TDSE_1d

一维含时薛定谔方程（time depedent Schrödinger equation, TDSE）的Crank-Nelson格式数值解

  含时演化需要保证波函数的归一性不变，因此离散格式不能是向前欧拉(explicit)或向后欧拉(implicit)，而采用Crank-Nelson方法，保证波函数演化步骤不发散，维持概率守恒：

$$ |\psi(t+\Delta t)|^2=|\psi(t)|^2 $$

模拟有限势垒的量子隧穿效应

  薛定谔方程在形式上是个虚时演化的反应-扩散微分方程（reaction-diffusion differential equation），本项目模拟薛定谔方程在一维的两点边值问题。扫描隧道显微镜（Scanning Tunneling Microscope，STM）就是一种利用量子隧穿效应的非光学显微镜。

一：平面波的势垒穿透
  入射波为 $Ae^{ikx}$ 碰上处于 $x=[0, d]$ 之间的势场 $V(x)$

二：高斯波包势垒穿透
  一般来讲，高斯波包是自由粒子哈密顿量 $H_0$ 的本征态叠加，而自由粒子的本征态就是平面波：
$$\begin{aligned} H_0 &= -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\ \psi(x,y,z,t) &= A(k)e^{i[(k_xx+k_yy+k_zz)-\omega(k) t]} \end{aligned}$$
一维高斯波包的振幅为
$$ A(k) = \left(\frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}}\right)^{1/2} $$

三：谐振子势