含时演化需要保证波函数的归一性不变,因此离散格式不能是向前欧拉(explicit)或向后欧拉(implicit),而采用Crank-Nelson方法,保证波函数演化步骤不发散,维持概率守恒:
模拟有限势垒的量子隧穿效应
薛定谔方程在形式上是个虚时演化的反应-扩散微分方程(reaction-diffusion differential equation),本项目模拟薛定谔方程在一维的两点边值问题。扫描隧道显微镜(Scanning Tunneling Microscope,STM)就是一种利用量子隧穿效应的非光学显微镜。
一:平面波的势垒穿透
入射波为
二:高斯波包势垒穿透
一般来讲,高斯波包是自由粒子哈密顿量
$$\begin{aligned}
H_0 &= -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\
\psi(x,y,z,t) &= A(k)e^{i[(k_xx+k_yy+k_zz)-\omega(k) t]}
\end{aligned}$$
一维高斯波包的振幅为
$$
A(k) = \left(\frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}}\right)^{1/2}
$$
三:谐振子势