que, para a amostra considerada, tem-se: + +$$ +\begin{aligned} + s^2 &= \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2 \\ + &= \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n \overline{x}^2 \\ + &= \frac{1}{9}\biggl(71607 - \frac{846^2}{10}\biggr)\\ + &= 3.9(3)^{\smartcolor{orange}{*}} +\end{aligned} +$$ + +O valor observado, tendo em conta a estatística de teste, é dado por: + +$$ +\begin{aligned} +t &= \frac{(n - 1)s^2}{\sigma_0^2} \\ +&= \frac{(10 - 1) \cdot 3.9(3)^{\smartcolor{orange}{*}}}{4} \\ +&= 8.85 +\end{aligned} +$$ + +Sendo a região de rejeição um intervalo à direita, vamos ter: + +$$ +\begin{aligned} + \text{valor-p} &= P(T > t | H_0)\\ + &= 1 - F_{\chi^2_{(n-1)}}(t) \\ + &= 1 - F_{\chi^2_{(9)}}(8.85) +\end{aligned} +$$ + +Ora, não existe tabela que nos possibilite encontrar o valor específico de $F_{\chi^2_{(9)}}(8.85)$. +Conseguimos, contudo, enquadrar o valor-p, tal que: + +$$ +\begin{aligned} +F_{\chi^2_{(9)}}^{-1}(0.50) &= 8.343 < t = 8.85 < 9.414 = F_{\chi^2_{(9)}}^{-1}(0.60) \\ +0.50 &< F_{\chi^2_{(9)}}(8.85) < 0.60\\ +0.40 &< \text{valor-p} < 0.50 +\end{aligned} +$$ + +Podemos, assim, recorrendo ao valor-p, afirmar que devemos rejeitar $H_0$ a qualquer +nível de significância superior a $50\%$, e não devemos rejeitar $H_0$ a qualquer nível de +significância igual ou inferior a $40\%$. ::: diff --git a/content/pe/assets/0002-continuous-fd-graph.svg b/content/pe/assets/0002-continuous-fd-graph.svg new file mode 100644 index 000000000..b5ada22cb --- /dev/null +++ b/content/pe/assets/0002-continuous-fd-graph.svg @@ -0,0 +1,4 @@ + + + +
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